curs fizica - faima, sem. i

5/29/2018 Curs Fizica - FAIMA, Sem. I

1/170


2/170


3/170

Capitolul I

FIZICA. MRIMI FIZICE

CUPRINS

1. ISTORICUL EVOLUIEI DESCOPERIRILOR N FIZIC....................................................... 2

2. FIZICA TIIN A NATURII. OBIECTUL I METODELE FIZICII....................................... 4

3. MRIMI FIZICE. MSURARE............................................................................................ 53.1. CLASIFICAREA MRIMILOR FIZICE........................................................................... 5

3.2. TIPURI DE RELAII NTRE MRIMILE FIZICE............................................................ 6

3.3. MRIMI I UNITI FUNDAMENTALE N S.I.............................................................. 6

4. ANALIZ DIMENSIONAL ................................................................................................ 7

4.1. EXEMPLE DE ANALIZ DIMENSIONAL.................................................................... 8

4.2. ECUAII DIMENSIONALE........................................................................................... 8

4.3. VERIFICARE A OMOGENITII DIMENSIONALE A FORMULELOR FIZICE PRIN

ANALIZ DIMENSIONAL................................................................................................. 94.4. DEDUCEREA UNOR LEGI FIZICE SIMPLE PRIN ANALIZ DIMENSIONAL................ 9

4.5. ALTE ASPECTE PRIVIND ANALIZA DIMENSIONAL................................................ 11


4/170

Ionu VLDOIU FIZICA. MRIMI FIZICE

1-2

FIZICA. MRIMI FIZICE

Fizica, disciplina fundamental a tiinei, se ocup cu studiul principiilor

de baz ale Universului. Fizica este fundaia pe care alte tiine astonomia,biologia, chimia i geologia sunt construite. Frumuseea acestei disciplinederiv din simplitatea teoriilor fundamentale i n maniera cu care, utiliznd unnumr redus de concepte fundamentale, ecuaii i teorii, reuete s modifice is lrgeasc modul de nelegere al lumii nconjurtore.

Studiul fizicii poate fi divizat n ase capitole principale:

1.Mecanic clasicsau mecanica newtonian- care se axeaz pe studiul micriicorpurilor macroscopice care se deplaseaz cu viteze mult mai mici dect viteza

luminii.2.Relativitatea - care este o teorie ce descrie micarea corpurilor ce au o vitez

apropiat de cea a luminii ( = 3 1 08 ).3.Termodinamica- n cadrul creia se definesc noiuni ca temperatura i cldura,

studiindu-se comportamentul statistic sistemelor formate dintr-un numr

foarte mare de particule.

4.Electromagnetismul - care se axeaz pe studiul fenomenelor electrice imagnetice i al interaciunilor electromagnetice prin intermediul cmpurilor.

5.Optica- studiaz fenomenele luminoase i interaciunea luminii cu substana.6.Mecanica cuantic - care este o grupare de teorii ce fac legtura ntrecomportamentul materiei la nivel submicroscopic i observaiile macroscopice

ale acesteia.

1. ISTORICUL EVOLUIEI DESCOPERIRILOR N FIZIC

tiina, ca o observaie organizat asupra mediului nconjurtor, s-adezvoltat odat cu evoluia i dezvoltarea civilizaiei umane. Primele descoperirinregistrate, avnd un coninut tiinific, au vizat tehnologia, tiinele naturale,matematica i astronomia.

Marea majoritate a evenimentelor tiinificelegate de momentele de nceput

ale dezvoltrii cunoaterii umane au ajuns pn n zilele noastre transmise prinviu grai, sau sub forma unor legende ( legenda lui Icar i a aripilor de cearcarezboar, mpreuncu tatal su Dedal), fie n urma descoperirilor arheologice.

ncepnd cu anul 600 .e.n., odat cu dezvoltarea civilizaiei i culturiigreceti, se dezvolt modul abstract de gndire tiinific organizat, putndu-sevorbi de apariia primilor oameni de tiin i a primelor coli.


5/170


1-3

Filozofii greci Leucip i Democrit (500 400 .e.n.) au formulat concepiaatomist a materiei, conform creia aceasta nu poate fi divizat dect pn lanivelul unor entiti fundamentale, numite atomos(indivizibil).

Aristotel ( 384322 .e.n.) a scris celebralucrare Fizica, n care se gseauprincipii formulate corect, dar i afirmaii care ulterior s-au dovedit eronate. Ceamai cunoscut dintre acestea a fost cea referitoare la faptul c un corp mai greucade ntr-un timp mai scurt dect unul mai uor, pe aceeai distan, ipotezdemolat dup 200 de ani de Galilei.

Arhimede (287 212 .e.n.) a enunat principiile plutirii corpurilor,contribuind i la cunoaterea principiilor de funcionare a prghiilor i scripeilor,lansnd celebra fraz: Dai-mi unpunct de sprijin i voi putea mica Pmntul.

Dup o lung perioad de obscuritate corespunztoare Evului Mediu,ncepnd cu secolul al XVII- lea, oamenii de tiin ncep s pun la ndoialideiile grecilor, fiind ncurajai de ideiile lui Galileo Galilei i Isaac Newton, careau introdus experimentul pentru confirmarea ipotezelor i a observaiilor

tiinifice. Prima contribuie major a lui Galilei a fost descoperirea legilornaturale care guverneaz cderea corpurilor i oscilaiile pendulului. Stud iindcderea corpurilor ajunge la concluzia c toate corpurile cad cu aceeai vitez,indiferent de greutatea lor (n contradicie cu afirmaia lui Aristotel), dac se

neglijeaz frecarea cu aerul. De asemenea el a studiat i micarea accelerat a

corpurilor. n 1610 Galilei construiete luneta, observaiile astronomice facute deKepler cu aceasta permindu-i s stabileasc cele trei legi de micarea aplanetelor n jurul Soarelui. Aceste legi au constitui punctul de plecare n

stabilirea legii atraciei universale dintre corpuri de ctre Newton.

n secolul al XVII- lea existau dou curente contrarii cu privire la naturaluminii. Pe de o parte, Newton era adeptul teoriei c lumina este format dinparticule mici, iar pe de alt parte, Huygens credea c lumina este o und ce se

propag n spaiu. A urmat un lung ir de experimente care au ncercat s nclinedecisiv balana n favoarea uneia din cele dou curente. De referin sunt

lucrrile lui Young (1800) i Fresnel (1817) care au pus n eviden caracterulondulatoriu al luminii prin experimente de interferen. ntre 1820 i 1850 Arago,Foulcault i Fizeau au demonstrat c teoria ondulatorie este adevrat. Totui,dup 100 de ani teoria corpuscular ncepe s fie din nou acceptat, fenomenele

de difuzie Compton, efectul fotoelectric, efectul Raman, etc., fiind explicate pe

baza acestei teorii.

n 1873 Maxwell stabilete legile de baz ale electromagnetismului iprevede existena unor unde diferite de cele luminoase, prin lungimea de und i

care strbat spaiul cu viteza luminii. Aceste unde vor fi evideniate de Hertz n1888 i vor fi numite unde hertzienesau unde radio.


6/170


1-4

n 1896 Becquerel descoper radioactivitatea uraniului, iar Pierre i MarieCurie pe cea a poloniului i radiului, stabilind ca n procesul de dezintegrareradioactiv a acestor substane se emit radiaii , radiaii i radiaii . n 1895Roentgen descoper radiaiile X, cu multiple aplicaii n medicin i industrie.

n 1900 Planck, studiind radiaia corpului negru stabilete expresiadensitii de energie spectral emis de un corp negru, fcnd ipoteza c emisiai absorbia de energie este discontinu i are loc n cuante de energie. Aceastipotez va sta la baza explicrii legilor efectului fotoelectric de ctre Einstein n1905. n 1908 Millikan determin direct sarcina electronului folosind metoda

picturii de ulei, iar n 1909 Rutherford formuleaz concluzia c atomul esteformat dintr-un nucleu ncrcat pozitiv i care nglobeaz aproape ntreaga mas

a atomului, n jurul acestuia aflndu- se electronii. n 1913 Bohr elaboreazteoria semicuantic a atomului, cu ajutorul creia explic spectrele de emisie i

absorbie ale hidrogenului.

n anul 1917 Einstein introduce conceptul de emisie stimulat care va stala baza realizrii laserelor (1961 laserul cu rubin realizat de Maiman). n 1922Compton descoper fenomenul ce-i poart numele i explic reflexia razelor X peinte metalice considernd c acestea sunt formate din particule (au caractercorpuscular), dei, n 1904 Barkla a demonstrat c radiaiile X sunt de natur

electromagnetic. Dei teoria corpuscular este reconfirmat, aceasta nu poateexplica n continuare fenomene precum difracia. Davisson i Germer, n 1927

descoper difracia electronilor pe cristale, astfel c ambele teorii suntconfirmate.

Rspunsul definitiv cu privire la dualitatea und corpuscul manifestat delumin va fi dat de fizicienii L. de Broglie, Dirac, Heisenberg, Schrodinger, carepun bazele fizicii moderne prin elaborarea teoriei mecanicii cuantice.

2. FIZICATIIN A NATURII. OBIECTUL I METODELE FIZICII

Fizicaeste tiina naturii care studiaz lumea real.

Scopul acestei discipline este acela de a mbuntii viaa prin progresultiinei pe care- l realizeaz, ceea ce conduce i la un progres tehnologic necesarsatisfacerii nevoilor sociale i materiale.

n fizic cunoaterea se bazeaz pe urmtoarele principii:

Recunoaterea obiectivitii lumii materiale i a legilor ei;

Acceptarea principiului cauzalitii, conform cruia, fiecare stare din lumeareal este efectul unei cauze;

Verificarea experimental a ideilor teoretice.


7/170


1-5

Astfel, materiareprezint factorul primordial al lumii, care se prezint sub

form de:

substanforma de existen a materiei nzestrat cu mas de repaus;

cmpforma de existen a materiei prin care se transmit anumite tipuri

de interaciuni.Avnd drept obiectiv studiul obiectelor realitii, instrumentele de studiu

ale fizicii vor fi: observaia sistematic, ipoteza, modelarea, experimentul iformularea de concluzii.

3. MRIMI FIZICE. MSURARE

n cadrul unor experiene primare se constat existena unor caracteristiciale corpurilor, sesizabile prin simuri: temperatura, lungimea, durata

fenomenului, mirosul, culoarea, etc. Este evident c nu putem evalua cantitativ,de exemplu, temperatura apei din dou recipiente cu ajutorul simurilor. De

aceea, apare necesitatea evalurii numerice a proprietilor respective. n plus,anumite caracteristici, cum ar fi culoarea, nu pot fi comparate cantitativ.

Astfel, mrimea fiziceste o proprietate a unui corp ce poate fi msurat.Mrimea fizic se reprezint printr-un simbol.

