Taller experimental 2

¿Cuán alta puede ser su torre, Sr. Foster?Búsqueda experimental de respuestas a una pregunta de Galileo de 1638

Departamento de Estructuras y Física de la EdificaciónDepartamento de Construcciones y Tecnologías Arquitectónicas

Mariano Vázquez Espí — Félix Lasheras Merino

ETSAM Plan 2010 AA 2015/16

From what has already been demonstrated, you can plainly seethe impossibility of increasing the size of structures to vast di-mensions either in art or in nature; likewise the impossibility ofbuilding ships, palaces, or temples of enormous size in such a waythat their oars, yards, beams, iron-bolts, and, in short, all theirother parts will hold together; nor can nature produce trees ofextraordinary size because the branches would break down undertheir own weight; so also it would be impossible to build up thebony structures of men, horses, or other animals so as to hold to-gether and perform their normal functions if these animals wereto be increased enormously in height; for this increase in heightcan be accomplished only by employing a material which is har-der and stronger than usual, or by enlarging the size of the bones,thus changing their shape until the form and appearance of theanimals suggest a monstrosity.

Galileo, Dialogue Concerning Two New Sciences

¿Puede ser un rascacielos tan alto como que-ramos? ¿Qué forma sería la adecuada a talpropósito? Antes de que sea posible respon-der a estas preguntas para estructuras porti-cadas (topológicamente “esponjas”), es nece-sario responder a esas mismas preguntas peroreferidas a columnas macizas (topológicamen-te, “bolas”), formuladas por Galileo en 1638.

En este taller nos contentaremos con menosaún: responder esas preguntas para la topolo-gía “disco”, es decir, para columnas 2D. Y da-do que el problema matemático subyacente eshard y, por ello, no concita demasiado interésen la comunidad matemática, lo haremos ex-perimentalmente, diseñando un material apro-

piado, las máquinas necesarias para la puestaen carga, las formas 2D más prometedoras, yconstruyendo todo ello en el aula o en el labo-ratorio.

A lo largo del taller, se introducirán los mo-delos físicos necesarios para formular las pre-guntas y buscar las respuestas, en un tercio delhorario presencial, quedando el resto dedicadoa la investigación y el debate colectivo.

En 2038 hará cuatrocientos años que Gali-leo formuló sus preguntas: esperamos que coneste taller (y sucesivos) encontraremos respues-tas como para poder celebrar con un éxito elpróximo centenario.

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Resumen

Galileo calculó por primera vez la longitud a la cual un columna cilíndrica descargada falla (se rompe) bajo lasola acción de su propio peso. Galileo se preguntó también si existiría alguna forma de revolución distinta de lacilíndrica con la que se pudiera alcanzar una longitud mayor. Nadie ha podido dar una respuesta concluyentedesde entonces, aunque los denominados sólidos de “máxima tensión constante” parecen constituir unarespuesta afirmativa, con formas de generatriz exponencial que parecen poder alcanzar una altura infinita,incluso cargadas con un peso en su cabeza. El problema matemático es muy difícil y, de hecho, ha despertadopoco interés, al revés que un problema muy diferente, también sobre la altura de columnas, formulado porEuler más de cien años más tarde, pero sin ningún interés teórico o práctico para una teoría de diseño. Eneste taller se adopta un enfoque experimental del problema buscando arrojar alguna luz sobre la cuestión.Se trata por tanto de una actividad experimental en sentido estricto, pues nadie sabe lo que nos vamos aencontrar, ni siquiera nosotros, los proponentes.

