curso de ventos estelares marcelo borges fernandes
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Curso de Ventos Estelares
Marcelo Borges Fernandes
Opssss digo...
PREVIOUSLY ON STELLAR WINDS
Aula 6
Ventos Isotérmicos
Referência: Capítulo 3 de Introduction to Stellar Winds (Lamers & Cassinelli)
Vimos que:
Ventos isotérmicos com somente a pressão do gás
Lei de velocidades: transônica (passa pelo ponto crítico)
Taxa de perda de massa dependente das condições na base do vento
2 forças: pressão e gravidade
Quais os efeitos de se incluir uma força adicional ?
- O ponto crítico terá a mesma posição ?
- Haverá um aumento ou diminuição da velocidade ou da taxa de perda de massa ou de ambos ?
- Essas alterações dependerão de onde a força for aplicada ?
- Ocorrerão os mesmos efeitos tanto na região subsônica quanto na supersônica ?
A idéia de uma força sendo aplicada somente em uma região restrita parece bem artificial, mas...
Ventos dirigidos por poeira!!!!
Tipo I) Força adicional: f α r -2
A equação de momento de um vento isotérmico com uma força adicional positiva: f = A r -2 será:
Equação 1
Assumimos que a força é menos intensa que a força gravitacional e atua em todo o vento
uma redução da gravidade ou da massa da estrela
Temos então:
- A > 0 e constante na região onde f opera e A = 0 fora dela
- a equação de momento é similar a aquela de um vento isotérmico somente com a pressão do gás
dv / dr só será > 0 para qualquer r, se o numerador e o denominador forem iguais a 0 no mesmo ponto (singularidade)
Regra de L´Hopital
Temos:
- como uma redução da gravidade ou da massa da estrela
- A > 0 e constante na região onde f opera e A = 0 fora dela
- a equação de momento é similar a aquela de um vento isotérmico somente com a pressão do gás
dv / dr só será > 0 para qualquer r, se o numerador e o denominador forem iguais a 0 no mesmo ponto (singularidade)
Regra de L´Hopital
Só existe uma solução crítica para um valor particular de vo e uma taxa de perda de massa para um conjunto de condições físicas na base do vento (To , ro , ρo) → essa solução dependerá do valor de A
Caso 1) A ≠ 0 em todo o vento
A equação 1 será igual ao caso sem força adicional se usarmos:
Meff = M* - A / G = M* (1 – Γ)
Onde Γ = A / G M*
Se Γ < 1 → Meff > 0 (equilíbrio hidrostático pode ser satisfeito)
Condições de contorno serão as mesmas como no caso sem a força adicional
Caso 1) A ≠ 0 em todo o vento
A equação 1 será igual ao caso sem força adicional se usarmos:
Meff = M* - A / G = M* (1 – Γ)
Onde Γ = A / G M*
Se Γ < 1 → Meff > 0 (equilíbrio hidrostático pode ser satisfeito)
Condições de contorno serão as mesmas como no caso sem a força adicional
rc = G Meff / 2a2 (mais próximo da estrela → (1 – Γ))
v(rc) = a
O fator (1 – Γ) causará também um aumento na taxa de perda de massa:
Equação 2
Caso 1.2) O aumento de A até um valor Γmax
Γ vai de 0 até valores positivos: rc se torna mais próximo de ro
Equação 3
De uma forma geral, o efeito do aumento de Γ na faixa de:
0 < Γ < Γmax
A aplicação de uma força na região subsônica que se contrapõe a gravidade aumenta a escala de altura densidade, Ho
(diminuição de go), e produz uma diminuição mais lenta da densidade para maiores distâncias
Pela equação da continuidade, considerando uma taxa de perda de massa constante: maior densidade, menor velocidade e menor gradiente de velocidade
Vo tem que aumentar com o aumento de Γ de forma a termos uma solução transônica através do ponto crítico (aceleração menor)
Γ pode ser > 1 na região supersônica, resultando em uma lei de velocidades mais acentuada, pois não é preciso satisfazer a condição de equilíbrio hidrostático
Caso 2) A ≠ 0 somente a uma certa distância no vento
Ventos dirigidos por poeira: rd = raio de condensação da poeira
Γ = 0 para r < rd
0 < Γ < 1 para r > rd
Os efeitos na lei de velocidades e na taxa de perda de massa dependerão da localização de rd
Caso Γ = 0:
log rc / R* = 0.5
rc ~ 3 R*
Se rd > rc (Γ = 0):
- Nem a estrutura da região subsônica nem a posição do ponto crítico é afetada por Γ (dM / dt = caso com Γ = 0)
IMPORTANTE!!!!!
