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Curso de Instrumentación y Señales (Biomédicas) Notas/acetatos por Dr. Jorge Márquez Flores

versión 4.0, 2005

DEFINICIONES BASICAS (0) Definición: En este curso se hace necesario distinguir entre definiciones de diverso tipo; mencionamos las más importantes: Definición operativa u operacional de A: Cuando A se define o se obtiene

al enumerar una serie de operaciones (receta de cocina). También en términos de las operaciones que A realiza (sinónimo de def. funcional), o en términos de un operador aplicado a B (definido de otra forma).

Definición nominativa de A: Cuando se enumeran las componentes, partes, o atributos de A.

Definición funcional de A: Por las funciones que realiza o debe realizar (definición prescriptiva).

Definición teórica de A: En base y a partir de una teoría o contexto teórico (usando teoremas, axiomas o entidades teóricas).

Definición matemática de A: Cuando existe una fórmula matemática (ecuación) que relaciona a A con otras entidades matemáticas.

También pueden haber definición explícita, implícita, recursiva, circular, analítica, geométrica, algebraica, topológica, etc. La distinción permite entender posibles ambigüedades o aparentes contradicciones, en particular cuando en disciplinas diferentes se recurren a definiciones de distinto tipo para un mismo concepto. También en una misma disciplina, un enfoque pragmático puede preferir las definiciones operacionales. NOTA: El signo “=” también está sujeto a diferentes interpretaciones: igualdad condicional (ecuación que sólo se satisface en ciertas condiciones), igualdad de “resultado” (incógnita despejada), igualdad identidad (≡), igualdad lógica o modal (equivalencia o prueba) e igualdad definitoria ( ; pero se puede usar a veces para este caso la “asignación computacional” :=). Notar que por ejemplo es frecuente en un algoritmo escribir “k = k+1”, en vez de escribir “k k+1” para indicar que k, en el paso t+1, se incrementa el valor que tenía k en el paso t. La razón de la notación “k = k+1” es que ©Copyright 2005 by Jorge Márquez Flores – Derechos reservados 1

como instrucción de computadora, en efecto se substituye o reasigna a k (antes se escribía k:=k+1). Lo adecuado, desde punto de vista de matemáticas correctas, sería escribir kt+1 = kt +1 y especificar un valor (inicial) para kt cuando t=0. (1) Medición: Procedimiento realizado por un observador para estimar/obtener/deducir una cantidad que caracteriza una propiedad o estado de un objeto o fenómeno. Con frecuencia se simplifica el uso del término y la cantidad es llamada “medición”. Notar las relaciones entre los términos subrayados y que entre el observador y el objeto (observado) existe una “interfaz” (el sensor, por ejemplo) que cuenta con una ventana o apertura finita que a su vez está caracterizada por una función de dispersión puntual (PSF: Point Spread Function). (2) Máquina: dispositivo (entendido como un conjunto de elementos o piezas) utilizado (en ingeniería) para cambiar la magnitud y dirección de aplicación de una fuerza. Las cuatro máquinas simples son la palanca, la polea, el torno y el plano inclinado, que consiste en una rampa. El tornillo y la cuña se consideran a veces máquinas simples, pero en realidad son adaptaciones del plano inclinado. 1 Otros ejemplos: máquinas herramientas como el taladro o el torno, la máquina de vapor, el motor de explosión. Motor: máquina que convierte energía en movimiento o trabajo mecánico.2 (3) Instrumento: dispositivo o conjunto de dispositivos coordinados que reciben y transforman señales en una o más dimensiones, usualmente con el objetivo último de medir alguna característica, o trasladar al dominio y alcance de los sentidos humanos algún aspecto de la información de entrada (tener acceso a un factor –diccionario Oxford). Tambien pueden servir para generar señales o información, quizás a partir de otras señales: en general un instrumento también puede tener un efecto físico, usualmente controlado y preciso. Ejemplos: instrumental médico, instrumentos musicales, galvanoscopio, telescopio, balanza, acelerador de partículas, generador de pulsos, termómetro, brújula, reloj, ábaco, calculadora, computadoras usadas como instrumentos (o sea que tienen sensores, etc.), herramientas de precisión (énfasis en la precisión o exactitud y muy posiblemente aunadas a un entrenamiento especializado).

1"Máquina." Enciclopedia® Microsoft® Encarta 2001. © 1993-2000 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

2"Motor." Enciclopedia® Microsoft® Encarta 2001. © 1993-2000 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

©Copyright 2005 by Jorge Márquez Flores – Derechos reservados 2

En general un instrumento se caracteriza por existir un objeto del cuál se desea conocer una propiedad (o del cuál se mide una propiedad o estado) que produce una señal (mesurando: pero puede ser una señal desconocida, o una conocida usada como referencia y producida por otro instrumento), tiene una etapa de sensor y/o transductor, una etapa de condicionamiento o proceso de la señal y una etapa de despliegue, transmisión o almacenamiento. Un instrumento de control genera adicionalmente una señal que puede servir de estímulo al objeto del cuál se toma una medición; dicho estímulo, si cambia la propiedad a medir de acuerdo a un interés particular (entonces llamada respuesta), entonces se dice que es una señal de control. Ver diagramas en archivos aparte. Notar que hay características que pueden ser tanto del instrumento como de la medición efectuada con él, y que sin embargo pueden ser distintas o independientes: por ejemplo un instrumento de baja precisión puede producir lecturas u observaciones que al repetirse N veces (N muy grande) bajo las mismas condiciones producen como promedio una medición de alta precisión (mayor a la del instrumento). (4) Equipo: un conjunto de herramientas, dispositivos, instrumentos o accesorios reunidos usualmente con una aplicación específica o de acuerdo a un plan de uso. En general puede incluir además grupos de personas especializadas más su propio “equipo” (primera definición). Equipo de laboratorio, equipo para buceo, equipo de anestesia. Una computadora es en sí misma un equipo (de cómputo); conectada para controlar sensores y programada para condicionamiento de señales y despliegue, se convierte por su uso en un instrumento, un dispositivo o una herramienta sofisticada. (5) Aparato: cualquier dispositivo, en un contexto utilitario y comercial: aparatos electrodomésticos radio, TV, licuadora; aparatos de laboratorio (como equipo, pero con énfasis en el aspecto complejo), hornos, etc. Un avión puede considerarse un aparato. Artefacto: aparatos en un contexto de desconocimiento de su finalidad o naturaleza. Objeto del cual se sospecha que sirve para algún fin y se identifica como un aparato o instrumento (matiz peyorativo). NOTA: Hay otro significado de artefacto, relacionado con el concepto de ruido (ver archivo respectivo). (6) Herramienta: Objeto o dispositivo para manipular o modificar otros objetos, en particular máquinas (para fabricarlas, ensamblarlas, desarmarlas, ajustarlas o repararlas), dispositivos, materiales (para darles forma), o para amplificar un efecto manual (notar connotación de máquina simple, como la palanca). Una herramienta diseñada para usarse con un entrenamiento especial (sentidos, destreza y conocimientos especiales)


puede considerarse un instrumento. Una herramienta puede ser parte de un sistema complejo (manipuladores). Ejemplos: la mano humana, pinzas, máquinas herramientas (herramientas de potencia). El origen etimológico de herramienta originalmente implica que son objetos hechos de “hierro”, pero es claro que se pueden tener herramientas en casi cualquier material, en función de sus cualidades, principalmente mecánicas. Utiles: herramientas muy sencillas, como el pincel, lápiz, goma, regla de medir, u otras que ayuden en una actividad menos energética que con herramientas. “Instrumentos de trabajo” da un matiz profesional o especializado a quien llama así a sus útiles. (7) Dispositivo: Algo fabricado o inventado para un fin operativo (usualmente formar parte funcional y activa de un instrumento, otro dispositivo o un equipo). Puede referirse a uno o varios elementos coordinados que explotan algún principio físico, bioquímico o mecánico con cierto grado de sofisticación (“invenciones”). Ejemplos: componentes electrónicas especiales como los dispositivos semiconductores (transistores, lógica TTL, etc), sensores, actuadores, dispositivos periféricos como la impresora, CD-ROM, scanner, ratón, módem, central termoeléctrica (dispositivo para proveer energía eléctrica a una ciudad). En inglés device puede designar artefactos arbitrariamente sofisticados a cualquier escala, desde nano-máquinas o hasta dispositivos de astroingeniería (en cierta novela de ciencia ficción un astrónomo descubre que los pulsares son “dispositivos” creados para radiar energía). “Device” puede referirse a un procedimiento o método, usualmente ingenioso (truco), pues su traducción es “desarmar”. “To devise” es sinónimo de inventar o elaborar un procedimiento o método. (8) Componentes, piezas, partes o elementos. Aunque damos por obvio el significado, pueden haber adjetivos como “activo” y “pasivo”. Veremos luego elementos clave de un sistema que almacenan o disipan energía y que determinan la respuesta del instrumento a una señal de entrada. Ejemplos: primitivas de construcción: desde tornillos y tuercas o elementos de sostén y soporte, chasis, tapas, interruptores, indicadores, pantalla, capacitores, resistencias, inductancias, circuitos integrados, cableado, motores, transistores, fuentes, sensores y transductores, circuitos integrados, reguladores, filtros, ventiladores, elementos de disipación o enfriado, amortiguamiento, protecciones varias, mecanismos y dispositivos varios, unidades de control, CPU, cristales, “timers”, periféricos, etc. Puede haber muchas clasificaciones y algunos pueden ser por sí mismos un instrumento completo.


