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PUBLICACIONES HACKYONEL

2011

Ecuaciones Diferenciales

- E. D. L. Homogéneas de Coeficientes Constantes.

- E.D.L. No Homogéneas de Coeficientes Constates.

- Sistema de Ecuaciones Diferencias de Coeficientes Constantes.

- La Transformada de Laplace.

- Aplicaciones de la Transformada de Laplace.

Huánuco - Perú

R E C O N O C I M I E N T O – N O C O M E R C I A L - C R E A T I V E C O M M O N S

ECUACIONES DIFERENCIALES

DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS

“AÑO DE UNION NACIONAL FRENTE A LA CRISIS EXTERNA”

UNIVERSIDAD NACIONAL

“HERMILIO VALDIZÁN”

E. A. P. INGENIERÍA DE SISTEMAS

CURSO : ECUACIONES DIFERENCIALES

DOCENTE : ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR

ALUMNO : CALIXTO CARMEN, Yonel Orlando

CICLO : V

HUANUCO- PERÚ

2011



ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n

1. 2

23 2 0

d y dyy

dx dx

RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:

2

2

2

3 2 0

3 2 2 1 0

d y dyy

dx dx

P t t t t t

De donde: 1, 2t t

Luego el sistema fundamental de soluciones: 2

1 2

x xy c e c e

Rpta: 2

1 2

x xy c e c e

2. 2

24 4 0

d y dyy

dx dx


2

2

22

4 4 0

4 4 2 0

d y dyy

dx dx

P t t t t

De donde: 2t de multiplicidad 2 Luego el sistema fundamental de soluciones:

2 2 2

1 2 1 2

x x xy c e c xe e c c x

Rpta: 2

1 2

xy e c c x

3. 2

20

d yy

dx


2

2

2

4 4 0

1 0

d y dyy

dx dx

P t t

De donde: ,t i t i

Luego el sistema fundamental de soluciones:

1 2cos seny c x c x

Rpta: 1 2cos seny c x c x



4. 2

20

d y dyy

dx dx


2

2

2

0

1 0

d y dyy

dx dx

P t t t

De donde: 1 3 1 3

,2 2 2 2

t i t i


2 21 2

21 2

3 3cos sen

2 2

3 3cos sen

2 2

x x

x

y c e x c e x

y e c x c x

Rpta: 21 2

3 3cos sen

2 2

x

e c x c x

5. 2

22 2 0

d y dyy

dx dx


2

2

2

2 2 0

2 2 0

d y dyy

dx dx

P t t t

De donde: 1 , 1t i t i


1 2

1 2

cos sen

cos sen

x x

x

y c e x c e x

y e c x c x

Rpta: 1 2cos senxe c x c x

6. ''' 2 '' ' 2 0y y y y


3 2

''' 2 '' ' 2 0

2 2 1 1 2 0

y y y y

P t t t t t t t

De donde: 1, 1, 2t t t




1 2 3

x x xy c e c e c e

Rpta: 2

1 2 3

x x xy c e c e c e

7. ''' 3 '' 3 ' 0y y y y

RESOLUCIÓN

''' 3 '' 3 ' 0y y y y Ecuación irresoluble excepto si:

''' 3 '' 3 ' 0y y y y

El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:

3 2 2

''' 3 '' 3 ' 0

3 3 1 1 4 1 0

y y y y

P t t t t t t t

De donde: 1, 2 3, 2 3t t t

Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 3 2 3

1 2 3

x xxy c e c e c e

Rpta: 2 3 2 3

1 2 3

x xxy c e c e c e

8. ''' '' ' 0y y y y


3 2 2

''' '' ' 0

1 1 1 0

y y y y

P t t t t t t

De donde: 1, ,t t i t i


1 2 3cos senxy c e c x c x

Rpta: 1 2 3cos senxy c e c x c x

9. ''' 0y y


3 2

''' 0

1 1 1 0

y y

P t t t t t

De donde: 1 3 1 3

1, ,2 2 2 2

t t i t i




2 21 2 3

21 2 3

3 3cos sen

2 2

3 3cos sen

2 2

x x

x

x

x

y c e c e x c e x

y c e e c x c x

Rpta: 21 2 3

3 3cos sen

2 2

x

xy c e e c x c x

10. 0ivy y


4 2

0

1 1 1 1 0

ivy y

P t t t t t

De donde: 1, 1, ,t t t i t i


1 2 3 4cos senx xy c e c e c x c x

Rpta: 1 2 3 4cos senx xy c e c e c x c x

11. ''' 6 '' 4 ' 0ivy y y y y


44 3 2

4 ''' 6 '' 4 ' 0

4 6 4 1 1 0

ivy y y y y

P t t t t t t

De donde: 1t de multiplicidad 4 Luego el sistema fundamental de soluciones:

2 3

1 2 3 4

2 3

1 2 3 4

x x x x

x

y c e c xe c x e c x e

y e c c x c x c x

Rpta: 2 3

1 2 3 4

xy e c c x c x c x

12. 6 ''' '' 6 ' 0y y y y


3 2

6 ''' '' 6 ' 0

6 6 1 1 1 6 1 0

y y y y

P t t t t t t t

De donde: 1

1, 1,6

t t t




61 2 3

x

x xy c e c e c e

Rpta: 61 2 3

x

x xy c e c e c e

13. ''' '' 3 ' 0y y y y


3 2 2

''' '' 3 ' 0

3 1 1 2 1 0

y y y y

P t t t t t t t

De donde: 1, 1 2, 1 2t t t


1 2 3

x xxy c e c e c e

Rpta: 1 2 1 2

1 2 3

x xxy c e c e c e

14. 0viy y


6 2 2

0

1 1 1 1 1 0

viy y

P t t t t t t t t

De donde: 1 3 1 3 1 3 1 3

1, , , ,2 2 2 2 2 2 2 2

t t i t i t i t i


2 21 2 3 4 5 6

3 3 3 3cos sen cos sen

2 2 2 2

x x

x xy c e c e e c x c x e c x c x

Rpta:

2 21 2 3 4 5 6

3 3 3 3cos sen cos sen

2 2 2 2

x x

x xy c e c e e c x c x e c x c x

15. 3 2

3 22 3 0

d y d y dy

dx dx dx


3 2

3 2

3 2 2

2 3 0

2 3 2 3 0

d y d y dy

dx dx dx

P t t t t t t t





1 2 3

x xy c c e c e

Rpta: 3

1 2 3

x xy c c e c e

16. 3 2

3 24 4 0

d y d y dy

dx dx dx


3 2

3 2

23 2

4 4 0

4 4 2 0

d y d y dy

dx dx dx

P t t t t t t

De donde: 2,t de multiplicidad 2; 0,t


2 2

1 2 3

2

1 2 3

x x

x

y c c e c xe

y c e c c x

Rpta: 2

1 2 3

xy c e c c x

17. 4

4

d yy

dx


4

4

4 2

0

1 1 1 1 0

d yy

dx

P t t t t t

De donde: 1, 1, ,t t t i t i


1 2 3 4cos senx xy c e c e c x c x

Rpta: 1 2 3 4cos senx xy c e c e c x c x

18. 4 2

4 22 0

d y d yy

dx dx




4 2

4 2

24 2 2

2 0

2 1 1 0

d y d yy

dx dx

P t t t t

De donde: ,t i de multiplicidad 2, t i de multiplicidad 2


1 2 3 4

1 3 2 4

cos sen cos sen

cos sen

y c x c x c x x c x x

y c c x x c c x x

Rpta: 1 3 2 4cos seny c c x x c c x x

19. 4 2

4 23 4 0

d y d yy

dx dx


4 2

4 2

4 2 2

3 4 0

3 4 1 1 4 0

d y d yy

dx dx

P t t t t t t

De donde: 1, 1, 2 , 2t t t i t i


1 2 3 4cos2 sen 2x xy c e c e c x c x

Rpta: 1 2 3 4cos2 sen 2x xy c e c e c x c x

20. 4 3 2

4 3 22 0

d y d y d y

dx dx dx


4 3 2

4 3 2

24 3 2 2

2 0

2 1 0

d y d y d y

dx dx dx

P t t t t t t

De donde: 0,t de multiplicidad 2, 1,t de multiplicidad 2


1 2 3 4

1 2 3 4

x x

x

y c c x c e c xe

y c c x c c x e

Rpta: 1 2 3 4

xy c c x c c x e



21. 3 2

3 22 2 0

d y d y dyy

dx dx dx


3 2

3 2

3 2

2 2 0

2 2 1 1 1 2 1 0

d y d y dyy

dx dx dx

P t t t t t t t

De donde: 1

1, 1,2

t t t


21 2 3

x

x xy c e c e c e

Rpta: 21 2 3

x

x xy c e c e c e

22. 3 2

3 22 7 2 0

d y d yy

dx dx


3 2

3 2

3 2 2

2 7 2 0

2 7 2 2 2 4 1 0

d y d yy

dx dx

P t t t t t t

De donde: 2 2

2, 1 , 12 2

t t t

Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 2

1 12 22

1 2 3

x xxy c e c e c e

Rpta:

2 21 1

2 22

1 2 3

x xxy c e c e c e

23. 4 2

4 214 0

d y d yy

dx dx


4 2

4 2

4 2 2 2

14 0

14 1 4 1 4 1 0

d y d yy

dx dx

P t t t t t t t

De donde: 2 3, 2 3, 2 3, 2 3t t t t



Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 3 2 3 2 3 2 3

1 2 3 4

x x x xy c e c e c e c e

Rpta: 2 3 2 3 2 3 2 3

1 2 3 4


24. 2

2

20

d yk y

dx


22

2

2 2

0

0

d yk y

dx

P t t k

De donde: ,t ki t ki


1 2cosk sen ky c x c x

Rpta: 1 2cosk sen ky c x c x

25. 2

22 4 0

d y dyy

dx dx


2

2

2

2 4 0

2 4 0

d y dyy

dx dx

P t t t

De donde: 1 3 , 1 3t i t i


1 2

1 2

cos 3 sen 3

cos 3 sen 3

x x

x

y c e x c e x

y e c x c x

Rpta: 1 2cos 3 sen 3xy e c x c x

26. 4 2

4 24 5 9 0

d y d yy

dx dx




4 2

4 2

4 2 2

4 5 9 0

4 9 1 1 4 9 0

d y d yy

dx dx

P t t t t t t

De donde: 3 3

1, 1, ,2 2

t t t i t i


1 2 3 4

3 3cos sen

2 2

x xy c e c e c x c x

Rpta: 1 2 3 4

3 3cos sen

2 2

x xy c e c e c x c x

27. 4

44 0

d yy

dx


4

4

4 2 2

4 0

4 2 2 2 2 0

d yy

dx

P t t t t t t

De donde: 1 , 1 , 1 , 1t i t i t i t i


1 2 3 4

1 2 3 4

cos sen cos sen

cos sen cos sen

x x x x

x x

y c e x c e x c e x c e x

y e c x c x e c x c x

Rpta: 1 2 3 4cos sen cos senx xy e c x c x e c x c x

28. 4 3 2

4 3 22 2 2 0

d y d y d y dyy

dx dx dx dx


4 3 2

4 3 2

4 3 2 2

2 2 2 0

2 2 2 1 1 2 2 0

d y d y d y dyy

dx dx dx dx

P t t t t t t t t t

De donde: 1, 1, 1 , 1t t t i t i


1 2 3 4

1 2 3 4

cos sen

cos sen

x x x x

x x x

y c e c e c e x c e x

y y c e c e e c x c x

Rpta: 1 2 3 4cos senx x xy y c e c e e c x c x



29. 5 3 2

5 3 22 10 10 0

d y d y d y dyy

dx dx dx dx


5 3 2

5 3 2

5 3 2 2 2

2 10 10 0

2 10 10 2 1 2 5 0

d y d y d y dyy

dx dx dx dx

P t t t t t t t t t

De donde: 2, , , 1 2 , 1 2t t i t i t i t i


2

1 2 3 4 5

2

1 2 3 4 5

cos sen cos 2 sen 2

cos sen cos 2 sen 2

x x x

x x

y c e c x c x c e x c e x

y c e c x c x e c x c x

Rpta: 2

1 2 3 4 5cos sen cos2 sen 2x xy c e c x c x e c x c x

30. 2 '' 3 ' 0y y y


2

2 '' 3 ' 0

2 3 1 1 2 1 0

y y y

P t t t t t

De donde: 1

1,2

t t


21 2

x

xy c e c e

Rpta: 21 2

x

xy c e c e

31. '' 9 ' 9 0y y y


2

'' 9 ' 9 0

9 9 0

y y y

P t t t

De donde: 9 3 5 9 3 5

,2 2

t t

Luego el sistema fundamental de soluciones: 9 3 5 9 3 5

2 2

1 2

x x

y c e c e

Rpta:

9 3 5 9 3 5

2 2

1 2

x x

y c e c e



32. '' ' 2 0, 0 1, ' 0 1y y y y y


2

'' ' 2 0

2 2 1 0

y y y

P t t t t t

De donde: 2, 1t t


2

1 2

2

1 2 1 2

2

1 2 1 2

1 2

... 1

1

' 2 2 1

1, 0 ... 2

2 1

x x

x x

x x

x

y c e c e

y c e c e c c

y c e c e c c

c c

en

y e

Rpta: xy e

33. '' 6 ' 9 0, 0 0, ' 0 2y y y y y


22

'' 6 ' 9 0

6 9 3 0

y y y

P t t t t

De donde: 3,t de multiplicidad 2


3 3

1 2

1

1 2

1 2

3

... 1

0 0

' 0 3 2

0, 2 ... 2

2 1

2

x x

x

y c e c xe

y c

y c c

c c

en

y xe

Rpta: 32 xy xe

34. '' 8 ' 9 0, 1 1, ' 1 0y y y y y




2

'' 8 ' 9 0

8 9 9 1 0

y y y

P t t t t t

De donde: 9, 1t t


1 2

x xy c e c e

Rpta: y

35. '' 4 0, 0 1, ' 0 1y y y y


2

'' 4 0

4 0

y y

P t t



1 2

1

2

1 2

cos 2 sen 2 ... 1

0 1

0 ' 2 1

11, ... 2

2

2 1

1cos 2 sen 2

2

y c x c x

y c

y c

c c

en

y x x

Rpta: 1

cos 2 sen 22

y x x

36. '' 4 ' 5 0, 0 1, ' 0 0y y y y y


2

'' 4 ' 5 0

4 5 0

y y y

P t t t





2 2

1 2

1

cos sen ... 1

0 1

x xy c e x c e x

y c

1 2

1 2

2 2

' 0 2 0

1, 2 ... 2

2 1

cos 2 senx x

y c c

c c

en

y e x e x

Rpta: 2 2cos 2 senx xy e x e x

37. ''' 4 '' ' 0y y y y


23 2

''' 4 '' ' 0

4 1 1 1 0

y y y y

P t t t t t t

De donde: 1,t de multiplicidad 2, 1t


1 2 1

x x xy c e c xe c e

Rpta: 1 2 3

x x xy c e c xe c e

38. 5 4 0iv iiy y y


4 2

5 4 0

5 4 1 2 1 2 0

iv iiy y y

P t t t t t t t

De donde: 1, 2, 1, 2t t t t


1 2 3 4


Rpta: 2 2

1 2 3 4


39. 3 3 0vi iv iiy y y y


3 36 4 2

3 3 0

3 3 1 1 1 0

vi iv iiy y y y

P t t t t t t

De donde: 1,t de multiplicidad 3, 1,t de multiplicidad 3.




2 2

1 2 3 4 5 6

x x x x x xy c e c xe c x e c e c xe c x e

Rpta: 2 2

1 2 3 4 5 6

x x x x x xy c e c xe c x e c e c xe c x e

40. 3 3 3 2 0v iv iii ii iy y y y y


5 4 3 2 2

3 3 3 2 0

3 3 3 2 1 2 1 0

v iv iii ii iy y y y y

P t t t t t t t t t t

De donde: 0, 1, 2, ,t t t t i t i


1 2 3 4 5cos senx xy c c e c e c x c x

Rpta: 2


41. 8 0iv iy y


4 2

8 0

8 2 2 4 0

iv iy y

P t t t t t t t

De donde: 0, 2, 1 3 , 1 3t t t i t i


1 2 3 4cos 3 sen 3x x xy c c e c e x c e x

Rpta: 2

1 2 3 4cos 3 sen 3x xy c c e e c x c x

42. 8 16 0viii ivy y y


2 2

8 4 2 2

8 16 0

8 16 2 2 2 2 0

viii ivy y y

P t t t t t t t

De donde: 1 ,t i de multiplicidad 2; 1 ,t i de multiplicidad 2; 1 ,t i de

multiplicidad 2; 1 ,t i de multiplicidad 2;

Luego el sistema fundamental de soluciones: 1 2 3 4 5 6 7 8cos sen cos senx xy e c c x x c c x x e c c x x c c x x

Rpta:

1 2 3 4 5 6 7 8cos sen cos senx xy e c c x x c c x x e c c x x c c x x



43. 6 9 0iv iii iiy y y


24 3 2 2

6 9 0

6 9 3 0

iv iii iiy y y

P t t t t t t

De donde: 0,t de multiplicidad 2, 3,t de multiplicidad 2.


3 3

1 2 3 4

3

1 2 3 4

x x

x

y c c x c e c xe

y c c x c c x e

Rpta: 3

1 2 3 4

xy c c x c c x e

44. 4 3 0iii iy y y


23

4 3 0

4 3 1 1 2 1 0

iii iy y y

P t t t t t

De donde: 1

,2

t de multiplicidad 2, 1.t


2 21 2 3

21 2 3

x x

x

x

x

y c e c e c xe

y c e c c x e

Rpta: 21 2 3

x

xy c e c c x e

45. 4 4 23 12 36 0iv iii ii iy y y y y


2 24 3 2

4 4 23 12 36 0

4 4 23 12 36 2 2 3 0

iv iii ii iy y y y y

P t t t t t t t

De donde: 2,t de multiplicidad 2, 3

2t de multiplicidad 2.


3 3

2 2 2 21 2 3 3

32

21 2 3 3

x xx x

xx

y c e c xe c e c xe

y c c x e c c xe



Rpta: 3

22

1 2 3 3

xxy c c x e c c xe

46. 0v iiiy y


5 3 3

0

1 1 0

v iiiy y

P t t t t t t

De donde: 0,t de multiplicidad 3; 1, 1t t


1 2 3 4 5

x xy c c x c x c e c e

Rpta: 2

1 2 3 4 5

x xy c c x c x c e c e

47. 2 3 4 4 0iv iii ii iy y y y y


2 24 3 2

2 3 4 4 0

2 3 4 4 2 1 0


P t t t t t t t

De donde: 2,t de multiplicidad 2; 1,t de multiplicidad 2.


2 2

1 2 3 4

2

1 2 3 4

x x x x

x x

y c e c xe c e c xe

y c c x e c c x e

Rpta: 2

1 2 3 4

x xy c c x e c c x e

48. 2 6 16 8 0iv iii ii iy y y y y


24 3 2 2

2 6 16 8 0

2 6 16 8 2 2 2 0


P t t t t t t t t

De donde: 2,t de multiplicidad 2; 1 3, 1 3t t


1 3 1 32 2

1 2 3 4

1 3 1 32

1 2 3 4

x xx x

x xx

y c e c xe c e c e

y c c xe c e c e

Rpta: 1 3 1 32

1 2 3 4

x xxy c c xe c e c e



49. 3 2 0 0, 0, ' 9, 0iii iy y y cuando x y y y


23

3 2 0

3 2 1 2 0

iii iy y y

P t t t t t

De donde: 1,t de multiplicidad 2; 2t


2

1 2 3

1 3 1 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2

... 1

0

' 0 2 9

'' 0 2 4 0

2, 3, 2 ... 2

2 1

2 3 2

x x x

x x

y c e c xe c e

y c c c c

y c c c

y c c c

c c c

en

y e x e

Rpta: 22 3 2x xy e x e

50. 3 2 0 0, 0, ' 4, '' 6iv iii iiy y y cuando x y y y


4 3 2 2

3 2 0

3 2 1 2 0

iv iii iiy y y

P t t t t t t t

De donde: 0t de multiplicidad 2; 1, 2t t


2

1 2 3 4

1 3 4

2 3 4

2 4

3 4

1 2 3 4

2

2

... 1

0 0

' 0 2 42 2

'' 0 4 6

0, 2, 2, 2 .... 2

2 1

2 2 2

2

x x

x x

x x

y c c x c e c e

y c c c

y c c cc c

y c c

c c c c

en

y x e e

y x e e

Rpta: 22 x xy x e e



51. ''' '' ' 0, 0, 1, 2, 0 0y y y y cuando x y cuando x y y tambien cuando x y


3 2

''' '' ' 0

1

y y y y

P t t t t

De donde: t

Luego el sistema fundamental de soluciones: y

Rpta: y

52. ''' 6 ' 25 0y y


3

''' 6 ' 25 0

6 25 0

y y

P t t t



1 2cos4 sen 4x xy c e x c e x

Rpta: 3

1 2cos4 sen 4xy e c x c x

53. 0'' 0, 0, , ' 0y y cuando x y y y


2

'' 0

1 1 1 0

y y

P t t t t

De donde: 1, 1t t


1 2

1 2 0

1 2

... 1

0

' 0 0

x xy c e c e

y c c y

y c c



0 01 1, ... 2

2 2

y yc c

0

2 1

2

x x

en

yy e e

Rpta: 0

2

x xyy e e

54. '' 0y y


2

'' 0

1 0

y y

P t t

De donde: ,t i t i


1 2

1 0

2

1 0 2

0

cos sen ... 1

0

' 0 0

, 0 ... 2

cos

y c x c x

y c y

y c

c y c

y y x

Rpta: 0 cosy y x

55. ''' 5 '' 17 ' 13 0, 0, 0, ' 1, '' 6y y y y cuando x y y y


3 2 2

''' 5 '' 17 ' 13 0

5 17 13 1 4 13 0

y y y y

P t t t t t t t

De donde: 1, 2 3 , 2 3t t i t i


2 2

1 2 3

1 2

1 2 3

1 2

1 2 3

2

2

cos3 sen 3 ... 1

0 0

' 0 2 2 1

' 0 5 5

1, 1, 0 ... 2

2 1

cos3

x x x

x x

y c e c e x c e x

y c c

y c c c

y c c

c c c

en

y e c e x



Rpta: 2

2 cos3x xy e c e x

56.

22

020, 0, 0,

d x dxk x k real cuando t x y v

dt dt


22

2

2 2

0

0

d xk x

dt

P z z k

De donde: ,z ki z ki


1 2

1

2 0

01 2

0

cos sen ... 1

0 0

' 0

0, ... 2

2 1

sen

x c kt c kt

x c

x kc v

vc c

k

en

vx kt

k

Rpta: 0 senv

x ktk

57. ''' '' 4 ' 4 0 0, 0, ' 1, '' 5y y y y cuando x y y y


3 2 2

''' '' 4 ' 4 0

4 4 1 4 0

y y y y

P t t t t t t

De donde: 1, 2 , 2t t i t i


1 2 3

1 2

1 3

1 2

1 2 3

cos 2 sen 2 ... 1

0 0

' 0 2 1

'' 0 4 5

1, 1, 0 ... 2

2 1

cos 2

x

x

y c e c x c x

y c c

y c c

y c c

c c c

en

y e x



Rpta: cos2xy e x

58.

22

022 0, 0 0, 0,

d x dx dxb k x k b cuando t x y v

dt dt dt


22

2

2 2

2 0

2 0

d x dxb k x

dt dt

P z z bz k

De donde: 2 2 2 2,z b k b i z b k b i


2 2 2 2

1 2

1

2 2

2 0

01 2

2 2

0

cos sen ... 1

0 0

0

0, ... 2

2 1

sen

bt bt

bt

x c e k b t c e k b t

x c

dxc k b v

dt

vc c

k b

en

vx e at

a

Rpta: 2 20 sen :btvx e at donde a k b

a

59. ''' 6 '' 12 ' 8 0, 0, 1, ' 2, '' 2y y y y cuando x y y y


33 2

''' 6 '' 12 ' 8 0

6 12 8 2 0

y y y y

P t t t t t

De donde: 2t de multiplicidad 3




2 2 2

1 2 3

2 2

1 2 3

1

2

2 3

1 2 3

2 2

3

... 1

0 0

' 0 2

'' 0 4 2 2

0, 2, 3 ... 2

2 1

2 3

x x

x

x

y c c xe c x e

y c c x c x e

y c

y c

y c c

c c c

en

y x c x e

Rpta: 2 2

32 3 xy x c x e

60. 2 4 2 5 0iv iii ii iy y y y y


4 3 2 2

2 4 2 5 0

2 4 2 5 1 1 2 5 0


P t t t t t t t t t

De donde: 1, 1, 1 2 , 1 2t t t i t i


1 2 3 4cos2 sen 2x x x xy c e c e c e x c e x

Rpta: 1 2 3 4cos2 sen 2x x x xy c e c e c e x c e x

61. 2 2 0iii ii iy y y


3 2 2

2 2 0

2 2 2 2 0

iii ii iy y y

P t t t t t t t



1 2 3cos senx x xy c e c e x c e x

Rpta: 1 2 3cos senx x xy c e c e x c e x

62. 8 16 0viii ivy y y




2 2

8 4 2 2

8 16 0

8 16 2 2 2 2 0

viii ivy y y

P t t t t t t t

De donde: 1t i de multiplicidad 2; 1 ,t i de multiplicidad 2; 1 ,t i

de multiplicidad 2; 1 ,t i de multiplicidad 2.