Msurareaunei mrimi fizice este o operaiune experimental prin care i seasociaz acesteia o valoare numeric n raport cu o mrime fizic de referin,

numit unitate de msur.

De exemplu, considernd c rezultatul msurrii lungimi unui corp este de

10 m, acesta se va scrie sub forma:

L = 10 m

simbolul mrimi fizice valoarea numeric simbolul unitii demsur

3.1. CLASIFICAREA MRIMILOR FIZICE1. Dup modul n care se introduc n fizic aveam:

mrimi primitivesunt introduse direct ca o consecin a unor experimentereale (masa, timpul, lungime, etc.);

mrimi derivatesunt definite cu ajutorul altor mrimi.2. Dup utilitate:

mrimi fundamentale sunt cele ale cror uniti de msur se alegindependent (mrimile fundamentale n S.I., tabelul I);


8/170


1-6

mrimi secundaresunt cele ale cror uniti de msur deriv din celefundamentale.

3. Dup calitile matematice:

mrimi vectoriale; mrimi scalare; mrimi tensoriale.

4. Dup scara la care sunt raportate fenomenele:

mrimi macroscopice; mrimi microscopice.

3.2. TIPURI DE RELAII NTRE MRIMILE FIZICE

Dependena dintre mrimile fizice implicate ntr-un proces este prezentatesub forma unor relaii matematice. Acestea pot fi:

a.Relaii de definiie permit introducerea unei mrimi noi n fizic prinintermediul altor dou (sau mai multe) mrimi, care se cunosc.

b.Legisunt relaii eseniale ntre mrimi fizice, necesare i reproductibile, fiindrezultatul direct al experimentului.

c.Teoreme sunt relaii ntre mrimi, deduse pe cale matematic, din legi irelaii de definiie.

d.Postulatelesunt afirmaii care nu pot fi verificate direct, prin experien, darcare sunt deduse pe baza consecinelor lor.

3.3. MRIMI I UNITI FUNDAMENTALE N S.I.

n fizic noiunea de mrime are sens de cantitate, deci ceva ce poate fievaluat i exprimat numeric. Evaluarea se face prin calcule, n urmamsurtorilor.

Sistemul de uniti de msurn fizic este alctuit din unitile mrimilor

fundamentale i toate celelalte uniti de msur ale mrimilor derivate.

Unitile de msur ale mrimilor fundamentale se stabilesc cu ajutoruletaloanelor, care se pstreaz la Biroul Internaional de Mrimi i Greuti de laSvres (Frana). Ansamblul unitilor de msur ale mrimilor fundamentale

formeaz Sistemul Internaional (S.I.) de uniti, stabilit la cea de-a XI-aConferin General de Msuri i Greuti inut la Paris, n luna octombrie

1960, bazat pe sistemul metric. Acestea sunt prezentate n tabelul 1.

Se mai folosesc i urmtoarele uniti suplimentare, impuse - maimult - de ctre matematic:radianul(rad) ca unitate de unghi plan i steradianul

(strad) ca unitate de unghi solid.


9/170


1-7

Etaloanele alese s-au definit astfel:

1. METRUL este egal cu distana parcurs de lumin n vid n timp de1/299792458 dintr-o secund. (1983).

2. SECUNDA este 9.192.631.770 , unde este perioada tranziiei ntrenivelele hiperfine ale strii fundamentale a 133Cs.

3. KILOGRAMULeste masa etalonului pstrat la Svres, 1kg este aproximativegal cu masa unui dm3ap pur la 4C.

4. AMPERUL este intensitatea unui curent electric constant care meninut ndoi conductori paraleli, infinit de lungi i seciuni neglijabile, aezai n vid la1m distan, determin apariia ntre conductori a unei fore de 210-7N pe

fiecare metru de lungime.

5. KELVINULunitate de temperatur termodinamic reprezentnd 1/273 dintemperatura termodinamic a punctului triplu al apei.

6. CANDELA este intensitatea luminoas emis manual pe suprafaa de1/600.000 m2de un corp negru incandescent (Pt) n condiii normale.

7. RADIANULunghiul la centrul unui cerc care subntinde pe cerc un arc culungimea egal cu raza cercului.8. STERADIANUL unghiul cu vrful n centrul unei sfere care delimiteaz pesuprafaa sferei o arie egal cu aria unui ptrat cu latura egal cu raza sferei.

Unitile de msur ale mrimilor derivate se stabilesc cu ajutorul

formulelor de definiie.

4. ANALIZ DIMENSIONAL

Dimensiunea este o unitate de msur n sens generalizat. Dimensiuneamrimii A se noteaz [A]. Dimensiunea mrimii derivate reprezint expresia prin

Tabelul 1

Nr.

Crt.

Mrimea fizicfundamental

Simbol mrimefizic

Dimensiunea

mrimii fiziceUnitate de

msurSimbolul

unitii

1 Lungime l [Lungime]=L metru m

2 Masa m [Masa]=M kilogram kg

3 Timp t [Timp]=T Secunda s

4 Intensitatea curentului

electric

I [Intensitatea

curentului

electric]=I

Amper A

5 Temperatrura

termodinamicT [Temperatrura

termodinamic]=Kelvin K

6 Cantitatea de substan [Cantitatea desubstan]=Q

Molul mol

7 Intensitatea luminoas I [Intensitatea

luminoas]=I

candela cd


10/170


1-8

care mrimea derivat este reprezentat numai n funcie de dimensiunile

fundamentale, sub form de produs de puteri raionale. Formula dimensionl amrimii Aeste:

= unde exponenii reprezint, fiecare n parte, dimensiunea mrimiiderivate A n raport cu una din mrimile fundamentale L, M, T, I, I, Q.

Principiul omogenitii dimensionale a formulelor fizice impune adunareasau egalarea mrimilor fizice de aceeai natur, astfel nct, fiecare formul fizic

trebuie s fie omogen din punct de vedere dimensional, adic ambii membri aiegalitii, ct i fiecare termen al unei sume algebrice, trebuie s aib aceleai

dimensiuni fizice, altfel formula n-are sens.

Constantele care intervin n legile fizicii pot fi att dimensionale, ct iadimensionale (n ultimul caz nu intervin n formula dimensional).

Condiia de omogenitate permite precizarea dependenei ntre diferitemrimi fizice. Acest tip de abordare (de deducere) a unor relaii poart numele de

analiz dimensional.

4.1. EXEMPLE DE ANALIZ DIMENSIONAL

Dac notm cu L, M, T unitile mrimilor fundamentale: lungime,

mas i timp,atunci pentru o oarecare mrime fizic Aavem ecuaia: = = = numit ecuaie de dimensiuni sau formul dimensional a mrimii A fa de

mrimile fundamentale alese, iar exponenii , sunt numere ntregi pentrumrimi mecanice.

ATENIE: A nu se face confuzie ntre dimensiuni i uniti de msur!

Deci :

= = (dimensiunea forei)

n timp ce : = = (unitatea de msur)4.2. ECUAII DIMENSIONALE

n cele ce urmeaz sunt prezentate formulele dimensionale i unitile de

msur n Sistemul Internaional (S.I.) pentru: vitez liniar, acceleraie liniar,impuls, lucru mecanic,putereipresiune.

= =

i =

= = = i =


11/170


1-9

= = i = = = = i = = = = = i = = = = = = i = = = 4.3. VERIFICARE A OMOGENITII DIMENSIONALE A

FORMULELOR FIZICE PRIN ANALIZ DIMENSIONAL

Legea lui Bernoulli este dat de relaia:

=

deci, vom avea:

= = = = = = = Prin urmare, toi termenii din membrul stng a legii lui Bernoulli au

aceeai dimensiune i deci, constanta din membrul drept este dimensional:

= 4.4. DEDUCEREA UNOR LEGI FIZICE SIMPLE PRIN ANALIZ

DIMENSIONAL

Principiul omogenitii dimensionale a formulelor fizicii ne permite s gsimchiar forma unor legi fizice.

De exemplu, tiind din experien c perioada unui pendul simplu

gravitaionaldepinde de lungimea sa, , i de acceleraia gravitaional , scriem:= unde i sunt constante. Trecnd la dimensiuni, avem:

= = Dar, perioada este un interval de timp:

=

astfel nct, prin identificarea exponenilor, gsim:


12/170


1-10

{ = 01 = = = = =

unde: const.=2.

n cazul unui pendul elastic, a crui perioad depinde de masa m i deconstanta elastic ka resortului, avem:

= Din expresia forei elastice:

= obinem dimensiunea constantei elastice ka resortului:

= = = Deci:

= = de unde:

{ = 01 = = = = =

unde: const.=2.

Se poate determina, prin analiz dimensional, expresia lucrului mecanic,L,efectuat de un gaz ntr-o transformare izobar. Acesta depinde de presiunea agazului i de variaia sa de volum .

=

=

=

dar: = = = = Prin identificare rezult:

= 1 3 =

=

= 1 = 1 =


13/170


1-11

4.5. ALTE ASPECTE PRIVIND ANALIZA DIMENSIONAL

1)Dimensiunea nucaracterizeaz complet clasa creia i aparine mrimea i nureprezint o proprietate distinctiv a acesteia. Aceasta nseamn c mrimi fizice

diferite pot s aib aceeai formul dimensional.

De exemplu, lucrul mecanic i momentul forei au aceeai dimensiunedar exprim proprieti distincte. Dimensiunile celor dou mrimi fizice, stabilitecu ajutorul relaiilor de definiie sunt:

= = 1 = = = = 1 = =

2) Mrimile adimensionale nu depind de nici una din mrimile fundamentale

adic au toi exponenii dimensiunilor egali cu zero, = = 0, fiind rapoarte adou mrimi cu aceeai dimensiune.De exemplu, densitatea relativ care este raportul dintre densitatea

corpului dat i densitatea corpului fa de care se calculeaz densitatea relativeste o mrime adimensional.


14/170

Capitolul II

CINEMATIC I DINAMICNEWTONIAN

CUPRINS

1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL............................................................................................................2

1.1. ECUAIILE DE MICARE.........................................................................................................................3

1.2. TIPURI DE MICRI...............................................................................................................................

6

1.2.1. MICAREA RECTILINIE UNIFORM.................................................................................................6

1.2.2. MICAREA RECTILINIE UNIFORM VARIAT......................................................................................7

2. DINAMICA NEWTONIAN............................................................................................................................9

2.1. PRINCIPIILE MECANICII NEWTONIENE...................................................................................................9

2.1.1. PRINCIPIUL INERIEI......................................................................................................................9

2.1.2. LEGEA FOREI..............................................................................................................................10

2.1.3. PRINCIPIUL ACIUNII I REACIUNII.............................................................................................11

2.1.4. EXEMPLE DE FORE.....................................................................................................................