(9) Sistema: conjunto organizado de dispositivos o componentes con una dinámica cuya descripción suele hacerse en términos de entradas, transformaciones, estados (internos) y salidas. “Sistema” hace énfasis en el “todo” y se refiere más a una descripción de funcionamiento e interacción (entre partes y con el exterior) organizados. Pueden haber sistemas naturales, híbridos y artificiales, incluir o no un instrumento. Ejemplos: sistema social, sistema escolar, sistema respiratorio, digestivo, sistema de tormentas, sistema de control (servosistemas), sistemas dinámicos, sub-sistema de detección, sistema filosófico. (10) Complejo: un sistema o conjunto heterogéneo cuya descripción mínima completa es (relativamente) larga. La longitud de descripción mínima es una medida de complejidad. “X es complejo” (X tiene una lista larga de componentes diversas, de propiedades e interrelaciones, y su descripción requiere varios párrafos, páginas o volúmenes); complejo límbico, complejo QRS (del perfil de un cardiograma), complejo habitacional o industrial, complejo de inferioridad. No hay una relación jerárquica definitiva entre las definiciones anteriores. Una muy aproximada para algunos de los conceptos anteriores puede ser el diagrama de Venn (ver archivo DiagramaVenn.ppt) Componentes de un Instrumento (ver archivo ppt). Ver chap01.ppt de Lectures_Webster. (11) Modelo : Representación simple o compleja de un objeto, creatura, sistema o fenómeno. En matemáticas implica un isomorfismo (correspondencias exactas o aproximadas) entre algo (usualmente real) y el modelo en cuestión; se describe como un conjunto {R, A, B}, siendo R una relación, A, B dos conjuntos o sistemas, y dice que “B es modelo de A”. También se escribe como R: A↔B. El modelo puede representar sólo la forma o la apariencia de aquello modelado, o bien algunas de sus funciones o respuestas ante estímulos. En forma semejante a “Definición”, se pueden considerar modelos operativos, funcionales, teóricos, nominales (una descripción verbal detallada puede llegar a constituir un modelo), etc. En ciencias exactas, pero igualmente en otras actividades, los modelos suelen simplificar, idealizar o suprimir variaciones o defectos del objeto real. Pueden existir modelos físicos (hechos de materiales adecuados) o virtuales (generados por un programa de computadora).


(12) Simulación: Recreación física (o virtual, es decir en la memoria de una computadora) de un proceso, experimento, fenómeno, etc. Se puede simular un estímulo (como si fuera una carnada) a un sistema real y obtener de él una respuesta real; o se puede simular al sistema (o sea, tener un modelo funcional) para obtener una respuesta (“real”) de un estímulo real. Nótese que la definición es muy semejante a la de modelo, pero con la connotación de recrear un proceso, o sustituir una parte real por otra artificial en un sistema para estudiar su comportamiento. (13) Sistemas dinámicos: aquellos sistemas que involucran cambios en el tiempo en cuanto a los estados y salidas del sistema. (14) Modelos dinámicos: modelos que consideran el comportamiento dinámico de un sistema, instrumento o ser vivo; estos modelos suelen ser descripciones matemáticas o procesos de simulación de los sistemas dinámicos o algunas de sus características. Algunas traducciones :

Device = dispositivo (salvo significado de método o truco). Hardware = hardware, material, partes físicas, “tripas”. Software = software, programas de cómputo, partes de información codificada (instrucciones) en el hardware que lo controlan o lo hacen seguir una compleja cadena de operaciones y ciclos; en su mayoría en interacción con usuarios. Firmware = parte del software que no se puede o no es fácil de alterar (comportamiento pre-programado). Antes se hablaba de “programas alambrados”, o sea que en vez de ser código volátil, la lógica de una tarjeta de circuitos efectuaba series de instrucciones y operacione complejas, pero poco flexibles. To devise = inventar, diseñar o hasta “implementar”. To device = (des)atornillar Tool = herramienta, toolbox, kit = caja de herramientas, equipo, conjunto, “kit” Engine = máquina, pero también se traduce como “ingenio”. Machine =máquina


Machining = “maquinar”, dar forma con herramientas, como taladrar, troquelar, prensar, tornear, estriar, espigar, tunelear, bordear, chaflanear. To instrument = instrumentar. To engineer = inventar, usar ingeniería para diseñar algo u obtener un efecto. Utilities, working tools = Utilería(s), útiles (de trabajo) (en Francés: Outils) Range, span = Alcance, gama, intervalo Rango = rank (orden, jerarquía) Aliasing = Recubrimiento (en espectros de frecuencia) =, Bias = sesgo o polaridad, distinto a offset (valor inicial o “cero”) Gauge = patrón o medida de referencia, medir exactamente (aparato de medición) Glitch = pulso de espiga, Pit or through = pozo (pico negativo, o mínimo) en una señal. Peak, crest, valley = pico, cresta, valle Phantom = maniquí (desde un bloque hasta un modelo de órgano o de humano completo, pero hecho de materiales con propiedades que simulan tejido, etc.).

Dummy = maniquí o algo que simula otra cosa, sólo en apariencia (de madera o apenas con un peso similar, dependiendo de la interacción prevista, como en un choque de prueba); el contexto implica un señuelo, algo para “engañar” al enemigo o a la naturaleza, o reproducir condiciones sin exponer seres vivos. Mannequin = maniquí (antropomórfico). No distinguimos en español estos tres conceptos. Guinea pigeon = Conejillo de indias. Instrumentos de medición:

• AC Voltmeters • Active-element Measurement Instruments • Ammeters • Amplifiers • DC Voltmeters • Electronic Counters • Frequency Analyzers • Frequency-standard and Timekeeping Instruments • Graphic Recorders • Impedance Measurement Instruments • Instrumentation Printers • Microwave Signal Generators


• Multimeters • Oscillators • Oscilloscopes • Power Meters • Pulse Generators • Regulated DC Power Supplies

Funciones posibles de un instrumento, aparte de la medición explícita de una propiedad en un objeto observado:

• Amplificación de una señal, condicionamiento en general. • Regulación de fuentes de poder AC, DC, o de otras señales • Control de otro instrumento, dispositivos o periféricos. • Observación a distancia (sistemas ópticos), enfocar haz luminoso • Audición a distancia (sistemas auditivos y acústicos) • Tacto a distancia, interfaces hápticas, retorno de esfuerzos; telepresencia • Cirugía asistida por computadora y a distancia (gesto quirúrgico). • Conversión entre formatos, compresión, codificación, decodificación,

encriptación, multiplexado, entrelazado y otros procedimientos. • “Máquinas” lógicas: realizan elaboradas funciones lógicas en base a

configuraciones iniciales o de entrada. • Computación, cálculo, procesamiento en paralelo (redes neuronales). • Conversión A/D y D/A. • Direccional (acceder, habilitar) distintos dispositivos periféricos. • Interfaz entre dispositivos . • Acoplamiento de impedancias, interconexión. • Filtrado de ruido, de bajas o altas frecuencias, etc. Restauración de señal o

imagen. • Analizadores de señal, ópticos, atómicos (descomposición en funciones de

base o componentes físicas, etc.), espectrógrafos. • Generación de señales de referencia, generadores de funciones o síntesis de

señales complejas (v.g. música). • Generación de ruido de diferentes espectros. • Generadores de rayos X, haces de partículas, focalización y pantalla de

blanco. • Generación de haces coherentes: láser, máser, en pulsos o rayos contínuos. • Despliegue gráfico (no es medición explícita), v.g. cardiógrafo, monitores, TV,

osciloscopio, sismógrafo. • Detección de movimientos, patrones, eventos; monitoreo, seguimiento..


• Almacenamiento de datos, señales, imágenes, sonido (grabadora, reproductor de video, CDs y DVDs; reproducción (recuperación) de información almacenada.

• Impresión gráfica, fotocopiado, faxímil, plotters, impresión fotográfica. • Pantógrafos (replicación y amplificación de movimientos y acción: dibujo,

rayado, maquinado). • Adquisición de imágenes (scanners, cámaras, US, MRI, TAC, radiografías). • Recepción y Transmisión de información. • Dispositivos de guías de onda. • Generadores de campos electromagnéticos, o de otro tipo. La instrumentación

de RMN provoca que el sujeto emita radiofrecuencias, captadas por la antena especial el sistema de RMN.


INFORMACION

Datos no estructurados: muestras, mediciones (escalares, vectoriales). Datos estructurados: Muestras obtenidas o acomodadas en orden (temporal), una organización espacial (geometría), o inclusive una jerarquía determinada. Señales: información en secuencia (temporal). Imágenes: información en arreglo regular NxM (2D) o NxMxL (3D).

Existen muchas formas de organización de datos, por ejemplo las:

Superficies: información acomodada en mallas poligonales embebidas en 3D.

En general la información puede organizarse en el espacio de acuerdo a diversas reglas, o con el fin de modelar un objeto o fenómeno. A veces corresponden al diseño del sensor y es transformada geométricamente para facilitar su análisis y visualización.

Primitiva de representación + Atributo + Localización


Datos y Señales Conceptos para caracterizar los atributos más elementales de una señal o conjunto de muestras (ver diagramas). Moda = argmax f(x), valor de x que maximiza f(x) (ordenada donde se alcanza el máximo). En una distribución, la moda es el valor más frecuente. Si hay dos o más máximos, la señal o distribución es “bimodal” o “multimodal”. Media = promedio o valor esperado de un conjunto de observaciones. Ver tema aparte, más adelante. “Mean”, “average”. Mediana = valor de f(x) a la mitad de las muestras en una señal (N par). En una distribución con valores y(i) repetidos, i=1,,,N, se ordenan de menor (i’=1) a mayor (i’=N), y la mediana es y(N/2) si N es par, o ½(y((N-1)/2) + y((N+1)/2)) si N es impar. FWHM = Ancho “total o completo” a medio máximo. Sin embargo lo “total” en español parece referirse a todo el soporte del pico y la noción de máximo involucra un máximo absoluto (cuando es local la definición no es clara). Si usamos la traducción Ancho Neto a Media Altura, intuitivamente consideramos sólo la parte más importante de la señal bajo el criterio de medir el ancho a “la mitad”. A veces se usa el HWHM (Half Width…). Histograma – tema aparte, con material de “imágenes”.


