21

În primele două ore, biciclistul care pleacă din oraşul A parcurge: 20 × 2 = 40 km. Mai rămâne de parcurs de cei doi biciclişti distanŃa: 250 – 40 = 210 km. Această distanŃă (CB ) este parcursă de cei doi biciclişti în: 210 : (20 + 15) = 6 ore. DistanŃa AD parcursă de primul biciclist este de: 40 + 20 – 6 = 160 km. Al doilea biciclist a parcurs distanŃa BD care are: 250 – 160 = 90 km (sau 15 × 6 = 90).

26. Două mobile pleacă din localitatea A spre localitatea B, respectiv din lo-

calitatea B spre localitatea A aflate la distanŃa de 120 km cu vitezele de 12 km/h, respectiv 8 km/h. Simultan cu cele două mobile pleacă din A o pasăre care merge cu viteza de 17 km/h. Pasărea întâlneşte mobilul care pleacă din B, se întoarce şi întâlneşte mobilul care a plecat din A, se întoarce şi întâlneşte mobilul care a plecat din B etc.

Ce distanŃă a parcurs pasărea până în momentul întâlnirii celor două mobile? SoluŃie: Pasărea a zburat un timp egal cu timpul necesar pentru întâlnirea ce-

lor două mobile, adică 120 : (12 + 8) = 6 ore. Pasărea a zburat 17 × 6 = 102 km.

1.5.3. MOBILE CARE MERG ÎN ACELAŞI SENS

Din A spre B pleacă două mobile cu vitezele v1 şi v2, unde v1 > v2. Mobilul care merge cu viteza v2 pleacă mai devreme cu t′ ore.

Dacă notăm cu t timpul după care cele două mobile se întâlnesc şi cu d dis-

tanŃa parcursă, avem d = v2 × (t + t′) şi d = v1t. Rezultă succesiv v1t = v2t + v2t′, (v1 – v2)t = v2t′ şi deci t = v2t′ : (v1 – v2).

27. Un biciclist pleacă din localitatea A cu viteza de 12 km/h. După 4 ore

pleacă în aceeaşi direcŃie un motociclist cu viteza de 36 km/h. În cât timp este ajuns biciclistul de motociclist şi la ce distanŃă de localitatea A? SoluŃie: Biciclistul este ajuns după 12 × 4 : (36 – 12) = 2 ore. DistanŃa par-

cursă până la întâlnire este de 36 × 2 = 72 km (sau 12 × (4 + 2) = 72).

28. DistanŃa dintre două porturi este parcursă de o barcă cu motor în 4 ore, dacă barca merge în sensul de parcurs al apei, şi în 6 ore, dacă merge în sensul contrar de parcurs al apei.

În cât timp parcurge apa distanŃa dintre cele două porturi?

A B

v1

v2

22

SoluŃie: Notăm cu v viteza bărcii pe apa stătătoare şi cu v′ viteza apei. Dis-tanŃa dintre cele două porturi este d = (v + v′) × 4 sau d = (v – v′) × 6. ObŃinem 4v + 4v′ = 6v – 6v′, de unde 10v′ = 2v, adică v = 5v′. Rezultă că d = (5v′ + v′) × 4, adică d = 24 × v′. DistanŃa dintre porturi este parcursă de apă în d : v′ = 24 ore.

Probleme propuse 1. Din localitatea A pleacă spre localitatea B un automobil având viteza de

45 km/h. După 4 ore pleacă din localitatea B spre localitatea A un alt automo-bil având viteza de 60 km/h. Cele două automobile s-au întâlnit la jumătatea distanŃei dintre localităŃile A şi B.

Să se determine această distanŃă. 2. Un călător se află într-un tren de persoane care se deplasează cu viteza de

48 km/h. Observă că un tren accelerat care mergea în sens contrar a trecut pe lângă trenul de persoane în 3 secunde.

Să se afle viteza acceleratului dacă lungimea lui este de 90m. 3. Un tren de persoane are lungimea de 80 m, iar un tren accelerat are lun-

gimea 60 m. Dacă merg în acelaşi sens unul trece pe lângă celălalt în 28 secun-de, iar dacă merg în sens contrar, ele trec unul pe lângă celălalt în 4 secunde.

Să se afle vitezele celor două trenuri. 4. O basculantă parcurge traseul de la şantier la cariera de piatră în 70 minu-

te. Dacă basculanta nu este încărcată, basculanta merge cu 60 km/h, iar dacă este încărcată merge cu 40 km/h.

Să se afle distanŃa dintre şantier şi cariera de piatră. 5. Un camion parcurge o distanŃă de 325 km în 7 ore. O parte din drum

merge cu viteza de 40 km/h, iar cealaltă parte din drum merge cu viteza de 55 km/h.

Ce distanŃă a parcurs cu fiecare viteză?

23

1.6. METODA ALGEBRICĂ (opŃional)

Pentru rezolvarea unei probleme prin metoda algebrică se parcurg următoa-rele etape:

a) stabilirea necunoscutei (notarea ei cu o literă: a, x, t, …) sau a necunoscu-telor;

b) punerea problemei în „ecuaŃie” sau în „sistem de ecuaŃii”; c) rezolvarea ecuaŃiei sau a sistemului de ecuaŃii; d) interpretarea rezultatului obŃinut.

Probleme rezolvate 1. Două persoane au împreună 540 lei. Să se afle ce sumă are fiecare persoană, dacă prima persoana are mai mult

decât a doua persoană cu 120 lei. SoluŃia I: Notăm cu x suma primei persoane. A doua persoană are suma

x + 120. EcuaŃia este x + x + 120 = 540. SoluŃia ecuaŃiei este x = 210. Prima persoană are 210 lei, iar a doua are 210 + 120 = 330 lei.

SoluŃia II: Notăm cu x şi y sumele avute de prima persoană, respectiv a doua persoană. ObŃinem sistemul x + y = 540, y = x + 120. Înlocuind a doua relaŃie în prima rezultă x + x + 120 = 540, de unde obŃinem x = 210 şi apoi y = 330.

2. Trei grădini au împreună o suprafaŃa de 3320 m. A treia grădină este cu 220 m2 mai mare decât a doua, iar prima grădină este cu 180 m2 mai mare de-cât a treia.

Să se afle suprafaŃa fiecărei grădini. SoluŃie: Notăm cu x suprafaŃa celei de-a doua grădini. SuprafeŃele celei de-a

treia grădini, respectiv primei grădini sunt x + 220, respectiv x + 220 + 180 = = x + 400. EcuaŃia este x + x + 220 + x + 400 = 3320. ObŃinem x = 900. Grădi-nile au suprafeŃele de 1300, 900, 1120 (m2).