11

2.1.4. PRINCIPIUL RELATIVITII GALIELIENE..............................................................................................15

2.1.5. CMP DE FORE..............................................................................................................................16


15/170

CINEMATIC I DINAMIC NEWTONIAN Ionu VL DOIU

2 - 2

ELEMENTE DE MECANIC NEWTONIAN

1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

Realitatea obiectiv care ne nconjoar este materia, care nu poate existadect ntr-o micare continu, adic ntr-un proces continuu de transformare.

Micarea, ca mod de existen a materiei, se realizeaz n spaiu i timp.Acestea generalizeaz relaiile spaiale (poziia, forma, distana, mrimea) i

temporale (durata, succesiunea, simultaneitatea) care caracterizeaz fiecareobiect, fenomen sau proces.

Pentru a determinapoziiaunui eveniment n spaiutrebuie s se cunoasc

poziia acestuia n raport cu un sistem de coordonate cartezian i momentul detimpla care se face aceast determinare. Pentru a studia micarea corpurilor este

necesar s alegem un anumit sistem de referin. Sistemul de referin (S.R.)reprezint un ansamblu format dintr- un sistem de coordonate, care servete laindicarea poziiei corpului n spaiu i un ceasornic legat de acest sistem, necesarpentru indicarea timpului.

Deoarece micarea corpurilor cu dimensiuni finite este destul decomplicat, necesitnd cunoaterea micrii fiecrui punct al corpului, se

utilizeaz modelul de punct material pentru a descrie micarea corpurilor ale

cror dimensiuni sunt mici n raport cu distanele pn la corpurilenconjurtoare. Punctul material este caracterizat numai prin masa sa. ncinematic masa nu intereseaz, de aceea punctul material l vom numi mobil,adic un punct geometric care se mic. Poziia unui punct material n spaiueste dat de vectorul de poziie (figura 1):

(1)unde

,

i

reprezint versorii axelor de coordonate.Acetia au proprietile:

|| || 1 (2) 1 (3) 0 (4) 0 (5)

,

,

(6)

innd cont de relaia (3) putem scrie relaia(1) sub forma:

x

P(x,y,z)

y

z

O

Figura1. Reprezentarea poziieiunui punct material n raportcu un sistem cartezian.


16/170


2 - 3

(7)Curba descris de extremitatea lui , n cursul micrii, se numete

traiectoria punctului material. Traiectoria poate fi rectilinie sau curbilinie (nparticular, circular). Forma traiectoriei depinde de sistemul de coordonate

folosit.

1.1. ECUAIILE DE MICARE

Relaia () care exprim poziia corpului n funcie de timp reprezintecuaia sau legea de micare a punctului

material.

S considerm micarea unui punctmaterial n raport cu un S.R., astfel nct la

momentul t1 acesta s se gseasc npunctul A(t0) corespunztor vectorului depoziie , iar la un moment ulterior t>t0npunctul B(t) corespunztor vectorului de

poziie (figura 2).Vectorul deplasare va fi dat de

relaia:

(8)

Viteza unui punct material este un vector definit prin relaia:

(9)n general, notaiile mrimilor fizice cu un punct deasupra sau dou,

reprezint derivata de ordinul 1 sau 2 a mrimii respective n raport cu timpul.Din (9) rezult c vectorul vitez este orientat dup tangenta la traiectoria

mobilului n punctul considerat (figura 3).

Dac micarea este raportat la un sistem cartezian atunci: (10)sau

(11)unde:

x

A t0

y

z

O

Figura 2.Micarea unui punct materialn raport cu un S.R.

B td

ds


17/170


2 - 4

{

(12)

reprezint coordonatele vitezei dup cele trei axe, modulul vectorului vitez fiinddat de relaia:

(13)n S.I. unitatea de msur pentru vitezeste:

[ ] [].. 1 (14)Trebuie fcut o distincie foarte clar ntre vectorul deplasarei spaiul

parcurs de corp. Primul reprezint vectorul ce unete punctele n care segsete mobilul la dou momente de timp diferite i este dat de relaia (8), pecnd spaiul parcurs de corp reprezint drumul pe care se deplaseaz acestantre cele dou puncte i se determin cu relaia:

(15)Acceleraiaeste o mrime vectorial cecaracterizeazmodul de variaie ntimp al vectorului vitez (figura 3), adic:

(16)sau, n funcie de componentele pe cele trei axe: (17)sau

(18)ale crui componente pe cele trei axe vor fi:

{

(19)

n S.I. unitatea de msur pentru acceleraie este:

[]


18/170


2 - 5

[].. 1 (20)Se constat c vectorul acceleraie este dat de variaia vectorului vitez n

timp. Aadar avem acceleraie atunci cnd avem o variaie a vectorului vitez,

prin aceasta nelegnd fie variaia direciei, fie variaia modulului sau ambele.

Dac micarea este rectilinieatunci vectorul vitez are aceeai direcie, iarn acest caz putem vorbi de acceleraie doar dac se produce o variaie amodulului vectorului vitez. Dac modulul vectorului vitez crete, > , adic > 0 atunci > 0 i spunem c avem o micare rectilinie accelerat;dac modulul vectorului vitez scade n timp, adic < , adic 0micarea este rectilinie uniform accelerat, iar pentru < 0micarea este rectilinieuniform ncetinit.Aplicaia 1.

Un vehicul se deplaseaz n prima jumtate a

timpului total de micare cu viteza dup o direcie ce face unghiul cu axaox i a doua jumtate cu viteza

,

orientat dup o direcie ce face unghiul

cu axa ox. S se determine vitezamedie a vehiculului.Rezolvare

Notnd cu i distanele strbtute devehicul n cele dou etape ale micrii, vitezamedie va fi:

++ + ( )Proiectnd aceast relaie pe cele dou axeobinem:

() 5 () 153

innd cont de relaia (13) rezult:

26,46 Aplicaia 2.

Un corp se deplaseaz de- a lungul axei oxdup legea: , unde: , i , . S se calculezeviteza i acceleraia corpului la momentul .

Rezolvare

Din relaiile de definiie ale vitezei i acceleraieiobinem:

3 2 3 (0,5 )4 4 6 6


19/170


2 - 6

1.2. TIPURI DE MICRI

1.2.1. MICAREA RECTILINIE UNIFORM

Micarea rectilinie uniform este micarea la care vectorul vitez este

constant n timp ., adic traiectoria este o dreapt iar modulul vitezeieste constant.Integrndrelaia de definiie a vitezei(9) obinem:

( ) (21)Trecnd la cazul unidimensional, obinem:

( ) (22)

Relaia (22) reprezint legea micriirectilinii uniforme, unde: coordonata mobilului la momentul oarecare,coordonata mobilului la momentul iniial ,vviteza mobilului.

Pentru 0 legea de micare (22) devine ce are graficulprezentat n figura 4. Panta graficului este tocmai viteza mobilului. Dac > 0, mobilul se mic n sensul pozitiv al axei iar dac < 0mobilul se micn sensul negativ axei .Aplicaia 3.

Dou puncte materiale se mic rectiliniuuniform, ecuaiile de micare fiind date derelaiile: i . Reprezentaigrafic legile de micare i determinai locul imomentul ntlnirii celor dou puncte

materiale. Precizai ce reprezint coeficientul luitn ecuaiile de micare.

Rezolvare

Din condiia de ntlnire a celor dou corpuri obinem:8t

Prin nlocuirea n ecuaia de micare a primului

punct material vom obine locul ntlnirii,

adic:

Aceste valori se pot obine i pe cale grafic.

Prin reprezentarea grafic a celor dou ecuaiide micare pentru [0 ,10]vom obine loculi momentul de ntlnire n punctul decoordonate A (10,80).

Comparnd cele dou ecuaii de micare curelaia (22) observm c coeficientul lui t este

chiar viteza punctului material.

Figura 4. Reprezentarea ecuaieimicrii rectilinii uniformepentrut0=0.


20/170


2 - 7

1.2.2. MICAREA RECTILINIE UNIFORM VARIAT

Dac acceleraia este constant n timp i traiectoria este dreapt avem de-a face cu o micare rectilinie uniform variat.

Integrnd relaia(16) obinem: () (23)relaie care n cazul unidimensional devine: ( ) (24)

Relaia (24) reprezint legea vitezei nmicarea rectilinie uniformvariat.Reprezentareagrafic a legii vitezei pentru

0 este dat n

figura 5. Panta graficului este tocmai acceleraiamobilului, , iar aria mrginit de graficulvitezei reprezint deplasarea .

Pentru a gsi legea micrii rectilinii uniform variate pornim de la legeavitezei pe care o integrm n ambii membri:

[ ( )] (25)sau

( ) () (26)relaie ce reprezint legea micrii rectilinii uniform variate, unde:

xcoordonata mobilului la momentul t oarecare,

x0coordonata mobilului la momentul iniial t0,

v0viteza iniial, la momentul t0,

aacceleraia mobilului la un moment t oarecare.

Figura 5. Reprezentarea legii

vitezei n micarea rectiliniiuniform variat pentru t0=0.

Figura 6. Reprezentarea ecuaiei micrii rectilinii uniform variateentru situa iile a0.


21/170


2 - 8

Reprezentarea grafic a ecuaiei (26) este o parabol i este prezentat n figura 6

pentru cele dou situaii < 0i > 0.Coordonatele vrfului se pot determina cu ajutorul relaiilor pe

care le cunoatem de funcia de gradul doi ( ; , unde 2, i sau bazndu-ne pe considerente fizice ianume, punnd condiia de maxim:

0 (27)cnd obinem:

(28)

i (29)Eliminnd timpuldin relaiile (24) i (26) obinem viteza mobilului funcie

de coordonata lui pe traiectorie, adicformula lui Galilei: 2 ( ) (30)Aplicaia 4.

Un corp se mic rectiliniu uniform accelerat

conform legii:

. Precizai momentele

de timp la care corpul trece prin origine,reprezentai grafic legea de micare ideterminai viteza medie a corpului n

intervalul .Rezolvare

Momentul de timp la care corpul trece prin

origine corespunde condiiei , astfel nct,va rezulta:

, ,

Coordonatele punctului maxim se determindin condiia (27):

, . Poziia punctului material la va fi .Graficul obinut este prezentat n figura de mai

jos.


22/170


2 - 9

Aplicaia 5.

n figura alturat este prezentat dependena

vitezei de timp pentru micarea unui corp.Determinai natura micrii corpului, viteza

iniial i acceleraia corpului. Scriei ecuaiade micare a corpului.

Rezolvare

Analiznd graficul dependenei vitezeicorpului de timp observm c micarea esteuniform ncetinit pn n punctul decoordonate (10, 0) i apoi uniform accelerat,deoarece n punctul respectiv corpul se opretei apoi viteza i schimb sensul.

