UNIVERSITATEA TEFAN CEL MARE SUCEAVA FACULTATEA DE INGINERIE MECANIC MECATRONIC I MANAGEMENT Lector univ. dr. Cristian Prghie Suceava, 2010 INTRODUCERE Obiectul fizicii, fenomene fizice, mrimi fizice Cuvntul fizic provine din grecescul physis care nseamn natur. Fizica - tiin fundamental a naturii care studiaz formele de existen ale materiei i micrile ei. Prin materie se nelege realitatea obiectiv care exist n mod independent de contiina uman i este reflectat adecvat de aceasta. Atributul fundamental al materiei, modul su de existen, este micarea. Prin micare se nelege orice schimbare sau proces: deplasare mecanic n spaiu, reacie chimic, radiaie electromagnetic, proces biologic, gndire. Scopulfiziciiestedeadescrie,explicaiprevedeafenomenelenaturii, pentrualeputeastpniifolosi.Descoperirileirealizrilefiziciistaulabaza dezvoltriitehnicii.Fizicastabiletelegipebazaobservaiiloriaexperimentelor tiinifice. Legeaexprimlegturanecesariesenialntrefenomene,legtura ntre cauz i efect, care condiioneaz o dezvoltare determinat a fenomenelor. Observaiaestestudiulfenomenuluincondiiilesalenaturalede desfurare,ntimpceexperimentultiinificestereproducereafenomenuluin diverse condiii create artificial, cu scopul de a descoperi legitile fenomenului.nproprietilematerieiseevideniazideeadezvoltriiiinterconexiunii, precum i principiul cauzalitii baz a prevederii desfurrii fenomenelor. Conformacestuiprincipiuoricefenomenfizicareodeterminarecauzal bine definit. Dezvoltareafiziciiducelaelaborareaconceptuluigeneraldematerie(ca substan sau cmp), ca realitate obiectiv i obiect al cunoaterii fizice. Materia esteinfinitiinepuizabiln proprietile sale,nformele sale de organizare i manifestare. Obiectele i fenomenele din natur se gsesc n nesfrite interconexiuni i interdependene. De aceea, n studiul fenomenelor naturii suntem totdeaunanevoiissimplificm,sschematizmproceselestudiate,screm modeleteoreticealeobiectelorifenomenelor. Frschematizareafenomenelor studiate,fizican-arputeafolosiaportulmatematic,n-araveaoteorie,n-arputea conferi experienei un scop determinat. Unmodelcorect trebuiesianconsiderareparticularitileprincipaleale fenomenului(obiectului,procesului)studiatnproblemapus,lsndlaoparte trsturile secundare, neeseniale, necaracteristice. Numai astfel se pot stabili legile i relaiile cantitative. Arta fizicianului este de a ti ce s pstreze i ce s neglijeze n problema propus. Mrimi fizice Mrimilefizicesuntcategoriifizicecareservesclastudiulcantitatival fenomenelorfizice.Elereflectaceleproprietialerealitiiobiectivecepotfi cercetate cu ajutorul metodelor fizice. A msura o mrime fizic (x), nseamn a compara mrimea respectiv cu o alt mrime de aceeai natur, luat convenional ca unitate de msur [x]. Rezultatul msurtorii reprezint valoarea mrimii msurate (a) astfel nct: xax(1) Dac pentru aceeai mrime folosim mai multe uniti de msur i diferite, atunci este valabil urmtoarea relaie: 1 1 n nx ax a x ... a x (2) De unde rezult: 1 21 2x xa a; ; ...a x a x(3) Relaiile(3)nearatcraportulvaloriloruneimrimifizice,obinuten urma folosirii a dou uniti de msur, este egalcu inversul raportului celor dou uniti. Oricemsurarefizicestentotdeaunaunprocesdeinteraciunentre obiectul msurat i dispozitivul (aparatul) de msur, proces care modific i starea obiectuluimsurat(pentrumicroparticuleaceastperturbareesteprincipial inevitabil). Mrimile fizice se pot clasifica dup diferite criterii: A. Dup natura mrimilor fizice: -mrimi scalare, caracterizate numai prin valoare numeric; -mrimivectoriale,caracterizateprindirecie,sens,modulipunctde aplicaie; -mrimi tensoriale, caracterizate printr-o serie de legi de transformare, la trecerea de la un sistem de coordonate la altul. Fiecaredintreacestemrimiauasociateunanumitprocedeudecalcul,un aparatmatematiccorespunztor,respectiv:calculnumeric,calculvectorial,calcul tensorial. B. Dup modul de definire al mrimilor fizice: -mrimifizicefundamentale,carenusedefinesccuajutorulaltormrimi fizice (ele nu au formul de definiie). Aceste mrimi se stabilesc convenional.n anul 1961 s-au acceptat ase mrimi fundamentale: 1)lungimea (L) 2)masa (m) 3)timpul (t) 4)temperatura (T) 5)intensitatea curentului electric (i) 6)intensitatea luminoas (I) Lamrimilefundamentales-auadugatulteriorncdoumrimi suplimentare: 1)unghiul plan ( ) 2)unghiul solid ( ) - mrimi fizice derivate, care se definesc cu ajutorul altor mrimi fizice (au formuldedefiniie),deexemplu:M r F =momentulforei; impulsul p mv ; lucrul mecanic L Fr; viteza drvdt; C. Din punct de vedere al posibilitilor de msurare: - mrimi fizice msurabile, pentru care exist mijloace de msurare directe. De exemplu: lungimea, timpul, intensitatea curentului. -mrimifizicecalculabile,caresedeterminprincalcul,folosindmrimi fizice msurabile. Exemplu: volumul, densitatea corpurilor. Uniti de msur Unitiledemsuralemrimilorfundamentalesestabilesccuajutorul etaloanelor,caresepstreazlaBiroulInternaionaldeMrimiiGreutidela Svres(Frana).Ansamblulunitilordemsuralemrimilorfundamentale formeaz un sistem fundamental de uniti. La cea de-a XI-a Conferin General de Msurii Greuti inutla Paris, nlunaoctombrie1960,s-aadoptatunnousistemdeunitidemsur,bazatpe sistemul metric, numit Sistem Internaional (SI). Unitiledemsurfundamentalealemrimilorfundamentalensistemul internaional(SI)sunt:metrul(m),kilogramul(kg),secunda(s),Kelvinul(K), amperul (A), candela (cd), radianul (rad), steradianul (strad). Etaloanele alese s-au definit astfel: 1.METRUL este egal cu distana parcurs de lumin n vid n timp de 1/299792458 dintr-o secund. (1983) 2.SECUNDA este 9.192.631.770 Tcs, unde Tcs este perioada tranziiei ntre nivelele hiperfine ale strii fundamentale a 133Cs. 3.KILOGRAMULestemasaetalonuluipstratlaSvres,1kgeste aproximativ egal cu masa unui dm3 ap pur la 4oC. 4.AMPERULesteintensitateaunuicurentelectricconstantcare meninut n doi conductori paraleli, delungimiinfinite iseciunineglijabile,aezainvidla1mdistan, determin apariia ntre conductori a unei fore de 210-7 N pe fiecare metru de lungime. 5.KELVINULunitatedetemperaturtermodinamicreprezentnd 1/273 din temperatura termodinamic a punctului triplu al apei. 6.CANDELAesteintensitatealuminoasemismanualpesuprafaa de 1/600.000 m2 de un corp negru incandescent (Pt) n condiii normale. 7.RADIANUL unghiul la centrul unui cerc care subntinde pe cerc un arc cu lungimea egal cu raza cercului. 8.STERADIANULunghiulcuvrfulncentruluneisferecare delimiteaz pe suprafaa sferei o arie egal cu aria unui ptrat cu latura egal cu raza sferei. Unitiledemsuralemrimilorderivatesestabilesccuajutorulformulelorde definiie. Pentru multiplii i submultiplii diferitelor uniti se folosesc urmtoarele prefixe: MultipliPrefixUnitiSubmultipliPrefixUniti decada10decid10-1 hectoh102 centic10-2 kilok103 milim10-3 megaM106 micro 10-6 gigaG109 nanon10-9 teraT1012 picop10-12 petaP1015 femtof10-15 exaE1018 attoa10-18 Formule dimensionale Dac notm cu L, M, T unitile mrimilor fundamentale: lungime, mas i timp, atunci pentru oricare unitate mecanic avem ecuaia: A LM T (4) numitecuaiededimensiunisauformuldimensionalamrimiiAfade mrimile fundamentale alese. Exponenii,, sunt numere ntregi pentru mrimi mecanice. Constantelecareintervinnlegilefiziciipotfiattdimensionale,cti adimensionale (n ultimul caz nu intervin n formula dimensional). Deoarecenusepotadunasauegaladectmrimifizicedeaceeainatur, fiecareformulfizictrebuiesfieomogendinpunctdevederedimensional, adicambiimembriaiegalitii,ctifiecaretermenaluneisumealgebrice, trebuiesaibaceleaidimensiunifizice,altfelformulan-aresens.Acestaeste principiul omogenitii dimensionale a formulelor fizice. Analizadimensional.Principiulomogenitiidimensionaleaformulelor fiziciinepermitesgsimchiarformaunorlegifizice.Deexemplu,tiinddin experiene c perioada unui pendul simplu gravitaional depinde de lungimea sa l i de acceleraia gravitaional g, scriem: T const. l g (5) unde i sunt constante. Trecnd la dimensiuni: 2 2T L LT L T (6) Prin identificarea exponenilor, gsim: 1 1 0; 1 -2 - ; 2 2(7) lT constg(8) unde const este o constant adimensional de ordinul unitii 2 . Calculul erorilor de msur Setiecmsurarearepetatauneimrimifizicencondiiiidenticenu conduce la acelai rezultat. Abaterea valorii msurate de la adevrata ei valoare se numeteeroaredemsurare.Aceastabaterenupoatefieliminatcomplet niciodat. Erorile se clasific n: 1.Erori grosolane sau greeli, datorit unor accidente n msurare; 2.Erorisistematice,careserepetnaceeaimsurlafiecaremsurtoare, fiind determinate de instrumentele de msur; 3.Eroriaccidentale, carepotfidenatur obiectivsau subiectiv,dar necontrolabile,adic nupotfiprevzutei controlate. Erorilegrosolanei celesistematice,potfi practiceliminatesauevitate.Erorileaccidentalesuntinevitabile.Cauzeleerorilor accidentale se pot datora experimentatorului,instrumentului demsur,instalaiei, saualtorfactoridenaturextern.Erorileaccidentale,denumiteeroriscalarese supun unor legistatistice,legi careseverific experimentul doar pentru un numr mare de msurtori: 1.Legeadedistribuieaerorilor:dacnumrulmsurtorilorasupraunei mrimi este mai mare atunci tot attea valori sunt afectate de erori n exces, ct sunt afectatenminusfadevaloareaadevrat,sumaalgebricaerorilorfiindegal cu zero. 2. Legea frecvenei: dac numrul msurtorilor este mare i aranjm erorile dup mrime, atunci, cu ct erorile accidentale sunt mai mici n valoare absolut cu att se ntlnesc mai mult fa de cele mai mari. Calculul erorilor se efectueaz n dou cazuri distincte: a) la mrimi msurate direct; b) la mrimi msurate indirect. i O Fig. 1 Clopotul lui Gauss a)Calculul erorilor la mrimi msurate direct Dacasuprauneimrimidevaloarerealx,seefectueaznmsurtori directeobinndu-sevalorilexii 1, n ,erorilerealepentrufiecaremsurtoare sunt: i i x x (9) Deoarecevaloarearealamrimiimsurate(x)nusecunoate,nupotfi determinatenicierorilereale.Problemacesepuneestedeagsicuajutorul rezultatelor experimentale o valoare a mrimii msurate care s fie ct mai aproape de valoarea adevrat. Metodacelormaimiciptratelabazaacesteimetodeseaflteorema mediei aritmetice care arat c valoarea cea mai bun, care poate exprima valoarea real a unei mrimi msurate de un numr de ori, este media aritmetic a valorilor obinute, numitvaloaremedie. Pentru acestfapt,n practic,nlocul erorii reale, sefoloseteeroareaaparent,pecareonotmVi,numitieroarerezidual. EroareaVi a uneimsurtori se exprim prin abaterea valorii experimentalexifa de valoarea medie a rezultatelor msurtorii, adic: i iV x x, i 1,n (10) Deoarece, conform legii distribuiei erorilor: nin i 1V0nlim(11) rezultcnuesteconvenabilsopermcueroriaparente.nloculacestorase folosesc erori aparente absolute (erori absolute): i ix x, i 1,n(12) unde n este numrul determinrilor efectuate. Pentruapreciereamsurtorilorefectuatensensulcunoateriigraduluide precizie se folosesc o serie de mrimi statistice specifice i anume: 1) Eroarea medie: n2ii 1mn(13) 2) Eroarea ptratic medie: n2ii 1Snn 1(14) 3) Eroarea probabil: 2R S3(15) 4) Eroarea