3. Suma a două numere este 224, iar unul din numere este de trei ori mai

mare decât celălalt număr. Să se determine cele două numere. SoluŃie: Notăm numerele cu n şi 3n. Avem n + 3n = 224, de unde n = 56.

Numerele sunt 56 şi 168. 4. Un muncitor a săpat trei sferturi din cât a săpat alt muncitor. Împreună au

săpat 2135 m2. Cât a săpat fiecare muncitor?

24

SoluŃie: Notăm suprafeŃele săpate cu 3x, respectiv 4x. Avem ecuaŃia 3x + 4x = = 2135, de unde x = 305. SuprafeŃele sunt de 3 × 305 = 915 m2 şi 4 × 305 = = 1220 m2.

5. Un obiect a este de 4 ori mai scump decât un obiect b. Obiectul a costă cu

369 lei mai mult decât obiectul b. Să se determine cât costă fiecare obiect. SoluŃie: Notăm cu x preŃul obiectului b. PreŃul obiectului a este 4x sau

x + 369. ObŃinem ecuaŃia 4x = x + 369, de unde x = 123. Obiectele costă 123 lei, respectiv 492 lei.

6. În urma cu 2 ani, vârsta mamei era de 7 ori vârsta fiicei. Peste 6 ani, vâr-

sta mamei va fi de trei ori vârsta fiicei. Să se determine ce vârsta are fiecare. SoluŃie: Notăm cu x vârsta fiicei cu doi ani în urmă. Vârsta mamei cu doi ani

în urmă este 7x. ObŃinem ecuaŃia 7x + 2 + 6 = 3 × (x + 2 + 6), de unde x = 4. Vârstele fiicei şi mamei sunt de 4 + 2 = 6 ani şi respectiv 7 × 4 + 2 = 30 ani.

7. Într-o fermă sunt crescute găini şi oi. Numărul picioarelor este 450, iar

numărul capetelor este 175. Câte găini şi cate oi sunt în fermă? SoluŃia I: Notăm cu x numărul găinilor şi cu 175 – x numărul oilor. Avem

ecuaŃia 2x + 4 × (175 – x) = 450 ⇔ 2x + 700 – 4x = 450 ⇔ 700 – 450 = 4x – – 2x ⇔ x = 125. În ferma sunt 125 găini şi 50 de oi.

SoluŃia II: Dacă notăm cu x numărul găinilor şi cu y numărul oilor avem sis-temul x + y = 175; 2x + 4y = 450. Înlocuind y = 175 – x în a doua ecuaŃie obŃi-nem 2x + 4 × (175 – x) = 450, de unde x = 125 şi apoi y = 50.

8. Dacă se aşază câte doi elevi într-o bancă, rămân 4 elevi. Dacă se aşază câ-

te 3 elevi în bancă rămân 3 bănci libere. CâŃi elevi şi câte bănci sunt? SoluŃie: Notăm cu n numărul băncilor. Numărul elevilor este 2n + 4 sau

3(n – 3). Avem ecuaŃia 3n – 9 = 2n + 4. ObŃinem n = 13. Numărul băncilor este 13, iar al elevilor este 13 × 2 + 4 = 30 (sau (13 – 3) × 3 = 30).

9. Doi elevi au împreună suma de 120 lei. Să se determine ce sumă are fiecare elev, dacă două treimi din suma unuia

reprezintă două şeptimi din suma celuilalt. SoluŃie: Pentru a nu efectua calcule cu fracŃie vom efectua o notare a unei

necunoscute x sub forma na, unde n este un număr nenul care se împarte exact

25

la 3 şi la 7. De obicei numărul n se ia cel mai mic. Luăm n = 21. Dacă două treimi din primul număr reprezintă două şeptimi din celalalt număr, rezultă că o treime din primul număr este o şeptime din celălalt număr. Notăm numerele (sumele) cu (21 : 3) × x = 7x, respectiv (21 : 3) × x = 3x. Avem ecuaŃia 7x + 3x = = 120. Din 10x = 120 rezultă x = 12. Sumele sunt de 7 × 12 = 84 lei, respec-tiv 3 × 12 = 36 lei.

10. Un caiet, un pix şi un stilou costă împreună 16 lei. Un caiet, trei pixuri şi un

stilou costă împreună 24 lei. Un caiet, un pix şi 4 stilouri costă împreună 46 lei. Să se afle cât costă un caiet, cât costă un pix şi cât costă un stilou. SoluŃie: Notăm preŃurile unui caiet, unui pix, unui stilou cu c, p, respectiv s.

Avem următorul sistem: c + p + s = 16; c + 3p + s = 24; c + p + 4s = 46. Scă-zând prima ecuaŃie din a doua ecuaŃie, respectiv a treia ecuaŃie avem 2p = 8, 3s = 30, de unde p = 4, s = 10. Înlocuind în prima ecuaŃie rezultă c = 2.

11. Un caiet, 2 pixuri şi 3 stilouri costă împreună 40 lei. Trei caiete, un pix

şi 2 stilouri costă împreună 30 lei. Două caiete, 3 pixuri şi un stilou costă îm-preună 26 lei.

Să se afle cât costă un caiet, cât costă un pix şi cât costă un stilou. SoluŃie: Notăm cu a, b, c preŃurile unui caiet, unui pix, respectiv unui stilou.

ObŃinem sistemul de ecuaŃii: a + 2b + 3c = 40; 3a + b + 2c = 30; 2a + 3b + c = = 26. Adunând ecuaŃiile rezultă 6 × (a + b + c) = 96, de unde a + b + c = 16. Din ecuaŃiile 2a + 3b + c = 26 şi a + b + c = 16, prin scădere rezultă a + 2b = 10. Din ecuaŃiile a + 2b + 3c = 40 şi a + 2b = 24 prin scădere rezultă 3c = 30, de unde c = 10. Înlocuind în ecuaŃia a + b + c = 16 pe c cu 10, rezultă a + b = 6. Scăzând această ecuaŃie din ecuaŃia a + 2b = 10, rezultă că b = 4 şi apoi a = 2.

12. 7 m de pânză şi 12 m de stofă costă împreună 261 lei. 5 m de pânză şi

8 m de stofă costă împreună 175 lei. Cât costă un metru de pânză şi cât costă un metru de stofa? SoluŃie: Notând cu x preŃul unui metru de pânză şi cu y preŃul unui metru de

stofa, obŃinem succesiv: 7x 12y 261 | 5

5x 8y 175 | 7

+ = ⋅⇔

+ = ⋅

35x 60y 1305

35x 56y 1225

+ =

+ =

/ 4y = 80 ObŃinem y = 20. Înlocuind în ecuaŃia 5x + 8y = 175, rezultă 5x + 160 = 175,

de unde x = 3.