Tot din grafic rezult c viteza iniialeste: .Acceleraia se determin din ecuaiavitezei (24), innd cont c :

,

Ecuaia de micare se obine prin introducereavalorilor parametrilor , i a n ecuaiamicrii:

Astfel, va rezulta:

5 0,25

2. DINAMICA NEWTONIAN

2.1. PRINCIPIILE MECANICII NEWTONIENE

Principiile mecanicii newtoniene reprezint enunuri obinute n urma anumeroase date experimentale. Ele au caracter general, aplicndu-se tuturor

sistemelor fizice studiate care satisfac ipoteza mecanicii newtoniene referitoare la

faptul c, viteza particulelor studiate este mult mai mic n comparaie cu viteza

luminii. Aceste principii au fost enunate de Isaac Newton n celebra cartePhilosophiae naturalis principia mathematica, aprut n 1687.

2.1.1. PRINCIPIUL INERIEI

Particulele foarte ndeprtate de alte corpuri se gsesc fie n stare de

repaus, fie n micare rectilinie uniform n raport cu un sistem de referin inerial

(S.R.I.).

Prin expresia foarte ndeprtate se nelege n sensul cnu se influeneazn niciun fel (sunt izolate).

Prin inerie, n mecanic, se nelege tendina unui corp de a-i menine

viteza n condiii exterioare date i c un corp liber este cel supus aciunilorgravitaionale ale tuturor celorlalte corpuri foarte ndeprtate din univers, care

determin proprietatea de inerie a corpului liber.


23/170


2 - 10

Masaeste o msur a ineriei corpurilor.

[ ] , [] 1 (31)Trebuie facut o distincie foarte clar ntre noiune de masi noiunea de

cantitate de substan. Prima noiune se refer la proprietatea corpurilor de a-ipstra, n timp, caracteristicile micrii, pe cnd cea de-a doua este o msur anumrului de particule de substan (molecule, atomi, ioni, electroni). Cantitateade substan,, se determincu formula:

(32)unde: m- masa de substan, - masa molar, N- numrul de molecule, atomi,

etc., din cantitatea de substan, NA- numrul lui Avogadro.

2.1.2. LEGEA FOREI

Principiul al doilea al mecanicii newtoniene afirm c, n condiii exterioarespecificate, cauza care produce modificarea micrii se numetefor.

(33)Foraeste o msur a interaciunii corpurilor.

Expresia vectorului for n funcie de componentele sale pe cele trei axe de

coordonate Oxyzeste: (34)sau

(35)unde:

(36)Unitatea de msur n S.I. pentru for este:[] , [].. 1 (37)

OBSERVAII:

1. Deoarece n mecanica newtonian se consider c masa punctului material nu

variaz n timp i tinnd cont de definiia impulsului:

(38)legea a II- a a lui Newton se mai poate exprima i prin relaia:


24/170


2 - 11

Figura 7. Aciunea i reaciuneaexercitat ntre dou corpuri careinteracioneaz.

() (39)Impulsul avnd componenetele pe axe:

(40)

putem scrie:

; ;; ; (41)adic:

(42)2. Atunci cnd asupra punctului material acioneaz mai multe fore se aplic

pincipiul suprapunerii: fora rezultant pe care o mulime de sisteme fizice oexercit asupra punctului material este egal cu suma vectorial a forelor exerciate

independent de fiecare sistem asupra particulei.

= (43)2.1.3. PRINCIPIUL ACIUNII I REACIUNII

Dac un punct material acioneaz cu o for asupra altui punctmaterial, atunci i ce-l de-al doilea punct material va aciona asupra primului punct

material cu o for , egal i de sens contrar cu prima. (44)2.1.4. EXEMPLE DE FORE

2.1.4.1. GREUTATEA

Atunci cnd stm pe talerul unui cntar aezat pe suprafaa Lunii constaic dei el i indic acceai mas ca i cea pe care ai msurat- o pe Pmnt, te

simi mai uor. Acest fapt se datoreaz atraciei gravitaionale mai mici a Luniicomparativ cu cea a Pmntului. Astfel, putem

defini fora de greutate sau greutatea , ca fiindfora de atracie exercitat de Pmnt (sau alt

corp) asupra corpurilor din vecintatea sa i sedefinete prin relaia:

(45)unde

reprezint acceleraia gravitaional i are

valoarea de 9,81 la suprafaa Pmntului i Figura 8. Greutatea i normala aciune i reaciune .


25/170


2 - 12

1,7 la suprafaa Lunii. Greutatea este fora care trage corpurile n jos, sprePmnt (figura 8).

2.1.4.2. FORA NORMAL

Suma forelor care acioneaz asupra noastr pe direciile x i z atuncicnd ne aezm pe un scaun este nul:

0 0 (46)De asemenea i 0deoarece nu ne micm. Totui, greutatea ne trage n jos.Deoarece 0trebuie s existe o for, orientat n sus, care s se opun foreide greutate. Aceast for se numetefor normalsau normala, .Astfel:

(47)

i (48)Observm c normala este orientat n sus (sensul pozitiv al axei), iar

greutatea n jos (sensul negativ al axei)dar sunt egale ca mrime iastfel, peaxa oy, acceleraia este nul 0. Fora normal este ntotdeaunaperpendicular pe suprafaa de contact dintre corpuri

(figura 8).

2.1.4.3. TENSIUNEA

Tensiunea este fora care apare ntr- uncablu sau frnghie supus aciunii de ntindere. Dinfigura 9 rezult:

(49)adic, tensiunea sunt fore egale dar de sens opus.

2.1.4.4. FORA DE FRECARE

Fora de frecareeste o for care aparela micarea relativ a dou suprafee aflate n

contact. Exist dou tipuri de frecare:

a) frecare cinetic atunci cnd suprafee seafl n micare una n raport cu cealalt. Deexemplu, atunci cnd apsm brusc pedala de

frn a unui automobil, acesta ncepe s

Figura 9. Tensiune care apare

ntr- un cablu ntis de ctregreutate.

Figura 10. Fora de frecare careapare la coborrea unui corp pe un

plan nclinat de unghi .


26/170


2 - 13

derapeze. Frecarea cinetic va conduce la oprirea mainii.a)frecare staticapare atunci cnd suprafeele aflate n contact sunt n repausi se opun tendinei de micare a acestora. De exemplu, dac punem o monedpe o carte i nclinm cartea cu unghiuri mici, frecarea static va mpiedica

moneda s alunece i aceasta va rmne n repaus. nclinnd cartea i mai multva crete i frecarea static, iar moneda va rmne tot n repaus. n cele din

urm, pentru o anumit nclinaie a crii, frecarea static va fi nvins, iarmondeda va ncepe s alunece, adic va apare frecare cinetic. Mai trebuie spus

c, frecarea static atinge valoarea maxim chiar nainte ca moneda s alunecepe carte.

Fora de frecare este proporional cu fora normal, coeficientul de

proporionalitate numindu-se coeficient de frecare

:

(50)n cazul frecrii cinetice vom avea:

(51)iar pentru frecare static:

(52)

Aplicaia 6.

Un corp de mas mcoboar uniform pe un plannclinat de unghi . Demonstrai c .

Rezolvare

Analiznd figura 10 i aplicnd principiul II aldinamicii putem scrie:

Proiectnd aceat relaie pe axele oxi oyvomobine:

ox: sau

oy: 0sau 0

innd cont de relaia de definiie a forei de

frecare i c obinem:

s i n

i Adic:

sinde unde rezult:

.


27/170


2 - 14

Aplicaia 7.

n proiectarea unei curbe inginerii trebuie s ia

n considerare viteza mainii i coeficientul defrecare dintre roi i asfalt. Raza acestei curbe

este aleas astfel nct maina s ruleze lin peaceast poriune de cerc. Stabilii formula razei

poriunii curbe de drum care s depind devitez i coeficientul de frecare.

Rezolvare

Aplicnd principiul II obinem:

ox: sau oy: sau

Va rezulta:

.Dar acceleraia unui corp pe o traiectorie

circular este dat de relaia:

Vom obine: .

Aplicaia 8.

Un corp cu masa este aezat pe unplan nclinat cu unghiul i se mic cufrecare, coeficientul de frecare fiind

. De

corp este legat un fir inextensibil trecut peste

un scripete ideal aflat n vrful planului nclinati de care se leag un corp cu masa .Considernd , determinaiacceleraia cu care urc corpul pe planul

nclinat i tensiunea n firul de legtur dintrecorpuri.

Rezolvare

Aplicm principiul al doilea pentru cele dou

corpuri:

- pentru corpul de mas m:

Ox: Oy:

- pentru corpul de mas M:

Ox:

Oy: Cum , , , din prima

relaie i din ultima ,prin nlocuire n penultima relaie obinem:

[(+)]+ 1,25

nlocuind aceast valoare n prima relaieobinem:

17,5


28/170


2 - 15

Aplicaia 9.

Un candelabru cu masa estesuspendat prin intermediul a dou fire care facunghiurile

i

cu tavanul.

Determinai tensiunea n fiecare cablu.

Rezolvare

Conform principiului II:

deoarece .Proiectnd ecuaia pe axele oxi oyvom avea:

ox: oy:

unde:

, , , .

Prin nlocuire obinem:

iAdic: , iar prin nlocuire:

[] + respectiv:

+

[+] + + |: +

2.1.4. PRINCIPIUL RELATIVITII GALIELIENEAcest principiu afirm : dac legile mecanicii clasice sunt valabile ntr-un

S.R.I, atunci ele vor fi valabile n orice S.R. care se mic rectiliniu i uniform fa

de primul.

Considernd dou S.R.I., Si S care se mic cu viteza fa deprimul, relaiile ntre coordonatele spaiale ale unui eveniment n raport cusistemele Si Ssunt date de transformrile lui Galilei:


29/170


2 - 16

(53)

sau (54)Setul de relaii (53 - 54) poart numele

de formulele de transformare a lui Galilei, iar

derivarea acestora n raport cu timpulconduce la scrierea relailor de compunere a

vitezelor:

(55)Dac derivm relaiile (51) n raport cu timpul obinem:

(56)de unde rezult c acceleraiile punctului material sunt aceleai n ambelesisteme.

Masa punctului material fiind constant n ambele sisteme, n bazarelaiilor (56) putem scrie: (57)sau (58)

Din relaia (58) rezult c legea fundamental a dinamicii rmne

invariant n raport cu sistemele ineriale, iar asupra punctului materialacioneaz aceeai for n ambele sisteme ineriale.

Sistemele ineriale prezint o proprietate fizic foarte important i anume:

micarea acestora nu influeneaz fenomenele fizice din cuprinsul lor. n cadrulsistemelor ineriale, legile mecanicii sunt invariante fa de schimbarea sistemuluiinerial, acesta constituindprincipiul relativitii clasice stabilit de Galilei.