Uma força aplicada ao vento acima do ponto crítico não afeta a taxa de perda de massa
Se rd > rc (Γ = 0):
- A velocidade na região supersônica com r > rd será maior do que para Γ = 0, porque o numerador da equação do momento será maior, pois (Meff < M*), e o denominador será também positivo (v2 > a2)
- O aumento de Γ acima de rc resultará em uma lei de velocidades mais acentuada para r > rd
Se rd < rc (Γ):
- dM / dt dependerá de Γ em toda a região:
ro < r < rc(Γ)
porque a lei de velocidades é afetada por Γ(r)
Sendo Γ > 0:
- dv / dr menor
- dρ / dr menor
- maior valor de ρ(rc(Γ))
- maior vo
- menor rc
- maior dM / dt
A taxa de perda de massa para um Γ constante
Se uma força com 0 < Γ < Γmax é aplicada na parte subsônica do vento: dv / dr será menor, mas as velocidades serão maiores, pois rc se move para mais próximo da estrela e terá v(rc) = a, com isso vo será também maior.
Ho maior → dM / dt maior
Uma estimativa do aumento da taxa de perda de massa devido a Γ é dada por:
Equação 4
Forte dependência entre dM / dt e Γ
Exemplo: supergigante vermelha típica
ro ~ R* ~ 103 R
Tvento ~ Teff = 3000K
M* = 20 M
ρO = ρ (τ = 1) = 10 -10 g cm-3
rd = 4 R* onde T ~ 1000 K
Ho = 7 x 10-3 R* = 5 X 1011 cm Equação 5
dM / dt ~ 10-50 M / ano (porque rd ~ 600 Ho onde a densidade é bem baixa)
Se Ho aumenta de um fator 8 (4 x 1012 cm) → dM /dt ~ 10-5 M / ano
Alta sensitividade de dM / dt com Ho
Tipo II) Força adicional: f α v (dv / dr)
Pressão de radiação devido à uma linha opticamente espessa
. Equação de Momento e o Ponto Crítico
Equação 6
Existe então um termo extra no denominador (1 - B) se comparado com o vento isotérmico sem forças adicionais
Se transformarmos v(r) em v´(r) = v(r)(1 – B)-1/2 com B < 1:
Teremos uma equação de momento similar ao caso sem forças adicionais, com um ponto crítico com as mesmas propriedades
Tipo II) Força adicional: f α v (dv / dr)
Pressão de radiação devido à uma linha opticamente espessa
. Equação de Momento e o Ponto Crítico
Equação 6
Existe então um termo extra no denominador (1 - B) se comparado com o vento isotérmico sem forças adicionais
Se transformarmos v(r) em v´(r) = v(r)(1 – B)-1/2 com B < 1:
Uma solução crítica que passa pelo ponto:
rc = G M* / 2a2 com vc ≡ v(rc) = a / (1 – B)-1/2
Uma solução crítica que passa pelo ponto:
rc = G M* / 2a2 com vc ≡ v(rc) = a / (1 – B)-1/2
O ponto crítico não tem mais a velocidade do som, mas uma velocidade mais alta, por um fator (1 – B)-1/2
O ponto crítico não é mais o ponto sônico!!!!!!