26

13. Doi saci cu mere, 3 saci cu cartofi şi 4 saci cu zahăr cântăresc 370 kg. Trei saci cu mere, 4 saci cu cartofi şi 5 saci cu zahăr cântăresc 485 kg. Patru saci cu mere, 6 saci cu cartofi şi 7 saci cu zahăr cântăresc 690 kg.

Să se afle cât cântăreşte un sac cu mere, un sac cu cartofi, respectiv un sac cu zahăr.

SoluŃie: Notăm cu a, b, c numărul sacilor de mere, numărul sacilor de car-tofi, respectiv al sacilor de zahăr.

Avem: 2a 3b 4c 370 | 3

3a 4b 5c 485 | 2

+ + = ⋅

+ + = ⋅ ⇔

6a 9b 12c 1110

6a 8b 10c 970

+ + =

+ + =

/ b + 2c = 140

Avem: 3a 4b 5c 485 | 4

4a 6b 7c 690 | 3

+ + = ⋅

+ + = ⋅ ⇔

12a 16b 20c 1940

12a 18b 21c 2070

+ + =

+ + =

/ 2b + c = 130

Avem: b 2c 140 | 2

2b c 130

+ = ⋅

+ = ⇔

2b 4c 280

2b c 130

+ =

+ =. Prin scădere rezultă 3c = 150,

de unde c = 50 şi atunci din b + 2 × 50 = 140, rezultă b = 40. Din 2a + 3 × 40 + + 4 × 50 = 370, rezultă că a = 25.

14. Pentru 6 caiete şi 11 cărŃi s-au plătit 144 lei. O carte costă mai mult cu

10 lei decât un caiet. Să se afle cât costă o carte şi cât costă un caiet. SoluŃie: Notăm cu x preŃul unui caiet. PreŃul unei cărŃi este x + 10. Avem

ecuaŃia 6x + 11 × (x + 10) = 144, care are soluŃia x = 2. Un caiet costă 2 lei, iar o carte costă 12 lei.

15. Trei obiecte de tip A, 5 obiecte de tip B şi 7 obiecte de tip C costă îm-

preună 105 lei. Un obiect de tip B costă cu 2 lei mai mult decât un obiect de tip A, iar un obiect de tip B costa cu 3 lei mai puŃin decât un obiect de tip C.

Cât costă un obiect din fiecare tip? SoluŃie: Notăm cu x preŃul unui obiect de tip A. Un obiect de tip B costă x + 2,

iar un caiet de tip C costă x + 2 + 3 = x + 5. Avem ecuaŃia 3x + 5 × (x + 2) + + 7 × (x + 5) = 105, de unde x = 4. Câte un obiect de tip A, B, C costă 4 lei, 6 lei, respectiv 9 lei.

16. Două cravate, 5 cămăşi şi 7 costume costă împreună 1560 lei. O cămaşă

costă cu 25 lei mai mult decât o cravată, iar un costum costă de 4 ori mai mult decât o cămaşă.

Să se afle cât costă o cravată, cât costă o cămaşă şi cât costă un costum.

27

SoluŃie: Notăm cu x preŃul unei cravate. PreŃul unei cămăşi este x + 25, iar preŃul unui costum este 4 × (x + 25) = 4x + 100. Avem ecuaŃia 2x + 5 × (x + 25) + + 7 × (4x + 100) = 1560, care are soluŃia x = 21. O cravată costă 21 lei. O cămaşă costă 21 + 25 = 46 lei, iar un costum costă 4 × 21 + 100 = 184 lei.

17. Două obiecte de tip A, 5 obiecte de tip B şi 6 obiecte de tip C costă îm-

preună 250 lei. Un obiect de tip B costa cu 2 lei mai mult decât două obiecte de tip A, iar un obiect de tip C costă cât 3 obiecte de tip A şi două obiecte de tip B.

Să se afle cât costă câte un obiect din fiecare tip. SoluŃie: Notăm cu x preŃul unui obiect de tip A, cu 2x + 2 preŃul unui obiect

de tip B şi cu 3x + 2 × (2x + 2) = 7x + 4 preŃul unui obiect de tip C. ObŃinem ecuaŃia 2x + 5 × (2x + 2) + 6 × (7x + 4) = 250, care are soluŃia x = 4. Câte un obiect de tip A, B, C costă 4 lei, 10 lei, respectiv 32 lei.

18. Într-un bloc sunt 20 apartamente care au două sau patru camere. Să se afle câte apartamente au câte două camere şi câte apartamente au patru

camere, dacă în total sunt 50 camere. SoluŃie: Notăm cu x numărul apartamentelor de 4 camere şi cu 20 – x numă-

rul apartamentelor de 2 camere. Avem ecuaŃia: 2 × (20 – x) + 4x = 50. EcuaŃia are soluŃia x = 5. În bloc sunt 5 apartamente cu 4 camere şi 15 apartamente cu 2 camere.

19. La un concurs s-au dat 10 probleme. Pentru fiecare problemă rezolvată

corect se acordă 8 puncte, iar pentru fiecare problemă nerezolvată sau rezolvată greşit se scad 3 puncte. Elevii clasaŃi pe locurile 1, 2, 3 au primit 69 puncte, 58 puncte, respectiv 36 puncte.

Câte probleme a rezolvat corect fiecare dintre cei trei elevi? SoluŃie: Notăm cu x numărul problemelor rezolvate corect şi cu 10 – x nu-

mărul problemelor nerezolvate sau rezolvate greşit. Avem următoarele ecuaŃii cu soluŃiile lor:

I) 8x – 3 × (10 – x) = 69 ⇒ x = 9 II) 8x – 3 × (10 – x) = 58 ⇒ x = 8 III) 8x – 3 × (10 – x) = 36 ⇒ x = 6 20. Într-o curte sunt găini, raŃe şi oi. În total sunt 66 capete şi 144 picioare.

Numărul raŃelor este de 4 ori mai mic decât numărul găinilor. Să se afle câte găini, câte raŃe şi câte oi sunt în curte. SoluŃie: Notăm numărul raŃelor cu x, numărul găinilor cu 4x, iar numărul oi-

lor este 66 – 5x. Avem ecuaŃia 2 × x + 2 × 4x + 4 × (66 – 5x) = 144, care are soluŃia x = 12. Numărul raŃelor este 12, numărul găinilor este 48, iar numărul oilor este 6.

