1. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10 Pgina 243 1 Nmeros enterosINTRODUCCINRESUMEN DE LA UNIDADLa representacin numrica en la recta de Los nmeros enteros son los nmeros naturaleslos nmeros enteros nos introduce en el estudio precedidos de los signos + y , y el nmero 0.de su ordenacin y comparacin, el concepto de valorEl mayor de dos nmeros naturales se sita siempreabsoluto y la existencia de los signos + o quems a la derecha en la recta numrica.les preceden. Los mltiplos de un nmero contienen al nmeroUtilizando conceptos ya adquiridos como: aadir,una cantidad exacta de veces. Los divisorestener, sobre, ms que; reducir, menos que, deber, de un nmero son aquellos que caben exactamentebajo, junto con las reglas de los signos y el uso en l una serie de veces.de los parntesis, realizaremos operaciones bsicas Descomponer un nmero en factores primoscon los nmeros enteros.permite expresar dicho nmero como productoEl concepto de mltiplo y divisor comn de dosde distintos nmeros primos elevados a exponentes.nmeros, ligado a su relacin de divisibilidad, El mximo comn divisor m.c.d. de dos nmeros esrequiere el dominio de las operaciones bsicasel mayor de los divisores comunes de ambos.de multiplicacin y divisin de nmeros El mnimo comn mltiplo m.c.m. de dos nmerosnaturales.es el menor de los mltiplos comunes de ambos.OBJETIVOS CONTENIDOSPROCEDIMIENTOS 1. Comprender el significado Nmeros enteros negativos Reconocimiento de nmeros enteros.de los nmeros positivos y positivos. Ordenacin y comparaciny negativos. Recta numrica:de los nmeros enteros. representacin, Clculo del valor absoluto. orden y comparacin de nmeros enteros. Valor absoluto. Opuesto de un nmero. 2. Realizar operaciones Suma y resta de nmeros Realizacin de operaciones de suma,aritmticas con nmerosenteros. resta, multiplicacin y divisinenteros. Operaciones combinadas.de nmeros enteros. Multiplicacin y divisin Uso correcto de parntesis de nmeros enteros.y signos. Regla de los signos. 3. Realizar operaciones Producto y cociente de Desarrollo inicial de operaciones ADAPTACIN CURRICULARcon potencias. potencias con la misma base. con potencias. Potencias de exponentes cero Aplicacin de las tcnicas de clculo y uno. para hallar potencias. Potencia de una potencia. 4. Identificar los mltiplos Mltiplos y divisores Obtencin de los mltiplosy los divisoresde un nmero.y divisores de un nmero.de un nmero. Relacin de divisibilidad. Relacin entre mltiplo y divisor. 5. Descomponer en Nmeros primos y compuestos. Identificacin de nmeros primosfactores primos. Descomposicin en factores y compuestos.El m.c.d. y el m.c.m.primos. Producto de factores primos. Mltiplos y divisores comunes: Clculo del m.c.d. y el m.c.m. el m.c.d y el m.c.m. Resolucin de problemas. MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 243

2. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/0715:10 Pgina 244 1OBJETIVO 1COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LOS NMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOSNOMBRE: CURSO: FECHA:NMEROS NEGATIVOS En nuestra vida diaria observamos, leemos y decimos expresiones del siguiente tipo. SE ESCRIBEEXPRESIONES COMUNES SE LEEMATEMTICAMENTE Hemos dejado el coche en el segundo 2 Menos dos stano El submarino est a cien metros bajo 100 Menos cien la superficie del mar Hace una temperatura de cuatro grados4Menos cuatro bajo cero Tu cuenta est en nmeros rojos: 120 Menos ciento veinte debes 120 2, 100, 4, 120 son nmeros negativos. Expresan cantidades, situaciones o medidas cuyo valor es menor que cero. Les precede el signo menos (). Se asocian a expresiones del tipo: menos que, deber, bajo, disminuir, restar, me he gastado...1 Completa la siguiente tabla. SE ESCRIBEEXPRESIONES COMUNESSE LEEMATEMTICAMENTELa cueva est a cincuenta y cinco metrosde profundidadLa seccin de juguetes est en el tercerstanoLa temperatura fue de un grado bajo ceroLa estacin de metro se encuentraa cuarenta y cinco metros por debajo del sueloHe perdido 2 2 Escribe situaciones que representen los siguientes nmeros negativos.a) 2...........................................................................................................................b) 5...........................................................................................................................c) 10..........................................................................................................................d) 150 ........................................................................................................................244 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 3. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10Pgina 2451 NMEROS POSITIVOS Por otro lado, tambin observamos, leemos y decimos expresiones como: SE ESCRIBE EXPRESIONES COMUNES SE LEEMATEMTICAMENTE La ropa vaquera est en la tercera planta +3 Ms tres La gaviota est volando a cincuenta metros sobre el nivel del mar +50 Ms cincuenta Qu calor! Estamos a treinta grados sobre cero+30 Ms treinta Ms ciento noventa Tengo en el banco 195 +195y cinco +3, +50, +30, +195 son nmeros positivos. Expresan cantidades, situaciones o medidas cuyo valor es mayor que cero. Les precede el signo ms (+). Se asocian a expresiones del tipo: ms que, tengo, sobre, aumentar, aadir, sumar... 3Completa la siguiente tabla. SE ESCRIBE EXPRESIONES COMUNESSE LEEMATEMTICAMENTE Estamos a treinta y dos grados sobre cero El avin vuela a mil quinientos metros sobre el nivel del mar El monte tiene una altura de ochocientos metros La cometa es capaz de volar a ochentaADAPTACIN CURRICULAR metros Me encontr en el suelo un billete de 5 Te espero en la planta baja Los nmeros positivos, negativos y el cero forman el conjunto de los nmeros enteros, conjunto representado por la letra . Positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6 (naturales con signo +). Negativos: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (naturales con signo ). Cero: 0. MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 245 4. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/07 15:10Pgina 246 14 Un termmetro ha marcado las siguientes temperaturas en grados centgrados durante siete das.Exprsalas con nmeros enteros.LUNES MARTESMIRCOLESJUEVES VIERNES SBADO DOMINGODosCincoTresDos Uno Cinco Cero grados sobre cerosobre cero bajo cerosobre cero bajo cerobajo ceroREPRESENTACIN DE NMEROS ENTEROS. ORDEN EN LA RECTA NUMRICALos nmeros enteros se representan en una recta de esta manera.1. Dibujamos una recta y sealamos el cero, 0.2. Dividimos la recta en segmentos iguales (unidades), a la derecha y la izquierda del cero.3. A la derecha colocamos los nmeros enteros positivos, y a la izquierdacolocamos los nmeros enteros negativos. Observa que estn ordenados: 765 4 321 0+1+2+3 +4+5 +6+7 F FNmeros enteros negativos F Nmeros enteros positivos F5 Representa en una recta los siguientes nmeros enteros: +8, 9, +5, 0, 1, +6, 7, +11, 6.6 Dados los nmeros enteros: 7, +8, +3, 10, +6, +4, 2:a) Represntalos en la recta numrica.b) Cul est ms alejado del cero?c) Cul est ms cerca del cero?d) Escribe, para cada uno de ellos, otro nmero situado a igual distancia del cero que l.COMPARACIN DE NMEROS ENTEROSYa sabemos que en la recta se representan los nmeros enteros ordenados. Hay que tener en cuenta:1. Un nmero entero positivo es mayor que cualquier nmero entero negativo.2. Entre varios nmeros enteros, siempre es mayor el que est situado ms a la derecha sobre la recta.3. Para comparar utilizamos los smbolos mayor que (>) y menor que ( +6 > +5 > +4 > +3 > +2 > +1 > 0 > 1 > 2 > 3 > 4 > 5 > 6 > 7246 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 5. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10Pgina 2471 7 Ordena.DE MENOR A MAYOR () 8, 16, +5, 2, +13, +3, 4, 9,+11, 2, +8, 0, 1, +5, 6, +3,+9, 0, +18, 103, +7, 4, 9, +17 8 Escribe el signo que corresponda entre cada par de nmeros enteros: < o >. a) +5 2c) 1 0 e) +11+15g) 7 4 b) +0 +8d) 4 +1f) +109 h) +5 11 VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO ENTERO El valor absoluto de un nmero entero es la distancia (en unidades) que le separa del cero en la recta numrica. En la prctica se escribe entre dos barras y resulta el mismo nmero sin su signo: Valor absoluto de 3 se escribe 3 y es 3. Valor absoluto de +5 se escribe +5 y es 5. Se observa que: +5 = 5 y 5 = 5.F F54 32 1 0 +1+2 +3 +4 +5 Los nmeros enteros +5 y 5 estn a la misma distancia del cero: 5 unidades. Se dice que +5 y 5 son nmeros opuestos y se escribe as:op (+5) = 5op (5) = +5 Dos nmeros opuestos tienen el mismo valor absoluto. 9 Completa la siguiente tabla. VALOR ABSOLUTO RESULTADOSE LEE ADAPTACIN CURRICULAR +1010 El valor absoluto de +10 es 10 87 9 El valor absoluto de 15 es 15 10 Para cada nmero entero, halla su nmero opuesto y represntalos en una recta numrica. a) 3b) +9 c) 12 d) +8 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 247 6. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/07 15:10Pgina 248 1OBJETIVO 2REALIZAR OPERACIONES ARITMTICAS CON NMEROS ENTEROSNOMBRE: CURSO:FECHA:Para sumar dos nmeros enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y al resultadose le pone el signo de los sumandos.EJEMPLO+3 = 3+2 = 2 (+3) + (+2) 3+2=5 (+3) + (+2) = +54 = 4 1 = 1 (4) + (1) 4+1=5 (4) + (1) = 5 +1 +1FF(+3) + (+2) = +5 6 5 4 32 10+1+2 +3 +4 +5+6 Para sumar dos nmeros enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultadose le pone el signo del sumando con mayor valor absoluto.EJEMPLO +5 = 51 = 1 (+5) + (1) 51=4 (+5) + (1) = +4 6 = 6 +5 = 5 (6) + (+5) 65=1 (6) + (+5) = 1 1 F(+5) + (1) = +46 5 4 3210+1 +2 +3 +4+5 +6 1 Realiza y representa en la recta numrica las siguientes sumas.a) (3) + (1) b) (+4) + (+4)c) (+5) + (2) d) (2) + (5)e) (+4) + (4)Para restar dos nmeros enteros se suma al primero el opuesto del segundo.Se aplica a continuacin la regla de la suma de nmeros enteros.EJEMPLOEJEMPLO(+5) (+2) = (+5) + (2) = +3(6) (1) = (6) + (+1) = 5op (+2) = 2+5 = 52 = 2 52=3 op (1) = +1 6 = 6 +1 = 1 61=5248 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 7. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/0715:10Pgina 2491 OPERACIONES COMBINADAS DE SUMAS Y RESTAS DE NMEROS ENTEROS Los nmeros enteros pueden combinarse mediante sumas y restas. Hay que tener en cuenta una serie de reglas: Cuando el primer sumando es positivo se escribe sin signo. Al eliminar los parntesis, el signo que le precede afecta a todos los nmeros: El signo + mantiene los signos de todos los nmeros: +(7 + 2 1 + 8) = 7 + 2 1 + 8. El signo cambia los signos de todos los nmeros: (7 + 2 1 + 8) = +7 2 + 1 8. Podemos operar de dos formas: Sumar por separado los enteros positivos, los enteros negativos y hallar la resta entre ambos. Realizar las operaciones en el orden en que aparecen. EJEMPLO Haz estas operaciones combinadas. a) (+7) + (+2) = 7 + 2 = 9 b) (4) + (1) = 4 1 = 5 c) Primera forma: +(5 + 3 2 + 7) = 5 + 3 2 + 7 = 7 + 10 = +3Segunda forma: +(5 + 3 2 + 7) = 5 + 3 2 + 7 = 2 2 + 7 = 4 + 7 = +3 d) Primera forma: (5 + 3 2 + 7) = +5 3 + 2 7 = 7 10 = 3Segunda forma: (5 + 3 2 + 7) = +5 3 + 2 7 = +2 + 2 7 = + 4 7 = 3 2 Realiza las siguientes operaciones, utilizando las reglas anteriores. Ejemplo: (+11) + (2) = 11 2 = 9. a) (+7) + (+1) = d) (+10) (+2) = b) (15) + (4) =e) (11) (10) = c) (+9) (5) = f) (7) + (+1) = 3 Haz las operaciones. ADAPTACIN CURRICULAR a) 7 5 = d) 3 + 8 = b) 11 4 + 5 =e) 1 + 8 + 9 = c) 9 7 =f) 10 + 3 + 7 = 4 Calcula. a) 5 7 + 19 20 + 4 3 + 10 = b) (8 + 9 11) = c) 9 11 + 13 + 2 4 5 + 9 = d) (20 + 17) 16 + 7 15 + 3 = MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 249 8. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/0715:10Pgina 250 15 Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas.a) 8 (4 7) =b) 4 (5 7) (4 + 5) =c) (1 2 3) (5 5 + 4 + 6 + 8) =d) (1 + 2 9) (5 5) 4 + 5 =e) (1 9) (5 4 + 6 + 8) (8 7) =f) 4 (4 + 5) (8 9) + 1 + 6 =MULTIPLICACIN DE NMEROS ENTEROSPara multiplicar dos nmeros enteros se siguen estos pasos.1. Se multiplican sus valores absolutos (en la prctica, los nmeros entre s).2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos nmeros son de igual signo, y el signo si sonde signos diferentes.EJEMPLO(+5) (3) = 15 2. 5 3 = 15 son de distinto signo (positivo y negativo).1.15, ya que(5) (+3) = 15 1. 5 3 = 152. 15, ya que son de distinto signo (negativo y positivo).(5) (3) = +15 1. +15,= 15 son de igual signo (negativos). 2. 53 ya que(+5) (+3) = +15 2. +15,= 15 son de igual signo (positivos). 1. 5 3 ya queDIVISIN DE NMEROS ENTEROSPara dividir dos nmeros enteros se siguen estos pasos.1. Se dividen sus valores absolutos (en la prctica, los nmeros entre s y siempre que la divisin sea exacta).2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos nmeros son de igual signo, y el signo si sonde signos diferentes.EJEMPLO(+20) : (4) = 5 1. 5,: ya= 5 son de distinto signo (positivo y negativo).2.20 4 que(20) : (+4) = 5 1. 20 : 4 = 52. 5, ya que son de distinto signo (negativo y positivo).(20) : (4) = +5 1. +5,: ya= 5 son de igual signo (negativos). 2. 20 4que(+20) : (+4) = +5 1. +5,: ya= 5 son de igual signo (positivos). 2. 20 4que250 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 9. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/07 15:10Pgina 2511 En las operaciones de multiplicacin y divisin de nmeros enteros, se utiliza la regla de los signos.MULTIPLICACIN DIVISIN (+) (+) = + (+) : (+) = + () () = + () : () = + (+) () = (+) : () = () (+) = () : (+) = 6 Realiza las siguientes operaciones. a) (+7) (+2) = d) (5) (+8) = b) (+12) (3) =e) (1) (1) = c) (10) (+10) = f) (+5) (+20) = 7 Efecta las divisiones. a) (+16) : (+2) = c) (25) : (+5) =e) (+12) : (3) = b) (8) : (1) =d) (100) : (+10) =f) (+45) : (+9) = 8 Calcula las siguientes operaciones, aplicando la regla de los signos. a) (+12) (3) = e) (9) : (3) = i) (+10) (+4) = b) (20) : (10) =f) (100) : (+25) =j) (9) (+8) = c) (+6) (6) =g) (1) (18) =k) (+35) : (+5) = d) (+80) : (8) = h) (77) : (11) = l) (12) (+5) =ADAPTACIN CURRICULAR 9 Completa los huecos con los nmeros enteros correspondientes. a) (+9) ........ = 36d) (7) ........ = +21 g) ........ (8 ) = 40 b) ........ (+10) = 100e) (30) ........ = +30h) (+6) ........ = 0 c) (+3) ........ = 15f) (8) ........ = +16 i) ........ (5 ) = +25 10 Completa los huecos con los nmeros enteros correspondientes. a) (+42) : ........ = 7d) (8) : ........ = +1g) ........ : (9 ) = +6 b) (20) : ........ = 20 e) ........ : (6) = +5h) (+9) : ........ = 9 c) (+12) : ........ = 4f) (64) : ........ = +8 i) (8) : ........ = 2 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 251 10. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/0715:10Pgina 252 1 OBJETIVO 3REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIASNOMBRE: CURSO: FECHA:PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASEPara multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes.EJEMPLO22 23 = 2 2 2 2 2 = 25En la prctica: 22 23 = 22+3 = 25.1 Expresa con una sola potencia.a) 22 24 23 = 22+4+3 = c) 52 53 = e) 64 6 63 62 =b) (4)4 (4)4 = d) (5)5 (5)2 = f) (10)3 (10)3 (10)4 =2 Expresa como producto de factores las siguientes potencias.POTENCIA N. DE FACTORES PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE55 252 53(6)6429 5 (10)6349 4Todo nmero se puede expresar como potencia de exponente 1.EJEMPLO 2 = 21 (3) = (3)1 10 = 10116 = 161(20) = (20)13 Coloca los exponentes que faltan de modo que se cumpla la igualdad.(Puede haber varias soluciones en cada caso.)a) 22 2.... 2.... = 26 d) 5.... 5.... = 55g) (2)4 (2).... (2).... = (2)8b) 42 4.... 4.... 4.... = 47 e) (7).... (7).... = (7)5 h) 106 10.... 10.... = 109c) 3.... 3.... 3.... = 35f) 10.... 10.... = 105 i) 6.... 6.... 6.... = 66COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASEPara dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes.EJEMPLO25 22222 222 22 23 25 = = = 3 2 2 = 1 22 = 22En la prctica:= 25 3 = 22 .23 222 222 1 223252 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 11. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10 Pgina 2531 4 Expresa con una sola potencia.364455 a)= 362 = 34 c)= e)=324353(4)6 (7)3 (6)8 b) =d) =f) =(4)2(7) (6)6 POTENCIA DE EXPONENTE CERO Una potencia de exponente cero vale siempre uno. 23222 8 = = =1 2 3 222 8 20 = 1 23= 233 = 20 23 5 Coloca los exponentes que faltan, de modo que se cumpla la igualdad. (Puede haber varias soluciones en cada caso.)2.... 3.... 4.... a) = 2.... = 25 c) = 3.... = 33 e) = .......... = 422.... 3.... 4....10....(5)....6.... b)= .......... = 10 4 d)= .......... = 52 f) = .......... = 110....(5)....6.... POTENCIA DE UNA POTENCIA Para elevar una potencia a otra se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes. EJEMPLO [(2)3]2 = 23 23 = 23+3 = 26En la prctica: [(2)3]2 = (2)32 = 26. [(3)4]3 = (3)4 (3)4 (3)4 = (3)4+4+4 = (3)12En la prctica: [(3)4]3 = (3)43 = (3)12.ADAPTACIN CURRICULAR 6 Expresa con una sola potencia. a) [(4)5]2 = (4)5 2 = 4....d) [(5)2]4 = b) [(3)3]3 =e) [(6)0]2 = c) [(8)2]3 =f) [(10)3]4 = 7 Coloca los exponentes que faltan, de modo que se cumpla la igualdad. (Puede haber varias soluciones en cada caso.) a) [2....].... = 28 c) [3....].... = 310e) [(5)....].... = (5)6 b) [6....].... = 612d) [4....].... = 1f) [10....].... = 102 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 253 12. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/0715:10 Pgina 254 1 OBJETIVO 4 IDENTIFICAR LOS MLTIPLOS Y LOS DIVISORES DE UN NMERONOMBRE: CURSO:FECHA:Los mltiplos de un nmero son aquellos nmeros que se obtienen multiplicando dicho nmeropor 1, 2, 3, 4, 5, ..., es decir, por los nmeros naturales. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...5 51015 20 253035 40 45 ... Mltiplos de 5 F 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...EJEMPLOEn una tienda las rosquillas se venden en paquetes de 3 unidades. Cuntas puedocomprar si me llevo varios paquetes?3 1 = 3 rosquillas 13 2 = 6 rosquillas13 3 = 9 rosquillas3 4 = 12 rosquillas 3 5 = 15 rosquillas3 6 = 18 rosquillas Podemos comprar 3, 6, 9, 12, 15, 18 rosquillas. 3, 6, 9, 12, 15, 18... son mltiplos de 3. Los mltiplos de un nmero contienen a este una cantidad exacta de veces:1, 2, 3, 4, 5, 6... paquetes de 3 unidades.1 Lucas va al supermercado y observa que los pauelos se venden en paquetes de 3 unidades,los yogures en grupos de 4 unidades y las pelotas de tenis en botes de 5 unidades.Cuntas unidades de cada artculo podramos comprar?2 Escribe los nmeros que sean:a) Mltiplos de 5 y menores que 51.b) Mltiplos de 25 y menores que 105.c) Mltiplos de 30 y que estn comprendidos entre 50 y 280.d) Mltiplos de 1.000 y que estn comprendidos entre 990 y 10.100.Los divisores de un nmero son aquellos nmeros enteros que caben en l una cantidad exacta de veces.Para hallarlos: 1. Realizamos todas las divisiones posibles (entre nmeros menores e igual que l)tomando el nmero como dividendo.2. Buscamos las divisiones que sean exactas (resto = 0).Calculamos los divisores de 8.8 1 8 2 8 38 48 5 8 68 78 80 8 0 4 2 2 0 2 3 1 2 1 1 1 0 1 1, 2, 4 y 8 ... son divisores de 8. Dividen exactamente a 8. 3, 5, 6 y 7 no son divisores de 8. No lo dividen exactamente (resto 0).254 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 13. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/0715:10Pgina 2551 3 Realiza todas las divisiones posibles del nmero 12 entre nmeros menores e igual que l. 4 Completa la tabla con los datos del ejercicio anterior.DIVISORES DE 12NO DIVISORES DE 12 Cualquier nmero tiene al menos dos divisores: l mismo y la unidad. 5 Tacha aquellos nmeros que no sean: a) Divisores de 2 = {1, 2, 3} b) Divisores de 9 = {1, 2, 3, 4, 6, 9} c) Divisores de 11 = {1, 3, 7, 9, 11} d) Divisores de 25 = {1, 3, 5, 10, 15, 20, 25, 30} e) Divisores de 48 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 45, 48} f) Divisores de 100 = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 40, 50, 60, 75, 90, 100} 6 Rellena los huecos con los divisores correspondientes. 36 136 3636 36 36 36 36 36 06 36 16 1806 12 0 90 60 40 30 20 10 00 7 Los divisores de 36 son: ............................................................................................... Mltiplo y divisor son dos conceptos estrechamente ligados. En una divisin exacta entre dosADAPTACIN CURRICULAR nmeros existe una relacin especial llamada divisibilidad. 49 7 49 es mltiplo de 7. El nmero mayor es mltiplo del menor. 0 7 7 es divisor de 49. El nmero menor es divisor del mayor. De igual forma: 64 4 64 es mltiplo de 4.35 5 35 es mltiplo de 5. 24 16 4 es divisor de 64.0 7 5 es divisor de 35.0 8 Completa los huecos con la palabra adecuada: mltiplo o divisor. a) 25 es ...................... de 5c) 16 es ...................... de 8 b) 60 es ...................... de 120d) 11 es ...................... de 33 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 255 14. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/0715:10 Pgina 256 1 OBJETIVO 5 DESCOMPONER EN FACTORES PRIMOS. EL m.c.d. Y EL m.c.m.NOMBRE: CURSO:FECHA: Nmero primo: es aquel nmero que solo tiene dos divisores, l mismo y la unidad. Nmero compuesto: es aquel nmero que tiene ms de dos divisores.Divisores de 5 = 1 y 5 5 es un nmero primo.Divisores de 8 = 1, 2, 4 y 8 8 es un nmero compuesto.1 En la siguiente serie de nmeros, tacha los que son compuestos (los que tienen ms de dos divisores).1 2345678 9 1011 12 13 14 15 1617 181920 21 22 23 2425 2627 28 2930 Los que quedan sin tachar son nmeros .................................... Solo tienen .............. divisores, que son .........................................................................2 En la siguiente serie de nmeros, tacha los que son compuestos (los que tienen ms de dos divisores). 3132 333435 36 37 38 3940 4142 43 4445 4647 484950 51 52 53 5455 5657 58 5960 Los que quedan tachados son nmeros .................................... Tienen ms de .............. divisores.DESCOMPONER UN NMERO EN FACTORES PRIMOS Ya sabemos que los primeros nmeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Todo nmero compuesto se puede expresar como producto de otros que sean primos, y expresarsus divisores mediante la combinacin de esos nmeros, que llamamos factores primos. Para realizar la descomposicin seguimos estos pasos.1. Intentar dividir el nmero entre 2, tantas veces como se pueda.2. Luego intentar tambin dividir el nmero restante entre 3, tantas veces como se pueda.3. Seguir probando a dividir el nmero restante entre 5, 7, 11... tantas veces como se pueda,hasta obtener como cociente 1.4. Expresar el nmero como producto de potencias de factores primos.EJEMPLORealiza la descomposicin en producto de factores primos del nmero 60.En la prctica se hace as: 60 2 y se expresa:60 = 2 2 3 530 2Recordando las potencias quedara: Lnea que acta15 3 60 = 22 3 5 como ventana F de divisin5 51 60 queda as expresado como productode factores primos.256 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 15. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10Pgina 2571 3 Descompn los siguientes nmeros en factores primos y exprsalos como producto de ellos: 24, 30, 45 y 60. 24 230 245 360 2 12 26 23 31 24 = 2 2 2 3 24 = 23 3 4 Descompn los siguientes nmeros en factores primos y exprsalos como producto de ellos: 25, 33, 75 y 100. DIVISORES COMUNES A VARIOS NMEROS. MXIMO COMN DIVISOR (m.c.d.) Luis tiene 12 trenes de plstico y Pedro 18 aviones. Quieren hacer grupos con el mismo nmero de vehculos en cada uno de ellos. Cul ser el grupo ms grande y que tenga igual nmero de ambos juguetes? Calculamos los divisores de ambos nmeros: Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}Juan puede hacer grupos iguales de 1, 2, 3, 4, 6y 12 trenes. Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}Pedro puede hacer grupos iguales de 1, 2, 3, 6, 9y 18 aviones. 1, 2, 3 y 6 son divisores comunes de 12 y 18. 6 es el divisor mayor (mximo) de 12 y 18 y es comn a ambos nmeros. 6 es el mximo comn divisor de 12 y 18 y se expresa as: m.c.d. (12 y 18) = 6. El grupo ms grande y con el mismo nmero de juguetes de los dos tipos estar formadoADAPTACIN CURRICULAR por 6 trenes y 6 aviones. 5 Halla los divisores comunes de: a) 20 y 25 b) 16 y 24 c) 8 y 12d) 8, 10 y 12 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 257 16. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10Pgina 258 16 Calcula el m.c.d. de los nmeros de cada apartado del ejercicio anterior.MTODO PARA EL CLCULO DEL MXIMO COMN DIVISORHasta ahora el proceso empleado para calcular el m.c.d. es adecuado para nmeros sencillos.Vamos a estudiar un mtodo ms directo y para nmeros de cualquier tamao. Seguiremos estos pasos.1. Descomponer los nmeros en factores primos.2. Expresar los nmeros como producto de factores primos.3. Escoger en ambos nmeros los factores que sean comunes y que tengan el menor exponente.4. El producto de esos factores es el m.c.d.EJEMPLOCalcula el m.c.d. de 24 y 36.1. 24 2 36 2 2. 24 = 2 2 2 3 = 23 33. Factores comunes: 2 y 312 2 18 2 36 = 2 2 3 3 = 22 32 Con menor exponente: 22 y 31 6 29 3 3 33 3 4. m.c.d. (24 y 36) = 22 3 = 4 3 = 12 117 Calcula el m.c.d. de los nmeros.a) 6 y 15b) 15 y 20 c) 10 y 35 d) 25 y 508 Completa la siguiente tabla.PRODUCTO DE FACTORESDESCOMPOSICINNMEROSCOMUNES CON MENORm.c.d. EN FACTORES PRIMOS EXPONENTE 22 3 5 60 y 40 22 520 23 5 18 y 30 52 22 52258 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 17. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/0715:10Pgina 2591 9 Queremos embalar 40 latas de refresco de cola y 100 latas de referesco de limn en cajas de igual tamao, lo ms grandes posible y sin mezclarlas. Cuntas latas pondremos en cada caja? MLTIPLOS COMUNES A VARIOS NMEROS. MNIMO COMN MLTIPLO (m.c.m.) Ana va a nadar al polideportivo cada 3 das y Eva cada 4. Cada cunto tiempo coincidirn en el polideportivo? Ana va los das 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27... F Son los mltiplos de 3. Eva va los das 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32...F Son los mltiplos de 4. 12, 24 ... son los mltiplos comunes de 3 y 4. 12 es el mltiplo menor (mnimo) de 3 y 4 y es comn a ambos nmeros. 12 es el mnimo comn mltiplo de 3 y 4 y se expresa as: m.c.m. (3 y 4) = 12. Ana y Eva coincidirn en el polideportivo cada 12 das. 10 Halla los 3 primeros mltiplos comunes de: a) 5 y 10c) 4 y 6 b) 9 y 12d) 8 y 20ADAPTACIN CURRICULAR 11 Calcula el m.c.m. de los nmeros de cada apartado del ejercicio anterior. MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 259 18. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/0715:10Pgina 260 1MTODO PARA EL CLCULO DEL MNIMO COMN MLTIPLOHasta ahora el proceso empleado para calcular el m.c.m. es adecuado para nmeros sencillos.Vamos a estudiar un mtodo ms directo y para nmeros de cualquier tamao.1. Descomponer los nmeros en factores primos.2. Expresar los nmeros como producto de factores primos.3. Escoger en ambos nmeros los factores que sean comunes y no comunes y que tenganel mayor exponente.4. El producto de esos factores es el m.c.m.EJEMPLOCalcula el m.c.m. de 12 y 60.1. 12260 2 2. 12 = 2 2 3 = 22 3 3. Factores comunes: 2 y 3 6230 2 60 = 2 2 3 5 =Factores no comunes: 5 3315 3 60 = 22 3 5 Con mayor exponente: 22 3 5 15 54. m.c.m. (12 y 60) = 22 3 5 = 4 3 5 = 60112 Calcula el m.c.m. de los nmeros.a) 15 y 20 b) 8 y 12 c) 10 y 30d) 9 y 1513 Completa la siguiente tabla.PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS DESCOMPOSICINNMEROSCOMUNES Y NO COMUNESm.c.m.EN FACTORES PRIMOSCON MAYOR EXPONENTE22 3 5 60 y 40 23 3 5 120 23 5 18 y 3022 3 5 23 5214 Dos aviones de una lnea area salen siempre del mismo aeropuerto. Uno lo hace cada 10 dasy el otro cada 12. Si han salido hoy, cundo volvern a coincidir en el aeropuerto?260 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 19. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10 Pgina 261 2 FraccionesINTRODUCCINRESUMEN DE LA UNIDADaEn esta unidad se presenta el concepto de fraccin Una fraccin es una expresin del tipo,como resultado de varios significados: como parte bdonde a es el numerador y b es el denominador.de un todo o unidad, como valor decimal (cociente)y como operador (fraccin de una cantidad). Denominador: nmero de partes iguales en las queLos alumnos ya tienen conocimientose divide la unidad. Numerador: nmero de partesde la representacin grfica de las fraccionesiguales que tomamos de la unidad.y las operaciones aritmticas que se realizan con ellas. Una fraccin puede interpretarse como parteSe pretende ahora profundizar en aspectos de la unidad, como valor decimal y comoms concretos, como el de fraccin equivalenteparte de una cantidad.y los mtodos de amplificacin y simplificacin Las fracciones se representan mediante dibujos(fraccin ms sencilla o irreducible). Del mismomodo, la representacin grfica de fraccionesgeomtricos.mediante dibujos tipo tarta o regleta ayudar Se pueden obtener fracciones equivalentesa los alumnos a comprender de una maneraa una dada: simplemente multiplicamos (amplificar)ms intuitiva la comparacin, el ordeno dividimos (simplificar) el numeradory la relacin entre fracciones. y el denominador por el mismo nmero.Las operaciones de suma, resta, multiplicacin Podemos realizar operaciones aritmticas cony divisin de fracciones se plantean inicialmente las fracciones: sumar, restar, multiplicar y dividir,con casos sencillos (igual denominador, en el casoas como resolver problemas de la vida real.de las sumas y restas). Es importante tener en cuenta el ordende las operaciones. OBJETIVOSCONTENIDOSPROCEDIMIENTOS 1. Comprender el concepto Concepto de fraccin. Identificacin de los trminosy los significados Elementos de las fracciones: de las fracciones.de las fracciones. numerador y denominador. Interpretacin de las fracciones: Representacin grfica.representacin grfica Lectura y significadoy sus significados numricos. de las fracciones. 2. Identificar y entender Fraccin equivalente. Reconocimiento de fraccioneslas fracciones Obtencin de fraccionesequivalentes.equivalentes.equivalentes: amplificacin Obtencin de fracciones equivalentesADAPTACIN CURRICULAR y simplificacin. Fraccin mediante la amplificacin irreducible. y la simplificacin. Comparacin de fracciones. Comparacin de fracciones: comndenominador y grficamente. 3. Realizar operaciones Suma y resta de fracciones Suma y resta de fracciones con igualde suma y resta de con igual denominador. y distinto denominador.fracciones. Suma y resta de fracciones Operaciones combinadas. con distinto denominador. Resolucin de problemas. 4. Realizar operaciones Multiplicacin y divisin Multiplicacin y divisin de fraccionesde multiplicacinde fracciones. por un nmero.y divisin de fracciones. Producto y divisin de una Operaciones combinadas. fraccin por un nmero. Resolucin de problemas. MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 261 20. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10 Pgina 262 2OBJETIVO 1COMPRENDER EL CONCEPTO Y LOS SIGNIFICADOS DE LAS FRACCIONESNOMBRE: CURSO:FECHA: Cuando queremos expresar cierta cantidad de algo que es incompleto, o partes de un total, y no podemos escribirla con los nmeros y expresiones que hasta ahora conocemos, utilizamos las fracciones. Ejemplos de frases en las que utilizamos fracciones son: Dame la mitad de..., Nos falta la cuarta parte del recorrido..., Se inund la habitacin de agua en dos quintas partes..., Los dos tercios del barril estn vacos..., Me he gastado la tercera parte de la paga.... Una fraccin es una expresin matemtica en la que se distinguen dos trminos: numerador y denominador, separados por una lnea horizontal que se denomina raya de fraccin. En general, si a y b son dos nmeros naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...), una fraccin se escribe: Raya dea F Numerador 2 4 1F, yson ejemplos de fracciones. fraccin b F Denominador 3 9 2 LA FRACCIN COMO PARTE DE LA UNIDAD Elena abre una caja de quesitos de 8 porciones y se come 2. Podemos expresar esta situacin mediante una fraccin:2 F Numerador: nmero de porciones que se come.8 F Denominador: nmero de porciones de la caja. Significado del denominador: nmero de partes iguales en las que se divide la unidad. Significado del numerador: nmero de partes que tomamos de la unidad. Significado de la raya de fraccin: particin, parte de, entre, divisin o cociente. Cmo se leen las fracciones?SI EL NUMERADOR ES 12 3 4 5 6 7 8 9 ...SE LEEUnDosTres Cuatro Cinco SeisSieteOcho Nueve...SI EL DENOMINADOR ES 23 4 56 78 910SE LEE Medios Tercios Cuartos Quintos Sextos Sptimos Octavos Novenos Dcimos Si el denominador es mayor que 10, se lee el nmero seguido del trmino -avo.SI EL DENOMINADOR ES 11 1213 1415 ...20SE LEEOnceavosDoceavos Treceavos Catorceavos Quinceavos ... Veinteavos Ejemplos 36 12se lee tres octavos.se lee seis novenos. se lee doce veintiunavos. 89 21262 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 21. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10Pgina 2632 1Completa la siguiente tabla. FRACCINNUMERADORDENOMINADOR SE LEE49 7121216102534 2Completa la siguiente tabla. 6 FRACCIN10 NUMERADOR 6 DENOMINADOR10 SE LEEOnce sextosQuince treintavos Dos quintos REPRESENTACIN GRFICA DE LAS FRACCIONES Para dibujar y/o representar grficamente las fracciones seguimos estos pasos. 1. Elegimos el tipo de dibujo: crculo, rectngulo, cuadrado, tringulo (normalmente es una figura geomtrica). 2. Dividimos la figura en tantas partes iguales como nos indica el denominador. 3. Coloreamos, marcamos o sealamos las partes que nos indica el numerador. ADAPTACIN CURRICULAR 3Escribe la fraccin que representa la parte sombreada de los grficos.a)b)c) MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 263 22. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/0715:10Pgina 264 2LA FRACCIN COMO VALOR DECIMALAl dividir el numerador entre el denominador se obtiene un nmero decimal, que es el valor numricode la fraccin.7 Si quiero repartir 7 naranjas entre 2 nios , cuntas le corresponden a cada uno?2 72 Le tocaran 3 naranjas completas a cada nio. 10 3,5 Sobra 1 naranja, por lo que, entre dos nios, tocan a media naranja (0,5) cada uno. 07= 7 : 2 = 3,524Halla la expresin decimal de las siguientes fracciones.4 3 9 a)c)e)515 4105 15 b) d) f)20 10 205Expresa en forma de fraccin y halla el valor numrico de estos casos. a) Cuatro kilogramos de peras en ocho bolsas. b) Doce litros de refresco de cola en ocho botellas. c) Cincuenta litros de agua en cien cantimploras. d) Tres salchichas para cuatro perros.LA FRACCIN DE UNA CANTIDADUn tonel de 20 litros de vino est lleno hasta los dos quintos de su capacidad. Cuntos litros contiene?2Tenemos que hallar lo que vale de 20, es decir, una fraccin de una cantidad.5Se puede hacer de dos maneras: 2a) Se multiplica la cantidad por el numerador y se divide entre el denominador. de 20 5b) Se divide la cantidad entre el denominador y se multiplica por el numerador.Lo comprobamos: a) (20 2) : 5 = 40 : 5 = 8 litros contiene el tonel.b) (20 : 5) 2 = 4 2 = 8 litros contiene el tonel. 26En una excursin de senderismo los alumnos de 2. ESO han realizado losde la marcha 3 programada, que es de 6.000 metros de longitud. Qu distancia han recorrido?264 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 23. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10Pgina 265OBJETIVO 2IDENTIFICAR Y ENTENDER LAS FRACCIONES EQUIVALENTES 2NOMBRE: CURSO: FECHA: FRACCIONES EQUIVALENTES Equivalente es sinnimo de igual, que tiene el mismo valor, o que representa la misma cantidad.1 2 As, yson fracciones equivalentes.4 8 12 Tienen el mismo valor:= 1 : 4 = 0,25 = 2 : 8 = 0,25 48 Representan la misma cantidad:1 24 8 En general, para comprobar si dos fracciones son equivalentes se multiplica en cruz, obteniendo el mismo resultado. 1 F2F 818=42 4F F88 1 Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones (utiliza el criterio del valor numrico).1439 a) yb) y3 126 18 2 Comprueba si son equivalentes las fracciones (utiliza la representacin grfica).2 4 1 2 a) yb) y3 6 2 4 ADAPTACIN CURRICULAR 3 Halla el trmino que falta para que sean equivalentes estas fracciones. 826 a) == c) ==2 16 12 5 20323 6 b) == d) = =7 218 40 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 265 24. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/07 15:10Pgina 266 2PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FRACCIONES Si se multiplica o se divide el numerador y el denominador de una fraccin por un mismo nmero,obtenemos una fraccin equivalente y el valor de la fraccin no vara.223 62F6 multiplicamos numerador y denominador por 3: = FF 2 15 = 5 6553155 F 151818 : 6 3 18F3dividimos numerador y denominador entre 6:= FF 2 F 18 2 = 12 31212 : 6 2 12 Si multiplicamos, se utiliza el trmino amplificar. Si dividimos, se utiliza el trmino simplificar. Una fraccin que no se puede simplificar se llamafraccin irreducible.4 Escribe fracciones equivalentes a la dada mediante amplificacin (multiplica en el numeradory el denominador por el mismo nmero). 1 2 3 45a) = = = ==c) === = 3 6 36 7 23b) = = = = d) === = 525 Escribe fracciones equivalentes a la dada mediante simplificacin (divide en el numeradory el denominador entre el mismo nmero). 20 10 548 24a)== c)== 40 2016 20 30b)== d)== 30 356 Escribe 5 fracciones equivalentes a: 7 4a) b) 11 107 Escribe. 2a) Una fraccin equivalente ay que tenga 6 como numerador. 4 3b) Una fraccin equivalente ay que tenga 15 como denominador. 58 Completa la siguiente tabla. 2018 7 FRACCIN 3024 9 ES IRREDUCIBLE? FRACCIONES EQUIVALENTES (simplificacin)266 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 25. 829485 _ 0243-0308.qxd21/9/0712:06 Pgina 267 2 COMPARACIN DE FRACCIONES Jorge, Araceli y Lucas han comprado el mismo nmero de sobres de cromos. Jorge ha pegado los dos tercios de los cromos, Araceli la mitad y Lucas los tres cuartos. Quin ha pegado ms cromos? Los pasos que hay que seguir son: 1. Obtener fracciones equivalentes y encontrar aquellas que tengan el mismo denominador. 2. Comparar sus numeradores. La fraccin que tenga mayor numerador ser la mayor. 22 4 68 10 1. Jorge:Fracciones equivalentes: = = ==, 33 6 9 12 15 11 2 3 4567Araceli: Fracciones equivalentes: = = = ===, 22 4 6 8 10 12 14 33 69 12Lucas: Fracciones equivalentes: = ==, 44 8 1268 69, ytienen el mismo denominador. 12 1212 2. Ordenamos las fracciones, de mayor a menor, con el smbolo mayor que, >. 986 3 2 1 >> > >12 12 12 4 3 2 Lucas fue el que peg ms cromos, luego Jorge y, por ltimo, Araceli.4 8 6 5 19 3 10 9 Ordena, de menor a mayor ( Menor que 3,7 porque: 4 > 3 (parte entera)8,37 > 8,34 porque: 8 = 8 (parte entera)3 = 3 (dcimas)7 > 4 (centsimas)7 Ordena, de menor a mayor ().276 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 35. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/07 15:10Pgina 277 3 APROXIMACIN DE NMEROS DECIMALES Aproximar un nmero decimal es considerar el nmero ms prximo a l. Para aproximar un nmero se suprimen las cifras situadas a la derecha. Si la cifra eliminada es mayor que 5, a la ltima cifra se le suma uno. Podemos aproximar a las unidades, a las dcimas, a las centsimas... EJEMPLO Aproxima 5,3 a las unidades. El resultado es 5, ya que 5,3 est ms cerca de 5 que de 6. 5,3F 351,6 1,61 1,62 1,63 1,641,651,66 1,67 1,68 1,69 1,7 F 1,67 se aproxima ms a 1,7. F 9 Aproxima a las unidades los siguientes nmeros.NMERONMERO APROXIMADODECIMAL A LAS UNIDADES 34,21 17,81 10,61 13,71 12,52 10 Aproxima a las dcimas.NMERONMERO APROXIMADODECIMAL A LAS DCIMAS ADAPTACIN CURRICULAR 10,56 17,24 10,68 13,47 12,92 11 Juan pesa 52,383 kg. Aproxima su peso a: a) Las unidadesb) Las dcimas c) Las centsimas MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 277 36. 829485 _ 0243-0308.qxd 8/1/08 13:26 Pgina 278 3OBJETIVO 2COMPRENDER LA RELACIN ENTRE FRACCIN Y NMERO DECIMALNOMBRE: CURSO: FECHA:TIPOS DE NMEROS DECIMALESEn una fraccin, al dividir el numerador entre el denominador se obtiene un nmero decimal. Si el resto es cero, el nmero decimal es exacto. 3912= 0,6 = 4,5 = 1,2 5210 Si el resto no es cero, obtenemos un nmero con infinitas cifras decimales.Un nmero peridico tiene infinitas cifras decimales que se repiten siempre. 112= 0,33333...= 1,09090909...)311Un pequeo arco ))sobre las cifras decimales indica las cifras que se repiten peridicamente. 0, 3 = 0,33333...1,09 = 1,09090909...1 Indica qu tipo de nmero decimal obtenemos en las siguientes divisiones. FRACCINRESULTADOTIPO DE NMERO DECIMAL1512 113 714 9 992 Expresa los nmeros decimales peridicos de forma abreviada. NMERONMERO ABREVIADOPARTE ENTERAPARTE DECIMAL PERIDICA) )4,55555...4,5452,343434...1,187187...11,66666... 91,878787... )3 Rodea con un crculo el nmero decimal peridico que corresponde a 4,87.a) 4,807807807...c) 4,78787878...b) 4,87878787... d) 47,87878787...278 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 37. 829485 _ 0243-0308.qxd21/9/07 12:06Pgina 279 3 PASO DE NMERO DECIMAL EXACTO A FRACCIN Un nmero decimal se puede expresar como fraccin. Para ello, se coloca el nmero sin la coma en el numerador, y en el denominador se pone la unidad seguida de tantos ceros como cifras hay a la derecha de la coma. EJEMPLO 4 1.5260,4 =15,26 =10100 Podemos simplificar las fracciones hasta obtener la fraccin ms simple posible, llamada fraccin irreducible. Para hallar la fraccin irreducible dividimos el numerador y el denominador entre el mismo nmero. 44:2 21.526 1.526 : 2 7630,4 ===15,26 = = =10 10 : 2 5 100 100 : 250 4 Expresa en forma de fraccin los siguientes nmeros decimales. 56 a) 5,6 =c) 3,8 =e) 0,2 = 10 b) 10,86 =d) 3,875 =f) 0,034 = 5 Expresa en forma de fraccin estos nmeros decimales y simplifica (si se puede) hasta obtener la fraccin irreducible. Fjate en el ejemplo. a) 3,16 = d) 2,8 =316 316 : 2 158 158 : 2 79= = = =100 100 : 25050 : 2 25 b) 0,66 = e) 11,22 = ADAPTACIN CURRICULAR c) 9,125 =f) 0,014 = 6 Escribe las fracciones en forma de nmero decimal y los nmeros decimales en forma de fraccin.43 a)= d) 12,84 =1052 b) 0,006 =e) =1.000 7 c) 3,004 =f) =100 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 279 38. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/07 15:10Pgina 280 3OBJETIVO 3REALIZAR OPERACIONES CON NMEROS DECIMALESNOMBRE:CURSO: FECHA:SUMA Y RESTA DE NMEROS DECIMALESPara sumar o restar nmeros decimales procedemos del siguiente modo.1. Colocamos todos los sumandos en columna, haciendo coincidir las partes enteras y las partes decimalesde cada nmero: centenas con centenas, decenas con decenas, unidades con unidades, comas concomas, dcimas con dcimas, centsimas con centsimas, milsimas con milsimas, etc.2. Se suma o resta como si fueran nmeros naturales, manteniendo la coma en su lugar correspondiente.EJEMPLOCalcula. a) 4,7 + 13,56 + 27,03 + 9,2b) 35,78 17,64,70F Se suelen aadir ceros35,78 Se suelen aadir ceros 13,56para que todas las cifras 17,60 F para que todas las cifras 27,03tengan el mismo 18,18 tengan el mismoF nmero de decimales.nmero de decimales. +9,20 54,491 Haz las siguientes operaciones.a) 12,34 + 4,87 + 55,97 = d) 1,04 + 0,31 + 51,06 =b) 109,3 + 81,72 + 66,35 =e) 77,01 + 44 + 19,58 =c) (2,46 + 39,55) (11 + 3,82) = f) (49,72 34,07) + (15 + 23,69) =2 Efecta estas operaciones.a) 78,31 45,59 =c) 11,07 9,5 =b) 123,8 77,94 =d) 76 39,25 =280 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 39. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10 Pgina 281 3 3 Ana y Luis tienen que pintar la valla de su jardn. Ana pinta 2,45 m y Luis pinta 3,8 m. Si la valla tiene una longitud total de 10 m, calcula. a) La longitud de valla que han pintado entre los dos. b) La longitud de valla que les falta por pintar. 4 Mara sale un sbado de su casa con 15,62 . Queda con sus amigos en la hamburguesera y se gasta 3,89 , luego va al cine, paga su entrada de 4 y se compra una bolsa de palomitas que le cuesta 1,45 . Si el trayecto del autobs le cuesta 1,05 , determina. a) El dinero total que se ha gastado. b) Le ha sobrado algo de dinero? En caso afirmativo, indica la cantidad. c) Mara tiene ahorrados 6,75 . Uniendo sus ahorros con lo que le ha sobrado, podr comprarun CD que cuesta 12,40 ? Para multiplicar dos nmeros decimales seguimos estos pasos. 1. Los multiplicamos como si fueran nmeros naturales. 2. Se coloca la coma, separando de derecha a izquierda en el resultado tantas posiciones como decimales tengan entre los dos factores. EJEMPLO 5,1823,52,6 81,7 3108 164510365 23551 3,4 6 8 188055 ADAPTACIN CURRICULAR1 9 1 9,9 5 5 Calcula los siguientes productos. a) 5,67 2,9 =c) 13,8 45,73 = b) 39,412 3,4 =d) 92 4,68 = MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 281 40. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/0715:10 Pgina 282 36 Pablo va al supermercado a comprar una serie de productos. Tiene 17 y efectalas siguientes compras. 2,5 kilogramos de naranjas que valen 0,70 /kg. 2 barras de pan a 0,30 /barra. 0,9 kilogramos de kiwis que valen 1,50 /kg. 5 latas de refresco de cola a 0,34 /lata. 4 cartones de leche a 0,65 /cartn. 