cuadernillo de primer año

Escuela N° 4- 035 “Julia Silva de Cejas” Matemática

1° año -2012

APELLIDO Y NOMBRE:

CURSO:

NOMBRE DEL DOCENTE:

CICLO LECTIVO: 201


1° año -2012 Espacio Curricular: MATEMÁTICA

Programa de Programa de Programa de Programa de EstudioEstudioEstudioEstudio

Escuela Nº 4-035 “Julia Silva de Cejas” Vista Flores - Tunuyán Curso / División: PRIMEROPRIMEROPRIMEROPRIMERO/ 1° 2° 3° 4° 5° 6° / 1° 2° 3° 4° 5° 6° / 1° 2° 3° 4° 5° 6° / 1° 2° 3° 4° 5° 6° Ciclo Lectivo: 2.012

Docente: : CAMPOS, Nancy CAMPOS, Nancy CAMPOS, Nancy CAMPOS, Nancy –––– FUNEZ , Valeria FUNEZ , Valeria FUNEZ , Valeria FUNEZ , Valeria –––– LLANES, Marilina LLANES, Marilina LLANES, Marilina LLANES, Marilina –––– SALOMÓN, Yamil SALOMÓN, Yamil SALOMÓN, Yamil SALOMÓN, Yamil

Contenidos ConceptualesContenidos ConceptualesContenidos ConceptualesContenidos Conceptuales

Bloque IBloque IBloque IBloque I

� Números Enteros: representación en la recta. Valor absoluto. Noción del opuesto. Operaciones: suma, resta, multiplicación y división. Aplicación con área y perímetro, utilizando el cuadrado y rectángulo, manteniendo la misma unidad de medida. � Números Racionales: diferentes representaciones (expresión fraccionaria y decimal). Orden. Densidad. Divisibilidad. M.C.D. y m.c.m. Fracciones equivalentes, irreducibles .Simplificación. Operaciones bajo distintas expresiones: suma, resta, multiplicación y división. Propiedades. Aplicación con área y perímetro. � Potencia y radicación en enteros y racionales. Propiedades. � Ecuaciones e inecuaciones de primer grado con una incógnita. (a+x=b y a.x + b =c) .Aplicaciones con área y perímetro. � Posiciones relativas entre rectas en el plano y espacio (rectas paralelas, secantes, oblicuas, perpendiculares, y alabeadas). Aplicaciones. � Ángulos: medidas, clasificación. Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una secante. Bisectriz de un ángulo. Problemas y planteos con ecuaciones. � Triángulos: elementos, relaciones entre sus elementos. Propiedades. Rectas y semirrectas notables en un triángulo (mediatriz, mediana y altura). Clasificación según sus lados y según sus ángulos. Problemas y planteos con ecuaciones. Teorema de Pitágoras: calcular hipotenusa. Aplicación con área y perímetro.Congruencia: criterios. Análisis y construcción de triángulos en base a propiedades.

Bloque IIBloque IIBloque IIBloque II

� Aproximación. Truncamiento. Notación científica: Para interpretar resultados � Proporcionalidad. Regla de tres .Porcentaje. Aplicaciones utilizando cálculos cotidianos de economía y de agronomía. � Polígono, circunferencia, cuerpos: elementos fundamentales , calculo de longitud y área.

� Cálculo de perímetro, área y volumen. Utilizando distintas unidades de medida. Aplicaciones, problemas y planteos con ecuaciones.

Bloque IIIBloque IIIBloque IIIBloque III

� Función: noción. Plano cartesiano: ejes cartesianos. Dominio e imagen. � Función lineal: elementos, representación gráfica. Aplicaciones con enteros y racionales. Interpretación que implique situaciones cotidianas del que hacer económico y agrario. Reconocimiento de función en distintas representaciones: fórmulas, tablas, gráficos, conjunto por extensión. � Estadística: noción de población, muestra, frecuencias. Parámetros estadísticos: moda, mediana y media. Gráficos estadísticos: circular, histograma y polígono de frecuencia .Para aplicar en distintas disciplinas del saber.

Bibliografía utilizadaBibliografía utilizadaBibliografía utilizadaBibliografía utilizada

Matemática, Secundaria Básica 2 . Secundaria 1 , Editorial Longseller. Matemática 8, Todos protagonistas, Editorial Santillana. Matemática 8 EGB, Editorial Puerto de Palos. Carpeta de Matemática 8, Editorial Aique


1° año -2012

NÚMEROS ENTEROS Julián va al colegio por la mañana. Todos los días al levantarse y antes de vestirse, escucha la radio para saber la

temperatura que se espera para ese día. El martes 3 de junio el parte meteorológico indicaba el siguiente pronóstico.

Temperatura actual 2°C. Sensación térmica -4°C. Temperatura máxima esperada para la jornada 8°C. Temperatura

mínima esperada para la jornada -5°C. “Bien, -se dijo-no entiendo qué significa el “menos” , pero es claro que hoy hace

mucho frío”.

Responde:

a) ¿Cuál es el significado del signo “-” delante de las temperaturas?

b) ¿Cuánto deberá aumentar la temperatura para alcanzar la máxima esperada para ese día ? ¿Cómo

podemos representar gráficamente ésta situación?

c) ¿Cuántos grados deberá bajar la temperatura para alcanzar la mínima del día?

d) Si la temperatura máxima de día es de 5°C y la mínima de -5°C, ¿cuántos grados de diferencia hay de dichas

temperaturas al 0°C?

Ya las antiguas civilizaciones hindú y árabe observaron que algunos problemas numéricos no tenían solución entre

los números hasta entonces conocidos. Esto ocurría por ejemplo con las deudas monetarias a las cuales representaban

con el signo “-” delante del número. Por ejemplo: -100 , indicaba una deuda de 100 monedas.