Modulación Nota : signo de multiplicación de funciones explícito (×)

AM (amplitud modulada): Señales arbitrarias f(t), g(t) : h(t) = f(t) ×g(t) h(t) es f(t) modulada en amplitud por g(t) (o al revés). Si en particular f(t) = Σi Ai sin(ωit), g(t)= Bsin(ωgt), y ωg > max i { ωi}, entonces g(t) se llama “portadora” y es modulada por f(t). Nótese que pueden haber fases >0. Ejemplos (ver gráficos anexos):

el más elemental es h(t) = Asin(t), donde f(t)=A, g(t)=sin(t) t0.06 - 2e sin(t) × [ ]100,0 t t),cos(0.05 sin(t) ∈× , ω = 1 f(t) g(t) f(t) g(t) FM (frecuencia modulada):

Escribimos una señal que será modulada en frecuencia como f(ωt) con ω>0 la frecuencia (angular) que la caracteriza (o como f(2πƒt) = f(2πt/T), con ƒ la frecuencia temporal y T=1/ƒ el período). Si g(t) es la moduladora (cualquier otra señal), tenemos: h(t) = f(ωg t ). Donde la nueva frecuencia característica es ωg = ω × g(t).

Ejemplos (ver gráficos de la práctica 2 con Matlab): ) tesin( t0.01 - [ ] 1ω,100,0t t)),cos(0.05 sin(t =∈×

f( t ω×g(t) ) f( t ω×g(t) )

Nota : no confundirse con el orden tradicional “ωt ” Falacia: “la amplitud se mantiene constante”. Si se trata de la A en la expresión A sin(ω × g(t)), en efecto es la misma A, pero la amplitud de f(ωt) o de f(ω×g(t)) está siempre cambiando.


Fase modulada: Si la señal tiene la forma f(ωt + φ), una señal con fase modulada por g(t) es: h(t)= f(ωt + φ × g(t)). Ejemplos (ver gráficos anexos):

) sin(0.05t)2 20sin(t ×+ [ ] 20φ,1ω,100,0t ==∈ f( ωt + φ × g(t) ) modulación de parámetros: Si tenemos f(a,b,c,t) con a,b,c diversos parámetros, es posible modular la señal en cada uno o en varios: h(t) = f( a×ga(t), b×ga(t), c×ga(t), t) PM (pulsos modulados): Frecuencias características cercanas (número de ciclos en razones de 1/3 ó menores) producen “pulsaciones” (paquetes de ondas distanciados por 1/fmin), con fmin la frecuencia dominante más baja. Figuras en clase: Estadística de orden

Media (ver notas de Promedios) Mediana de muestras (sample median) Moda FWHM (ancho neto a media altura) PSF – MTF – Gaussiana Histéresis Histogramas


Fasores (phasors)

Forma polar de una variable compleja: Sea z = a + jb; de la igualdad de Euler: e jφ = cos(φ) + jsin(φ), y si M = || z || = (a2 + b2 )1/2, podemos escribir z = Mcos(φ) + jMsin(φ)), o sea z = M e jφ, donde φ = arctan( Im(z)/Re(z)) = arctan( b/a ).

NOTACIÓN: Suele escribirse z = M ∠ϕ indicando que z tiene magnitud M y fase ϕ. ¡No confundir Re(z) con M, ni ϕ con ω (frecuencia de una señal sinusoidal)! Impedancia (compleja) de circuito en serie RLC:

( )L CR j X X+ −=Z

( )

( )

2 2

arctan

L C

X XR

L Cφ

Z R X X

−=

= + −=

∠ Z

Magnitud Z (a veces “impedancia” en textos elementales). Reactancia de inductor: XL = ωL = 2π f L Reactancia de capacitor: XC =1/(ωC)=1/(2π f C), f >0 (frecuencia voltaje AC). Reactancia e Impedancia medidas en ohms.

Corriente, parte real: 221

v vZ

R ωLωC

i =⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Como fasores (variable compleja):

1eˆˆ

jω

R j ω Lω C

v=

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

= VIZ

Admitancia: Y = Z-1 Continuará…


Promedios (mean, average, expected value).

Dadas N observaciones {xi}i=1,...,N el promedio aritmético (o valor esperado) es:

1

1( )N

x ii

x E x x xN

µ=

= = = = ∑

con desviación estándar: 1

1

2( )N

ii

N

x xsσ =

−

−∑= = ó

(varianza) y coeficiente de variación: )))((( 22 xExEs −=

%100×=xsCV

Nota: si N >30, se usa como denominador N en vez de N-1. Promedio robusto (excluyendo outliers (datos intrusos)):

Si se detectan L outliers, formamos un conjunto robusto de N-L observaciones: {xi(k)}k=1,...,(N-L) donde i(k) son una selección de índices i excluyendo aquellos valores xi considerados como outliers, entonces definimos el promedio robusto como:

( )1

1 N L

i kRobustk

x xN L

−

=

=− ∑

Su desviación estándar excluye igualmente los outliers:

11

2( )( )

robust

N L

kN L

i krobustx xs

−

=− −

−∑=

Como la selección fue de outliers, se satisface: srobust < s.


Criterios de selección (exclusión o rechazo de outliers): • xi es outlier si nsxx i >− )( , con n>0 el grado de laxitud

(menor n implica mayor robustez; típicamente se toma n =2 (un 25% serán outliers en una distribución gaussiana).

• xi es outlier si está fuera del intervalo interquartil (definido entre 25percentiles y 75percentiles de la distribución).

• A segundo orden, se puede repetir el proceso (N grande, N>100) y seleccionar nuevos outliers respecto srobust y robust

x

• Estadística de orden: Se ordenan las muestras de menor a mayor y se toman como outliers n parejas de valores extremos; usualmente n=1, definiendo entonces la “media truncada” (cropped mean):

( ) ( )1

1 max min2

N

i icrop iikx x x

N =

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟− ⎝ ⎠

∑ ix

Hay otro promedio denominado “α-trimmed average”, en el cuál se descartan valores alejados un valor α del promedio convencional.

Nótese que la mediana (x(N+1)/2 si N es par, etc.) puede definirse descartando parejas de extremos como outliers. En este caso N-L = 2 ó 1 (sólo se promedian los 2 valores centrales si N es par).


Promedio ponderado

Sean N pesos: W={wi}i=1,...,N tales que: ∑=

=N

iiw

11

definimos el promedio ponderado (1/N incluída en

normalización de W): w1

N

i ii

x x w=

= =∑ x

Si 22 21

2i

iw e σ

σ π

−≡ , la ponderación es Gaussiana.

Si el conjunto de pesos W no se encuentra normalizado, definimos:

1

1

W

i i

i

N

iN

i

w x

w

x =

=

=∑

∑

Ejemplo 1: centro de masa en 3D (normaliza respecto a W={mi}):

∑

∑

=

== N

ii

N

iiiii

CMCMCMm

zyxmzyx

1

1][

][

Notar que se tienen muestras vectoriales { } 1( , , ) N

i i i ix y z

= .

otros ejemplos: probabilidades, evaluación, combinac. lineal,…


Ejemplo 2: Penalización de observaciones lejanas de la media con precisión diferente (incertidumbres individuales). Se toman como pesos los inversos de las varianzas de cada observación.

Si , definimos w2

{1,..., } 0i

i Ns

∈>∀ i = 1/si

2 y la media ponderada es:

2

1W

2

1

/

1 /

N

i ii

N

ii

x sx

s

=

=

=∑

∑

Equivalente contínuo:

( )

( )

x xdxx

x dxσ

σ

σ

∞

−∞∞

−∞

=∫

∫

donde σ(x) es una densidad de distribución (el dominio de integración puede se general una región finita fija). Ejemplo: si x es variable aleatoria y σ(x) es su densidad de distribución probabilística, con

0

( )x dxσ∞

∫ =1, entonces <x> es el

valor esperado o primer momento, e indica el valor más probable de x. Promedio móvil o local (en una señal que fluctúa):

A 1er orden (un vecino), substituímos el conjunto de muestras (señal)

{xi}i=1,...,N por { ix }i=2,...,N-1 donde: 1 11 1 14 2 4i i i ix x x x− ++ +

Notar que hemos agregado pesos de ponderación y que ¼ + ½ + ¼ =1.

En general (orden K vecinos) se toma un promedio ponderado local: K

i k KWk K

x w i kx+ −=−

= ∑ , con i = K,...,N-K


donde W={wk}k=1,...,2K es el núcleo (kernel) tales que: 2

11

K

kk

w=

=∑

filtro (si i es índice temporal, es casi una convolución en dominio temporal). La igualdad ocurre si el núcleo es simétrico.

Las muestras{xi} pueden ser parejas de puntos {(ui vi )}, o sea curvas 2D, valores de un campo escalar (imagen {uij} i=1,..,.N; j=1,...,M ), vectorial (imagen en color {(rij gij bij) }), formas, etc.