3 paquetes de detergente a 2,13 /paquete.Calcula cunto le ha costado la compra. Al pagar en caja, cunto dinero le ha sobrado?7 Sabiendo que 458 69 = 31.602, coloca el separador de miles y la coma decimal en su lugarcorrespondiente.a) 45,8 69 = 3 1 6 0 2d) 4,58 6,9 = 3 1 6 0 2b) 45,8 0,69 = 3 1 6 0 2e) 0,458 6,9 = 3 1 6 0 2c) 4,58 0,69 = 3 1 6 0 2f) 458 6,9 = 3 1 6 0 2Un caso especial de la multiplicacin de nmeros decimales es multiplicar por la unidad seguida de ceros,es decir, por 10, 100, 1.000...Para hacerlo se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad: 1, 2, 3...58,042 100=5.804,291,58 1.000= 91.5808 Efecta las siguientes operaciones.a) 5,8 10 = c) 0,46 100 =e) 59,3 1.000 =b) 1,4 1.000 =d) 46,301 100 =f) 2,73 10 =9 Indica la unidad seguida de ceros que corresponde a cada operacin.a) 23,2 .................. = 23.200 d) 14,85 .................... = 148,5b) 0,51 .................. = 51 e) 0,812 .................... = 81.200c) 0,9 ................... = 900f) 8,2946 .................. = 8.294,610 Realiza las siguientes operaciones combinadas.a) (12,46 + 3,6) (6,7 2,8) =c) (4,76 23,4) + (19,37 16,03) =b) 3,5 (45,76 38,72) =d) 3,4 (35,92 + 53) =282 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 41. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10 Pgina 283 3 DIVISIN DECIMAL DE DOS NMEROS NATURALES1.o Si la divisin es exacta, el resto es cero, r = 0. (Recuerda que D = d c + r)2.o Si la divisin no es exacta, el resto es distinto de cero y menor que el divisor, r 0 y r d.3.o Se puede seguir dividiendo, aadiendo un cero al resto y poniendo una coma decimal en el cociente,hasta obtener una divisin con resto cero o aproximar con una, dos, tres o ms cifras decimales. EJEMPLO 2773 59265 50F 26550 413 47 015 5 0150 5,3 01000 DIVISIN DE DOS NMEROS DECIMALESExisten tres casos:1.o Dividendo decimal y divisor natural. Se divide como si fuera una divisin normal,pero al bajar la primera cifra decimal se pone la coma en el cociente.2.o Dividendo natural y divisor decimal. Se suprime la coma del divisor y se aaden tantosceros al dividendo como cifras decimales tenga el divisor.3.o Dividendo y divisor decimales. Se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma del dividendotantos lugares a la derecha como cifras decimales tiene el divisor. Si es necesario, se aadenceros al dividendo. EJEMPLO Dividendo decimal y divisor natural:Dividendo natural y divisor decimal: 9,62441 3,6F 1,64,8F 0F Dividendo y divisor decimales:441036 1,28 0,2081 122,5 ADAPTACIN CURRICULARF 0090 F 00180128 20 0000010806,4F1000 11 Calcula las siguientes divisiones. a) 56,4 : 12 = d) 152 : 2,5 = b) 7.875 : 63 =e) 7,14 : 0,6 = c) 1.158 : 20 =f) 25,8 : 2,4 = MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 283 42. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/07 15:10Pgina 284 312 Haz las divisiones y aproxima el cociente hasta las centsimas.a) 10 : 6 = c) 25 : 3 =b) 99 : 44 =d) 17,4 : 3,1 =Un caso especial de la divisin de nmeros decimales consiste en dividir entre la unidad seguida de ceros,es decir, entre 10, 100, 1.000...Para hacerlo se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad: 1, 2, 3...EJEMPLO958,3 : 1000 = 9,583 32,7 : 1000 = 0,03271,9 : 1000 = 0,1913 Efecta las siguientes operaciones.a) 45,8 : 10 =c) 13,45 : 100 = e) 5.917,36 : 1.000 =b) 92.345,4 : 1.000 = d) 0,51 : 10 = f) 238 : 10 =14 Indica la unidad seguida de ceros que corresponda a cada operacin.a) 432,64 : .................. = 4,3264 d) 39 : .................. = 0,39b) 11,46 : .................. = 1,146 e) 100: .................. = 0,1c) 34.800 : .................. = 34,8 f) 294,6 : .................. = 2,94615 He comprado 15 CD por 11,25 . Cunto me ha costado cada CD?16 Luis, Ana y Berta han comprado un juego de ordenador por 46,53 . Si los tres han aportadola misma cantidad de dinero, cul ha sido la aportacin de cada uno?17 Una autopista tiene una longitud total de 560 km. Cada 20 km se han instalado puentespara el cambio de sentido, y cada 32 km hay una gasolinera. Calcula cuntos puentesy cuntas gasolineras tiene la carretera.284 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 43. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10Pgina 285 4 Sistema sexagesimalINTRODUCCIN RESUMEN DE LA UNIDADSe introduce a continuacin un nuevo sistema En el sistema sexagesimal, 60 unidadesde numeracin, el sistema sexagesimalde un orden forman una unidad de orden superior.(sexagsimo-60). Partiendo de los conocimientosEste sistema sirve para medir los ngulosde la medida de los ngulos y, especialmente, de y tiempos.las unidades de tiempo: hora, minuto y segundo, El grado es la unidad principal para medir ngulos.se explica a los alumnos un nuevo sistema de contarPara medir ngulos con ms precisin, se utilizay de medida. el grado, el minuto y el segundo.Adems, conocer las equivalencias y convertir1 = 60 1 = 60 1 = 3.600las unidades de tiempo en situaciones cotidianas Para medir perodos de tiempo menores que el daayudar a la valoracin del tiempo en la vida diaria utilizamos la hora, el minuto y el segundo.de los alumnos.1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 3.600 sMediante la resolucin de problemas y la realizacin En el sistema sexagesimal podemos realizarde diversas operaciones aritmticas en el sistemaoperaciones de suma, resta, multiplicacinsexagesimal, los alumnos aprendern a estimary divisin, as como resolver problemasel tiempo en cuanto a su cantidad y duracin,de la vida real. Es importante tener en cuentaaplicando los algoritmos necesarios para resolverel orden de las operaciones, el agrupamientoproblemas reales.de cifras y las conversiones necesarias dentro del sistema sexagesimal. OBJETIVOSCONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Utilizar el sistema Unidades de medida Identificacin y aplicacin desexagesimal parade ngulos: grado, minutolas equivalencias entre unidadesmedir ngulos y segundo. de medida de ngulos y tiempos. ADAPTACIN CURRICULARy tiempos. Unidades de medida de tiempo: Paso de expresiones complejashora, minuto y segundo.a incomplejas, y viceversa. Expresiones complejas Resolucin de problemas.e incomplejas. 2. Realizar operaciones Operaciones de suma y resta Empleo y uso de las tcnicasde suma y resta ende medidas de ngulosadecuadas para la realizacinel sistema sexagesimal. y tiempos. de operaciones. Resolucin de problemas. 3. Realizar multiplicaciones Operaciones de multiplicacin Empleo y uso de las tcnicasy divisionesy divisin por un nmero adecuadas para la realizacinpor un nmero.de medidas de ngulosde operaciones.y tiempos en el sistema Resolucin de problemas.sexagesimal. MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 285 44. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/0715:10Pgina 286 4OBJETIVO 1UTILIZAR EL SISTEMA SEXAGESIMAL PARA MEDIR NGULOS Y TIEMPOSNOMBRE: CURSO: FECHA: Sexagsimo hace referencia a cada una de las 60 partes en las que se divide un total. Sexagesimal es un trmino que se aplica al sistema de contar o de subdividir de 60 en 60.En el sistema sexagesimal, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior.Este sistema sirve para medir los ngulos y tiempos.MEDIDA DE NGULOS El grado es la unidad principal para medir ngulos. 60 60 Para medir ngulos con ms precisin, se utilizan, FFjunto con los grados, el minuto y el segundo.gradominuto segundoUn grado se escribe 1.1 = 60 FUn minuto se escribe 1. 1 = 60 3.600Un segundo se escribe 1.1 = 3.600 (60 60): 60 : 60 Los babilonios dividieron el ngulo completo en 360.F F Un ngulo llano mide 180. Un ngulo recto mide 90.gradominuto segundo F Actualmente, para medir los ngulos, utilizamos el transportador. : 3.6001 Completa la siguiente tabla.GRADOS () MINUTOS () SEGUNDOS () 1515 60 =15 3.600 = 601002783602 Completa esta tabla.GRADOS () MINUTOS () SEGUNDOS () 32.400600 33.600 61.200120286 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 45. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10 Pgina 287 4 3 Con la ayuda del transportador, dibuja las siguientes amplitudes de ngulos. a) 60b) 40c) 90 d) 150 4 Escribe cmo se leen las medidas de estos ngulos. NGULO SE LEE 18 39 4331 9 22 MEDIDA DE TIEMPOS Las unidades para medir el tiempo son el milenio (1.000 aos), siglo (100 aos), lustro (5 aos), ao, mes, semana, da, hora, minuto y segundo. Para medir perodos de tiempo menores que el da utilizamos la hora, el minuto y el segundo. 3.600 Una hora se escribe 1 h. 1 h = 60 min 60 60 Un minuto se escribe 1 min.1 min = 60 s F F F Un segundo se escribe 1 s. 1 h = 3.600 s (60 60)horaminutosegundo F F F Recuerda tambin que:: 60: 60 Una semana tiene 7 das.: 3.600 Un da tiene 24 horas. ADAPTACIN CURRICULAR 5 Completa la siguiente tabla. HORAS (h) MINUTOS (min)SEGUNDOS (s)77 60 = 4207 3.600 =9162472 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 287 46. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10Pgina 288 46 Completa la siguiente tabla.HORAS (h)MINUTOS (min) SEGUNDOS (s) 30 10.800600 43.200 601207 Expresa en segundos.a) 3 h y 45 minc) 2 h y 20 minb) Un cuarto de hora d) 1 h y 23 minEXPRESIONES COMPLEJAS E INCOMPLEJASUna medida de tiempo puede ser expresada de dos maneras: De forma compleja, utilizando varias unidades.1 h 35 min 10 s; 50 min 26 s De forma incompleja, utilizando una sola unidad.3.790 s; 2 h; 48 minPara pasar una medida de una forma a otra, en el sistema sexagesimal, procedemos as: De forma compleja a incompleja: formamos grupos iguales de la unidad que nos pidenmultiplicando por 60. Expresa 2 h 50 min 15 s en segundos. 2 h = 2 60 60 = 7.200 s 50 min = 50 60 = 3.000 s 15 sF15 s2 h 50 min 15 s = 10.215 s10.215 s De forma incompleja a compleja: dividimos sucesivamente la medida y los cocientes sucesivosentre 60.Expresa 10.215 segundos en horas, minutos y segundos.1021560421170 6010.215 s = 2 h 50 min 15 s 015s 5 0 min 2 h288 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 47. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10Pgina 2894 8 Calcula los segundos que hay en: a) 3 h 19 min 26 sc) 1 h 42 min 33 s b) 4 h 58 min 40 sd) 59 min 59 s 9 Expresa en horas, minutos y segundos. a) 2.300 sc) 6.400 s b) 4.042 sd) 16.579 s 10 Expresa en horas y minutos. a) 150 minutosc) 240 minutos b) 300 minutosd) 1 da, 3 horas y 30 minutos 11 Un grifo llena dos botellas de 1 litro de capacidad en un minuto. a) Cuntas botellas se pueden llenar en 20 minutos? b) Y en tres cuartos de hora? ADAPTACIN CURRICULAR 12 Resuelve. a) Cuntos minutos hay en un da? b) Y cuntas horas hay en una semana? MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 289 48. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/0715:10 Pgina 290 4OBJETIVO 2REALIZAR OPERACIONES DE SUMA Y RESTA EN EL SISTEMA SEXAGESIMALNOMBRE:CURSO:FECHA:Para sumar medidas de tiempos o ngulos se colocan los sumandos agrupados: horas con horaso grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos.Al operar hay que tener en cuenta estos pasos.1. Si los segundos sobrepasan 60, los transformamos en minutos.2. Si los minutos sobrepasan 60, los transformamos en horas o en grados.3. Procedemos a la suma.EJEMPLOEfecta la suma: 4 25 45 + 15 38 29.4 25 4574 = 60 + 14 = 1 + 14F F+ 15 38 29 G 19 63 74 19 4 14 +1 19 63 14 F G 20 4 14 +1G 19 64 1464 = 60 + 4 = 1 + 4 4 25 45 + 15 38 29 = 20 4 14 GG1 Efecta las siguientes operaciones.a) 15 22 30 + 8 27 41 c) 1 44 11 + 5 16 9b) 50 43 + 13 10d) 2 7 + 17 49 542 Un ciclista ha empleado, en las dos etapas de contrarreloj, los siguientes tiempos. 