Estos números continuaron apareciendo en innumerables situaciones, dando así paso a la formación de un nuevo

conjunto que se llama conjunto de los Números Enteros.

“El conjunto de los Números Enteros está formado por los números naturales o enteros positivos , los enteros

negativos y el cero” Se representa con la letra Z.

Menor que 0,

Números enteros negativos

(Z -)

Por extensión lo definimos:

Z = …, -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 ,2 , 3 , 4, 5 , …

En la recta numérica un número es mayor que cualquier número que se encuentra a su izquierda y menor que

cualquier otro que se encuentra a su derecha.

Ejemplos: 2 > 1

-1 < -5

Todo número entero tiene un opuesto. Un número y su opuesto se encuentran a la misma distancia del 0.

-3 es el opuesto de 3 2 es el opuesto de -2

El módulo (o valor absoluto) de cualquier número entero , es la distancia entre cualquier número entero y el 0.

Por la distancia, el módulo es positivo o cero. Se simboliza |a|

Ejemplo: el módulo de 5 es : |5|= 5 3

El 0 es un número

que no es positivo,

ni negativo.

Mayor que 0 ,

números naturales o

enteros positivos.

(Z +)


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El módulo de -5 : |-5|= 5

El módulo de 0 : |0| = 0

Como un número y su opuesto están a igual distancia de 0, tiene igual módulo.

|5| = |-5|

RECORDAR!!!

Todo entero negativo es menor que cualquier positivo y todo entero positivo es mayor que cualquier negativo.

El cero es mayor que cualquier entero negativo y menor que cualquier entero positivo.

Entre dos enteros positivos es mayor el de mayor módulo y entre dos enteros negativos es menor el de mayor

módulo.

Actividades de Aplicación N°1

1. Colocar <o >, según corresponda.

a. -3 …….. 3

b. 3 ……… 2

c. -2 ……… -10

d. 10 ……… -5

e. 7 ……… 10

2. Representar en la recta el o los números que cumplan las condiciones establecidas en cada caso.

a. Su módulo es 4

b. Su módulo es 7

c. Su distancia al 0 es 5

d. Su distancia al 4 es 2

e. Los números mayores que -2 y menores que 4

f. Los números menores que -3

3. Marcar con una cruz (x), la respuesta correcta justificando con un ejemplo:

a. Dados dos números enteros positivos es mayor:

i. El que esté representado en la recta más lejos del origen

ii. El que esté representado en la recta más cerca del origen

b. Dados dos números enteros negativos es menor:

i. El que esté representado en la recta más lejos del origen

ii. El que esté representado en la recta más cerca del origen

4. En lenguaje simbólico: los números enteros mayores que 3 los expresamos así: x>3 ; los números enteros

comprendidos entre -2 y 1, los expresamos: -2 < x < 1.

Expresar en lenguaje simbólico, los siguientes enunciados:

a. Los números enteros menores que 3.

b. Los números comprendidos entre -2 y 5 .

c. Los números cuya distancia al 0 es 4.

d. Los números enteros mayores o iguales que -2.

e. Los números enteros menores o iguales que -3.


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SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Analizaremos distintas situaciones:

1° Caso: Si tenemos 4 pesos y nos dan 6 pesos, en total tenemos 10 pesos.

4 + 6= 10

Como 4 y 6 son dos números positivos nos desplazaremos 10 lugares hacia la derecha.

2° Caso: Tenemos 5 pesos y debemos 2 pesos. ¿Cuál es el saldo resultante? Luego de cancelar la deuda es 3 pesos a

favor (+3).

5 + (-2) = 5 – 2 =3

Si lo representamos en la recta nos desplazamos 5 lugares hacia la derecha y desde allí 2 lugares hacia la izquierda. Es

decir, nos desplazamos 3 lugares hacia la derecha; o sea +3.

3° Caso: Debemos 6 pesos y tenemos 8 pesos, con lo cual podemos cancelar la deuda, y nos sobran 2 pesos; es decir

+2.

(-6 ) + 8 = 2

Caminamos 6 lugares hacia la izquierda y desde allí 8 lugares hacia la derecha. Es decir , nos desplazamos 2 lugares

hacia la derecha.

4° Caso: Tenemos 6 pesos y una deuda de 9 pesos, quedamos debiendo 3 pesos, el resultado es -3.

6 + (- 9 ) = -3

En la recta nos desplazamos 6 lugares a la derecha y luego 9 lugares hacia la izquierda.

5° Caso: Tenemos una deuda de 3 pesos y contraemos una nueva deuda de 4 pesos , en total debemos 7 pesos; el

resultado es -7.

(-3 ) + (-4) = -7


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PARA TENER EN CUENTA!!!!

Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos; la suma tiene el mismo signo que

los sumandos.

Para sumar dos números enteros de distinto signo:

1° se restan sus valores absolutos (al mayor se le resta el menor);

2° se coloca el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto.

Actividades de Aplicación N° 2

1. Resolver, las siguientes operaciones.

a. -3 + 4 = c. -9 + 9 = e. (-8) + 14=

b. -24 + 48 = d. (-10) + (-2)= f. 12 + (-24)=

2. El ascensor va al piso -3 y sigue bajando 2 pisos más ¿En qué piso se encuentra al final del viaje? Realizar

los cálculos empleados en la hoja.

3. Completar los siguientes enunciados.

Los números negativos se pueden interpretar como deudas.

Si al saldo de un balance se le agrega una deuda, el saldo disminuye. Si el saldo es de $5 y se le agrega una

deuda de $1, el nuevo saldo es de $ …….. Si el saldo es de $6 y se le agrega una deuda de $9, el nuevo saldo

es de $ ……….