Índice1. La propuesta 2

1.1. Buscar una forma 2D de longitud insuperable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. El método experimental a emplear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Materiales para la docencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. El programa experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Ficha 6

3. Referencias y bibliografía 8

1. La propuestaLa consideración del peso propio de las estructuras, en su doble condición de carga adicional a soportar

(Galilei, 1638) y de indicador general de los coste físicos—consumo de material estructural o de combustibles,emisión de CO2, etc, Maxwell (1870)—, tiene una tradición de décadas en la ETS de Arquitectura de Madrid, porlos trabajos de Ricardo Aroca y su equipo (Cervera Bravo, 1989, 1990; Cervera Bravo and Vázquez Espí, 2011).Tras un detallado análisis del state of art (Antuña and Vázquez Espí, 2012), e infructuosos intentos de encontrarla respuesta matemáticamente por nosotros mismos o de conseguir que la comunidad matemática entendiera queel problema de Galileo es muy importante para una teoría del diseño y pusiera manos a la obra para resolverlo(Vázquez Espí et al., 2015), hemos optado por intentar encontrar alguna respuesta experimentalmente.

Para esta primera edición, el objetivo mínimo es intentar refutar la siguiente hipótesis de trabajo:

Hipótesis A. De entre todas las formas de la topología “disco”, la columna de Galileo, unrectángulo, es la que es capaz de alcanzar mayor altura antes de romperse bajo su propio peso, aigualdad de todo lo demás.

Si conseguimos construir formas capaces de romperse con mayor altura que el rectángulo, la hipótesis quedarárefutada y habrá que reformular una nueva. En caso contrario, seguiremos como hasta ahora, pero con másevidencia a favor de que la hipótesis sea cierta.

Aunque el problema de Galileo se plantea desde la teoría de estructuras, tiene interés mucho más allá, puesconecta con la creencia de que es bueno y bello construir edificios cada vez más altos, siguiendo una tradiciónmilenaria, la de la “Torre de Babel” (Benet, 1990). Una tradición, entroncada con aquella otra de citius, altius,fortius (Carballal Gandoy, 2012), que explica (al menos en parte) algunos persistentes errores de diseño, almenos en la medida en que se ignore que la anterior hipótesis no está, hoy por hoy, refutada (Petroski, 1992).De hecho, puede formularse una hipótesis menos fuerte que la anterior, de la cual aquella es una caso particular:

Hipótesis B. Para todo problema que se resuelve con un cuerpo en el que debe existir un balanceentre el contenido de su volumen (caso del peso específico en las columnas de Galileo) y el flujo através de su superficie (la tensión en la base de la columna), existe un tamaño finito más allá delcual el problema carece de solución.

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Esta hipótesis, como señala Petroski (1992), se encuentra ya en Vitruvio, y es de aplicación no sólo en problemasde ingeniería, también en biología (Thompson, 1917) o urbanismo (Vázquez Espí, 2014). Pero, sin embargo, esgeneralmente ignorada, menospreciada o subestimada: así por ejemplo, en la por otra parte excelente obra deFrench (1994) sobre teoría de diseño, ni limit ni size aparecen como entradas por derecho propio en el Index, demanera que la obra queda con su utilidad reducida al diseño de artefactos relativamente pequeños en relacióncon el tamaño límite del problema en cuestión. Afortunadamente, en general diseñamos cosas pequeñas (porejemplo las Torres Gemelas), y sólo cuando nos empeñamos en perseguir la enormidad surgen los problemas(puente de El Alamillo, por ejemplo).

1.1. Buscar una forma 2D de longitud insuperable

La idea central del taller es realizar colectivamente, docentes y discentes, todo el proceso experimentalnecesario para romper por su propio peso formas 2D alternativas a la columna cilíndrica de Galileo y compararlas longitudes obtenidas con la de esta última.

Se introducirá formalmente nuevo corpus teórico, pues el objetivo es que las personas que cursen el taller,acaben por:

comprender que las propiedades mecánicas importantes de los materiales que se emplean en las estructurasno son la resistencia o la rigidez, si no los costes físicos por unidad de resistencia o de rigidez. Específica-mente, en esta asignatura se explora la importancia de la resistencia específica o alcance estructural, queno es si no la resistencia aportada por unidad de peso propio;

explorar la fuerte correlación inversa entre el tamaño y la eficiencia de cualquier estructura;

aprender que todo modelo mecánico reduccionista es siempre falso aunque útil, quedando su utilidadrestringida a su campo de aplicación (bien definido durante la operación de reducir la realidad al modelo);y que cuando tales modelos se aplican fuera de su campo de aplicación, las conclusiones obtenidas puedenser (y generalmente son) totalmente confusas cuando no erróneas; específicamente se mostrará como lahipótesis de Navier en vigas es especialmente inapropiada para analizar piezas rectas grandes con secciónvariable, cuando la variación es fuerte.