limit:L 3S (16) Rezultatulmsurtorilorefectuateasupramrimiix,seexprimprin valoarea medie x, determinat, indicndu-se eroarea de msur E, adic: x x ES,R,L (17) Feluleroriifolositenexprimareamrimiixindicintervaluldeprecizie folosit n msurtoare. Erorileprezentatesunteroriabsoluteiseexprimnaceleaiunitide msur, ca imrimilefizice respective. n afar de erori absolute semaifolosesc ierorirelative,definiteprinraportuldintreeroareaabsolutivaloareamediea mrimiimsurate.Acesteeroriseexprimnnumerezecimalesaunprocente. Astfel avem: a) eroarea ptratic medie relativ (s): s sS S; (%) 100;x x(18) b) eroarea probabil relativ: RRx(19) c) eroarea limit relativ (L): LLx(20) Erorilerelativeindicnprocentegraduldepreciziecucares-auefectuat determinrile. O msurtoare este bine efectuat dac eroarea relativ nu depete 1%. b) Calculul erorilor la mrimi msurate indirect ncazulmsurtorilorindirecte,sepuneproblemastabiliriilegturiintre erorilemrimilormsurabiledirectierorilemrimiicesedeterminindirectcu ajutorulformulei.Presupunemcavemomrimez,exprimatprimmrimilexi ( i 1,k ) . z = f(x1, x2, x3, ..., xk) Dacx1,x2,x3,...,xksunterorilemrimilorx1,x2,x3,...,xkatunci avem: 1 1 2 2( , ,..., )k kz z f x x x x x x (21) Valorileerorilorfiindmicincomparaiecuvalorilemrimilorputem dezvolta funcia (21) n serie Taylor: 1 2 k 1 2 k1 2 k21 2 k1 2 kf f fz z f x , x ,..., x x x ... xx x x1 f f fx x ... x ...2! x x x(22) Dacseneglijeaztermeniideordinsuperior,obinemexpresiaerorii absolute a funciei z: 1 21 2...kkf f fz x x xx x x(23) Teoria erorilor arat c, fcndu-se asupra fiecrei mrimixi (i 1,n), care estecuprinsnformulele(23),directnnumrmarededeterminri,respectivn1 pentru mrimea x1, n2 pentru x2, etc., avem: 2 2z 1 k1 kf fS S ... Sx x(24) unde: 111kkkn2ii 11 1 11 1n2ii 1k k kk kxS ( i 1,n)n n 1xS ( i 1,n )n n 1CunoscnderoareaptraticmedieputemdeterminavaloareacelorlalteeroriRi L. Mrimea msurat n funcie de intervalul de ncredere i gradul de precizie dorit se exprim prin: z z E( R,L,S )unde 1 2 kz f x , x , ..., xi zE( R,L,S )z(25) Pentruunanumitgraddepreciziealmsurtorilorlamsurareadiferitelor mrimi,sefolosescinstrumentecuoanumitprecizie,datdeceamaimic diviziune ce poate fi citit pe instrument. Capitolul I Elemente de cinematica punctului material Mecanicaacearamurafiziciicareseocupcustudiulmicrii corpurilor i cu stabilirea condiiilor n care corpurile se afl n echilibru. Cinematicastudiulmoduluincareseefectueazmicarea,frase cerceta cauzele micrii. Dinamica studiul micrii ca efect al aciunii unor fore. Statica studiul condiiilorn care corpurile suntn echilibru sub aciunea forelor aplicate. I.1 Cinematica punctului material Micareamecanicschimbareapoziieiunuicorpfadeunaltcorp considerat fix. Sistemdereferin.Corpulcareseconsiderprinconveniefixifade caresestudiazmicareaaltorcorpurisenumetecorpdereferin.Decorpulde referin este legat rigid un sistem de coordonate, de exemplu: un sistem ortogonal de3axe.Pentrumsurareatimpuluitrebuiealesunprocesperiodic,deexemplu: oscilaiileunuipendul.Sistemuldecoordonatepentrumsurareapoziieii ceasorniculpentrumsurareatimpuluiconstituieunsistemdereferinsaureper (SR). Micareaunuicorparatngeneraldiferitnsistemedereferindiferite. Sealegentotdeaunaunsistemdereferinastfelnctfenomenulstudiatsarate ctmaisimplu.Deexemplu,dacstudiemmicareasatelituluinaturalal Pmntului,Luna,fa de Pmnt (sistem de referinlegat de Pmnt) traiectoria eiesteoelipspecnddacamstudiamicarealuniifadeSoare(sistemde referin legat de Soare) traiectoria este sub forma unui tor. Punctmaterial.Mobil.Oprimsimplificareesteneglijareadeformrii corpului,adicconsiderareacorpuluirigid(distanelemutualedintreprile corpuluipresupusefixe).Darchiariaa,micareaestecomplex.Deaceease studiazmaintimicareaunuicorpalecruidimensiuni(deciirotaiiproprii) sunt neglijabilen problema dat. Acesta este punctul material, caracterizat numai prinmasa sa. n cinematicmasanuintereseaz, de aceea punctulmateriallvom numimobil,adicunpunctgeometriccaresemic.Uncorpoarecarepoatefi considerat acum ca un sistem de puncte materiale. Traiectoria.Ecuaiilemicrii.Senumetetraiectoriecurbadescrisde mobilntimpulmicriisale,adicloculgeometricalpunctelorprincaretrece mobilul. Traiectoria poate fi rectilinie sau curbilinie (n particular, circular). Forma traiectoriei depinde de sistemul de coordonate folosit. Poziia mobilului la un moment dat t este determinat de coordonatele sale, deexemplu,x,y,z,ntr-unsistemdecoordonateortogonal,saudevectorulde poziievectorulcareuneteorigineasistemuluidecoordonatecupoziia mobilului pe traiectorie. Componentele vectorului de poziier pe axele Oxyz sunt tocmai coordonatele x, y, z. y s x z O O s(t) P Pk i j Fig. 1.1 2 2 2 2r xi yj zkr x y z i , j ,k - versorii axelor,i j k 1 2 2 2i j k 1; i . j j .k k .i 0i i j j k k 0; i j k ; j k i ;k i j Coordonatelepunctuluimaterialx,y,zsuntfunciifinite,uniformeicontinuede timp: 1 2 3x f t ; y f t ; z f t (1.1) 1 2 3r xi yj zk f t i f t j f t k r t (1.2) Cele trei ecuaii (1.1) se numesc ecuaii cinematice ale micrii i reprezint ecuaiile parametrice ale traiectoriei, n care parametrul este timpul. Prin eliminarea timpului din (1.1)se obin ecuaiile traiectoriei: 1 2F x, y,z 0; F x, y,z 0 (1.3) Fiecare ecuaie de aici reprezint o suprafa, iar ansamblul lor reprezint curba de intersecie a celor dou suprafee. Micarea poate fi descris cu ajutorul traiectoriei(1.3) i a legii de micare pe aceast traiectorie, numit legea spaiului (deci tot trei ecuaii) s f t (1.4) unde s este coordonata curbilinie de-a lungul traiectoriei mobilului, adic lungimea arculuidetraiectoriemsuratdelaunpunctorigineOdepetraiectorie,innd seama de sensul pozitiv ales pe curb. I.1.1 Viteza i acceleraia. Tipuri de micri ale punctului material a)Viteza. Vectorul vitez Presupunem c un mobil M se mic pe o traiectorie (C). Fie M1 i M2 dou poziii succesive, ocupate de mobillamomentelet1 i t2, avndvectorii de poziie 1r i 2r (Fig. 1.2). 2 1r r r -vectordeplasare(vectorulceunetedoupoziiialemobiluluipe traiectorie). Se definete vectorul vitez medie: mrvt(1.5) mv- viteza medie a mobilului pe arcul 1 2MM .Dact0; t2 t1 atunci M2 tinde la M1 i avem: t 0r drv lim rt dt (1.6) undev estevitezamomentan(instantanee)ireprezintvitezamobiluluin punctulM1,iarrdesemneazderivataluirnraportcutimpul.ngeneral, notaiilemrimilorfizicecuunpunctdeasuprasaudou,reprezintderivatade ordinul1sau2amrimiirespectivenraportcutimpul.Din(1.6)rezultc vectorulvitezv este orientat dup tangentala traiectoriamobilului.Atunci cnd M1iM2suntfoarteapropiate,coardaM1M2poatefiasimilatcuarculM1M2, nct putem scrie: dsv udt (1.7) sau Fig. 1.2 v vu (1.8) u- fiind versorul tangentei n punctul n care este definit viteza v,iar dsvdt- modulul vitezei. Dac micarea este raportat la un sistem cartezian atunci: x y zv v i v j v k (1.9) sau v xi yj zk (1.10) unde: x y zdx dy dzv x ;v y ;v zdt dt dt (1.11) reprezintcoordonatelevitezeidupceletreiaxe,modululvectoruluivitezfiind dat de relaia: 2 2 2x y zv v v v (1.12) n sistemul internaional unitatea de msur pentru vitez este: 1v LT ; v 1m/ s (1.13) Pentru a obine legea de micare se pornete de relaia de definiie a vitezei: dsv ds vdtdt(1.14) i integrnd n ambii membri avem: 0 0 00s t t2 2 20 x y zs t tt2 2 20tds vdt; s s v v vdts s x y z dt (1.15) Micarea rectilinie uniform Micarearectilinieuniformestemicarealacarevectorulvitezeste constant n timp (traiectoria este dreapt iar modulul vitezei este constant). Pentrustudiulmicriiestesuficientsconsidermosinguraxde coordonateacreidirecieisensscoincidcudireciaisensuldemicarea mobilului.FieaceastaaxaOx,iarM0iMdoupunctedepetraiectorieundese gsescmobilelelamomenteledetimpt0it, 0rrespectivrfiindvectoriide poziie ale punctelor M0 respectiv M(Fig. 1.3). Expresia drvdt n urma integrrii devine: 0t0tr r vdt innd seama de faptul c n cazul micrii rectilinii uniforme vectorul vitez este constant din relaia de mai sus obinem legea micrii rectilinii uniforme sub form vectorial: 0 0r r vt t (1.16) sau proiectnd aceast ecuaie pe axa Ox avem: 0 0x x vt t (1.17) Pentru t0=0 legea de micare (1.16) devine x=x0+vtcearegraficulprezentatn figura1.4.Pantagraficuluiestetocmai vitezamobilului,v tg .Dacv>0, mobilulsemicnsensulpozitivalaxei Ox iar dac vn acest caz soluia general este de forma 1 2t t1 2x c e c e = + (3.39) unde ,2 21 2 0 o o e = (3.40) Cu aceste considerente putem afirma c micarea este una aperiodic, amplitudinea oscilatorului scznd exponenial n timp. b) ( )00 o e = A =Pentru aceast ipotez soluia general este de forma: ( )t1 2x e c c t= + (3.41) unde 1 2 o = = = (3.42) n acest caz micarea este aperiodic critic, fiind un regim tranzitoriu de trecere de la micarea aperiodic la cea periodic. c) ( )00 o e < A avemoscilaiicvasiperiodice.Energiatotalsepoatedetermina nmulind ecuaia (3.36) cu dxxdt = 22 22mxx x kxx 0d mx kxxdt 2 2+ + = (+ = ( (3.50) Expresia din parantez este tocmai energia total E i avem: 2cdExdtdE4 Edto= = (3.51) Deoarece factorul de amortizare i energia cinetic sunt mereu pozitive rezult c: dE0dt < (3.52) Prinurmare,datoritrezisteneimediului,oscilatorulpierdenmodcontinuu energie pn cnd aceasta ajunge la zero. Pierderea de energie nu este uniform pe parcursuluneipseudo-perioade.EaestemaximcndEcestemaxim(cnd punctulmaterial trece prin punctul de echilibru) inul cnd energia potenial Ep este maxim (cnd punctul material trece prin punctele de elongaie maxim).Expresia x2u = se numete funcie de disipaie. III. 7 Micarea oscilatorie ntreinut. Rezonana Prezenaforelorderezistendinparteamediuluiconducelafaptulc energia oscilatorului scade, n medie, proporional cu 2 te . nscopulrecuperriienergieipierdute,asupraoscilatoruluitrebuies acionezeoforperiodicexterioarF(t).Asuprapunctuluimaterial(Fig.3.13) acioneazforaelasticFe,foraderezistenFrioforexterioarperiodic F(t). Scriind ecuaia principiului II al dinamicii avem: sin2r e22o2dxF F F mdtdx dxm kx F tdt dt O =+ + =(3.53) undeestepulsaiaforeiexterioareiarF0estevaloaremaximaacesteifore. nmulindnambiimembriicu 1minotnd 2mo = coeficientuldeamortizare, 2okme = pulsaiaproprieaoscilatoruluii ooFfm= ,obinemecuaiadiferenial pentru micarea oscilatorie ntreinut: Fig. 3.13 sin2o ox 2 x x f t o e O + + = (3.54) Soluiauneiecuaiidiferenialedeforma(3.54)estesumadintresoluiaecuaiei difereniale omogene i o expresie de forma termenului liber,F(t). Soluia ecuaiei difereniale omogene reprezint micarea oscilatorie amortizat (3.45), care datorit scderiiexponenialeaamplitudinii,dupuntimptsuficientdemarefadet, poatefineglijat.Aadar,pentrut t ,soluiaecuaiei(3.54)estedeforma funciei F(t). sin( ) x B t O | = + (3.55) unde este defazajul dintre oscilaiile sistemului i ale forei exterioare.ConstanteleBisedetermindincondiiacasoluia(3.55)sverificeecuaia (3.54).cos( )sin( )222x B tx B tO O |O O |= += + ( ) ( ) ( )sin cos sin sin2 2o oB t 2 B t B t f t O O | o O O | e O | O + + + + + =Dezvoltnd funciile sin i cos i identificnd termenii obinem: ( )( )cos sinsin cos2 2o o2 2oB 2 B fB 2 B 0e O | o O |e O | o O | = + =(3.56) Rezolvndsistemul(3.56)obinemamplitudineaioscilaiilorBidefazajul dintreoscilaiileamortizateiceleforate,respectivdintreelongaieifora exterioar: ( )ootg tg2 22 222oOO e | oO |O e = = oarctg2 22oO|O e=(3.57) ( )oofB ; tgcos tg cos22 2112|| e O oO| |= = + ( ) ( )( )2 20 2 22 2 2 2 2 2o o o2 2 22 2 2 22 2oo 2 2o4f 1f 4B44o OO e O e o Oo OO e o Oe OO e+ += = + ( )o22 2 2 2ofB4 O e o O= +(3.58) Dac n (3.58) considerm0 O =obinem elongaia static B0 produs de fora F0: 0 0020F FBm k e= = (3.59) Amplitudinea B i defazajul depind de structura sistemului oscilant (k, m) idefrecvenaforeiexterioare.Conformcu(3.57)i(3.58)odatcuvariaia frecvenei(pulsaiei)foreiexterioare ( )0 O s < arelocvariaiaamplitudinii oscilaiilor B ct i a defazajului . Valoarea maxim a amplitudinii Bmax se obine pentrupulsaiacarefaceminimcantitateadesubradicalaexpresiei(3.58) numit pulsaie de rezonan r. ( )( )2 2 2 oo22 2 2 2od f4 8 0d2 4|O e O o OOO e o O (= + = + ( )2 2 2o2 2 2o2 2 2o2 02 02O O e o OO e oo e O + = + == 2 2 2 2r o2 O e e o = = (3.60) Seobservcfrecvenaderezonanseapropiecuattmaimultdefrecvena proprie de oscilaie cu ct coeficientul de atenuare este mai mic. nlocuind (3.60) n (3.58) rezult: max02 20FB2mo e o=(3.61) Amplitudineamaximestecuattmaimarecuctestemaimic.Pentru max, 0 B o Princreterearezisteneimecaniceamediuluincareaulocoscilaiileforate amplitudineaacestorascade.nFig.3.14(aib)suntreprezentatecurbelede variaieaamplitudiniiidefazajuluipentrudiferitevalorialecoeficientuluide amortizare . Ecuaiacurbei(C)pecaresesitueazamplitudinilemaximeseobine nlocuind din (3.60) n (3.61): max020FBm e O=(3.62) Fig. 3.14 CAPITOLUL IV Unde mecanice (elastice) IV.1 Introducere Mediilecontinue(gazele,lichidele,solidele)suntsistemedeparticule legate,adicdeparticulecareinteracioneazntreele.Deaceea,dacunadin particuleoscileaz,vorosciladupeaiparticulelevecine.Oscilaiilesevor propaganmediudelaparticullaparticulsubformdeunde,numiteunde elastice. Propagarea undelor nu se face instantaneu ci cu vitez finit. Undafenomendepropagareaunorperturbaiidinaproapenaproape datorutfaptuluicparticulelemediuluiinteracioneazntreele.Perturbaiase propagdinaproapenaproapeastfelnct oparticuldinmediucesegseten spaiul de propagare al undei va intra n oscilaie cu aceeai amplitudine, respectiv cuaceeaifrecvencucareoscileazsursa(particulaasupracreias-aintervenit din exterior provocnd oscila ia) dar dup un timpnecesar perturbaieisajung de la surs la punctul respectiv. Din cele spuse reiese c unda transport energie dar nu i mas. Dup direc ia de oscila ie a particulelor mediului avem: - undetransversalelacareparticulelemediuluiaudireciadeoscilaie perpendicular pe direcia de propagare a undei; -undelongitudinalelacareparticulelemediuluiaudireciadeoscilaie paralel cu direcia de propagare a undei. Suprafaa de und estelocul geometric al tuturor punctelor din spaiu care oscileaz n faz. n funcie de forma suprafeei de und avem: -unde plane, suprafaa de und este plan; -unde sferice, suprafaa de und este sferic; -unde cilindrice, suprafaa de und este un cilindru. Front de und cea mai avansat suprafa de und. MecanismuldepropagareaundelornspaiuafostexplicatdeHuygens care a enun at un principiu ce permite explicarea modului de propagare a undelor. Principiul lui Huygens Orice punct de pe o suprafa de und devine un nou centru de perturbaie careemiteundesecundare,nouasuprafadeundfiinddatdenfurtoarea suprafeelor de unde secundare. IV.2 Unda plan progresiv neatenuat Dactoateparticulelesituatentr-unplanperpendicularpedireciade propagare a undei oscileaz identic (n faz), unda se numete plan. Fie o und plan care se propag fr atenuare n direcia axeiOx cu viteza constant c. Dac n originea x=0 elongaia u a particulei urmeaz o anumit lege: u( 0,t ) f ( t )(4.1) atuncipentruoricarepunctdecoordonatxdepeaxaOxelongaiau(x,t)a particuleideacolo,msuratdelapoziiasadeechilibru,vaoscilalafelca particula din origine, dar cu o anumitntrziere x/c, dat de timpulnecesar undei casajungdinoriginepnlapunctulconsiderat.npunctuldecoordonatxla momentul t elongaia trebuie s fie aceeai ca n origine la momentul xtc. x xu( x,t ) u 0, f t F x ctc c(4.2) Elongaiile u(x,t) ale particulelor, msurate de la poziiile lor de echilibru, pot fi att n direcia de propagare a undei, atunci unda se numete longitudinal, ct i ntr-o direcieperpendicularpedireciadepropagare,atunciundesenumete transversal. Expresia (4.2) reprezint ecuaia unei unde plane progresive care se propag fratenuarensensulpozitivalaceiOx.Trecndvitezactrecencn(4.2) ob inem ecua ia undei plane regresive: xu( x,t ) f t F x ctc(4.3) Pentruundaplanprogresivestecaracteristicdependenaelongaiilorude combinaiat x/c (saux ct )inuseparatiindependentdexit.Dac egalm faza cu o constant,x ct const. , gsim legea de propagare rectilinie i uniformx ct const. a fazei (sau frontului) undei. Dacundaplansepropagndireciaversoruluin(Fig.4.1)elongaia particuleidintr-unpunctPderazvectoarervafiaceeaicaaparticulei P x , x r n : x nru r ,t u x ,t u 0,t f tc c (4.4) O x z y P x` x` P`` r c n Fig. 4.1 IV.3 Unda plan monocromatic nundaplanmonocromatic,oscilaiilenfiecarepunctsuntarmonice (sinusoidale), de o anumit frecven (pulsaie): u0,t Asin t f ( t )x xu x,t f t Asin tc c(4.5) Elongaia u este nu numai periodic n timp, cu perioada 2T , ci i periodic n spaiu, n raport cu coordonata x, cu perioada , numit lungime de und, care rezult din condiia de periodicitate spaial: x xsin t sin t 2 2c c c2 c ccT(4.6) Lungimea de und este egal cu distana parcurs de undn timpul unei perioade T,saualtfelspus,cudistanadintredoumaxime(minimesauanulri)succesive ale undei n spaiu la un moment dat. Ecuaia undei (4.5) se mai poate scrie sub forma: x t xu Asin t Asin2c T(4.7) u Asin t kx (4.8) unde 2 2kcT c se numete numr de und, egal cu numrul de lungimi de und care se cuprind n 2 uniti de lungime. Maigeneral,sedefinetevectoruldeundkavndmodulul 2kc ca fiind orientat n direcia i sensul de propagare a undei: 2k k n n nc (4.9) Atunciecuaiaundeiplanemonocromaticecaresepropagnspaiundireciai sensul vectorului de undk se scrie: i t kri t kru Asin t k r Re Aeu Ae(4.10) Argumentul func iei sinus se numete faza undei: def .t k r(4.11) Suprafeele de undsunt suprafee defaz constant iele sunt perpendiculare (n mediiizotrope)pedireciadepropagareaundei.Ecuaiat k r const. reprezintecuaiaunuiplan,vectorulkfiindperpendicularpeacesta.Normalele pe suprafeele de und se numesc raze (direc ia de propagare a undei). Viteza undei planemonocromatice coincide cuviteza de deplasareafazei, numit vitez de faz. Dacfaza din punctul de coordonatx lamomentult a ajunsn punctul de coordonat x+dx la momentul t+dt, nseamn c: t kx ( t dt ) k( x dx ) d dt kdx 0 fdxv cdt k T(4.12) Undele elastice se numesc i unde sonore i se mpart n 3 game: -infrasunete: cu frecven sub 16 Hz; -sunete auzibile: cu frecvenele ntre 16 Hz i 20 Hz (lungimi de und n aer ntre 20 m i 2 cm); -ultrasunete: cu frecvene peste 20 kHz (pn la ~10 GHz). IV.4 Ecuaia diferen ial a undelor La un moment dat t, relaiile (4.7) i (4.8) dau deplasarea u de la poziia de echilibru a unei particule ca funcie de coordonatax a particulei. Dac unda este o undtransversalntr-ocoard,ecuaiareprezintformacoardeilaacelmoment. Astfel la momentul t=0 forma coardei este descris de ecua ia: 2u Asin( kx ) Asinkx Asin x(4.13) Aceast curb este reprezentat n Fig. 4.2: Pentruocoordonatdat,x,relaiile(4.7)i(4.8)daudeplasareauaparticulei avnd acea coordonat, n funcie de timp. Astfel pentru x = 0 avem: tu Asin t Asin2T(4.14) Aceast curb este reprezentat n Fig. 4.3. Formulele demai sus pot fifolosite pentru a reprezenta o und care se propag n direcianegativaxeix,fcndosimplmodificare.nacestcazdeplasarea Fig. 4.2 u xO -A A Fig. 4.3 T u tO punctuluidecoordonatxlamomentultesteaceeaicudeplasareapunctuluide coordonat x=0 la un moment ulterior xtc i relaia (4.5) devine: x t xu Asin2 t Asin2 Asin t kxc T(4.15) Esteesenialssefacdeosebireantrevitezadepropagare,caundeii vitezaparticulei,v,adicvitezauneiparticuledinmediulprincaresepropag unda. Viteza undei, c, este dat de: ck(4.16) Viteza v a particuleintr-un punct oarecare al unei unde transversale, adic laovaloarefixacoordonateix,seobinelundderivataluiunraportcuti considernd pe x constant. O astfel de derivat se numete derivat parial i se noteaz ut. Astfel pentru o und descris de ecua ia: u Asin t kx (4.17) avem pentru viteza punctului: uv Acos t kxt(4.18) Acceleraia punctului este dat de cea de-a doua derivat parial: 222ua Asin t kxt(4.19) Se pot calcula derivatele pariale n raport cu x, considernd pe t constant. Prima derivat ux este panta coardei ntr-un punct oarecare. uAk cos t kxx(4.20) 222uAk sin t kxx(4.21) Din relaiile (4.19) i (4.21) rezult c: 22222 22utcu kx(4.22) Ob inem ecua ia cu derivate par iale: 2 22 2 2u 1 u0x c t(4.23) care este ecua ia diferen ial a undelor care se propag pe direc ia axei Ox. n cazul undelor care se propag dup o direc ie oarecare ecua ia undelor se poate scrie: 22 222 21 uu 0c t1u 0c t(4.24) unde 2 2 22 2 2u u ux y z este operatorul lui Laplace. Ecua ia (4.24) este ecua ia diferen ial a undelor i ea mai poate fi scris sub forma: u 0 (4.25) unde 22 21c teste operatorul lui dAlembert. Oricefunc iecareverificecua iadiferen ialaundelor(4.25)poart denumireadefunc iedeund(notatderegulcu) ieadescrieomi care oscilatorie ce se propag n spa iu sub forma unei unde cu viteza c. IV.5 Viteza undelor transversale i longitudinalea) Viteza undelor transversale Vom deduce o relaie ntre viteza de propagarect a unei unde ntr-o coard ntins i proprietile mecanice ale coardei, masa pe unitatea de lungime ml i tensiunea din coard T.Dac o coard ntins ntre dou suporturi fixe este lovit transversal ntr-un punctoarecare,saudacomicporiuneaeiestedeplasatlateralilsatapoi liber, se va observa c perturbaiile se vor propaga n ambele direcii de la punctul care a suferit deplasarea. ConsidermcoardaprezentatnFig.4.4supusuneitensiuniTiavnd densitatea liniar de mas (masa pe unitatea de lungime) . Lamomentult=0,seaplicoforconstanttransversalFasupra captului stng al coardei. Carezultat,acestcaptsedeplaseaznsuscuvitezatransversalconstantv. ToatepuncteleaflatelastngaluipunctuluiPsemiccuvitezav,ntimpce puncteleaflatela dreapta punctului P suntncn repaus. Grania dintre poriunea aflat n micare i cea staionar se deplaseaz spre dreapta cu viteza de propagare ct. Captul stng al coardei s-a deplasat pe o distan vt, iar punctul de grani P a avansat cu ctt. Vitezadepropagare,c,poateficalculatpunndimpulsulforei transversale egal cu variaia impulsului poriunii aflate n micare. Din asemnarea triunghiurilor rezult: t tF vt v; F TT c t c(4.26) Deci impulsul forei transversale este vT tc. Masaporiuniiaflatenmicareesteprodusuldintremasapeunitateade lungime i lungimea ctt. Deci: ct ctt vt P T F Fig. 4.4 ttvFt T t c t vc(4.27) tTc (4.28) Se observ c viteza de propagare a undei transversale ntr-o coard (4.28) depinde numaidetensiuneadincoardidemasapeunitateadelungime.Cutoatec