28

21. Se alege un număr care se înmulŃeşte cu 4 şi se adaugă 12. Noul rezultat se împarte la 2 se scade 26 şi se obŃine 32.

Să se determine numărul ales. SoluŃie: Notând cu x numărul iniŃial, obŃinem ecuaŃia: (4x + 12) : 2 – 26 =

= 32, care are soluŃia x = 26. 22. Un călător parcurge un drum astfel: în prima zi parcurge jumătate din

drum, a doua zi o treime din rest, iar a treia zi un sfert din noul rest. Dacă i-au rămas de parcurs 150 km, să se afle lungimea drumului. SoluŃie: Notăm cu 24x distanŃa. În prima zi, călătorul parcurge 12x şi rămâ-

ne 12x. În a doua zi parcurge 12x : 3 = 4x şi rămâne 12x – 4x = 8x. În a treia zi parcurge 8x : 4 = 2x şi rămâne 6x. Din 6x = 150, rezultă x = 25. Drumul are lungimea 24 – 25 = 600 km.

23. Două mobile parcurg distanŃa de la A la B cu vitezele de 40 km/h, res-

pectiv 60 km/h. Al doilea ajunge înaintea primului cu 2 ore. Să se determine distanŃa de la A la B. SoluŃie: Notăm cu t timpul celui de-al doilea mobil. Timpul primului mobil

este t + 2. Avem ecuaŃia 60t = 40(t + 2), care are soluŃia t = 4. DistanŃa AB este de 60 × 4 = 240 km.

24. Din oraşul A pleacă la ora 9 un biciclist care merge cu viteza de

20 km/h. După 2 ore pleacă din oraşul B spre oraşul A un alt biciclist care merge cu viteza de 15 km/h.

La ce oră şi la ce distanŃă faŃă de A se vor întâlni cei doi bicicliști, dacă dis-tanta dintre cele două oraşe este de 250 km?

SoluŃie: Notăm cu t timpul celui de-al doilea biciclist. Avem ecuaŃia 20(t + 2) + 15t = 250, care are soluŃia t = 6. DistanŃa parcursă de primul bici-clist este de 20 × (6 + 2) = 160 km.

29

Capitolul 2

TESTE DE VERIFICARE

TESTUL NR. 1

1. Ordonează crescător, apoi descrescător numerele: 12; 23; 17; 35; 72; 42; 115; 103.

2. Scrie toate numerele de două cifre identice. 3. Aproximează la zeci următoarele numere: 17; 42; 36; 28; 81.

4. La suma numerelor 16 şi 18 adaugă diferenŃa numerelor 81 şi 62.

5. Din suma numerelor 54 şi 46 scade diferenŃa lor.

6. Suma a trei numere naturale este 100. Ştiind că primul număr este 27, al doilea este cu 9 mai mare, determină cel

de-al treilea număr.

7. La naşterea fiului, tatăl avea 32 ani. Află vârsta tatălui când fiul va împlini 18 ani.

8. Pe două rafturi sunt cărŃi. Dacă se mută 7 cărŃi de pe primul pe al doilea raft, atunci pe fiecare dintre ele vor fi câte 29 cărŃi.

Câte cărŃi au fost iniŃial pe fiecare raft?

9. Într-o livadă sunt 18 peri, cu 4 mai mulŃi pruni, meri cu 10 mai mulŃi de-cât perii şi prunii la un loc, iar cireşi cu 27 mai puŃini decât meri.

Să se afle câŃi pomi fructiferi sunt în livadă.

10. Efectuează suma, grupând convenabil termenii: A = 7 + 12 + 23 + 15 + 28 + 5.

30

TESTUL NR. 2

1. Ordonează crescător, apoi descrescător numerele: 72; 46; 78; 23; 57; 41; 113; 98.

2. Scrie toate numerele de două cifre, care au cifra zecilor cu 2 mai mare de-cât cifra unităŃilor.

3. Aproximează la zeci următoarele numere: 23; 78; 43; 96; 32.

4. La suma numerelor 17 şi 19 adaugă diferenŃa numerelor 91 şi 72.

5. Din suma numerelor 63 şi 37 scade diferenŃa lor.

6. Suma a trei numere naturale este 100. Ştiind că primul număr este 35, al doilea este cu 9 mai mic, determină cel

de-al treilea număr. 7. La naşterea fiicei, mama avea 25 ani. Află vârsta mamei când fiica va împlini vârsta majoratului, respectiv 18 ani.

8. În două coşuri sunt mere. Dacă iau din primul coş 9 mere şi le pun în ce-lălalt, constat că în fiecare coş vor fi câte 31 de mere.

Câte mere au fost iniŃial în fiecare coş?

9. La o florărie s-au adus 24 garoafe albe, cu 3 mai puŃine garoafe roşii, ga-roafe galbene cu 15 mai mult decât albe şi roşii la un loc.

Să se afle câte garoafe s-au adus în total.

10. Efectuează suma, grupând convenabil termenii: B = 27 + 46 + 21 + 14 + 3 + 9.

81

8. Rezultatul calculului: 11 + 12 + 13 + 14 – 49 este: a) 6; b) 11; c) 0; d) 1; e) 2.

9. Numărul numerelor ab , cu 2 ≤ a < 5; 4 < b < 7 este: a) 7; b) 2; c) 4; d) 5; e) 6.

10. Dacă a3 3b− = 26, atunci a + b este: a) 11; b) 13; c) 12; d) 14; e) 8.

TESTUL NR. 13

1. Suma următorilor doi termeni ai şirului 1, 2, 4, 7, 11, … este: a) 31; b) 32; c) 35; d) 38; e) 40.

2. Numărul pătratelor din figura alăturată este: a) 9; b) 8; c) 7; d)10; e) 6.

3. DiferenŃa dintre cel mai mare număr par de două cifre şi cel mai mic număr impar de două cifre este:

a) 86; b) 88; c) 87; d) 89; e) 85.

4. Dacă aa bb+ = 99, atunci numărul valorilor naturale ale diferenŃei

aa bb− este: a) 6; b) 2; c) 5; d) 3; e) 4.

5. O barcă are 3 locuri pentru pasageri. Pentru a transporta de pe malul A pe malul B un număr de 9 persoane, numărul minim al drumurilor de la A la B este:

a) 4; b) 3; c) 5; d) 2; e) 6.

6. În pătratele alăturate sunt scrise cifrele de la 1 la 9 în ordinea crescătoare indicată de săgeŃi. Atunci x + y este:

a) 6; b) 8; c) 5; d) 7; e) 6 sau 7.