aprender herramientas sencillas pero generales capaces de resolver problemas de análisis no estándarcuando las herramientas habituales (Resistencia de Materiales, etc) ya no son de aplicación.

1.2. El método experimental a emplear

En lo posible, toda la experimentación se hará en el aula asignada al taller. Pa-ra ello, el aula necesitará de alguna infraestructura adicional (como puntos desdedonde colgar pesos o enganchar poleas) que deberán ser instalados por los Servi-cios de Mantenimiento de la ETSAM. Para la realización de piezas, se usarán elTaller de Maquetas y los Talleres de carpintería de los Servicios de Mantenimiento.Para la determinación de algunas propiedades del material a emplear se usaránlos laboratorios de los Departamentos implicados. Puede que al final parte de laexperimentación tenga que realizarse en estos últimos.

La parte central del proceso de experimentación consistirá en la puesta en carga de cada forma 2D medianteuna mesa giratoria que, partiendo de la posición inicial horizontal, se inclina paulatinamente hasta la posiciónvertical y un poco más allá, de manera que la forma de prueba quede suspendida resistiendo (o no) su propiopeso, tras un proceso de puesta en carga con una velocidad fijada de antemano. Cada forma 2D se someterá asu propio peso simultáneamente con una columna galileana de igual longitud, de manera que siendo fabricadascon el mismo material y sometidas a prueba en las mismas condiciones, la diferencia de longitud alcanzable sinrotura será sólo debida a la forma estructural que se prueba.

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Maqueta de una posible mesa basculante. La forma 2D junto a la columna galileana se fabrican sobre la mesabasculante en posición horizontal. Una vez fraguado y secado el conjunto (¿24 horas?) se someten a su propio pesobasculando la mesa hasta su posición vertical. La rotura de cada pieza puede producirse con cualquier inclinación: decada pieza se anotará la inclinación con la que rompió y la longitud del trozo que se desprende.

1.3. Materiales para la docenciaEl taller se apoya en los siguientes materiales:

main web de la asignatura, desde donde se podrá acceder al resto de recursos en Internet: http://habitat.aq.upm.es/gi/mve/mmcyte/#TALLER2GALILEO

Colección de textos sobre el problema de la columna insuperable de Galileo (y de otros problemas rela-cionados)

Herramientas propias (hay que hacer una “lista de la compra”), de los laboratorios de los departamento,del Taller de maquetas y de los Talleres de los Servicios de Mantenimiento de la ETSAM.

Aparatos diseñados y fabricados durante la realización del taller, incluyendo la mesa basculante, encofradosrecuperables para la fabricación de las formas 2D, etc.

Durante el desarrollo del taller, el alumnado escribirá un diario (preferentemente en forma manuscrita) dondereflejará su participación en la investigación, diario que junto con la integración en el diario colectivo, constituirála “entrega” final. Junto con el control de asistencia, servirá para la calificación del curso.

Colectivamente, se realizará un “Diario de abordo” (moodle o similar), material base para la Memoria deltaller. Está última debería incluir un resumen en formato paper, de entre 2.500 y 5.000 palabras, apto para quepudiera ser enviado para su publicación a una revista científica (y si los resultados obtenidos son relevantes, asíharemos).