ecuaia(4.28)afostdeduspentruuncazparticular,earmnevalabilpentru oricemicareondulatorietransversalauneicoarde,incluzndnaceastaundele sinusoidale i alte unde periodice. b)Viteza undelor longitudinale Atuncicndobarmasivestelovitlaunuldincapeteperturbaia provocat prin lovire se propag prin bar cu vitezacl care depinde de modulul de elasticitate al mediului din care este confec ionat bara, E i de densitatea acestuia . Conform legii fundamentale a mecanicii: 22udm dFt(4.29) Din legea lui Hooke: EF x,tF x,t SS(4.30) n micare n repaus dF dx dm clt Fig. 4.5 dF dxSx(4.31) Un strat infinit desubiredxcumasa dm = Sdx( densitatean absena undei) va fi supus la fora rezultant dat de (4.31). Din (4.29), (4.30) i (4.31) avem: 222 22 2uSdx dxSt xE ; Ex xuxu uSdx dxSEt x 2 22 2u u0x E t(4.32) Comparnd(4.32)cuecuaiageneralaundelor(4.23)gsimvitezaundelor longitudinale: lEc (4.33) IV.6 Reflexia i refracia undelor IV.6.1 Reflexia undelor Reflexiaundelorestefenomenuldentoarcereauneiundenmediuldin careprovineatuncicndntlneteosuprafadeseparaiedintredoumedii diferite (medii n care unda se propag cu viteze diferite). Fie un fascicul de raze paralele (front de und plan) care se propag ntr-un mediuelasticcuvitezav1 intlne teosuprafa desepara iedintreacest mediu i un altmediuncare unda se propag cu vitezav2 (Fig.4.6 ). Unghiul pe care-lfacefascicululincident,pesuprafa adesepara iedintreceledoumedii,cu normala la suprafa n punctul de inciden se nume te unghi de inciden isenoteazcui.Lantlnireasuprafe eidesepara iedintreceledoumedii elasticdiferite,fascicululincidentsuferfenomenulderefrac ie,nurmacruia unda se intorce n mediul din care vine fcnd cu normala la suprafa n punctul de inciden un unghi r, numit unghi de reflexie.Legile reflexiei 1Razaincidentnormalalasuprafa npunctuldeinciden iraza reflectat sunt n acela i plan. Adoualegeareflexieinedrela iadintreunghiuldeinciden (unghiul fcut de razaincident cunormalala suprafa n punctual deinciden ) icel dereflexive(unghiulfcutderazareflectatcunormalalasuprafa npunctual deinciden ).DupcumsepoateobservanFig.4.6primulpunctdepe suprafa a desepara ie dintre cele doumedii() careintrn oscila ie esteI1, dupcareperndvorintranoscila ietoatecelelalte,ultimullacareajunge perturba ia este I2. Astfel, n timpul n care unda incident parcurge distan a I2Munda reflectat parcurge distan a I1N. I1M i I2N sunt fronturile de und ale undei incidente respective reflectate. Astfel avem:1 1 1 2 12 1 1 2 1I N v t I I sinr v tI M v t I I sini v t adic: r i , ceea ce reprezint a doua lege a reflexiei. 2Unghiul de inciden este egal cu unghiul de reflexive IV.6.2 Refrac ia undelor Fig. 4.6 Refraciaundelorestefenomenuldeschimbareadirecieidepropagarea unei unde la trecerea printr-o suprafa de separaie dintre dou medii diferite. Legile refraciei 1.Razadeincidennormalalasuprafanpunctuldeincideniraza refractat sunt n acelai plan. Ceade-adoualegearefrac ieinedlegturadintreunghiuldeinciden (unghiul fcut de raza incident cu normala la suprafa n punctual de inciden ) i unghiul de refrac ie (unghiulfcut de raza refractat cu normalala suprafa n punctual de inciden ). Fig. 4.7 Urmndunra ionamentasemntorcucelutilizatpentrugsirealegiiadouaa reflexiei avem: 2 1 1 2 11 2 1 2 21 22 1MI v t; I I sini v tI N v t; I I sinr v tI N vIM v 1 2212 1v n sininsinr v n(4.34) unde n1 i n2 sunt indicii de refracie a celor dou medii iar n21indicelede refracie relativ a mediului 2 fa de mediul 1.Rela ia (4.34) nu reprezint altceva dect cea de-a doua lege a refrac iei. Dup cum se poate observa din aceasta se disting dou cazuri:a). v1 > v2 i > r refracie cu apropiere de normal Fig. 4.8 b). v1 < v2 i < r refracie cu deprtare de normal Fig. 4.9 n acest al doilea caz exist o valoare a unghiului de inciden pentru care unghiul derefrac ier=900.Acestunghisenumete unghilimitisenoteazcul.Pentruorice valoareaunghiuluideincidenmaimaredect unghiullimitnuavemundrefract,fenomen numit reflexive total.Valoarea unghiului limit se determin cu rela ia: 1212vsinl nv(4.35) i r v1 v2 < v1 i r v1 v2 > v1 l v1 v2 > v1 Fig. 4.10 S1 S2 P r1 r2 Fig. 4.11 IV.7 Interferena undelor Dacntr-unmediu avemmaimultesurse de oscila ii,atuncinmediu se propag mai multe unde iar particulele mediului sunt supuse simultan la mai multe mi crioscilatorii.DupcumamvzutnCapitolulIIIlacompunerea oscila iilor, elonga ia rezultat a particulei se compune vectorial din elonga iile produse separat de fiecare oscila ie.Fenomenulcompuneriiundelor,cuntrireasauslbireareciproca oscila iilor, se nume te interferen a undelor.Uncazaparte ifoarteimportantlconstituiecazulncareoscila iile surseloraufrecven eegale idiferen adefazconstant.Oscila iileproduse de astfel de surse se numesc oscila ii coerente. Presupunem c elonga iile sunt pe aceea idirec ie.nacestcazfiguradeinterferen estesta ionar, amplitudinile oscila iilor n diferite puncte sunt constante n timp.Unmoddeaob ineundesta ionarearfiurmtorul.nfa auneisurse punctiforme, S, de la care se propag o und sfericpunemunecrancudouorificii punctiforme S1 i S2, a ezate simetric fa desursaS.Conformprincipiuluilui Huygens,orificiileS1 iS2ac ioneazca surseindependentedeoscila iicuaceea i frecven (ca iursaS) infaz (deoarecele-amdispuslaodistan egal deS).nspa iuldelimitatdeecransevor propaga dou unde sferice provenind de la dousurse coerente. S presupunem c ntr-unpunctPalmediuluiajungoscila iiprodusededousursecoerenteS1 i S2.ConsidermpunctulPaflatlaodistanmarefadesurselecoerenteastfel nct putem spune c cele dou unde se propag pe aceeai direcie. Sursele S1 i S2 emit unde sferice care, n punctul P, sunt descrise de ecua iile: 11 1122 22r A t( r ,t ) sin2r Tr A t( r ,t ) sin2r T(4.36) n(4.36)notm: 1 21 2A Aa ; ar r.Elonga iapunctuluiP,supuslaceledou mi cri oscilatorii descrise de (4.36), se ob ine prin nsumarea elonga iilor date de fiecare und n P. 1 21 21 2r r t t a sin2 a sin2T Ta a a 2 1 1 2r r r r t 2acos 2 sin22 T 2(4.37) Rela ia (4.37) reprezint ecua ia de oscila ie a punctului P supus ac iunii celor douperturba iiprovenitedelasurselecoerenteS1 iS2.Dupcumputem observapunctulParetotomi careoscilatoriearmonicdaracreiamplitudine depinde de diferen a de drum de la cele dou surse: 2 1Pr rA 2acos 22(4.38) Din(4.38)sepoateobservacnfunc iedediferen adedrum 2 1r r r , aplitudinea de oscila ie poate avea diferite valori: a) PA 0 pentru 2 1r r2 ( 2m 1)2 2,adic 2 1r r r ( 2m 1)2,cu m 1,n . Deci toate punctele, din spa iul de propagare acelor dou unde, pentrucarediferen adedrumesteunnumrimpardesemilungimide und, nu vor oscila (minim de interferen ).b) PA 2apentru 2 1r r2 m2, adic 2 1r r r m , cum 1,n . Deci toatepunctele,dinspa iuldepropagareacelordouunde,pentrucare diferen a de drum este unnumrntreg delungimi de und,vor oscila cu amplitudine 2a (maxim de interferen ).Punctele care au aceeai faz se gsesc pe o suprafa descris de ecuaiar1 + r2 = ct.careesteecuaiauneifamiliideelipsoiziderevoluienjuruldrepteicetrece prin cele dou surse i are drept focare sursele S1 i S2 (Fig. 4.12). Loculpunctelordinspa iucareauaceeaiamplitudineesteosuprafa determinatdeecua iar2r1=ct.,caredescrieofamiliedehiperboloizide revoluie n jurul axei S1S2care are drept focare sursele S1 i S2 (Fig. 4.12). Fig. 4.12 Loculgeometricaltuturorpunctelordeaceea iamplitudine(minimsau maxim)formeazofranjdeinterferen .Distan adintredoufranjede interferen se nume te interfranj.Pentruadeterminainterfranjavomconsideraunplanparalelcuplanul surselor S1S2 situat la o distan D mult mai mare dect distan a l dintre cele dou surse(Fig.4.13).nacestplan,loculgeometricalpunctelordeamplitudine constant l constituie o familie de hiperbole care se ob in prin intersec ia acestui plan cu familia de hiperboloizi din figura 4.12. Considerm un punct P care se afl pe o hiperbol de amplitudine maxim a crei ecua ie este dat de 2 1r r mdin figura 4.13 putem scrie: k 2 1x r rsin ; tgl D(4.39) S1S2 S1 S2 r1 r2 xm r2-r1 l D P P0 Fig. 4.13 Aproximmsin printg (aproxima iecndPestedepartedesurse),iardin (4.39) rezult pozi ia maximului de ordinul m fa de P0: mDx ml(4.40) Analog,pentrupunctelencareamplitudineaesteminim,ob inempozi ia minimului de ordinul m fa de P0: mDx ( 2m 1)2l(4.41) Dinrela iile(4.40) i(4.41)sepoateobservacdistan adintredoumaxime respectiv minime, interfranja, este dat de rela ia: m1 mDi x xl(4.42) Din (4.42) se observ c interfranja are o valoare cu att mai mare ( i deci franjele sunt cu att mai distincte) cu ct distan a D este mai mare i distan a l mai mic. Pentru un domeniu nu prea ntins din jurul lui P0 franjele de interferen au forma unor drepte paralele i echidistante, de amplitudini succesive maxime i minime. ntr-unplanperpendicularpesegmentulS1S2(situatnafaralui)franjelede interferen sunt cercuri concentrice, alternativ maxime i minime. IV.8 Unde sta ionare Interferen aadouundeplanedeaceea ifrecven iaceea i amplitudine,caresepropagpeaceea idirec ie,darnsensuriopuse,ducela formareadeundesta ionare.Fiedouundeplane1 i2caresepropagn jurul axei Ox n sensuri opuse i ale cror ecua ii au forma: 12t xAsin2Tt xAsin2T(4.43) Unda rezultant, prin compunerea celor dou unde, este descris de func ia: 1 2x t2Acos 2 sin2T(4.44) Dup cum se poate observa din (4.44), orice punct al mediului elastic din spaiul n cares-aformatundastaionar,oscileazcuamplitudineconstantntimp, rezxA 2Acos 2 ,iarvaloareaacesteiamplitudinidepindededoardex (coordonata punctului). n func ie de x amplitudinea este maxim 2A, punct numit ventru sau zero, punct numit nod (Fig. 4.14).