4. Completar el siguiente cuadro.

Saldo Anterior Deuda Agregada

Operación Saldo Actual Signo Valor absoluto del saldo actual

15 7 15 + (-7)

30 40

-3 2

-5 6 18 18

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Para restar números naturales siempre exigimos que el primer número (minuendo) sea mayor o a lo sumo igual

que el segundo número (sustraendo).

Con números enteros esta condición no es necesaria:

5 – 8 = -3 pues -3 + 8 = 5

3 – (-2)= 5 pues 5 + (-2)= 3

6 – 4 = 2 pues 4 + 2 = 6

“Para restar dos números enteros, se suma al primero el opuesto del segundo”


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a – b = a + (-b)

Ejemplos: 8 – 2 = 8 + (-2)= ……

(-2) - (-1) = (-2) + 1 = …….


1. Resolver las siguientes operaciones.

a. -3 - 5 = c. -9 + 0 = e. 8 – (-8)=

b. 15 – (-5)= d. 12 – 12 – 17 = f. -32 - ( -5)=

2. Completar el siguiente. Realiza todos los cálculos en el cuaderno.

p q p – q Opuesto de q p + opuesto de q q – p Opuesto de p q + opuesto de p

-2 -2

-12 12

12 5

5 -12

12 -5

-15 12

3. Juan es ascensorista, se encuentra en el piso 11, sube 3 pisos, luego baja 6, sube 2, baja 8, sube 5, baja 7 y ,

por último, baja 2 pisos. ¿En qué piso se encuentra ahora? Realizar todos los cálculos en la hoja.

4. Separar en términos y resolver las siguientes operaciones combinadas con sumas y restas.

a. (-3) – (-2 + 4) + (-5 +6 – 6 – 4 ) – (-3 + 4)=

b. – (-2) + (-3 +5 – 1 ) - ( -2 + 3 )=

c. – (3 + 7) + 6 + (- 1 ) =

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

• Para multiplicar números enteros positivos se opera como si fueran naturales.

Por ejemplo: (+3). (+2), consiste en sumar 2 veces el 3 , o 3 veces el 2 , es decir: 3 . 2 = 3 + 3 = 2 + 2 + 2 = 6

El producto de dos números enteros positivos es un número positivo.

• Para resolver (-2) .(+4), procedemos de igual modo (sumamos cuatro veces -2)

(-2) . 4 = (-2) . (-2) . (-2 ). (-2) = -8

El producto de un número entero negativo por un positivo da por resultado un número negativo.

La multiplicación cumple con la propiedad conmutativa , por lo tanto : El producto de un número positivo por

un número negativo es un número negativo.


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• Para resolver el producto de dos números enteros negativos, multiplicamos - n por a , podemos

considerar que sumamos n veces –a y luego calculamos el opuesto (o viceversa).Por ejemplo:

(-3) . (-2) = - 3 . (-2) = - (-6) = 6

El producto de dos números enteros negativos es un número positivo.

PARA TENER EN CUENTA!!!

Cuando multiplicamos dos números enteros de igual signo ,el resultado es positivo y cuando multiplicamos

dos números enteros de distinto signo ,el resultado es negativo.

Cuando multiplicamos cualquier número entero por cero ,el resultado es cero.

Todo número multiplicado por 1; da por resultado el mismo número.

Actividad de Aplicación N° 4

1. Resolver las siguientes multiplicaciones, aplicando la regla de los signos.

a. (+6) . (-5)= c. (+7) . (+3)= e. (-9) . (+9)

b. (-9) . (-1)= d. (-9) . (+5)= f. (+8) . (-3)=

2. Colocar verdadero (V) o falso (F), según corresponda. En caso de ser falso, escribe la respuesta correcta.

a. (+3) . (-5) = (-3) . (+5) c. (-1) . (-1) . (-1) = (-1) . (+1) . (+1)

b. (+2) . (+2) = (-2) . (-2) d. (-2) . (+2) . (+2) = (+2) . (-2) . (+2)

3. Completar para que los siguientes enunciados sean verdaderos.

a. a.b = -12 , entonces a = +3 y b=……….

b. a.b = +45 , entonces b= -9 y a =…………

c. a . b = 0 , entonces a = -7 y b=………….

d. a.b = -4 , entonces a = +4 y b=……..

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

En una división exacta se cumple la siguiente condición:

Dividendo = Divisor . Cociente

Así, cualquier división exacta está asociada a una multiplicación. Esto permite deducir la regla de los signos para la

división. Observen la relación que existe entre la división y la multiplicación en los siguientes ejemplos:

250 : 10 = 25 ya que 250 = 10 . 25

50 : (-2 )= -25 ya que 50 = (-2 ) . (-25)

(-15): 5 = -3 ya que -15 = 5 . (-3)

(-8) : (-2) = 4 ya que -8 = (-2) . 4

Como podemos observar, en la división se cumple la misma regla de los signos que en multiplicación.

Para hallar el cociente de dos números enteros en una división exacta se dividen sus valores absolutos. El

cociente será:

• un número positivo: si los dos números tienen el mismo signo.

• Un número negativo: si los dos números tienen signo diferente.


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PARA RECORDAR!!!!

Para hallar el producto o división de dos números enteros, se multiplican o dividen sus valores absolutos. El

resultado es un número:

• Positivo: si los dos números tienen igual signo.

• Negativo: si los dos números tienen distinto signo.