1.4. El programa experimentalLos 6 créditos ETCS equivalen a un trabajo personal de unas 162 horas, divididas en 72 horas de enseñanza

presencial y 90 horas de aprendizaje personal. Las actividades presenciales se dividirán en “lecciones magistrales”(LM), “enseñanza basada en prácticas” (EP), y “aprendizaje basado en talleres docentes/proyectos” (PBL)

Dado que el semestre consta de 16 semanas, pero los talleres experimentales comienzan con una semana deretraso, y que en la semana 16 se reserva para la falsa entrega de las asignaturas de Proyectos, solo cabe contarcon 14 semanas reales, número que puede reducirse en un semestre concreto por fiestas y puentes. Por ello seha preparado un programa de actividades, que cada año académico habrá que ajustar a su calendario concretoy a los resultados obtenidos en ediciones anteriores. Algunas actividades se solaparán con otras, por ser de muydistinta duración (clases teóricas breves versus fabricación de formas 2D a lo largo de varias semanas— porsecado, etc).

El taller se organiza en tres bloques temáticos que abarcan trece actividades diferenciadas. Aunque a con-tinuación se describen linealmente, bloque a bloque, estas actividades se retroalimentarán mutuamente: losresultados experimentales quizás fuercen a modificaciones de los diseños y proyectos preliminares, etc; por tan-to, el orden en que se presentan no se corresponde con la secuencia temporal, que se irá decidiendo colectivamenteconforme avance la realización del taller.

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Bloque 1: Fundamentos teóricosActividad 1. (LM) Objetivo del curso y presentación general del problema: La columna cilíndrica

de Galileo. Resistencia, peso específico y alcance estructural de un material. ¿Existe un material sólido cuyoalcance sea de más o menos un metro con el que poder experimentar? Morteros “empobrecidos”: modelo de suresistencia en función de su granulometría y dosificación.

Actividad 2. (LM) Tensor de tensiones y deformaciones en 2D: Componentes del tensor en coor-denadas cartesianas, determinación de direcciones principales. Relación entre tensiones y deformaciones paramateriales hookeanos genéricos.

Actividad 3. (LM) Ecuaciones de compatibilidad y equilibrio en 2D: Ecuaciones con deformacionespequeñas. Los distintos formatos de las ecuaciones según las funciones independientes elegidas.

Actividad 4. (LM) Comportamiento de materiales y criterios de rotura: ¿Qué criterio aplicar almortero de referencia? Fisuración, energía de fractura.

Bloque 2: Proyecto del experimentoActividad 5. (PBL) La definición del material: Pruebas de morteros (o de materiales alternativos):

determinación del peso específico y la resistencia a tracción y a compresión. ¿Podremos determinar módulos derigidez? Selección del mortero a emplear.

Actividad 6. (PBL) Diseño del proceso de fabricación de formas 2D.: Forma del encofrado, fragua-do, desencofrado, almacenamiento y transporte. Precauciones que han de tenerse, protocolo de la fabricación(incluyendo hoja de control).

Actividad 7. (PBL) Diseño del aparato y del proceso de carga: Una mesa horizontal basculante hastauna posición vertical: ¿desde el suelo? ¿colgada de un techo? Aspectos de detalle cuya influencia debe cuantifi-carse: rozamiento, flexión residual por falta de simetría, etc. Diseño de la ficha con los datos imprescindibles aconseguir durante la realización del experimento.

Actividad 8. (PBL) Propuesta de formas a probar, discusión de méritos y selección definitiva:Discusión de los criterios de selección (con la vista puesta en la refutación de la hipótesis A), que pueden incluiraspectos técnicos pero también estéticos o historiográficos.

Bloque 3: Realización del experimentoActividad 9. (EP) Determinación teórica y experimental del alcance del mortero de referencia:

Ensayo de tracción, coeficiente de rozamiento, peso específico aparente. Determinación de otras propiedades enla medida en que resulte factible (resistencia a la compresión, módulos de rigidez, etc).

Actividad 10. (EP) Fabricación de formas: Fabricación del material base, moldeado de la forma, alma-cenamiento e instalación en el aparato de puesta en carga.

Actividad 11. (EP) Prueba de formas: Ensayo hasta rotura. Si resulta factible grabación en vídeo dealta velocidad y/o en el formato de Aramis (medida de deformaciones).