1 2 3 4 5 6 7 8cos cos sen sen cos cos sen senx x x x x x x xy c e x c xe x c e x c xe x c e x c xe x c e x c xe x

Rpta:

1 2 3 4 5 6 7 8cos sen cos senx xy e c c x x c c x x e c c x x c c x x

63. 4 4 0iv iii iiy y y


24 3 2 2

4 4 0

4 4 2 0

iv iii iiy y y

P t t t t t t



1 2 3 4

x xy c c x c e c xe

Rpta: 2 2

1 2 3 4

x xy c c x c e c xe

64. 0iv iiy y


4 2 2

0

1 1 0

iv iiy y

P t t t t t t

De donde: 0,t de multiplicidad 2; 1, 1t t


1 2 3 4

x xy c c x c e c e

Rpta: 1 2 3 4

x xy c c x c e c e

65. 8 0ivy y


4 2 2

8 0

2 2 4 0

ivy y

P t t t t t t t



De donde: 0, 2, 1 3 , 1 3t t t i t i


1 2 3 4cos 3 sen 3x x xy c c e c e x c e x

Rpta: 2

1 2 3 4cos 3 sen 3x xy c c e e c x c x

66. 2 ''' 4 '' 2 ' 4 0y y y y


3 2

2 ''' 4 '' 2 ' 4 0

2 4 2 4 2 1 2 1 0

y y y y

P t t t t t t t



1 2 3

x x xy c e c e c e

Rpta: 2

1 2 3

x x xy c e c e c e

67. ''' 3 ' 0y y y


3 2

''' 3 ' 0

3 1 3 1 0

y y y

P t t t t t t

De donde: 3 13 3 13

0, ,2 2

t t t


2 2

1 2 3

x x

y c c e c e

Rpta:

3 13 3 13

2 2

1 2 3

x x

y c c e c e

68. 5 4 0iv iiy y y


4 2

5 4 0

5 4 1 1 2 2 0

iv iiy y y

P t t t t t t t

De donde: 1, 1, 2, 2t t t t Luego el sistema fundamental de soluciones:



2 2

1 2 3 4


Rpta: 2 2

1 2 3 4


69. '' 3 ''' 3 ' 0y y y y


2 2

'' 3 ''' 3 ' 0

3 3 1 1 3 1 1 0

y y y y

P t t t t t t t t

De donde: 1

0, 1, , 13

t t t t


31 2 3 4

x

x xy c c e c e c e

Rpta: 31 2 3 4

x

x xy c c e c e c e

70. 0viy y


6 4 2 2

0

1 1 1 0

viy y

P t t t t t

De donde: 3 3 3 3

, , , , ,2 2 2 2 2 2 2 2

i i i it i t i t t t t


2 21 2 3 4 5 6cos sen cos sen cos sen

2 2 2 2

x xx x x xy c x c x e c c e c c

Rpta: 3 3

2 21 2 3 4 5 6cos sen cos sen cos sen

2 2 2 2

x xx x x xy c x c x e c c e c c

71. 3 3 3 2 0v iv iii ii iy y y y y


5 4 3 2 2

3 3 3 2 0

3 3 3 2 1 2 1 0

v iv iii ii iy y y y y

P t t t t t t t t t t

De donde: 0, 1, 2, ,t t t t i t i




2


Rpta: 2


72. 0iii iy y


3 2

0

1 0

iii iy y

P t t t t t



1 2 3

1 2

3

2

1 2 3

cos sen ... 1

0 0

' 0 1

'' 0 1

1, 1, 1 ... 2

2 1

1 cos sen

y c c x c x

y c c

y c

y c

c c c

en

y x x

Rpta: 1 cos seny x x

73. 0iii ii iy y y y


3 2 2

0

1 1 1 0

iii ii iy y y y

P t t t t t t



1 2 3cos senxy c e c x c x

Rpta: 1 2 3cos senxy c e c x c x

74. 0iii iy y


3 2

0

1 0

iii iy y

P t t t t t





1 2 3cos seny c c x c x

Rpta: 1 2 3cos seny c c x c x

75. 0iii ii iy y y y


23 2

0

1 1 1 0

iii ii iy y y y

P t t t t t t

De donde: 1,t de multiplicidad 2; 1t


1 2 3

x x xy c e c xe c e

Rpta: 1 2 3

x xy c c x e c e

76. 6 12 8 0iii ii iy y y y


33 2

6 12 8 0

6 12 8 2 0

iii ii iy y y y

P t t t t t

De donde: 2,t de multiplicidad 3.


1 2 3

x x xy c e c xe c x e

Rpta: 2 2

1 2 3

xy c c x c x e

77. 6 11 6 0iii ii iy y y y


3 2

6 11 6 0

6 11 6 1 2 3 0

iii ii iy y y y

P t t t t t t t



1 2 3

x x xy c e c e c e

Rpta: 2 3

1 2 3

x x xy c e c e c e



78. 12 35 0ii iy y y


2

12 35 0

12 35 5 7 0

ii iy y y

P t t t t t

De donde: 5, 7t t


1 2

x xy c e c e

Rpta: 5 7

1 2

x xy c e c e

79. 8 42 104 169 0iv iii ii iy y y y y


2

4 3 2 2

8 42 104 169 0

8 42 104 169 4 13 0


P t t t t t t t

De donde: 2 3 ,t i de multiplicidad 2; 2 3 ,t i de multiplicidad 2;


2 2 2 2

1 2 3 4

2

1 2 3 4

cos3 cos3 sen 3 sen 3

cos3 sen 3

x x x x

x

y c e x c xe x c e x c xe x

y e c c x x c c x x

Rpta: 2

1 2 3 4cos3 sen3xy e c c x x c c x x

80. 9 30 25 0ii iy y y


22

9 30 25 0

9 30 25 3 5 0

ii iy y y

P t t t t

De donde: 5

,3

t de multiplicidad 2


3 31 2

x x

y c e c xe

Rpta: 5

31 2

x

y c c x e



81. 6 7 6 8 0iv iii ii iy y y y y


4 3 2

6 7 6 8 0

6 7 6 8 1 1 2 4 0


P t t t t t t t t t



1 2 3 4


Rpta: 2 4

1 2 3 4


82. ''' 4 ' 2 0y y y


2

'' 4 ' 2 0

4 2 0

y y y

P t t t

De donde: 2 2, 2 2t t


1 2

x xy c e c e

Rpta: 2 2 2 2

1 2

x xy c e c e

83. 2 3 6 0iii ii iy y y y


3 2 2

2 3 6 0

2 3 6 2 3 0

iii ii iy y y y

P t t t t t t



1 2 3cos 3 sen 3xy c e c x c x

Rpta: 2

1 2 3cos 3 sen 3xy c e c x c x

84. 4 5 4 4 0iv iii ii iy y y y y




2 24 3 2

4 5 4 4 0

4 5 4 4 2 1 0


P t t t t t t t

De donde: 2,t de multiplicidad 2; ,t i t i


1 2 3 4cos senx xy c e c xe c x c x

Rpta: 2 2

1 2 3 4cos senx xy c e c xe c x c x

85. ''' 9 ' 0y y


3 2

''' 9 ' 0

9 9 0

y y

P t t t t t



1 2 3cos3 sen3y c c x c x

Rpta: 1 2 3cos3 sen3y c c x c x

86. 13 36 0iv iiy y y


4 2

13 36 0

13 36 2 2 3 3 0

iv iiy y y

P t t t t t t t



1 2 3 4


Rpta: 2 2 3 3

1 2 3 4


87. 2 0iv iii iiy y y


24 3 2 2

2 0

2 1 0

iv iii iiy y y

P t t t t t t



1 2 3 4

x xy c c x c e c xe

Rpta: 1 2 3 4

x xy c c x c e c xe



88. 8 16iv iiy y y


2

4 2 2

8 16 0

8 16 4 0

iv iiy y y

P t t t t



2 2 2 2

1 2 3 4

2 2

1 2 3 4

x x x x

x x

y c e c xe c e c xe

y c c x e c c x e

Rpta: 2 2

1 2 3 4

x xy c c x e c c x e

89. ''' 13 ' 12 0y y y


3

''' 13 ' 12 0

13 12 1 3 4 0

y y y

P t t t t t t

De donde: 1, 3, 4,t t t


1 2 3

x x xy c e c e c e

Rpta: 3 4

1 2 3

x x xy c e c e c e

90. 0ivy y


4

0

1 0

ivy y

P t t

De donde: 1 1 1 1

, , ,2 2 2 2 2 2 2 2

i i i it t t t


2 2 2 21 2 3 4

2 21 2 3 4

cos sen cos sen2 2 2 2

cos sen cos sen2 2 2 2

x x x xx x

x xx x


x x x xy e c c e c c

Rpta: 2 21 2 3 4cos sen cos sen

2 2 2 2

x xx xx x x x

y e c c e c c



91. 64 48 12 0viii vi iv iiy y y y


3

8 6 4 2 2 2

64 48 12 0

64 48 12 4 1 0

viii vi iv iiy y y y

P t t t t t t t

De donde: 0,t de multiplicidad 2; ,2

it de multiplicidad 3; ,

2

it de

multiplicidad 3. Luego el sistema fundamental de soluciones:

2 2

1 2 3 4 5 6 7 8cos sen2 2

x xy c c x c c x c x c c x c x

Rpta: 2 2

1 2 3 4 5 6 7 8cos sen2 2

x xy c c x c c x c x c c x c x

92. 2

1 10

1 1.2 1

n

n n in n yn n

y y y y

RESOLUCIÓN

Rpta: y

93. ''' ', 0 2, ' 0 0, '' 0 1y y y y y


3

''' ' 0

1 1 0

y y

P t t t t t t



1 2 3 ... 1x xy c c e c e



1 2 3

2 3

2 3

1 2 3

0 2

' 0 0

'' 0 1

1 13, , ... 2

2 2

2 1

13

2

x x

y c c c

y c c

y c c

c c c

en

y e e

Rpta: 1

32

x xe e

94.

2

24 20 25 0

d x dxx

dt dt


2

2

22

4 20 25 0

4 20 25 2 5 0

d x dxx

dt dt

P z z z z

De donde: 5

,2

z de multiplicidad 2;


5 5

2 21 2

5

21 2

t t

t

y c e c te

y c c t e

Rpta: 5

21 2

t

y c c t e

95. 8 16 0vi iv iiy y y


2

6 4 2 2 2

8 16 0

8 16 4 0

vi iv iiy y y

P t t t t t t

De donde: 0t de multiplicidad 2; 2t i de multiplicidad 2; 2t i de multiplicidad 2. Luego el sistema fundamental de soluciones:

1 2 3 4 5 6cos2 sen 2y c c x c c x x c c x x

Rpta: 1 2 3 4 5 6cos2 sen 2y c c x c c x x c c x x



96. 8 5 4 0iv iii iiy y y y


4 3 2

8 5 4 0

8 5 4 0

iv iii iiy y y y

P t t t t

De donde: t Luego el sistema fundamental de soluciones: y

Rpta: y

97. 4 5 4 0vi iii ii iy y y y y


6 3 2 2 2

4 5 4 0

4 5 4 1 3 1 1 0

vi iii ii iy y y y y

P t t t t t t t t t

De donde: 3 5 3 5 1 3 1 3

, , ,2 2 2 2 2 2

t t t i t i


2 2 2 21 2 3 4

3 3cos sen

2 2

x xx x


Rpta:

3 5 3 5

2 2 2 21 2 3 4

3 3cos sen

2 2

x xx x


98. 4 4 0vi iv iiy y y


2

6 4 2 2 2

4 4 0

4 4 2 0

vi iv iiy y y

P t t t t t t

De donde: 0t de multiplicidad 2; 2t i de multiplicidad 2; 2t i de multiplicidad 2;



Luego el sistema fundamental de soluciones: 1 2 3 4 5 6cos 2 sen 2y c c x c c x x c c x x

Rpta: 1 2 3 4 5 6cos 2 sen 2y c c x c c x x c c x x

99. 2 4 8 0iii ii iy y y y


3 2 2

2 4 8 0

2 4 8 2 4 0

iii ii iy y y y

P t t t t t t t



1 2 3cos2 sen 2xy c e c x c x

Rpta: 2

1 2 3cos2 sen 2xy c e c x c x

100. ''' 2 '' 0, 0, 3, ' 0, '' 12y y cuando x y y y


3 2 2

''' 2 '' 0

2 2 0

y y

P t t t t t

De donde: 0t de multiplicidad 2; 2t Luego el sistema fundamental de soluciones:

2

1 2 3

1 3

1 3

3

1 2 3

2

... 1

0 3

' 0 2 0

'' 0 4 12

6, 6, 3 ... 2

2 1

6 6 3

x

x

y c c x c e

y c c

y c c

y c

c c c

en

y x e

Rpta: 26 6 3 xy x e



ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS

DE COEFICIENTES CONSTANTES

I. Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

1. 2

2

2

d y dyx

dx dx

RESOLUCIÓN

22

2

2


1 0

De donde: 0, 1

Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o

solución complement

d y dyx

dx dx

P t t t t t

t t

1 2

2 3 2

3 2 ' 2 ''

aria es:

De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:

De donde derivando la ecuación particular:

, 3 2 , 6 2

Reemplazando e

x

h

p

p p p

y c c e

y x Ax Bx C Ax Bx Cx

y Ax Bx Cx y Ax Bx C y Ax Bx

2 2

32

32

1 2

n la ecuación dada se tiene:

6 2 3 2

3 1 1/ 3

6 2 0 1

2 0 2

Luego 2 y la solución general es: 3

23

p h p

x

Ax B Ax Bx C x

A A

A B de donde B

B C C

xy x x y y y

xy c c e x x

Rpta: 3

2

1 2 23

x xy c c e x x

2. 2

24 5 5

d y dyy x

dx dx

RESOLUCIÓN



2

2

2


4 5 5

4 5 5 1 0

d y dyy x

dx dx

P t t t t t

5

1 2

De donde: 5, 1


solución complementaria es:


De dond

x x

h

p

t t

y c e c e

y Ax B

' ''

5

1

e derivando la ecuación particular:

, , 0

Reemplazando en la ecuación dada se tiene:

4 5 5 5

5 5 1

4 5 0 4 / 5

4Luego y la solución general es:

5

p p p

p h p

x

y Ax B y A y

A Ax B x

A Ade donde

A B B

y x y y y

y c e 2

4

5

xc e x

Rpta: 5

1 2

4

5

x xy c e c e x

3. 3

31

d y dyx

dx dx

RESOLUCIÓN



3

3

3


1

1 1 0

De donde: 0, 1, 1

Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución

co

d y dyx

dx dx

P t t t t t t

t t t

1 2 3

2

2 ' '' '''

mplementaria es:



, 2 , 2 , 0

Reemplazando e

x x

h

p

p p p p

y c c e c e

y x Ax B Ax Bx

y Ax Bx y Ax B y A y

n la ecuación dada se tiene:

2 1 Ax B x

2

2

1 2 3

2 1 1/ 2

1 1

Luego y la solución general es:2

2

p h p

x x

A Ade donde

B B

xy x y y y

xy c c e c e x

Rpta: 2

1 2 32

x x xy c c e c e x

4. 2

24 4 4 1

d y dyy x

dx dx

RESOLUCIÓN



2

2

22


4 4 4 4

4 4 2 0

De donde: 2 de multiplicidad 2

Luego la solución general de la ecuación diferencial homogéne

d y dyy x

dx dx

P t t t t

t

2 2

1 2

' ''

a o solución

complementaria es:



, , 0

Reemplazando en la ecua

x x

h

p

p p p

y c e c xe

y Ax B

y Ax B y A y

2 2

1 2

ción dada se tiene:

4 4 4 4 4

4 4 1

4 4 4 0

Luego y la solución general es:

p h p

x x

A Ax B x

A Ade donde

B A B

y x y y y

y c e c xe x

Rpta: 2

1 2

xy e c c x x

5. 2

2

22 2 2 1

d y dyy x

dx dx




22

2

2

1 2

2 2 2 4 2

2 2 0

De donde: 1 , 1


complementaria es:

cos sen

De acuerdo al 1er caso la solu

x

h

d y dyy x x

dx dx

P t t t

t i t i

y e c x c x

2

2 ' ''

2 2

ción particular es de la forma:


, 2 , 2


2 4 2 2 2 2 2 4 2

2 2

4 2 4

2 2

p

p p p

y Ax Bx C

y Ax Bx C y Ax B y A

A Ax B Ax Bx C x x

A

A B

A

2

2

1 2

1

0

2 2 1

Luego 1 y la solución general es:

cos sen 1

p h p

x

A

de donde B

B C C

y x y y y

y e c x c x x

Rpta: 2

1 2cos sen 1xy e c x c x x

6. 2''' '' ' 2 2y y y y x x

RESOLUCIÓN

2

3 2 2


''' '' ' 2 2

1 1 1 0

De donde: 1, ,

Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea

y y y y x x

P t t t t t t

t t i t i

1 2 3

2

2 ' '' ''

o solución

complementaria es:

cos sen



, 2 , 2 ,

x

h

p

p p p p

y c e c x c x

y Ax Bx C

y Ax Bx C y Ax B y A y '

2 2

0


2 2 2 2

A Ax B Ax Bx C x x



2

2

1 2 3

1 1

2 2 0

2 2 4

Luego 4, y la solución general es:

cos sen 4

p h p

x

A A

A B de donde B

A B C C

y x y y y

y c e c x c x x

Rpta: 2

1 2 3cos sen 4 xy c e c x c x x

7. 24 8 6 5 iv iiy y x

RESOLUCIÓN

2

4 2 2 2


4 48 40

4 4 0

De donde: 0 de multiplicidad 2, 2 , 2

Luego la solución general de la ecuación diferencial

iv iiy y x

P t t t t t

t t i t i

1 2 3 4

2 2 4 3 2

4

homogénea o solución

complementaria es:

cos 2 sen 2



h

p

p

y c c x c x c x


y Ax

3 2 ' 3 2 '' 2

'''

2 2

2 2

, 4 3 2 , 12 6 2 ,

24 6 , 24


24 48 24 8 48 40

48 48 1

24 0 0

24 8 40 2

Luego 2 , y la

p p

iv

p p

p

Bx Cx y Ax Bx Cx y Ax Bx C

y Ax B y A

A Ax Bx C x

A A

B de donde B

A C C

y x x

2 2

1 2 3 4

solución general es:

cos 2 sen 2 2

h py y y

y c c x c x c x x x

Rpta: 2 2

1 2 3 4cos2 sen 2 2 y c c x c x c x x x

8. ''' 3 '' 3 ' 2 2 y y y y x x

RESOLUCIÓN



33 2


''' 3 '' 3 ' 2 2

3 3 1 1 0


Luego la solución general de la ecuación diferencial ho

y y y y x x

P t t t t t

t

2

1 2 3

2

2 ' ''

mogénea o solución

complementaria es:



, 2 , 2 ,

x

h

p

p p p p

y e c c x c x

y Ax Bx C

y Ax Bx C y Ax B y A y

'''

2 2

2

2 2

1 2 3

0


6 6 3 4

1 1

6 0 6

3 6 4 8

Luego 6 8, y la solución general es:

6 8

p h p

x

A Ax B Ax Bx C x

A A

A B de donde B

B A C C

y x x y y y

y e c c x c x x x

Rpta: 2 2

1 2 3 6 8 xy e c c x c x x x

9. 22 '' 9 '3 ' 18 4 y y y y x x

RESOLUCIÓN

2

2


2 '' 9 '3 ' 18 4

2 9 4 4 2 1 0

De donde: 1/ 2, 4

Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o sol

y y y y x x

P t t t t t

t t

421 2

2

2 ' ''

ución

complementaria es:



, 2 , 2

x

x

h

p

p p p

y c e c e

y Ax Bx C




2 2

2

4 221 2


4 18 9 4 4 4 18 4

4 4 1

18 4 18 0

4 9 4 0 1


1

p h p

x

x

A Ax B Ax Bx C x x

A A

A B de donde B

A B C C

y x y y y

y c e c e x

Rpta: 4 221 2 1

x

xy c e c e x

10. 22 5 iv iiy y y x

RESOLUCIÓN

2

2 24 2


2 5

2 1 1 1 0

De donde: 1 de multiplicidad 2, 1 de multiplicidad 2

Luego la solución general de la ecuaci

iv iiy y y x

P t t t t t

t t

1 2 3 4

2

2

ón diferencial homogénea o solución

complementaria es:



x x

h

p

p

y e c c x e c c x

y Ax Bx C

y Ax Bx

' '' '''

2 2

2

1 2 3 4

, 2 , 2 , 0


4 5

1 1

0 0

4 5 1


iv

p p p p

p h p

x x

C y Ax B y A y y

A Ax Bx C x

A A

B de donde B

A C C

y x y y y

y e c c x e c c x 2 1 x

Rpta: 2

1 2 3 4 1 x xy e c c x e c c x x

11. 3 2 6 3 iv ii iy y y x x

RESOLUCIÓN



24 2


3 2 6 3

3 2 2 1 0

De donde: 0, 1 de multiplicidad 2, 2

Luego la solución general de la ecuación diferen

iv ii iy y y x x

P t t t t t t t

t t t

2

1 2 3 4

2 3 2

3

cial homogénea o solución

complementaria es:



x x

h

p

p

y c e c c x c e


y Ax B 2 ' 2 '' '''

2 2

3

, 3 2 , 6 , 6 , 0


18 3 6 2 6 18

6 6 1

18 2 18 0

3 0 0

Luego , y la solución general e

iv

p p p p

p

x Cx y Ax Bx C y Ax B y A y

Ax B Ax Bx C x x

A A

A B de donde B

B C C

y x

2 3

1 2 3 4

s:

h p

x x

y y y

y c e c c x c e x

Rpta: 2 3

1 2 3 4

x xy c e c c x c e x

12. 2

2

22 5 25 12

d y dyy x

dx dx

RESOLUCIÓN

22

2

2


2 5 25 12

2 5 0

De donde: 1 2 , 1 2

Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o soluci

d y dyy x

dx dx

P t t t

t i t i

ón

complementaria es:

1 2cos 2 sen 2


x

hy e c x c x



2

2 ' ''

2 2


, 2 , 2


2 4 2 5 5 5 25 12

5 25 5

4 5 0 4

2 2 5 12 2

p

p p p

y Ax Bx C


A Ax B Ax Bx C x

A A

A B de donde B

A B C C

2

2

1 2

Luego 5 4 2, y la solución general es:

cos 2 sen 2 5 4 2

p h p

x

y x x y y y

y e c x c x x x

Rpta: 2

1 2cos2 sen 2 5 4 2 xy e c x c x x x

13. 2

22 12 10

d y dyx

dx dx

RESOLUCIÓN

2

2

2


2 12 10

2 2 0

De donde: 0, 2


comp

d y dyx

dx dx

P t t t t t

t t

2

1 2

2

2 ' ''

lementaria es:



, 2 , 2

Reemplazando en la ecuación d

x

h

p

p p p

y c c e

y x Ax B Ax Bx

y Ax Bx y Ax B y A

2

2 2

1 2

ada se tiene:

2 4 2 12 10

4 12 3

2 2 10 2

Luego 3 2 , y la solución general es:

3 2

p h p

x

A Ax B x

A Ade donde

A B B

y x x y y y

y c c e x x

Rpta: 2 2

1 2 3 2 xy c c e x x



14. 2

22 2 , 0 0, ' 0 1

d y dyy x y y

dx dx

RESOLUCIÓN

2

2

2


2 2

2 1 2 0

De donde: 1, 2


co

d y dyy x

dx dx

P t t t t t

t t

2

1 2

' ''

mplementaria es:



, , 0

Reemplazando en la ecuación dada se tie

x x

h

p

p p p

y c e c e

y Ax B

y Ax B y A y

2

1 2

1 2

1 2

1 2

2

2

ne:

2 2 2

2 2 1

2 0 1/ 2

1Luego , y la solución general es:

2

1... 1

2

1' 0 0

2

'' 0 2 1 1

: 1, 1/ 2 ... 2

2 1

1

2 2

p h p

x x

xx

A Ax B x

A Ade donde

A B B

y x y y y

y c e c e x

y c c

y c c

Dedonde c c

en

c ey e x

Rpta: 2

2 1

2 2

x

x c ey e x

15. ''' 4 ' , 0 ' 0 0, '' 0 1 y y x y y y

RESOLUCIÓN



3 2


''' 4 '

4 4 0

De donde: 0, 2 , 2


compl

y y x

P t t t t t

t t i t i

1 2 3

2

2 ' '' '''

ementaria es:

cos 2 sen 2



, 2 , 2 , 0

Reemplazando

h

p

p p p p

y c c x c x

y x Ax B Ax Bx


2

2

1 2 3

1 2

3

2

1 2

en la ecuación dada se tiene:

8 4

8 1 1/ 8

4 0 0

Luego , y la solución general es: 8

cos 2 sen 2 ... 18

0 0

' 0 2 0

1'' 0 4 1

4

: 3 /16, 3 /16,

p h p

Ax B x

A Ade donde

B B

xy y y y

xy c c x c x

y c c

y c

y c

Dedonde c c

3

2

0 ... 2

2 1

31 cos 2

16 8

c

en

xy x

Rpta: 23

1 cos 216 8

x

y x

16. 2 3 4, 0 ' 0 0, '' 0 ''' 0 1 iv iiy y y x y y y y

RESOLUCIÓN

2

4 2 2


2 3 4

2 1 1 0

De donde: de multiplicidad 2, de multiplicidad 2

iv iiy y y x

P t t t t

t i t i



1 2 3 4


complementaria es:

cos sen


De donde deriva

h

p

y c c x x c c x x

y Ax B

' '' '''

1 2 3 4

ndo la ecuación particular:

, , 0


3 4

3 3

4 4


cos

iv

p p p p p

p h p

y Ax B y A y y y

Ax B x

A Ade donde

B B

y x y y y

y c c x x c c

1

2 3

1 4

2 3

1 2 3 4

sen 3 4 ... 1

0 4 0

' 0 3 0

'' 0 2 1

''' 0 3 1

: 4, 1, 4, 3 / 2 ... 2

2 1

34 cos 4 sen 3 4

2

x x x

y c

y c c

y c c

y c c

Dedonde c c c c

en

y x x x x x

Rpta: 3

4 cos 4 sen 3 42

y x x x x x

17. vi iiiy y x

RESOLUCIÓN

6 3 2 2


1 1 0

1 3 1 3De donde: 0 de multiplicidad 3, 1, ,

2 2 2 2

Luego la solución general de la ecuación di

vi iiiy y x

P t t t t t t t

t t t i t i

2 21 2 3 4 5 6

ferencial homogénea o solución

complementaria es:

3 3cos sen

2 2

x

x

hy c c x c x c e e c x c x



3 4 3

4 3 ' 3 2 '' 2 '''



, 4 3 , 12 6 , 24 6

24 , 0

Reemplaz

p

p p p p

iv v vi

p p p

y x Ax B Ax Bx

y Ax Bx y Ax Bx y Ax Bx y Ax B

y A y y

4

42 2

1 2 3 4 5 6

ando en la ecuación dada se tiene:

24 6

24 1 1/ 24

6 0 0


3 3cos sen

2 2 24

p h p

x

x

Ax B x

A Ade donde

B B

xy y y y

xy c c x c x c e e c x c x

Rpta: 4

2 21 2 3 4 5 6

3 3cos sen

2 2 24

x

x xy c c x c x c e e c x c x

18. '' 2 ' 3 9 y y y x

RESOLUCIÓN

2


'' 2 ' 3 9

2 3 0

De donde: 1 2 , 1 2


compl

y y y x

P t t t

t i t i

1 2

' ''

ementaria es:

cos 2 sen 2



, , 0

Reemplazando en la ecuación dada se

x

h

p

p p p

y e c x c x

y Ax B

y Ax B y A y

1 2

tiene:

2 3 3 9

3 9 3

2 3 0 2


cos 2 sen 2 3 2

p h p

x

A Ax B x

A Ade donde

A B B

y x y y y

y e c x c x x



Rpta: 1 2cos 2 sen 2 3 2 xy e c x c x x

19. 2'' ' 2 14 2 2 y y y x x x

RESOLUCIÓN

2

2


'' ' 2 14 2 2

2 1 2 0

De donde: 1, 2


y y y x x x

P t t t t t

t t

2

1 2

2

2 ' ''

complementaria es:



, 2 , 2

Reemplazando en la ecua

x x

h

p

p p p

y c e c e

y Ax Bx C


2 2

2

2 2

1 2

ción dada se tiene:

2 2 2 2 2 14 2 2

2 2 1

2 2 2 0

2 2 14 6


6

p h p

x x

A Ax B Ax Bx C x x x

A A

A B de donde B

A B C C

y x y y y

y c e c e x

Rpta: 2 2

1 2 6 x xy c e c e x

20. 2'' 2, 0 ' 0 2 y y x y y

RESOLUCIÓN

2

2


'' 2, 0 ' 0 2

1 0

De donde: ,


complemen

y y x y y

P t t

t i t i

1 2

taria es:

cos sen hy c x c x



2

2 ' ''

2 2



, 2 , 2


2

p

p p p

y Ax Bx C


A Ax Bx C x

2

2

1 2

1

2

1 2

2

2

1 1

0 0

2 2 0

Luego , y la solución general es:

cos sen ... 1

0 2

' 0 2

: 2, 2 ... 2

2 1

2 cos sen

p h p

A A

B de donde B

A C C

y x y y y

y c x c x x

y c

y c

De donde c c

en

y x x x

Rpta: 22 cos sen y x x x

21. 4 3 2'' ' 4 12 y y y x x x

RESOLUCIÓN

4 3 2

2


'' ' 4 12

1 0

1 3 1 3De donde: ,

2 2 2 2

Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o soluci

y y y x x x

P t t

t i t i

21 2

4 3 2

ón

complementaria es:

3 3cos sen

2 2


x

h

p

y e c x c x

y Ax Bx Cx Dx E

4 3 2 ' 3 2 '' 2


, 4 3 2 , 12 6 2 p p py Ax Bx Cx Dx E y Ax Bx Cx D y Ax Bx C



2 3 2 4 3 2 4 3 2

4


12 6 2 4 3 2 4 12

1 1

4 4 0

12 3 12 0

6 2 0 0

2 0 0

Luego , y la soluci

p

Ax Bx C Ax Bx Cx D Ax Bx Cx Dx E x x x

A A

A B B

A B C de donde C

B C D D

C D E E

y x

421 2

ón general es:

3 3cos sen

2 2

h p

x

y y y

y e c x c x x

Rpta: 421 2

3 3cos sen

2 2

x

y e c x c x x

22. 2''' 3 '' 3 ' 2 3 17 y y y y x x

RESOLUCIÓN

2

33 2


''' 3 '' 3 ' 2 3 17

3 3 1 1 0


Luego la solución general de la ecuación diferencial

y y y y x x

P t t t t t

t

2

1 2 3

2

2 ' ''

homogénea o solución

complementaria es:



, 2 , 2

x

h

p

p p p

y e c c x c x

y Ax Bx C


'''

2 2

2

2

1 2 3

, 0


6 6 3 2 3 17

2 2

6 3 9

6 3 17 2


p

p h p

x

y

A Ax B Ax Bx C x x

A A

A B de donde B

A B C C

y x x y y y

y e c c x c x x2 9 2 x

Rpta: 2 2

1 2 3 9 2 xy e c c x c x x x



23. 2'' 6 ' 9 2 3 y y y x x

RESOLUCIÓN

2

22


'' 6 ' 9 2 3

6 9 3 0



y y y x x

P t t t t

t

3

1 2

2

2 ' ''

o solución

complementaria es:



, 2 , 2

Reemplazando en

x

h

p

p p p

y e c c x

y Ax Bx C


2 2

2

3 2

1 2

la ecuación dada se tiene:

2 12 6 9 9 9 2 3

9 2 2 / 9

12 9 1 5 / 27

2 6 9 3 11/ 27

2 5 11Luego , y la solución general es:

9 27 27

2 5 11

9 27 27

p h p

x

A Ax B Ax Bx C x x

A A

A B de donde B

A B C C

y x y y y

y e c c x x

Rpta: 3 2

1 2

2 5 11

9 27 27 xy e c c x x

24. '' 4 ' 5 1 y y y

RESOLUCIÓN

2


'' 4 ' 5 1

4 5 1 5 0

De donde: 1, 5


comple

y y y

P t t t t t

t t

5

1 2

mentaria es:

x x

hy c e c e


py A



' ''

5

1 2


, 0, 0


5 1

5 1 1/ 5


5

1

5

p p p

p h p

x x

y A y y

A

A de donde A

y y y y

y c e c e

Rpta: 5

1 2 0.2 x xy c e c e

25. ''' 4 '' 5 ' 2 2 3 y y y y x

RESOLUCIÓN

23 2


''' 4 '' 5 ' 2 2 3

4 5 2 2 1 0

De donde: 1 de multiplicidad 2, 2

Luego la solución general de la ecuación diferenc

y y y y x

P t t t t t t

t t

2

1 2 3

' '' '''

ial homogénea o solución

complementaria es:



, , 0

Ree

x x

h

p

p p p p

y e c c x c e

y Ax B

y Ax B y A y y

2

1 2 3

mplazando en la ecuación dada se tiene:

5 2 2 2 3

2 2 1

5 2 3 4


4

p h p

x x

A Ax B x

A Ade donde

A B B

y x y y y

y e c c x c e x

Rpta: 2

1 2 3 4 x xy e c c x c e x

26. 2 1 v iiiy y x

RESOLUCIÓN



2

5 3 3 2


1

1 0

De donde: 0 de multiplicidad 3, ,

Luego la solución general de la ecuación diferencial homogén

v iiiy y x

P t t t t t

t t i t i

2

1 2 3 4 5

3 2 5 4 3

5 4

ea o solución

complementaria es:

cos sen



h

p

p

y c c x c x c x c x


y Ax Bx 3 ' 4 3 2 '' 3 2

''' 2

2 2

, 5 4 3 , 20 12 6

60 24 6 , 120 24 , 120


120 60 24 6 1

60 1 1/ 60

24 0 0

120 6 1 1/ 2

p p

iv v

p p p

Cx y Ax Bx Cx y Ax Bx Cx


A Ax Bx C x

A A

B de donde B

A C C

5 3

5 32

1 2 3 4 5

Luego , y la solución general es: 60 2

cos sen60 2

p h p

x xy y y y

x xy c c x c x c x c x

Rpta: 5 3

2

1 2 3 4 5cos sen60 2

x x

y c c x c x c x c x

27. ''' ' 3 2 y y x

RESOLUCIÓN

3


''' ' 3 2

1 1 0

De donde: 0, 1, 1


comp

y y x

P t t t t t t

t t t

1 2 3

lementaria es:

x x

hy c c e c e

2


py x Ax B Ax Bx



2 ' '' '''

2


, 2 , 2 , 0


2 6 3

2 3 3/ 2

6 6

3Luego 6, y la solución general

2

p p p p

p


Ax B x

A Ade donde

B B

y x

2

1 2 3

1 2 3

2 3

2 3

1 2 3

2

3

es:

36 ... 1

2

0 1

' 0 6 1

'' 0 3 1

: 3, 5 / 2, 9 / 2 ... 2

2 1

5 9 33 6

2 2 2

h p

x x

x x

y y y

y c c e c e x x

y c c c

y c c

y c c

De donde c c c

en

y e c e x x

Rpta: 2

3

5 9 33 6

2 2 2

x xy e c e x x

28. ''' ' y y x

RESOLUCIÓN

3


''' '

1 1 0

De donde: 0, 1, 1


complem

y y x

P t t t t t t

t t t

1 2 3

2

2 ' '' '''

entaria es:



, 2 , 2 , 0

x x

h

p

p p p p

y c c e c e

y x Ax B Ax Bx



2

2 1 1/ 2

0 0

Ax B x

A Ade donde

B B



2

2

1 2 3


2

p h p

x x

xy y y y

xy c c e c e

Rpta: 2

1 2 32

x x xy c c e c e

29. '' 2 ' 2 y y y

RESOLUCIÓN

22


'' 2 ' 2

2 1 1 0


Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solu

y y y

P t t t t

t

1 2

' ''

ción

complementaria es:



, 0, 0

Reemplazando en la ecuación dada se tiene

x

h

p

p p p

y e c c x

y A

y A y y

1 2

:

2

2 2


2

p h p

x

A

A de donde A

y y y y

y e c c x

Rpta: 1 2 2 xy e c c x

30. '' 9 9 0 y y

RESOLUCIÓN

2


'' 9 9 0

9 0

De donde: 3 , 3

y y

P t t

t i t i



1 2


complementaria es:

cos3 sen 3


De donde derivando la ec

h

p

y c x c x

y A

' ''

1 2

uación particular:

, 0, 0


9 9 0

9 9 0 1


cos3 sen 3 1

p p p

p h p

y A y y

A

A de donde A

y y y y

y c x c x

Rpta: 1 2cos3 sen3 1 y c x c x

31. ''' '' 1 y y

RESOLUCIÓN

3 2 2


''' '' 1

1 0


Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o so

y y

P t t t t t

t t

1 2 3

2 2

2 ' '' '''

lución

complementaria es:



, 2 , 2 , 0

Reemplazando en

x

h

p

p p p p

y c c x c e

y x A Ax

y Ax y Ax y A y

2

2

1 2 3

la ecuación dada se tiene:

2 1

2 1 1/ 2


2

p h p

x

A

A de donde A

xy y y y

xy c c x c e

Rpta: 2

1 2 32

x xy c c x c e



32. 5 ''' 7 '' 3 0 y y

RESOLUCIÓN

3 2 2


5 ''' 7 '' 3 0

5 7 5 7 0

7De donde: 0 de multiplicidad 2,

5


y y

P t t t t t

t t

7

51 2 3

2 2

2 ' '' '''

ea o solución

complementaria es:



, 2 , 2 , 0

Reemplaz

x

h

p

p p p p

y c c x c e

y x A Ax

y Ax y Ax y A y

2

7

251 2 3

ando en la ecuación dada se tiene:

14 3 0

14 3 0 3/14


14

3

14

p h p

x

A

A de donde A

y x y y y

y c c x c e x

Rpta: 7

251 2 3

3

14

x

y c c x c e x

33. 6 6 0 iv iiiy y

RESOLUCIÓN

4 3 3


6 6 0

6 6 6 0



iv iiiy y

P t t t t t

t t

2 6

1 2 3 4

o solución

complementaria es:

x

hy c c x c x c e



3 3

3 ' 2 '' '''



, 3 , 6 , 6 , 0


36

p

iv

p p p p p

y x A Ax

y Ax y Ax y Ax y A y

A

3

32 6

1 2 3 4

6 0

36 6 0 1/ 6


6

p h p

x

A de donde A

xy y y y

xy c c x c x c e

Rpta: 3

2 6

1 2 3 46

x xy c c x c x c e

34. 3 2 iv iiiy y

RESOLUCIÓN

4 3 3


3 2

3 3 1 0

De donde: 0 de multiplicidad 3, 1/ 3


iv iiiy y

P t t t t t

t t

2 31 2 3 4

3 3

3 ' 2 '' '''

o solución

complementaria es:



, 3 , 6 , 6 ,

x

h

p

p p p p

y c c x c x c e

y x A Ax

y Ax y Ax y Ax y A y

3

32 3

1 2 3 4

0


6 2

6 2 1/ 3


3

iv

p

p h p

x

A

A de donde A

xy y y y

xy c c x c x c e

Rpta: 3

2 31 2 3 4

3

x

xy c c x c x c e



35. 2 2 1 iv iii iy y y y

RESOLUCIÓN

24 3 2


2 2 1

2 2 1 1 1 0


Luego la solución general de la ecuación difere

iv iii iy y y y

P t t t t t t

t t i t i

1 2 3 4

' '' ''

ncial homogénea o solución

complementaria es:

cos sen



, 0, 0,

x

h

p

p p p p

y e c c x c x c x

y A

y A y y y

'

1 2 3 4

0, 0


1

1 1


cos sen 1

iv

p

p h p

x

y

A

A de donde A

y y y y

y e c c x c x c x

Rpta: 1 2 3 4cos sen 1 xy e c c x c x c x

36. '' 2 ' 2 1 y y y x

RESOLUCIÓN

2


'' 2 ' 2 1

2 2 0

De donde: 1 , 1


comple

y y y x

P t t t

t i t i

1 2

' ''

mentaria es:

cos sen



, , 0

x

h

p

p p p

y e c x c x

y Ax B

y Ax B y A y



1 2


2 2 2 1

2 1 1/ 2

2 2 1 0


cos sen2

p h p

x

A Ax B x

A Ade donde

A B B

xy y y y

xy e c x c x

Rpta: 1 2cos sen2

x xy e c x c x

37. ''7 ' 14 y y x

RESOLUCIÓN

''

2


7 ' 14

7 7 1 0

1De donde: 0,

7


complement

y y x

P t t t t t

t t

71 2

2

2 ' ''

aria es:



, 2 , 2


x

h

p

p p p

y c c e

y x Ax B Ax Bx

y Ax Bx y Ax B y A

2

271 2

tiene:

2 2 14

2 14 7

2 0 14

Luego 7 14 , y la solución general es:

7 14

p h p

x

A Ax B x

A Ade donde

A B B

y x x y y y

y c c e x x

Rpta: 271 2 7 14

x

y c c e x x

38. 2''' '' ' y y y x x

RESOLUCIÓN



2

3 2 2


''' '' '

1 1 0

1 3 1 3De donde: 0, ,

2 2 2 2


y y y x x

P t t t t t t

t t i t i

21 2 3

2 3 2

3

o solución

complementaria es:

3 3cos sen

2 2



x

h

p

p

y c e c x c x


y Ax Bx2 ' 2 '' '''

2 2

32

, 3 2 , 6 2 , 6


6 6 2 3 2

3 1 1/ 3

6 2 1 3/ 2

6 2 0 1

3Luego , y la solución general

3 2

p p p

p

Cx y Ax Bx C y Ax B y A

A Ax B Ax Bx C x x

A A

A B de donde B

A B C C

xy x x

322

1 2 3

es:

3 3 3cos sen

2 2 3 2

h p

x

y y y

xy c e c x c x x x

Rpta: 3

221 2 3

3 3 3cos sen

2 2 3 2

xx

c e c x c x x x

39. 2'' 4 ' 4 y y y x

RESOLUCIÓN

2

22


'' 4 ' 4

4 4 2 0


Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o so

y y y x

P t t t t

t

2

1 2

lución

complementaria es:

x

hy e c c x



2

2 ' ''

2



, 2 , 2


2 8 4 4

p

p p p

y Ax Bx C


A Ax B Ax

2

2

22

1 2

4 4

4 1 1/ 4

8 4 0 1/ 2

2 42 4 0 3/ 8


4 2 8

3

4 2 8

p h p

x

Bx C x

A A

A B de donde B

A B C C

x xy y y y

x xy e c c x

Rpta: 2

2

1 2

3

4 2 8 x x x

y e c c x

40. '' 4 ' 8 y y x

RESOLUCIÓN

2


'' 4 ' 8

8 8 0

De donde: 0, 8


complementar

y y x

P t t t t t

t t

8

1 2

2

2 ' ''

ia es:



, 2 , 2


x

h

p

p p p

y c c e

y x Ax B Ax Bx

y Ax Bx y Ax B y A

2

28

1 2

tiene:

2 16 8 8

16 8 1/ 2

2 8 0 1/ 8


2 8

p h p

x

A Ax B x

A Ade donde

A B B

x xy y y y

x xy c c e



Rpta: 2

8

1 22 8

x x xy c c e

41. 3'' 2 ' y y y x

RESOLUCIÓN

3

22


'' 2 '

2 1 1 0


Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solu

y y y x

P t t t t

t

1 2

3 2

3 2 ' 2 ''

ción

complementaria es:



, 3 2 , 6 2

Reemp

x

h

p

p p p

y e c c x

y Ax Bx Cx D

y Ax Bx Cx D y Ax Bx C y Ax B

2 3 2 3

3 2

1 2

lazando en la ecuación dada se tiene:

6 2 6 4 2

1 1

6 0 6

6 4 0 18

2 2 0 24


p h p

x

Ax B Ax Bx C Ax Bx Cx D x

A A

A B Bde donde

A B C C

B C D D

y x x x y y y

y e c c 3 26 18 24 x x x x

Rpta: 3 2

1 2 6 18 24 xy e c c x x x x

42. 2 iv iiy y x x

RESOLUCIÓN

2

4 2 2 2


1 0


iv iiy y x x

P t t t t t

t t i t i



1 2 3 4

2 2 4 3


complementaria es:

cos sen


h

p

y c c x c x c x

y x Ax Bx C Ax Bx C 2

4 3 2 ' 3 2 '' 2

'''

2 2


, 4 3 2 , 12 6 2 ,

24 6 , 24


24 12 6 2

12 1

6 1

24 2 0

p p p

iv

p p

x

y Ax Bx Cx y Ax Bx Cx y Ax Bx C

y Ax B y A

A Ax Bx C x x

A

A

A C

4 32

4 32

1 2 3 4

1/12

1/ 6

1


cos sen12 6

p h p

A

de donde B

C

x xy x y y y

x xy c c x c x c x x

Rpta: 4 3

2

1 2 3 4cos sen12 6

x x

c c x c x c x x

43. 2 4 1'' 6 ' 9 3, 0 , ' 0

3 27 y y y x x y y

RESOLUCIÓN

2

22


'' 6 ' 9 3

6 9 3 0



y y y x x

P t t t t

t

3

1 2

2

2 ' ''

solución

complementaria es:



, 2 , 2

x

h

p

p p p

y e c c x

y Ax Bx C




2 2

2

23

1 2


2 12 6 9 9 9 3

9 1 1/ 9

12 9 1 1/ 27

2 6 9 3 1/ 3


9 27 3

9 27

p h p

x

A A B Ax Bx C x x

A A

A B de donde B

A B C C

x xy y y y

x xy e c c x

1

1 2

1 2

23

1... 1

3

40

3

1 1' 0 3

27 27

: 4 / 3, 4 ... 2

2 1

1 14

3 9 27 3

x

y c

y c c

Dedonde c c

en

x xy e x

Rpta: 2

3 1 14

3 9 27 3

x x xy e x

44. ''' 2 y y x

RESOLUCIÓN

3 2


''' 2

1 1 0

1 3 1 3De donde: 1, ,

2 2 2 2


y y x

P t t t t t t

t t i t i

21 2 3

' '' '''

ución

complementaria es:

3 3cos sen

2 2



, , 0,

x

x

h

p

p p p p

y c e e c x c x

y Ax B

y Ax B y A y y 0



21 2 3

1 2

1 2 3


2 2

2 2

2 0 0

Luego 2 , y la solución general es:

3 3cos sen 2 ... 1

2 2

0 0

3' 0 2 0

2

'' 0

p h p

x

x

Ax B x

A Ade donde

B B

y x y y y

y c e e c x c x x

y c c

y c c c

y c

1 2 3 3 2

1 2 3

1 1 3 32

4 2 2 4

4: 0, 0, ... 2

3

2 1

4 3sen 2

23

c c c c

Dedonde c c c

en

y x x

Rpta: 4 3

sen 223

y x x

45. 2'' 4 ' 4 y y y x

RESOLUCIÓN

2

22


'' 4 ' 4

4 4 2 0



y y y x

P t t t t

t

2

1 2

2

2 ' ''

ución

complementaria es:



, 2 , 2

Reemplazando en la e

x

h

p

p p p

y e c c x

y Ax Bx C


2 2

cuación dada se tiene:

2 8 4 4 4 4 A Ax B Ax Bx C x



2

22

1 2

4 1 1/ 4

8 4 0 1/ 2

2 4 4 0 3/ 8


4 2 8

3

4 2 8

p h p

x

A A

A B de donde B

A B C C

x xy y y y

x xy e c c x

Rpta: 2 2

1 2

12 4 3

8 xy e c c x x x

46. 3'' ' 6 y y y x

RESOLUCIÓN

3

2


'' ' 6

1 0

1 3 1 3De donde: ,

2 2 2 2


comp

y y y x

P t t t

t i t i

21 2

3 2

3 2 ' 2 ''

lementaria es:

3 3cos sen

2 2



, 3 2 ,

x

h

p

p p p

y e c x c x

y Ax Bx Cx D

y Ax Bx Cx D y Ax Bx C y

2 3 2 3

3 2

21

6 2


6 2 3 2 6

1 1

3 0 3

6 2 0 0

2 6 0

Luego 3 , y la solución general es:

p h p

x

Ax B

Ax B Ax Bx C Ax Bx Cx D x

A A

A B Bde donde

A B C C

B C D D

y x x y y y

y e c 3 2

2

3 3cos sen 3

2 2

x c x x x

Rpta: 3 221 2

3 3cos sen 3

2 2

x

y e c x c x x x



47. 2'' 2 , 0 2, ' 0 0 y y x y y

RESOLUCIÓN

2

2


'' 2

1 1 1 0

De donde: 1, 1


complementa

y y x

P t t t t

t t

1 2

2

2 ' ''

ria es:



, 2 , 2


x x

h

p

p p p

y c e c e

y Ax Bx C


2 2

tiene:

2 2 A Ax Bx C x

2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2 2

1 1

0 0

2 2 0

Luego , y la solución general es:

... 1

0 2

' 0 1 0

: 1/ 2, 3 / 2 ... 2

2 1

3

2 2

p h p

x x

xx

A Ax Bx C x

A A

B de donde B

A C C

y x y y y

y c e c e x

y c c

y c c

Dedonde c c

en

ey e x

Rpta: 3

2 2

x

xey e x

48. 4 2'' 6 ' 10 2 2 y y y x x

RESOLUCIÓN

4 2


'' 6 ' 10 2 2 y y y x x



2

3

1 2

6 10 0

De donde: 3 , 3


complementaria es:

cos sen

De acuerdo al 1er caso la solución particular es de

x

h

P t t t

t i t i

y e c x c x

4 3 2

4 3 2 ' 3 2 '' 2

2 3 2

la forma:


, 4 3 2 , 12 6 2


12 6 2 24 18 12

p

p p p

y Ax Bx Cx Dx E

y Ax Bx Cx Dx E y Ax Bx Cx D y Ax Bx C

Ax Bx C Ax Bx Cx 4 3

2 4 2

43 2

6 10 10

10 10 10 2 2

10 1 1/10

24 10 0 6 / 25

12 18 10 2 64 /125

6 12 10 0 294 / 625

2 6 10 2 1187 / 3125

6 64 294 1187Luego ,

10 25 125 625 3125

p

D Ax Bx

Cx Dx E x x

A A

A B B

A B C de donde C

B C D D

C D E E

xy x x x

4

3 3 2

1 2

y la solución general es:

6 64 294 1187cos sen

10 25 125 625 3125

h p

x

y y y

xy e c x c x x x x

Rpta: 4

3 3 2

1 2

6 64 294 1187cos sen

10 25 125 625 3125

x xy e c x c x x x x

49. 4 3 2''' 3 '' 3 ' 4 10 20 1 y y y y x x x x

RESOLUCIÓN

4 3 2

33 2


''' 3 '' 3 ' 4 10 20 1

3 3 1 1 0

De donde: 1 de mutiplicidad 3

Luego la solución general de la ecuación dif

y y y y x x x x

P t t t t t

t

2

1 2 3

erencial homogénea o solución

complementaria es:

x

hy e c c x c x

4 3 2


py Ax Bx Cx Dx E



4 3 2 ' 3 2 '' 2

''

2 3 2

4


, 4 3 2 , 12 6 2 ,

24 6


24 6 36 18 6 12 9 6 3

p p p

p

y Ax Bx Cx Dx E y Ax Bx Cx D y Ax Bx C

y Ax B

Ax B Ax Bx C Ax Bx Cx D

Ax Bx3 2 4 3 2

4 3 2

1 2

4 10 20 1

1 1

12 9 4 8

36 9 10 46

24 18 6 20 136

6 6 3 1 181

Luego 8 46 136 181, y la solución general es:

p h p

x

Cx Dx E x x x x

A A

A B B

A B C de donde C

A B C D D

B C DD E E

y x x x x y y y

y e c c x 2 4 3 2

3 8 46 136 181 c x x x x x

Rpta: 2 4 3 2

1 2 3 8 46 136 181 xy e c c x c x x x x x





II. Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales:

1. '' 7 ' 12 xy y y e

RESOLUCIÓN

2


'' 7 ' 12

7 12 3 4 0

De donde: 3, 4


solución com

xy y y e

P t t t t t

t t

3 4

1 2

4 4

4 ' 4 4 '' 4 4

plementaria es:

De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:


, 4 , 16 8

Reemplazan

x x

h

x x

p

x x x x x

p p p

y c e c e

y x A e Axe

y Axe y Axe Ae y Axe Ae

4 4 4 4 4 4

4

3 4 4

1 2

do en la ecuación dada se tiene:

16 8 28 7 12

1 1


x x x x x x

x

p h p

x x x

Axe Ae Axe Ae Axe e

A de donde A

y xe y y y

y c e c e xe

Rpta: 3 4 4

1 2 x x xy c e c e xe

2. '' 2 ' 2 xy y y e

RESOLUCIÓN

22


'' 2 ' 2

2 1 1 0



sol

xy y y e

P t t t t

t

1 2

ución complementaria es:

x

hy e c c x



2 2 4

2 4 ' 2 '' 2



, 2 , 4 2

Reemplazando en la ecuación dada s

x x

p

x x x x x x

p p p

y x A e Ax e

y Ax e y Ax e Axe y Ax e Axe Ae

2 2 2 4

2

2

1 2

e tiene:

4 2 2 4 2

2 2 1


x x x x x x x

x

p h p

x x

Ax e Axe Ae Ax e Axe Ax e e

A de donde A

y x e y y y

y e c c x x e

Rpta: 2

1 2 x xy e c c x x e

3. '' xy xe y

RESOLUCIÓN

2


'' ''

1 1 1 0

De donde: 1, 1


solución co

x xy xe y y y xe

P t t t t

t t

1 2

2

2 ' 2

''

mplementaria es:



, 2 ,

x x

h

x x x

p

x x x x x x

p p

p

y c e c e

y x Ax B e Ax e Bxe

y Ax e Bxe y Ax e Axe Bxe Be

y Ax

2

2 2

2

1 2

4 2 2


4 2 2

4 1 1/ 4

2 2 0 1/ 4

Luego y la solución general es: 4

x x x x x

x x x x x x x x

x

p h p

x

e Axe Ae Bxe Be

Ax e Axe Ae Bxe Be Ax e Bxe xe

A Ade donde

A B B

x xy e y y y

y c e c 2

4

x xx x

e e

Rpta: 2

1 24

x x xx x

y c e c e e



4. 2'' 4 ' 4 xy y y xe

RESOLUCIÓN

2

22


'' ' 4

4 4 2 0



so

xy y y xe

P t t t t

t

2

1 2

2 2 3 2 2 2

3 2 2 2 ' 3 2 2

lución complementaria es:



, 2 3

x

h

x x x

p

x x x

p p

y e c c x

y x Ax B e Ax e Bx e

y Ax e Bx e y Ax e Ax 2 2 2 2

'' 3 2 2 2 2 2 2 2 2

3 2 2 2 2 2 2 2 2

3 2 2 2 2 2 2 3 2 2

2 2 ,

4 12 6 4 8 2


4 12 6 4 8 2

8 12 8 8 4 4

x x x

x x x x x x

p

x x x x x x

x x x x x

e Bx e Bxe

y Ax e Ax e Axe Bx e Bxe Be

Ax e Ax e Axe Bx e Bxe Be

Ax e Ax e Bx e Bxe Ax e Bx

2 2

3 2

3 22

1 2

6 1 1/ 6

2 0 0


6

x x

x

p h p

xx

e xe

A Ade donde

B B

x ey y y y

x ey e c c x

Rpta: 3 2

2

1 26

x

x x ey e c c x

5. '' 6 ' 9 xy y y e

RESOLUCIÓN



22


'' 6 ' 9

6 9 3 0



sol

xy y y e

P t t t t

t

3

1 2

ución complementaria es:

x

hy e c c x

' ''



, ,


6 9

4 1

x

p

x x x

p p p

x x x x

y Ae

y Ae y Ae y Ae

Ae Ae Ae e

A de do

3

1 2

1/ 4


4

x

p h p

xx

nde A

ey y y y

ey e c c x

Rpta: 3

1 24

x

x ey e c c x

6. '' 3 ' 4 30 xy y y e

RESOLUCIÓN



2


'' 3 ' 4 30

3 4 4 1 0

De donde: 4, 1


solución com

xy y y e

P t t t t t

t t

4

1 2

' ''

plementaria es:



, ,

Reemplazando en la ecuación dada se ti

x x

h

x

p

x x x

p p p

y c e c e

y Ae

y Ae y Ae y Ae

4

1 2

ene:

3 4 30

6 30 5


5

x x x x

x

p h p

x x x

Ae Ae Ae e

A de donde A

y e y y y

y c e c e e

Rpta: 4

1 2 5 x x xy c e c e e

7. 4'' 3 ' 4 30 xy y y e

RESOLUCIÓN



4

2


'' 3 ' 4 30

3 4 4 1 0

De donde: 4, 1


solución co

xy y y e

P t t t t t

t t

4

1 2

4 4

4 ' 4 4 '' 4

mplementaria es:



, 4 , 16 8

Reemplazan

x x

h

x x

p

x x x x x

p p p

y c e c e

y x A e Axe


4 4 4 4

4

4

1 2

do en la ecuación dada se tiene:

16 8 12 3 4 3

5 30 6


6

x x x x x

x

p h p

x x

Axe Ae Axe Ae Axe

A de donde A

y xe y y y

y e c x c e

Rpta: 4

1 26 x xy e c x c e

8. '' 8 xy y xe

RESOLUCIÓN

2


'' 8

1 1 1 0

De donde: 1, 1


solución complementa

xy y xe

P t t t t

t t

1 2

2

ria es:


x x

h

x x x

p

y c e c e

y x Ax B e Ax e Bxe



2 ' 2

'' 2

2 2


, 2 ,

4 2 2


4 2 2 8

4

x x x x x x

p p

x x x x x

p

x x x x x x x x

y Ax e Bxe y Ax e Axe Bxe Be

y Ax e Axe Ae Bxe Be

Ax e Axe Ae Bxe Be Ax e Bxe xe

A

2

2

1 2

8 2

2 2 0 2

Luego 2 2 y la solución general es:

2 2

x x

p h p

x x x x

Ade donde

A B B

y x e xe y y y

y c e c e x e xe

Rpta: 2

1 2 2 2 x x x xy c e c e x e xe

9. iv xy y e

RESOLUCIÓN

4 2


1 1 1 1 0

De donde: 1, 1, ,


solución

iv xy y e

P t t t t t

t t t i t i

1 2 3 4

' ''

complementaria es:

cos sen



, ,

x x

h

x x

p

x x x x

p p p

y c e c e c x c x

y x A e Axe

y Axe y Axe Ae y Axe

'''

1 2 3 4

2 , 3

4


4

4 1 1/ 4


4

1cos sen

4

x x x

p

iv x x

p

x x x x

x

p h p

x x

Ae y Axe Ae

y Axe Ae

Axe Ae Axe e

A de donde A

y xe y y y

y c e c e c x c x x xe

Rpta: 1 2 3 4

1cos sen

4

x x xy c e c e c x c x xe



10. 2'' 10 xy y e

RESOLUCIÓN

2

2


'' 10

1 0

De donde: ,


solución complementaria es

xy y e

P t t

t i t i

1 2

2

2 ' 2 '' 2

:

cos sen



, 2 , 4


4

h

x

p

x x x

p p p

y c x c x

y Ae

y Ae y Ae y Ae

2 2 2

2

2

1 2

1

2

1 2

2

10

5 10 2


cos sen 2 ... 1

0 2 0

' 0 4 0

: 2, 4 ... 2

2 1

2 cos 2sen

x x x

x

p h p

x

x

Ae Ae e

A de donde A

y e y y y

y c x c x e

y c

y c

Dedonde c c

en

y e x x

Rpta: 22 cos 2sen xy e x x

11. 4'' 3 ' 10 6 xy y y e

RESOLUCIÓN

4

2


'' 3 ' 10 6

3 10 2 5 0

De donde: 2, 5

xy y y e

P t t t t t

t t



2 5

1 2

4




De donde derivando la ec

x x

h

x

p

y c e c e

y Ae

4 ' 4 '' 4

4 4 4 4

4

42 5

1 2

uación particular:

, 4 , 16


16 12 10 6

18 6 1/ 3


3

x x x

p p p

x x x x

x

p h p

xx x

y Ae y Ae y Ae

Ae Ae Ae e

A de donde A

ey y y y

ey c e c e

Rpta: 4

2 5

1 23

x

x x ey c e c e

12. 5'' 10 ' 25 14 xy y y e

RESOLUCIÓN

5

22


'' 10 ' 25 14

10 25 5 0


Luego la solución general de la ecuación diferencial homogé

xy y y e

P t t t t

t

5

1 2

2 5 2 5

2 5 ' 2 5 5

nea o




, 5 2

x

h

x x

p

x x x

p p

y e c c x

y x A e Ax e

y Ax e y Ax e Axe

'' 2 5 5 5

2 5 5 5 2 5 5 2 5 5

2 5

, 25 20 2


25 20 2 50 20 25 14

2 14 7


x x x

p

x x x x x x x

x

p h p

y Ax e Axe Ae

Ax e Axe Ae Ax e Axe Ax e e

A de donde A

y x e y y y

y 5 2 5

1 2 7 x xe c c x x e



Rpta: 4

2 5

1 23

x

x x ey c e c e

13. 2'' ' 6 20 xy y y e

RESOLUCIÓN

2

2


'' ' 6 20

6 3 2 0

De donde: 3, 2


solución com

xy y y e

P t t t t t

t t

3 2

1 2

2 2

2 ' 2 2 '' 2 2

plementaria es:



, 2 , 4 4

Re

x x

h

x x

p

x x x x x

p p p

y c e c e

y x A e Axe


2 2 2 2 2 2

2

3 2 2

1 2

emplazando en la ecuación dada se tiene:

4 4 2 6 20

5 20 4


4

x x x x x x

x

p h p

x x x

Axe Ae Axe Ae Axe e

A de donde A

y xe y y y

y c e c e xe

Rpta: 3 2 2

1 2 4 x x xy c e c e xe

14. 22 '' 4 ' 6 3 xy y y e

RESOLUCIÓN

2

2


2 '' 4 ' 6 3

2 4 6 2 6 1 0

De donde: 3, 1


solución

xy y y e

P t t t t t

t t

3

1 2

2

complementaria es:


x x

h

x

p

y c e c e

y Ae



2 ' 2 '' 2

2 2 2 2

2


, 2 , 4


8 8 6 3

6 3 1/ 2


2

x x x

p p p

x x x x

x

p h

y Ae y Ae y Ae

Ae Ae Ae e

A de donde A

y e y y y

23

1 22

p

xx x e

y c e c e

Rpta: 2

3

1 22

x

x x ey c e c e

15. 2 '' ' xy y y e

RESOLUCIÓN

2


2 '' '

2 1 2 1 1 0

1De donde: , 1

2


solución comp

xy y y e

P t t t t t

t t

21 2

' ''

lementaria es:



, ,

Reemplazando en la ecuación dada se tie

x

x

h

x

p

x x x

p p p

y c e c e

y Ae

y Ae y Ae y Ae

21 2

ne:

2 2

2 2 1


x x x x

x

p h p

x

x x

Ae Ae Ae e

A de donde A

y e y y y

y c e c e e

Rpta: 21 2

x

x xy c e c e e



16. 2'' xy a y e

RESOLUCIÓN

2

2 2


''

0

De donde: ,


solución complementaria

xy a y e

P t t a

t ai t ai

1 2

' ''

es:

cos sen



, ,


h

x

p

x x x

p p p

x

y c ai c ai

y Ae

y Ae y Ae y Ae

Ae

2

2 2 2

2

2

1 2

1 1


cos sen 1

x x

x x

x

p h p

x

a Ae e

Ae a e a de donde A a

y a e y y y

y c ai c ai a e

Rpta: 2

1 2cos sen 1 xy c ai c ai a e

17. 2'' 4 ' 2 xy y y xe

RESOLUCIÓN

2

2


'' 4 ' 2

4 2 0

De donde: 2 2, 2 2


solución comp

xy y y xe

P t t t

t t

2 2 2 2

1 2

2 2 2

lementaria es:


h

x x x

p

y c e c e

y Ax B e Axe Be



2 2 ' 2 2 2

'' 2 2 2

2 2 2 2 2 2


, 2 2 ,

4 4 4


4 4 4 8 4 8 2

x x x x x

p p

x x x

p

x x x x x x

y Axe Be y Axe Ae Be

y Axe Ae Be

Axe Ae Be Axe Ae Be A 2 2 2

2 2 2 2

1 2

2

2 1 1/ 2

2 0 0


2

x x x

x

p h p

x

xe Be xe

A Ade donde

B B

xy e y y y

xy c e c e e

Rpta: 2 2 2 2

1 22

xxy c e c e e

18. 6 '' 2 ' 7 1 xy y y x x e

RESOLUCIÓN

2


6 '' 2 ' 7 1

6 2 1

1 7 1 7De donde: ,

6 6


solución

xy y y x x e

P t t t

t t

1 7 1 7

6 6

1 2

2 2

2

complementaria es:



x x

h

x x x x

p

x

p

y c e c e

y Ax Bx C e Ax e Bxe Ce

y Ax e Bxe

' 2

'' 2

2 2

2 2

, 2 ,

4 2 2


6 24 12 6 12 6 2 4

2 2 2 7 7

x x x x x x x

p

x x x x x x

p

x x x x x x x x

x x x x x x

Ce y Ax e Axe Bxe Be Ce

y Ax e Axe Ae Bxe Be Ce

Ax e Axe Ae Bxe Be Ce Ax e Axe

Bxe Be Ce Ax e Bxe Ce x x

7 7 1

28 7 7 3

12 14 7 0 30 / 7

xe

A A

A B de donde B

A B C C



2

1 7 1 7

6 6 2

1 2

30Luego 3 y la solución general es:

7

303

7

x

p h p

x xx

y x x e y y y

y c e c e x x e

Rpta:

1 7 1 7

6 6 2

1 2

303

7

x xxy c e c e x x e

19. ''' 2 '' 10 3 xy y y xe

RESOLUCIÓN

3 2 2


''' 2 '' 10 3

2 10 2 10 0

De donde: 0, 1 3 , 1 3


xy y y xe

P t t t t t t

t t i t i

1 2 3

'

ea o


cos3 sen 3



,

x

h

x x x

p

x x x

p p

y c e c x c x

y Ax B e Axe Be

y Axe Be y Axe Ae '' 2

''' 2

2 2

, 2 ,

3


3 4 2 10 10 10 3

9 3 1/ 3

9 9 0 1/ 3

x x x x x

p

x x x

p

x x x x x x x x x x

Be y Ax e Ae Be

y Ax e Ae Be

Ax e Ae Be Ax e Ae Be Axe Ae Be xe

A Ade donde

A B B

1 2 3


3

1cos3 sen 3

3

x

p h p

x x

xy e y y y

xy c e c x c x e

Rpta:

1 2 3

1cos3 sen3

3

x x

xy c e c x c x e

20. 2'' '4

xy

y y xe

RESOLUCIÓN



2

2

1

22 2 21 2

2 2

3

2 2 21 2

'' ' 0 1/ 4 04

1 1

2 2

( )

(6 2 )

1/ 6 0

( )6

h

x x x

h p

x x

x x x

yy y y t t

t t

y C e C xe y x e Ax B

e Ax B xe

A B

xy C e C xe e

21. 5'' ' 6 xy y x e

RESOLUCIÓN

2

1

2

1 2

5 4 3 2

5 4 3 2

1 2

'' ' 0 0

01

1

( )

1 6 30 102 360 720

( 6 30 102 360 720)

h

h x

p x

x x

y y y t t

tt t

t

y C C e

y xe Ax Bx Cx Dx Ex F

A B C D E F

y C C e xe x x x x x

22. '' 2 xy y e RESOLUCIÓN

2

1

2

1 2

'' 0 1 0

1( 1) 1

1

h

h x x

y y y t

tt t

t

y C e C e

p xy Axe



1 2

'2 2

''

1

x x

x x

x x x

x x x

y Ae AxeAe e

y Ae Axe Ae

A

y C e C e xe

23. 3'' 4 ' 3 4 xy y y e

RESOLUCIÓN

2

1

2

3

1 2

3

3 3

1 2

'' 4 ' 3 0 1 0

13 1

3

12

2

h

h x x

p x

x x x

y y y y t

tt t

t

y C e C e

y Axe

A

y C e C e xe

24. 2'' 2 ' xy y y e

RESOLUCIÓN

2

1

2

1 2

2

2

1 2

'' 2 ' 0 2 1 0

11 1

1

1

h

h x x

p x

x x x

y y y y t t

tt t

t

y C e C xe

y Ae

A

y C e C xe e

25. 3 23 8 ''' 6 '' ( 6 12 24) iv xy y y x x x e

RESOLUCIÓN



4 3 2

1

2

3

4 4

3 31 2 3 4

3 2

4 4

3 23 31 2 3 4

3 8 ''' 6 '' 0 3 8 6 0

0 2

4 2

3

4 2

3

2 2cos

3 3

( )

1 6 12 0

2 2cos ( 6 12 )

3 3

h iv

x x

h

p x

x x

y y y y t t t

t multiplicidad

it

it

y C C x C e x C e sen x

y Ax Bx Cx D e

A B C D

y C C x C e x C e sen x x x x ex

26. 2'' 2 ' 2 xy y y e

RESOLUCIÓN

2

2

1

1 2

2

2

1 2

'' 2 ' 0 2 1 0

1 1 2

2

2

h

h x x

p x

x x x

y y y y t t

t t multiplicidad

y C e C xe

y Ae

A

y C e C xe e

27. '' 2 ' 3 xy y xe RESOLUCIÓN

2

1

1

'' 2 ' 0 2 0

02

2

hy y y t t

tt t

t



2

1 2

2

1 2

( )

41

3

4( )

3

h x

p x

x x

y C C e

y e Ax B

A B

y C C e e x

28. 2'' 2 ' xy ky k y e

RESOLUCIÓN

2 2 2

2 1

2

1 2

2

1 2 2

'' 2 ' 0 2 0

1

h

h kx kx

p x

xkx kx

y y ky k y t kt k

t kt k

t k

y C e C xe

y Axe

At k

ey C e C xe

t k

29. 3'' 4 ' 3 9 xy y y e

RESOLUCIÓN

2

1

2

3

1 2

3

33

1 2

'' 4 ' 3 0 4 3 0

13 1

3

3

8

3

8

h

h x x

p x

xx x

y y y y t t

tt t

t

y C e C xe

y Ae

A

ey C e C xe

30. 3'' 3 ' 3 xy y xe

RESOLUCIÓN



2

1

2

3

1 2

3

3 3

1 2

'' 3 ' 0 3 0

03

3

( )

1 1

2 3

1( )

2

h

h x

p x

x x

y y y t t

tt t

t

y C C xe

y xe Ax B

A B

xy C C xe xe

31. 2'' 5 ' 6 10(1 ) xy y y x e

RESOLUCIÓN

2

1

2

2 3

1 2

2

2 3 2

1 2

'' 5 ' 6 0 5 6 0

22 3

3

( )

5 20

(5 20)

h

h x x

p x

x x x

y y y y t t

tt t

t

y C e C e

y xe Ax B

A B

y C e C e xe x

32. 2'' ' ( ) xy y y x x e

RESOLUCIÓN

2

1

2

'' ' 0 1 0

1 3

1 3 1 3 2

2 2 1 3

2

hy y y y t t

it

i it t

it



2 21 2

2

2

2 21 2

3 3cos

2 2

( )

1/ 3 1/ 3 1/ 3

3 3 1cos ( )

2 2 3

x x

h

p x

x x

x

y C e x C e sen x

y e Ax Bx C

A B C

x xy C e x C e sen x e

33. '' 3 ' 2 xy y y xe RESOLUCIÓN

2

1

2

2

1 2

22

1 2

'' 3 ' 2 0 3 2 0

11 2

2

( )

1/ 2 1

( )2

h

h x x

p x

x x x

y y y y t t

tt t

t

y C e C e

y xe Ax B

A B

xy C e C e e x

34. 2 4'' ' 2 xy y y x e

RESOLUCIÓN

2

1

2

2

1 2

4 2

22 4

1 2

'' ' 2 0 2 0

11 2

2

( )

1/18 1/18 7 / 324

7( )

18 324

h

h x x

p x

x x x

y y y y t t

tt t

t

y C e C e

y e Ax Bx C

A B C

x xy C e C e e



35. 2 3'' 3 ' 2 ( ) xy y y x x e

RESOLUCIÓN

2

1

2

2

1 2

3 2

22 3

1 2

'' 3 ' 2 0 3 2 0

11 2

2

( )

1/ 5 1/ 5 2 / 5

2( )

5 5

h

h x x

p x

x x x

y y y y t t

tt t

t

y C e C e

y e Ax Bx C

A B C

x xy C e C e e

36. 2 ''' 2 ' iv xy y y y e RESOLUCIÓN

37. '' 5 ' 6 (12 7) (0) '(0) 0 xy y y x e y y

RESOLUCIÓN

2

1

2

3 2

1 2

3 2

1 2

1 2

3 2

1 2

1 2

1 2

3 2

'' 5 ' 6 0 5 6 0

33 2

2

( )

1 0

(0) 0

' 3 2

'(0) 3 2 0

1 1

h

h x x

p x

p x

x x x

x x x

x x x

y y y y t t

tt t

t

y C e C e

y e Ax B

A B y xe

y C e C e xe

y C C

y C e C e xe

y C C

C C

y e e xe



38. '' 2 ' 3 ( 2) xy y y x e RESOLUCIÓN

2

1

2

3

1 2

3

1 2

'' 2 ' 3 0 2 3 0

33 1

1

( )

1/ 4 1/ 2

1( )

4 2

h

h x x

p x

x x x

y y y y t t

tt t

t

y C e C e

y e Ax B

A B

xy C e C e e

39. 2 2'' 5 ' 6 ( 1) xy y x e

RESOLUCIÓN

2

1

2

3 2

1 2

2 2

23 2 2

1 2

'' 5 ' 6 0 5 6 0

33 2

2

( )

1/ 20 29 / 200 441/ 4000

29 441( )20 200 4000

h

h x x

p x

x x x

y y y t t

tt t

t

y C e C e

y e Ax Bx C

A B C

xy C e C e e x

40. 24 '' 4 ' ( 1)

x

y y y x e RESOLUCIÓN

2

2

1

4 '' 4 ' 0 4 4 1 0

2 1 1/ 2 2

hy y y y t t

t t multiplicidad

2 21 2

2( )

x x

h

x

p

y C e C xe

y Ax B e



2 2 21 2

1/ 24 1/8

1( )24 8

x x x

A B

xy C e C xe e

41. '' 2 ' ( 1) xy y y x e RESOLUCIÓN

2

2

1

1 2

21 2

'' 2 ' 0 2 1 0

1 1 2

( )

1/ 6 1/ 2

1( )6 2

h

h x x

p x

x

x x

y y y y t t

t t multiplicidad

y C e C xe

y Ax B e

A B

xy C e C xe e

42. 2 2''' 2 '' (4 6 1) xy y x x e

RESOLUCIÓN

3 2

12

2

2

1 2 3

2 2

22 2

1 2 3

''' 2 '' 0 2 0

0 22

2

( )

1/ 4 1/ 4 0

( )4 4

h

h x

p x

h x x

y y y t t

t multiplicidadt t

t

y C C x C e

y Ax Bx C e

A B C

x xy y C C x C e e

43. '' 4 6 (0) 1 '(0) 0 xy y e y y RESOLUCIÓN



2

1

2

2 2

1 2

2 2

1 2

1 2

2 2

1 2

1 2 1 2

2

'' 4 0 4 0

22 2

2

2

2

(0) 1

' 2 2 2

'(0) 2 2 2 0 1 0

2

h

h x x

p x

x x x

x x x

x x

y y y t

tt t

t

y C e C e

y Ae

A

y C e C e e

y C C

y C e C e e

y C C C C

y e e

44. 4''' ' 10 29 xy y y e

RESOLUCIÓN

3

1

2

3

2

1 2 3

4

42

1 2 3

''' ' 10 0 10 0

2

2 1 2 1 2 1 2

1 2

cos 2 2

1/ 2

cos 2 22

h

h x x x

p x

xx x x

y y y y t t

t

t t i t i t i

t i

y C e C e x C e sen x

y Ae

A

ey C e C e x C e sen x

45. 3'' 4 ' 5 10 0, 0 ' 0 xy y y e cuando x y y

RESOLUCIÓN

2

1

2

'' 4 ' 5 0 4 5 0

12 2

1

hy y y y t t

t it i t i

t i



2 2

1 2

3 3

2 2 3

1 2

1

2 2 2 2 3

1 1 2 2

1 2 1 2

2 2 3

cos

10

5

cos 5

(0) 5 0

' 2 cos 2 cos 15

'(0) 2 15 0 5 5

5 cos 5 5

h x x

p x x

x x x

x x x x x

x x x

y C e x C e senx

y Ae e

A

y C e x C e senx e

y C

y C e x C e senx C e senx C e x e

y C C C C

y e x e senx e





III. Resolver las ecuaciones diferencias siguientes:

1. '' 3 2 cos y y sen x x x

RESOLUCIÓN

2

1 2

1 2

'' 0

1 0

,

cos sen

h p

h

h

y y y

y y y

t

t i t i t i t i

y c x c x

1

1

1

1

1 2

2

2

cos sen

sen2 cos2 3 2

sen cos cos

sen2 cos2

' 2 cos2 2 sen2

'' 4 sen2 4 cos2

4 sen2 4 cos2 sen2 cos2 3sen2

0, 1 sen2

h

p

p

p

p

p

p

p

y C x C x

y A x B x sen xy

y x Ax B x x Cx D x x x

y y A x B x

y A x B x

y A x B x

y A x B x A x B x x

B A y x

y y Ax

2

2 2

2 2

2 2

sen sen cos cos

' 2 sen cos cos 2 cos sen cos sen

'' 2 4 cos sen 2 cos 2 cos 4 cos

2 cos

2 4 cos 2 cos 2 cos 4p

x Bx x Cx x Dx x

y Ax x Ax x Bsenx Bx x Cx x Cx x D x Dx x

y Asenx Ax x Ax x B x Bxsenx C x Cxsenx Cx x

Dsenx Dx x

y Asenx Ax x B x C x Cx

2

2 2

2

2

1 2

2 cos

1; 0 sen cos

4 4 4

sen2 sen cos4

cos sen sen2 sen cos4

p

p

senx Dsenx x x

x xA B y x x

xy x x x

xy C x C x x x x



Rpta: 2

3 2

1 2

3cos

5 5

xx x e

y c c e e senx x

2. '' cosy y x senx

RESOLUCIÓN.

2

1 2

1 2

'' 0

1 0

,

cos sen

sen cos

sen cos

' sen cos cos sen

'' 2 cos sen 2 sen cos

2 cos 2 sen cos sen

1 1,

2 2

sen cos2 2

h p

h

h

p

p

p

p

y y y

y y y

t

t i t i t i t i

y C x C x

y x A x B x

y y Ax x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x B x x x

A B

x xy x

1 2

sen cos2

cos sen sen cos2

xx x x

xy C x C x x x

3. '' 9 3y y cos x

RESOLUCIÓN.

2

1 2

1 2

'' 9 0

9 0

3 3 3 , 3

cos3 sen3

h p

h

h

y y y

y y y

t

t i t i t i t i

y C x C x



sen3 cos3

sen3 cos3

' sen3 3 cos3 cos3 3 sen3

'' 4 cos3 9 sen3 4 sen3 9 cos3

4 cos3 8 sen3 4 sen3 8 cos3 cos3 cos3

1

4

34

p

p

p

p

y x A x B x

y y Ax x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x Bx x x

A

xy sen x

1 2cos3 sen3 34

xy C x C x sen x

4. '' ' 6 cosy y y senx x

RESOLUCIÓN.

2

1 2

'' ' 6 0

6 0

3 2 3, 2

h p

h

y y y

y y y y

t t

t t t t

3 2

1 2

h x xy C e C e

3

1 2

1cos 2

2

sen2 cos2

' 2 cos2 2 2

'' 4 sen2 4 cos2

14 sen2 4 cos2 2 cos2 2 2 6 sen2 6 cos2 sen2

2

5 1,

104 104

5 1 1sen2 cos2 5sen2 cos2

104 104 105

p

p

p

x

senx x sen x

y A x B x

y A x Bsen x

y A x B x

y A x B x A x Bsen x A x B x x

A B

y x x x x

y C e C e 2 15sen2 cos2

105

x x x



5. '' 2 ' 2y y y sen x

RESOLUCIÓN.

2

1 2

1 2 1 2

'' 2 ' 1 0

2 1 0

1 1 1, 1

sen2 cos2

' 2 cos2 2 2

'' 4 sen2 4 cos2

h p

h

h x x x

p

y y y

y y y

t t

t t t t

y C e C xe e C C x

y A x B x

y A x Bsen x

y A x B x

3 2

1 2

4 sen2 4 cos2 2 cos2 2 2 6 sen2 6 cos2 sen2

5 1,

52 52

5 1 1sen2 cos2 5sen2 cos2

52 52 52

15sen2 cos2

105

p

p

x x

y A x B x A x Bsen x A x B x x

A B

y x x x x

y C e C e x x

6. '' 4 ' 5 cosy y y x senx

RESOLUCIÓN.



2

2

1 2

'' 4 ' 5 0

4 5 0

4 16 4(1)(5)

2

2

cos sen

sen cos

' cos sen

'' sen cos

4 sen 4 sen 4 cos 4 cos cos sen

3 1,

4 4

3 1 1sen cos 3sen cos

4 4 4

h p

h

h x

p

p

p

y y y

y y y y

t t

t

t i

y e C x C x

y y A x B x

y A x B x

y A x B x

y A x B x B x A x x x

A B

y x x x x

2

1 2

1cos sen 3sen cos

4

xy e C x C x x x

7. 2cosivy y senx x

RESOLUCIÓN.