Actividades de Aplicación N° 5

1. Resolver las siguientes divisiones, aplicando la regla de los signos.

a. (-25 ) : (+5) = c. (-60) : (-10) = e. (+36) : (-6) =

b. (+30) : (- 2 ) = d. (+30) : (+15) = f. (-12) : (-6) =

2. Colocar verdadero (V) o falso (F), según corresponda. En caso de ser falso, escribe la respuesta correcta.

a. (-20) : (-10) = (+20) : (-10) c. (-25) : (+5) = (+25) : (+5)

b. (+24) : (-8) = (-24) : (+8) d. (-8) : (-2) = (+8) : (+2)

3. Completar para que los siguientes enunciados sean verdaderos.

a. a:b = -2 , entonces b = -5 y a= …….. c. a:b = +9, entonces, a= -9 y b=………

b. a: b = +4, entonces a= -20 y b=…….. d. a:b= -1, entonces a = +8 y b=………

4. Resolver las siguientes operaciones, aplicando la regla de los signos.

a. (-6) . (+5) : (-2) = d . (-32) : (+4) : (-2)=

b. 12 : (-3) . 4 = e. (-6) . (-4) : (-3)=

c. (+4) . (-2) . (-8) = f. (+30) : (-6) . (+2)=

OPERACIONES COMBINADAS

El empleado de un comercio debe completar la siguiente

factura y colocar su importe total.

El precio total de la compra es $..............

Para resolver un cálculo combinado debe respetarse el orden de resolución de las operaciones, que es el

siguiente:

1° - Separar en términos.

2°- Se deben resolver las multiplicaciones y divisiones.

3° - Deben resolverse las sumas y restas.

+ -

+ + -

- - +


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Resolver las siguientes operaciones combinadas. Realizar todos los procedimientos y cálculos en la hoja.

a. 3 .4 – 8 .2 =

b. 24 : 3 : 2 + 1 =

c. – 9 : 3 - 8 . 2 + 10 =

d. 4 . (-2) . 3 - (-5 ) . 6 =

e. (6 – 3 . 4 ) : 3 + 8=

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON RESPECTO A LA SUMA Y A LA RESTA

• La multiplicación es distributiva con respecto a la suma y a la resta.

a . (b + c )= a . b + a . c y a . (b – c ) = a . b – a . c

Ejemplos:

2 . (3 + 4) = ………………………. (7 – 4 ) . 2 = ……………………………….

……………. = ……………… ………….. = …………………..

……… = ……….. …….. = ……….

• La división es distributiva con respecto a la suma y a la resta.

(b + c ): a = b : a + c : a y (b – c ) : a = b : a - c : a

Ejemplos:

(15 + 25) : 5 = ……………………. (18 – 6 ) : 3 = ………………………

…………….. = ……………. …………….. = ……………..

……… = ………. …….. = ………..

f. 6 – 3 . (-2 – 3 ) + (-10 ) =

g. 30 : (4 – 2 . 7) + (-8 : 2 – 3 ) . 2 =

h . 40 : 20 – 3 . 5 + 8 : 4 + 1 =

i . -18 : 3 + 4 . 5 : 2 – 36 : 12 . 5 =

j. 3 – 14 : 7 – 5 . 4 – 9 : 3 . 4 =

A

RECORDAR!!!

Para un terreno de 10 metros de frente por 25 de fondo:

a) Calcular ¿cuántos metros de alambre se necesitan para cerrarlo

perimetralmente?

b) Si se pagó por el terreno $43.750 ¿cuánto se pagó por cada metro

cuadrado?

PARA

PENSAR!!!

� Con un trozo de cartón rectangular de 3 dm de largo y 1 dm de ancho

se quieren confeccionar cuadrados de 1 dm de lado.

a) El área del trozo de cartón es …………………. dm2

b) El área de cada cuadrado es ……………………. dm2

c) ¿Cuántos de esos cuadrados se pueden confeccionar? ……………..

� Cada cuadra tiene aproximadamente 100metros. Juan vive a 8

cuadras de la escuela. Va a la mañana y a la tarde, pero al mediodía

regresa a su casa a almorzar. Aproximadamente, ¿cuántos

kilómetros recorre cada día en sus viajes de ida y vuelta?


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NÚMEROS RACIONALES

Cuando dividimos dos números enteros, podemos obtener los siguientes casos. Resolvamos las siguientes

divisiones:

14 | 2 248 | 2

Pero si queremos dividir :

17 | 2

10 8,5

0

Estos números pertenecen a un nuevo conjunto numérico, llamado “Números Racionales”.

Se llama número racional a todo aquel que puede ser expresado como un cociente entre dos números

enteros. El conjunto de los Números Racionales es denso, porque entre dos números racionales siempre se encontrará otro número racional.

Los números racionales pueden expresarse mediante una fracción o una expresión decimal, y se representa con la letra Q.

Q = Z U F U D Q : Conjunto de Números Racionales

Z: Conjunto de Números Enteros F: Conjunto de los Números Fraccionarios D: Conjunto de los Números Decimales Naturales Positivos Números Negativos Z U Números Fraccionarios Q Números Decimales Ejemplos: 1 = 0, 5 15 = 5 2 3 Expresión Expresión Fraccionaria Decimal

Observamos que estas divisiones tiene:

cociente …………… y el resto es …………..

Observamos que en esta división : el cociente

es un número que tiene………………. y el resto

es …….......