El efecto de substituir una señal (muestras{xi}) por muestras{ i Wx }, con W positivos (v.g. Kernel Gaussiano), es de suavizar la señal {xi} (blur). Si hay valores negativos (efecto de “inhibición lateral”), se puede afinar o acentuar detalles (sharp). Aplicación: Una señal puede descomponerse en 3 partes:

x(t) = xTrend(t) + xPeriod(t) + xRandom(t)

xTrend(t) es la tendencia o fondo representando un cambio sistemático, secular y predominantemente “lento” de x(t) ;

xPeriod(t) representa la componente de señal cíclica, un patrón que se repite de manera aproximadamente regular y suele contener la información de interés;

xRandom(t) representa fluctuaciones más bien aleatorias (usualmente ruido, textura o estructura fina).

El contenido en frecuencia es en general bajas, medias y altas, respectivamente, pero no necesariamente es siempre así y es más bien la distribución de energía (densidad espectral): baja en el espectro de xTrend(t), alta en xPeriod(t) y baja en xRandom(t). Otros parámetros: regularidad y auto-correlación.


El promedio móvil con K al período característico de xPeriod(t) es una estimación de xTrend(t), permitiendo separar de x(t) esta componente. La operación de filtrado x(t)- xTrend(t) se denomina “remoción de fondo” y equivale aproximadamente a un filtro pasa-altas. Promedio cuadrático, o RMS (Root Mean Square or Quadratic Mean)

1/ 22

1

2 21 N

ii

RMSx x x xN =

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

la varianza s2 (promedio cuadrático de errores) es un ejemplo. NOTA: En clase se vio además la noción de “potencia” de una señal, como una medida que se denominó “valor RMS”. Ejemplo 1. Ruido RMS se refiere al valor medio cuadrático y corresponde a la potencia del ruido presente en una señal. Ejemplo 2. En física de superficies, y análisis de películas delgadas, la rugosidad RMS es una medida de la rugosidad de una superficie; es de hecho la varianza (a veces local) del nivel de la superficie respecto al nivel medio (local). Promedio RMS de una función continua (Potencia): Si f(t) es una función que describe a una señal analógica, su Potencia RMS es el equivalente al promedio cuadrático RMS en el límite contínuo:

2

1

1/ 2

2 1

21 ( )T

TRMS T Tf f t

−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Otras medias:


Geométrica, Harmónica, Aritmética-Geométrica, Harmónica-Geométrica. Uso en respuestas logarítmicas, superposición no-lineal (recordar cómo se calcula la resistencia equivalente a N resistencias en paralelo), etc. Promedios regionales. Es común en dos o tres dimensiones obtener medidas locales. En general la ventana, núcleo o kernel W no es necesariamente isotrópico y su propia forma puede ser arbitraria. También es común que el promedio se tome sobre una región R del espacio (discreto) con forma arbitraria. En procesamiento de imágenes la región de interés puede ser el interior del contorno de la imagen de un objeto. Como R puede tener varias componentes conexas o consistir de un conjunto de puntos dispersos, conviene una notación universal para “datos no estructurados”:

3,iu

iu u∈

= ⊂∑RR

R

donde el índice i sólo sirve para identificar los puntos ui(x,y,z) que pueden corresponder, por ejemplo, a valores escalares de nivel de gris, o incluso a

vectores de color con componentes R,G,B) en una posición del espacio con coordenadas enteras x,y,z.

iu

*Promedio no-lineal, generalizado

Sean N pesos: W={wi}i=1,...,N , g(xi) función con inversa g-1; definimos el promedio ponderado, no-lineal, de pesos constantes (no necesariamente nbormalizados):

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

∑

∑

=

=−N

ii

N

iii

w

xgwgx

1

11wg

)(


Casos particulares, cuando wi=1, para toda i=1,...,N:

2

2 2

1

promedio (logarítmico/exponencial)

promedio aritméticopromedio RMS (ó )

/ promedio armónicoLog( ) promedio geométrico( )

promedio, promedio ("central")

i

i

i

i

iip

i

i ix

p

xx L

xxg x

x Lx x w 0e

⎧⎪⎪⎪⎪= ⎨⎪⎪ − >⎪⎪⎩

Hay promedios no-lineales aún más generales: con pesos wi(xi) dependientes de la posición, o de características locales (promedio adaptivo), y con g(xi, ...) dependiendo de varios (o todos los) valores de xi, i = 1,...,N; en particular las convoluciones discretas g(x)=h(x)*f(x), siempre que exista g -1(x)= F -

1(H(s)F(s)).

Otra manera de combinar las muestras para obtener valores “intermedios” es promediando aritméticamente productos ( xi x j )1/2

, o promediando geométricamente términos ((1-αi)xi + αi x j), con αi ≤ 1 ( (xi ± ai)( x j ± bi) )1/2 , donde aibi =1


Convolución entre dos señales (analógicas, contínuas) h(t), f(t):

*( ) ( )* ( ) ( ) ( )g t h t f t h t f dτ τ τ

+∞

−∞

= = −∫

donde f *(t) es el complejo conjugado de f (t). Si F(ω)= F(f (t)), G(ω)=

F(g(t)), y H(ω)= F(h (t)) son las transformadas de Fourier de las mismas señales, se cumple entonces que (Teorema de Convolución):

H(ω)= F(ω) G(ω) La convolución temporal equivale en dominio en frecuencia a una modulación en frecuencia. Si G(ω) es una función puerta Π(ω), se obtiene un filtrado. Teoremas semejantes existen con la transformada de Laplace. En sistemas lineales es común relacionar salidas g(t) con entradas f(t) mediante una convolución, donde h(t) caracteriza la respuesta a impulso del sistema. En imágenes, entendidas como señales bidimensionales, se tienen funciones en dominio espacial f(x,y) , g(x,y). Entonces h(x,y) es conocida como la PSF o Función de Dispersión Puntual del sistema, y la convolución bidimensional contínua es:

*( , ) ( , )* ( , ) ( ', ') ( ', ') ' 'g x y h x y f x y h x x y y f x y dx dy+∞ +∞

−∞ −∞

= = − −∫ ∫

Convolución entre dos señales discretas Consideremos, en una dimensión, 2K+1 muestras discretas de las

señales anteriores (dos vectores de muestras o secuencias), primero en una dimensión: { fk, gk, hk }, donde k= -(K-1), …, -1, 0,1,…,K-1.

* K K

n K n Kn nk k k k n kg h f h f h f

=− =−n− −= = =∑ ∑

Comparemos con el promedio móvil ponderado: K

i k K i kWk K

x w x+ −=−

= ∑2

1

1K

kk

w=

=∑,


En efecto, la convolución discreta es (salvo el signo) una forma de promedio ponderado. Si la secuencia {hk} es simétrica respecto al origen, se cumple la igualdad. La normalización también es deseable y de este modo la PSF unidimensional discreta {hk} es definida para que la suma de sus valores (área) en su dominio de definición sea 1.

En se define la Transformada Discreta de Fourier (DFT). En la práctica se utiliza un rearreglo algorítmico de las operaciones (sumas de productos) conocido como DFFT (Discrete Fast Fourier Transform). Convolución entre dos imágenes digitales, escalares:

, ,* K L L K

kl klk K l L l L k K

ij ij ij k i l j k i l jg h f h f f h=− =− =− =−

− − − −= = =∑ ∑ ∑ ∑

Separabilidad : Cuando alguna de las funciones puede expresarse como producto de dos funciones con variables separadas, por ejemplo hmn = um vn . En tal caso la convolución bidimensional equivale a 2K+1 convoluciones unidimensionales seguidas de 2L+1convoluciones unidimensionales sobre los resultados obtenidos. En total hay 2(K+L+1) productos y sumas en vez de (2K+1)×( 2L+1).

Ejemplo: Sea 2 22 2A k Bl A k Bl

kl f = e e e+ = , entonces

2 2

2 2

,

,

* K L

k K l L

K L K

ijkk K l L k K

A k B lij ij k i l j

A k B l A kk i l j

h f h e e

e h e e

= − = −

= − = − = −

− −

− −

=

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑ ∑ 2 C

primero se calculan 2L+1 coeficientes Cijk (columnas l, convoluciones parciales) y luego 2K+1 (renglones k). La transformada de Fourier, las convoluciones Gaussianas y de núcleo rectangular siempre son separables.


Coeficiente de correlación en N pares de observaciones {xi , yi}:

1

2 2

1 1

( )( )

( ) (( , )

N

i ii

N N

i ii i

x x y y

x x y yr x yρ =

= =

− −∑

− −∑ ∑= =

)

(no confundir con covarianza ni con coeficiente de variación CV). Ajuste de recta (regresión lineal): y = mx + b, donde m,b se obtienen de minimizar el error cuadrático medio Σ(δyi)2, donde δyi = yi – mxi + b, o sea, resolviendo (condición para mínimo):

( ) ( )2 2δ δ0 y 0i iy y

m b∂ ∂

= =∂ ∂

∑ ∑

(ver desarrollo por ejemplo en Apéndice 2, Baird: An introd. to Meas. Theory and Exp. Design). Obtenemos:

( )1 1 1

2 2

1 1

N N N

i i i ji i j

N N

i ii i

N x y x y

N x xm = = =

= =

−∑ ∑ ∑

−∑ ∑=

( )2

1 1 1 1

2 2

1 1

N N N N

j i i ij i i j

N N

i ii i

jy x x y x

N x xb = = = =

= =

−∑ ∑ ∑ ∑

−∑ ∑=

con la desviación estándar de y(x) dada por el promedio RMS de sus incertidumbres:

1

2

2

(δ )N

iy

i

N

ys =

−

∑=


y para m,b:

2 2

1 1( )

N Ni i

i i

Nm y N x x

s s= =

−∑ ∑=

,

2

1

2 2

1 1( )

Ni

iN N

i ii i

x

b y N x xs s =

= =

∑

−∑ ∑=

Covariance Matrix from CRC Math Encuclopedia, © 1996-9 Eric W. Weisstein 1999-05-25 Given sets of variates denoted {x1},…, {xn} the first-order covariance matrix is defined by:

where µi is the Mean. Higher order matrices are given by

An individual matrix element is called the Covariance of xi and xj.