4

3 2

1 2 3 4

0

1 0

1 1 0

1, 11 1

,

cos sen

sen cos

sen cos

' sen cos cos sen


''' 3 cos

h iv

h x x

p

p

y y y

t

t t t t

t tt t t i t i

t i t i

y C e C e C x C x

y x A x B x

y y Ax x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y Asenx Ax x

1 2 3 4

3 cos

4 cos 4 cos

4 cos 4 2 cos 2cos

1 1,

2 4

sen cos 2sen cos2 4 4

cos sen 2sen cos4

iv

p

p

x x

B x Bxsenx

y A x Axsenx Bsenx Bx x

y A x Bsenx Bx x senx x

A B

x x xy x x x x

xy C e C e C x C x x x

8.

2

2sen

yy x

x

RESOLUCIÓN.



2

1 2

1 2

'' 0

1 0

,

cos sen

sen cos

sen cos

' sen cos cos sen


2 cos 2 sen

10,

2

cos2

cos

h p

h

h

p

p

p

p

y y y

y y y

t

t i t i t i t i

y C x C x

y x A x B x

y y Ax x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x B x senx

A B

xy x

y C x C sen cos2

x

x x

9.

2

24 cos

yy x

x

RESOLUCIÓN.



2

1 2

1 2

'' 4 0

4 0

2 2 2 , 2

cos 2 sen2

sen cos

' cos sen

'' sen cos

3 sen 3 cos cos

10,

3

1cos

3

coscos 2 sen2

3

h p

h

h

p

p

p

y y y

y y y

t

t i t i t i t i

y C x C x

y y A x B x

y A x B x

y A x B x

y A x B x x

A B

y x

xy C x C x

10.

4 2

4 22 5sen2

y yy x

x x

RESOLUCIÓN.



4 2

2 2

1 2 3 4 1 2 3 4

2 '' 0

2 1 0

1 1 0

1, 21 1 1 1

1, 2

+

sen2 cos 2

' 2 cos 2 2 sen2

'' 4 sen2 4 cos 2

'''

h p

h iv

h x x x x x x

p

y y y

y y y y

t t

t t

t multiplicidadt t t t

t multiplicidad

y C e C xe C e C xe C C x e C C x e

y A x B x

y A x B x

y A x B x

y

1 2 3 4

8 cos2 8 sen2

16 sen2 16 cos 2

25 sen2 25 cos 2 5sen2

1, 0

5

sen2

5

sen2

5

iv

p

p

x x

A x B x

y A x B x

y A x B x x

A B

xy

xy C C x e C C x e

11.

2

29 4 sen

yy x x

x

RESOLUCIÓN.



2

1 2

'' 9 0

9 0

3 3 3 , 3

cos3 sen3

sen cos

sen sen cos cos

' sen cos cos cos sen sen

'' 2 cos sen sen 2 sen cos cos

2 cos

h p

h

h

p

p

y y y

y y y

t

t i t i t i t i

y C x C x

y Ax B x Cx D x

y Ax x B x Cx x D x

y A x Ax x B x C x Cx x D x


y A

1 2

10 sen 10 sen 2 sen 10 cos

10 cos 4 sen

2 2, 0, 0 ,

5 25

2 2sen cos

5 25

2 2cos3 sen3 sen cos

5 25

p

x Ax x B x C x Cx x

D x x x

A B C D

xy x x

xy C x C x x x

12. '' 4 ' 2 8 sen2 y y y x x

RESOLUCIÓN.



2

2 6 2 6

1 2

1

'' 4 ' 2 0

4 2 0

2 6, 2 6

e

sen2 cos 2

2 cos 2 2 sen2

' 4 sen2 4 cos2

6 sen2 8 sen2 6 cos2 8 cos 2 8sen2

12 16,

25 25

12sen2 +16cos2

25

h p

h

h

p

p

p

y y y

y y y y

t t

t t

y C e C

y A x B x

y A x B x

y A x B x

y A x B B x A x x

A B

x xy

y C e 2 6 2 6

2

12sen2 +16cos2e

25

x xC

13. 1 2cos senC x C x

RESOLUCIÓN.



2

1 2

2 2

2 2

2

'' 0

1 0

,

cos sen

sen cos

sen sen cos cos

' 2 sen cos sen cos 2 cos sen cos sen

'' 2 sen 4 cos sen 2 cos

h p

h

h

p

y y y

y y y

t

t i t i t i t i

y C x C x

y x Ax B x x Ax B x

y Ax x Bx x Ax x Bx x

y Ax x Ax x B x Bx x Ax x Ax x B x Bx x

y A x Ax x Ax x B

2

2 2 2

2

1 2

sen 2 cos 4 sen cos

2 sen cos

2 sen 4 cos 2 cos 2 cos 4 sen 2 sen 4 cos

1, 0

sen cos sen cos

cos sen sen cos

p

p

x Bx x A x Ax x Ax x

B x Bx x

y A x Ax x B x A x Ax x B x x x

A B

y x x x x x x x

y C x C x x x x

14. 2'' 2 ' seny my m y nx

RESOLUCIÓN.



2

2 2

1 2

2 2

2 2

'' 2 ' 0

2 0

, 2.

sen cos

' cos sen

'' cos sen sen cos

cos sen sen cos 2 cos

2 sen

h p

h

h mx mx

p

p

y y y

y y my m y

t mt m

t m t m t m multiplicidad

y C e C xe

y y A nx B nx

y An nx Bn nx

y A nx An nx B nx Bn nx

y A nx An nx B nx Bn nx mAn nx

mBn

2 2

2 2

2 22 2 2 2

2 2

22 2

2 2

1 2 22 2

sen cos sen

2,

sen 2 cos

sen 2 cos

p

mx mx

nx m A nx m B nx nx

m n mnA B

m n m n

m n nx mn nxy

m n

m n nx mn nxy C e C xe

m n

15. 2'' 2cos +3sen ,y a y mx mx m a

RESOLUCIÓN.



2

2 2

1 2

2 2

2 2

2 2

'' 0

0

cos sen

cos sen

' cos sen

'' cos sen sen cos

cos sen sen cos

cos sen 2cos +3se

h p

h

h

p

p

y y y

y y a y

t a

t ait ai t ai

t ai

y C ax C ax

y y A mx B mx

y Am mx Bm mx

y A mx Am mx B mx Bm mx

y A mx Am mx B mx Bm mx

a A ms a B mx mx

2 2 2 2

2 2

1 2 2 2

n

2 3,

2cos 3sen

2cos 3sencos sen

p

mx

A Ba m a m

mx mxy

a m

mx mxy C ax C ax

a m

16. 4 '' 8 ' seny y x x

RESOLUCIÓN.



2

2

1 2

4 '' 8 ' 0

4 8 0

04 2

2

sen cos

sen sen cos cos

' sen cos cos cos sen sen

'' 2 cos sen sen 2 sen cos cos

8 cos 4

h p

h

h x

p

p

y y y

y y y

t t

tt t

t

y C C e

y y Ax B x Cx D x

y Ax x B x Cx x D x



y A x

2

1 2

sen 4 sen 8 sen 4 cos 4 cos

8 sen 8 cos 8 cos 8 cos 8 sen 8 sen sen

1 7 1 1, , ,

20 50 10 50

7 1sen cos

20 50 10 50

7 1sen cos

20 50 10 50

p

x

Ax x B x C x Cx x D x

A x Ax x B x C x Cx x D x x x

A B C D

x xy x x

x xy C C e x x

17. 2'' seny y x x

RESOLUCIÓN.



18. ''' seny y x

RESOLUCIÓN.

2

1 2

2 2

3 2 3 2

2 3 2

2 3

'' 0

1 0

cos sen

sen cos

sen sen sen cos cos cos

' 3 sen cos 2 sen cos sen cos

3 cos sen

h p

h

h

p

y y y

y y y

t

t it i t i

t i

y C x C x

y y x Ax Bx C x x Dx Ex F x

y Ax x Bx x Cx x Dx x Ex x Fx x

y Ax x Ax x Bx x Bx x C x Cx x

Dx x Dx

2

2 3 2

2 3

2

2

2 cos sen cos sen

'' 6 sen 6 cos sen 2 sen 4 cos sen

2 cos sen 6 cos 6 sen cos 2 cos

4 sen cos 2 sen cos

6 sen 6 cos 2 sen 4 cos 2 cos 6p

x Ex x Ex x F x Fx x

y Ax x Ax x Ax x B x Bx x Bx x

C x Cx x Dx x Dx x Dx x E x

Ex x Ex x F x Fx x

y Ax x Ax x B x Bx x C x

2 2

2 3

2 3

1 2

cos

6 sen 2 cos 4 sen 2 sen sen

1 1 10, , 0, , 0,

4 6 4

sen cos4 6 4

cos sen sen cos4 6 4

p

Dx x

Dx x E x Ex x F x x x

A B C D E F

x x xy x x

x x xy C x C x x x



19. '' 2cos , 0 1, ' 0 0y y x y y

RESOLUCIÓN.



2

1 2

1 2

'' 0

1 0

cos sen

sen cos

sen cos

' sen cos cos sen


2 cos 2 sen 2cos

1, 0,

sen

cos s

h p

h

h

p

p

p

y y y

y y y

t

t it i t i

t i

y C x C x

y y x A x B x

y Ax x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x B x x

A B

y x x

y C x C

1

2

en sen

0 1, ' 0 0

0 1 1cos sen

' 0 0 0

x x x

Cuando y y

y Cy x x x

y C

20. '' 4 sen , 0 ' 0 1y y x y y

RESOLUCIÓN.



21. '' 4 4 sen 2 cos2 , ' 2y y x x y y

RESOLUCIÓN.

2

1 2

1 2

1

'' 4 0

4 0

22 2

2

cos 2 sen2

sen cos

' cos sen

'' sen cos

3 sen 3 cos sen

1, 0,

3

sen

3

sencos 2 sen2

3

0 ' 0 1

0 1 1

h p

h

h

p

p

p

y y y

y y y

t

t it i t i

t i

y C x C x

y y A x B x

y A x B x

y A x B x

y A x B x x

A B

xy

xy C x C x

Cuando y y

y C

y

2

1cos 2 sen2 sen1

3' 0 13

y x x xC



22. '' 4 12sen 2y y x

RESOLUCIÓN.

2

1 2

'' 4 0

4 0

22 2

2

cos 2 sen2

sen2 cos 2

' sen2 2 cos 2 cos 2 2 sen2

'' 4 cos 2 4 sen2 4 sen2 4 cos 2

4 cos 2 4 sen2 4sen 2 4cos 2

1, 1,

h p

h

h

p

p

p

y y y

y y y

t

t it i t i

t i

y C x C x

y y Ax x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x B x x x

A B

y

1 2

1

2

sen2 cos 2

cos 2 sen2 sen2 cos 2

' 2

2 2

1 2' 2

2

1 22 cos 2 sen2 sen2 cos 2

2

x x x

y C x C x x x x x

Cuando y y

y C

y C

y x x x x x



2

1 2

'' 4 0

4 0

22 2

2

cos 2 sen2

sen2 cos 2


'' 4 cos 2 4 sen2 4 sen2 4 cos 2

4 cos 2 4 sen2 12sen 2

0, 3,

3 cos 2

h p

h

h

p

p

p

y y y

y y y

t

t it i t i

t i

y C x C x

y y Ax x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x B x x

A B

y x

1 2cos 2 sen2 3 cos 2

x

y C x C x x x

23. '' 9cos2 , 0 2, ' 0 1y y x y y

RESOLUCIÓN.



24. '' 2 ' 2 2cos2 4sen 2 , 0 1, ' 0 1y y y x x y y

RESOLUCIÓN.

2

1 2

1 2

'' 0

1 0

cos sen

sen2 cos 2

' 2 cos 2 2 sen2

'' 4 sen2 4 cos 2

4 sen2 4 cos 2 sen2 cos 2 9cos 2

0, 9,

9cos 2

cos sen 9cos

h p

h

h

p

p

p

y y y

y y y

t

t it i t i

t i

y C x C x

y y A x B x

y A x Bx x

y Ax x Bx x

y Ax x Bx x A x B x x

A B

y x

y C x C x

1

2

2

0 2, ' 0 1

0 2 1111cos sen 9cos 2

' 0 1 1

x

Cuando y y

y Cy x x x

y C



2

1 2

1

'' 2 ' 2 0

2 2 0

1

1

cos sen

sen2 cos 2

' 2 cos 2 2 sen2

'' 4 sen2 4 cos 2

2 sen2 4 sen2 2 cos 2 4 cos 2 2cos 2 4sen 2

0, 1,

cos 2

h p

h

h x x

p

p

p

y y y

y y y y

t t

t i

t i

y C e x C e x

y y A x B x

y A x B x

y A x B x


A B

y x

y C e

2

1

2

cos sen cos 2

0 1, ' 0 1

0 1 0sen cos 2

' 0 1 1

x x

x

x C e x x

Cuando y y

y Cy e x x

y C

25. '' 2 ' 2 2sen 2 4cos2 , 0 0, ' 0 0y y y x x y y

RESOLUCIÓN.



2

1 2

'' 2 ' 2 0

2 2 0

1

1

cos sen

sen2 cos 2


'' 4 cos 2 4 sen2 4 sen2 4 cos 2

4 cos 2 4 sen2 4 sen2 2 cos 2 2

h p

h

h x x

p

p

y y y

y y y y

t t

t i

t i

y C e x C e x

y y Ax x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x A

1 2

1

2

sen2

4 cos 2 2 cos 2 2 sen2 2sen 2 4cos 2

1 11, ,

5 10

11sen2 cos 2

5 10

11cos sen sen2 cos 2

5 10

0 0, ' 0 0

0 0 011 11

sen sen2 cos 21110 5 10' 0 0

10

p

x x

x

x

Ax x B x Bx x x x

A B

x xy x x

x xy C e x C e x x x

Cuando y y

y Cx x

y e x xy C

x

26. y''+4y'+3y=4sen 8cos , 0 3, ' 0 1x x y y

RESOLUCIÓN.



2

3

1 2

3

1 2

'' 4 ' 3 0

4 3 0

33 1

1

sen cos

' cos sen

'' sen cos

2 sen 2 cos 4 cos 4 sen 4sen 8cos

2, 0,

2sen

2sen

0 3

h p

h

h x x

p

p

p

x x

y y y

y y y y

t t

tt t

t

y C e C e

y y A x B x

y A x B x

y A x B

y A x B A x B x x x

A B

y x

y C e C e x

Cuando y

1 3

2

, ' 0 1

0 3 12 2sen

' 0 1 2

x x

y

y Cy e e x

y C

27. '' 2cosy y x

RESOLUCIÓN.



2

1 2

'' 0

1 0

sen cos

sen cos

' sen cos cos sen


2 cos 2 sen 2cos

1, 0,

sen

sen cos sen

h p

h

h

p

p

p

y y y

y y y

t

t it i t i

t i

y C x C x

y y Ax x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x B x x

A B

y x x

y Ax x Bx x x x

28. '' 3 ' 2 14sen 2 18cos2y y y x x

RESOLUCIÓN.



2

2

1 2

2

1

'' 3 ' 2 0

3 2 0

22 1

1

sen 2 cos 2

' 2 cos 2 2 sen2

'' 4 sen 2 4 cos 2

2 sen 2 6 sen 2 6 cos 2 2 cos 2 14sen 2 18cos 2

2, 3,

2sen 2 3cos 2

h p

h

h x x

p

p

p

y y y

y y y y

t t

tt t

t

y C e C e

y y A x B x

y A x B x

y A x B x

y A x B x A x B x x x

A B

y x x

y C e

2 2sen 2 3cos 2x xC e x x

29. 2'' sen ,y k y bx k b

RESOLUCIÓN.



2

2 2

1 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

'' 0

0

cos sen

sen cos

' cos sen

'' sen cos

sen cos sen cos sen

1, 0,

sen

h p

h

h

p

p

p

y y y

y y k y

t k

t kit ki t ki

t ki

y C kx C kx

y y A bx B bx

y bA bx bB bx

y b A bx b B bx

y b A bx b B bx k A bx k B bx bx

A Bk b

bxy

k b

y C

1 2 2 2

sencos sen

bxkx C kx

k b

30. '' 7 ' 6 seny y y x

RESOLUCIÓN.



2

6

1 2

6

1 2

'' 7 ' 6 0

7 6 0

66 1

1

sen cos

' cos sen

'' sen cos

5 sen 7 sen 7 cos 5 cos sen

1 6, ,

37 37

sen 6cos

37

sen 6cos

37

h p

h

h x x

p

p

p

x x

y y y

y y y y

t t

tt t

t

y C e C e

y y A x B x

y A x B x

y A x B x

y A x B x A x B x x

A B

x xy

x xy C e C e

31. 17

'' 2 ' 5 cos 22

y y y x

RESOLUCIÓN.



32. '' ' sen 2 0, ' 1y y x y y

RESOLUCIÓN.

2

1 2

'' 2 ' 5 0

1 22 5 0

1 2

cos 2 sen2

sen2 cos 2


'' 4 cos 2 4 sen2 3 sen2 4 cos 2

3 sen2 3 sen2 2 sen2 4 sen2

h p

h

h x

p

p

y y y

y y y y

t it t

t i

y e C x C x

y y Ax x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y Ax x B x A x Bx x

1 2

4 cos 2

17cos 2 4 cos 2 2 cos 2 cos 2

2

51 17, ,

8 8

51 sen2 17 cos 2

8

51 sen2 17 cos 2cos 2 sen2

8

p

x

A x

Bx x Ax x B x x

A B

x x x xy

x x x xy e C x C x



2

1 2

1

'' ' sen 2

'' ' 0

0

( 1) 0, 1

sen2 cos2

' 2 cos2 2 sen2

'' 4 sen2 4 cos2

4 sen2 2 sen2 4 cos2 2 cos2 sen 2

1 1, ,

5 10

1 1sen2 cos2

5 10

h p

h

h x

p

p

p

y y x

y y y

y y y

t t

t t t t

y C C e

y y A x B x

y A x B x

y A x B x

y A x B x B x A x x

A B

y x x

y C C

2

1

2

1 1sen2 cos2

5 10

' 1

1 1 1 sensen2 cos

3 3' 1 2

xe x x

Cuando y y

y C xy x x

y C

33. '' 4 ' 3 2cos 4seny y y x x

RESOLUCIÓN.



2

3

1 2

3

1 2

'' 4 ' 3 0

4 3 0

1,( 1) 3

3

sen cos

' cos sen

'' sen cos

2 sen 4 sen 2 cos 4 cos 2cos 4sen

0, 1,

cos

cos

h p

h

h x x

p

p

p

x x

y y y

y y y y

t t

tt t

t

y C e C e

y y A x B x

y A x B x

y A x B x


A B

y x

y C e C e x

34. ''' '' ' 4seny y y y x

RESOLUCIÓN.



3 2

1 2 3

''' '' ' 0

1 0

1( 1)

,

cos sen

sen cos

' sen cos cos sen


''' 3 sen cos 3 cos sen

2

h p

h

h x

p

p

y y y

y y y y y

t t t

tt t i t i

t i t i

y C e C x C x

y y Ax x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A

1 2 3

sen 2 sen 2 cos 2 cos 2cos 4sen

3 1, ,

2 2

1cos 3sen

2

1cos sen cos 3sen

2

p

x

x B x B x A x x x

A B

y x x

y C e C x C x x x

35. '' 2cos , 0 0, 0y y x y y

RESOLUCIÓN.



2

1 2

1 2

'' 0

1 0

,

cos sen

sen cos

' sen cos cos sen


2 cos 2 sen 2cos

1, 0,

sen

cos sen sen

h p

h

h

p

p

p

y y y

y y y

t

t it i t i

t i

y C x C x

y y Ax x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

y A x B x x

A B

y x x

y C x C x x

Cuan

1

2

0 0, 0

0 0 0sen

0

do y y

y Cy C x x

y

36. '' 4 ' 3 20cosy y y x

RESOLUCIÓN.



2

3

1 2

3

1 2

'' 4 ' 3 0

4 3 0

33 1

1

sen cos

' cos sen

'' sen cos

2 sen 2 cos 4 cos 4 sen 20cos

4, 2,

4sen 2cos

4sen 2cos

h p

h

h x x

p

p

p

x x

y y y

y y y y

t t

tt t

t

y C e C e

y y A x B x

y A x B x

y A x B x

y A x B x A x B x x

A B

y x x

y C e C e x x

37. '' ' 2 6 sen2 3cos2 , 0 2, ' 0 2y y y x x y y

RESOLUCIÓN.



2

2

1 2

'' ' 2 = 6sen2 18cos 2

'' ' 2 0

2 0

22 1

1

sen2 cos 2

' 2 cos 2 2 sen2

'' 4 sen2 4 cos 2

6 sen2 6 cos 2 2 cos 2 2 sen2 6sen2 18cos 2

0, 3

h p

h

h x x

p

p

y y y x x

y y y

y y y y

t t

tt t

t

y C e C e

y y A x B x

y A x B x

y A x B x

y A x B x A x B x x x

A B

2

1 2

1 2

2

,

3cos 2

3cos 2

0 2, ' 0 2

0 2 13cos 2

' 0 2 0

p

x x

x

y x

y C e C e x

Cuando y y

y Cy e x

y C

38. '' 60sen4 , 0 8, ' 0 14y y x y y

RESOLUCIÓN.



2

1 2

1 2

'' 0

1 0

cos sen

sen4 cos 4

' 4 cos 4 4 sen4

'' 16 sen4 16 cos 4

15 sen4 15 cos 4 60sen4

4, 0,

4sen4

cos sen 4sen4

0 8, '

h p

h

h

p

p

p

y y y

y y y

t

t it i t i

t i

y C x C x

y y A x B x

y A x B x

y A x B x

y A x B x x

A B

y x

y C x C x x

Cuando y y

1

2

0 14

0 8 88cos 2sen 4sen4

' 0 14 2

y Cy x x x

y C

39. '' 4 ' 5 8 sen3 3cos3 , 0 1, ' 0 7y y y x x y y

RESOLUCIÓN.



2

2 2

1 2

'' 4 ' 5 8sen3 24cos3

'' 4 ' 5 0

24 5

2

cos sen

sen3 cos3

' 3 cos3 3 sen3

'' 9 sen3 9 cos3

4 sen3 4 cos3 12 cos3 12 sen3 60sen4

h p

h

h x x

p

p

y y y x x

y y y

y y y y

t it t

t i

y C e x C e x

y y A x B x

y A x B x

y A x B x

y A x B x A x B x x

A

2 2

1 2

1

2

2

3 9, ,

2 2

3sen3 3cos3

2

3cos sen sen3 3cos3

2

0 1, ' 0 7

70 1

2

37' 0 7

2

1 37cos 37sen sen3 3cos3

2 2

p

x x

x

B

y x x

y C e x C e x x x

Cuando y y

y C

y C

y e x x x x





IV. Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales:

1. 2

2

23 2 ( )xd y dy

e sen xdx dx

RESOLUCIÓN

2

2

2

3 0

3 3 0

d y dy

dx dx

P t t t t t

De donde: 0, 3t t

La solución homogénea es: 3

1 2

x

gy c c e

La solución particular es:

2 2

' 2x 2x

'' 2

cos

e (Acosx - Bsenx) +e 2Bcosx + 2Asenx

4 3 cos 3 4

x x

p

p

x

p

y Ae senx Be x

y

y e A B x A B senx

Remplazando e Igualando la ecuación tenemos;

2 2

3 1,

5 5

3 1cos

5 5

x x

p

A B

y e senx e x

Rpta: 2

3 2

1 2

3cos

5 5

xx x e

y c c e e senx x

2. 4 '' 5 ' ( 2 cos2 )xy y y e sen x x

RESOLUCIÓN

2

4 ''' 5 ' 0

14 5 1 1 0

4

y y y

P t t t t t

De donde: 1

1;4

t t

La solución homogénea es;

/ 4

1 2

x x

py c e c e

La solución particular es;

'

''

2 2cos

2 2 2cos 2

4 3 cos 2 3 4 2

x

p

xp

x

p

y Ae sen x B x

y A B A B sen xxe

y e A B x A B sen x




11 5;

146 146A B

Rpta: / 4

1 2 11 2 5 2146

xx x e

y c e c e sen x cos x

3. ''' '' 2 2cosxy y y e x xsenx

RESOLUCIÓN

3 2

''' '' 2 0

2 0

y y y

P t t t

De donde: 2, 1t t

La solución homogénea es:

1 2 3cosx x

gy c e e c x c senx


'

''

'''

cos

coscos

cos 2 cos

2 4 cos 2 2 cos 2

x

p

xxp

x x

p

x x

p

y A x x C sene B x

y Bx C B A senx e A x Bx C senxxe

y e Bx A B senx Bx A C x e Bx A B C x Bx A B C senx

y e A B x Bx B C senx e Bx B c x B A senx


10; , 0

2A B C

Rpta: 1 2 3cos2

xx x xe

y c e e c x c senx senx

4. 2'' 4 ' 4 xy y y e senx

RESOLUCIÓN

2

'' 4 ' 4 0

4 4 0

y y y

P t t t

De donde: 2,t duplicidad


2

1 2

x

gy e c x c


2

' 22

'' 2 2

cos

2 2cos cos

2 2 2 2 cos 2 cos ( 2 )

x

p

xxp

x x

p

y Ae senx B x

y A Bsenx e B Asenxx xe

y e A B senx A B x e A B x A B senx



Remplazando e Igualando la ecuación tenemos:

1; 0A B

Rpta: 2 2

1 2

x xy e c x c e senx

5. 24 5 cosxy y y e x

RESOLUCIÓN

2

'' 4 ' 5 0

4 5 0

y y y

P t t t



2

1 2cos senx

gy e c x c x

La solución particular es similar al anterior entonces la solución general será;

Rpta:

2

2

1 2cos sen2

xx xe

y e c x c x senx

6. '' 2 ' 2 cosxy y y e x

RESOLUCIÓN



2

'' 2 ' 2 0

2 2 0

y y y

P t t t



1 2cos senx

gy e c x c x

La solución particular es similar al anterior por lo tanto la solución general es;

Rpta: 1 2cos sen2

xx xe

y e c x c x senx

7. 2''' 4 '' 12 ' 8 cos .xy y y e x senx

RESOLUCIÓN

3 2

''' 4 '' 12 ' 0

4 12 0

y y y

P t t t t


La solución homogénea es: 2 6

1 2 3

x x

gy c c e c e

Se sabe que: 2 .cos 2senx x sen x

Entonces la solución general será similar al problema 5:

Rpta: 2 6 2

1 2 3

15 2 3cos 2

68

x x xy c c e c e e sen x x

8. '' 2 ' cosxy y y e x

RESOLUCIÓN

De donde: 1,t duplicidad


1 2

x xy c e c xe Entonces la solución general será también similar al problema 5:

Rpta: 1 2 3cos 4sen25

xx x e

y c e c xe x x

9. '' 2 5 2xy y y e sen x

RESOLUCIÓN

2

'' 2 ' 0

2 1 0

y y y

P t t t



2

'' 2 ' 5 0

2 5 0

y y y

P t t t



1 2cos2 sen 2xy e c x c x

Entonces la solución general será similar al problema anterior:

Rpta: 1 2cos 2 sen 2 cos 24

xx xe

y e c x c x x

10. ' xy y e senx

RESOLUCIÓN

2

'' ' 0

1 0

y y

P t t t t t

De donde: 0, 1t t


1 2

xy c c e Entonces la solución general será similar al problema anteriormente resuelto:

Rpta: 1 2 cos sen2

xx e

y c c e x x

11. 22 cosxy y y x e x

RESOLUCIÓN

2

'' 2 ' 0

2 1 0

y y y

P t t t

De donde: 1t , duplicidad La solución homogénea es:

1 2

xy c c x e

Entonces la solución general será similar al problema anteriormente resuelto:

Rpta: 2

1 2 cos 4 6cosx xy c e c xe x x xsenx x

12. ''' 3 '' 3 ' cos2xy y y y e x

RESOLUCIÓN



3 2

''' 3 '' 3 ' 0

3 3 1 0

y y y y

P t t t t

De donde: 1t , triplicidad La solución homogénea es:

2

1 2 3

xy c c x c x e

Entonces la solución general será similar al problema anteriormente resuelto:

Rpta: 2

1 2 3 28

xx e

y c c x c x e sen x





V. Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales:

1. 2 3'' 9 6xy y x e

RESOLUCIÓN

2

'' 9 0

9 3 3 0

y y

P t t t i t i



1 2cos3 3y c x c sen x La solución particular es;

2 3

'

''

2

2

x

p

x

p

x

p

y x C e DA Bx

y x DeA B

y A De

Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:

2 3

1 1 1 2, , ,

18 27 162 3

1 2 1 2

18 3 9 3

x

p

A B C D

y x x e

Rpta: 2 3

1 2

1 2 1 2cos3 3

18 3 9 3

xy c x c sen x x x e

2. '' 2 ' 3 4 2y y sen x

RESOLUCIÓN

2

'' 2 ' 0

2 2 0

y y

P t t t t t

De donde: 0, 2t t


1 2

x

gy c c e


'

''

2 cos 2

2 cos 2 2 2

4 4 cos 2

p

p

p

y Ax Bsen x C x

y A B x Csen x

y Bsenx C x




3 1 1, ,

2 2 2

3 2 cos 2

2 2 2p

A B C

x sen x xy

Rpta: 2

1 2

3 2 cos 2

2 2 2

x x sen x xy c c e

3. 2'' 4 3 , (0) 0, '(0) 2xy y x e y y

RESOLUCIÓN

2

'' 4 0

4 2 2 0

y y

P t t t i t i



1 22 cos2gy c sen x c x


2

'

''

2

2

x

p

x

p

x

p

y Ax Bx C De

y Ax B De

y A De


2

1 1 3, 0, ,

4 8 5

1 3

4 8 5

x

p

A B C D

xy e

Remplazándolas condiciones iníciales y (0), y’ (0) en;

g py y y

Obtenemos los valores de las constantes 1 2

7 19,

10 40c c

Rpta: 27 19 1 3

2 cos 210 40 4 8 5

xxy sen x x e

4. '' 2 ' 4, 0 1, ' 0 1xy y y xe y y

RESOLUCIÓN

22

'' 2 ' 0

2 1 1 0

y y y

P t t t t



1 2

x x

gy c e c xe




3 2

' 2 3 2

'' 2 2 3 2

3 2

6 2 3 2 3 2

x

p

x x

p

x x x x

p

y Ax Bx Cx e Dx E

y Ax Bx C e Ax Bx Cx e D

y Ax B e Ax Bx C e Ax Bx C e Ax Bx Cx e


3

1, 0, 0, 0, 4

6

46

x

p

A B C D E

x ey

Remplazando los valores de y (0), y’ (0) obtenemos;

1 23, 4c c

Rpta: 3

4 3 46

xx x x e

y xe e

5. 22 '' 3 ' 3y y y x senx

RESOLUCIÓN

2

2 '' 3 ' 0

2 3 1 0

y y y

P t t t

De donde: 1

1,2

t t

La solución homogénea es: / 2

1 2

x x

gy c e c e

La solución particular es; 2

'

''

cos

2 cos

2 cos

p

p

p

y Ax Bx C Dsenx E x

y Ax B D x Esenx

y A Dsenx E x


2

3 91, 6, 14, ,

10 10

3 96 14 cos

10 10p

A B C D E

y x x senx x

Rpta: / 2 2

1 2

3 96 14 cos

10 10

x xy c e c e x x senx x



6. 2 1 cos 2

'' '2

xy y y sen x

RESOLUCIÓN

2

'' ' 0

1 0

y y y

P t t t

De donde: 1 3 1 3,

2 2 2 2t i t i


/ 2 / 2

1 2

3 3cos sen

2 2

x x

gy c e x c e x


'

''

2 cos 2

2 cos 2 2 2

4 2 4 cos 2

p

p

p

y Ax Bsen x C x

y A B x Csen x

y Bsen x C x


1 1 3, ,

2 13 26

1 2 3 2

2 13 26p

A B C

sen x cos xy

Rpta: / 2 / 2

1 2

3 3 1 2 3 2cos sen

2 2 2 13 26

x x sen x cos xy c e x c e x

7. '' ' 2 x xy y y senhx e e

RESOLUCIÓN

2

'' ' 0

1 0

y y y

P t t t

De donde: 1 3 1 3,

2 2 2 2t i t i


/ 2 / 2

1 2

3 3cos sen

2 2

x x

gy c e x c e x


'

''

x x

p

x x

p

x x

p

y Ae Be

y Ae Be

y Ae Be




1 1,

6 4

6 4

x x

p

A B

e ey

Rpta: / 2 / 2

1 2

3 3cos sen

2 2 6 4

x xx x e e

y c e x c e x

8.

2 2

'' ' 2 cosh 22

x xe ey y y x

RESOLUCIÓN

2

'' ' 2 0

2 0

y y y

P t t t

De donde: 1, 2t t


1 2

x x

gy c e c e


2 2

' 2 2

'' 2 2

2 2

4 4

x x

p

x x

p

x x

p

y Ae Be

y Ae Be

y Ae Be


2 2

1 1,

6 8

6 8

x x

p

A B

e ey

Rpta: 2 2

2

1 26 8

x xx x e e

y c e c e

9. '' 2 ' 5 2 2xy y y e x sen x

RESOLUCIÓN

2

'' 2 ' 5 0

2 5 0

y y y

P t t t



1 22 2x

gy e c cos x c sen x




2 cos2x x x

py e Ax B sen x e Cx D x Ex F e

Derivando, remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:

1 10, 0, , , 0

4 2

cos 24 2

x x

p

A B C E F

xe xey x

Rpta: 1 22 2 cos 24 2

x xx xe xe

y e c cos x c sen x x

10. 1v iv xy y xe

RESOLUCIÓN

5 4

0

0

v ivy y

P t t t

De donde: 0, 4, 1t multiplicidad t


1 2 3 4 5

x

gy c x c x c x c c e


2

' 2

'' 2

2

2 2 2

x

p

x x

p

x x x x

p

y Ax Bx C e Dx F

y DAx B e Ax Bx C e

y Ae Ax B e Ax B e Ax Bx C e

Derivando hasta la quinta derivada, Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal

tenemos:

2 4

1 1, 4, 0, , 0

2 24

42 24

x

p

A B C D E

x xy x e

Rpta: 4 2

3 2

1 2 3 4 5424 2

xx xy c x c x c x c x c e

11. 2 2''' 4 ' xy y xe senx x

RESOLUCIÓN

3

''' 4 ' 0

4 0

y y

P t t t





1 2 3

x x

gy c c e c e


2 2 3 2cosx

py Ax Bx C e Dsenx E x Fx Gx Hx

Derivando, remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:

3 2

2

3 1 1 11, , 0, 0, , , 0,

2 5 12 8

cos2 3

5 12 8 2

x

p

A B C D E F G H

x x x ey x x

Rpta: 3 2

2 2 2

1 2 3

cos2 3

5 12 8 2

xx x x x x e

y c c e c e x x

12. '' 2 ' 2 cosx xy y y e x xe

RESOLUCIÓN

2

'' 2 ' 2 0

2 2 0

y y y

P t t t



1 2cosx

gy e c x c senx


'

''

cos

cos cos

...

x

p

x x

p

p

y e Asenx B x Dx E

y e A x Bsenx D e Asenx B x Dx E

y


1, 0, 1, 0

2

2

x x

p

A B D E

xy e senx xe

Rpta: 1 2cos2

x x xxy e senx xe e c x c senx

13. cos

2 ''' 2 '' 2 '2

iv x xy y y y y xe

RESOLUCIÓN

4 3 2

2 ''' 2 '' 2 ' 0

2 2 2 1 0

ivy y y y y

P t t t t t



De donde: 1, , ,t duplicidad t i t i


1 2 3 4cosx

gy c c x e c x c senx


cosx

py Ax B e Cx D senx Ex F x


1 1 1, , 0, 0, , 0

8 4 8

1os

8 4 8

x

p

A B C D E F

x xy e c x

Rpta: 1 2 3 4

1cos

8 4 8

x xx xy e c c x e c x c senx

14. 2 2'' ' cos xy y x e x

RESOLUCIÓN

2

'' ' 0

1 0

y y

P t t t t t

De donde: 0, 1t t


1 2

x

gy c c e


22 cos2 x

py Asen x B x Ce x Dx Ex F

Derivando hasta la segunda derivada, Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal

tenemos:

32

1 1 1 1, , , , 1, 2

2 10 2 3

sen cos 22

3 2 2 10

x

p

A B C D E F

x e x xy x x

Rpta: 3

2

1 2

sen cos 22

3 2 2 10

xx x e x x

y c c e x x

15. 4 ''' 3 2 1v xy y e sen x

RESOLUCIÓN

5 3 3 2

4 ''' 0

4 4 0

vy y

P t t t t t

De donde: 0 3, 2 , 2 , t demultiplicidad t i t i




1 2 3 4 5cos2 2gy c c x c x c x c sen x

La solución particular es; 5 32 cos2x

py Ae Bxsen x Cx x Dx Ex

Derivando hasta la quinta derivada, Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal

tenemos:

3

1 3 1, , 0, 0,

5 32 24

32

5 24 32

x

p

A B C D E

e x xy sen x

Rpta: 3

2

1 2 3 4 5

3cos 2 2 2

5 24 32

xe x xy c c x c x c x c sen x sen x

16. 2'' ' x xy y x e e

RESOLUCIÓN

2

'' ' 0

1 0

y y

P t t t t t

De donde: 0, 1t t


1 2

x

gy c c e


2 x x

py x Ax Bx C Dx E e Fx G e

Derivando hasta la segunda derivada, Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal

tenemos:

32

1 1, 1, 2, 1, 0, , 0

3 2

23 2

x x

p

A B C D E F G

x xy x x xe e

Rpta: 3

2

1 2 23 2

x x xx xy c c e x x xe e

17. '' 3 ' 1 cosxy y e x senx

RESOLUCIÓN

2

'' 3 ' 0

3 3 0

y y

P t t t t t

De donde: 0, 3t t




1 2

x

gy c c e

La solución particular es; Similar al problema anterior entonces:

Rpta: 3

1 2

cos 2

2 3 5

xx e x x senx

y c c e

18. '' 4 ' 4 2y y x senx sen x

RESOLUCIÓN

2

'' 4 ' 0

4 4 0

y y

P t t t t t

De donde: 0, 4t t


1 2

x

gy c c e


1 2

1 4cos 325 8

p

cos xy x x senx

Rpta: 4

1 2

1 21 4cos 3

25 8

x cos xy c c e x x senx

19. 2 2'' 4 ' 5 1 cos xy y y x e

RESOLUCIÓN

2

'' 4 ' 5 0

4 5 0

y y y

P t t t



1 2cosx x

gy c e x c e senx


3 cos 2 4 2

10 130 65p

x sen xy

Rpta: 2

1 2

3 cos 2 4 2cos 1

10 130 65

x x sen xy c x c senx e

20. 2''' 2 ' 4 cos 2xy y y e x x sen x

RESOLUCIÓN



3

''' 2 ' 4 0

2 4 0

y y y

P t t t



1 2 3cosx x

gy c e c x c senx e


21 12 2 1 2 3cos 2 3 cos

8 40 20

x

p

xey x x sen x x senx x

Rpta:

2 2

1 2 3

1 1cos 2 2 1 2 3cos 2 3 cos

8 40 20

xx x xe

y c e c x c senx e x x sen x x senx x

21. '' 2 ' 3 4 2y y sen x

RESOLUCIÓN

2

'' 2 ' 0

2 2 0

y y

P t t t t t

De donde: 0, 2t t


1 2

x

gy c c e


'

''

2 cos 2

2 cos 2 2 2

4 4 cos 2

p

p

p

y Ax Bsen x C x

y A B x Csen x

y Bsenx C x


3 1 1, ,

2 2 2

3 2 cos 2

2 2 2p

A B C

x sen x xy

Rpta: 2

1 2

3 2 cos 2

2 2 2

x x sen x xy c c e

22. '' 2 ' 4, 0 1, ' 0 1xy y y xe y y

RESOLUCIÓN

22

'' 2 ' 0

2 1 1 0

y y y

P t t t t





1 2

x x

gy c e c xe


3 2

' 2 3 2

'' 2 2 3 2

3 2

6 2 3 2 3 2

x

p

x x

p

x x x x

p

y Ax Bx Cx e Dx E

y Ax Bx C e Ax Bx Cx e D

y Ax B e Ax Bx C e Ax Bx C e Ax Bx Cx e


3

1, 0, 0, 0, 4

6

46

x

p

A B C D E

x ey

Remplazando los valores de y (0), y’ (0) obtenemos;

1 23, 4c c

Rpta: 3

4 3 46

xx x x e

y xe e

23. 22 '' 3 ' 3y y y x senx

RESOLUCIÓN

2

2 '' 3 ' 0

2 3 1 0

y y y

P t t t

De donde: 1

1,2

t t

La solución homogénea es: / 2

1 2

x x

gy c e c e

La solución particular es; 2

'

''

cos

2 cos

2 cos

p

p

p

y Ax Bx C Dsenx E x

y Ax B D x Esenx

y A Dsenx E x


2

3 91, 6, 14, ,

10 10

3 96 14 cos

10 10p

A B C D E

y x x senx x

Rpta: / 2 2

1 2

3 96 14 cos

10 10

x xy c e c e x x senx x

24. 2'' 8 ' 15 15 14 1 xy y y x y e

RESOLUCIÓN



2

'' 8 ' 15 0

8 15 0

y y y

P t t t

De donde: 3, 5t t La solución homogénea es:

3 5

1 2

x x

gy c e c e


2

'

''

2

2

x

p

x

p

x

p

y x C DeA Bx

y x DeA B

y A De


2

11, 2, 1,

8

18

x

p

A B C D

ey x

Rpta: 23 5

1 2 18

xx x e

y c e c e x

25. 2''' 4 ' 4 ' 8 1xy y y e x

RESOLUCIÓN

3 2

''' 4 '' 4 ' 0

4 4 0

y y t

P t t t t

De donde: 2,t de multiplicidad 2,

0t


2

1 2 3

x

gy c e c x c La solución particular es;

2 2 2

' 2 2 2

'' 2 2 2 2 2

''' 2

2 2 2

2 2 2 4 2 2 2

4 ....

x

p

x x

p

x x x x

p

x

p

y x C e Dx Ex FA Bx

y x e x C e Dx EA B A Bx

y Ae Ax B e e x C e Ax B DA Bx

y e




2 22

1, 0, 0, 1, 0, 0

4

4

x

p

A B C D E F

x ey x

Rpta: 2 2

2 2

1 2 34

xx x e

y c e c x c x

26. 212 24iv iii ii xy y y x x e

RESOLUCIÓN

4 3 2 2

0

1 0

iv iii iiy y y

P t t t y t t t

De donde: 1 3 1 3

0, ,2 2 2 2

t t t


/ 2

1 2 3 4

3 3cos

2 2

x

gy c c x e c x c sen x

1 2gy c c x

La solución particular es; 4 3 2

' 3 2

'' 2

'''

4 3 2

12 6 2

24 6

24

x

p

x

p

x

p

x

p

iv x

p

y x Cx EeA Bx

y x Cx EeA Bx

y Ax Bx C Ee

y Ax B Ee

y A Ee


4 2

11, 0, 12,

3

123

x

p

A B C E

ey x x

Rpta: / 2 4 2

1 2 3 4

3 3cos 12

2 2 3

xx e

y c c x e c x c sen x x x

27. 8 '' 16 2ivy y y xsenhx x

RESOLUCIÓN

2 24 2

8 '' 16 0

8 16 2 2 0

ivy y y

P t t t t t

De donde: 2, 2,t t duplicidad




2 2

1 2 3 4

x x

gy e c x c e c x c

g py y y


2 2 3 21 1

192 128 192 128

x x

p

x xy x e x e

Rpta: 2 2 2 2 3 2

1 2 3 4

1 1

192 128 192 128

x x x xx xy e c x c e c x c x e x e

28. 2

''' ' xy y x e

RESOLUCIÓN

3

''' ' 0

1 1 0

y y

P t t t t t t



1 2 3

x x

gy c c e c e

g py y y


3 2 2

' 2 2

'' 2

3 2 2 2

6 2 2 2 2 4

x x

p

x x x

p

x x x x x

p

y x Cx x D E e FeA Bx x

y x C Dx E e x D E e FeA Bx x

y Ax B De Dx E e Dx E e x D E e Fex


2 2

1 1 3 1, 0, 2, , ,

3 2 2 6

2 36 3 2

xx

p

A B C D E F

e x xy x x e

Rpta: 2 2

1 2 3 2 36 3 2

xx x xe x x

y c c e c e x x e

29. ''' '' ' coshy y y y x x

RESOLUCIÓN


DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL

3 2

''' '' ' 0

1 0

y y y y

P t t t t



1 2 3cosx

gy c e c x c senx

cosh2

x xe ex

g py y y


2

' 2 22 2

x x

p

x x

p

y x C e x D E eA Bx x

y x A C B e D E D x E eA B x x


1 3 1 10, , , ,

8 16 8 4

3/ 2 28 8

xx

p

A B C D E

e xy x x e

Rpta: 1 2 3cos 3/ 2 28 8

xx xe x

y c e c x c senx x x e

30. ''' 2 '' ' 2cos2y y y senx x

RESOLUCIÓN

3 2

''' 2 '' ' 0

2 0

y y y

P t t t t

De donde: 0, 1t t de multiplicidad 2


1 2 3

x

gy c e c x c

g py y y




'

''

'''

2 cos 2cos

cos 2 cos 2 2 2

cos 4 2 4 cos 2

cos 8 2 8 2

p

p

p

p

y Csen x D xAsenx B x

y A x Bsenx C x Dsen x

y Asenx B x Csen x D x

y A x Bsenx Csen x Dsen x


1 3 4, 0, ,

2 25 25

13 2 4cos 2

2 25p

A B C D

senxy sen x x

Rpta: 1 2 3

13 2 4cos 2

2 25

x senxy c e c x c sen x x





VI. Dar la forma de la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. 2 2'' 4 ' xy y x e

RESOLUCIÓN

2

1

2

2 2

1 2

2 2

'' 4 0

4 0

2,2 2

2

+

h

h x x

p x

y y y

t

tt t

t

y C e C e

y xe Ax Bx C

Rpta: 2 2x

py xe Ax Bx C

2. '' 9 cos2y y x

RESOLUCIÓN

2

1

2

1 2

'' 9 0

9 0

33 3

3

cos3 sen3

cos2 sen 2

h

h

p

y y y

t

t it i t i

t i

y C x C x

y A x B x

Rpta: cos2 sen2A x B x

3. 2'' 4 ' 4 2 xy y y sen x e

RESOLUCIÓN

2

1

'' 4 ' 4 0

4 4 0

2 2 2, 2.

hy y y y

t t

t t t multiplicidad



2 2

1 2 2

2 2

2

sen2 cos2sen2 cos2

h x x

pp p x

x

p

y Ae Bxe

y A x B xy y A x B x Cx e

y Cx e

Rpta: 2 2cos2 2 x

py A x Bsen x Cx e

4. '' 2 ' 2 xy y y e senx

RESOLUCIÓN

12

2

1 2

'' 2 ' 2 0

12 2

1

cos sen3x

cos sen

h

h x x

p x

y y y y

t it t

t i

y C e x C e

y e A x B x

Rpta: cosx

py e A x Bsenx

5. 2 2'' 5 ' 6 1 x xy y y x e xe

RESOLUCIÓN

2

1

2

3 2

1 2

2 2

'' 5 ' 6 0

5 6 0

33 2

2

h

h x x

p x x

y y y y

t t

tt t

t

y C e C e

y e Ax Bx C xe Dx E

Rpta: 2 2x x

py e Ax Bx C xe Dx E

6. 2'' 2 ' 5 cos2 2x xy y y xe x x e sen x

RESOLUCIÓN



12

2

1 2

2 2

'' 2 5 0

1 22 5 0

1 2

cos 2 sen2

cos 2 sen 2

h

h x x

p x

y y y y

t it t

t i

y C e x C e x

y xe Ax Bx C x Dx Ex F x

Rpta: 2 2cos2 2x

py xe Ax Bx C x Dx Ex F sen x

7. 4 2 3'' 3 ' 2 3xy y x x e sen x

RESOLUCIÓN

2

1

2

3

1 2

4 3 2 3 3 2

'' 3 ' 0

3 0

03

3

sen3 cos3

h

h x

p x

y y y

t t

tt t

t

y C C e

y x Ax Bx Cx Dx E x e Fx Gx H I x J x

Rpta:

4 4 2 2

1 2 3 4 5 1 2 3 3 cos3xy x A x A x A x A x A x B x B x B e Dsen x E x

8. '' 1y y x senx

RESOLUCIÓN

2

1

2

1 2

'' 0

1 0

cos sen

sen cos

h

h

p

y y y

t

t it i t i

t i

y C x C x

y Ax B x Cx D x x Ex F x

Rpta: 1 2 1 2 1 2 cospy A x A x B x B senx x D x D x

9. 2'' 5 ' 6 cos2 3 4x xy y y e x e x senx

RESOLUCIÓN



2

1

2

2 3

1 2

2 2

'' 5 ' 6 0

5 6 0

23 2

3

sen2 cos2 sen cos

h

h x x

p x x x

y y y y

t t

tt t

t

y C e C e

y e A x B x e Cx D x e Ex F x

Rpta: 2 2

1 2 1 2cos2 2 cosx x x

py e A x Bsen x D D x e senx E x E e x

10. 2'' 2 ' 2 3 2 cos 4x x xy y y e e x e x senx

RESOLUCIÓN

12

2

1 2

2 2

'' 2 ' 2 0

12 2

1

cos sen

cos sen

h

h x x

p x x

y y y y

t it t

t i

y C e x C e x

y e A xe Bx Cx D x Ex Fx J x

Rpta: 2 2

1 2 3 1 2 3cosx x x

py Ae x B x B x B e x x C x C x C e senx

11. 2'' 3 ' 2 1 2 3 cos 4x x xy y y e x sen x e x e

RESOLUCIÓN

2

1

2

2

1 2

2 2

'' 3 ' 2 0

3 2

22 1

1

sen2 cos2 sen cos

h

h x x

p x x x

y y y y

t t

tt t

t

y C e C e

y e Ax Bx C x Dx Ex F x e G x H x Ie

Rpta:

2 2sen2 cos2 sen cosx x x

py e Ax Bx C x Dx Ex F x e G x H x Ie

12. 2'' 4 ' 2 6 7 cos2y y x sen x x x



RESOLUCIÓN

2

1

2

1 2

2 2

'' 4 0

4

22 2

2

cos 2 sen2

sen2 cos 2

h

h

p

y y y

t

t it i t i

t i

y C x C x

y x Ax Bx C x Dx Ex F x

Rpta: 2 2sen2 cos2x Ax Bx C x Dx Ex F x

13. 2 2'' 4 ' 4 2 4 2xy y y x xe xsen x

RESOLUCIÓN

2

1

2 2

1 2

2 2 2

'' 4 ' 4 0

4 4 0

2 2 2, 2.

sen2 cos2

h

h x x

p x

y y y y

t t

t t t multiplicidad

y C e C xe

y Ax Bx C x e Dx E Fx G x Hx I x

Rpta: 2 2 2 sen2 cos2x

py Ax Bx C x e Dx E Fx G x Hx I x

14. 2 2 2'' 4 ' 4 2 2x xy y y x e xsenx xe x senx

RESOLUCIÓN

2

1

2 2

1 2

2 2 2

'' 4 ' 4 0

4 4 0

2 2 2, 2.

sen cos

h

h x x

p x

y y y y

t t

t t t multiplicidad

y C e C xe

y xe Ax B Cx Dx E x Fx Gx H x

Rpta: 2 2 2

1 2 1 2 3 1 2 3 cosx

py x A x A e B x B x B senx C x C x C x



15. 2 2'' 2 ' 2 3 cos5xy y y x xe x

RESOLUCIÓN

12

2

1 2

2 2

'' 2 ' 2 0

12 2

1

cos sen

( ) ( cos5 sen5 )

h

h x x

p x

y y y y

t it t

t i

y C e x C e x

y Ax Bx C e Dx E x Fx E x

Rpta: 2 2 2

1 2 3 1 2 1 25 cos5x x

py A x A x A x B x B e sen x x C x C e x

16. 2''' 3 ' 2 1x x x xy y y e xe e xe

RESOLUCIÓN

13

2

2

1 2 3

2 2

''' 3 ' 2 0

1 23 2

2

( )

h

h x x x

p x x

y y y y

t multiplicidadt t

t

y C e C e C xe

y Ax e xe Bx C

Rpta: 2 2 ( )x x

py Ax e xe Bx C

17. 5 '' 4 2cosivy y y x

RESOLUCIÓN

14 2

3

4 5

1 2

5 '' 4 0

45 4

5

sen cos

h iV

h x x

p

y y y y

tt t

t

y C e C e

y A x B x

Rpta: sen cosA x B x

18. 2'' 4 ' 8 1 2xy y y e sen x

RESOLUCIÓN



12

3

2 2

1 2

'' 4 ' 8 0

2 24 8

2 2

cos2 sen2

( sen2 cos2 )

h

h x x

p x x

y y y y

t it t

t i

y C e x C e x

y Ae e Bx x Cx x

Rpta: ( sen2 cos2 )x xAe e Bx x Cx x

19. 2 2iii ii i xy y y y x e

RESOLUCIÓN

''' '' ' 0hy y y y

3 2

1 2 3

1 1

2 21 2 3

1 3 1 30; ;

2 2 2 2

3 3cos( ) ( )

2 2

( )

x xh

p x

t t t t t i t i

y C C e x C e sen x

y Ax B Ce

Rpta: ( ) x

py Ax B Ce

20. 23 4 9 4iii ii xy y y xe x

RESOLUCIÓN

13 2

2

2 2

1 2 3

2 2

''' 3 '' 4 0

2 23 4

1

( )

h

h x x x

p x

y y y y

t multiplicidadt t

t

y C e C xe C e

y x e Ax B Cx D

Rpta: 2 2 ( )xx e Ax B Cx D



SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Resolver los siguientes ejercicios

1.