7. Numărul numerelor de două cifre scrise cu cifrele 2, 4, 5 este: a) 6; b) 10; c) 9; d) 5; e) 7.

x 7

5

y 6

A

a

a

B a C a

D

I

J K L

G

F E

H

82

8. Suma numerelor impare cuprinse între 20 şi 26 este: a) 46; b) 69; c) 48; d) 67; e) 59. 9. Numărul numerelor de două cifre cu suma cifrelor 7 este: a) 5; b) 6; c) 8; d) 7; e) 9.

10. Suma a n numere (nu neapărat distincte) alese dintre numerele 2, 4, 6, 8 nu este:

a) 19; b) 16; c) 18; d) 20; e) 14.

TESTUL NR. 14

1. Numărul numerelor de două cifre scrise cu cifrele 0, 2, 4 este: a) 6; b) 9; c) 5; d) 4; e) 7.

2. Dacă a + b = 29, b > 2, a creşte cu 7, b scade cu 2, atunci suma noilor termeni este:

a) 31; b) 32; c) 34; d) 26; e) 30.

3. Suma a n numere dintre numerele 1, 3, 5, 7 este 24. Atunci n nu poate fi: a) 6; b) 8; c) 4; d) 7; e) 10.

4. Numărul triunghiurilor din figura alăturată este: a) 9; b) 10; c) 8; d) 6; e) 12.

5. Persoanele A, B, C, D stau pe aceeaşi bancă. A stă lângă B, dar nu lângă C, iar C stă lângă D. Atunci lângă D mai poate sta lângă:

a) A; b) B; c) A sau B; d) nimeni; e) B sau nimeni.

6. Dacă a + b + c = 32; a + b = 22; b + c = 25, atunci a + c este: a) 15; b) 17; c) 16; d) 18; e) 19. 7. Lungimea minimă a drumului de la A la B este: a) 28; b) 19; c) 22; d) 21; e) 32

A

3 4

2 5 6

9

12

11

8 10

B

7

83

8. Două echipe joacă între ele până când una învinge de 5 ori. Numărul ma-xim de meciuri (care nu se termină la egalitate) este:

a) 9; b) 10; c) 8; d) 7; e) 6.

9. Într-o familie, fiecare copil are cel puŃin un frate şi cel puŃin o soră. Nu-mărul minim de copii din familie este:

a) 3; b) 4; c) 2; d) 5; e) 6.

10. DiferenŃa următoarelor două numere din şirul 42, 40, 37, 33, …. este: a) 2; b) 3; c) 4; d) 5; e) 6.

TESTUL NR. 15

1. Într-o lună, trei zile de marŃi sunt în zile pare. Ziua de 25 a lunii este: a) vineri; b) miercuri; c) luni; d) marți; e) joi.

2. Numărul numerelor pare cuprinse între 6 şi 28 inclusiv este: a) 12; b) 11; c) 10; d) 13; e) 14.

3. Numărul pătratelor din figura alăturată este: a) 8; b) 9; c) 6; d) 10; e) 4.

4. Cu numerele 4, 5, 6, luate o singură dată, şi cu ajutorul semnelor + sau –, numărul care se poate obŃine este:

a) 6; b) 4; c) 5; d) 8; e) 1.

5. Mă gândesc la un număr. Îl înmulŃesc cu 5 şi-l adun cu 23 şi obŃin succe-sorul lui 77. La ce număr m-am gândit?

a) 9; b) 10; c) 14; d) 11; e) 8.

6. Suma tuturor numerelor de pe feŃele unui zar este: a) 21; b) 20; c) 19; d) 22; e) 24.

7. Se deschide o revistă la mijlocul ei. Suma numerelor celor două pagini es-te 41. Numărul paginilor revistei este:

a) 42; b) 41; c) 39; d) 43; e) 40.

b

a

b a

a a

84

8. Numărul de moduri în care se pot completa pătratele din şirul de mai jos cu cifre potrivite este:

6 > > = > 2

a) 6; b) 4; c) 3; d) 7; e) 5.

9. Suma tuturor numerelor de două cifre formate doar cu cifrele 1 şi 2 este: a) 33; b) 44; c) 66; d) 43; e) 45.

10. Numărul operaŃiilor de adunare sau scădere corecte scrise cu numerele 25, 10, 15 este:

a) 4; b) 2; c) 3; d) l; e) 5.

85

Capitolul 4

TESTE PENTRU CONCURSURI

TESTUL NR. 1

1. Câte numere de trei cifre au produsul cifrelor egal cu suma cifrelor?

2. Suma a două numere este 80. Dacă împărŃim unul din numere la celălalt, se obŃine câtul 5 şi restul 2.

Să se determine cele două numere.

3. Să se determine suma numerelor care împărŃite la un număr natural mai mic decât 11 se obŃine câtul 11 şi restul 7.

4. Se consideră numerele de 4 cifre: 1826, 8162, 2462, 2471, 3466, 6284, 4339, 2545, 2888, 4479. Toate numerele, cu excepŃia unuia, au proprietatea că cifrele lor verifică aceeaşi relaŃie.

Să se determine relaŃia dintre cifre.

5. Cu ajutorul unui cântar nu se pot cântări mase mai mici de 5 kg sau mai mari de 11 kg.

Cum putem determina masele a trei corpuri care au între 27 kg şi 39 kg?

TESTUL NR. 2

1. Într-o urnă se află 4 jetoane pe care sunt scrise numerele 1, 2, 4, 6. Doi copii extrag câte un jeton pe care îl pun înapoi.

Este posibil ca suma numerelor de pe jetoanele extrase de un copil să fie de 3 ori mai mare decât suma numerelor extrase de al doilea copil?

PuteŃi găsi trei soluŃii?

121

TESTUL NR. 11 1. Avem 2c + 25 = 6a + 3b = 3(2a + b) = 3 × 15 = 45 şi deci c = 10. Atunci 4a + 2b + 3c = 2(2a + b) + 3c = 2 × 15 + 3 × 10 = 60. 2. 1 2 4 + 1 2 9 + 3. Avem 222(x + y + z) = 111 × a ⇔ 2(x + y + z) = a.

Avem x + y + z ≥ 3 şi cum a ≤ 9, rezultă că x + y + z ≤ ≤ 4. Suma este 1113 + 1124 + 1214 + 2114 = 5565.