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FRACCIONES Una fracción es un cociente entre dos números enteros a y b , llamados numerados y denominador;

respectivamente. El denominador indica las cantidades de partes iguales en las que se divide el entero y el numerador

cuántas de esas partes debemos considerar. a NUMERADOR b DENOMINADOR Ejemplos:

3 3

3 5 Las fracciones se clasifican en:

• PROPIAS: el numerador es menor que el denominador y representan un número menor que 1. Ejemplo: 3 1

5 2 • IMPROPIAS: el numerador es mayor o igual al denominador y representan un número mayor o igual a 1. Si el numerador de la fracción es múltiplo del denominador, las fracciones representan números enteros y se llaman “Fracciones Aparentes.” Ejemplo: 7 ; 3

4 3 Fracción Aparente

Una fracción impropia se puede expresar mediante un número mixto. Ejemplo: 7 = 1 3 7 4 4 4 3 1

14 = 4 2 14 3 3 3 2 4

ACTIVIDAD DE APLICACIÓN N°1

1) Clasifica cada una de los siguientes números fraccionarios, en propias (P), impropias (I) o aparentes (A).

a) 1 b) 5 c) 10 d) 3 e) 18 f) 7 g) 5

5 4 2 4 9 18 5

2) Escribe como número mixto.

a) 11 = b) 14 = c) 12 = 3 5 7

7 4


1° año -2012

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3) Escribe el número fraccionario que represente: a) Un ángulo recto respecto de un giro ………… b) Un mes respecto de un año …………………… c) Una hora respecto de un día ………………….. d) Un día respecto de una semana …………..

PASAJE DE EXPRESIÓN FRACCIONARIA A EXPRESIÓN DECIMAL

Para transformar una fracción en una expresión decimal se halla el cociente entre el numerador y denominador de la fracción. Ejemplo: 1 = 0,5 1 | 2 7 = 1, 4 7 | 5 1 = 0, 3 1 | 3 2 0 ,5 5 20 1, 4 3 10 0, 33…. 0

PASAJE DE EXPRESIÓN DECIMAL A EXPRESIÓN FRACCIONARIA

• Si la expresión decimal es finita, el numerador de la fracción es el número decimal sin la coma y el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga la expresión. Ejemplo: 0,4 = 4 = 2 10 5 - 1,2 = -12 = -6 10 5 3,45 = 345 = 69 100 20

ACTIVIDAD DE APLICACIÓN N°2 1) Hallar la expresión decimal de los siguientes números fraccionarios.

a) 3 = 5

b) 3 = 40 c) - 5 = 18 d) 153 = 4

2) Transformar en número fraccionario las siguientes expresiones decimales finitas. a) 0,55 = b) – 0, 32 = c) 1,4 = d) – 10, 6


1° año -2012

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FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. Para obtener fracciones equivalentes, se debe multiplicar o dividir el numerador y el denominador de la

fracción por un mismo número distinto de cero. Cuando se multiplica, se está amplificando la fracción y cuando se divide, se está simplificando la

fracción. Ejemplo: 2 = 2 . 5 = 10 Amplificación

3 3 . 5 15 20 = 20 : 5 = 4 = 4 : 2 = 2 Simplificación 50 50 : 5 10 10 . 2 5 Fracción Irreducible Fracción Irreducible: una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador de la misma son coprimos; es decir, que no tienen divisores comunes distintos de 1.

FRACCIONES DECIMALES

Si una fracción tiene como denominador la unidad seguida de ceros ( 10; 100, 1000; etc.), es una fracción decimal.

A partir de ciertas fracciones se pueden obtener fracciones decimales y son aquellas en las cuales el denominador es múltiplo de 2 y/o 5 solamente.

Ejemplos: 1 = 1 . 5 = 5

2 2 . 5 10 3 = 3 . 2 = 6 5 5 . 2 10 1 = 1 . 22 = 4 25 52 . 22 100

7 = 7 . 53 = 875 8 23 . 53 1000 También se puede escribir la expresión decimal de una fracción decimal. Para obtener la expresión

decimal equivalente a una fracción decimal, se debe dividir el numerador y el denominador por la unidad seguida de ceros.

Ejemplos:

5 = 0, 5 4 = 0,04 45 = 0,045 10 100 1000


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ACTIVIDAD DE APLICACIÓN N°3

1) Hallar la fracción irreducible de las siguientes fracciones. a) 8 = b) – 9 = c) 90 = d) 27 =

24 45 100 69

2) Escribir tres fracciones equivalentes a las dadas y de ser posible, que una de ellas sea decimal. a) 1 = b) 5 = c) - 3 = 2 6 4

ORDEN Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS RACIONALES

RELACIÓN DE ORDEN La relación de orden en el conjunto de los números racionales permite establecer cuándo una fracción

es menor, igual o mayor que otra. Existen dos formas: • Se buscan fracciones equivalentes a las dadas de igual denominador. Se comparan los numeradores de las fracciones obtenidas y es mayor la que tenga mayor numerador. Ejemplo: 5 y 3 6 4

3 = 9 4 12 5 = 10 6 12

• Se transforman en expresiones decimales y se las compara.

Ejemplo:

1 y 3 4 8

1 = 1: 4 = 0,25 4 1 < 3 3 = 3 : 8 = 0,375 4 8 8

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS RACIONALES

Para representar en la recta numérica distintas fracciones, se debe buscar fracciones equivalentes a las que se quiere representar, con igual denominador, y luego dividir en partes iguales a la unidad representada en la recta.

Ejemplo: -3 ; 1 ; 7 ; 11

4 2 6 6

5 > 3 6 4


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-3 = -9 ; 1 = 6 ; 7 = 14 ; 11 = 22 4 12 2 12 6 12 6 12

Otra forma de representarlos, aunque menos precisa, es transformarlas en expresión decimal.

SUMA Y RESTA DE NUMEROS RACIONALES

• OPERACIONES CON FRACCIONES Analizar la siguiente situación.

Fernando y Carlos pidieron dos pizzas, una de jamón (12 porciones) y una de cebolla (8 porciones).