Fig. 4.14 Pozi ia ventrelor este determinat de condi ia: x m 2m2 4(4.45) iar cea a nodurilor de condi ia: V1V2 V3 N1 N2 N3 N4 2 4 x 1, 2 x 2m 14(4.46) Distan adintredounoduriconsecutivesaudintredouventreconsecutiveeste 2, iar distan a dintre un nod i un ventru este 4. Undelesta ionare se caracterizeaz prin aceea c amplitudinea unui punct dat de pe direc ia de propagare are aceea i valoare la orice moment. Acest lucru nuestevalabilpentrucazuluneisingureunde,cndamplitudineaunuipunctdin spa iul de propagare variaz n timp. IV.9 Unde sonore Uneledintrecelemaistudiateundeelasticesuntundelecaresuntcapabile sproducosenza ieauditiv,numiteundesonoresaupescurtsunete.Aceste undemecanicepentruaputeasfieperceputedeurecheaumantrebuies ndeplineasc urmtoarele caracteristici: a)timpuldeoscilaietrebuiesfiemaimaredectovaloareminimde 0,06 s. b)intensitateatrebuiesfiemaimaredectovaloareminimde10-12 W/m2, numit prag de audibilitate. c)frecvena trebuie s fie cuprins ntre = 20 Hz 20 kHz. Partea din fizic care se ocup cu studiul sunetelor se nume te acustic. n cadrul acusticii intr i studiul undelor sonore cu frecven e mai mari de 20 kHz, numite ultrasunete, precum i cel al undelor sonore cu frecven e mai mici de 20 kHz, numite infrasunete (care n general sunt generate de trepida ii). Caracteristicile sunetelor Prin caracteristicile unui sunet se n eleg acele mrimi care l deosebesc de un alt sunet: nl ime, intensitate i timbru. a)nlimeasunetuluiesteocaracteristicdatdefrecvenasasunetele nalteaufrecvenmare isuntsuneteascuite,iarsunetejoasesaugraveau frecvena mic. Determinareafrecven eiunuisunetsepoatefaceprincompara iecuun sunetdereferin defrecven cunoscut.Metodacompara ieisebazeazpe fenomenul de bti n cazul undelor sonore care se suprapun ntr-un punct situat la aceea idistan axdeceledousursecaregenereazsunetele(celdefrecven necunoscut iceldefrecven variabilcunoscut0).Considerndccele dou au aceea i amplitudine a, elonga iile particulei mediului elastic din punctul de coordonat x vor fi date de rela iile: 1 02x x,t a sin2 tvx x,t a sin2 tv unde v esteviteza de propagare a undelor n mediu. Elonga ia rezultant a particulei mediului din punctul de coordonat x va fi: 0 01 2x x2acos 2 t sin2 t2 v 2 v Amplitudinea undei rezultante nu este constant n timp,rezult c aceasta prezint ntriri i slbiri periodice de intensitate. Acest fenomen este cunoscut sub denumireadefenomendebti,defrecven b 0,permitecadin determinareaexperimentalaluib idincunoa terealui0ssepoatcalcula frecven a a sunetului considerat. b)Intensitateasunetului.ncazulsunetelorsedeosebescdoutipuride intensit i: -intensitatea sonor (sau acustic) Is -intensitatea auditiv Ia IntensitateasonorIsreprezintenergiatransportatdeundasonorn unitatea de timp prin unitatea de suprafa transversal la direcia de propagare: s1 WIS t(4.47) Pentrusunetulnormalcufrecven ade1000Hz,intensitateaacustic variazntre10-12 W/m2 i 102 W/m2. Valoarea minim aintensit ii sonore care poate fi perceput de urechea noastr se nume te prag de audibilitate, iar valoarea maximcarepoatefisuportatdeurecheanoastrsenume tepragdesenza ie dureroas. Datorit gamei de valori prea largi pentru intensitatea sonor s-a convenit s sedefineascoaltmrimecaracteristic,alcreidomeniudevalorisfiemai restrns. Aceast mrime, numit nivel sonor (acustic) se define te prin rela ia: ss0IN lgI(4.48) unde Is este intensitatea sonor a sunetului considerat, iar I0 este intensitatea de pe praguldeaudibilitatecorespunztoarefrecven ei=1000Hz(I0=10-12W/m2). Cnd Is variaz ntre 10-12 W/m2 i 102 W/m2, nivelul sonor Ns variaz de la 0 la 14. Unbelreprezintnivelulsonoralunuisunetacruiintensitatesonorestede10 ori mai mare dect cea a pragului de audibilitate,I0. Urechea omului este sensibil lavaria ii aleintensu t iisonoremaimici dect cea care corespunde pentru un bel, n sensul c poate distinge dou sunete a cror intensitate variaz cu 26 %. Din acestmotivnpracticsefolose tedecibelul,cusimboluldB.Undecibel reprezint nivelul sonor al unui sunet a crui intensitate sonor este de 1,26 ori mai maredectceaapraguluideaudibilitateI0.ivelurilesonorendecibelipotfi calculate cu rela ia: ss0IN ( dB ) 10lgI(4.49) Sunetele audibile au nivelul sonor ntre 0 i 140 dB. Intensitateaauditiv(Ia).S-aconstatatcurecheanoastrpercepedou sunete care au aceea i intensitate sonor, dar frecven e diferite, ca dou sunete de triediferit.Astfels-aintrodusoaltmrimenumitintensitateauditiv,notat cuIa,cecaracterizeazsenza iaauditivprodusomuluidectreunsunet. DefinireaacesteimrimisebazeazpelegeaWeberFechner,stabilit experimental,alcreienun esteurmtorul:senza iaauditivfiziologiceste propor ionalculogaritmulzecimalalexcita ieisonore.Prindefini ie, intensitateaauditivaunuisunetesteegalcuintensitateasonoraunuisunet normal(=1000Hz)careproduceaceea isenza ieauditivca isunetuldat. Corespunztor, se define te i nivelul auditiv: aa0IN 10lgI(4.50) Nivelul auditivsemsoarnfoni. Fonul reprezint nivelulauditiv al unuisunet a crui intensitate auditiv este de 1,26 ori mai mare dect intensitatea auditivI0 de pe pragul de audibilitate a sunetului normal.c)Timbrulsunetuluiesteaceacaracteristiccarepermitesfiedeosebite ntre ele dou sunete de aceea i frecven i intensitate, emise de dou surse de naturidiferite.Aceastdeosebirentresuneteestedeterminatdefaptulcn generalunsunetnuestesimplu,ciestecompusdintr-osuprapuneredesunete simpledefrecven e,2,3,Dintreacestea,sunetulcufrecven aceamai joas,,senume tesunetfundamental,iarsunetelecufrecven ele2,3,se numescarmonicesuperioarealesunetuluifundamental.Doucorpuriceemit acela isunetfundamental,emitarmonicesuperioarediferite iacesteadefinesc timbrul sunetului. IV.10 Absorb ia undelor Undaemisdeosurssedisipntr-unvolumdincencemaimare, aceastanseamnc energia undeiva traversasuprafee din cen cemaimari. Ca urmareainterac iuniiundeicumediumediulprincaresepropagundase atenueaz pe msura propagrii, adic energia transportat de und este din ce n ce mai mic. Astfel, spunem c unda sufer fenomenul de absorbie n mediul unde se propag. Fieunmediudegrosimedprincaresepropagound,dacintensitatea iniialesteI0,intensitateaundeilaieireadinmediuvafiI0),s-astabilit experimentalcsarcinaelectronuluiestee,iarsarcinaelementarpozitiveste cea a protonului din nucleu (e). n orice particul constituent a substanelor, atomi, molecule,existsarcinipozitive(+npe)isarcininegative(-nne).Dacparticula esteneutr,atuncinumrulsarcinilorpozitiveesteegalcunumrulsarcinilor negative(np=nn).Deci,nprocesuldeelectrizare,dacvorfismuliunnumrde electroni, corpul respectiv va rmne ncrcat pozitiv, iar corpul care i va prelua se vancrcanegativ.Osarcinmacroscopicvafireprezentatprintr-unnumr ntreg de sarcini electrice elementare (q=Ne).Dincelespusepnacumrezultcsarcinaelectricesteomrimefizic cuantificat(sarcinaelementarreprezintcuantadesarcinelectric)caren sistemeizolateseconserv.Sarcinanetaoricruicorpesteegalcusuma algebric a sarcinilor particulelor elementare din care este constituit corpul dat. innd seama demecanismul procesului de electrizare prinfrecare, rezult cnumruldesarcinielementare,luatedepeuncorp,trebuiesfieegalecu numruldesarcinielementare,transferatepeunaltcorpsaupeunsistemde corpuri.Sarcinaelectricnupoatefidistrus.Aceastconcluziestlabazalegii conservriisarciniielectrice:ntr-unsistemnchis,sumaalgebricasarcinilor electrice rmne totdeauna constant.Sarcinaelectricfiindomrimefizicscalarestecaracterizat,pelng numrideounitatedemsur.Unitateademsurpentrusarcinaelectric,n SistemulInternaionalesteCoulombul(C).Sarcinaelectricelementareste 191e 1,60210 C. De aici rezult: 1819e1C 6,2410 e1,60210(5.1) adic unitatea SI de sarcin electric, Coulombul, este egal cu sarcina a 186,2410electroni. V.2 Distribuia sarcinilor electrice ncondiiinormale,nsubstanesarcinilepozitiveinegative,egaleca mrime,suntdistribuiteuniform.Inducereauneidistribuiineuniformedesarcini pozitiveinegativencorpuri(prinfrecare)sauntrepridiferitealeaceluiai corp(prininfluen)reprezintunprocesdeelectrizare.nurmaunuiprocesde electrizaresarcinaelectricsedistribuiepecorpurileelectrizatenmoddiferitn funcie de natura corpului. n cazul conductorilor sarcina se distribuie pe suprafaa acestora(distribuiesuperficialdesarcin)iarncazulizolatorilorsarcinase distribuie n volum (distribuie volumic de sarcin).a)Densitateavolumicdesarcin.Lascarmicroscopic,sarcina electricareostructurgranular(discontinu).Oricesarcinelectricesteegal cuunmultipludesarcinielectriceelementareegalecuceaaelectronului,fiec estepozitivsaunegativ.Lascarmacroscopicsepoateconsideraceste valabilipotezacontinuitii,deoarecenexperieneledeelectricitateefectuatela aceastscarintervinsarcinielectriceattdemaridecelpuin104sarcini elementarenctnusepoatedistingecaracteruldiscontinuualacestora.Dac sarcinile sunt distribuite ntr-un volum V, pentru a caracteriza starea de electrizare a acestuiantr-unpunctP,seintroducenoiuneadedensitatevolumicdesarcin, care se definete prin formula: dqdV(5.2) ncaredqestesarcinaconinutntr-unelement devolumdV,dinjurulpunctului P;semsoarnC/m3.ntreagasarcinelectricqdinvolumulVsevacalcula dup formula: Vq dV (5.3) b)Densitateasuperficialdesarcin.Dacvolumulncareseaflo sarcinelectricqareunadindimensiunitinzndlazero,sespunecavemo distribuie superficial de sarcini. O astfel de distribuie se poate considera c exist ncazulconductoarelor.Astfelsedefinetenoiuneadedensitatesuperficialde sarcin, prin formula: dqdS(5.4) unde dq este sarcina care se afl pe elementul de suprafa dS din jurul punctului P; se msoar n C/m2. n acest caz putem scrie: Sq dS (5.5) c)Densitatealiniardesarcin.Dacdoudimensiunialevolumuluin careseaflsarcinaqtindctrezero,atuncispunemcdistribuiavolumicse reducelaodistribuieliniar.nacestfelsepoateconsiderarepartiiasarcinii electricepeunfirfoartesubire,cudiametrulneglijabilfadelungime.Astfel definimdensitatealiniardesarcin,ntr-unpunctPdepecurbaCpecarese afl sarcinile prin formula: dqdl(5.6) undedlesteunelementdelungimedinjurulpunctuluiP,iardqestesarcinape care o poart acest element de lungime. V.3 Conductori i izolatori Toate materialele (substanele) se mpart, dup comportarea lor electric, n dou categorii mari: conductori i izolatori.Conductoriisuntmaterialeninteriorulcroraexistparticulecu sarcinelectriccapabilessedeplasezenmaterialpedistanemacroscopice. Acesteparticulesenumescpurttoridesarcinliberi.Larndullorconductorii sunt de mai multe tipuri: Metalele; Electroliii; Gazele ionizate (plasma); Semiconductorii. Metalelesuntconductoribuni(declasaI).Purttoriidesarcinn metale sunt electronii liberinumii i electroni de conducie. Datorit prezenei n conductoriapurttorilordesarcinliberi,oricesarcinnexces,comunicat conductorului,ntr-unpunctalacestuianurmnelaloculrespectivcise repartizeaz,practicinstantaneu,petoatsuprafaaconductorului.Dacncercm s electrizm prin frecare o vergea conductoare inut n mn nu reuim, deoarece oricedeficitdeelectronipeconductorestecompletat,practicinstantaneu,prin corpul experimentatorului, de la Pmnt.ElectroliiisuntconductorideclasaaII-a,ncarepurttoriidesarcin sunt ionii liberi, de ambele semne.GazeleionizatesunttotconductorideclasaaII-ancarepurttoriide sarcin pot fi att ionii de ambele semne ct i electronii. n starea de plasm gradul deionizarealgazuluiesteattdemarenctplasmepotficonductoritotattde buni ca i metalele. Semiconductoriisuntmaterialecuconcentraiapurttorilordesarcin maic de 104 105 ori dect n metale n semiconductori purttorii de sarcin pot fi (negativi) electronii sau (pozitivi) golurile.Izolatorii(dielectricii)suntmaterialefrpurttoridesarcinliberi. Sarcinileelectricedinizolatorisuntlegatedeatomiisaudemoleculeledecare aparin.Acesteasenumescsarcinielectricelegate.Eleauposibilitateasse deplasezedoarpedistanedeordinula1,ceeacearecaefectpolarizarea dielectricului.Dincauzaabseneinizolatoriapurttorilordesarcinliberi,orice sarcinnexcescomunicatizolatoruluintr-unpunctalacestuiarmnelalocul respectiv, nu se repartizeaz pe toat suprafaa acestuia. V.4 Interaciunea a dou sarcini electrice punctiforme. Legea lui Columb Fie dou sarcini electrice punctiforme q1 i q2, de acelai semn situate ntr-unmediuoarecareladistanarunadecealalt(Fig.5.1).Punctiforme,potfi considerateisarcinileadoucorpurincrcatedacdimensiunileliniareale corpurilor sunt mici comparativ cu distana dintre ele. Legea lui Coulomb exprim fora de interaciune dintre cele dou sarcini: 1 22q qF kr(5.7) unde k este o constant care depinde de mediul n care se gsesc cele dou sarcini. Aceast constant este de forma: 1k4(5.8) undeesteoconstantcaredepindedecaracteristicileelectricealemediuluin caresegsescceledousarcini,numitpermitivitateelectricamediului.Astfel, fora deinteraciune dintre dou sarcinielectricepunctiforme (legealui Coulomb) este dat de relaia: 1 22q qF4 r(5.9) Dac sarcinile se afl n vid atunci expresia legii lui Coulomb este: 1 2020q qF4 r(5.10) unde0esteoconstantuniversalnumitpermitivitateaelectricaviduluiiare valoarea 21202C F8,85.10Nm m, de unde 29201 Nm9104 C Din expresia scalar (5.9) a legii lui Coulomb nu rezult toate proprietile forei de interaciunedintresarcinileelectrice.Fiindomrimevectorial,foracucare acioneazsarcinapunctiformq1,asuprasarciniipunctiformeq2,aflatnvid,la distana r de q1 se scrie: 1 220q q F r4 r(5.11) unde r rr este versorul direciei ce unete cele dou sarcini. 