6 5 9 6 5 4 7 8 3 7 8 3

4. Evident avem a = 1 şi apoi avem c = b + 1. Avem abc ∈ {111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181}. Suma este 101 × 8 + 10 × (1 + 2 + … + 8) = 1168. 5. Notăm numărul cu 6n. Suma este 12n + 3n + 2n = 17n. Din 10 ≤ ≤ 17n ≤ 99 ⇒ 1 ≤ n ≤ 5. Suma cerută este 17 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 255. TESTUL NR. 12

1. Avem 4 × 111a = 111a + 9 × 111b, de unde a = 3b. Suma cerută este 13 + + 26 + 39 = 78. 2. Notăm dimensiunile cu a şi a + 60. Avem 2(a + a + 60) = = 3 × (a + 60), de unde a = 60. Perimetrul este 2 × (60 + 60 + 60) = 360. 3. PărŃile sunt 2a + 1, 3a + 2, 5a + 3. Din 2a + 1 + 3a + 2 + 5a + 3 = 96 rezultă

a = 9. PărŃile sunt 19, 9, 48. 4. 8abcd 3 abcd6= × . Notăm n = abcd . Avem 80000 + n = 3 × 10n + 18, de unde n = 2756. 5. Avem 11(a + b + c) = 100a +

+ 10b + c, de unde 10c + b = 89a, adică cb = 89a. Rezultă a = 1, cb = 89 şi

abc = 198. TESTUL NR. 13

1. Avem A = 111(a + b + c). Cum A are exact 4 cifre distincte, rezultă că a + b + c ≥ 1023 : 111 şi a + b + c ≤ 9876 : 111; rezultă că a + b + c ≥ 10. Fie n = a + b + c. Numărul n = 10 nu convine. Pentru 1 ≤ n ≤ 18, avem A = 111n =

= 1dde , unde e = d – 1, d ≥ 2. Pentru n = 20, avem A = 2220, iar pentru 21 ≤

≤ n ≤ 27 avem A = 2dde , unde e = d – 2, d ≥ 3. Rămâne n = 19, pentru că A =

= 2109. Deci avem a + b + c = 19. Pentru a ≤ b ≤ c, avem abc ∈ {199, 289, 379, 388, 469, 478, 559, 568, 577, 667}. Avem în total 3 × 5 + 6 × 5 = 45 de

numere. 2. abc = 426. 3. Avem o aranjare de forma: 4. Avem 999 + 99 + 9 = 1107. SoluŃii sunt: (997, 99, 9), (998, 98, 9), (998, 99, 8), (999, 97, 9), (999, 98, 8), (999, 99, 7). 5. Până la 99 899 inclusiv sunt 10 numere. Luăm numerele începând cu 99 900. Ele sunt de forma

999ab (în total sunt 100). Trebuie să luăm perechile (a, b) cu a ≠ 9, b ≠ 9. În total sunt (10 – 1) × (10 – 1) = 81 de numere. Numărul cerut este 10 + 81 = 91.

1

2 5 3

6 4

122

TESTUL NR. 14

1. Vezi şi rezolvarea de la problema 5, testul 13. Până la 99 900 exclusiv avem doar numărul 99 899. După 99 900 avem doar 11 numere. În total sunt 22 de

numere. 2. Avem 9 × 11 × abc = 1111d = 11 × 101 × d, de unde rezultă că 9 ×

× abc = 101 × d. ObŃinem d = 9, abc = 101, a + b + c + d = 11. 3. Din x + y = = a, x – y = b rezultă x = (a + b) : 2, y = (a – b) : 2 şi deci a şi b sunt cifre cu aceeaşi paritate. Perechile sunt (9, 7), (9, 5), (9, 3), (9, 1), (7, 5), (7, 3), (7, 1), (5, 3), (5, 1), (3, 1), (8, 6), (8, 4), (8, 2), (6, 4), (6, 2), (4, 2). În total avem 16 soluŃii. 4. Dacă d este distanŃa şi v este viteza, avem d = 5v + 180, d = 3v +

+ 300, de unde v = 60 şi apoi d = 480. 5. Avem A = ab × 1000 + 100c + ab =

= 1001 ab + 100c = 7 × 11 × 13 × ab + 100c. a) Este necesar ca c să se împartă

exact la 7. Avem c ∈ {0, 2}. Cum avem 90 de numere ab , rezultă că sunt 90 × 2 = 180 de soluŃii. b) c = 0 ⇒ 90 de soluŃii. TESTUL NR. 15

1. Cum 4 × abcd ≤ 9999, rezultă că a ≤ 2. Cum 4 × d este număr par, rezultă că a = 2 şi deci d ∈ {3, 8}. Deoarece d = 3 nu convine, rămâne d = 8. ObŃinem

4 × 2bc8 8cb2= , de unde avem 8032 + 40 × bc = 8002 + 10 × cb şi deci 3 +

+ 4 × bc = cb . ObŃinem 39b + 3 = 6c şi deci 13b + 1 = 2c ≤ 18 ⇒ b ≤ 1.

Avem b = 1, c = 7 şi deci abcd = 2178. 2. Avem a – 50 = b – 49 = 50 – c = = 49 – d. Avem a ≥ 50, b ≥ 49, c ≤ 50, d ≤ 49 şi a + c = 100, b + d = 98, a + b + + c + d = 198. 3. Notăm sumele copiilor cu 3a şi 2b. Apar două cazuri: a) 3a = = 2b + 60, b = a + 20 ⇒ a = 100, b = 120 ⇒ sumele 300, 240; b) 2b = 3a + 30, b = a + 20 ⇒ nu avem soluŃie. 4. Numărul este de forma A = 5n + 2 = 5 × × (5m + 2) = 5 × [5(5n + 2) + 2] + 2 = 125n + 62. Din 125n + 62 ≥ 100 şi 125n + 62 ≤ 999 rezultă 1 ≤ n ≤ 7. Sunt 7 numere. 5. Sumele sunt: 5 + 6 + 7 + + 8 + 9 + 10 + 11 = 56; 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 63; 7 + 8 + 9 + 10 + + 11 + 12 + 13 + 14 = 77 şi 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84. TESTUL NR. 16

1. a × 111b = 111c ⇒ a × b = c. Luăm b ∈ {0, 1, 2, 3, …, 9} şi numărul cazuri-lor este 9 + 9 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 32. 2. Notăm numărul oilor, gâştelor şi găinilor cu n, 2n, 6n. Avem 4n + 2 × (2n + 6n) = 100, de unde n = 5 Numărul cerut este 9n = 45. 3. Notând numerele cu a, b, c avem a + b + c = 30 şi 3a + 2b = 22. Pentru (a, b) avem soluŃiile (0, 11), (2, 8), (4, 5), (6, 2). Pentru (a, b, c) avem soluŃiile (0, 11, 19), (2, 8, 20), (4, 5, 11), (6, 2, 22). 4. (24 × 60) : 5 = 288 (zile). 5. I) 3a + 2b = 99, b = 3a ⇒ a = 11, b = 33, a + b = = 44; II) 3a + 2b = 99, a = 3b ⇒ b = 9, a = 27, a + b = 36.