Actividad 12. (EP) Simulación de los experimentos mediante modelos matemáticos: FEM, dife-rencias finitas, etc.

Actividad 13. (PBL) Elaboración de conclusiones del taller: Edición final del “diario de abordo”,encuesta de satisfacción general (con algún método DAFO o similar).

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2. FichaESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE ARQUITECTURA DE LA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE

MADRIDPlan de Estudios 2010 E.E.E.S.

ASIGNATURA: Taller Experimental 2: ¿Cuán alta puede ser su torre, Sr. Foster?FECHA DE ACTUALIZACIÓN: 24 de septiembre de 2015CÓDIGO: 1805DEPARTAMENTO: Departamento de Estructuras y Física de la Edificación, Departamento de Construccio-nes y Tecnologías ArquitectónicasProfesorado: M. Vázquez, F. LasherasECTS: 6

Propuesta de la E.T.S. de Arquitectura:Grupos y horario:

Número de alumnos por grupo: Máximo de 15 alumnos.

Grupo de tarde O: X/J 15,00 - 17,00h (2osemestre)

APARTADO 1 DEFINICIÓNASIGNATURA ¿Cuán alta puede ser su torre, Sr. Foster?CÓDIGO 1805 CARÁCTER E TIPO OPT ECTS 6MÓDULO Optativas MATERIA Taller experimentalDEPARTAMENTO Departamento de Estructuras y Física de la Edificación, Departamento de Construccionesy Tecnologías ArquitectónicasCURSO 4o SEMESTRE 8avo

SECUENCIA Se precisa haber superado LAS MATERIAS DE LOS TRES PRIMEROS CURSOS

APARTADO 2 CONTENIDOOBJETIVOSLa idea central del taller es realizar colectivamente, docentes y discentes, todo el proceso experimental nece-sario para romper por su propio peso formas 2D alternativas a la columna cilíndrica de Galileo y compararlas longitudes obtenidas con la de esta última.Se introducirá formalmente nuevo corpus teórico, pues el objetivo es que las personas que cursen el taller,acaben por:

comprender que las propiedades mecánicas importantes de los materiales que se emplean en las estruc-turas no son la resistencia o la rigidez, si no los costes físicos por unidad de resistencia o de rigidez.Específicamente, en esta asignatura se explora la importancia de la resistencia específica o alcanceestructural, que no es si no la resistencia aportada por unidad de peso propio;

explorar la fuerte correlación inversa entre el tamaño y la eficiencia de cualquier estructura;

aprender que todo modelo mecánico reduccionista es siempre falso aunque útil, quedando su utilidadrestringida a su campo de aplicación (bien definido durante la operación de reducir la realidad al modelo);y que cuando tales modelos se aplican fuera de su campo de aplicación, las conclusiones obtenidas puedenser (y generalmente son) totalmente confusas cuando no erróneas; específicamente se mostrará como lahipótesis de Navier en vigas es especialmente inapropiada para analizar piezas rectas grandes con secciónvariable, cuando la variación es fuerte.

aprender herramientas sencillas pero generales capaces de resolver problemas de análisis no estándarcuando las herramientas habituales (Resistencia de Materiales, etc) ya no son de aplicación.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS: CE24 CE26 CE27 CE48 CE52 CE54 CE55

COMPETENCIAS TRANSVERSALES: CG2 CG3 CG4 CG5 CG6 CG11 CG13 CG15 CG17 CG18CG24 CG25

PROFESORADOCoordinador de la Asignatura: Mariano Vázquez Espí (Mariano.Vazquez.Espi at upm.es)Los horarios de tutorías se publicarán en la web de la asignatura.