Propagación de Incertidumbres en Mediciones Indirectas.

Dado un valor x (muestra, señal, etc.) con incertidumbre δx (usualmente su varianza sx

2 (desviación std al cuadrado)), y una medida indirecta calculada como y=f(x), la incertidumbre δy (ó sy

2 ) se evalúa de: ( )d f xy x

dxδ δ≡

Nota: se asume δx pequeño en comparación con x; en caso contrario se debe analizar δy = | f (x) – f (x ± δx )| .

Aproximación Optimista de δy para y = f (xa+ xb + xc ), con errores sistemáticos δxa , δxb , δxc :

2 2'( ) ( ) ( ) ( )a b cy f x y z x x xδ δ δ∆ ≡ + + + + 2

Caso general y = f (xa , xb , xc , ...) (error aleatorio, varianzas):

a ba b c

f f fy x x xx x x

δ δ δ δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

≡ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c +

Para errores sistemáticos - Sobreestimación (máxima incertidumbre posible):

max a b ca b c

f f fy x x xx x x

δ δ δ∂ ∂ ∂∆ ≡ + + +

∂ ∂ ∂

Subestimación (mínima incertidumbre posible):

2 2 22 2( ) ( ) ( )min a b c

a b c

f f fy x x xx x x

δ δ δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

∆ ≡ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

Consultar el D. C. Baird (Experimentation: An Introduction to Measurement Theory and Experiment Design, Prentice Hall), para ejemplos y ejercicios.


Ejemplos: nz x=

1 1

Incertidumbre relativa:

n ndz nznx z nx xdx x

z xnz x

δ δ

δ δ

− −= = =

=

2 2 2z R Lω= +

Truco: derivamos z2 :

22 2 , 2 2z zz R z LR L

ω∂ ∂= =

∂ ∂

2

2 2 2

z zz R LR L

z R R L Lz R L

δ δ δ

δ δ ω δω

∂ ∂= +

∂ ∂

+=

+


Ejemplo con funciones trigonométricas:

sinz x=

( )0

0 0

0 0

0 0

0

(1)

(2)

(3)

1. Usandoderivadas:

cos (cos )

2. Subsituyendo :

sin

sin cos cos sin

como sin y cos 1,

cos sin

ecuación

ecuación

ecuación

dz x z x xdx

x x x

z z x x

x x x x

z x x

z x x

δ δ

δ

δ δ

δ δ

δ

δ δ

= ⇒ =

→ ±

± = ±

= ±

= ≈

=

Notar que en la ecuación (1) tenemos: sin x xδ δ≈ Conclusiones:

1. Si incertidumbre 0xδ ≈ ⇒ usar ecuación (1) 2. Si incertidumbre 0xδ ⇒ usar ecuación (2) ó (3) 3. Medir en radianes la incertidumbre angular xδ


Características Estáticas

Describen desempeño de un instrumento para señales aproximadamente constantes (DC, o baja frecuencia –cambios lentos respecto tiempos de respuesta). Las propiedades estudiadas (intervalo de medición, intervalo dinámico, sensitividad, precisión, exactitud, resolución, reproducibilidad, repetitividad, estabilidad, confiabilidad, robustez, calibración, etc.) para un intervalo amplio de entradas exhiben la calidad de la medición, el método usado, y permiten estimar efectos no-lineales y estadísticos, así como condiciones externas. Hay sin embargo sensores que sólo responden a señales que cambian con el tiempo. Intervalo de medición: La escala, gama o intervalo de valores posibles

que puede proporcionar un instrumento de medición. Fuera de dicho intervalo se alcanza saturación de la lectura. Sobresaturación o subsaturación: cuando la entrada excede la máxima lectura o no alcanza el valor “cero”, respectivamente.

Intervalo dinámico (de una señal): diferencia xmax - xmin , en el caso de la

entrada; en el caso de la salida es ymax - ymin. En toda medición se procura maximizar el intervalo dinámico de la medición (por lo que debe conocerse o controlarse el intervalo dinámico de la entrada). Esto implica conocer:

Offset: Valor mínimo ymin , “cero”, o de base (baseline). En un monitor

(TV) el brillo es el “offset” y el intervalo dinámico es el contraste, aunque suele usarse también la pendiente en sí misma para designar “contraste”, o sea la:

Ganancia: factor de amplificación (puede ser menor a 1) de la señal de

entrada. Suele ser sinónimo de sensitividad (ver adelante). Intervalo de operación: En general se refiere no sólo a la gama de valores

de entrada “válidos”, antes de ocasionar una lectura falsa, o un falla en el instrumento de medición, sino también a los intervalos de


condiciones físicas toleradas, tales como temperaturas (de operación), presión atmosférica, humedad, vibraciones, ruido, u otras condiciones que afecten el funcionamiento (sensor, u otra etapa) aunque la entrada se encuentre en el intervalo de medición.

Intervalo lineal: Aquel en que la respuesta y la salida se relacionan

mediante una relación lineal (usualmente: salida = offset + ganancia×entrada). Puede haber varios intervalos lineales separados (“piecewise linearity”). En general la relación youtput = F( xinput ) se conoce como Función de transferencia. Este término también se aplica a cambios de escala en la propia salida; o sea, por ejemplo: ydisplay = F(youtput ), con el objetivo de ajustar el intervalo de medición, por ejemplo el brillo y contraste en una imagen se aumentan cuando la imagen producida por el instrumento tiene offset muy bajo (muy obscura) y bajo contraste.

Sensitividad (estática): ∆youtput /∆xinput (=ganancia, pero puede seguir

otra relación). Es “alta” si cambios pequeños en una entrada xinput producen respuestas grandes (salida youtput), proporcionales y la precisión es proporcional (es decir, amplificada proporcionalmente a la entrada). Hay definiciones más detalladas donde se examinan dependencias de la entrada respecto a otras variables; es decir en términos de ∂youtput /∂θ (con θ un parámetro), ∂youtput /∂t (semejante a la sensitividad dinámica ).

Sensibilidad: No es característica estática, pero mencionamos el uso del

término en inglés “sensibility” por su similitud con “sensitivity”, en español no se reconoce diferencia notable. Un parámetro, medición, método o estrategia es “sensible” en un contexto o problema, cuando tiene mayor relevancia que otros; está “sintonizado” al problema en cuestión, permite mayor discriminación, etc. En la literatura (artículos arbitrados) se califica de sensible a un enfoque (approach) o cierta decisión. Usualmente en español se usa más bien como sinónimo de “sensitividad”.


Precisión: Número de cifras significativas (longitud de la representación matemática de la medición). Ejemplos: 4.12, 4.12801 (más preciso), 92, 92.0, 92.0000. Al dar un valor x ± δx, con δx la incertidumbre, las “cifras significativas” son aquellas cuyo lugar decimal (d×10 –n) > δx, si no, no son “significativas”, ejemplo: 3.141592 ± 0.005 sólo tiene 3 cifras significativas y es mejor dar el valor como: 3.14 ± 0.005.

Notar que hay precisión del instrumento (relacionada con la escala y resolución) y precisión de la medición (que es un procedimiento y por tanto puede involucrar “trucos” para aumentar el número de cifras significativas, tal como un promedio de N mediciones. También una medición mal efectuada (o con mucho ruido) puede tener menor precisión que la del instrumento usado. Usualmente la precisión sólo tiene sentido si la mínima división de escala es mayor a ½ de la máxima amplitud RMS del ruido; una división más pequeña no aporta más cifras significativas, debido a la incertidumbre introducida por el ruido.

Exactitud: Ver diagramas que ilustran diferencia entre precisión y

exactitud. Definición: (Vtrue - Vmeasured)/ Vtrue x 100%, independientemente de la precisión. Nota: Vtrue > 0 (dado por normas acordadas u otros métodos ya probados). Un reloj atómico super-preciso que no está a la hora, no es exacto.

Repetibilidad: o reproducibilidad: posibilidad de obtener mismo valor

(mínima desviación estandar), N veces, con misma precisión. Condiciones reproducibles son aquellas que llevan a obtener un mismo valor. Se usa a veces repetitividad para indicar una reproducibilidad en el tiempo.

Estabilidad: Estrictamente no es sinónimo de robustez; la posible

variación de una medida frente a ruido sigue una función cóncava importante: tras una perturbación regresa a un estado (usualmente estacionario). En términos de sistemas dinámicos, la respuesta se mantiene acotada para perturbaciones grandes.


Robustez: cuando el ruido o perturbaciones externas no afectan las medidas (efectos debajo de la precisión de la medida). “Muy estable”, en dos extremos, una medida o comportamiento es estable si, respondiendo a una perturbación, regresa a la posición (valor) de equilibrio. En la respuesta el sistema es “perturbable”. En el otro extremo (robustez absoluta), el valor o estado NO responde a la perturbación (es insensible). Cuando variaciones en parámetros importantes no afectan medidas gracias al diseño. Hay definiciones más precisas (detalladas, y matemáticas). Un promedio es robusto, cuando a sido calculado excluyendo los valores que “perturban” al promedio poblacional. En muchos casos puede considerarse que una respuesta es robusta respecto a fluctuaciones en un parámetro (a entrada constante), si se tiene ∂youtput /∂θ = 0, o muy pequeña (insensible).