123

TESTUL NR. 17

1. I) 5a – 2b = 16; a = 2b ⇒ a = 4, b = 2 ⇒ a + b = 6; II) 5a – 2b = 16, b = 2a

⇒ a = 16, b = 8 ⇒ a + b = 24. 2. Fie numărul n6 . Din 6 × n6 aaa= – a rezultă

6( n6 + 1) = 111a = 3 × 374 × a ⇒ a = 2b ⇒ n6 + 1 = 37b ⇒ n7 = 37b ⇒ b =

= 1, a = 2, n6 = 36. 3. Notăm numerele cu 2a, 3b, 4c şi 2a + 3b + 4c = 97. I) a = b + 1 = c + 2 ⇒ 2(c + 2) + 3(c + 1) + 4c = 97 ⇒ c = 10 ⇒ numerele sunt 24, 33, 40. II) a = b – 1 = c – 2 ⇒ b = a + 1, c = a + 2 ⇒ 2a + 3(a + 1) + 4(a + + 2) = 97 ⇒ a ∉ N. 4. Se iau perechile (a, b), cu a + b să fie 2, 3, 4, 5, 6, …, iar b începe cu 1, 2, 3, … S-a ajuns la a + b = 6. Continuăm cu (3, 3), (2, 4), (1, 5), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6), (7, 1). 5. Luând a + b + c + d = 8, a, b, c, d ∈ N*, avem cazurile:

a b c d vârstele actuale

1 1 1 5 7 7 7 11 1 1 2 4 7 7 8 10 1 2 2 3 7 8 8 9 2 2 2 2 8 8 8 8

TESTUL NR. 18

1. Fie v masa vasului şi 4a masa apei. Din v + 4a = 14 şi 12v + 7 × 2a + 5 × a = = 81 rezultă a = 3, v = 2. 2. Notăm părŃile cu 2a şi 3b. Avem 2a + 3b = 80; a = = b + 20. Rezultă a = 28, b = 8. Numerele sunt 56 şi 24. 3. ÎmpărŃitorul poate fi 8 sau 9. Dacă n = 8a + 7, numerele sunt 95 şi 158, diferenŃa fiind 80. Dacă n = = 9a + 7, numerele sunt 97 şi 16, diferenŃa fiind 81. 4. Într-o zi pendula bate de 24 × (1 + 2 + 3 + 4) = 240 ori. De la ora 18.35 până la ora 23.59, pendula bate de 4 + 5 × 10 = 54 ori. Avem 1077 = 4 × 240 + 54 + 6 × 10 + 1 + 2. Pendula indică ora între 06.15 şi 06.29. 5. Fie lungimea 5x şi lăŃimea 3x. Avem 2 × (5x + 3x) = 80, de unde x = 5. Dimensiunile sunt de 25 cm şi 15 cm. TESTUL NR. 19

1. Avem 5 min 36 s = 336 s. Ceasul ia un avans de 336 s : 7 = 48 s într-o zi, adică 2 s într-o oră. De luni, ora 7.00, până vineri, ora 13.00 sunt 4 zile şi 6 ore. Ceasul ia un avans de 4 × 48 + 2 × 6 = 204 s = 3 min 24 s. Ceasul indică ora 13, 3 min şi 24 s. 2. Avem 23 + c = 19 + a = 20 + e = 26 + d = 11 + b + e = = 12 + a + d. Din 19 + a = 12 + a + d rezultă d = 7. Din 23 + c = 19 + a = 20 + + e = 33 = 11 + b + e rezultă c = 10, a = 14, e = 13, b = 9. Avem a + e – (b + + c + d) = 1. 3. Numărul de cărŃi primite este cuprins între 8 × 6 = 48 şi 8 × 7 = = 56, adică poate fi 45, 50, 51, 52, 53, 54 sau 55. 4. Avem S = 55. Cum sunt 5 numere pare şi 5 numere impare, atunci prin schimbarea unor semne „+” cu semne „–”, rezultatul nu poate fi decât număr impar. Cel mai mic rezultat, nu-

124

măr natural, este 10 + 9 + 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 + 1 = 1. 5. Notăm lăŃimea dreptunghiului, lungimea dreptunghiului şi latura pătratului respectiv cu a, 3a, 6a. Avem 2 × (a + 3a) + 4 × 6a = 480, de unde a = 15. Perimetrul dreptunghiu-lui este 8a = 120 cm.

TESTUL NR. 20

1. Notând numărul timbrelor de 1 leu, 50 bani, 20 bani cu a, b, c, prin înmulŃi-rea cu 10 avem 10a + 5b + 2c = 30. Este necesar să avem c = 5d şi atunci 2a + b + 2d = 6, de unde b = 2n şi deci a + n + d = 3. Avem cazurile:

a n d (a, b, c)

3 0 0 (3, 0, 0) 2 1 0 (2, 2, 0) 2 0 1 (2, 0, 5) 1 2 0 (1, 4, 0) 1 1 1 (1, 2, 5) 1 0 2 (1, 0, 10) 0 2 1 (0, 4, 5) 0 1 2 (0, 2, 10) 0 0 3 (0, 0, 15) 0 3 0 (0, 6, 0)

2. S-au jucat 4 × (9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 180 de partide. 3. 1001 : 13 = 77; 1131 : 13 = 87; 1261 : 13 = 97. 4. Notăm al treilea număr cu 4a. Al doilea număr este 4a : 2 × 3 = 6a, iar primul număr este 6a : 2 × 3 = 9a. Suma lor este 4a + 6a + 9a = 19a ≤ 99 ⇒ a ≤ 5. Luăm a = 5 şi numerele sunt 20, 30, 45. 5. Notând cu a şi b distanŃele de la locul de întâlnire la capetele scă-rii, avem a + b = 90. Vitezele reale de deplasare sunt de 3 + 2 = 5 m/s, respec-tiv 3 – 2 = 1 m/s. Avem 5a = b şi atunci a = 12, b = 75. TESTUL NR. 21