Fernando comió �� partes de Cebolla y

�� partes de Jamón. Carlos comió

�� partes de Cebolla y

�� de

Jamón. a. Representar gráficamente la situación. Indicando con color rojo lo que comió Fernando y de

color verde , Carlos.

b. ¿Cuántas porciones de Cebolla comieron Fernando y Carlos?

c. Y ¿Cuántas porciones de Jamón? Observa y completa: “Cuando sumamos ( o restamos) fracciones de igual denominador: sumamos (o restamos) los ……………………………….”

d. ¿Cuántas porciones de pizza (cebolla y jamón) comió Fernando?

e. ¿Cuántas porciones de pizza (cebolla y jamón) comió Carlos?


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Observa y completa: Cuando sumamos (o restamos) fracciones de distinto denominador:

1. ……………………………………………………………………………………………………...... 2. …………………………………………………………………………………………………………..

Podemos decir: � Para sumar dos o más fracciones con igual denominador , es otra fracción que tiene el mismo

denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores de los sumandos. � +

=

��

� Para sumar fracciones con distinto denominador se las convierte en fracciones equivalentes con un denominador común ,y luego se suman estas fracciones.

� Para restar dos fracciones, se suma a la primera la fracción opuesta de la segunda. � -

�� =

� + �− �

� � ¿Conoces alguna otra forma de resolver sumas y restas de fracciones? …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………

• OPERACIONES CON DECIMALES

Para operar con expresiones decimales hay dos maneras: 1° Transformar en fracciones y luego operar en forma fraccionaria. 0,2 + 1,2 = + = 2° Realizar la operación (suma o resta ) normalmente. 2,43 + 0,712= 4,2 – 2,64 = ACTIVIDAD DE APLICACIÓN N°4

1) Resolver las siguientes sumas y restas. a)

�� -

�� + 1 =

b) -�� + �

� - 2 =

c) �

�� - �� + �

� =

d) - �� + �

� - �

�� =

2) Resolver las siguientes operaciones, en forma fraccionaria.

a) – 1,4 + �� =

b) – 1,5 + 0,7 = c) 0,6 + 1,1 =

3) Resolver las siguientes operaciones, en forma decimal.

a) 1,32 – 0,5 = b) – 2,4 – 1,78 = c) 4,57 + 2,39 – 1,879 =


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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

• OPERACIONES CON EXPRESIÓN FRACCIONARIA � Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y denominadores entre sí,

aplicando la regla de los signos. �

. � =

�..� Ejemplos: a)

�� . �� = b) - �� . �� = c) - �� . - �� =

� Para dividir dos fracciones se multiplica la primera por la fracción opuesta e inversa de la

segunda fracción.

� : �� = � . ��

Ejemplos:

a) �� : �� = b) - �� : �� = c)

�� : - �� = d) – 3 : - �� =

• OPERACIONES CON EXXPRESIÓN DECIMAL

� Se multiplica o divide, normalmente. Ejemplo: a) 2,73 . 0,4 = b) 5,2 : 4 =

ACTIVIDADES DE APLICACIÓN N° 5

1) Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones.

a) - �� . �� . - �� =

b) �� : - �� . �� =

c) − �� . �� : - �� =

d) -�� :- �� . - �� =

2) Resolver las siguientes operaciones en forma fraccionaria.

a) 0,3 . (-3)= b) 0,08 : (-2)= c) -0.5 . (- 1,2)=

3) Resolver las siguientes operaciones en forma decimal.

a) 0,24 . (-3)= b) 42,5 . (-0,2)= c) 1,44 : 0,2 = d) – 0,25 : (-5)= e) 0,3 . (- 0,4) : 6 = f) – 0,064 : 0,02 =


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POTENCIACIÓN CON RACIONALES

De la misma forma que se escribe abreviadamente , por ejemplo: 53 en lugar de 5.5.5, también es posible expresar el producto de fracciones iguales, en forma abreviada, como una potencia con exponente natural. Por ejemplo:

��2 = �

� . �� = ��

�� = Si el exponente es impar y la base es negativa, el resultado de la potencia es negativo. Ejemplo: �− �

��3 = Si el exponente es par y la base es negativa , el resultado de la potencia es positiva. Ejemplo: �− �

��2 = PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Las propiedades de la potenciación que se cumplen en el conjunto de los números enteros (Z ),

también se cumplen en Q.

1. Toda fracción elevada a la potencia cero, es igual a 1: �� 0 = 1 Ejemplos: ��0 = �− ��0 =

2. Toda fracción elevada a la potencia 1, es igual a la fracción a la que fue elevada: ��1=�� Ejemplos: �− ��1 = ��1 =

3. Producto de potencias de igual base: �� n . �� m = �� n + m

Ejemplos: ��2 . ��3 = ��-3 . ��6 . ��-1 =

4. Cociente de potencias de igual base: �� n : �� m = �� n – m Ejemplos: ��5 : ��3 = ��3 : ��-2 = m

5. Potencia de potencia. �� n = �� n . m Ejemplos: ( ��) 3 = ( ��2)3 =

6. Toda fracción elevada a un exponente negativo, se invierta la fracción y se la eleva al exponente opuesto. Es decir, que el exponente es un número natural. �� -n = � ��n Ejemplos: ��-2 = 8-1 = (-5)-3 =

7. La potencia es distributiva con respecto a la multiplicación y división.

� . ��! n = �� n . ��n \ � ∶ ��! n = �� n : ��n \ �� n = �# #


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ACTIVIDADES DE APLICACIÓN N°6 1) Resolver las siguientes potencias.