Confiabilidad: alto grado de repetibilidad, alta precisión y robustez. Tras

una calibración correcta la exactitud queda determinada (valor conocido y repetible).

Resolución (señales): Medida de la habilidad de un dispositivo,

instrumento o método para separar dos “picos” (extrema locales) muy cercanos en una señal (imágenes puntuales de estrellas en un telescopio, líneas espectrales en un espectro, etc.).

(Poder de) resolución cromática (instrumentos especroscópicos):

λδλ , δλ diferencia de dos longitudes λ1≠ λ2 de onda a resolver,

λ promedio de ambas longitud de onda.

Notar que 1 2

1 2

12

λ λλδλ λ λ

+=

−

(Poder de) resolución angular (telescopios, instrumentos de óptica ondulatoria)

Criterio de Rayleigh: dλ22.1 , d: diámetro de lente (cm),

λ longitud de onda de la luz observada (≈ 560 nm).


En microscopios, la resolución es la mínima distancia d(a,b) que puede discernirse entre dos puntos a,b. NOTA: con la definición anterior hay una paradoja: la resolución, mientras más pequeña, mejor. En la práctica se usa el recíproco (mayor resolución implica poder resolver detalles más pequeños); por ejemplo 1/d(a,b), que se parece a la resolución cromática. Resolución (señales o imágenes discretas, volúmenes, etc.): tamaño del bin

(muestra en una señal), píxel, voxel o elemento discreto (1/3 mm). En la práctica se dan las dimensiones de la imagen: el número de pixeles de cada renglón y de cada columna (tamaño de pantalla CRT es más o menos fijo). Ejemplo: 480x640 es la resolución media del estándar VGA. Se incluye la precisión en bits del dato representado en el píxel (en color hay 3 canales, la resolución contiene además la especificación: 3×8 bits). “Alta resolución” en tomografía y visualización científica: 1024x1024 x12bits x 4 canales RGBα.

Resolución de escala: mínima división en una escala de medida. La PSF de un sistema (ya definida) es una característica que no es presentada como “estática”, aunque cumple con corresponder a una propiedad del sistema o instrumento ante una señal constante. Hay también características que no son exactamente estáticas, pues involucran cambios temporales aunque suelen introducirse antes de las características dinámicas. Una de estas es: Histéresis: fenómeno en que dos cantidades se relacionan de una forma que depende

de ya sea que una aumente o decrezca en relación a la otra (no necesariamente constante). La gráfica de la variable dependiente y contra la independiente x que crece y luego decrecer da lugar a un ciclo de histéresis.

Ejemplo 1: dado un material ferromagnético, graficamos la densidad de flujo magnético (B) contra la intensidad de campo magnético H. Si inicialmente la magnetización es 0, al aumentar H, la densidad alcanzará saturación (P). Al reducir H, comenzará a formarse el ciclo PQRSTP con área cada vez mayor al volver a aumentar y disminuir H. Esta área es proporcional a la pérdida de


energía que ocurre durante el ciclo. El valor Q se llama remanencia o retentividad, siendo la densidad de flujo magnético que queda en el material después que el campo tras saturación se reduce a 0. El valor R es la fuerza coerciva igual a la intensidad de campo H requerida para reducir a 0 el remanente de densidad de flujo.

Ejemplo 2: un termostato es un control “on-off” con histéresis consistente de dos umbrales de temperatura (que definen dos extremos del ciclo de histeresis: umbral T1 de descenso de temperatura (se enciende un calefactor) y umbral T2 de ascenso (se apaga el calefactor), con T2 > T1. El ciclo (fijo) entre ambos umbrales evita oscilaciones del control on-off.


Hysteresis: Let y=f(x) denote the response of a sensor to input x, or in general, any relationship between variables x and y. Let f(x) depend on x progresión (ascending ↑or descending ↓), in range [x1,x2], as follows:

⎪⎩

⎪⎨⎧

↓

↑=

−

+

x (x)f x (x) f

)x(fifif

We say there exists (positive) hysteresis (in the sensor or between x and y, in [x1,x2],) if:

(x)f(x)f −+ >

and negative if . The closed loop when x starts at x(x)f(x)f −+ < 1,

increments monotonically up to x2 (“saturation point”) and returns decrementing monotonically to x1, is called “Hysteresis cycle”. The “hysteresis loss” (the loop area) is the quantity:

∫∫ −+ −1

2

2

1

x

x

x

x

dx(x)fdx(x)f


Características Dinámicas. Para describir la calidad de una medición bajo entradas variables (AC, frecuencias del orden del tiempo de respuesta), se requieren ecuaciones diferenciales o integrales. Simplificación: se ignora la variación estadística, no-linearidades y dependencia de características estáticas (instrumento ideal vs. real). ODE (Ordinary Differential Equations) orden n, coeficientes constantes:

1 0 1 0( ) ( )n m

n mn m

d y d y d x d xa a a y t b b b x td t d t d t d t

+ + + = + + +

Notación: D representa el operador derivada: ( )( ) '( )d f tD f t f t

d t≡ =

mientras que para la integral, escribimos D -1 = 1/ D :

10

0

( )( ) ( )tf tD f t f d F

Dτ τ− ≡ = +∫

donde F0 es el una constante (valor inicial, o integral de –∞ a 0). Las características estáticas de un sistema de orden n se pueden conocer a partir de la condición D k= 0, para k=1,...,n, y entradas x(t) constantes o de baja frecuencia (en relación a la constante de tiempo por definir adelante). Función de Transferencia Operacional (orden n)

1 0 1 0( ) ( )n m

n mn md y d y d x d xa a a y t b b b

d t d td t d t+ + + = + + + x t

1 0

1 0

( )( )

mm

nn

b D b D by Dx D a D a D a

+ + +=

+ + +

Función de Transferencia en Frecuencia (Fourier, Laplace):


1 0

1 0

( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )

mm

nn

b j b j bY jG jX j a j a j a

ω ωωωω ω ω

+ + += =

+ + + Notas: y(t) = g(t) * x(t) (convolución), Y(jω) es la respuesta en frecuencia. Ejemplo típico: x(t)= A sin(ωt); en general (edo. estacionario), la salida es y(t)= B(ω ) sin(ωt + φ(ω)). Instrumento (o Sistema) de Orden Cero:

)()( 00 txbtya =

0

0

( )( )

by D Kx D a

= = sensitividad (estática)

• Salida proporcional a entrada para todas las frecuencias. • No hay distorsión de amplitud o fase (nota: φ = arctan(0) = 0). • Notar que en este caso (Orden Cero), la sensitividad puede ser

llamada “dinámica”, puesto no hay razón para que x(t) ó y(t) sean constantes. El término estático (característica estática) se refiere a la relación instantánea (valores fijos de x(t) y y(t) en situaciones diferentes, v.g. termómetro midiendo a sujetos con diferentes temperaturas).

Instrumento (o Sistema) de Primer Orden:

(un solo elemento que almacena energía):

1 0 0( ) ( )d ya a y t b xd t

+ = t

Re-escribimos: 01

0 0

1 ( ) (ba

)D y t xa a

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠t


0

0

b Ka

= sensitividad estática

1

0

aa

τ= constante de tiempo

o sea: ( )1 ( ) ( )D y t K x tτ + =

Función de Transferencia Operacional (orden 1):

( )( ) 1

y D Kx D Dτ

=+

Función de transferencia en frecuencia (o sinusoidal):

2 2

( ) arctan( /1)( ) 1 1

Y j K KX j j

ω φ ωτω ωτ ω τ

= = = −+ +

∠

• Distorsión de amplitud y fase en función de frecuencia ω • Ejemplo: circuito RC, salida como voltaje a través de C; si x(t)=A

sin(ω t), amplitud de salida y(t) se atenúa al aumentar ω : el circuito es un filtro pasa-bajas.

• Respuesta a escalón ( x(t)=0 si t <0, x(t)=0, si t ≥ 0 ): /( ) ( 1 )ty t K e τ−= −

τ más pequeña ⇒ salida aproxima a entrada más rápido. Notar que como es la función escalón, x(t) = 0 para t≤0, y x(t) = 1 para t>0, por lo que se resuelve la ecuación diferencial y(0)=0 y ; al

reacomodar términos: ( )( )

dy t K ty t

τ = −

• Si ω c = 1/τ, la magnitud es 1 2 = 0.707 veces menor, y la fase es φ = arctan(0.707) = 45o. Esta ω c es la frecuencia (angular) de corte (cutoff, corner, break frequency).


• La magnitud de la salida en t=τ es: y(τ) = K( 1- e-1) = 0.6321 K

• ω en rads/seg, o grados/seg; en hertz (Hz), ƒ c = ω c /2π • Circuito RC intercambiando R y C (en tarea):

1 0 1( ) ( )( )d y t d x ta a y t b

d t d t+ =

Nota: magnitud de respuesta en frecuencia se grafica en escala logarítmica base 10 (decibeles):

dB = 20 log10 |Y( jω ) / X( jω ) | Instrumento (o Sistema) de Segundo Orden:

2

2 1 02

( ) ( ) ( ) ( )d y t d y ta a a y t bd t d t

+ + = 0 x t

Rescribiendo como: 2

2

2 1 ( ) (n n

D D )y t K x tζω ω

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

0

0

bKa


0

2n

aa

ω = frecuencia natural (no amortiguada)

rads/seg.