1. Dacă a = 1, b = 2, c ∈ {3, 4, 5, 6}, avem sumele 6, 7, 8, 9. Dacă a = 1, b = 3, c ∈ {4, 5, 6}, avem sumele 8, 9, 10. Dacă a = 1, b = 4, c ∈ {5, 6}, avem sumele 10, 11. Dacă a = 2, b = 3, c ∈ {4, 5, 6}, avem sumele 9, 10, 11. Dacă a = 2, b = = 4, c ∈ {5, 6}, avem sumele 11, 12. Dacă a = 3, b = 4, c ∈ {5, 6}, avem sume-le 12, 13. Mai avem suma 4 + 5 + 6 = 15. Suma tuturor sumelor este 6 + 7 + + 2 × 8 + 3 × 9 + 3 × 10 + 3 × 11 + 2 × 12 + 13 + 15 = 171. 2. Avem 9 drumuri de lungime minimă, din care 2 dacă din A porneşte „în sus”, iar 7 dacă din A porneşte „spre dreapta”. 3. Avem desenul alăturat dat de: 2 – 0 = 2; 1 – 0 = 1; 2 – 1 = 1 pe linia III; 2 – 1 = 1 şi 1 – 1 = 0 pe linia II. Avem a = 1 – 0 = 1. 2 1 2 0

1 1 2 0 1

1

125

4. 30 luni + 30 zile = 31 luni = 2 ani + 7 luni; 30 săptămâni = 7 luni; 30 luni + + 30 săptămâni + 30 zile = 3 ani + 2 luni. Vârsta aproximativă a persoanei este de 33 ani şi 2 luni. Persoana va sărbători 34 ani. 5. Notăm numerele cu a – 3, a – 2, a – 1, a, a + 1, a + 2, a + 3, iar suma lor este 7a = 91, de unde a = 13. Avem 11 + 14 = 25. TESTUL NR. 22 1. Perimetrul este 2 × (AB + AC) = 144 cm. 2. Avem 8 pătrate, din care 4 pătrate de latură 1, 1 pătrat de latură 2, 2 pătrate de latură 3 şi 1 pătrat de latu-ră 4. 3. Grupăm termenii în grupe de câte 10. Fiecare grupă începe cu 1. Avem 2013 = 201 × 10 + 3. Al 2013-lea termen este 3. 4. (5555 : 505) × (505 – 5) = = 5500. 5. 7 × 24 – 6 × 23 = 30 (ani). TESTUL NR. 23

1. Notăm cu a, b, c numărul problemelor rezolvate corect, numărul problemelor rezolvate greşit, respectiv numărul problemelor nerezolvate. Avem a + b + c = = 20 şi 5a – 3b – 2c = 62. Avem 100 = 5a + 5b + 5c = 5b + 5c + 3b + 2c = = 62. Rezultă 8b + 7c = 38. ObŃinem b = 3, c = 2 şi apoi a = 15. 2. Apar 3 seg-mente, AB, BC, CD, de lungime 8 şi 4 segmente, AE, EF, FG, GD, de lungime 6, ca în figura de mai jos. Apar segmente de lungime 6 (AE), 2 (EB), 4 (BF).

3. 9 + 8 + 654 + 321 = 992. 4. Apar cifrele 1, 2, 3, …, 7, 8 de câte două ori. Suma este 2 × (1 + 2 + 3 + … + 8) = 72. 5. Numărul copiilor din clasa a III-a A este 15 + 15 : 3 × 2 = 25. Numărul băieŃilor din clasa a III-a B este (55 – 25) : : 5 × 3 = 18. TESTUL NR. 24

1. Dacă a este numărul care se dublează de 6 ori, obŃinem numărul 2 × 2 × 2 × × 2 × 2 × 2 × a = 64a. Din 100 ≤ 64a ≤ 999 rezultă 2 ≤ a ≤ 15 şi avem deci 14 numere. 2. Notăm cu a vârsta unui geamăn şi cu b vârsta unui triplet. Avem 2a + 3b = 19. Avem cazurile:

a b a + b

8 1 9 5 3 8 2 5 7

Dacă notăm cu x timpul cerut (în ani), avem 9 + 2x = 17 sau 8 + 2x = 17 sau 7 + 2x = 17. ObŃinem x = 4 sau x = 5. 3. AB = (120 – 4 × 24) : 3 = 8, BC =

E

A B C

F G

D

126

= (24 – 8) : 2 = 8. 4. Pătrate comune la 2 linii şi 4 coloane sunt 2 × 4 = 8. Se scot 2 × 10 + 4 × 6 – 8 = 36 pătrate. Rămân 6 × 10 – 36 = 24 pătrate. 5. Trebuie să avem a = d, b = c simultan. Sunt 15 cazuri. TESTUL NR. 25

1. Vârstele trebuie să fie date de a, b, 2a, unde a < b < 2a. Dacă a = 1, avem b = = 36 (fals). Dacă a = 2, atunci 2a = 4, b = 3 (fals). Dacă a = 3, avem 2a = 6, b = = 4. Dacă a ≥ 4, avem b ≥ 5, 2a ≥ 8 şi 4 × 5 × 8 > 72. Vârstele sunt de 3, 4, 6 ani, a căror sumă este 13. 2. Numărul real al cărŃilor este 60 + (2 – 1) + + (3 – 1) + (4 – 1) + (5 – 1) + (6 – 1) = 75. 3. Notând „a” de la albastru şi „r” de la roşu, luând prima lăŃimea şi a doua lungimea, pentru un dreptunghi putem avea una din combinaŃiile aa, ar, ra, rr. Notăm numărul acestor combinaŃii cu x, y, z, t. Avem x + y = 42; x + z = 38; t = 15; x + y + z + t = 75. ObŃinem x = 20, y = 22, z = 18. 4. Avem 40 m = 4000 cm. Numărul cerut este 4000 : (75 – 50) = = 160. 5. Din 120 < (4 + 6 + 1) × (5 + 1 + x) < 160 rezultă 11 < 6 + x < 15 şi deci x ∈ {6, 7, 8}.

127

CUPRINS

Capitolul 1 METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE ARTIMETICĂ

1.1. Metoda grafică (metoda figurativă) ......................................................... 5 1.2. Metoda comparaŃiei ............................................................................... 11 1.3. Metoda falsei ipoteze ............................................................................. 16 1.4. Metoda mersului invers ......................................................................... 17 1.5. Probleme de mişcare .............................................................................. 20 1.6. Metoda algebrică .................................................................................... 23

Capitolul 2 TESTE DE VERIFICARE ........................................................................... 29

Capitolul 3 TESTE GRILĂ ............................................................................................. 69

Capitolul 4 TESTE PENTRU CONCURSURI ............................................................... 85

SOLUłII.......................................................................................................... 100 Capitolul 1. Metode de rezolvare a problemelor de artimetică ................... 100 Capitolul 2. Teste de verificare ................................................................... 100 Capitolul 3. Teste grilă ................................................................................ 110 Capitolul 4. Teste pentru concursuri ........................................................... 117