a) �− ��3= b) �− ��-2 = c) ��1= d) �� 0=

2) Resolver, aplicando propiedades de la potenciación. Nombra la propiedad utilizada en cada

caso. a) �� 7 : ��4 = b) �− �� 2 . �−��4 = c) ( ��) 3 =

d) �� .��! 2 =

3) Separar en términos y resolver, las siguientes operaciones combinadas. Realiza todos los procedimientos y cálculos en la hoja.

a) (1 - ��) . �� + 2-1 =

b) �− ��-2 + �� : 4-1 - �� +��! . �� =

c) �� . �� + ��2 + �� ∶ 2 −��!-1 =

RADICACIÓN CON RACIONALES De la misma forma que en el conjunto de los números enteros, se calculan las raíces para el

conjunto de los números racionales. raíz índice n √� = b , si bn = a radicando √9 = 3, porque 32 =9 Si a es un número racional y n es un número natural, la raíz enésima de a ,es un número b

que, elevado a la enésima potencia, da por resultado a. La raíz de una fracción es igual a la raíz del numerador y a la del denominador de la misma.

(��) = √�)

√�)

Ejemplos:

(�� = (− ��*=

(�� = (��+ =

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN Las propiedades de la radicación que se cumplen en el conjunto de los números enteros (Z ),

también se cumplen en Q. 1) Simplificación y Amplificación del índice de una raíz.

Se pueden dividir o multiplicar el índice de la raíz y el exponente de su base por un mismo número distinto de cero y el resultado no se modifica.

(�� # m = (�� #.� m.c / (�� # m = (�� #∶� m :c ; c≠0


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Ejemplos:

(��* = (��+ 2 =

2) Propiedad cancelativa: cuando el índice de la raíz coincide con el exponente.

(�� # n = � Ejemplos:

(�� 2 = (�� * 3= (��+ 4 =

3) Raíz de Raíz: la raíz de una raíz es otra raíz de la misma base cuyo índice es el producto

de los índices dados.

, (�� -# = (�� #.-

Ejemplos:

,(�� = ,( ��* =

4) La radicación es distributiva, solamente con respecto a la multiplicación y división.

(� . ��# = (� #

. (� # (� ∶ ��#

= (� # : (� #

Ejemplos:

(�� .��*= (�� ∶ ��

=

ACTIVIDADES DE APLICACIÓN N°7

1) Resolver las siguientes raíces.

a) (��= b) (−��*

= c) (��+= d) (− ��*

=

2) Separar en términos y resolver. Realizar todos los procedimientos en la hoja.

a) (1 - ��) . �� + 2-1 - ( �� =

b) �− ��-2 + �� : 4-1 - ( ��+��! . �� =

c) (�� . ( �� + ��2 + �� ∶ 2 −��!-1 =

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

LENGUAJE COLOQUIAL Y LENGUAJE MATEMÁTICO Si se desea averiguar la cantidad de metros de alambre para cercar terrenos rectangulares como:

5m 12 m 6 m

3m 7m 4,5 m


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Es preciso conocer el perímetro de cada uno, es decir, la suma de las medidas de sus lados. Primer rectángulo: 3m + 5m + 3m + 5m = 16 m Segundo rectángulo:……………………………………= ………. Tercer rectángulo: ………………………………………. = …….. Otra forma de calcular el perímetro de un rectángulo es multiplicar por dos la medida de cada

uno de los lados distintos y luego sumarlas. Este procedimiento se puede representar con una expresión algebraica:

Si los lados del rectángulo son a y b , entonces: Perímetro = 2 . a + 2 . b ó Perímetro= 2 . (a + b) El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar información.

Una expresión algebraica es la combinación de números y letras vinculados por operaciones

aritméticas. En una expresión algebraica hay dos partes: el factor numérico , llamado coeficiente y

las letras con sus componentes, denominadas parte literal.

Por ejemplo: en el caso de la fórmula para el perímetro de un rectángulo P= 2 . a + 2 . b

Para expresar enunciados o nociones matemáticas se puede utilizar el lenguaje coloquial o el simbólico.

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico El doble de un número 2. X El doble de cuatro disminuido en tres ……………………………… El siguiente de un número ………………………………. El anterior de un número ……………………………….. El cuadrado de un número ………………………………… La suma de los cuadrados de dos números …………………………………. Cualquier número mayor que 4 …………………………………. Cualquier número menor o igual que 5 …………………………………... ACTIVIDADES DE APLICACIÓN N° 10 1) Escribir cada uno de los siguientes enunciados en lenguaje simbólico.

a) Dos es mayor que uno ………………………………………….. b) Siete es mayor que seis y menor que ocho ……………………. c) El triple de un número ………………………. d) Menos nueve es menor que menos uno …………………….. e) El cubo de un número …………………………………

2) Traducir en lenguaje simbólico y resolver. a) El cuadrado de cuatro …………………………………………………………………………… b) El cubo el opuesto de cinco ………………………………………………………………….. c) La raíz cúbica de 1000 ………………………………………………………………………….. d) La mitad de treinta ………………………………………………………………………………… e) El doble de la suma entre tres y cinco …………………………………………………… f) El doble de tres, aumentado en cinco …………………………………………………….

coeficiente Parte literal


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ECUACIONES Se desea averiguar la medida de uno de los lados de un rectángulo .Observa la figura dada, si su

perímetro es de 20 metros. P=20 m x 6 m Traducir este enunciado en lenguaje simbólico: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Esta expresión algebraica obtenida, se llama ecuación de primer grado

Ecuación: es una igualdad en la que aparecen juntos números y letras (incógnitas). Las

soluciones de una ecuación son aquellos valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad.