2.1.5. CMP DE FORE

Pentru a descrie forele foarte complicate care apar atunci cnd corpurile semic arbitrar este util s se foloseasc noiunea de cmp.

Figura 11. Dou sisteme de referininerialeS i S, Sse mic fa de Srectiliniu i uniform cu vitez

constant.


30/170


2 - 17

De exemplu, fora de interaciune dintre dou sarcini electrice qi Q, situate ladistana una de alta, este dat de legea lui Coulomb:

(59)Pentru a analiza aceast for cu ajutorul noiunii de cmp, trebuie

observat fora exercitat de sarcina Qasupara sarcinii qsituat ntr-un punctoarecare n jurul su. Mrimea acestei fore poate fi exprimat ca produsul dintresarcina qi mrimea, care caracterizeaz cmpul electricdin jurul sarcinii Qi

care reprezint intensitateaacestuia: (60)Analiznd relaiile (59) i (60) observm c fora exercitat de sarcina Q, prinintermediul cmpului electric, asupra sarcinii q, va fi dat de relaia:

(61)Analog se poate defini cmpul gravitaionalal unei mase Mprin intermediul

cruia aceasta exercit o for asupra unei mase m, situat la distana de ea icare este dat de legea atraciei universale a lui Newton:

(62)unde: k este constanta atraciei universale. Aceast lege se poate scrie subforma:

(63)unde se numete intensitatea cmpului gravitaional.

Astfel, se observ c un cmp este o stare de existen a materiei prinintermediul cruia se realizeaz diferitele tipuri de interaciuni dintre corpuri. nfiecare punct din domeniul su de existen, cmpul este caracterizat prin

anumite mrimi fizice, care pot avea valori diferite n puncte diferite ale spaiului.


31/170

Capitolul III

TEOREMELE MECANICII NEWTONIENE

CUPRINS

1. TEOREMA DE VARIAIE A IMPULSULUI. CONDIII DE CONSERVARE A IMPULSULUI.... 2

2. TEOREMA DE CONSERVARE A ENERGIEI MECANICE .................................................... 4

2.1. LUCRUL MECANIC. PUTEREA MECANIC................................................................. 4

2.2. ENERGIA CINETIC. TEOREMA DE VARIAIE A ENERGIEI CINETICE ...................... 6

2.3. ENERGIA POTENIAL. TEOREMA DE CONSERVARE A ENERGIEI POTENIALE..... 8

2.3.1. ENERGIA POTENIAL GRAVITAIONAL.......................................................... 9

2.3.2. ENERGIA POTENIAL ELASTIC..................................................................... 10

2.4. TEOREMA DE CONSERVARE A ENERGIEI MECANICE ............................................ 11

3. TEOREMA DE VARIAIE I CONSERVARE A MOMENTULUI CINETIC............................ 12


32/170

TEOREMELE MECANICII NEWTONIENE Ionu VL DOIU

3 - 2

TEOREMELE MECANICII NEWTONIENE

Teoremele generale ale mecanicii clasice sunt consecine ale principiiloracesteia care simplific, de cele mai multe ori, abordarea unei probleme de

micare a unei particule sau a unui sistem de particule.

1. TEOREMA DE VARIAIE A IMPULSULUI. CONDIII DE

CONSERVARE A IMPULSULUI

Impulsul

este o mrimevectorialegal cu produsul dintre masa i viteza

particulei:

(1)Unitatea de msur a impulsului este:

[] ,[] [] [] 1 1 1 (2)

Impulsul caracterizeaz cantitativ micarea corpurilor.

Conform principiului al II- lea:

(3)Din relaia (2) vom obine: (4)

Impulsul forei rezultante care acioneaz asupra punctului material este:

(5)

Astfel nct: (6)Relaia (6) reprezint teorema impulsului: variaia impulsului unui punct

material este egal cu impulsul forei rezultante care acioneaz asupra punctuluimaterial.

n cazul n care fora total ce acioneaz asupra particulei este nul, 0,atunci:

0 0 (7)sau . (8)


33/170


3 - 3

Relaia (8) exprim teorema conservrii impulsului, care afirm: dacasupra punctului material nu acioneaz nici o for (sau rezultanta lor este nul),impulsul punctului material se conserv.

Acest enun ne arat c . atunci cnd punctul material este nrepaus sau atunci cnd ., adic cnd corpul se afl nmicare rectilinieuniform.

Conform principiului al III- lea, fora care acioneaz asupra punctului

material este egal dar se sens contrar cu reaciunea , prin urmare: (9)Deci, creterea de impuls a unui punct material se realizeaz pe seama

scderii impulsurilor corpurilor cu care interacioneaz acesta.

Aplicaia 1.

Un corp cu masa 2 acionat de o forconstant 8 , i mrete viteza de la 8 la 13 . Determinai careeste impulsul aplicat de for i timpul deaciune al acesteia.

Rezolvare

Din legea de variaie a impulsului H obinem:

H 10 .Din formula de definiie a impulsuluiforei rezultante care acioneaz asupracorpului H , rezult:

1,25 .

Aplicaia 2.

O for constant aplicat unui corp cu masa

4 , l deplaseaz din repaus rectiliniu peo distan 5 , n timpul 2 . Care afost impulsul aplicat asupra corpului?

Rezolvare

Din teorema de variaie a impulsului obinem:

H

Unde am folosit relaia de definiie a

acceleraiei: .Dar, micarea fiind rectilinie produsul ,iar viteza este: , astfel nct, vom obine:

H 20 .

Aplicaia 3.

Un soldat cu masa 80 trage din poziiaculcat cu o arm avnd masa 1. tiindc glontele iese din eav cu viteza 1000 , calculai fora ce trebuie dezvoltatde umrul soldatului n intervalul 1 .Rezolvare

Arma i glontele formeaz un sistem izolat ncare impulsul total se conserv. Din legea deconservare a impulsului aflm viteza cu carearma lovete umrul soldatului

12 .

Aplicnd teorema de variaie a impulsuluipentru soldat obinem:

0 De unde rezult:

|| 10.


34/170


3 - 4

Aplicaia 4.

Un autombil cu masa 1000 care sedeplaseaz cu viteza 15 lovete un altautomobil cu masa 1500 carestaioneaz. Care este viteza comun aautoturismelor, dac ele se ciocnesc plastic?

Rezolvare

Aplicnd legea de conservare a impulsului

avem:

+ 6 .

2. TEOREMA DE CONSERVARE A ENERGIEI MECANICE

2.1. LUCRUL MECANIC. PUTEREA MECANIC

Dac asupra unui corp acioneaz mai multe fore n acelai timp, micareaacestuia va fi modificat doar de forele care nu sunt perpendiculare pe direcia

lui de micare. Sub aciunea acestor fore corpul se deplaseaz o anumitdistan, iar forele respective efectueaz lucru mecanic.

Considernd cazul particular al aciunii unei singure fore asupra corpului,lucrul mecanic elementar efectuat pentru a- l deplasa este o mrime fizicscalar definit prin relaia:

(10)Deoarece produsul scalar a doi vectori este , relaia de mai suspoate fi scris:

(11)Unitatea de msura lucrului mecanic este:

[] ,[] [][] 1 1 (12)n relaia (10) se folosete simbolul

pentru a arta c, n general, lucrul mecanic

depinde de drumul pe care se deplaseazpunctul de aplicaie al forei.

Analiznd situaia prezentat n figura 1,observm c doar componenta de pe axa

a

forei efectueaz lucru mecanic. n acest caz

lucrul mecanic este dat de relaia:

Figura 1. Lucrul mecanic efectuat

de fora ce acioneaz asupracor ului.


35/170


3 - 5

(13)adic: (14)

Din relaia de mai sus rezult:

1. Dac < 90 > 0, adic fora efectueaz lucru mecanic motor;2. Dac 90 0, adic forele care sunt perpendiculare pe direcia de

micare nu efectueaz lucru mecanic;

3. Dac90 < < 180 < 0, adic fora efectueaz lucru mecanic rezistent.Dac asupra unui punct material acioneaz consecutiv mai multe fore

lucrul mecanic efectuat este egal cu suma algebric a lucrurilor mecaniceelementare efectuate de forele aplicate. Asfel, putem scrie relaia (10) astfel:

= (15)O for care are proprietatea c lucrul

mecanic efectuat de ea, ntre dou puncte nu

depinde de drumul pe care se deplaseazpunctul su de aplicaie se numete for

conservativ. Dacfora efectueaz un lucrumecanic pe dou curbe distincte (C1) i (C2)care unesc punctele A i B (figura 2) condiia s

fie forconservativ este:

(16)Din relaia de mai sus rezult c lucrul mecanic efectuat de o for

conservativ pe un contur nchis este zero:

0 (17)Acelai lucru mecanic poate fi efectuat n diferite intervale de timp. Puterea

forei

care se exercit asupra particulei, la momentul t, se definete prin:

(18)Unitatea de msur pentru putere este:

[] , [] [][] 1 1 (19)

O alt unitate de msur tolerat este calul- putere:

736

Figura 2. Lucrul mecanic efectuat

de for a e curbele C1 i C2.


36/170


3 - 6

Aplicaia 5.

Dac mpingem un scaun cu o for constant

de 100, ce face unghiul 60cu orizontala,timp de 10 pe o distan de 5, ce lucrumecanic efectuez? Care este valoarea puterii?

Rezolvare

Din figura 3 i din relaia de definiie a lucruluimecanic obinem:

250 Jiar puterea:

25 .

2.2. ENERGIA CINETIC. TEOREMA DE VARIAIE A ENERGIEI

CINETICE

Energiaeste o mrime fizic scalar ce caracterizez capacitatea unui corpde a efectua lucru mecanic.

Energia mecanic total este format din energie cinetic i energiepotenial(de poziie):

(20)Unitatea de msur pentru energie este:

[] ,[] 1 (21)Energia cineticeste energia pe care o posed un corp de mas maflat n

micare cu viteza : (22)

innd cont de relaia de definiie a impulsului (1) putem scrie:

(23)

Lucrul mecanic total efectuat de fora la deplasarea punctului su deaplicaie, ntre dou puncte A i B estedefinit prin:

(24)innd cont de principiul fundamental al dinamicii (relaia(3)), putem scrie:

(25)

sau

(26)


37/170


3 - 7

astfel nct, relaia de mai sus devine:

(27)Din (22) i (27) obinem:

(28)adic: (29)

Relaia (29) exprim teorema de variaie a energiei cinetice, care spune c:variaia energiei cinetice a unui punct material este egal cu lucrul mecanic al

forei rezultante care acioneaz asupra acestuia.Aplicaia 6.

Un corp pornete din vrful unui plan nclinatcu unghiul 30i lungimea 12 .Micarea se face cu frecare, coeficientul defrecare la alunecare fiind 0,2, iar 10.(A) Determinai viteza cu care ajunge corpul labaza planului.