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DESCRIPCIÓN: PROGRAMAConocimientos previos. Además de lo indicado con carácter general para el Taller Experimental 2, serecomienda haber superado con nota Materiales de Construcción, Mecánica Física, Estructuras I y EstructurasII.El taller se organiza en tres bloques temáticos que abarcan trece actividades diferenciadas. Aunque a con-tinuación se describen linealmente, bloque a bloque, estas actividades se retroalimentarán mutuamente: losresultados experimentales quizás fuercen a modificaciones de los diseños y proyectos preliminares, etc; portanto, el orden en que se presentan no se corresponde con la secuencia temporal, que se irá decidiendo colec-tivamente conforme avance la realización del taller.

Bloque 4: Fundamentos teóricosActividad 14. (LM) Objetivo del curso y presentación general del problema: La columna cilíndricade Galileo. Resistencia, peso específico y alcance estructural de un material. ¿Existe un material sólido cuyoalcance sea de más o menos un metro con el que poder experimentar? Morteros “empobrecidos”: modelo desu resistencia en función de su granulometría y dosificación.Actividad 15. (LM) Tensor de tensiones y deformaciones en 2D: Componentes del tensor en coor-denadas cartesianas, determinación de direcciones principales. Relación entre tensiones y deformaciones paramateriales hookeanos genéricos.Actividad 16. (LM) Ecuaciones de compatibilidad y equilibrio en 2D: Ecuaciones con deformacionespequeñas. Los distintos formatos de las ecuaciones según las funciones independientes elegidas.Actividad 17. (LM) Comportamiento de materiales y criterios de rotura: ¿Qué criterio aplicar almortero de referencia? Fisuración, energía de fractura.

Bloque 5: Proyecto del experimentoActividad 18. (PBL) La definición del material: Pruebas de morteros (o de materiales alternativos):determinación del peso específico y la resistencia a tracción y a compresión. ¿Podremos determinar módulosde rigidez? Selección del mortero a emplear.Actividad 19. (PBL)Diseño del proceso de fabricación de formas 2D.: Forma del encofrado, fraguado,desencofrado, almacenamiento y transporte. Precauciones que han de tenerse, protocolo de la fabricación(incluyendo hoja de control).Actividad 20. (PBL) Diseño del aparato y del proceso de carga: Una mesa horizontal basculante hastauna posición vertical: ¿desde el suelo? ¿colgada de un techo? Aspectos de detalle cuya influencia debe cuanti-ficarse: rozamiento, flexión residual por falta de simetría, etc. Diseño de la ficha con los datos imprescindiblesa conseguir durante la realización del experimento.Actividad 21. (PBL) Propuesta de formas a probar, discusión de méritos y selección definitiva:Discusión de los criterios de selección (con la vista puesta en la refutación de la hipótesis A), que puedenincluir aspectos técnicos pero también estéticos o historiográficos.

Bloque 6: Realización del experimentoActividad 22. (EP) Determinación teórica y experimental del alcance del mortero de referencia:Ensayo de tracción, coeficiente de rozamiento, peso específico aparente. Determinación de otras propiedadesen la medida en que resulte factible (resistencia a la compresión, módulos de rigidez, etc).Actividad 23. (EP) Fabricación de formas: Fabricación del material base, moldeado de la forma, alma-cenamiento e instalación en el aparato de puesta en carga.Actividad 24. (EP) Prueba de formas: Ensayo hasta rotura. Si resulta factible grabación en vídeo de altavelocidad y/o en el formato de Aramis (medida de deformaciones).Actividad 25. (EP) Simulación de los experimentos mediante modelos matemáticos: FEM, dife-rencias finitas, etc.Actividad 26. (PBL) Elaboración de conclusiones del taller: Edición final del “diario de abordo”,encuesta de satisfacción general (con algún método DAFO o similar).

MÉTODOS DOCENTESMétodo ETCSLección magistral (LM) 1,5Enseñanza basada en prácticas (EP) 2,5Aprendizaje basado en talleres docentes/proyectos (PBL) 2

Evaluación: Evaluación continua (EC)

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3. Referencias y bibliografíaAdemás de las referencias citadas, son de interés las siguientes:

Gordon (1991, 2003): Dos excelentes obras de divulgación sobre los problemas mecánicos en el diseño deestructuras. Hay traducciones al castellano.

