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Transformación isométrica

Como ya ubicas puntos en el plano cartesiano y puedes formar figuras en él,

profundizaremos el trabajo en el plano cartesiano, incorporando el contenido

Transformaciones Isométricas. Para incorporar este contenido es necesario

primero identificar qué es una Transformación Geométrica.

En primer lugar considera los siguientes pares de figuras presentadas en los planos

cartesianos que se diseñaron con el software GeoGebra, el que puedes descargar

de la página www.geogebra.org

Par N°1 Par N°2

Par N°3 Par N°4

Puedes observar que en el Par N°1 se presentan dos triángulos de igual forma, pero

de diferente tamaño. Por otro lado en los pares N°2 y N°3, las figuras son las

mismas, solo se encuentran en posiciones diferentes. Por último en el par N°4 las

figuras son totalmente distintas.

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Con lo anterior se puede realizar la siguiente definición.

Definición

Se denomina transformación geométrica a la aplicación que hace corresponder

a cada punto del plano otro punto del plano, generándose así un cambio ya sea

de tamaño, en la forma o en la posición de un objeto o un cuerpo.

Observación

De acuerdo a la definición anterior, cada para presentado más arriba es una

transformación geométrica.

Para los pares N°2 y N°3, en donde solo ha cambiado la posición de las figuras,

podemos dar la siguiente definición.

Definición

Se denomina transformación isométrica a la transformación geométrica que

solo modifica la posición de la figura, sin alterar su tamaño ni forma, es decir,

la figura es congruente a la original.

Observación

Congruencia:= igual

Isométricas:= se desprende de iso=igual; métrica=medida

Otros ejemplos de transformaciones isométricas

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En las transformaciones isométricas se identifican:

A. Traslación

B. Reflexión

C. Rotación

Traslación

Definición

Una figura trasladada en el plano, es aquella que se forma al mover la figura en

línea recta. La figura se puede trasladar hacia abajo, hacia arriba, hacia la

izquierda, hacia la derecha y también en diagonal.

Ejemplo

Horizontal Diagonal u oblicua Vertical

Observación

En una traslación:

1. Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como angulares

2. Una figura no cambia su posición respecto de la horizontal.

3. No importa el número de traslaciones que se realicen, siempre es posible

resumirlas en una sola traslación.

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Ejercicios

1. Indica cuáles son transformaciones isométricas. Las que no lo sean

nómbralas como geométricas:

A. C. E.

……………………. ………………….. ………………….

B. D. F.

………………………. …………………… ………………………

2. Ubica los siguientes puntos en el plano:

3,1A ; 1,4B ; 5,1C ; 3,5D

A. Cada punto trasládalo 3

unidades a la derecha e

indica los nuevos pares

ordenados

correspondientes.

' , A ' , B ' , C ' , D

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B. Une los puntos A con 'A , B con 'B , C con C , D con 'D . ¿Qué

puedes decir de las medidas de estos segmentos?

3. Ubica los siguientes puntos en el plano:

1,6A ; 2,1B ;

10,1C ; 6,3D

A. Cada punto trasládalo 2 unidades hacia arriba e indica los nuevos

pares ordenados correspondientes.

' , A ' , B ' , C ' , D

B. Une los puntos A con 'A , B con 'B , C con C , D con 'D . ¿Qué

puedes decir de las medidas de estos segmentos?

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4. Dibuja el cuadrado de vértices 2,2A ; 2,5B ; 5, 2C ; 5,5D .

A. Cada punto

trasládalo dos

unidades a la

derecha y dibuja el

nuevo cuadrado.

B. Mide un lado del cuadrado original y un lado del nuevo cuadrado.

¿Miden lo mismo?

5. En cada plano se presenta una traslación de un cuadrilátero ABCD (figura

geométrica de cuatro lados). ¿Indica cuál fue la traslación que se efectuó?

Figura N°1 Figura N°2

Figura N°1:

Figura N°2:

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6. Ubica los siguientes puntos en

el plano:

1,1A ; 6, 4B ; 4,3C ; 1,6D

A. Cada punto trasládalo 3 unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba

e indica los nuevos pares ordenados correspondientes.

' , A ' , B ' , C ' , D

B. Une los puntos A con 'A , B con 'B , C con C , D con 'D . Con una

regla mide los segmentos creados ¿Qué puedes decir de las medidas de

estos segmentos?