1

0 22aa a

ζ = tasa de amortiguamiento (sin dimensiones)

Nota: Otras formas de la ecuación diferencial a 2º orden, con b1 ó b2 ≠ 0, o sea con términos b1 Dx(t), b2 D

2 x(t), tienen funciones de

transferencia y soluciones distintas.


Función de Transferencia Operacional (orden 2):

2

2

( )2( ) 1

n n

y D KD Dx D ζω ω

=+ +

Función de transferencia en frecuencia:

2

( )( ) ( / ) 2 / 1n n

Y j KX j j j

ωω ω ω ζ ω ω

=+ +

2 2 2 2 2

2arctan/ /[1 ( / ) ] 4 / n nn n

K

n

ζφω ω ω ω

= =− ω ω ζ ω ω− +

Ejemplo (figura): dinamómetro vertical, fricción viscosa, masa del resorte (constante incluída en M total (siempre que frecuencia natural sea mayor que componentes de frecuencia de entrada x(t)), gravedad compensada con y(0) en x(0). De la 2ª Ley de Newton (ΣFi = ma):

2

2( ) ( )( ) ( )s

d y t d y tF t B K y t Md t d t

− − =

donde la entrada x(t) es la fuerza aplicada F(t) y Ks la constante de Hook del resorte. Identificamos:

1

s

KK


n sK Mω = frecuencia natural (no amortiguada)

2 s

BK M

ζ = tasa de amortiguamiento


Respuesta estática: x(t) = 1/Ks y(t). Respuesta a escalón (tres formas en función de ζ ):

Sobreamortiguado ζ > 1:

2 2

0 0

2 2

2 21 11 1

2 1 2 1

( ) ( )( ) t ty t Ke Ke Kζ ζ ω ζ ζ ωζ ζ ζ ζ

ζ ζ

− + − − − −+ − − −

− −= − + +

Críticamente amortiguado ζ = 1:

0( ) (1 ) tny t t Ke ωω −= − + + K

Subamortiguado ζ < 1: 0

2

21

1( ) sin ( )

ζ t

n tey t K φ K

ω

ζ ωζ

−

−−

= − + +

donde 21 )arcsin (φ ζ−=

Frecuencia natural amortiguada: 21d n ζω ω −=

Compromiso entre subida rápida y sobretiro mínimo: ζ ≅ 0.7 Para obtener valores extremos (max > 0) resolvemos D y(t) = 0, y obtenemos tn para argumentos de sin( ) = 3π/2, 7π/2, etc.

2 211 1

3π 2 7π 2y n n

n nt t

ω ζ ω ζ

ϕ ϕ+

− −

− −= − = −

cociente entre 1er y 2do sobretiros positivos yn y yn+1 :

21 1

2πexpn

n

yy

ζ

ζ+ −

⎛ ⎞= ⎜

⎝ ⎠⎟ definimos: 2

1 1

2πln n

n

yy

ζ

ζ+ −

⎛ ⎞⎛ ⎞Λ ≡ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Λ es el decremento logarítmico. Resolviendo para ζ :

2 24πζ

−

Λ=

Λ

• Para respuestas sinusoidales y(t) en estado estacionario, la función de transferencia en frecuencia Y( jω ) / X( jω ) indica efecto de pasa-bajas.

• Si ζ << 1, puede haber resonancia.

• Tasa de decaimiento en amplitud de respuesta en frecuencia es el doble que para instrumentos de primer orden.

• Retraso (lag) en la fase de salida alcanza hasta π rads. (180°), mientras que en instrumentos de primer orden el máximo desfasamiento es de π/2 rads. (90°).

• En consecuencia, si y(t) se usa en retroalimentación “negativa” (efecto robustez + estabilidad) puede volverse retroalimentación positiva (resonancia e inestabilidad); ejemplo: A sin(ω t+ nπ ) = -A sin(ω t).

Elementos de retardo (time delay) – orden cero:

y(t) = K x( t - τd ), t >τd

• No confundir τd con “constante de tiempo” en expresiones e- t /τ

• La fase (negativa) en instrumentos de orden 1 y 2 implica “retardos”, pero la fase depende de la frecuencia.

• Función de transferencia en frecuencia (entrada sinusoidal): ( )( )

djd

Y j KX j

K e ωτω ωτω

−= = −∠


• En líneas de transmisión (eléctricas, mecánicas, hidráulicas, neumáticas, etc.) y esquemas de procesamiento digital de señales.

• A evitar, sobretodo en retroalimentación para control. • Retardos aceptables en elementos estrictamente para medición.

NOTA: Ver en figura aparte el concepto de Retroalimentación


2. Formulación de Ecuaciones que Describen Sistemas y Dispositivos (Instrumentos Orden 0-2).

2.1 Análisis de Circuitos Eléctricos - Leyes de Kirchhoff

1. La suma algebraica de las diferencias de potencial en un circuito cerrado es 0 (En un circuito cerrado: suma de subidas de voltaje = caídas de voltaje).

2. La suma algebraica de las corrientes en un nodo o unión es 0. (Suma de corrientes que entran a un nodo = suma de corrientes que salen).

(Nota: en ocasiones “circuito” se denomina “malla” y los nodos “nudos”)

Caídas de voltaje (disipación, transformación, absorción, almacenamiento):

Resistencia R (ohms) vR = Ri

Capacitor C (farads) 00

1 t

Cq iv i dt CC C CD

= = + =∫

Inductor L (henrys) iLDtdid

Lv L ==

Subidas de voltaje (fuentes electromotrices, electroquímicas, etc.) emf: “e”


étM odo de Análisis por Mallas Aplicando 1ª Ley de Kirchhoff para un circuito RL (ver figura):

R Lv v e+ = d iRi L Ri L D i ed t

+ = +

=

Como i , la corriente a través del inductor es: Lv L D=1

Li vL D

=

o sea 1/L ∫0 vL dt + i0. Substituyendo en ecuación de 1ª. Ley de Kirchhoff:

L LR v v e

L D+ = (ec.

2.7) ¿Cuál es la sensitividad estática, la cte. de tiempo y la respuesta a escalón?

Método de Análisis por Nodos

Aplicando 2ª Ley de Kirchhoff para un circuito RL (ver figura): Se ia para los voltajes: vac es la caída de emf

e

toma un nodo como referencentre nodo a y nodo c. El voltaje fuente va = e es conocido, por lo qusólo hay una incógnita vb. Como la suma algebraica de las corrientes enb es cero:

1 0b av v vbR L D−

+ =

o sea: 1 1 1 0b av vR L D R

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠


Misma ecuación que la (ec. 2.7), salvo por notación (va = e, etc.).

Circuito RLC (figura) Verif

e o sea:

icar que se obtiene, de 1ª. Ley:

R Lv v v+ + = eCD

RiDiL =++1

C

Circuitos Multi-malla (o Multi-nodo, ver figura CircuitosMarzo.ppt):

Un lazo (loop) de corriente es seguido en cada circuito cerrado, zos sumando caídas de voltaje (e igualando a subidas). Habiendo tres la

tenemos:

1 1 1 2 31 1R i R i i e

C D C D⎛ ⎞

+ −⎝ ⎠

− =⎜ ⎟

( )1 1 1 2 2 2 3 0R i R R L D i R i− + + + − =

1 2 2 2 3 31 1 0i R i R R i

C D C D⎛ ⎞

− − + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ =

y el voltaje de salida (4a. ecuación) es: v0 = R3i3

Usando el análisis por nodos, con d como referencia (vbd lo

Nodo b: i1 + i2 + i3 = 0

o

escribiremos como vb, etc.):

Nodo c: - i3 + i4 + i5 = 0 En términ s de voltajes nodales:

0

1R R2

0v v v− −b a bb

vC Dv+ + =

( )0 0

2 3

1 0bb

v v v v eR R L D−

+ + − =

Reagrupando como Σ αi vi = Σ βi ei (caídas vi = subidas emf ei ):


01 2 12R R R R

1 1 1 1bC D v v e

⎛ ⎞+ +

⎝ ⎠− =⎜ ⎟

02 2 3

1 1 1 1 1bv v e

R R R L D L D⎛ ⎞

− + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

sólo dos ecuaciones nodales fueron necesarias. En el método por lazos, si se requiere de la corriente a través de R3 es necesaria la 4a ecuación.

Regl

voltajes nodales

3. incluye: ncias conectadas al nodo.

os nodos. Término negativo.

Descripción mediante ecuaciones y variables de estado:

, um(t). Variables (n) de estado (no necesariamente cantidades físicas

• • o x(t), espacio de estado (plano fase), trayectoria de

• x (t): representación física, de fase,

de aquellos elementos del sistema que almacenan energía (ver tabla ***).

as para escribir ecuaciones nodales:

1. Número de ecuaciones requeridas = númerodesconocidos.

2. Escribir una ecuación para cada nodo. Cada ecuación

a. Voltaje nodal × Suma de admitaTérmino positivo.

b. Voltaje nodal en terminal opuesta de cada rama × admitanciaconectada entre amb

• Entradas al sistema (m variables “de control”): u1(t), u2(t), …•

observables o medibles, pueden ser puramente matemáticas): x1(t), x2(t), …, xn(t). Valores iniciales xi(t0) y entradas ui(t) determinan sistema para t> t0

Vector de estadestado (trayectoria fase)…

• Derivadas temporales escritas como )(.

tx , Selección de variables de estado icanónica.

• Para el método de representación por variables físicas, éstas se seleccionan


• Pueden ser necesarias otras, aparte de aquellas asociadas a los elementos de almacenamiento de energía (ejemplo: posición, en un sistema mecánico).