Rezolvare

Aplicnd teorema de variaie a energiei cinetice

ntre vrful i baza planului obinem:

adic:

0 ( )

2 8,86

(B) Distan parcurs de corp pn la oprire,dac planul nclinat se continu cu o poriuneorizontal pe care corpul se mic cu acelaicoeficient de frecare.

Rezolvare

Corpul se oprete pe planul orizontalcnd 0. Aplicnd teorema de variaiea energiei cinetice pentru suprafaaorizontal avem:

19,62 .


38/170


3 - 8

Aplicaia 7.

Un copil aflat la etajul 10 al unui bloc cu

nlimea 25, scap din greeal o bilmetalic cu masa 100. Aceasta cade pepmnt i produce o groap cu adncimea 10. Determinai fora de frnare a bilei( 10 ).Rezolvare

Aplicnd legea de conservare a energiei cineticepentru sistemul bil- Pmnt i tinn cont cbila a pornit din repaus iajunge n final ntr- ostare de repaus, obinem:

Cum 0,vom obine:

(+) 251

2.3. ENERGIA POTENIAL. TEOREMA DE CONSERVARE A

ENERGIEI POTENIALE

Energia potenialcaracterizeaz capacitatea unui sistem fizic de schimba

lucru mecanic sub aciuneaforelor generate de cmpuri.

Energia potenial este definit, pn la o constant aditiv arbitrar, prin

relaia:

(30)Din relaia de definiie a energiei poteniale rezult ca fora pe care o sufer

corpul n cmpul considerat este proporional cu gradientul energiei potentiale:

(31)semnul minus nsemnnd faptul c, fora este ndreptat n sensul scaderiiforeicmpului. Relaia de mai sus poate fi scris i sub forma:

(32)unde:

.

Fora care are proprietatea dat de relaia (30) se numete forconservativ, iar faptul c n expresia energiei poteniale intervin numai derivateleei explic de ce aceasta se poate determina doar pn la o constant aditiv

arbitrar.

nlocuind relaia (32) n expresia lucrului mecanic, obinem:

(33)


39/170


3 - 9

Deoarece

( )

(34)

putem scrie: (35)Astfel, vom obine: (36)sau ( ) (37)

(38)

Relaia (38) arat c variaia energiei poteniale a unui sistem fizic este egalcuminus lucru mecanic. Deoarece, de regul, energia potenial a strii iniialeeste nul, 0, obinem:

(39)adic, energia potenial a punctului material ntr-un punct este egal cu lucrul

mecanic efectuat de fora , luat cu semn schimbat, atunci cnd punctul materialeste deplasat din poziia iniial n punctul respectiv.

2.3.1. ENERGIA POTENIAL GRAVITAIONAL

S considerm un sistem fizic aflat n interaciune, format dintr- un corp demas m aflat la o anumit nlime fa de suprafaa pmntului i Pmntul(figura 3). Starea sistemului Corp- Pmnt aflat n interaciune gravitaional estecaracterizat de energia potenial gravitaional, deoarece prile sistemuluiinteracioneaz prin fore de atracie gravitaional care sunt de tip conservativ.

Pentru a exprima energia potenial a unuisistem izolat de alte corpuri, trebuie alegem o suprafade referin creia i atribuim prin convenie o valoare aenergiei poteniale nul. De exeplu, n cazul sistemuluiconsiderat, putem alege ca suprafa de referin pe

cea a Pmntului i astfel, cnd corpul se afl peaceasta energia potenial a sistemului va fi nul.

Energia potenial n acest caz va fi dat de relaia:

(40)

Figura 3. Interaciuneagravitaional n sistemulcor -Pmnt.


40/170


3 - 10

2.3.2. ENERGIA POTENIAL ELASTIC

S considerm un sistem format dintr- un resort elastic fixat la un capt iun corp la cellalt capt, asupra cruia acioneaz o for elastic (figura 4).Forele elastice fiind conservative i deoarece sistemul resort-corp i modific

configuraia i putem atribui energie potenial elastic.

Avnd n vedere teorema de conservare a energiei cinetice, putem scrie:

(41)unde este lucrul mecanic efectuat de fora elastic.Astfel, putem scrie:

(42)

Deoarece , k fiind constanta elastic aresortului, obinem:

(43)

adic: (44)Aplicaia 8.

O sfer de mas 0,5 este atrnat de unfir cu lungimea 1 aflat n poziie vertical.Sfera primete un impuls care i imprim ovitez iniial 4 .(A) Determinai unghiul fcut de fir cu verticala

cnd sfera se oprete.

Rezolvare

La deplasare corpului din punctul A n punctulB lucrul mecanic efectuat este:

adic:

2 0 0

Dar 1 .

nlocuim i obinem:

1

1 0,2 78

(B) Care este energia potenial pentru un

unghi /2.Rezolvare

Energia potenial n punctul C este:

1 =1,115 J

Figura 4. Energia potenialelestic n sistemul corp-resort.

l


41/170


3 - 11

2.4. TEOREMA DE CONSERVARE A ENERGIEI MECANICE

n cazul forelor conservative, prin compararea relaiilor (29) i (38),obinem:

(45)de unde:

0 (46)adic

. (47)

Aceast concluzie reprezint legea conservrii energiei mecanice, careafirm c: atunci cnd asupra punctului material acioneaz numai fore

conservative energia mecanicrmne constant n timp.

Aplicaia 9.Un corp cade liber de la nlimea fa de sol.Stabilii expresia vitezei cu care acesta ajungela sol.

Rezolvare

Aplicnd teorema de conservare a energieicinetice n sistemul corp- pmnt avem:

Dar n starea iniial viteza corpului este nul 0, iar energia potenial la suprafaapmntului este i ea nul: 0,astfel nct obinem:

0 2 0 2

Aplicaia 10.Un resort ideal care se deformeaz cu 0,4m cnd este acionat cu o for 120 estefixat la baza unui plan nclinat avnd unghiul

30. Din vrful planului este lsat liber, frvitez iniial, un corp cu masa 3 careajunge n repaus dup ce comprim resortul cu

0,6 . Se eglijeaz frecrile.(A) Determinai spaiul maxim parcurs de corppe plan.

Rezolvare

Considernd c este viteza corpului nmomentul lovirii captului liber al resortului iaplicnt legea conservrii energiei mecanice lacomprimarea arcului obinem:

relaia: k 300.

Spaiul maxim parcurs este:

4,2 .

(B) Care este viteza corpului n momentul loviriiarcului.


42/170


3 - 12

unde 0 deoarece resortul nu estedeformat i energia potenial n acest caz este

nul, iar 0 deoarece, la comprimareamaxim a resortului corpul se va opri. Astfel,va rezulta:

0 0

.

Din legea lui Galilei obinem: 2, unde . nlocuind n relaia precedentobinem:

2

3,6 unde constanta elastic am determinat- o din

Rezolvare

Viteza corpului n momentul lovirii resortuluieste:

6.

(C) Care este energia potenial maxim dedeformare a resortului.

Rezolvare

Energia potenial maxim se atinge atuncicnd resortul este deformat la maxim, adic:

36 .

3. TEOREMA DE VARIAIE I CONSERVARE A MOMENTULUI

CINETIC

Momentul forei msoar efectul de rotaie pe care l produce o forasupra unui corp rigid. Momentul forei (sau momentul de rotaie) n raport cu oaxde rotaie sau centru de rotaie O(figura 5) se definete prin relaia:

(48)innd cont de relaia produsului vectorial a doi vectori: ,

relaia de mai sus poate fi scris:

(49)sau

(50)unde reprezint braul forei.

Momentul forei este un vector perpendicular

pe planul format de vectorii i , orientat nsensul naintrii unui burghiu aezat

perpendicular pe planul menionat i care serotete n sensul aducerii vectorului pestevectorul pe drumul cel mai scurt, astfel nctaceti vectorii s devin paraleli.

Figura 5. Momentul forei cemsoar efectul de rotaierodus de o for .


43/170


3 - 13

Unitatea de msur a momentului forei este:

[] ,[].. 1 (51)Momentul cinetic al unui punct material aflat n micare de rotaie pe o

traiectorie circular, n jurul unei axe (centru) de rotaie (figura 6) este dat derelaia:

m (52)sau L (53)Unitatea de msur a momentului cinetic este:

[] ,[] [][] 1 1 (54)Derivnd relaia (52) n raport cu timpul

i innd cont de principiul al doilea al

dinamicii vom avea: (55)

sau (56)Va rezulta:

(57)

Lund n considerare proprietatea produsului vectorial: 0i relaiade definie a momentului forei (relaia 48) vom obine:

(58)

Scriind relaia de mai sus sub forma: , care prin integrare va conduce la:

(59)

Introducnd mrimea , numit impulsul momentului forei rezultanteceacioneaz asupra punctului material, obinem:

(60)

O

Figura 6. Momentul cinetic ce

carcterizeaz micarea de rotaie acorpululi de mas m.

m


44/170


3 - 14

Relaia (60) reprezint teorema de variaie a momentului cinetic, care afirm:variaia momentului cinetic al unui punct material este egal cu impulsulmomentului forei rezultante care acioneaz asupra punctuli material.

Dac

0 0 0 . (61)

Relaia (61) reprezint teorema de conservare a momentului cinetic, careafirm: atunci cnd momentul forei rezultante care acioneaz asupra unui punctmaterial este nul, momentul cinetic al acestuia se conserv.

Aplicaia 11.Un corp cu masa 2 este aezat pe oscndur orizontal care este prins la uncapt. Corpul se afl la distana 5 fade acest capt. Cunoscnd lungimea scndurii

20 i c putem neglija masa sa,

determinai valoarea i sensul forei caremenine scnduran echilibru.

Rezolvare

Pentru ca scndura s rmn orizpntaltrebuie carezultanta momentelor forelor ceacioneaz asupra ei s fie nul.. Astfel,alegnd sensul pozitiv pentru momentele care

rotesc scndura n sens trigonometric, vomavea:

0 5

Se observ c fora trebuie aplicat n sus i caceasta este mai mic dect G.

d

l


45/170

Capitolul IV

OSCILAII MECANICE

CUPRINS

1. OSCILATORUL LINIAR ARMONIC ..................................................................................... 2

1.1. MRIMI CARACTERISTICE MICRII OSCILATORII.................................................. 2

1.2. ENERGIA OSCILATORULUI ARMONIC ....................................................................... 7

2. OSCILAII AMORTIZATE.................................................................................................. 92.1. FACTORUL DE CALITATE AL OSCILAIILOR AMORTIZATE..................................... 12

3. OSCILAII FORATE. REZONANA................................................................................ 13

3.1. APLICAII ALE REZONANEI................................................................................... 16

4. COMPUNEREA OSCILAIILOR ARMONICE..................................................................... 18

4.1. COMPUNEREA OSCILAIILOR PARALELE CU ACEEAI FRECVEN..................... 18

4.1.1. METODA ANALITIC......................................................................................... 18

4.1.2. METODA FAZORIAL........................................................................................ 19

4.2. COMPUNEREA OSCILAIILOR PARALELE CU FRECVENE DIFERITE.................... 20

4.2. COMPUNEREA OSCILAIILOR ARMONICE PERPENDICULARE............................... 22

4.2.1. OSCILAII ARMONICE CU ACEEAI PULSAIE................................................. 22

4.2.2. OSCILAII ARMONICE DE PULSAII DIFERITE................................................. 24


46/170

Ionu VL DOIU OSCILAII MECANICE

4 - 2

OSCILAII MECANICE

1. OSCILATORUL LINIAR ARMONIC

n natur apar multe tipuri de fenomene repetitive, de la orbiteleelectronilor n atom, pn la reapariia Cometei Halley la fiecare 75 de ani.