1 230q qF r4 r(5.12) EnunullegiiluiColumb:Foradeinteraciunedintredousarcinielectrice punctiforme este direct proporional cu produsul sarcinilor, invers proporional cuptratuldistanelordintresarciniiacioneazdupdireciaceunetecele dou sarcini. Din relaia (5.12) se poate observa c dou sarcini electrice punctiforme de acelaisemnserespingntimpcedousarcinielectricepunctiformedesemne contrare se atrag (Fig. 5.1). ForelecoulombienesatisfaclegeaatreiaaluiNewton:dacsarcinaq1 acioneazasuprasarciniiq2cufora 12Fatuncisarcinaq2acioneazasupra sarcinii q1 cu fora 21 12F F Dac considerm dou sarcini electrice punctiforme situate la distana r una decealalt,ntr-unmediucupermitivitateaelectric,foradeinteraciunedintre celedousarcinivafidatderelaia(5.9).ncazulncareaceleaidousarcini suntsituatelaaceeaidistanr,unadecealalt,darnvid,foradeinteraciune dintreceledousarciniestedatderelaia(5.10).mprindceledourelaii membru cu membru obinem: 0r0FF(5.13) Seobservcraportuldintreceledouforeesteoconstantrdatderaportul dintrepermitivitateaelectricamediuluiipermitivitateaelectricavidului, numitpermitivitateelectricrelativamediului.Aceastconstantce caracterizeazmediulnearatdecteoriforadeinteraciunedintreceledou rFig. 5.1 y x O 21F 12F r 2q 1q r y x O 21F 12F r 2q1q sarciniaflatenvidestemaimaredectforadeinteraciunedintreceledou sarcini aflate n mediul cu permitivitatea .Din (5.13) se observ c r 0. V.5 Cmpul electric V.5.1 Noiunea de cmp electric Forma de existen a materiei diferit de substana prin care se transmit (cu vitezfinit)interaciunileelectrice,senumetecmpelectric.Cmpulelectric produsdesarcinileimobile(statice),poartdenumireadecmpelectrostatic.n cazul sarcinilor mobile (n micare dirijat) se utilizeaz numai denumirea de cmp electric.njurul unei sarcinielectriceQexistntotdeauna cmp electric. Existena acestui cmp se pune n eviden cu ajutorul unei alte sarcini q0, plasat n regiunea din spaiu unde se manifest cmpul electric. Asupra acestei sarcini, numit sarcin deprob,acioneazofordenaturaceleiexprimatedelegealuiCoulomb.Prin sarcindeprobsenelegeosarcinattdemicnctnumodificcmpul electricncareseaflaceasta.Princonveniesarcinacorpuluideprobeste consideratpozitiv.Atunciputemintroduceomrimefizicvectorialcares caracterizezecmpulelectricntr-unpunctalsu.Aceastmrimenumit intensitatea cmpului electric se definete dup relaia: 0FEq(5.14) Intensitatea cmpuluielectricntr-un punct al sueste dat de raportul dintre fora cucareacelcmpacioneazasupraunitiidesarcinpozitivplasatnacel punct. DeciforacoulombindeinteraciunedintresarcinaQ(numitisarcin generatoare de cmp) i sarcina de prob q0 poate fi scris: 0F q E (5.15) Aceastfor cu care cmpul electric creat de sarcinaQ acioneaz asupra sarcinii deprobq0,aflatntr-unpunctalcmpului,poartdenumireadeforelectric. ncazulcmpuluielectriccreatdeosarcinelectricpunctiformvectorulcmp electricnoricepunctalcmpului(datdevectoruldepoziier)poatefigsit folosind relaiile (5.12) i (5.14): 30QE r4 r(5.16) VectorulcmpelectricareaceeaidireciecaiF,iarsensulluidepindede semnulsarciniiQ(Fig.5.2).Modululvectoruluicmpelectric(intensitatea cmpului electric) este dat de relaia: 20QE4 r(5.17) V.5.2 Reprezentarea cmpului electric Din punct de vedere intuitiv cmpul electric se reprezint prin linii i tuburi de cmp.Liniadecmp,sauliniadefor,esteocurbtangentlavectorulcmp electricnfiecare punct (Fig. 5.3, a). O suprafa generat deliniile de cmp care se sprijin pe un conturnchis,senumete tub de cmp sau tub defor (Fig. 5.3, Q q0 E F r Fig. 5.2 b).Prinoricepunctalspaiuluitreceolinieinumaiuna.Orientareacmpului reprezentat prin linii de cmp este indicat de sgeata de pe linia de cmp. Liniile de cmp nu intr i nici nu ies dintr-un tub de cmp. Prin convenie, uncmp electricmaiintens dect altulse reprezint printr-unnumrmaimare de linii de cmpcestrbat unitatea desuprafa, perpendicular pe acestelinii, dect uncmpmaipuinintens.Liniiledecmpelectricpleacdinsarcinapozitivi intrnsarcinanegativ.ncazulsarcinilorelectricepunctiformeiizolateliniile decmpplecdinsarcinapozitiviarcellaltcaptsegsetelainfinit.Pentru sarcinilenegativeliniiledecmpvindelain,finitiintrnsarcin.Deciputem spune c in cazul sarcinilor electrice punctiforme cmpul electric este radial; astfel liniile de cmp coincid ca direcie cu vectorul cmp electric n fiecare punct.Atunci cnd n fiecare punct al unei regiuni din spaiu vectoriiE sunt egali, spunemcnacearegiuneesteuncmpelectricuniform,cazncareliniilede cmp sunt paralele i echidistante.Ansamblulliniilordecmpdinpreajmacorpurilorsauansamblelorde corpuri ncrcate cu sarcini electrice formeaz spectrul electric al cmpului generat de respectivul corp sau ansamblu de corpuri (Fig. 5.4). 1E2E 3E (a)(b) Fig. 5.3 V.5.3 Principiul superpoziiei cmpurilor nV.5.1amvzutcumcalculmcmpulelectriccreatdeosarcin punctiformnjurulacesteia.Acumnepunemproblemacalcululuicmpului Fig. 5.4 spectrul cmpului electric creat de: (a) sarcin electric punctiform pozitiv; (b) sarcin electric punctiform negativ; (c) ansamblu de dousarcinielectricepunctiforme,unapozitiv iunanegativ; ansambludedousarcinielectricepunctiformepozitive;(d)cmp electric uniform. +Q (a) -Q (b) + - (c) +q +q (d) +++++++++ ------------ (d) electriccreatnjurulunuiansambludesarcinielectrice.Pentruacalculaacest cmp electric folosim principiul superpoziiei: Aciunileunorcmpurielectricecareexistnacelaitimpntr-unpunct oarecare din spaiu se suprapun, fiind egale cu aciunea unui cmp electric egal cu suma vectorial a acelor cmpuri. 1 2 31nn iiE E E E E E (5.18) V.5.4 Expresiile cmpului electrostatic n cazul unor distribuii de sarcini CndsarcinilesuntdistribuitepeosuprafaS,atuncicmpulelementar produsntr-unpunctP,alcruivectordepoziiefadeunpunctOester,de ctresarcinaelementardQ dS cesegsetepeunelementdesuprafadS din jurul punctului O, este dat de relaia: 304dSdE rr(5.19) undeestedensitateasuperficialdesarcin.inndcontdeprincipiul superpoziiei cmpul electric n punctul P, produs de sarcinile de pe suprafaa S, se obine prin integrarea relaiei (5.19): 3014SdSE rr(5.20) ncazulunorsarcinidistribuitenvolum,densitateavolumicdesarcin este . Cmpul electric produs n P de ntreaga sarcin din acel volum se calculeaz nmodanalogcucmpulelectriccreatdeodistribuiesuperficialdesarcin, acesta calculndu-se dup relaia: 3014VdVE rr(5.21) DacsarcinileauodistribuiecontinupeocurbC,densitatealiniarde sarcinfiind,cmpulelectricprodusdeacestesarcininpunctulPsepoate calcula cu ajutorul formulei: 3014CdlE rr(5.22) V.5.5 Fluxul cmpului electric. Legea lui Gauss Princonvenie,seconsidercnumruldeliniidecmpcetrecprin unitateadesuprafaperpendicularpeliniiesteproporionalcuintensitateaEa cmpuluielectric.DacncmpuluniformEtrecperpendicularprinunitateade suprafaEliniidecmp,atunciprinsuprafaaS0trecperpendicularES0liniide cmp.Senumetefluxalcmpuluielectricprintr-osuprafaoarecareS0,ise noteaz cu , numrul de linii de cmp care strbat suprafaa S0 (care poate fii imaginar) normal la linii. n cazul n care cmpul electric este omogen iar suprafaa S0 este normal la liniile de cmp (Fig. 5.5 a) fluxul cmpului electric prin aceast suprafa este: 0ES (5.23) Pentruacalculafluxulelectricprintr-osuprafaSaezatnclinatfade liniiledecmp(Fig.5.5b),seproiecteazSpeunplanperpendicularpeEise obine 0S S cos . Se vede c fluxul electric prin S0 este egal cu fluxul ce strbate suprafaa S. Deci fluxul prin S este: (a)(b) S0 n E S E n Fig. 5.5 0 0ES ES cos (5.24) sau ES (5.25) unde se noteaz cuS vectorul: S Sn iarn este vectorul normalei la suprafa.ncazulncarecmpulelectricesteneuniform( E cons tant),se definete, mai nti, un flux electric elementar: d EdS (5.26) printr-unelementdesuprafadS,pecareEpoateficonsideratconstantiprin integrare se determin fluxul total: S SEdS EdS cos (5.27) Se observ c fluxul electric este o mrime algebric, iar semnul lui depinde de alegerea sensului normalei la suprafa.LegealuiGaussexprimfluxulcmpuluielectricprintr-osuprafan funciedezonancaresegsetesarcina(sauansambludesarcini)fade suprafa. 0S0qdac sarcina se gasetenint eriorul sup rafeeiqEdS dac sarcina segasetenint eriorul sup rafeei20 dac sarcina se gsetenexteriorul sup rafeei (5.28) Relaia (5.28) reprezintformaintegral alegiilui Gauss.Legealui Gauss ne permite calculul cmpului electric creat de diferite distribuii de sarcin.Forma local (diferenial) a legii lui Gauss. Dac sarcina Q este distribuit n spaiu, densitatea volumic de sarcin este dQdV unde dQ este sarcina cuprins n elementul de volum dV. Sarcina electric total Q este: VQ dV (5.29) Conform teoremei Green Ostrogradski fluxul total se poate scrie: S VEdS divEdV (5.30) adic, fluxul vectoruluiE prin suprafaa nchis S este egal cu integrala de volum a divergenei vectoruluiE, extins la volumul delimitat S.Folosind relaiile (5.29) i (5.30) legea lui Gauss poate fi scris astfel: S V V1EdS divEdV dV (5.31) De unde se obine forma local (diferenial) a legii lui Gauss: divE(5.32) Din(5.32)observmcsemnificaiafizicadivergeneiestedatdedensitatea volumic a sarcinilor electrice. Divergena este mai mare n punctele unde exist o densitatedevolumasarcinilorelectricemaimare.Cuctpornescmaimultelinii decmpdintr-osuprafanchis,cuattfluxulelectrictotalestemaimareica urmare,cuattdivergenacmpuluielectricvafiieamaimare.Dacntr-un punct,divE 0, din acel punct nu pornesc linii de cmp i0 . Dac ntr-un alt punct,divE 0, acest punct reprezint o surs de cmp electric. V.5.6 Cmpul electric creat de un plan infinit ncrcat uniform Pentru a calcula cmpul electric creat de un plan infinit ncrcat uniform cu sarcin electric vom alege convenabil o suprafa gaussian de forma unui cilindru perpendicular pe plan (Fig. 5.6).