... 1

... 2

... 3

dxy z

dt

dyz x

dt

dzx y

dt

RESOLUCIÓN Llevando al método de matriz:

P(r) = 1

1

r

1

1

r

1

1

r

= 0 2 1 1 ( 1) 0r r r r

Sus raíces son:

1

2

3

1

1

2

r

r

r

Rpta: 2

1 2

t tx c c t e ce

2.

... 1

3 ... 2

3 ... 3

dxy z

dt

dyx z

dt

dzx y

dt

RESOLUCIÓN

P(r) = 3

3

r

1

1

r

1

1

r

= 0 2 1 3 3 (3 3) 0r r r r



Sus raíces son:

1

2

3

1

3

2

r

r

r

Rpta: 3 2

1 2

t t ty c e c e t e

3.

8

2

2 8 2

dxy

dt

dyz

dt

dzx y z

dt

RESOLUCIÓN

3

3

3

3

3

3

3 2

3 2

1De 1 se tiene Reemplazando en 2 :

8

12

8

:

12

8

Re en (3):16

12 8 2

16

12 0

16 8

Es una ecuación homogénea.

El polinomi

dxy

dt

d dxz

dt dt

Derivando

d x dz

dt dt

d x dzemplando

dt dt

d xx y z

dt

d x dx d xx

dt dt dt

2 2

1 2 3

2

1 2 3

o general de la ecuación diferencial es:

= 2 16 2 2 16 0

4 , 4 , 2

La solución general de la ecuación es:

cos 4 4 t

P r r r r r r

Donde r i r i r

x c t c sen t c e

Rpta: 2

1 2 3cos4 4 tx c t c sen t c e



4.

6 ... 1

3 2 ... 2

dxx y

dt

dyx y

dt

RESOLUCIÓN:

2

2

2

2

2

1 2

De 1 se tiene 6 Reemplazando en 2 :

6 15 2

2 15 6

El polinomio general de la ecuación diferencial es:

= 2 15 0

2 14 , 2 14

La solución general de la ecuación

dxy x

dt

d x dxx

dt dt

d x dxx

dt dt

P r r r

Donde r i r i

2

1 2

es:

cos 14 14 tx c t c sen t e

' ''

La solución particular es de la forma:


, ,


3 3 7 1

3 7

3 1

p

t t t

p p p

t t t t

t

x At B

x Ae Bt C x Ae B x Ae

Ae Ae Ae Bt C e

Ae

C

1 13 1 13

2 2 2 2

1 2

7

3

0

1

3

7 1Luego y la solución general es:

3 3

7 1

3 3

t

p h p

t tt

A

de donde B

C

y e x x x

x c e c e e

Rpta:

1 13 1 13

2 2 2 2

1 2

7 1

3 3

t ttx c e c e e



5.

3 4 ... 1

2 3 ... 2

dxx y

dt

dyx y

dt

RESOLUCIÓN

2

2

2

2

3 1De 1 se tiene Reemplazando en 2 :

4 4

3 1 3 12 3

4 4 4 4

3 9 32

4 4 4 4

0 Es una ecuación homogénea.


dxy x

dt

d dx dxx x x

dt dt dt

dx d x dxx x

dt dt dt

d xx

dt

2

1 2

= 1 1 1 0

1, 1


t t

P r r r r

Donde r r

x c e c e

Rpta: 1 2

t tx c e c e

6.

2 ... 1

9 2 ... 2

dxx y

dt

dyx y

dt

RESOLUCIÓN

2

2

2

2


2 13 2

2 13 2


dxy x

dt

d dx dxx x

dt dt dt

d x dxx

dt dt

d xx

dt



2

1 2

1 2


= 2 13 0

1 2 3 , 1 2 3


cos 2 3 2 3

t

P r r r

Donde r i r i

x c x c sen x e

' ''



, , 0


0 2 13 2

013 0

213 2 2

13

p

p p p

x At B

x At B x A x

A At B

AA

de dondeB A B

1 2


13

2cos 2 3 2 3

13

p h p

t

y x x x

x c t c sen t e

Rpta: 1 2

2cos 2 3 2 3

13 tx c t c sen t e

7.

... 17 5

0 , 09 9

2 2 ... 2

dxx y t

dtx y

dyx y t

dt

RESOLUCIÓN

2

2

2

2


4 4

1 1

4 4 4 4

3 1

4 4 4 4

2 3 0 Es una ecuación homogénea.

dx xy

dt

d dx x dx xx

dt dt dt

d x dx dxx

dt dt dt

d x dxx

dt dt



2

2 3

1 2

El polinomio general de la ecuación homogénea es:

= 5 6 3 2 0

3, 2

La solución general de la ecuación homogenea es:


De donde der

t t

h

p

P r r r r r

Donde r r

x c e c e

x At B

' ''

ivando la ecuación particular:

, , 0


5 6 6 2 1

1

6 2 3

6 5 1 1

9


3 3

p p p

p h

y At B y A y

A At B t

AA

de dondeB A

B

y t x x

2 3

1 2

1 1

3 3

p

t t

x

y c e c e t

Rpta: 2 3

1 2

1 1

3 3

t ty c e c e t

8.

... 1

1, 0

... 2

dxy

dtx y

dx dyx y

dt dt

RESOLUCIÓN

2

2

De 1 se tiene Reemplazandoen 2


dxy

dt

dx d dx dxx

dt dt dt dt

d xx

dt



2

1 2

1 2

1 1

2


= 1 0

,


cos sen

cos sen 1

1 1

1

sen c

g

g

P r r

Donde r i r i

x c x c x

x c c

x c c

Derivando x y Reemplazandoen

dxt c

dt 2 2os sen cos 0

cos

g

t y c c

x x

Rpta: cosgx x

9.

... 1

0 2, 0 1

sen 2 ... 2

tdx dye y

dt dtx y

dy dyt y

dt dt

RESOLUCIÓN

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

De 1 se tiene , Reemplazando en 2

2 sen 2

Reemplazando en 2 :

2 sen 2

t t

t t

t t

dx dy d x dy d yy e e

dt dt dt dt dt

dx d x d y dx dye t e

dt dt dt dt dt

dx d dx dy dx dye t e

dt dt dt dt dt dt

d x

dt

2

22 sen td y dy

e tdt dt

2 2

2 22 sen

2 sen Es una ecuación no homogénea.

t t

t

dy d y d y dye e t

dt dt dt dt

dye t

dt



1


= 0

0, La solución general de la ecuación es:

h

P r r

Donde r

x c

'


sen cos


sen cos , cos sen


cos sen

t

p

t t

p p

t

x Ae B t C t

y Ae B t C t y Ae B t C t

Ae B t C

1

1 1

2 sen

2 2

cos 0 0

sen sen 1

Luego 2 cos y la solución general es:

cos

0 2 1 1 2

2 cos

t

t

p h p

t

t

t e t

A A

B t de donde B

C t t C

y e t x x x

y c e t

y c c

y e t

Rpta: 2 cos ty e t

10.

4 ... 1

... 2

dxx y

dt

dyx y

dt

RESOLUCIÓN

2

2

2

2

2


4 4

1 1

4 4 4 4

3 1

4 4 4 4



= 5

dx xy

dt

d dx x dx xx

dt dt dt

d x dx dxx

dt dt dt

d x dxx

dt dt

P r r r 6 3 2 0

3, 2

r r

Donde r r



2 3

1 2


t t

hx c e c e

' ''



, , 0


5 6 6 2 1

1

6 2 3

6 5 1 1

9

p

p p p

x At B

x At B x A x

A At B t

AA

de dondeB A

B

2 3

1 2


3 3

1 1

3 3

p h p

t t

x t x x x

x c e c e t

Rpta: 2 3

1 2

1 1

3 3

t tx c e c e t

11.

22 6 6 3 ... 1

0 2, 0 3

2 2 1 ... 2

dxx y t t

dtx y

dy dyy t

dt dt

RESOLUCIÓN

2

2

2

22

2

22

2

22

2

De 1 se tiene 2 6 6 3

2 6 12 1

2

2 6 12 1 2 2 6 6 3 2 1

2 10 6 12 8 6

5 3 6 4 3 Es una ecuación no homogénea

dxy x t t

dt

d x dx dyt

dt dt dt

Reemplazandoen

d x dx dxt x t t t

dt dt dt

d x dxx t t

dt dt

d x dxx t t

dt dt.



2

5 13 5 13

2 2

1 2


= 5 3 0

5 13 5 13,

2 2


La solución particular es de la

t t

h

P r r r

Donde r r

x c e c e

2

2 ' ''

2 2

forma:


, 2 , 2


2 5 2 3 6 4 3

3 6

3 10 4

2 5 3 3

p

p p p

t t

x At Bt C

x At Bt C x At B x A

A At B At Bt C t t

A

B Ad

A B C

Be e

2

5 13 5 13

2 2 2

1 2

2

16 / 3

59 / 9

16 59Luego 2 y la solución general es:

3 9

16 592

3 9

p h p

t t

A

e donde B

C

x t t x x x

x c e c e t t

Rpta:

5 13 5 13

2 2 2

1 2

16 592

3 9

t t

x c e c e t t

12.

3 ... 1

... 2

dxx y

dt

dyy

dt

RESOLUCIÓN

2

2

De 1 se tiene Reemplazando en 2 :3 3

3 3 3 3

3 3 3 3

dx xy

dt

d dx x dx x

dt dt dt

d x dx dx x

dt dt dt



2

2

2

1

1 2

2 0 Es una ecuación homogénea.


= 2 1 0

1 2


t

d x dxx

dt dt

P r r r

Donde r demultiplicidad

x c tc e

Rpta: 1 2 tx c tc e

13.

2 ... 1

2 3 ... 2

dxx y

dt

dyx y

dt

RESOLUCIÓN

2

2

2

2

2


2 2 3 2

2 2 3 6



= 5

dxy x

dt

d dx dxx x x

dt dt dt

d x dx dxx x

dt dt dt

d x dxx

dt dt

P r r

4

1 2

4 4 1 0

4, 1


t t

r r r

Donde r r

x c e c e

Rpta: 4

1 2 t tx c e c e

14.

7 4 ... 1

3 ... 2

dxx y

dt

dyx y

dt

RESOLUCIÓN



2

2

2

2


4 4

7 3 21

4 4 4 4

7 25 3

4 4 4 4



dxy x

dt

d dx dxx x x

dt dt dt

d x dx dxx

dt dt dt

d x dx

dt dt

P

2

1

5

1 2

= 10 25 0

5 2


t

r r r

Donde r demultiplicidad

x c tc e

Rpta: 5

1 2

tx c tc e

15.

2 ... 1

3 ... 2

dxx

dt

dyx y

dt

RESOLUCIÓN

2

2

2

2

2


23 3 3 3

2 2

3 3 3 3

2 0 Es una ecuación homogénea.


=

y dyx

dt

d y dy y dy

dt dt dt

dy d y dyy

dt dt dt

d y dyy

dt dt

P r r

2

1 2

2 2 1 0

1, 2


t t

r r r

Donde r r

x c e c e

Rpta: 2

1 2

t tx c e c e



16.

3 ... 1

2 ... 2

t

t

dxx y e

dt

dyy e

dt

RESOLUCIÓN

2

2

2

De 1 se tiene Reemplazando en 2 :3 3 3

23 3 3 3 3 3

3 2 3 Es una ecuación no homogénea.


=

t

t tt

t t

x e dxy

dt

d x e dx x e dxe

dt dt dt

d x dxx e e

dt dt

P r r

2

1 2

'

3 2 2 1 0

1, 2




,

t t

h

t t

p

t t

p p

r r r

Donde r r

x c e c e

x Ae Bte

x Ae Bte x Ae

'', 2


2 3 2 3

16 3

2

1

1Luego y la solución gen

2

t t t t t t

p

t t t t t t t t t t

t t

t t

t t

p

Bte Be x Ae Bte Be

Ae Bte Be Ae Bte Be Ae Bte e e

Ae e Ade donde

Be eB

x e te

2

1 2

eral es:

1

2

h p

t t t t

x x x

x c e c e e te

Rpta: 2

1 2

1

2

t t t tx c e c e e te

17.

4 1 ... 1

2 1 ... 2

dxx y t

dt

dyx y t

dt



RESOLUCIÓN

2

2

2

2

De 1 se tiene 4 1 Reemplazando en 2 :

4 1 2 4 1 1

4 1 6 2

5 6 2 1 Es una ecuación no homogénea.

El polinomio general de la ecuación homo

dxy x t

dt

d dx dxx t x x t t

dt dt dt

dx d x dxx t

dt dt dt

d x dxx t

dt dt

2

2 3

1 2

génea es:

= 5 6 3 2 0

3, 2




,

t t

h

p

p

P r r r r r

Donde r r

x c e c e

x At B

x At B x ' ''

2 3

1 2

, 0


5 6 6 2 1

1

6 2 3

6 5 1 1

9


3 3

1 1

3 3

p p

p h p

t t

A x

A At B t

AA

de dondeB A

B

x t x x x

x c e c e t

Rpta: 2 3

1 2

1 1

3 3

t tx c e c e t

18.

4 3 ... 1

... 2

t

t

dxx y te

dt

dyx y e

dt

RESOLUCIÓN



2

2

2

2

2

1De 1 se tiene 3 Reemplazando en 2 :

4

1 13 3 3

4 4

2 3 7


= 2 3 3 1 0

t

t t t t

t

dxy x te

dt

d x dx dxte e x x te e

dt dt dt

d x dxx e

dt dt

P r r r r r

Don 1 2

3

1 2

3, 1


t t

g

de r r

x c e c e

' ''



, ,


2 3 7

4 7 7 / 4

7Luego

4

t

p

t t t

p p p

t t t t

p

x Ae

x Ae x Ae x Ae

Ae Ae Ae e

A de donde A

y e

3

1 2

y la solución general es:

7

4

t

g p

t t t

x x x

x c e c e e

Rpta: 3

1 2

7

4

t t tx c e c e e

19.

5 4 ... 1

2 ... 2

dxx y

dt

dyx y

dt

RESOLUCIÓN

5


5 52

4 4 4 4

dxy x

dt

d dx dxx x x

dt dt dt



2

2

2

2

2

3

1 2

5 13

4 4 4 4



= 6 13 0

3 , 3


cos

t

dx d x dxx

dt dt dt

d x dx

dt dt

P r r r

Donde r i r i

x c e x c e3 sent x

Rpta: 3

1 2cos sen tx c x c x e

20.

2 3 ... 1

3 ... 2

dxx y

dt

dyx y

dt

RESOLUCIÓN

2

2

2

2


3 3

2 4 23

3 3 3 3

2 1 13 2

3 3 3 3



=

x dxy

dt

d x dx x dxx

dt dt dt

dx d x dxx

dt dt dt

d x dxx

dt dt

P r 2

2 2

1 2

2 10 0

2 3 , 2 3


cos3 sen 3

t t

r r

Donde r i r i

x c e t c e t

Rpta: 2

1 2cos3 sen3 tx c t c t e

21.

3 ... 1

3 ... 2

dxx y

dt

dyx y

dt

RESOLUCIÓN



2

2

2

2

2


33 3 3 3

1 1 10 1

3 3 3 3



= 2

x dxy

dt

d x dx x dxx

dt dt dt

dx d x dxx

dt dt dt

d x dxx

dt dt

P r r

1 2

10 0

1 3 , 1 3


cos3 sen 3

t t

r

Donde r i r i

x c e x c e x

Rpta: 1 2cos3 sen3 tx c x c x e

22.

4 2 ... 1

5 2 ... 2

dxx y

dt

dyx y

dt

RESOLUCIÓN

2

2

2

1 2

1De 1 se tiene 4 Reemplazando en 2 :

2

14 5 4

2

5 18 0


= 5 18 0

5 47 5 47,

2 2 2

dxy x

dt

d dx dxx x x

dt dt dt

d x dxx

dt dt

P r r r

Donde r i r

5

2

1 2

2


47 47cos sen

2 2

t

i

x c t c t e



' ''



, , 0


0 2 18 4

018 0

218 2 4

9

p

p p p

x At B

x At B x A x

A At B

AAt

de dondeB A B

1 2


9

2cos 17 17

9

p h p

t

x x x x

x c t c sen t e

Rpta: 1 2

2cos 17 17

9

tx c t c sen t e

23.

4 2 ... 1

5 2 ... 2

dxx y

dt

dyx y

dt

RESOLUCIÓN

24.

5 4 ... 1

... 2

dxx y

dt

dyx y

dt

RESOLUCIÓN

P(r) = 5

1

r

4

1 r

= 0 5 1 4 0r r

Las raíces son:

1

2

3

3

r

r

Rpta: 3

1 2 tx c tc e



TRANFORMADA DE LAPLACE

I.

1. Demostrase que xf t t , es de orden exponencial cuando ;t R

DEMOSTRACIÓN

Definición:

La función F 0, R , es de orden exponencial si existen constantes c o y

tal que , 0.tF t ce t

2. ¿La función xf t t , es de orden exponencial en 0, ?

SOLUCIÓN

Definición:

La función F 0, R , es de orden exponencial si existen constantes c o y

tal que , 0.tF t ce t

Rpta: No es de orden exponencial

3. ¿Cuáles de las siguientes funciones son continuas por tramos en 0, ? Razónese la

respuesta.

a) 1

1

tf t

t

Rpta: No es continua por tramos 0,

b) 2

2

2

tf t

t t

Rpta: Es continua por tramos en 0,

c) 1

tf t e Rpta: No es continua por tramos en 0,

d) 2f t t Rpta: Es continua por tramos en 0,

4. Demostrar que para cualquier número real , ( )atF t e f t es continua por tramos

en 0, , siempre que f lo sea.

DEMOSTRACIÓN

5. Demuéstrese que las funciones dadas son continuas por tramos y de orden exponencial

en 0, .



DEMOSTRACIÓN

a) .cosnf t t kt Rpta: No es continua por tramos 0,

b) 1 cos kt

f tt


c) 1 te

f tt

Rpta: No es continua por tramos 0,

d) 1 senkt

f tt


6. Hallar la transformada de Laplace L F t si:

a) 2.cosf t t t

SOLUCIÓN

2 22

2 2 2 22

2 2 2 2 2 3

2 2 4 32 2

1( )

1 1 1

1 2 (1 ) 4 (1 )( 1) 2 6

( 1)1 1

f s L F t

s d s sL cost L t cost

s ds s s

d s s s s s s s s

ds ss s

Rpta:

3

32

2 6

1

s sf s

s

b) 2. .costf t t e t

SOLUCIÓN

Se sabe que el ejercicio anterior es 2.cosf t t t y por propiedad:

32

32

2( 1) 6( 1). .cos

( 1) 1

t s sL t e t

s

Rpta:

3

32

2 1 6 1

1 1

s sf s

s

c) 2

32 3t

f t t e

SOLUCIÓN

/3 2/3 /3 2/3

2/3 2/3 2/3

2 2 2

2 . 3

2. 3 (3 3 )

1 1 1( ) ( )

3 3 3

t tL F t L t e e L e e

e e e sL F t

s s s



Rpta:

2 / 3

2

(3 3 )

1( )

3

e sf s

s

7. Demostrar que

22

3

6 2

1

sL t sent

s

DEMOSTRACIÓN

2 22 22

2 2 2 22

22 2 2 2

4 3 3

1 211 1

1 1

2 1 2 1 2 2 2 1 8 6 2

1 1 1

sd d dL t sent L sent

dsds ds s s

s s s s s s s

s s s

Por lo tanto,

2

3

6 2

1

sf s

s

L.q.q.d.

8. Demostrar que

2

3

2 2

7cos

9 1

s sL t

s s

DEMOSTRACIÓN

Propiedad: 3 cos3 3coscos

4

t tt

3

2 2

2 2 22

2 2 2 2 2 2

cos3 3cos 1 1 3cos cos3 3cos

4 4 4 9 1

1 3 9 74 28

4 49 1 9 1 9 1

t t s sL t L L t t

s s

s s s ss s s

s s s s s s

Por lo tanto,

2

2 2

7

9 1

s sf s

s s

L.q.q.d

9. Halla 3.cosL t t

SOLUCIÓN



2

23 2 2 23 3 33

3 2 2 2 2 22 2

22 2 2 3

3 3

4 32 2

3 22 2 2 3

62

cos1

1 2 1cos 1 1 1

1 1 1

2 1 2 1 2 1 2 61 1

1 1

6 6 1 3 1 2 2 61

1

sL t

s

s s sd s d d sL t t

ds s ds dss s

s s s s sd d s s

ds dss s

s s s s s s

s

2 2 3

42

4 4 2 4 2 4 2

4 4 42 2 2

6 6 1 3 2 2 61

1

6 6 12 36 6 36 6 6 36 61 1

1 1 1

s s s s s

s

s s s s s s s

s s s

Rpta:

4 2

42

6 36 6

1

s sf s

s

10. Halla 2 .cossen t t

Lt

SOLUCIÓN

22 3 3

33

2 4 2

3 3

2 4 2

2

1 cos cos.cos cos cos cos cos

7cos cos

1 10 9

cos cos 7

1 10 9

1 2 1 4

2 41

s s

s

t tsen t t t t t tL L L L L

t t t t t

s s sL t L t

s s s

t t u u uL L du du

t t u u u

udu

u

3 3

4 2 2 4 2 4 2

2 4 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

20 8 1 2 1 4 20 1 8

2 4 410 9 1 10 9 10 9

1 1 2ln 1 ln 10 9

2 4 9 1

1 92

9 1 9 1 9

s s s s

s s s

s s

u u u u u u udu du du du

u u u u u u u

uu u u du

u u

Au B u Cu D uu Au B Cu Ddu du

u u u u u u

3 2

2 2

1

9 9

9 1

1 1, 0, 0,

4 4

s

s

du

A C u B D u A C u B Ddu

u u

A B C D



2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 4 2

2 1 14 4

4 49 1 9 1 9 1

1 2 1 2 1 1ln 9 ln 1

8 8 8 89 1

1 1 1 10 ln 9 0 ln 1 ln 9 ln 1

8 8 8 8

1 1ln 1 ln 10 9

2 4

s s s s

s ss s

s s

u u

u u udu du du du

u u u u u u

u udu du u u

u u

s s s s

u u u

2 2

2 4 2 2 2

2 4 2 2 2

2 4 2 2 2

1 12 4 22 4

2

9 1

1 1 1 1ln 1 ln 10 9 ln 9 ln 1

2 4 8 8

1 1 1 10 ln 1 0 ln 10 9 0 ln 9 0 ln 1

2 4 8 8

1 1 1 1ln 1 ln 10 9 ln 9 ln 1

2 4 8 8

ln 1 ln 10 9 ln

s

s s s s

udu

u u

u u u u u

s s s s s

s s s s s

s s s

1 12 28 8

1 1 1 1 32 2 2 2 24 4 8 4 8 2

1 1 1 1 22 2 2 22 8 2 8

9 ln 1

9 1 1 9 1 1 9ln ln ln

8 11 9 1 9

s s

s s s s s s

ss s s s

Rpta: 2

2

1 9ln

8 1

sf s

s

11. Halla L sen a t

SOLUCIÓN

Propiedad: cos cossen a t sena t asent

2 2 2

cos cos

1 . coscos

1 1 1

L sen a t L sena t asent

s s sena asena a

s s s

Rpta: 2

cos .

1

a s senaf s

s

12. Halla 2cosL bt

SOLUCIÓN

2

2 2

1 cos 2 1 1 1cos 1 cos 2

2 2 2 4

bt sL bt L L bt

s s b



Rpta: 2 2

1 1( )

2 4

sf s

s s b

13. Demostrar que:

a)

2 22

2 2

2cosh

4

s aL at

s s a

DEMOSTRACIÓN

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1cosh 2

2 4

1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 8

4 2 2 4 44 4

1 4 8 2

4 4 4

at atat ate e

L at L L e e

s s s a

s a s a s ss a s s a

s a s a

s s a s s a

Por lo tanto,

2 2

2 2

2

4

s af s

s s a

L.q.q.d.

b)

22

2 2

2

4

aL senh at

s s a

DEMOSTRACIÓN

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

1h 2

2 4

1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 8

4 2 2 4 44 4

1 8 2

4 4 4

at atat ate e

L sen at L L e e

s s s a

s a s a s ss a s s a

a a

s s a s s a

Por lo tanto,

2

2 2

2

4

af s

s s a

L.q.q.d.

c) 2 2

4 4

2cos .

4

a s aL at senat

s a

DEMOSTRACIÓN

2 2

2cos . 1 1 2cos . 2

2 2 2 4

at senat aL at senat L L sen at

s a

Por lo tanto, 2 2

2

2 4

af s

s a

L.q.q.d.

d) 3

4 4cos .cos

4

sL at at

s a



DEMOSTRACIÓN

2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 cos 2 1 1cos .cos cos

2 2 4

1 4 2

2 4 4

at sL at at L at L

s s a

s a s s a

s s a s s a

Por lo tanto,

2 2

2 2

2

4

s af s

s s a

L.q.q.d.

e) 2

4 4

2s h .

4

a sL en at sen at

s a

DEMOSTRACIÓN

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

2 2 2 2

1s h . . . .

2 2

2 2 2 21

2 2 2 2 2 2

4

2 2 2 2 2

at atat ate e

L en at sen at L sen at L e sen at e sen at

s sa a s sa aa a a

s sa a s sa as a a s a a

a sa

s sa a s sa a

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 4 42 4 2 2 42 2

2

2 2 2 2

2 2 2

44 4 22 2

sa

s a sa s a sa

sa sa a s

s as s a a sas a sa

Por lo tanto, 2

4 4

2

4

a sf s

s a

L.q.q.d

f) 2 2

4 4

2s h .cos

4

a s aL en at at

s a

DEMOSTRACIÓN

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

2 2 2 2

1s h .cos .cos .cos .cos

2 2

2 2 2 21

2 2 2 2 2 2

4

2 2 2 2 2

at atat ate e

L en at at L at L e at e at

s sa a s sa as s s

s sa a s sa as a a s a a

s sa

s sa a s sa a

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 4 42 4 2 2 42 2

2

2 2 2 2

2 2 2

44 4 22 2

s a

s a sa s a sa

s a s a s a

s as s a a sas a sa

Por lo tanto, 2

4 4

2

4

s af s

s a

L.q.q.d.