Civilizaiile strvechi atribuiau fenomele repetitive, precum anotimpurile,ciclicitii naturii timpului nsi, dar n prezent aceste fenomene pot fi explicate

fr a apela la presupuneri mistice. De exemplu, presupunnd c orbita CometeiHalley nu este o elips care se nchide singur la fiecare micare de revoluie i

decidem s trasm cu un creion pe hrtie o traiectorie aleatorie care nu se repet

niciodat. Nu vom putea s desenem prea mult timp fr a intersecta o traiectorieanterioar. Acest moment corespunde celui n care Cometa trece printr- o poziieanterioar i cum energia ei potenial va avea aceeai valoare ca cea dinmomentul n care a trecut anterior prin aceai poziie, legea de conservare aenergiei impune ca, n acel punct, aceasta s fi avut i aceeai valoare a energiei

cinetice i, prin urmare, aceeai valoare a vitezei. n plus, direcia de micare aCometei nu poate fi aleas aleatoriu deoarece trebuie s fie respectat i legea deconservare a momentului cinetic. Astfel, legile de conservare furnizeaz un motivntemeiat asupra multitudinii de micri repetitive existente n natur. Fcnd o

trecere la nivel subatomic, unde electronii se mic repetitiv pe anumite orbite njurul nucleului, putem afirma c particulele ce alctuiesc materia formeazconstrucii care vibreaz (oscileaz). Mai mult, descoperirile iniiate de Einstein,fcute la nceputul secolului XX au lansat ipoteza c particulele subatomice sunt

de fapt unde, ipotez ce i-a gsit ulterior confirmarea experimental. n acestnou mod de interpretare a lumii materiale, vibraiilei undelesunt fundamentale,

iar formarea materiei reprezint doar unul din trucurile fcute de unde.

1.1. MRIMI CARACTERISTICE MICRII OSCILATORII

Plecnd de la exemplele de mai sus putem evidenia i alte exemple deoscilaii pe care le regsim frecvent n jurul nostru. Astfel, vibraia scoarei

terestre n timpul cutremurelor, a corzilor vocale i corzilor instrumentelormuzicale, micarea de agitaie termic care conduce la nclzirea recipientului ncare se toarn un lichid fierbinte, vibraiile cldirilor i micarea pendulelor,micarea coloanei de mercur a unui termometru, etc., reprezint cazuri n care se

produc oscilaii.

Astfel, putem definii micarea oscilatorie ca fiind deplasarea unui punctmaterial de o parte i de alta a unei poziii de echilibru, punctul material careexecut o astfel de micare numindu- se oscilator.


47/170


4 - 3

Intervalul de timp dup care punctul material trece din nou prin aceeaipoziiese numeteperioada micriioscilatorii Ti este dat de relaia:

(1)unde este timpul n care se efectuaz Noscilaii complete, [] 1.

O alt mrime ce caracterizeaz micarea de oscilaie este frecvena aoscilaiei, care exprim numrul de oscilaii efectuate unitatea de timp:

(2)unde [] 1. Din realiile (1) i (2) obinem:

(3)innd cont de faptul c, viteza unghiular sau pulsaia micrii circulare,care este un tip de micare oscilatorie, este dat de relaia:

2 (4)putem scrie:

(5)Se observ c perioada oscilaiilor armonice depinde doar de proprietile

oscilatorului (figura 1) i nu depinde de caracteristicile micrii. Acest rezultat

reprezint legea izocronismului micilor oscilaii, adic oscilaiile mici suntizocrone, deci perioada lor nu depinde de amplitudinea micrii oscilatorii.

Aplicaia 1.

Frecvena unui post de radio este 98,0 MHz. Censeamn asta i crei perioade corespunde?

Rezolvare

Undele radio emise de antena postului

respectiv vibreaz de 98,0 milioane de ori pesecund. Aceast vibraie corespunde uneiperioade de:

T 1,02108sAcest exemplu ilustreaz de ce, n mod normal,

folosim frecvena i nu perioada oscilaieiundelor radio. S-ar putea spune c radioulrespectiv emite unde cu perioada de 10,2 ns,

dar marea majoritate a oamenilor sunt

obinuii cu valorile mari ale prefixurilor din

sistemul metric.

Analiznd sistemele fizice din figura 1, la o prim vedere ele par a aveafoarte puine elemente n comun:

n figura 1.aeste reprezentat un pendul simplu, alctuit dintr un corp de masmcare se mic la captul unui fir rigid de lungime l;

n figura 1.bun disc plat este suinut de un fir rigid ce trece prin centrul su icare oscileaz unghiular n planul circumferinei sale;


48/170


4 - 4

n figura 1.cun corp de mas este prins de un resort elastic de constant kce se deplaseaz, fr frecare, n lungul axei ox;

n figura 1.dprin centrul unei sfere de mas meste trecut un fir de lungime 2l,fixat la ambele capete astfel nct tensiunea

n ambele fire s fie constant;

n figura 1.eeste un tub n form de U, avnd aria seciunii constant i careconine un lichid de densitate constant ce oscileaz n jurul poziiei deechilibru;

n figura 1.feste un circuit oscilant, format dintr- o bobin de inductan iun condensator de capacitate , ncrcat cu o sarcin .

Toate aceste sisteme sunt oscilatori armonici simpli, atunci cnd sunt puinperturbai fa de poziia lor de echilibru. Acesta este cazul fundamental al

vibraiei unei particule sau un sistem unidimensional. La o deplasare mic fade poziia de echilibru va apare o for care va tinde s -l readuc npoziia sa

iniial, adic orientat spre poziia sa de echilibru stabil.Fora sub aciunea creia sistemul revine n poziia de echilibru poate fi

scris sub forma:

sau 0 (6)unde k este o constant de proporionalitate, semnul minus indicnd c fora

Figura 1. Oscilatori armonici simpli i perioada lor de oscilaie. (a) Pendulul simplu. (b)Pendulul de torsiune. (c) Pendulul elastic. (d) Mas n centrul unei coarde de tensiune constantT. (e) Lichid de lungime lntr- un tub n form de U, de seciune constant. (f) Circuit electric LCoscilant.

2

2 2

22 2 2 2

(a)(b) (c)

(d) (e)(f)


49/170


4 - 5

acioneaz n sens opus direciei de micare.Un exemplu de astfel de for este for elastic, aceasta fiind proporional

cu deplasarea punctului material fa de poziia de echilibru i fiind orientatspre aceasta, n acest caz k reprezentnd o constant elastic. Micarea

punctului material sub aciunea acestei fore se numete micare oscilatoriearmonic.mprind relaia de mai sus la masa m a oscilatorului i notnd cu

pulsaia propriesaupulsaia oscilaiilor liberea oscilatorului, obinem: 0 (7)Aceasta este o ecuaie diferenial liniar i omogen, de ordinul al doilea, a

crei soluie este de forma:

(8)unde C1i C2sunt dou constante arbitrare de integrare.Dac facem notaiile:

i obinem forma echivalent a ecuaiei (8): (9)

sau

[ ] (10)

Utiliznd formula: , relaia de mai sus devine: (11)Relaia (11) ne permite s determinm deprtarea xa punctului material, la

un moment dat, fa de poziia sa de echilibru, adic elongaia micrii, iar se numete amplitudinea micrii de oscilaie. Deoarece valorile limitale funciei sunt 1, sistemul va oscila ntre valorile .Argumentul

reprezint faza micrii, iar

este faza iniial (faza la

momentul 0). Aceast denumire este legat de faptul c adesea, micareaoscilatorului armonic este asemnat cu micarea circular deoarece fiecarevaloare posibil a elongaiei xpoate fi reprezentat prin proiecia unui vector depoziie de lungime constant pe diametrul unui traiectorii circulare descrise de

micarea vectorului de poziie n timpul rotaiein sensul trigonometric, cu vitezunghiular constant (figura 2). Fiecare rotaie, ce corespunde unui unghi

descris de vectorul de poziie egal cu 2rad, reprezint o oscilaie complet.

Prin derivarea relaiei (11) n raport cu timpul obinem viteza de oscilaie:

(12)


50/170


4 - 6

iar acceleraia oscilatorului va fi dat de relaia:

(13)

Din (12) i (13) se poate observa c ntre vitez i elongaie este o diferen

de faz deiar ntre acceleraie i elongaie diferena de faz este .

Aplicaia 2.

Determinai expresiile vitezei maxime i aacceleraiei maxime a oscilatorului.

Rezolvare

Viteza maxim a micrii oscilatorii seobine punnd condiia ca . nacest caz, din relaia (12) se obine:

Analog, punnd condiia ca 1,din relaia (13) obinem:

.Aplicaia 3.

Expresia este o ecuaie diferenial,adic o ecuaie ce implic existena unorderivate. n cazul nostru, am presupus c i am obinut ecuaia diferenialde micare a oscilatorului avnd forma dat de

relaia (6): , unde

. nmatematic exist tehnici speciale pentrurezolvarea ecuaiilor difereniale. Folosind oastfel de metod demonstrai c este tot o soluie a ecuaiei(6).

Rezolvare

Plecnd de la relaia pe care am presupus-o soluie a ecuaiei de micare,

, obinem:

nlocuind aceste relaii n ecuaiadiferenial a micrii 0 va rezulta:

0sau

0Astfel

adic chiar frecvena oscilaiilor proprii aleoscilatorului armonic, ceea ce nseamn c , este soluie a ecuaieidifereniale a micrii.

Figura 2. Variaia sinusoidal a elongaiei oscilatorului armonic, n timp,

pentru diferite valori ale fazei iniiale a micrii.