Fig. 5.6 Considermplanulncrcatcudensitateasuperficialdesarcin+.Deoarece cmpulelectricE este paralel cu suprafaalaterala cilindrului (perpendicular pe normalasuprafaalateral)fluxulsuprinsuprafaalateralestenul.Bazele cilindrului sunt normale laE astfel c fluxul prin suprafaa bazelor, egal cu fluxul total prin suprafaa cilindrului gaussian este: SS0dS2 EdS (5.33) Din (5.33) gsim c intensitatea cmpului electric creat este: 0E2(5.34) Cmpulelectricgeneratdeunplaninfinitdesarcinestedirect proporional cu densitatea superficial de sarcini este acelai n toate punctele spaiului. V.5.7Cmpulelectricntredouplaneparalele,ncrcateuniformcu sarcin de semn opus ncazulcmpuluicreatdeplanuldesarcinnegativacestaesteorientat normal la plan, spre plan i are valoarea dat de (5.34).+ + + + + dSdS S 2n 1n ln E Cmpulelectricntredouplaneparalele,ncrcateuniformcusarcinde semnecontrare,aflateladistanadunuldecellalt(Fig.5.7),estedatdesuma dintre cmpurile electrice create de cele dou plane n spaiul dintre ele. E Fig. 5.7 n exteriorul planelor cmpurile, fiind orientate n sens opusi egale ca mrime, se anuleaz reciproc, extE 0 . Pe baza relaiei (5.34) cmpul planului ncrcat pozitiv este 0E2,iarcmpulplanuluincrcatnegativeste 0E2.Notndcu valoareaabsolutadensitiisuperficialedesarcinacelordou plane, cmpul electric ntre plane este: 0 0 0E E E2 2(5.35) Cmpulelectricntredouplaneparalelearevaloareadublcmpului creat de un singur plan, ncrcat cu aceeai densitate superficial de sarcin. Relaia(5.35)estevalabilincazuladouplciplan-paralelefinite,ncrcate uniform,cuexcepiaefectelorceaparlamargineaplcilor.Sistemulformatdin douplciplaneparalelefinite,situatelaodistandunadecealalt,separate ntreeleprintr-unmediudielectric(izolator),senumetecondensatorplan.Prin urmarerelaia(5.35)nedrelaiacmpuluielectricntreplcilecondensatorului plan. EE E E V.6 Potenialul electric V.6.1 Lucrul mecanic efectuat de fora electric Osarcinelectricliberq0,aflatntr-uncmpelectricdeintensitateE, esteacionatdefora 0F q E ,careivaimprimaomicareaccelerat.Acest lucru mecanic este dat, pe deoparte de produsul scalar dintre vectorul for electric ivectoruldeplasare,pedealtpartedevariaiaenergieipotenialeasistemului sarcin cmp electric.Lucrul elementar efectuat de fora cmpului este: 0dL Fdl q Edl (5.36) Lucrul mecanic efectuat de cmp se obine prin integrarea ecuaiei (5.36): 2 212 01 1L dL q Edl (5.37) Dac notm cu W(1) i W(2) energia potenial a sistemului cmp electric sarcin n punctele 1 i 2, atunci lucrul mecanic l putem scrie: 212 01L W( 2) W( 1) q Edl (5.38) Dacsarcinaq0estedeplasatfracceleraiedinpunctul2npunctul1, mpotrivaforeicmpului,dectreoforexterioar,aceastaefectueazunlucru mecanic egal cu (5.38) i de semn opus. ntreg lucrul efectuat de fora exterioar se nmagazineaznenergiapotenialasistemuluisarcincmpelectric,care crete de la W(2) la W(1). V.6.2 Potenialul cmpului electric Potenialul cmpului electric ntr-un punct al cmpului reprezint raportul dintre energia potenial a unei sarcini n acel punct i sarcina respectiv. mprind (5.38) prin q0 obinem: 21V( 2) V( 1) Edl (5.39) unde 0 0W( 1) W( 2 )V( 1) , V( 2 )q q(5.40) sunt potenialele cmpului electric n punctele (1) i (2). Relaia (5.39) mai poate fi scris: dV Edl (5.41) Observmcpotenialulesteomrimefizicscalarcareestefuncie numaidepunctulncareestedefinit.Cmpulelectricpoateficaracterizatattcu ajutorul potenialului ct i cu ajutorul intensitii cmpuluiE. Din (5.38) rezult c lucrul mecanic al forelor electrice este proporional cu variaia potenialului V ntre punctele (1) i (2). 12 0 2 1 0 12L q (V V) q U (5.42) De aici se poate defini diferena de potenial dintre punctele (1) i (2) (sau tensiune electric):U12estenumericegalculucrulmecanicnecesardeplasriiunitiide sarcinpozitivencmpulelectricntrepunctele(1)i(2).Potenialul,creatdeo sarcin electric punctiform, ntr-un punct oarecare din spaiu, aflat la distana r de sarcinageneratoaredecmp,Q,seexprimnfunciedeoconstantarbitrar aditiv: 0QV C4 r(5.43) Pentrudeterminareaunivocapotenialuluielectric,seimpuneocondiie suplimentar.ncazulunuicmpgeneratdeosarcinpunctiformsauncazul uneidistribuiidesarcinlocalizatntr-oregiunefinitdinspaiu,sealege,prin convenie,constantaaditivegalcuzero,astfelnctpotenialulstindlazero cnd distana r tinde la infinit (V 0 ). Rezult c potenialul ntr-un punct (1) este numeric egal cu lucrul mecanic necesar deplasrii unitii de sarcin pozitiv din acel punct la infinit: 110 0L QVq 4 r(5.44) Unitateademsurpentrupotenialrespectivpentrutensiuneaelectriceste: JV U 1V 1C.n practic se alege frecvent ca potenial de referin potenialul Pmntului, careseiaegalcuzero(solV 0 ).Astfelpotenialulunuiconductorreprezint diferenadepotenialntrepotenialulunuipunctdepesuprafaasaiPmnt (masa). Aceast alegere este justificat, prin faptul c Pmntul se comport ca o sfersuficientdeconductoareisepoateadmitecpotenialulacestuiaeste constant. n plus, Pmntul, datorit dimensiunilorluifoartemari, se comport ca unrezervorcarenu-imodificstareaelectricatuncicndcaptsaupierde sarcini electrice de valori uzuale. Conveniapractic, solV 0 ,nurmnevalabillascarastronomic.n cazulansambluluiPmntatmosfer,Pmntulsecomportcaicumarpurta sarcini (n general negative). n cazul unei sarcini punctuale, dup cum arat formula(5.44), atunci cnd rtindelazero,Vtindelainfinit,ceeacenseamncnpunctulncareseafl sarcinapunctualpotenialulesteinfinit.Aceastanupoateavealocnrealitate, deoarece n natur nu exist sarcini riguros punctuale. Orice sarcin electric, orict demic,-cumarfisarcinaelectronului-,estepurtatdeosarcincareare dimensiuni finite.Locul geometric al punctelor n care potenialul electric are aceeai valoare formeazosuprafaechipotenial.ncazuluneisarcinipunctiforme,condiia V=constant,conducelar=constant,carereprezintecuaiauneisfere.Deci suprafeele echipoteniale ale unei sarcini punctiforme sunt sferice. Potenialul n cazul unor distribuii de sarcin. 1.Ansambludesarcinipunctuale.nacordcuconveniaV 0 ,dac sarcinileqi se afln punctelePi dintr-o regiunefinit aspaiului, potenialulntr-unpunctoarecareM,fadecaresarcinileseaflladistaneleri(Fig.5.8),vafi egalcusumaalgebricapotenialelordatoratefiecreisarcininpartenpunctul M,deoarececmpurileelectriceseadungeometric(legeasuperpoziiei potenialelor). n niM ii 1 i 10 iq 1V V4 r(5.45) 2.Distribuiiliniare,superficialeivolumicedesarcini.ncazulunei distribuiiliniare desarcini, de densitateliniar, a unei distribuii superficiale de sarcinidedensitateiauneidistribuiivolumicedesarcinidedensitate, potenialulelectricsedefinetenacelaimod,descrisanterior,numaicsumele suntnlocuite cuintegrale extinse respectivlacurbaC, suprafaaS sauvolumulV care poart sarcinile. C0S0V01 dlV4 r1 dSV4 r1 dVV4 r(5.46) 1r 2r nr P1 P2 Pn q1 q2 qn Fig. 5.8 Observaie Cndsarcinilecareproduccmpulelectricsuntdistribuitepnlainfinit, convenia teoretic V 0nu se poate aplica. V.6.3 Relaia ntre cmp i potenial Considermuncondensatorplan(douplciconductoare,ncrcatecu sarcinielectriceegaledardesemncontrar,aflatenaer,laodistandunade cealalt).Cmpulelectricntr-unasemeneacondensatoresteuniform(Fig.5.9). Dorimscalculmdiferenadepotenialdintrearmturileacestuicondensatorn funcie de intensitatea cmpului electric i de distana dintre armturi. Fig. 5.9 Diferenadepotenialdintreceledouarmturipoateficalculatcu ajutorul relaiei: AB 0 A B 0 AB 0 BAL q (V V) q U q U (5.47) unde LAB este lucrul mecanic efectuat de cmp pentru a transporta sarcina de prob, pozitiv, q0, ntre cele dou armturi,iarUAB este tensiunea electric (diferena de potenial dintre cele dou armturi). Pe de alt parte acest lucru mecanic mai poate fi calculat i cu ajutorul relaiei: AB ABL F d (5.48) E - - - - - - - - x y O AB + + + + + + + x1 x2 12 undeFABesteforacucarecmpultransportsarcinaelectricq0ntreceledou armturi, aceasta fiind data de relaia AB 0F q E (5.49) unde E este intensitatea cmpului electric dintre armturi.Din relaiile (5.47), (5.48) i (5.49) gsim pentru tensiunea electric dintre armturi relaia: AB BAU Ed U (5.50) Considermdoupuncte1i2foarteapropiateastfelc 2 1x x dx i 1 2V V dV suntvariaiilefoartemicialeacestormrimintreceledoupuncte. Folosind relaia (5.50) putem scrie: 1 2 2 1V V E( x x) (5.51) Astfel innd seama c xE E din (5.51) rezult: xdVEdx(5.52) n situaiimai generale, cnd cmpulelectricnu este orientat n direcia axeix, ca n figura 5.9, vom avea componente similare ale cmpului electric pe direciile y i z: x y zV V VE ; E ; E ;x y z(5.53) undesemnul,nloc desemnuld, arat c pentru obinerea componentelorEx, Ey i Ez a cmpului electric derivarea potenialuluiV(x,y,z) se face numai n raport cu variabilele x, y i z. x y zV V VE E i Ej E k i j kx y zi j k V gradVx y z (5.54) Astfel intensitatea cmpului electric poate fi exprimat prin relaia: E gradV(5.55) unde grad i j kx y z Intensitatea cmpului electric ntr-un punct din spaiu este egal n valoare cugradientulpotenialuluinacelpunctiareorientareaopusvectorului gradient. Din (5.50) se vede c E poate fi exprimat n SI i n V/m. Liniile din cmp ce au acelai potenial n toate punctele lor se numesc linii echipoteniale.Liniilecmpuluielectricsuntntotdeaunanormalelaliniile echipotenialeisuntorientatensensulmicorriipotenialului(5.55). Suprafeeledincmpceauacelaipotenialntoatepunctelelorsenumesc suprafeeechipoteniale.Deexemplu,suprafeelesfericecentratepesarcina punctiformcegenereazcmpulelectricsuntsuprafeeechipoteniale,planele paralelecuplciledininteriorulplcilorunuicondensatorplansuntdeasemenea suprafeeechipoteniale.nacestcazliniilecmpuluielectricsuntntotdeauna normale la suprafeele echipoteniale i orientate n sensul micorrii potenialului. Volumeledinspaiucareauacelaipotenialntoatepunctelesenumescvolume echipoteniale.nsubcapitolulurmtorV.7artmcvolumuloricruiconductor este echipotenial. V.7 Conductori n cmp electrostatic Din punct de vedere microscopic, n cazul conductoarelor metalice, se poate considera c purttorii de sarcini (electronii) se mic liber i dezordonat n reeaua cristalin,iarioniireelei,caresuntpozitivisuntconsideraiimobili(acetia execut mi cri de oscilaii n jurul poziiei de echilibru datorit agitaiei termice).Dacunasemeneaconductor,neutrudinpunctdevedereelectric,este plasat n cmp electric omogen cu intensitatea 0E, cmpul ptrunde n conductor i acioneazasuprasarcinilorelectricelibere,carevorncepessemitensens opuscmpului.Deoarececonductorulesteneutrudinpunctdevedereelectric,n zonadincareauplecatelectroniirmnenecompensatsarcinapozitiv,egalcu sarcinanegativdeplasat.Odatcuncepereadeplasriinconductorasarcinilor electrice,nconductorapareuncmpelectricgeneratdesarcinileseparate iE, numitcmpelectricindus,acruiorientare(delasarcinileelectricepozitivela sarcinileelectricenegative)esteopusorientriicmpuluielectricexterior 0E. CmpulelectricrealEnconductorestecmpulrezultatdinsuprapunereacelor doucmpuri 0 iE E E .Separareasarcinilordesemnopusnconductor continupncndcmpul iEdevineegalnvaloarecucmpulexterior 0E,pe care-lanuleazcomplet.nacestmoment,cndcmpulelectricnconductoreste egal cu zero, fora electricF qE ce acioneaz asupra sarcinilor electrice libere din conductor este egal cu zero i ca urmare se realizeaz echilibrul electrostatic. ncondiiideechilibruelectrostaticcndE 0 conformcu(5.55)rezult cV( x, y,z ) const. .Adic volumuloricruiconductorn echilibruelectrostaticestevolum echipotenial,ceeacenseamnc diferenadepotenial(tensiunea electric) dintre oricare dou puncte dininteriorulconductorului (inclusiv suprafaa) este zero.nfigura5.10esteilustrat dependenacmpuluii potenialuluidedistanarncazul unui conductor sferic plasat n cmp electric. Dup cum se poate