Circ or); sólo hay una variable de estado (de la tabla): x ≡ x1= i ; la entrada es u=e.

• Seleccionar sólo variables físicas independientes.

uito RL Sólo hay un elemento que almacena energía (induct

1Rx x uL L

= − +

es la ecuación de estado del sistema.


Impedancia de un circuito eléctrico (continuación):

Oposición combinada de elementos del circuito al paso de corriente. Para voltajes (circuitos) DC: Z ≡ R. pérdida y disipación de energía (o potencia = dE/dt), en forma de calor y ruido térmico (fluctuación de voltaje). En AC: reactancia X, Z^2=R^2+X^2, compleja: Z = R + jX

almacenamiento de energía (C), transformación de campo eléctrico E en campo magnético B y almacenamiento de energía en magnetización. Transformación en energía cinética (efecto cinético por inducción, motores y generadores de dínamo). X/R indica diferencia en fase entre voltaje y corriente. Impedancia generalizada:

Oposición de elementos en un sistema a un flujo (transporte de masa, carga u otro cambio cuantitativo en el sistema, debido a un gradiente, diferencia de “potencial” generalizado).

flujodevariableesfuerzodevariable

=Z = E /F

Impedancia de entrada Zin: permite evaluar el grado en que un instrumento perturba la cantidad que se quiere medir. Cuando el mesurando una variable de esfuerzo E, a mayor Zin, menor perturbación. Si el mesurando es una variable flujo F, se tiene la relación inversa y se usa entonces la admitancia Z –1

. La perturbación suele consistir en una pérdida de potencia (dE/dt), y la señal asociada a E (mesurando) puede disminuir en magnitud (caída de voltaje, por ejemplo); en el caso general, hay transformaciones de energía. En sistemas sensibles a diferencias de frecuencia en la señal asociada a E, tales cambios dependen de la frecuencia.


Impedancia de salida Zout o de la fuente: el grado de un mesurando es perturbable (depende del sistema). A más pequeña impedancia Zout, menor será la carga del aparato de medida sobre el mesurando. Las impedancias fuente biológicas suelen ser desconocidas, variables, difíciles de medir y de controlar. El diseño de un instrumento se enfoca en maximizar Zin. Potencia: para toda E que se desea medir, existe implícita una cantidad F tal que el producto EF tiene dimensiones de potencia P. En biomedicina es la tasa instantánea de transferencia de energía en la interfaz tejido-sensor.

P = E F = E 2/ Zin = ZinF Compromisos: para minimizar P, al medir variables de esfuerzo E, debemos aumentar Zin, minimizando por tanto la variable de flujo F , pero poder medir, F no puede ser = 0. Conversamente, al medir variables de flujo F, debemos minimizar Zin, Acoplamiento de impedancias. (ejemplo calefactor = resistencia de carga) Objetivo: Maximizar transferencia de energía, minimizar pérdidas por

absorción, disipación o reflexión. (Efectos posibles de reflexión: resonancias). Impedancia Zload de carga = impedancia Zsrc interna de la fuente.

Ejemplos:

• Impedancia de salida de un micrófono (fuente de señal AC) = Impedancia de entrada de un amplificador. Solución usual: transformadores.

• Sistemas ópticos: interfaz brusca entre dos medios implica cambio de índice de difracción por tanto luz es reflejada parcialmente y transmitida en parte. Solución: transiciones mediante multi-capas que minimizan reflexión.

• Sistemas acústicos: cambios bruscos de diámetro (o de medio acústico: agua/metal, etc.) ocasionan reflexión de ondas sonoras. Un cambio gradual permite un acoplamiento de impedancias acústicas: ejemplo: oído medio.


• Sistemas mecánicos: energía reflejada ida y vuelta ocasiona efectos de resonancia vibracional. Solución: absorción o amortiguamiento de energía reflejada o diseño que la minimiza.

• En general, discontinuidades en alguna propiedad física de un medio. Formas de impedancia: Admitancia = 1/Z Impedancia acústica Reactancia capacitiva e inductiva Conductancia 1/R Reluctancia Reactancia térmica: Capacitancia térmica Impedancia óptica Transmitancia (de luz, en función de frecuencia) Compliancia, flexibilidad (compílance) inverso de rigidez (stiffness) Elastancia


Tabla de elementos que almacenan o disipan energía

Elemento Energía almacenada Variable Física

Capacitor C 2

2Cv Voltaje v

Inductor L 2

2iL Corriente i

Masa (inercial) m 2

2mv Velocidad de traslación v

Masa (gravitacional) m mgh Altura relativa h

Momento de Inercia J 2

2ωJ

Velocidad de rotación (angular) ω

Resorte K 2

2Kx Desplazamiento x

Compresibilidad V / KB de un fluido B

L

KPV

2

2

Presión PL

Capacitor fluídico Cf = ρA 2

2hAσ Altura columna h

Capacitor térmico CT2

2TCT Temperatura T

Sistemas: eléctricos, mecánicos, hidráulicos, térmicos, acústicos, vibracionales, deformables, ópticos, interacción molecular, redes estructuradas, campos aleatorios (cristales de spin), sistemas de difusión, sistemas acoplados, de plasmas (electromagnetotermohidrodinámicos), mixtos (electromecánicos, optoelectrónicos), etc.


Variables de esfuerzo (ver E asociada)

Variables de flujo derivada t de una cantidad física:

q, x,m*,θ, etc.

Elementos que constituyen impedancias

Voltaje (fem) v Corriente i R,C,L(reacts.) Fuerza F Velocidad v m,K,µ (amort.) Presión P Flujo ϕ M, τ ,Cf

Torca τ Velocidad angular ω J, Kθ , µθ

Temperatura T Cantidad de calor Q CT

Fuerza Campo Magnético B Flujo magnético Φ L,reluctancia ℜ fem, T, intensidad E Flujo luminoso L η, tx , opacidad

* masa MUY en general: centro de masa, número de partículas, ondas, luz, o masa de fluido (masa ρv) que pasa por unidad de área a velocidad v; cantidad de información (bits), número de configuraciones equiprobables, cantidad de estados, número de Euler, cantidad de transciciones topológicas, etc.

Nota: ver relaciones respectivas a índice de refracción, de reflexión/transmisión, absorción/emisión, polaridad, etc.

Puede haber diversos elementos que producen Z y almacenan, consumen o disipan energía (no necesariamente los mismos). Formas de disipación y almacenamiento de energía debido a diversas impedancias (oposición a un flujo):

• Vibraciones mecánicas – vibraciones acústicas y ultrasónicas. • Calor (disipación térmica) • Emisión de luz, emisión electromagnética (campo EM), radiofrecuencia


• Ruido electromagnético – potenciales estáticos y reflexiones en línea. • Materia eyectada (agua en un torrente, desgaste de piezas). • Turbulencia en un flujo; que a su vez termina disipando calor, ondas

EM, mecánicas, acústicas, etc. • Cambios físicoquímicos y bioquímicos (bateria o celda que almacena

energía, degradación de compuestos). • Producción de campos EM (en bobinas) o concentración de cargas

elétricas (capacitores). • Energía potencial, cinética y angular: objetos en movimiento, en

oscilación (varios modos), en rotación, en posición de alta energía respecto a un potencial (gravitacional, electrostàtico, etc.).

• Efectos de interfaces: reflexión, refracción, dispersión, birrefringencia, difracción (fenómeno ondulatorio).

• Emisión de electrones por efecto fotoeléctrico, radiación ionizante, etc. • Cambios en magnetización, fenómenos de histéresis, “pérdida de

memoria”, configuraciones de spin, cristalización. • Entropía: pérdida de orden, cambios en configruaciones, tarnsiciones a

estados de menor energía, transformación o pérdida de información. Es de notar que cuando hay vibraciones, oscilaciones o cualquier otro estímulo con cierta gama de frecuencias, puede haber resonancias o reverberaciones, etc., cuando coinciden con alguna de las frecuencias naturales del sistema (modos de vibración). Si la señal es retroalimentada (negativamente), tendrá la misma fase que la entrada y el fenómeno de resonancia puede presentarse sin que exista más limitación que la saturación o los límites de resistencia física del sistema.


2.3 Solución de Ecuaciones que describen Circuitos Eléctricos

Método de la Transformada de Laplace F(s) =L(f(t)) para resolver ODE lineales, de coeficientes constantes

Dominio t Dominio s

Problema planteado: 2

2( ) ( )

(0) 1'(0) 1

d dy t y t td t d t

yy

− =

==

Solución al problema

( ) e sinh( )ty t t t= + −

Solución de ecuación subsidiaria

2 2

1 11 1

Ys s

= + −− −

1s

L Ecuación subsidiaria:

22( 1) (0) '(0)/s Y y s y+ = + s

L -1

Temas en archivos aparte:

• Retroalimentación, histéresis, características de señales, ruido. • Modelos de sistemas mediante Lagrangianos. • Electrónica, amplificadores operacionales – texto recomendado: el de Blackburn. • Instrumentos básicos – texto recomendado: Basic Electronic Instruments

Handbook. • Sensores: texto recomendado: Webster y otros. • Sensores e ingeniería biomédica – texto recomendado: Biomedical Engineering

Handbook de Mc Graw-Hill y el Togawa (Medical Transducers…) • Instrumentación en Física Médica –texto recomendado: Brown • Microscopia y teoría de Abbe – ver folder el pdf de Olympus • Seguridad eléctrica, óptica, mecánica, etc. – ver folder respectivo • Temas facultativos – ver folders respectivos.


curso de instrumentación y señales (biomédicas) · ... equipo de anestesia. una computadora es...

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