51/170


4 - 7

Constantele Ai se determin din condiiile iniiale, adic: |= i |= (14)

Astfel, vom avea:

{ (15)Utiliznd identitatea trigonometric 1, obinem relaia:

1

(16)

mprind membru cu membru ecuaiile (19) obinem:

(17)Astfel, soluia ecuaiei de micare se poate scrie:

[ ] (18)1.2. ENERGIA OSCILATORULUI ARMONIC

Energia cinetica oscilatorului armonic este dat de relaia:

(19)innd cont de relaia (12), obinem:

(20)Deorece micarea oscilatorie se efectueazsub aciunea unor fore de tip elastic,

energia potenial a oscilatorului va fidat de relaia:

(21)nlocuind relaia (11) n relaia de mai sus

obinem:

(22)Figura 3Reprezentarea energiilor cinetice

i poteniale ale oscilatorului armonic nfuncie de elongaia micrii. La oricevaloare a elongaiei suma acestor douenergii rmne constant, adic E= const.


52/170


4 - 8

Astfel, energia totala oscilatorului armonic este dat de relaia:

. (23)Aadar, energia oscilatorului armonic rmne constantla orice moment de

timp i este proporional cu ptratul amplitudinii. Pe parcursul micriioscilatorului are loc o transformare reciproc a energiei cinetice n energie

potenial, astfel nct, energia oscilatorului se conserv (figura 3).

Aplicaia 4.

Dou resorturi de constante elastice k1 i k2sunt legate de un corp de mas m ca n figur.Considernd frecarea dintre corp i suprafanul i c masele resoartelor sunt neglijabile,determinai constanta elastic echivalent n

fiecare caz.

Rezolvare

Cazul I Resorturile sunt legate n paralel

Presupunnd o deplasare

x a corpului, forele exercitateasupa corpului pentru a-l

readuce n poziia de echilibrusunt:

Dar: i , astfel nct:

unde este constanta resortului

echivalent.

Cazul II Resorturile sunt legate n

serie

Presupunnd o deplasare x1 a

primului resort, respectiv x2 a

celui de-al doilea resort, atunci

distanta pe care se deplaseazcorpul va fi x1+x2. Fora

exercitat de cele dou resorturiva fi:

Considernd micarea masei i a resortului 2putem scrie:

f=-k1x1

Dar F=f deoarece produsul mg este acelai ipentru masa m i pentru masa plus resortul 2,

deoarece acesta are masa zero:

x x K kx K kxx xDar: kx kx (raportul deformrilor esteinvers proporional cu cel al constantelorelastice), astfel nct:

K k

x

x kk x k

k

k k 1K 1k 1k

Cazul III Resorturile sunt de o parte i de alta a

corpului:

Dac resortul 1 este comprimat cu x, atunciresortul 2 este ntins cu x. Astfel:

de unde este constanta resortuluiechivalent.


53/170


4 - 9

2. OSCILAII AMORTIZATE

Datorit interaciunii cu mediul n care efectueaz oscilaii, oscilatorulpierde energie datorit rezistenei mediului sau a vscozitii acestuia. Dup cum

am artat, energia oscilatorului este proporional cu ptratul amplitudinii, ceeace nseamn c n timp i amplitudinea se reduce, adic oscilaiile seamortizeaz.

S considerm cazul n care particula oscileaz ntr- un mediu n care fora

de rezisten este proporional cu viteza particulei, fiind orientat n sens opusvitezei i care se poate exprima prin relaia:

(24)n acest caz, ecuaia de micare a oscilatorului n mediul respectiv va fi:

0 (25)sau

2 0 (26)unde este coeficientul de amortizare, [b]S.I.= s-1, iar este pulsaiapropriesaupulsaia oscilaiilor liberea oscilatorului.

Soluia ecuaiei difereniale omogene a micrii este de forma1

: (27)unde i sunt dou constante arbitrare de integrare, iar , . Amnotat frecvena oscilaiilor amortizate sau pseudofrecvena, aceastafiind mai mic dect frecvena oscilaiilor proprii, deoarece frecarea cu mediul

ntrzie micarea i mrete perioada oscilaiilor.

innd cont de notaiile facute, putem scrie ecuaia (27) sub forma:

+ (28)sau

[ ] (29)Se disting trei situaii:

1Numrul constantelor de integrare permise n soluia ecuaiei difereniale este ntotdeauna egal cu ordinul ecuaiei.

Cele dou constante i sunt permise deoarece ecuaia (27) este o ecuaie diferenial de gradul al doilea. Valorilecoecienilor sunt ajustate pentru a sasface condiiile iniiale.


54/170


4 - 10

CAZUL I: < n acest caz micarea este periodicUtiliznd formula lui Euler: , putem scrie relaia de mai

sus sub forma:

[ ] (30)Dac facem notaiile:

+ i + obinem forma echivalent aecuaiei (30):

[ ] (31)adic

[ ] (32)sau [ ] (33)

Scoatem factor comun constanta Ai obinem:

sin (34)Relaia (34) ne arat c punctul material are o

micare oscilatorie de tip sinusoidal, dar cuamplitudinea descresctoare exponenial

(figura 4). O astfel de micare este amortizatiare perioada:

(35)Amortizarea oscilaiilor se poate

caracteriza cu ajutorul mrimii numite

decrement logaritmic al amortizrii, definit prin relaia:

(36)Decrementul logaritmic al amortizrii este o mrime adimensional.

Viteza oscilaiei va fi dat de relaia:

(37)sau [ ] (38)

Figura 4Scderea exponenial aamplitudinii oscilaiei amortizate.Amplitudinea scate cu .


55/170


4 - 11

Constantele Ai se determin din condiiile iniiale: |= i |= (39)

Astfel, vom avea:

{ [ ] (40)Utiliznd identitatea trigonometric 1, obinem relaia:

1 (41)mprind membrucu membru ecuaiile (40) obinem:

(42)

Astfel, soluia ecuaiei de micare se poate scrie:

[ ] (43)Astfel, energia oscilaiilor amortizate va fi dat de relaia:

(44)

nlocuind n relaia de mai sus viteza i elongaia oscilaiilor amortizate i

considernd c 1i 1, vom obine:

(45)CAZUL II: > cazul micarii aperiodice

n acest caz micarea nu mai este una

oscilatorie, punctul material nu mai trece de o

parte i de alta a poziiei de echilibru ci, teoretic,

dup un timp infinit de lung revine n poziia deechilibru (figura 5).

CAZUL III: cazul micarii aperiodicecritice.

n acest caz elongaia tinde mai rapid spre

valoarea zero(figura 6).

Figura 5reprezentarea micriiaperiodice


56/170


4 - 12

Una din aplicaiile importante ale amortizriioscilaiilor este la sistemul de suspensie al

automobilelor. Amortizoarele automobilelor preiau

oscialiile brute ale roilor i le amortizeaz,

realiznd astfel o protecie att a pasagerilor ct ia elementelor componente ale acestora de ocuri

puternice.

i cldirile nalte au sisteme de amortizare

care le protejeaz de vibraiile puternice care aparn cazul furtunilor i n cazul cutremurelor. De asemenea, casele au sisteme de

amortizoare ce le protejeaz de zgomotele puternice (materialele izolatoare fonicutilizate n construcii au rolul de a amortiza vibraiile sonore).

2.1. FACTORUL DE CALITATE AL OSCILAIILOR AMORTIZATE

Factorul de calitate al oscilaiilor amortizate msoar rata de scdere aenergiei oscilatorului. Cum scderea amplitudinii este exprimat de relaia:

(46)scderea energiei este proporional cu:

(47)

Astfel, putem scrie:

(48)unde reprezint energia la momentul 0.

Timpul n care energia scade la valoarea este dat de condiia pe durata cruia oscilatorul a vibrat pe .Vom definifactorul de calitate

prin relaia:

(49)ce exprim numrul de radiani pe parcursul crora amortizarea oscilaiilor i aenergiei corespunztoare scade la valoarea:

(50)Pentru coeficieni de rezisten mici, factorul de calitate este foarte mare,

astfel nct

i

, iar relaia (49) devine:

(51)

Figura 6reprezentarea micriiaperiodice critice


57/170


4 - 13

care este o constant a sistemului amortizat.

ntroducnd relaia (51) n relaia (48), vom avea:

(52)

Deoarece este o constant, raportul dintre energia nmagazinat nsistem i cea pierdut pe un ciclu s fie constant pentru:

(53)Astfel, raportul dintre energia nmagazinat n sistem i cea pierdut pe un

ciclu va fi dat de relaia:

(54)Aplicaia 5.

Un electron dintr- un atom care radiaz energie se comport ca un oscilator amortizat. Dac

puterea radiat este dat de relaia la lungimea de und 0,6 , se obine 1 08i reprezint timpul liber de via al radiaiei care are valoare de aproximativ 108 . S-au utilizatvalorile: 1 , 6 1 0, 9,1 10, 3 1 08 , 9 1 0 , iar xoeste amplitudineaoscilaiei.

3. OSCILAII FORATE. REZONANA

La scurt timp dup deschiderea podului Tacoma Narrows Bridge din iulie1940, automobiliti au observat tendina acestuia de a oscila puternic, chiar i la

valori moderate ale vitezei vntului. n 7 noiembrie, acelai an, cnd vitezavntului a atins 70 km/h, podul s-a prbuit, ruinele acestuia formnd unul

dintre cele mai lungi recife artificiale din lume. Cauza prbuirii podului nu s-a

datorat materialelor utilizate la construcia podului sau unei erori de design, cidatorit fenomenului fizicde rezonan.Acelai fenomen apare i atunci cnd ointerpret de oper reuete s sparg un pahar de sticl cu ajutorul vocii. n

realizarea podului ce l-a nlocuit pe cel prbuit inginerii au introdus micimodificri pentru a evita producerea fenomenului de rezonan.

Pentru a elimina amortizarea micrii unui oscilator sub aciunea forelorde rezisten, trebuie s se transmit acestuia energie din exterior. Acest lucru se

poate realiza prin aciunea unei fore periodice exterioare care s compensezeamortizarea. Expresia acestei fore este dat de relaia:

sin (55)


58/170


4 - 14

n acest caz, ecuaia de micare a oscilatorului n mediul respectiv va fi:

sin (56)sau

2 sin (57)unde este fora redus.

Ecuaia (57) este o ecuaie diferenial de ordinul al doilea, cu coeficieniconstani i neomogen, a crei soluie se obine prin nsumarea soluiei omogene

i o soluie particular a ecuaiei neomogene:

(58)

unde

sin (59)i

sin (60)Datorit amortizrii putem neglija soluia ecuaiei omogene (59) i astfel

oscilatiile sistemului vor fi descrise, dup un timp suficient de mare, de soluia

particular: sin (61)Micarea descris de acesat relaie se numete n regim stationar, regim

caracterizat de faptul c, oscilaiile se efectueaz cu fercvena forei exterioare .Din condiia ca ecuaia (61) s verifice ecuaia diferenial (57) la orice moment de

timp, vom determina constantele Ai . Astfel,

curs fizica - faima, sem. i

Documents