Por ejemplo: 3.x + 5 = 4 es una ecuación con una incógnita

2.a + 3 . b = 54 es una ecuación con dos incógnitas

Primer miembro Segundo miembro 2 . x + 2 . 6 = 20 2 . x + 12 = 20 Separar en términos y resolver cada término

2.x + 12 + (-12 ) = 20 + (-12) Sumar a ambos miembros el opuesto del término que quiero transferir de miembro. 2 . x = 8 Al transferir de miembro cambia la operación

x = 8 : 2 si multiplica, “pasa” dividiendo. x = 4 Es decir, que la medida de uno de los lados del rectángulo es de 4 metros. Para verificar si el resultado de la ecuación es correcto, se reemplaza el valor obtenido en la

ecuación. 2 . 4 + 2 . 6 = 20 8 + 12 = 20 20 = 20 Al cumplirse la igualdad, el valor obtenido es el correcto. PASOS A SEGUIR PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

1. Separar en términos. 2. Operar en cada miembro (siempre que sea posible) 3. Agrupar en el mismo miembro todos los términos semejantes 4. Operar en cada miembro. 5. Obtener el valor de la incógnita. 6. Verificar que el resultado obtenido haga cierta la igualdad.

RESOLVAMOS LA ECUACIÓN!!!


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ACTIVIDADES DE APLICACIÓN N° 11 1) Resolver las siguientes ecuaciones y verificarlas.

a) 6 . x + 30 - 5 .x = 25 b) – x – 3 – 5. X = -27 c) 3.x + 2 = 5.x – 8 d) – 6.x + 2 = 20 + 3. X e) 7.x + 10 – 4 - 5.x = x + 30 – 3.x f) – 3 . (5 .x – 4 ) – 2 . (3 – 2 .x ) = 50

g) �� x – 6 = 4

h) 1= �� x + 2

2) Plantear y resolver las ecuaciones para hallar el perímetro de las siguientes figuras.

a) b) 3 .x + 25 cm 5 .x – 25 cm X + 75 cm 5. x + 5 cm

INECUACIONES La suma entre la boleta de gas y la de la luz supera los $85. El monto de la boleta de la luz fue de

$ 58 . ¿cuál fue el monto de la boleta de gas? Traducir este enunciado en lenguaje simbólico: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Esta expresión algebraica obtenida, se llama inecuación. Inecuación: es una desigualdad entre dos miembros en los cuales hay por lo menos un dato

desconocido. Una inecuación en la cual la incógnita esta afectada por sumas o restas, se resuelve de la misma

manera que una ecuación.

58 + g > 85 58 + g + (- 58) > 85 + (- 58 ) g > 27

Resolver una inecuación implica hallar el o los valores de la incógnita que verifique dicha igualdad. Al resolver una inecuación se encuentra un conjunto de valores que la verifican; a esta conjunto

se llama conjunto solución. (+∞ ; 27 )

Cuando la incógnita está afectada por suma, resta, multiplicación y división, se debe tener en cuenta la siguiente propiedad:

RESOLVAMOS LA INECUACIÓN!!!!!


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Si en una desigualdad se multiplica o divide ambos miembros por un número entero positivo, la

desigualdad no cambia; pero si se multiplica o divide por un número entero negativo el sentido de

la desigualdad cambia. Ejemplo: -2 . x + 6 > 12

-2.x + 6 + (-6) > 12 + (-6) -2 . x >6 x < 6 : -2 x < -3

ACTIVIDADES DE APLICACIÓN N° 12 1) Traducir los siguientes enunciados en lenguaje simbólico.

a) Cualquier número mayor que 5 …………………….. b) Cualquier número menor que 0 ……………………… c) Cualquier número mayor o igual que – 7 …………….. d) Cualquier número menor o igual que 3 ……………..

2) Representar en la recta numérica el conjunto solución de cada una de las siguientes

desigualdades. a) X > -3 b) X < -7 c) x ≥ - 2 d) – 1 < x < 3

3) Resolver las siguiente inecuaciones y representar en la recta numérica el conjunto solución.

a) x + 11 ≤ 8 b) x – 5 > - 7 c) x – 3 < 10 d) x + 2 ≥ - 1


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GEOMETRIA

Empezaremos definiendo:

• El punto Se lo representa con: la marca que deja la punta del lápiz, por una pequeña cruz o por un círculo pequeño. Colocando junto a cada uno una letra minúscula imprenta o cursiva.

• El espacio El conjunto de todos los puntos geométricos es el espacio. El espacio es un conjunto infinito de puntos.

• El plano Es un conjunto infinito de puntos. El plano geométrico es ilimitado, es decir no tiene borde o frontera.

Plano α Actividad N° 1: Representar algunos puntos en un plano. Si a=b se lee “a coincide con b” ; es decir que nos referimos al mismo punto. Si a ≠b , los puntos no coinciden.

• La recta: Podemos agrupar los puntos de cada plano o espacio, en otros conjuntos parciales que

denominamos RECTA. Una recta geométrica se extiende sin límites en ambos sentidos. No comienza, ni termina. Designamos a las rectas con letra mayúscula de imprenta.

Para poder trabajar necesitaremos: escuadra,

regla, compás y transportador.

• a x b

punto a punto b

Designamos al plano utilizando una letra griega: α alfa ε epsilón

β beta ω omega δ delta π pi γ gama

Interpretamos: ….. y …… son dos puntos cualesquiera que pertenece al plano ……. En símbolos: ……. pertenece a …… o ……. contiene a …… …… ∈ ……. ……. pertenece a ……. o …….. contiene a ……. …… ∈ …….

R

Q

Recta R Recta Q

Las rectas son conjuntos infinitos de puntos.


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Actividad N°2: Dadas las siguientes rectas.

cuadernillo de primer año

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