1. etapa: 2 horas, 41 minutos y 44 segundos. 2. etapa: 1 hora, 20 minutos y 18 segundos.Cunto tiempo ha empleado en total?290 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 49. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/07 15:10 Pgina 291 4 Para restar medidas de tiempos o ngulos se colocan el minuendo y el sustraendo, haciendo coincidir horas con horas o grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Al operar hay que tener en cuenta estos pasos. 1. Si algn dato del minuendo es menor que el del sustraendo transformamos una unidad de orden superior en la unidad correspondiente (1 grado o 1 hora es 60 minutos; 1 minuto es 60 segundos). 2. Procedemos a la resta. EJEMPLO Efecta la resta: 3 23 10 1 25 34.3 23 10 Como 10 es menor que 34, pasamos 1 minuto a la columna 3 22 70 1 25 34 de los segundos 23 = 22 + 1. 1 25 34 1 = 60, que se lo sumamos a 10. 3 22 70 Como 22 es menor que 25, pasamos 1 grado a la columna 2 82 70de los minutos. 1 25 34 1 25 343 = 2 + 11 = 60, que se lo sumamos a 22.1 57 36FResta final 3 Efecta las siguientes operaciones. a) 4 11 17 1 16 32c) 11 44 11 5 16 39 b) 50 43 3 50 d) 12 7 55 7 49 54 ADAPTACIN CURRICULAR 4 ngel ha estado conectado a Internet 1 h 10 min por la maana y 2 h 25 min 40 s por la tarde. a) Cunto tiempo ha estado conectado en total? b) Y cunto tiempo ha estado conectado ms por la tarde que por la maana? MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 291 50. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/07 15:10Pgina 292 4OBJETIVO 3REALIZAR MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES POR UN NMERONOMBRE:CURSO: FECHA:Para multiplicar medidas de tiempos o de ngulos por un nmero natural se procede as:1. Multiplicamos cada unidad por el nmero natural.2. Se efectan las conversiones y agrupamientos necesarios (1 grado o 1 hora es 60 minutos;1 minuto es 60 segundos).EJEMPLOEfecta el producto: (23 21 19) 4.23 21 19 4 4 492 84 76 F 76 = 60 + 16 = 1 + 16F16 1 G85 F 85 = 60 + 25 = 1 + 25 F 25 1 G93 (23 21 19) 4 = 93 25 161 Efecta las siguientes operaciones.a) (14 21 7) 5 c) (9 30 10) 5b) (50 43) 6d) (2 7 55) 122 Elena utiliza un bono telefnico para hablar con su hijo Andrs, que est en Inglaterra.Hablan a diario 25 minutos y 30 segundos. Cunto tiempo habla por telfono Elenade lunes a viernes?292 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 51. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/0715:10Pgina 2934 3 Un ordenador ha funcionado durante tres das consecutivos un tiempo diario de 4 h 35 min 20 s. Cunto tiempo ha estado en funcionamiento? Para dividir medidas de tiempos o de ngulos entre un nmero natural se procede as: 1.o Dividimos los grados (u horas) entre el nmero natural. 2.o El resto de grados (u horas) se pasan a minutos y se aaden a los que hay. Se dividen los minutos entre el nmero natural. 3.o El resto de minutos se pasan a segundos y se aaden a los que hay. Se dividen los segundos entre el nmero natural. Procura dejar espacio suficiente para que los cocientes de las diferentes unidades se vean claramente. Recuerda: Dividendo = Divisor Cociente + Resto. EJEMPLO Efecta la divisin: (85 35 10) : 3.8535 10 32528 31 431 60 = 60 95 05 2 60 = 120 Cociente: 28 31 43130 Resto: 110 1ADAPTACIN CURRICULAR 4 Un atleta ha tardado un total de 50 min 46 s en dar 9 vueltas a una pista de atletismo. Si ha mantenido el mismo ritmo en cada vuelta, cunto tiempo ha empleado en cada una? MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 293 52. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/07 15:10Pgina 294 45 Efecta las siguientes operaciones.a) (44 21 37) : 5c) (39 3 40) : 3b) (50 43) : 6d) (42 17 55) : 126 Cristina ha utilizado el ordenador durante 8 h 37 min, de lunes a viernes.Cunto tiempo ha estado funcionando a diario el ordenador?7 Antonio realiza durante 10 das un paseo en el que tarda 2 h 15 min 18 s.Si cada da hace tres paradas para dividir el trayecto en tres tiempos iguales, calcula.a) El tiempo total que pasea en los 10 das.b) El tiempo que tarda diariamente entre parada y parada.294 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 53. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/0715:10Pgina 295 5 Expresiones algebraicasINTRODUCCINRESUMEN DE LA UNIDADEl lenguaje algebraico sirve para expresar situaciones El lenguaje algebraico utiliza letras en combinacinrelacionadas con la vida cotidiana, utilizando letras con nmeros y signos. La parte de las Matemticasy nmeros de forma combinada. que estudia la relacin entre nmeros, letrasLa realizacin de estas operaciones ha de hacerse y signos se llama lgebra.al principio paso a paso, pero despus se agilizarn Una expresin algebraica es el conjunto de nmerosy simplificarn las distintas fases en la resoluciny letras que se combinan con los signosde ecuaciones.de las operaciones matemticas.El estudio de las expresiones algebraicas fomentar Podemos hallar el valor numrico de una expresinen los alumnos la agilidad en las operaciones algebraica, sustituyendo las letras por nmerosaritmticas con nmeros naturales y enteros,y realizando las operaciones.as como el empleo de tcnicas de resolucin Los monomios son las expresiones algebraicaspor tanteo, ensayo-error y especficas, ms sencillas. Estn formados por nmeroscomo la transposicin y reduccin de trminos.(coeficientes) y letras (parte literal). Un polinomio es una expresin algebraica formadapor dos o ms monomios. Podemos sumar, restar,multiplicar y dividir monomios. OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Expresar de forma Lenguaje numrico y algebraico. Traduccin al lenguaje algebraicoalgebraica ciertas Expresin algebraica. de ciertas situaciones.situaciones. Valor numrico. Obtencin del valor numrico ADAPTACIN CURRICULARde una expresin. 2. Distinguir y operar Monomios semejantes. Resolucin de operaciones de sumacon monomios. Operaciones con monomios: y resta de monomios semejantes.suma, resta, multiplicacin Multiplicacin y divisin de dosy divisin. monomios. 3. Identificar y operar Operaciones con polinomios: Resolucin de operaciones de suma,con polinomios. suma, resta y multiplicacin. resta y multiplicacin de polinomios. Sacar factor comn. Extraccin de factor comnde un polinomio. 4. Aplicar las igualdades Cuadrado de una suma. Aplicacin de las igualdades notablesnotables. Cuadrado de una diferencia. para simplificar la expresin de algunos Suma por diferencia.polinomios. MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 295 54. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/0715:10Pgina 296 5OBJETIVO 1EXPRESAR DE FORMA ALGEBRAICA CIERTAS SITUACIONESNOMBRE:CURSO: FECHA:LENGUAJE NUMRICO Y LENGUAJE ALGEBRAICO El lenguaje en el que intervienen nmeros y signos de operaciones se denomina lenguaje numrico. El lenguaje que combina letras con nmeros y signos de operaciones aritmticas se llamalenguaje algebraico.EJEMPLOLenguaje usual Lenguaje numrico Catorce dividido entre siete14 : 7 Dos elevado al cuadrado 22 18 La tercera parte de 183Lenguaje usualLenguaje algebraico La suma de dos nmerosa+b Un nmero menos 3 unidadesy3 El cuadrado de un nmerob2 x La mitad de un nmero 21 Expresa con lenguaje numrico o lenguaje usual.LENGUAJE USUALLENGUAJE NUMRICO La suma de once ms nueve es veinte Cien dividido entre veinte La cuarta parte de veinte es cinco Dos elevado al cubo es ocho32 : 8 342 Une cada enunciado con su equivalente en lenguaje algebraico.a) La mitad de un nmero.(m + n)2b) El triple de un nmero menos cinco unidades. n1c) El nmero anterior a un nmero entero. 2 (a + b + c)d) El nmero posterior a un nmero entero.x+1 me) El cuadrado de la suma de dos nmeros. 2f) El doble de la suma de tres nmeros.3b5296 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 55. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/0715:10 Pgina 2975 EXPRESIN ALGEBRAICA Una expresin algebraica es un conjunto de nmeros y letras unidos con los signos de las operaciones matemticas. EJEMPLO Expresin escritaExpresin algebraicaLa suma de dos nmeros menos dos x+y2El triple de un nmero ms cinco 3x+5El cuadrado de un nmero ms una unidadx2 + 1 3 Escribe estos enunciados como expresin algebraica. a) El doble de un nmero b. b) El doble de la suma de dos nmeros m y n. c) El cuadrado de un nmero x ms 4 unidades. d) El producto de tres nmeros a, b y c. e) El doble de un nmero y ms 3 unidades. 4 Relaciona cada enunciado con su expresin algebraica. a) El doble de un nmero ms dos unidades. x5 x b) Un nmero disminuido en cinco unidades. 3 c) La tercera parte de un nmero. 2x+2 d) El cubo de un nmero. x + 10 e) El doble de un nmero.2x f) Un nmero aumentado en diez unidades. x3 g) La diferencia de dos nmeros. x+1 h) El nmero siguiente a un nmero entero.xyADAPTACIN CURRICULAR 5 Si x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico. LENGUAJE USUALLENGUAJE ALGEBRAICOLos aos que tena el ao pasadoLos aos que tendr dentro de un aoLa edad que tena hace 5 aosLa edad que tendr dentro de 5 aosLos aos que faltan para que cumpla 70 aos MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 297 56. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10Pgina 298 56 Inventa un enunciado para estas expresiones algebraicas.a) n + 1 b) a + b bc) 2d) 2 (m n) e) x 3 1 f) 2 x + 1 VALOR NUMRICO DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICAEl valor numrico de una expresin algebraica es el nmero que se obtiene al sustituir las letras por nmerosy realizar las operaciones que se indican.EJEMPLOHalla el valor numrico de la expresin algebraica 3x + 2 para x = 1.Sustituimos x por 1 en la expresin algebraica y realizamos las operaciones:x=1 31+2=3+2=5El valor numrico de 3x + 2, para x = 1, es 5.7 Halla el valor numrico de la expresin algebraica 2x + 1 para estos valores: VALOR SUSTITUCIN OPERACINVALOR NUMRICO x=02 (0) + 1 20+1=0+11 x=2 x = 1 x = 28 Calcula el valor numrico de estas expresiones para los valores que se indican.VALORES x+y 2x 3y(x + y )2 x=1y=0 1+0=1 2130=(1 + 0)2 = (1)2 = x = 1 y=2 x=1y = 2 x = 2 y=3 x = 1 y = 1298 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 57. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10 Pgina 299OBJETIVO 2DISTINGUIR Y OPERAR CON MONOMIOS5 MONOMIOS Un monomio es una expresin algebraica formada por productos de nmeros y letras. A los nmeros se les denomina coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal. EJEMPLO3MONOMIO3x 5ab5x 3 x5 3COEFICIENTE 35 5 5PARTE LITERAL xab x3 x 1 Completa las tablas.MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERALMONOMIO COEFICIENTEPARTE LITERAL 2 2 x1 xab 3 3xy 32xyz 5xy 2 3b 2c 1 2 5 x y xyz 2 3 7 GRADO DE UN MONOMIO El grado de un monomio es el nmero que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal. EJEMPLOMONOMIO GRADOEXPLICACINADAPTACIN CURRICULAR3x 1El exponente de x es 1 (x 1)4a 2y 3La suma de los exponentes de a 2y 1 es 2 + 1 = 3 5x 2y 3 5La suma de los exponentes de x 2y 3 es 2 + 3 = 5 2 Calcula el grado de los siguientes monomios. a) 5x 2 Grado = d) zx 2 Grado = b) 7x 2y Grado = e) yx Grado =2 5 c) a b Grado = f) x Grado = 3 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 299 58. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/07 15:10Pgina 300 53 Completa la siguiente tabla. MONOMIO COEFICIENTEPARTE LITERALGRADO3x3x1 2a 3b 2abxyz7ab 2c 36y 2zMONOMIOS SEMEJANTESDos o ms monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.EJEMPLO5x; 2x son monomios semejantes, porque tienen la misma parte literal (x).3xy 2; xy 2 son monomios semejantes, porque tienen la misma parte literal (xy 2).x 2y 3; xy 2 no son monomios semejantes.4 Escribe dos monomios semejantes para cada monomio. MONOMIOMONOMIOS SEMEJANTES5xab 2yx 33y 2z 3 2 2 ab 35xySUMA Y RESTA DE MONOMIOS La suma y resta de monomios solo se puede realizar cuando los monomios son semejantes. Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la mismaparte literal.EJEMPLO2x + x = (2 + 1)x = 3x2x + y La suma se deja indicada, porque no son monomios semejantes.300 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 59. 829485 _ 0243-0308.qxd21/9/0712:07 Pgina 3015 5 Realiza las siguientes operaciones. a) a + a + a + a = d) 5x 3x x = b) 2x 2 + x 2 + x 2 =e) 5x 3 3x 3 = c) 5mn mn 4mn =f) p 2p + 5p = 6 Completa los huecos con monomios semejantes y calcula. a) 2x ++=c) 2x 3 += b) + 5p += d)+ 2xy + = 7 Escribe un monomio semejante al que se indica y calcula. a) 7x = c) 5pq = b) x2 =d) 4x 2y = 8 Reduce las siguientes expresiones algebraicas. a) 6x 2 + 4x 2x 2 xSumamos y restamos los monomios semejantes 6x 2 2x 2 + 4x x y calculamos el resultado: 4x 2+3x b) 5x 2 2x + 3x 2 x = c) ab ab + 7ab + 4ab 2ab = d) 3ab 3 2ab + 5ab 3 ab + 4ab = e) 10xy 5xy + 2xy + 4x 8y + 2y + 2x = MULTIPLICACIN DE MONOMIOS El producto de dos o ms monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientesADAPTACIN CURRICULAR y cuya parte literal es el producto de las partes literales. EJEMPLO3x 2x = (3 2) x x = 6x 24x (2x 2) = [4 (2)] x x 2 = 8x 3 9 Realiza estas multiplicaciones. a) 4a 3a =c) 2x (5x) = e) m m 2 = 23 b) 3x 2 3x 2 =d) 3x 2 (3x 2 ) = f) x x2 = 35 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 301 60. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/0715:10 Pgina 302 510 Calcula y reduce. a) 4x (2x 5) = 4x 2x 4x 5 = 4 2 x x 4 5 x = 8x 2 20x b) 3(2x + 3x 2) = c) 2a(4a 3 3a 2) = d) (3 ab + ab 2)2a = e) 2(x 2 + 3x) 2x = f) 3x (x 3 2x + 4) 12x = g) x 3(5x + 4 3x 2 10x) =1 h) x (x 4 + 3x 2x) + x 2 =3DIVISIN DE MONOMIOSEl cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientesy cuya parte literal es el cociente de las partes literales.EJEMPLO6x 6 x10 x 36x : 2x === 31 = 3 10x 3 : (5x ) = = 2x 22x 2 x5 x11 Resuelve estas divisiones de monomios.a) 8x 3 : 2x =d) a 4 : a 2 =b) (12x 5) : (12x 4) =e) (14y 4) : (2y 2) =c) 20m 4 : 15m 3 =f) (20z 5) : 4z 4 =12 Efecta las siguientes operaciones.a) (7x 5 : 2x) + x =b) (6x 7 : x 3) (5x : x) =c) (8a 2b : 4ab) + b 2 =d) 3x (x + 1) (4x 2 : x) =e) (12a 3b 2 : 3a 2b ) b =f) 3(4xy 2 : 2xy ) 2y =g) 2x [(2y 2x 3) : (x 2y )] + x (x 1) =302 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 61. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/0715:10Pgina 303OBJETIVO 3IDENTIFICAR Y OPERAR CON POLINOMIOS5NOMBRE: CURSO: FECHA: POLINOMIOS Un polinomio es la suma o resta de varios monomios. Cada uno de los sumandos se llama trmino del polinomio. Los trminos que no tienen parte literal se denominan trminos independientes. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. EJEMPLOTRMINOGRADOPOLINOMIO TRMINOS INDEPENDIENTE DEL POLINOMIO 2x 3 3x 12x 3; 3x; 1 13, que es el grado de 2x 3 2xy + 9 2xy; 9 92, que es el grado de 2xy5x 5xNo tiene1, que es el grado de 5x 1 Completa esta tabla. TRMINOGRADO POLINOMIO TRMINOSINDEPENDIENTE DEL POLINOMIO 2x 3 + 3x 5 5ab 5ax 2bx 3 2x 2 x 3 6x 75xy 2y 2 2 a b+1 3 ADAPTACIN CURRICULAR 3xy + 5xy 2 2 Escribe un polinomio de grado 3 que tenga un trmino, otro con dos trminos y un tercero con tres trminos. 3 Indica el grado de los siguientes polinomios. a) x + 3x 2 Grado = c) 2x 5 x Grado = b) x 2y 3x Grado = d) 5x 4 x 3 8 Grado = MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 303 62. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10Pgina 304 54Halla el valor numrico del polinomio x 2 2x + 1 para los valores que se indican. VALOR VALOR NUMRICO DEL POLINOMIO x =002 2 0 + 1 = 0 0 + 1 = 1 x =1x = 2SUMA Y RESTA DE POLINOMIOSPara sumar o restar polinomios se suman o restan los monomios semejantes.EJEMPLO A (x) = 2x 2 + 5x3 2x 2 2x + 5 B (x) = x 3 5x 2 2x + 3 + x 3 5x 2 2x + 3 x 3 3x 2 2x + 8 A (x ) + B (x ) = (2x 2 + 5) + (x 3 5x 2 2x + 3) == x 3 3x 2 2x + 8 A (x ) B (x ) = (2x 2 + 5) (x 3 5x 2 2x + 3) =x3 2x 2 2x + 5= 2x 2 + 5 x 3 + 5x 2 + 2x 3 = x 3 + 5x 2 + 2x 3= x 3 + 7x 2 + 2x + 2 x 3 + 7x 2 + 2x + 25Dados los polinomios A (x) = 6x 2 8x + 1 y B (x) = 9x 2 2x + 7, calcula. a) A (x) + B (x)b) A (x) B (x) c) B (x) A (x)6Dados los polinomios A (x ) = x 3 3x + 2, B (x ) = 2x 2 + 7x y C (x) = x 3 2, calcula. a) A (x) + B (x) + C (x) b) A (x) + B (x) C (x) c) A (x) B (x) C (x)304 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 63. 829485 _ 0243-0308.qxd 12/9/0715:10Pgina 3055 7 Escribe los siguientes polinomios de forma reducida. P (x ) = 3x 3 + 2x 2 5x 3 + 4x 2 7x + 2x 3 Q (x ) = 4x 2 5x 3 + 2x 2 6x + 2x 2 + 5x 3 1 R (x ) = 2x 4 6x 3 + 4x + 2x 2 3x 3 + 8x 2P (x ) = 3x 3 + 2x 2 5x 3 + 4x 2 7x + 2x 3 = 3x 3 5x 3 + 2x 3 + 2x 2 + 4x 2 7x = 6x 2 7x 8 Con los polinomios reducidos del ejercicio anterior, calcula. a) P (x ) + Q (x ) b) Q (x ) + R (x ) c) Q (x ) R (x )d) P (x ) Q (x ) PRODUCTO DE POLINOMIOS Para calcular el producto de dos polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo. A continuacin, se reducen los monomios semejantes. EJEMPLOA(x) = x 3 5x 2 2x + 1x 3 5x 2 2x + 1B(x) = 2x 2 + 3x 2x 2 + 3x3x 4 15x 3 6x 2 + 3x2x 5 10x 4 24x 3 + 2x 2 + 3xADAPTACIN CURRICULARA (x ) B (x ) 2x 5 27x 4 19x 3 4x 2 + 3x 9 Dados los polinomios A (x ) = 4x 3 + 6x 2 8x + 1 y B (x ) = 2x 2 7, calcula. a) A (x ) B (x )b) B (x ) 3x c) A (x ) x d) B (x ) (3x ) MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 305 64. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10Pgina 306 5SACAR FACTOR COMNUna aplicacin de la propiedad distributiva es sacar factor comn. Esta operacin consiste en extraer comofactor comn el monomio que se repite en todos los trminos.EJEMPLOEXPRESIN FACTOR COMN SACAR FACTOR COMN5x + 5y 5 5(x + y) 7x 3x2 xx (7x 3) 5x 2 5x5x 5x (x 1) 3x 2 12x + 15x 3 3x3x (x 4 + 5x 2)10 Extrae factor comn en las siguientes expresiones.a) 3b + 4b c) 15x 4 5x 2 + 10x e) 12x 2 3x 2 + 9x 3b) 3a + 6b + 12d) 6x 2y + 4xy 2f) 10xy 2 20xy + 10x 2y11 Simplifica las fracciones, sacando factor comn en el numerador y en el denominador. 10 x 3 + 10 x 10 x (x 2 + 1) 2 5 x (x 2 + 1) 2(x 2 + 1)a) == == 2(x 2 + 1) 5x5x5x16x 4 y 2b) = 3x 3 y 2 a 3b 3c)= a 3b 12m 3d) = 12m4 6ae) = 6a 2 9a 3 x 2y 2 x 3y 2f) =x 2y 2306 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 65. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/07 15:10 Pgina 307OBJETIVO 4APLICAR LAS IGUALDADES NOTABLES 5NOMBRE: CURSO:FECHA: IGUALDADES NOTABLES Las igualdades notables son ciertas igualdades cuya aplicacin resulta muy til para abreviar clculos con expresiones algebraicas. Las principales igualdades notables son: Cuadrado de una suma: (a + b)2 Cuadrado de una diferencia: (a b)2 Suma por diferencia: (a + b) (a b) CUADRADO DE UNA SUMA El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primera+b sumando ms el doble producto del primero por el segundo, a+b ms el cuadrado del segundo.ba + b 2 (a + b) = a + 2ab + b222 a +2ab + b2a 2 + 2ab + b 2 1 Calcula. a) (x + 5)2 =c) (2 + x)2 = b) (a + 2b)2 = d) (xy + 1)2 = CUADRADO DE UNA DIFERENCIA El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primerab sumando menos el doble producto del primero por el segundo, ab ms el cuadrado del segundo. ADAPTACIN CURRICULAR ba + b 2 (a b)2 = a 2 2ab + b 2 a2 ab + b2a 2 2ab + b 2 2 Calcula. a) (x 1)2 =c) (2a 3b)2 = b) (a 6b)2 = d) (5 3x)2 = MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 307 66. 829485 _ 0243-0308.qxd12/9/0715:10Pgina 308 5SUMA POR DIFERENCIAEl producto de una suma por diferencia es igual a+ba la diferencia de los cuadrados.ab (a + b) (a b) = a 2 b 2 ba b 2a 2 + ab + b2a2 + 0 b23 Calcula.a) (x + 5) (x 5) = c) (7 + x) (7 x) =b) (2a + b) (2a b) = d) (5a + 1) (5a 1) =4 Expresa en forma de igualdad notable.a) x 2 + 2x + 1 =d) 4x 2 4x + 1 =b) x 2 + 10x + 25 =e) 9a 2 30ab + 25b 2 =c) x 2 16 =f) 4x 2 36 =5 Simplifica las fracciones, utilizando las igualdades notables. x2 4a)= x 2 4x + 4 x 2 10 x + 52b) = x 2 25308 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 67. 829485 _ 0309-0368.qxd12/9/0715:37 Pgina 309 6 Ecuaciones de 1.ery 2. grado oINTRODUCCIN RESUMEN DE LA UNIDADLa unidad comienza diferenciando entre ecuaciones Una ecuacin es una igualdad algebraica que soloe identidades, para pasar luego a la exposicines cierta para algunos valores.de los conceptos asociados al de ecuacin: La incgnita de una ecuacin es la letra de valormiembros, trminos, grado, coeficientes, solucin,desconocido.que son fundamentales para comprender el resto El grado de una ecuacin es el mayor exponentede la unidad.de la incgnita.Para resolver ecuaciones de primer grado, los alumnos La solucin o soluciones de una ecuacin son losaprendern a transponer trminos. Es importante quevalores de la incgnita que hacen cierta la igualdad.comprendan que las reglas de la suma y el producto Para resolver ecuaciones se aplican las reglasson transformaciones que permiten pasar de una de la suma y el producto.ecuacin inicial, compleja en su expresin, Regla de la suma: si sumamos o restamosa otra ms sencilla pero con la misma solucin, a los dos miembros de una ecuacin un mismoes decir, equivalente a ella. A continuacin nmero o expresin algebraica, se obtienese trabajar con ecuaciones en las que hay parntesis una ecuacin equivalente.y denominadores. Regla del producto: si multiplicamos o dividimosAunque no es el objetivo de este curso, los alumnoslos dos miembros de una ecuacin por un nmerodeben aprender a identificar una ecuacin de segundo distinto de cero, se obtiene una ecuacingrado. Por ello conviene mostrar la utilidad de la equivalente.frmula general para hallar las soluciones de cualquier Ecuacin de primer grado: ax = b.ecuacin de segundo grado, utilizando solo suscoeficientes. Ecuacin de segundo grado: ax 2 + bx + c = 0, siendo a, b y c nmeros reales y a 0.OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Distinguir e identificar Elementos de una ecuacin. Comprobacin de si un valor esecuaciones eSolucin.solucin o no de una ecuacin.identidades. Ecuaciones equivalentes. Identificacin y obtencin de ecuaciones equivalentes. 2. Resolver ecuaciones Ecuaciones con Utilizacin de tcnicas para resolverde primer grado.denominadores. ecuaciones con denominadores. ADAPTACIN CURRICULAR Mtodo general de resolucinde ecuaciones. 3. Resolver ecuaciones Ecuaciones de segundo grado Aplicacin de la frmula generalde segundo grado. completas. para resolver ecuaciones completas Ecuaciones de segundo gradode segundo grado.incompletas. Resolucin de ecuaciones incompletas de segundo grado. 