McMahon et al. (1983): sobre la relación entre tamaño y desempeño en biología (relaciones alométricas,del inglés allometry). Hay traducción castellana.

Bartlett (2008): las consecuencias del crecimiento sin límites ilustradas con simple aritmética.

ReferenciasJoaquín Antuña and Mariano Vázquez Espí. ¿Existen problemas estructurales irresolubles? Una cuestión abierta.Informes de la Construcción, 64(525):103–109, 2012. doi: 10.3989/ic.10.061.

Albert A Bartlett. The new flat earth society. Boletín CF+ S, (37), 2008. URL http://habitat.aq.upm.es/boletin/n37/aabar.en.html.

Juan Benet. La construcción de la torre de Babel. Sobre la necesidad de la traición, volume 18. Siruela, 1990.

Alba Carballal Gandoy. Altius Citius Fortius. El Pritzker de los necios, 2012. URL http://www.academia.edu/7627512/Altius_Citius_Fortius_El_Pritzker_de_los_necios.

Jaime Cervera Bravo. Tres teoremas fundamentales de la teoría del diseño de estructuras. Informes de laConstrucción, 40(399):57–66, 1989. URL http://oa.upm.es/3828/.

Jaime Cervera Bravo. Las estructuras y el peso propio. Informes de la Construcción, 42(407):73–85, Junio 1990.URL http://oa.upm.es/3830/.

Jaime Cervera Bravo and Mariano Vázquez Espí. Galileo, Maxwell, Michell, Aroca: measuring the structuralefficiency. In Structural Milestone in Architecture and Engineering. International Conference on Research inConstruction, Madrid, november 2011. IETcc–UPM, Instituto de Ciencias de la Construcción (CSIC). ISBN84-7292-401-7 84-7293-402-4. (Also available at http://oa.upm.es/9931/).

Michael French. Invention and Evolution. Design in Nature and Engineering. Cambridge University Press,Cambridge (UK), second edition, 1994.

Galileo Galilei. Discorsi e Dimostrazioni Matematiche. Elsevierii, Leiden, 1638.

James Edward Gordon. The new science of strong materials: or why you don’t fall through the floor. PenguinUK, 1991.

James Edward Gordon. Structures, or, Why things don’t fall down. Da Capo Press, 2003.

James Clerk Maxwell. On reciprocal figures, frames and diagrams of forces. In Scientific Papers II, pages160–202. Camb. Univ. Press, 1870.

Thomas A McMahon, John Tyler Bonner, and WH Freeman. On size and life. Scientific American LibraryNew York, 1983.

H Petroski. Vitruvius’s Auger and Galileo’s Bones: Paradigms of Limits to Size in Design. Journal of MechanicalDesign, 114(1):23–28, 1992.

D’Arcy Wentworth Thompson. On growth and form. Cambridge Univ. Press, 1917.

Mariano Vázquez Espí. Ciudades sostenibles. Boletín CF+ S, (8), 2014. URL http://habitat.aq.upm.es/b/n8/amvaz.html.

Mariano Vázquez Espí, Jaime Cervera Bravo, and Carlos Olmedo Rojas. On Galileo’s Tallest Column. Mathe-matical Problems in Engineering, 2015. (Accepted 28 June 2015. in press).

CréditosGrabados de los Discorsi de Galileo ? Torre de Babel I y II de Brueghel ? Retrato de Galileo de Justus Sustermans ? PhoenixTowers by Chetwood Architects ? Análisis elástico de una columna “exponencial” por Joaquín Antuña ? Laboratorio del DCTApor Félix Lasheras ? Galileo en el Panteón de Blanca Estevan ? Torre de Babel por Duke of Bedford (British Library) ? Tourde Babel de Lucas Van Valckenborch ? Tour de Babel de Maerten Van Valckenborch ? Torre de Babel I y II de AthanasiusKircher ? Ultima Tower by Eugene Tsui ? El resto de ilustraciones de Mariano Vázquez & Co.