7. Traslada el triángulo de la figura dos unidades a la derecha y tres unidades

hacia abajo. Indica los puntos del nuevo triangulo.

' , A ' , B ' , C

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8. A la figura representada en el plano cartesiano se le aplicó una traslación

correspondiente a cuatro unidades a la izquierda y tres unidades a hacia

abajo. Dibuja la nueva figura.

A. Indica los puntos de la figura original.

B. Indica los nuevos puntos.

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Reflexión o Simetría

Definición

Una figura es simétrica respecto de un eje, llamado eje de simetría, cuando al

dividirla en dos partes, ambas partes coinciden con respecto al eje, igual que al

mirarse en un espejo.

El eje de simetría puede ser horizontal, diagonal o vertical.

Observación

Una figura puede o no poseer un eje de simetría, pero siempre es posible

determinar su simétrico respecto de un eje.

Ejemplo

Las figuras N°1 y N°2 poseen un eje de simetría, pero para todas se determinó

su figura simétrica, respecto de un eje.

Figura N°1 Figura N°2 Figura N°3

Figura N°4 Figura N°5 Figura N°6

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Ejercicios

1. Realiza las siguientes actividades:

A. Ubica los siguientes

puntos en el plano:

1,3A ; 3,2B ;

1, 4C ; 2,6D

B. Dibuja el eje de

simetría que

corresponde al

segmento cuyos

puntos son 7,6P y

7,1P .

C. Considerando el eje de simetría que dibujaste, representa en el

plano los puntos que corresponden al simétrico de los puntos A, B,

C y D.

' , A

' , B

' , C

' , D

2. Dada la figura en el plano cartesiano.

A. Representa

la figura

simétrica

respecto del

eje de

simetría

presentado.

B. Anota los puntos de la figura dibujada y de la nueva figura.

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3. Dada la figura en el plano cartesiano.

A. Representa la figura

simétrica respecto del

eje de simetría

presentado.

B. Anota los puntos de la

figura dibujada y de la

nueva figura

4. Dadas las siguientes letras y figuras, determina si tiene ejes de simetría.

Las que lo tengan, dibújalos.

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Rotación

Definición

Una figura rotada es aquella en que el movimiento se efectúa al girar la figura

en torno a un punto fijo llamado punto de rotación, con un cierto ángulo, que

se llama ángulo de rotación. El sentido del ángulo puede ser horario o anti

horario.

Sentido Anti horario Sentido Horario

Observación

Recuerda que algunos ángulos tienen la siguiente clasificación, la que se

realiza en grados.

Ángulo recto: mide exactamente 90

Ángulo extendido: es el que mide exactamente

180o dos rectos.

Ángulo Completo: es el que mide exactamente 360 o

cuatro rectos

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Observación

Cuando realizas una rotación, respecto de un punto de rotación y con un ángulo

de rotación determinado, cada punto de la figura original deberá formar el

ángulo dado con el punto correspondiente de la nueva figura.

Ejemplo

1. En la siguiente figura, se ha realizado una rotación de 90° respecto del punto

E, en sentido anti horario y cada punto de la figura original forma el ángulo

de 90° respecto del punto de rotación.

2. En la siguiente figura, se ha realizado una rotación de 180° respecto del

punto B, en sentido horario y cada punto de la figura original forma el

ángulo de 180° respecto del punto de rotación.

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Ejercicios

1. Observa las imágenes a continuación y luego indica en cuál de ellas la figura

sombreada ocupa la misma posición de la figura punteada mediante una

rotación.

A. B.

2. Observa las imágenes y encierra en un círculo las que corresponden a una

rotación.

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3. Di si la figura ha girado 90°. 180°, 270° 0 360° en el sentido horario o en el

sentido anti horario.

A. C.

B. D.

C. F.

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4. La siguiente imagen representa una bandera y el punto P es el punto de

rotación.

Observa cuál de las siguientes imágenes representa una rotación en 90°de la

bandera y dibújala en la primera imagen.

5. En la siguiente imagen se distingue una

figura geométrica a la cual se le aplicó

una rotación en 180° resultando otra

figura a la que le faltan las letras

correspondientes a A, B y E de la figura

original. El punto D es el punto de

rotación. Tu misión es asignar a cada

vértice la letra que le falta según

corresponda. Marca A’ al punto A

rotado, B’ al punto B rotado y E’ al

punto E rotado.