O que não é necessário para um vento isotérmico
Ponto crítico é o ponto matemático onde a soma de todos os termos que contém o fator dv / dr na equação de momento, assim como os que não o contém, desaparecem.
A taxa de perda de massa
A taxa de perda de massa devido a força radiativa é dada pela equação de continuidade de massa na base do vento isotérmico:
Equação 7
A taxa de perda de massa é um fator (1- B)-1/2 maior do que no caso sem forças adicionais porque:
-v(ro) é maior por esse fator
-v(r) é maior por esse fator
- ρ(r) é a mesma (como no caso hidrostático para a região subcrítica)
Se B > 1: o denominador da equação de momento será negativo para todos os valores de v, com isso a velocidade aumentará na região subcrítica, alcançando um máximo em rc e diminuindo para o exterior
Dependendo da velocidade vo, a velocidade máxima em rc pode ser subsônica ou supersônica
Tipo III) Forças gerais adicionais:
Forças dependentes de r, v, dv / dr: f(r,v) + g(r,v) x dv/dr
Forças mais complicadas (dv / dr)2 – presentes em ventos radiativos- não serão consideradas
Equação de Momento e o Ponto Crítico
Equação 8
Vemos que vc não é « a » → vc e rc dependem das condições locais e não das forças em outros locais do vento
A existência de soluções:
- começam com pequenas velocidades (v « a) na base do vento isotérmico
- alcançam altas velocidades (v » a) a grandes distâncias
Dependem das propriedades de f(r,v) e g(r,v)
É fácil mostrar que as condições para uma solução crítica com (dv / dr)ro > 0 e (dv /dr)∞ > 0 são dadas por:
Equação 9
É assumido que o vento tem somente um ponto crítico
Somente correto se f(r,v) e g(r,v) variam de forma que o gradiente de velocidade não é negativo além do ponto crítico
Entretanto, se f(r,v) decresce tão drasticamente tal que, o numerador se torna negativo para r > rc ou se g(r,v) aumenta tão drasticamente que o denominador se torna negativo em r > rc
O vento pode ter mais de um ponto crítico: capítulo 9 (ventos com rotatores magnéticos)
Conclusões para os Ventos Isotérmicos
1- A equação de momento, que descreve dv / dr em um vento isotérmico, tem somente uma solução crítica , o qual é transônica
2- rc e vc são somente determinados pelas condições locais em rc
3- Se as forças são somente uma função de r e v, o ponto crítico é o ponto sônico. Se as forças são dependentes de dv / dr, como no caso dos ventos dirigidos por linhas, o ponto crítico não é mais o ponto sônico
4- A velocidade entre ro e rc é determinada pelas forças que atuam no gás entre ro e rc e por vc, fixando vo e ro. Se a densidade em ro é dada, a taxa de perda de massa é fixa
5- A variação da velocidade acima de rc é determinado por vc e pelas forças em r> rc
6- Uma força extra na região subcrítica muda a estrutura de velocidades na região e aumenta a taxa de perda de massa. Uma força extra na região supercrítica muda a lei de velocidades nessa região, mas não muda a taxa de perda de massa
Conclusões para os Ventos Isotérmicos
7- Em um vento isotérmico sem forças extras, a estrutura de densidade é bem próxima da hidrostática na região subcrítica. Isso porque o termo v dv / dr na equação de momento é desprezível se comparada ao termo da pressão. Isso não ocorre na região acima de rc, onde a densidade é determinada pela variação de v
Assim abaixo do ponto sônico, a estrutura do vento é principalmente determinado pelo equilíbrio hidrostático e acima, ele é principalmente determinado pelas forças que aumentam a velocidade
8- A energia de um vento transônico é negativa em ro e positiva a grandes distâncias. Isso implica que o vento pode somente se tornar transônico, se energia é adicionada ao gás, ou na forma de calor ou na forma de trabalho feito por uma força