4. Resolver problemas Traduccin al lenguaje Seguimiento de los pasos necesariosmediante ecuaciones.algebraico del enunciado para resolver problemas mediantede un problema.ecuaciones de primer o segundo grado. Comprobacin de la solucinde un problema. MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 309 68. 829485 _ 0309-0368.qxd 12/9/07 15:37Pgina 310 6OBJETIVO 1 DISTINGUIR E IDENTIFICAR ECUACIONES E IDENTIDADESNOMBRE:CURSO: FECHA:IDENTIDADES Y ECUACIONES Una igualdad algebraica est formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=). Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor de las letras. Una ecuacin es una igualdad algebraica que no se cumple para todos los valores de las letras.Resolver una ecuacin es encontrar el valor o los valores de las letras para que se cumpla la igualdad.EJEMPLOx + x = 2x es una identidad.Se cumple la igualdad para cualquier valor numrico que tome x:Para x = 1 1 + 1 = 2 1 2 = 2Para x = 2 (2) + (2) = 2(2) 4 = 4x + 4 = 10 es una ecuacin. Solo se cumple cuando x = 6 6 + 4 = 10.1 Indica si las igualdades son identidades o ecuaciones.a) x + 8 = 2x 15d) x 2 x 3 = x 5b) 2(x + 2y) = 2x + 4ye) 2x + 1 = 11 xc) x + x + x = 3x f) = 12 22 Indica el valor de x para que se cumpla la igualdad.ECUACIN PREGUNTA VALOR DE x 15 x = 12 Qu nmero restado a 15 da 12?x= 10 + x = 14 11 x = 102+x=916 x = 43 Calcula mentalmente el valor de x para que se cumpla la igualdad.a) x 1 = 2d) x + 10 = 5b) x + 7 = 15 e) x + 4 = 12c) x 3 = 6f) x 6 = 10310 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 69. 829485 _ 0309-0368.qxd 12/9/0715:37Pgina 3116 ECUACIONES EQUIVALENTES Dos o ms ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. x + 4 = 10 y 2x = 12 son ecuaciones equivalentes, ya que ambas tienen como solucin x = 6.6 + 4 = 102 6 = 12 4Para cada una de estas ecuaciones, escribe una ecuacin equivalente y halla su solucin. ECUACINECUACIN EQUIVALENTESOLUCIN 7 + x = 13 x+2=92x = 14 x4=4 11 = 9 + x 5La ecuacin 3x + 4 = 10 tiene como solucin x = 2. Averigua cules de las ecuacionesson equivalentes a la ecuacin 3x + 4 = 10.2a) 3x + 10 = 20e) x + 2x 5 = 6x7 3 1b) x 8 = 5f) 2x + 8 x = x + 9 2 2c) 4x + 12 x = 21g) 12x 3x + 10 = 5x + 18 41 3d) x + 12x 8 = 18h) x + 3x = x + 4 92 2 6Tantea y halla la solucin de las siguientes ecuaciones.ADAPTACIN CURRICULARa) x 2 = 2 e) x 4 = 1i) 2x 1 = 3b) 4 + x = 2f) 1 + x = 3j) 3x = 15c) x 1 = 5g) 2 x = 4k) 2x 4 = 10 x x2xd) =4h)= 6l)=2 218 5 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 311 70. 829485 _ 0309-0368.qxd 12/9/0715:37Pgina 312 6OBJETIVO 2RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADONOMBRE: CURSO: FECHA:TRANSPOSICIN DE TRMINOS Si a los dos miembros de una ecuacin se les suma o resta un mismo nmero o expresin algebraica,se obtiene otra ecuacin equivalente a la dada. Si a los dos miembros de una ecuacin se les multiplica o divide por un mismo nmero distinto de cero,se obtiene otra ecuacin equivalente a la dada.EJEMPLOResuelve la ecuacin x 4 = 10.Sumamos 4 en ambos miembros x 4 + 4 = 10 + 4 x = 14Resuelve la ecuacin x + 2x = 4 + 2x + 5.Restamos 2x en ambos miembros x + 2x 2x = 4 + 2x 2x + 5x + 2x 2x = 4 + 5x + 2x 2x = 9Resuelve la ecuacin 3x = 12. 3x 12Dividimos ambos miembros entre 3 = x=433 5xResuelve la ecuacin= 10. 4 5xMultiplicamos por 4 ambos miembros 4 = 10 4 5 x = 404 5x 40Dividimos ambos miembros entre 5 = x=8 551 Resuelve las siguientes ecuaciones, aplicando la transposicin de trminos.a) 3x = 15 d) 2x + 6 = 20 + 6 + xb) x + 6 = 14e) 2x + 4 = 16c) 10 = x + 3f) 4x 4 = 20 x312 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 71. 829485 _ 0309-0368.qxd 12/9/07 15:37Pgina 313 6 2 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 2x 5 = 3d) x 4 = 10 b) x = 15 4xe) 2x + 7 = x + 14 c) x 10 = 2x 4 f) 3x + 8 = 12 x MTODO GENERAL DE RESOLUCIN DE ECUACIONES Resuelve la ecuacin 2(x 4) (6 + x) = 3x 4. Para resolver una ecuacin es conveniente seguir estos pasos. 1.o Eliminar parntesis. 2x 8 6 x = 3x 4 2.o Reducir trminos semejantes.x 14 = 3x 4 3.o Transponer trminos. Restamos x en ambos miembros.x x 14 = 3x x 414 = 2x 4 Sumamos 4 en ambos miembros. 14 + 4 = 2x 4 + 410 = 2x o 4.Despejar la incgnita.10 2x Dividimos ambos miembros entre 2.= 5 = x 2 2 3 Resuelve estas ecuaciones. a) 4 x = 2x + 3x 5xd) 3x + 8 5(x + 1) = 2(x + 6) 7x ADAPTACIN CURRICULAR b) 10 x + 3x = 2x + 4x + 2e) 5(x 1) 6x = 3x 9 c) 2x 9 = 3x 17f) 3(3x + 1) (x 1) = 6(x + 10) MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 313 72. 829485 _ 0309-0368.qxd12/9/0715:37 Pgina 314 64Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 2(x 5) = 3(x + 1) 3 d) 3(x + 2) + 4(2x + 1) = 11x 2(x + 6) b) 4(x 2) + 1 = 5(x + 1) 3xe) 5(x 4) + 30 = 4(x + 6) c) 3(x 3) = 5(x 1) 6xf) 5(2 x ) + 3(x + 6) = 10 4(6 + 2x )RESOLUCIN DE ECUACIONES CON DENOMINADORES 2x 1 x 3 3x 7Resuelve la ecuacin=+. 32 4Para resolver una ecuacin con denominadores es conveniente seguir estos pasos.1.o Eliminar denominadores. m.c.m. (3, 2, 4) = 3 22 = 12 2x 1x 33x 712 = 12 + 12 3 2 4 4(2x 1) = 6(x 3) + 3(3x 7)2.o Eliminar parntesis. 8x 4 = 6x 18 + 9x 213.o Reducir trminos semejantes. 8x 4 = 15x 394.o Transponer trminos.Restamos 8x en ambos miembros.8x 4 8x = 15x 39 8x4 = 7x 39Sumamos 39 en ambos miembros. 4 + 39 = 7x 39 + 39 35 = 7x5.o Despejar la incgnita.35 7xDividimos ambos miembros entre 7.=x=57 7314 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 73. 829485 _ 0309-0368.qxd 12/9/0715:37Pgina 3156 5 Halla la solucin de estas ecuaciones.x 1 12 2x x 2 x 2 x 3 x 4 a) = f)++= 104 552343x 7 2x 3 x 1x 4 x+3 x 6x 7 b)=g)+ = 1+12 68 5 63 2x+4 x 43x 1 x 2x c) = 2+h) 2 + 5 = +4 35 15 3 4x 2x 3x 35(x + 3) d) 5 = 4+i)= 24 2 612ADAPTACIN CURRICULARx x x x 3(x + 5) 7(x + 3) e) + + + = 30 j)+ =42 3 4 6 4 10 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 315 74. 829485 _ 0309-0368.qxd 21/9/0712:31Pgina 316 6 OBJETIVO 3 RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADONOMBRE: CURSO: FECHA:ECUACIN DE SEGUNDO GRADOUna ecuacin de segundo grado es una igualdad algebraica del tipo ax 2 + bx + c = 0, donde: a, b y c son los coeficientes de la ecuacin, siendo a0. ax 2 trmino cuadrtico bx trmino lineal c trmino independiente x es la incgnita.1 Escribe la expresin general de estas ecuaciones de segundo grado.a) (x 1)(x + 4) = 1 x 2 + 4x x 4 = 1 x 2 + 3x 4 1 = 0 x 2 + 3x 5 = 0b) 2x (3x + 5) = 1 + 4xc) x 5x 2 + 8 = 3x 2 x 32 Identifica los coeficientes de las ecuaciones de segundo grado del ejercicio anterior.a) x 2 + 3x 5 = 0 a = 1, b = 3, c = 5 c)b) d)FRMULA GENERAL PARA LA RESOLUCIN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOUna ecuacin de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solucin.Para obtener las soluciones de una ecuacin de segundo grado se aplica la siguiente frmula.b + b 2 4ac x1 =b b 2 4ac 2aax 2 + bx + c = 0 x = 2ab b 2 4ac x2 = 2aEJEMPLOResuelve la ecuacin de segundo grado x 2 + 5x + 6 = 0. 5 + 1 4x1 === 2 5 52 4 1 6 5 25 24 5 1 2 2 x = == 2122 5 1 6x2 === 3 2 2Sustituyendo los valores 2 y 3 en la ecuacin x 2 + 5x + 6 = 0, se comprueba que la cumplen: (2)2 + 5 (2) + 6 = 0 4 10 + 6 = 0 10 10 = 0 0 = 0 (3)2 + 5 (3) + 6 = 0 9 15 + 6 = 0 15 15 = 0 0 = 0316 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 75. 829485 _ 0309-0368.qxd 12/9/0715:37Pgina 3176 3 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado. a) x 2 + 4x + 3 = 0 d) 7x 2 + 21x = 28 b) x 2 6x + 8 = 0 e) 3x 2 + 6 = 9x c) 2x 2 5x 7 = 0f) (2x 4)(x 1) = 2 4 Resuelve las ecuaciones y comprueba que las soluciones verifican la ecuacin. a) x 2 + 2x 8 = 0 b) 3x 2 6x 9 = 0ADAPTACIN CURRICULAR c) 2x 2 7x + 3 = 0 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 317 76. 829485 _ 0309-0368.qxd 12/9/07 15:37Pgina 318 6ECUACIONES DEL TIPO ax 2 + c = 0Las ecuaciones de la forma ax 2 + c = 0 se consideran ecuaciones de segundo grado.Son ecuaciones del tipo ax 2 + bx + c = 0, donde b = 0.Para resolverlas se sigue este proceso.cc ax 2 + c = 0 ax 2 = c x 2 = x = a a cc Si el radicando es positivo, hay dos soluciones opuestas: x 1 = + y x2 = .a a Si el radicando es negativo, no hay solucin.EJEMPLO x1 = 4 322x 2 32 = 0 2x 2 = 32 x 2 = x 2 = 16 x = 16 2x2 = 4753x 2 + 75 = 0 3x 2 = 75 x 2 = x 2 = 25 x = 25 No tiene solucin 35 Resuelve las siguientes ecuaciones.a) 7x 2 28 = 0c) 5x 2 = 45b) 5x 2 180 = 0 d) 18x 2 72 = 06 Indica por qu no tienen solucin estas ecuaciones.a) x 2 + 4 = 0d) 3(x 2 + x) = 3x 12 1 2 3b) 2x 2 = 18 e) x + =0 2 4 x2 + 7c) 9x 2 5x + 18 = 18 5xf)=23318 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 77. 829485 _ 0309-0368.qxd12/9/07 15:37Pgina 3196 ECUACIONES DEL TIPO ax 2 + bx = 0 Las ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0 se consideran ecuaciones de segundo grado. Son ecuaciones del tipo ax 2 + bx + c = 0, donde c = 0. Para resolverlas se sigue este proceso.x1 = 0 Factor comn x ax + bx = 0 x (ax + b) = 0 ax + b = 0 x = b22a Estas ecuaciones tienen siempre dos soluciones, siendo cero una de ellas. EJEMPLOx 2 12x = 0 x (x 12) = 0 x 12 = 0 x = 12 x =012x1 = 02x + 5x = 0 x (2x + 5) = 0 2 2x + 5 = 0 2x = 5 x2 = 52 7 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 5x 2 + 5x = 0c) 6x 2 = 30x b) 2x 2 8x = 0d) 5x 2 + 20x = 0 8 Halla la solucin de estas ecuaciones.ADAPTACIN CURRICULAR a) 25x 2 100x = 0 d) 4x 2 + 16x = 0 b) 5x 4x 2 = 0e) x (x 3) + 8 = 4(x + 2)x (x 1) 2x 2 + 3 c) x x 2 = 0f) =2 3 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 319 78. 829485 _ 0309-0368.qxd12/9/0715:37Pgina 320 6OBJETIVO 4RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONESNOMBRE:CURSO: FECHA:RESOLUCIN DE PROBLEMASPara resolver un problema utilizando ecuaciones es conveniente seguir estos pasos.1.o Lectura y comprensin del enunciado. Es necesario distinguir los datos conocidos y el datodesconocido, es decir, la incgnita.o2. Planteamiento de la ecuacin. Hay que expresar las condiciones del enunciado en forma de ecuacin: la correspondencia entre los datos y la incgnita.3.o Resolucin de la ecuacin. Se obtiene el valor de la incgnita resolviendo la ecuacin.4.o Comprobacin e interpretacin del resultado. Se debe comprobar si el resultado verificael enunciado e interpretar la solucin en el contexto del problema.EJEMPLOAna tiene 2 ms que Berta, Berta tiene 2 ms que Eva y Eva tiene 2 ms que Luisa.Entre las cuatro amigas tienen 48 . Calcula la cantidad de dinero que tiene cada una.1.o Lectura y comprensin del enunciado.Tomamos como dato desconocido el dinero que tiene Luisa.2.o Planteamiento de la ecuacin. Dinero de Luisa xLas restantes cantidades de dinero las escribimos en funcin de x: Dinero de Eva 2 ms que Luisa x + 2 Dinero de Berta 2 ms que Eva (x + 2) + 2 = x + 4 Dinero de Ana 2 ms que Berta (x + 4) + 2 = x + 6 Escribimos la condicin de que la suma de las cantidades es 48 .x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 483.o Resolucin de la ecuacin.x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 48 4x + 12 = 48 4x = 48 12 36 4x = 36 x = = 9 Luisa tiene 9 . 4Eva tiene: 9 + 2 = 11 .Berta tiene: 9 + 4 = 13 . Ana tiene: 9 + 6 = 15 .o4. Comprobacin e interpretacin del resultado. Las cantidades que tienen las amigas: 9, 11, 13 y 15 cumplen las condiciones del enunciado. 9 + 11 + 13 + 15 = 481 La suma de tres nmeros consecutivos es 30. Hllalos.