observa toatepuncteleconductorului, inclusivceledepesuprafaalui,au acelaipotenial.Suprafaaoricrui +Q O E r V r O Fig. 5.10 20Q4 r 0Q4 r conductor n echilibru electrostatic este suprafa echipotenial.DupcumamartatdejanV.6.3liniilecmpuluielectricsuntnormale ntotdeaunalasuprafeeleechipoteniale.Rezultdeaicicmodificareastructurii cmpului electric omogen, la introducerea n cmp a unei sfere conductoare, are loc naafelnctliniiledecmpcareseterminpesarciniledepesuprafaa conductorului,saupornescdepeaceastsuprafa,sfienormalelasuprafaa conductorului.Adicvectorulintensitatecmpelectricestentotdeauna perpendicular pe suprafaa conductorului. Acest lucru este normal dac inem cont defaptulcncazulunuiconductornechilibruelectrostaticsarcinileelectrice liberetrebuiesfienechilibru.Dacintensitatea cmpuluielectricnuarfinormallasuprafaatunci aceastas-ardescompunedupdoudirecii perpendiculare,unatangentlasuprafaiarcealalt normallasuprafa(fig.5.11).nacestcazcomponenta cmpuluitangentlasuprafaardeterminaomicarea sarcinilor libere pe suprafa ceea ce ar nsemna c nu mai putem vorbi de conductor n echilibru electrostatic.n concluzie liniile cmpului electric sunt ntotdeauna normale la suprafaa conductorilor n echilibru electrostatic. V.7.1 Conductori ncrcai n echilibru electrostatic Dupcumamvzutmaisusinteriorulunuiconductornechilibru electrostaticestevolumechipotenialceeacenseamncdiferenadepotenial dintre oricare dou puncte dininteriorul conductoruluieste zero, adicintensitatea cmpuluielectricninteriorulconductoruluiestezero.Acestlucrununseamn altcevadectcdacncrcmunconductorcusarcinelectricaceastaosfie repartizat doar la suprafaa conductorului nu i n interiorul acestuia.Repartizarea sarciniipesuprafaaconductorilorncrcainunesteuniformdectncazul conductorilor sferici.E nE tE Fig. 5.11 Calcululcmpuluiipotenialuluicreatdeunconductorsfericncrcatse poatefaceobservnd(fig.5.10)cpesuprafaaacestuiainexteriorul conductoruluicmpulelectricipotenialulauaceeaivaloarecucmpulelectric creat de o sarcin electric punctiformla distanar de aceasta. Ca i cumsarcina depesuprafaaconductoruluiarficoncentratncentrulconductoruluisfericsub forma unei sarcini punctiforme.ncazulconductoriloralungii,saucuvrfuriascuite,sarcinaelectricse aglomereazpecapeteleconductoriloripevrfurileascuite.Datoritfaptuluic densitateadesarcinpevrfurileascuitealeconductorilorestemaimare,cmpul electric dela suprafaa conductorului estemaiintensnjurulvrfurilor ascuite.n jurulvrfurilorfoarteascuiteintensitateacmpuluielectricpoatedevenifoarte marenctsubaciuneaforeisaleelectroniiliberidelasuprafasuntsmulii conductorulsedescarc,fenomennumitemisiedecmp.Funcionarea paratrsnetului se bazeaz pe efectul emisiei de cmp a electronilor de pe vrful su ascuit.Electroniismulidepevrfulparatrsnetului,prindescrcarelent, neutralizeaznoriinvecinaiiastfelseelimindescrcarealorviolentprinalte corpuri pe care le-ar putea distruge.Faptulcninteriorulcavitilordinconductoricmpulelectricestenul face ca aceste cavitisfiefolosite pentru ecranarea electrostatic a aparatelor de msursensibilelacmpurielectriceperturbatoare.Nuestenecesarcaperetele cavitiisfiecontinuu,ciestesuficientocucdinplasdesrmcarevaavea acelaiefectdeecranarecaiocavitatenchiscomplet.Dacaceastcavitatese leagla pmnt poate primisau pierdesarcin electric, atingnd potenialul zero, fr ca n interiorul ei s apar cmp electric.Trebuieprecizatfaptulcunstratconductornuecraneazaparateledin exteriorulsufadecmpulelectricgeneratdesarcinileelectriceaflaten interiorulcavitiisale.ncazulncarestratulconductorestelegatlapmnt ecraneazaparateledinexteriorifadecmpulsarcinilorelectriceaflaten interiorul su; este un ecran din interior spre exterior i din exterior spre interior. AcestelucruripotfidemonstratefolosindteoremaluiGaussaplicaten cazuluneicavitidintr-unconductor.Aceastdemonstraiearconstituiiunreal exerciiu pentru cei ce doresc s neleag pe deplin aceste mecanisme. V.7.2 Capacitatea electric Dacncrcmunconductorcusarcinelectricacestavacptaun potenialfa de pmnt (reamintimc potenialul pmntului, prin convenie, este zero).Cuctsarcinaelectricdepeconductorestemaimarecuattpotenialul acestuiafa de pmnt este meimare. Se constat c oricare ar fi sarcinaQ de pe conductor i potenialulV corespunztor acesteia, pentru un conductor dat raportul QCVesteconstant.ConstantaC,caracteristicfiecruiconductor,care-l caracterizeaznmodunivoc,estenumitcapacitateelectricaconductorului izolat.Capacitateaelectricaunuiconductorizolatestedatderaportuldintre sarcinaelectricdepeconductoripotenialulacestuiafadepmnt. Capacitatea electrica conductoruluiizolat depindenumai deforma geometrici dimensiunileconductorului.UnitateademsurnSIpentrucapacitateaelectric estefaradul(F).Unfaradestecapacitateauniconductorizolatcarencrcatcu sarcinade1Ccaptunpotenialde1Vfadepmnt.Pentruaestimace dimensiuni trebuie s aib un conductor izolat pentru a avea o capacitate de 1C vom calcula capacitatea unui conductor sferic de raz r: 00QC 4 rQ4 r(5.56) Din (5.56) se poate observa c permitivitatea electric, se poate exprima n SI i n F/m.Totdin(5.56)putemcalcularazapecareartrebuisoaibosfer conductoare pentru a avea capacitatea electric de 1F: 9 60 0C 1Fr 910m 910km4 4 ( F / m)(5.57) Dup cum se poate observa o sfer conductoare pentru a avea capacitatea de1F ar trebui s aib o raz mai mare dect raza Pmntului, ceea ce face forte incomod de afolosinpracticfaradulacunitatedemsuracapacitiielectrice.Dinacest motiv s-au introdus uniti de capacitate electric care sunt submultipli ai faradului: microfaradul: 1F=10-6F nanofaradul: 1nF=10-9F picofaradul: 1pF=10-12F Pmntul,acruirazmedieesteR=6,4.106m,poateficonsideratosfer conductoare cu capacitatea electric: 6 6091 FC 4 R 6,410( m) 711 10 F 711 F910 m(5.58) V.7.3 Energia conductorului ncrcat Dacavemunconductorncrcatcusarcinelectricacestaare nmagazinatenergiepotenialelectrostatic.Acestlucrusepoateobservaforte uor n cazuln care apropiem de conductor un corp de prob (care prin convenie seconsiderncrcatcusarcinelectricpozitiv)ivomobservacacestaeste atrassaurespinsdeconductornfunciedesemnulsarciniidepeconductor. Aceast energie potenial nmagazinat de conductor nu este altceva dect energia pecareamconsumatopentruancrcaconductorulcusarcinelectric.Evalum energia pe care trebuie s o consumm pentru a ncrca un conductor de capacitate C cu sarcina Q. La un moment dat n procesul de ncrcare sarcina de pe conductor esteqiarconductorulvacptaunpotenial qVC.Pentruamaidepunepe conductorulcearepotenialulVsarcinadq,adusdelainfinit,trebuieefectuat, lucrul mecanic: qdqdL dqV V VdqC(5.59) Pentru a calculalucrulmecanic efectuat pentrua ncrca conductorul dela sarcina q 0la sarcinaq Qintegrm relaia (5.59) ntre aceste limite: 2Q0qdq QLC 2C(5.60)

Lucrul mecanic L dat de relaia (5.60) nu reprezint altceva dect energia pe care trebuie s o consumm pentru a ncrca conductorul de capacitate C cu sarcina electricQ.Aceastenergiesenmagazineazsubformdeenergieelectric potenialaconductoruluincrcat.NotndenergiaconductoruluincrcatprinW avem: 2 2Q CV QVW2C 2 2(5.61) V.8 Condensatorul electric Dupcumamvzutmaisus,pentrucaunconductorizolatsaib capacitateelectricmareestenecesarcaelsaibdimensiunifoartemari.Acest lucruarfacedestuladificilnpracticfolosireaconductoarelorpentruaacumula sarcinelectric.Deaceeas-apusproblemarealizriiuneipiesecaresaib capacitateelectricmareidimensiunireduse.Pentruaceastasefolosete fenomenulinflueneielectrostaticedintredoiconductorincrcai.Astfeleste posibilcaunsistemformatdinmaimuliconductorisaibcapacitatedestulde mare,chiardacdimensiunileconductoruluiceformeazsistemulnusunmari. Dac avem un conductor ncrcat cu sarcina Q1 i n prejma acestuia aducem un alt conductornencrcatdarcareestelegatlapmnt,atuncicelde-aldoileaseva ncrcacusarcina 2 1Q Q ,mecanismcunoscutsubnumeledencrcareprin influenelectrostatic.Izolndconductorulaldoileafadepmntacestava reinesarcinaQ2ivaaveapotenialul 2V 0 .nacestcazpotenialulV1al conductorului ncrcat cu sarcina Q1 aflat n vecintatea conductorului cu sarcina Q2 nu este determinat numai de sarcina Q1 ci i de sarcina Q2. La fel se ntmpl i cu potenialulV2alconductoruluincrcatcusarcinaQ2.Acestlucruseexprim matematic prin relaiile: 1 11 1 12 22 21 1 22 2V aQ aQV aQ a Q(5.62) undecoeficieniiaijpoartdenumireadecoeficienidepotenialireprezinto msur a gradului n care sarcina nscris lng ei determin valoarea potenialului (a11estemsuragraduluincaresarcinaQ1 determinpotenialulV1,a12este msuragraduluincaresarcinaQ2determinpotenialulV1etc.).Influena electrostaticestereciprocceeacenseamnccoeficieniia12ia21suntegali. Dupcumamartatmaisus 2 1Q Q Qceeacenseamnc(5.62)poatefi scris: 1 11 122 21 22V aQ aQV aQ a Q(5.63) Scznd relaiile membru cu membru obinem diferena de potenial dintre cei doi conductori: 1 2 11 22 12QV V ( a a 2a )QC(5.64) unde constanta C care depinde numai de forma, dimensiunea i poziia reciproca conductorilor nu este altceva dect capacitatea electric a sistemului format din cei doi conductori.Ansamblulformatdindouconductoare(numitearmturi)situatela distanafinitunuldecellaltpoartdenumireadecondensatorelectric.Din (5.64) obinem pentru capacitatea electric a condensatorului relaia: 1 2QCV V(5.65) Adic,capacitateaelectricacondensatoruluiestedatderaportuldintresarcina electricdepearmturiidiferenadepotenialdintrearmturi.Capacitatea electricacondensatoruluiestemaimaredectsumacapacitiiconductorilor izolai(armturilor)careformeazcondensatorul.Armturilecondensatoruluise ncarccusarcina+QiQ,deregul,prinlegarealapolii(+),respectiv()ai unei surse de tensiune. nfunciedeformaarmturilorcondensatoarelepotfi:plane,sferice, cilindrice.Pentrufiecaretipdecondensatornpartesepoatecalculacapacitatea corespunztoare,princalcululdifereneidepotenialdintrearmturilesalen funcie de sarcina de pe armturi. Pentru a simboliz condensatorul,n circuite, se folosesc urmtoarele simboluri: V.8.1 Condensatorul plan Condensatorul plan are armturile plane paralele iar distana dintre armturi destemultmaimicdectdimensiunileliniarealearmturilor.Astfelcmpul electric dintre armturi este omogen i poate fiexprimat nfuncie de diferena de potenial dintre armturi cu ajutorul relaiei: 1 2V V UEd d(5.66) Prin ncrcarea condensatorului cu sarcina electric, aceasta se distribuie uniform i numaipefeeleinterioarealearmturilor,deoarecentresarcinilepozitivei negative de pe armturi se manifest fore de atracie (fig. 5.12). Astfel se formeaz + - condensator cu capacitate constant condensator cu capacitate variabil condensator electrolitic dou straturi superficiale de sarcini cu densitile QS,undeSesteariafiecreiarmturi. Astfel pornind de la expresia capacitii electrice a unuicondensator dat de(5.65) putem calcula expresia capacitii condensatorului plan: 1 2 0Q S SCV V Ed / d Pentru capacitatea electric a condensatorului plan avem relaia: 0SCd(5.67) Folosindacelairaionamentrecomandmcaexerciiucalcululcapacitii unui condensator sferic. Condensatorul sferic este format din dou armturi sferice concentricederazeaib(a