14. Hallar la transformada de Laplace de F(t) si :

a) , 2

2, 2

t tF t

t

SOLUCIÓN

2 2

20 2 0

22

2

2 2

0 2

2( ) 2

= du=dt

= v=-

2 2 4 = (- ) =-

s s

st st st st

stst

st st sst s

L F t e tdt e dt e tdt es

u t

edv e

s

e e ete e

s s s

22

2 2

1 1 21 2+ =-

ss s ee

s s s

Rpta: 2

2

1 1 2( ) =-

ss eL F t

s

b) ( 2 )t dF t te sen t

dt

SOLUCIÓN

2 2

2

2 2 22

2

22

2 2( ) 02

4 4

2 d 2 2s 8 . =- ( ) =

ds4 4 4

2 s-1 8( 2 )

s-1 4

t

sds senL sen t

s sdt

s sL t

s s s

dL te sen t

dt

Rpta:

2

22

2 s-1 8( ) =

s-1 4

L F t

c) , 2

0, 2

sent tF t

t

SOLUCIÓN



2

0 2

22 2

0 00

( ) 0

= du= cos tdt

= v=-

1 cos

st st

stst

stst st

L F t e sentdt e dt

u sent t

edv e

s

ee sentdt sent e tdt

s s

2 22 2

2 2

0 00 0

= cos du=- dt

= v=-

1 cos

stst

st stst st

st

u t sent

edv e

s

e ee sentdt sent t e sentdt

s s s

e sentd

2 22

2 2

0 0 0

2 -2 s

2 2 2

. cos1 1

1 -e 1 = -( - ) =

1 1 1

st st

s

e et s sent t

s s

e

s s s

Rpta: -2 s

2

-e 1( ) =

1L F t

s

d)

0 ,2

3cost ,

2 2

30 ,

2

t

F t t

t

SOLUCIÓN

3 3

2 2 2

30

2 2 2

3

2

2

( ) 0 cos 0 cos

= cos du=- dt

= v=-

cos cos

st st st st

stst

st

L F t e dt e tdt e dt e tdt

u t sent

edv e

s

ee tdt t

3322

2 2

3

2

2

1

= du=cos dt

= v=-

cos cos

stst

stst

st

e sentdts s

u sent t

edv e

s

ee tdt t

33 322 2

2

2 2 2

3 3332 222

2 22

1cos

2 1cos cos

1 1 1

st stst

s

st stst

esent e tdt

s s s

s ee ee tdt t sent

s s s s s



Rpta:

3

22 1( ) =

1

s

s eL F t

s s

e)

, 2

8-3t , 2 3

4 , 3< t 4

0 , t>4

t t

tF t

t

SOLUCIÓN

2 3 4

0 2 3 4

2 3

2 2

0 2

( ) 8 3 4 0

= du=dt

= v=-

= 3 3 4

st st st st

stst

st st st st st st st

L F t e tdt e t dt e t dt e dt

u t

edv e

s

e e e e e e e et t t

s s s s s s s

4

2

3

2 3 4 3 4 3 2

2 2 2 2

1 1 2 8 3 1 7 2 1 2 1=

st

s s s s s s s

s

s e s e e s e e s e s e

s s s s

Rpta: 4 3 2

2

7 2 1 2 1( ) =

s s se s e s eL F t

s

f) 3

0

cos 4

t

tF t e t t dt

SOLUCIÓN

Rpta:

2

22

16 3( )

3 3 16

sF s

s s

2

2

22 2

2

22 2

22

0

2

3

22

0

cos 416

16cos 4

16 16

16

16 16cos 4

16

16 3cos 4

3 3 16

t

t

t

sL t

s

d s sL t t

du s s

s

sf s sL t t dt

s s s s

sL e t t dt

s s



g) 2

2

0

cos 3

t

tdF t e t dt

dt

SOLUCIÓN

2

2

0

2

2

2

0

2

22 2

0

cos 3

cos39

1cos 3

1 9

1cos 3

1 9

1 10cos 3 1

1 91 9

t

t

t

t

t

t

t

dF t e t dt

dt

sL t

s

sL e t

s

sL e t dt

s s

s sd sL e t dt

dt ss

Rpta:

2

10

1 9

sf s

s

h) 2

0

t

t tdF t te t e sent dt

dt

SOLUCIÓN

2 2 2

2

2

2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

22

2 cos

1

1

22

2 1

cos1

2cos

2 1

2 22 cos

2 1 2 1

2 cos2 1

2 1 2 2 5

2 1

t t t

t

t

t t

t t

dL e sent e sent e t

dt

L sents

L e sents

sL t

s

sL e t

s

sL e sent e t

s s

d sL t e sent e t

ds s

s s s s

s

2

22 1s



22

22

0

22

22

0

2 22 2 22 2

422

2 22 2

322

5

2 1

5

2 1

2 2 1 5 2 1 4 2 1 2

2 1

2 2 1 5 2 1 4 2

2 1

t

t

t

t

d sL t e sent dt

dt s s

d d sL t t e sent dt

dt ds s s

s s s s s s s

s s

s s s s s s

s s

Rpta:

22 2 2 2

322

4 8 1 5 2 5 2

2 1

s s s s s sf s

s s

15. Si ( )f s L f t ,demostrar que para r>0;

1 lnt s r

L r F ar fa a

SOLUCIÓN

ln

ln

1 ln

1

ln ln

1 ln

t

t

rt

rt

s rL r F ar f

a a

L F r f s

sL F ar f

a a

f x r

f x t r

f x e

s rL e F ar f

a a

Rpta: ln 1 lnrt s rL e F ar f

a a

16. Demostrar que;

2 32

32 2

6 2bs bL t senbt

s b

DEMOSTRACIÓN



222

2 2 2 22 2

22 2 2 2 2 2 2

4 32 2 2 2

2 3 2 2 3

3 32 2 2 2

21

2 2 .2. . 2 2 8

2 2 8 6 2

b sd b dL t senbt

dsds s b s b

b s b bs s b s b s b bs

s b s b

bs b bs bs b

s b s b

Por lo tanto,

2 3

32 2

6 2bs bf s

s b

L.q.q.d.

17. Demostrar que;

1sent

L arctgt s

DEMOSTRACIÓN

2

1

1L sent

s

2

1 1

1 s

s

sentL du arctgu arctg

t su

Por lo tanto, 1

f s arctgs

L.q.q.d.

18. Calcular L F t si:

a) 3

0

2

t

tF t e tsen t dt

SOLUCIÓN

3

0

2

2 2 22 2

22

22

0

3

2 22 2

0

2

22

4

2 4 42 1 1

4 4 4

4

4 42

4

4 42

6 133 4

t

t

t

t

t

F t e tsen t d

L sen ts

d s sL tsen t

ds s s s

s

sf sL tsen t

s s s

L e tsen ts ss



Rpta:

22

4( )

6 13F s

s s

b) 3 2t sen tF t e

t

SOLUCIÓN

3

2

2 2

3

2

22

4

2 2 1 12 2

2 2 2 24 4

2 3

2 2

t

s s s

t

sen tF t e

t

L sen ts

sen t u sL du du arctg arctg

t u u

sen t sL F t L e arctg

t

Rpta: 3

( )2 2

sF s arctg

19. Calcular 3

0

2t te sen t

L dtt

SOLUCIÓN

2

2 2

3

3

0

22

4

2 2 1 12 2

2 2 2 24 4

2 3

2 2

3

2 1 32 2

2 2

s s s

t

t t

L sen ts

sen t u sL du du arctg arctg

t u u

e sen t sL arctg

t

sarctg

f se sen t sL dt arctg

t s s s

Rpta: 1 3

( )2 2

sF s arctg

s

20. Calcular 3sen t

Lt

:

SOLUCIÓN

Propiedad: 3 3 3

4

sent sen tsen t



3

2 2

3

2 2 2 2

3 3 1 1 3 33 3

4 4 4 1 9

1 3 3 3 1 3 1

4 4 41 9 1 9

3 1 3 1 1 3

4 3 3 4 4

s s s

ss

sent sen tL sen t L L sent sen t

s s

sen tL du du du

t u u u u

uarctg u arctg arctg arctg

s s

Rpta: 3 1 1 3

( )4 4

f s arctg arctgs s

21. Halle

2at bte e

Lt

SOLUCIÓN

22 2

2 2

2 2

2

1 2 12

2 2

2 1 1 12

2 2

l n 2 2l n l n 2

0 ln 2 0 ln

at bt a b tat bt

a b tat bt

a b tat bt

s s s

s s s

e e e e eL L

t t

L e e es a s a b s b

e e eL du du du

t u a u a b u b

u a u a b u b

s a s a b

2

20 ln 2 ln

2 2

s a bs b

s a s b

Rpta:

2

( ) ln2 2

s a bf s

s a s b



Halle 3

tsent sen tL e

t

3

2 2

3

2 2

3

3 3 14 3 3

4 4

1 7 3

4 1 9

7 1 3 1

4 41 9

7 1 7 1 1 3

4 4 3 4 4

s s

s s

sent sen tL sent sen t L sent L sent sent sen t

s s

sent sen tL du du

t u u


s s

sent sen tL

7 1 1 3

4 1 4 1

te arctg arctgt s s

Rpta: 7 1 1 3

( )4 1 4 1

f s arctg arctgs s

22. Halle 3

tsent sen tL e

t

3

2 2

3

2 2

3

3 3 14 3 3

4 4

1 7 3

4 1 9

7 1 3 1

4 41 9

7 1 7 1 1 3

4 4 3 4 4

s s

s s

sent sen tL sent sen t L sent L sent sent sen t

s s

sent sen tL du du

t u u


s s

sent sen tL

7 1 1 3

4 1 4 1

te arctg arctgt s s

23. Evaluar .cosL senkt kt

SOLUCIÓN

2 2

2 .cos 2.cos

2 2

1 1 22

2 2 4

senkt kt sen ktL senkt kt L L

kL sen kt

s k



Rpta: 2 2

( ) , 04

kf s s

s k

24. Hallar L F t

si 3

0

( ) cos 4

t

tF t e t t dt

SOLUCIÓN

2

2 2

2 2 22 2

2

22 2

22

0

2

3

22

0

cos 416

16 2 16cos 4 1 1

16 16 16

16

16 16cos 4

16

3 16cos 4

3 3 16

t

t

t

sL t

s

s s sd s sL t t

ds s s s

s

sf s sL t t dt

s s s s

sL e t t dt

s s

Rpta:

2

22

3 16( )

3 3 16

sf s

s s

25. Hallar L F t

si:

a) 3

0

2

t

tF t t e sen t dt

SOLUCIÓN

2

3

2

2

3

20

22

4

22

3 4

2

3 4 22

3 4

t

t

t

L sen ts

L e sen ts

f s sL e sen t dt

s s s s

2

3

22 220

3 4 2 32

2 1 13 4 3 4

t

ts s s

dL t e sen t dt

ds s s s s

Rpta:

2

222

3 12 13( )

3 4

s sf s

s s

b) 3

0

2

t

tF t t te sen tdt



SOLUCIÓN

2

2 2 22 2

3

22

22

3

22

0

3

22

0

2

22

4

2 22 42 1 1

4 4 4

4 32

3 4

4 3

3 4 4 32

3 4

4 32 1

3 4

4 3

1

t

t

t

t

t

L sen ts

sd sL tsen t

ds s s s

sL te sen t

s

s

sf s sL te sen tdt

s s s s

sdL t te sen tdt

ds s s

s s

2 22 2

422

4 2 3 4 2

422

5 4 2 3 4 2

422

4 4 3 3 4 4 3 4 3

3 4

4 3 3 8 3 16 4 3 16 3 4 3 8 3 16

3 4

4 3 4 3 32 3 64 32 3 64 3 16 3 64 3

3 4

s s s s s

s s

s s s s s s s s s s

s s

s s s s s s s s s s s s

s s

5 4 3 2

422

5 4 3 2

422

4 3 12 3 32 3 32 3 64 3 641

3 4

4 3 12 3 32 3 32 3 64 3 64

3 4

s s s s s s s s

s s

s s s s s s s s

s s

Rpta:

5 4 3 2

422

4 3 12 3 32 3 32 3 64 3 64

3 4

s s s s s s s s

s s

c) 3

0

2t

t sen tF t e dt

t

SOLUCIÓN



3

0

2

2

0

3

0

2

22

4

2 1 12 2

2 2 2 24

2 12 2

2 2

2 1

3 2

t

t

s s

t

t

t

sen tF t e dt

t

L sen ts

sen t u sL du arctg arctg

t u

sarctg

f ssen t sL dt arctg

t s s s

sen t sL e dt arctg

t s

3

2

Rpta:

1 3( )

3 2 2

sf s arctg

s

d) 0

cos 2t te t

F t dtt

SOLUCIÓN

0 0 0

2

cos 2 cos 2

1

1

cos 24

t t tt t

t

e t e tF t dt dt dt

t t t

L es

sL t

s

2

2

2

2 2

2

2

0

cos 2 1 1ln 1 ln 4

1 4

1 1 4ln 0 ln ln

14 4

4ln

1cos 2 1 4ln

1

t

ss

s

t t

e tL L du u u

t t u u

u s s

su s

s

f s se t sL dt

t s s s s

Rpta: 21 4

( ) ln1

sf s

s s

26. Hallar L F t

si ,t < 4

( )cos ,t > 4

sentF t

sent t

SOLUCIÓN



4

0 4 4

,t < 4( )

cos ,t > 4

( ) cos

= du= cos tdt

= v = -

st st st

stst

sentF t

sent t

L F t e sent dt e sent dt e t dt

u sent t

edv e

s

4

0

= cos du=- dt

= v = -

( )

stst

st

u t sent

edv e

s

L F t e sent dt

4 4

4 4 0 40 4

4 4

4 0 44 0 4 4

cos - cos - cos

- cos - - - cos cos cos

st st st stst st

st st st st st st st st

e e e ee sent dt e t dt sent t dt sent t dt

s s s s

e e e e e e e et sent dt sent sent t t dt t dt se

s s s s s s s s

4

4 4 4

2 2

0 40 4 4 0 4

4 4 4

2 2

00 4 4 0 4

- - - cos - cos - cos

- - - cos - cos - cos



nt dt

e e e e e e esent sent t t sent dt t sent dt

s s s s ss s

e e e e e e esent sent t t sent dt t se

s s s s ss s

2

4 44

cos st ste e

nt dt sent t dts s

Rpta: 3 1 1 3

( )4 4

f s arctg arctgs s

27. Hallar 3 .cos3 .cos4tL e t t

SOLUCIÓN

Propiedad: 2cos cos cos cosA B A B A B

3 3 3

2

2 2 2 2

1 1.cos3 .cos 4 .2cos 4 .cos3 . cos 7 cos

2 2

3 3 251 3 3

2 3 49 3 1 3 49 3 1

t t tL e t t L e t t L e t t

s ss s

s s s s

Rpta:

2

2 2

3 3 25( )

3 49 3 1

s sf s

s s

28. Calcular 3 3 2. .tL e t sen t

SOLUCIÓN



3 3 2 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3

3 2 233 3

4 3 2 4 2 22

1 cos 2 1. . . . . . 1 cos 2

2 2

1 1 1. . cos 2 . . cos 2

2 2 2

1 1 1 6 1 3 1 4 2cos 2 1 1

2 2 2 2 24 4

t t t

t t t t

tL e t sen t L e t L e t t

L e t e t t L e t L e t t

d s d sL t L t t

s ds s s ds s

22 2 2

4 42

2 2 3 3

4 3 4 32 2

4

4 4 4 2 .2. 4 23 11

2 4

4 4 4 2 43 1 3 1 4 16 16 81

2 24 4

32

s s s s sd

dss s

s s s sd d s s s s

ds dss ss s

d

ds

3 22 2 3 23

3 4 62 2

3 8 4 8 2 4 28 32

4 4

s s s s s ss s

s ss s

2 2 3 2 4

4 4 4 42 2

2 4

3 3 2 3 3

4 42

3 8 4 8 43 3 36 322 2

4 4

36 3 32 31 3. . . . 1 cos 2 2

2 3 3 4

t t

s s s s s s s

s ss s

s sL e t sen t L e t t

s s

Rpta:

2 4

4 42

72 3 2 3 643( )

3 3 4

s sf s

s s

29. Hallar , .n

L t a n Z es un entero positivo

SOLUCIÓN

Rpta:

1

2 1

1( ) ! ...

1 ! 2 ! 1!

n n

n n

a a aF s n

n s n s s s

30. Hallar .cosL sen at bt

SOLUCIÓN

Propiedad: 2 cossenA B sen A B sen A B



2 22 2

1 1.cos 2 .cos

2 2

1 1

2 2

L sen at bt L sen at bt L sen a b t sen a b t

a b a bL sen a b t sen a b t

s a b s a b

Rpta:

2 22 2

1( )

2

a b a bf s

s a b s a b

31. Hallar 2atL e sen bt

SOLUCIÓN

2

2 2

2

2 22 2

1 cos 2 11 cos 2

2 2

11 cos 2

4

1 1 1 41 cos 2

2 2 4 2 4

at at at

at

bL e sen bt L e L e b

sL b

s s b

s a bL e b

s a s a b s a s a b

Rpta:

2

2 2

4( )

2 4

bf s

s a s a b

32. Hallar 2

2

0

cos 3

t

tdL e t dt

dt

SOLUCIÓN

2

2

0

2

2

2

20

22

2 20 0

0

2

cos 3

cos 39

1cos 3

1 9

1

1 9 1cos 3

1 9

1cos 3 cos 3 cos 3 1 cos 3 0

1 9

1cos 0

1 9

t

t

t

t

t

t t

t t t t

dL e t dt

dt

sL t

s

sL e t

s

s

f s s sL e t dt

s s s s

s sdL e t dt s e t dt e t e t

dt s s

s ss e dt

s

0 0

20 0

2

0

2 2 2 20

1cos 0 1 cos 0 0 1

1 9

1 1 1 1 9 101 1

1 9 1 9 1 9 1 9

t ts se e s dt

s

s s s s s s s ss t

s s s s

Rpta: 2

10( )

1 9

sf s

s

33. Calcular 3

2cosL t t



SOLUCIÓN

Rpta:

3

30 2

31 (3 )

2( )

2 !

n

nn

n

F s

n s

34. Calcular 2

0

s t sentL e dt

t

SOLUCIÓN

2

2

2

0

2

2

2

2

2

0

1

1

1

21

2

12

2

s t

ss

s t

s t

sentL e dt

t

L sents

sentL du arctg u arctg s

t u

sentL e arctg s s

t

arctg s sf ssentL e dt arctg s s

t s s s

Rpta:

1

f s arctgs

35. Hallar cos cos

t

at btL

te

SOLUCIÓN

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

cos cos cos cos

cos

cos 1 2 1 1ln ln

2 2 2 2

cos 1ln 1

2 2

t t

t

ss

t

at bt at btL L e L e

t tte

sL at

s a

at uL du u a s a

t u a

atL e s a

t



2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 22 2

2 22 2

cos

cos 1 2 1 1ln ln

2 2 2 2

cos 1ln 1

2 2

cos cos 1 1ln 1 ln 1

2 2 2 2

1ln 1 ln 1

2 2 2

ss

t

t

sL bt

s b

bt uL du u b s b

t u b

btL e s b

t

at btL s a s b

te

s a s b

2 2

2 2

11ln

2 1

s b

s a

Rpta:

2 2

2 2

11ln

2 1

s bf s

s a

36. Calcular 2

0

a t sentL e dt

t

RESOLUCIÓN

2

2

2 2

22

0

1 1( )

1 1( )

1 1( )

a t

a t

sentL arctg

t s s

sentL e arctg

t s a s a

sentL e dt arctg

t s as s a

Rpta:

22

1 1( )f s arctgs as s a

37. Calcular la transformada de Laplace de: 2

t

t z

a

dL te z e senz dz

dz

RESOLUCIÓN

2

2

2 2 0

2

22

22 2

22

22

0

22

0

1

( 2) 1

( ) (0)( 2) 1

5

( 2) 1 ( 2) 1

1 5

( 2) 1

( 1) 5

( 1) ( 3

z

z z

z

t

z

t

t z

L e senzs

d sL e senz s L e senz e sen

dz s

d d s sL z e senz

dz ds s s

d sL z e senz dz

dz s s

d sL e z e senz dz

dz s s

22

22

22

0

) 1

( 1) 5

( 1) ( 3) 1

t

t zd d sL te z e senz dz

dz ds s s



Rpta:

2 2

3 22 2 2

( 4 1)(5 22 22) 2

( 1) 6 10 6 10

s s s sf s

s s s s s

38. Hallar cos cos

t

at btL

te

RESOLUCIÓN

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

cos cos cos

1 1cos cos

( 1) ( 1)

(cos cos ) 1 1

( 1) ( 1)

(cos cos ) 1 1ln ( 1) ln ( 1)

2 2

t t t t

t t

t

s s

t

L e at e bt L e at L e cosbt

s sL e at e bt

s a s b

e at bt u uL du du

t u a u b

e at btL s a s b

t

Rpta:

2 2

2 2

11ln

2 1

s bf s

s a

39. Calcular 2

2

0

t

u t senuL te du

u

RESOLUCIÓN

2

0

2

2

0

1( )

1( )

1

1 1( )

1

1 1( )

2 1

u

t

u

t

t u

senuL arctg

u s

senuL e arctg

u s

senuL e du arctg

u s s

senu dL te e du arctg

u ds s s

Rpta:

2 2

1

11

( 1) 1 22

arctgs

f ss ss

40. Demostrar que:

22

3

0 0 0

4 4yt xsenz

L dz dydx arctgz s s



RESOLUCIÓN

2

0

22

3

0 0 0

1 1( )

1 1

y

yt x

senzL dz arctg

z s s

senzL dz dydx arctg

z s s

41. Calcular 0

tsenu

L duu

RESOLUCIÓN

2

2

0

1

1

1/

1 2

1 1 1( ) ( )

2

s

s

t

L senus

senuL arctgu arctgs

u u

senuL du arctgs arctg

u s s s

Rpta:

1 1

( )f s arctgs s

42. Calcular 0 0

t tsenu

L duduu

RESOLUCIÓN

0

2

0 0

1 1( )

1 1( )

t

t t

senuL du arctg

u s s

senuL dudu arctg

u s s

Rpta:

2

1 1( )f s arctg

s s

43. Demostrar que: 2

3

0 0

ln( 1)

bt ax u

y

e ab sL dudydz

u s ab

RESOLUCIÓN



2

3

0 0

ln( 1)

bt ax u

y

e ab sL dudydz

u s ab

Rpta:


0 0 0

1 1( )

yt xsenz

L dzdydx arctgz s s

RESOLUCIÓN

0

3

0 0 0

1 1( )

1 1( )

y

yt x

senzL arctg

z s s

senzL dzdydx arctg

z s s

Rpta:


0 0 0

1 1( )

yt xsenz

L dzdydx arctgz s s

RESOLUCIÓN

0

3

0 0 0

1 1( )

1 1( )

y

yt x

senzL arctg

z s s

senzL dzdydx arctg

z s s

Rpta:

46. Calcular

2

0

cos3 cos 2t

z zL dz

z

RESOLUCIÓN



2

0

2

2 2 2

2 2

2

0

cos3 cos 2

cos3 cos 2 cos3 2

cos3 cos 2 1 4ln( )

9 4 2 9

cos3 cos 2 1 4ln( )

2 9

t

s s

t

z zL dz

z

z z z cos zL L L

z z z z

z z u u sL du du

z z u u s

z z sL dz

z s s

Rpta:

2

2

1 16ln( )

2 36

sf s

s s

47. Calcular 2

0

( )

t

t zdL e z e senz dz

dz

RESOLUCIÓN

2

2

2 0

2 2

22

2 2

22

22

0

22

0

1

( 2) 1

1( ) (0)

( 2) 1 ( 2) 1

5( )

( 2) 1 ( 2) 1

5( )

( 2) 1

( 1) 5( )

( 1

z

z

z

t

z

t

t z

L e senzs

d sL e senz s e sen

dz s s

d d s sL z e senz

dz ds s s

d sL z e senz dz

dz s s

d sL e z e senz dz

dz s

2) ( 3) 1s

Rpta:

2

22

1 51

1 3 1

sf s

s s


1

t sentL e arctg

t s

RESOLUCIÓN



2

1/ ( )

1 2

1( 1) ( )

2 1

s

s

t

sentL arctgu arctg s

t u

sentL e arctg s arctg

t s

Rpta: No se cumple la igualdad

SOLUCIÓN

2

2

1

1

1

21

12

ss

t

L sents

sentL du arctg u arctg s

t u

sentL e arctg s

t

Rpta:

12

f s arctg s

49. Calcular la transformada de Laplace de la función

,si t e

1 ,si t e impar

t t s parF t

t t s

RESOLUCIÓN

t =n ,n 1

t ,si 0 t<1 0

t -2 ,si 1 t<2 1

t-2 ,si 2 t<1 2

t-4 ,si 3 t<4 3

t-4 ,si 4 t<5 4

.

.

t n

para n

para n

para n

F t para n

para n

por escala unidad queda f(t)= t + (t -2-t)u(t-1)+(t -2-(t-2))u(t-2)+(t -4-(t-2))u(t-3)+.............

+( ) 2 ( 1) 2 ( 3) 2 ( 5) ...... 2 ( (2 1)) k

2 ( 1) 2 ( 3) 2 ( 5) .( )

f t t u t u t u t u t k

L t u t u t u tL f t

..... 2 ( (2 1))

se sabe L u(t-a)

3 5 71 1 2 (2 1)( ) 2( ....... )

2 21

u t k

ate

s

s s s se e e e k sL f t e

s s s s ss s k



Rpta: 1 2 (2 1)

21

k se

ss k

50. Calcular cos

t

at cosbtL

te

SOLUCIÓN

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

cos cos cos cos

cos

cos 1 2 1 1ln ln

2 2 2 2

cos 1ln 1

2 2

t t

t

ss

t

at bt at btL L e L e

t tte

sL at

s a

at uL du u a s a

t u a

atL e s a

t

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 22 2

2 22 2

cos

cos 1 2 1 1ln ln

2 2 2 2

cos 1ln 1

2 2

cos cos 1 1ln 1 ln 1

2 2 2 2

1ln 1 ln 1

2 2 2

ss

t

t

sL bt

s b

bt uL du u b s b

t u b

btL e s b

t

at btL s a s b

te

s a s b

2 2

2 2

11ln

2 1

s b

s a

Rpta:

2 2

2 2

11ln

2 1

s bf s

s a

51. Calcular 0

t

u senuL t e du

u

RESOLUCIÓN



0

2

2

0

2

0

2

1

12

21

1 12

11 12 12

1 1( )

t

u

ss

u

t

u

t

u

senuF s L t e du

u

L sen us

sen uL du arctg u arctg s

u u

sen uL e f s arctg s

u

arctg sf ssenuL e du arctg s

u s s s

f ssenuL t e du d

u s s

2

1 1( )

1 (1 ( 1) )arctg

s s s

1.

Rpta:

2 2

1 1 1

1 1 1f s arctg

s s s s

52. Calcular

3 3

0 0

1t x ye

L dydxy

Rpta: f(s)= 2

1ln( )

( 1)

s

s s

53. Calcular 2

0

( )

t

tdL te dt

dt

3

0

3 3

2

0 0

1 11

1

1 1ln( ) ln( ) ln( )

1 ( 1)

1 1ln( )

( 1)

1 1ln( )

( 1)

y

y

x y

t x y

F s L es s

e sL s

y s s

e sL dy

y s s

e sL dydx

y s s



2

2 2 2 2

2 2

2 2

0

0 00

0

( ) ( )

2

= du=-2t

= v = -

t

t

stt st t t st t

t t

stst

sst t t

dL f t L te dt

dt

eL e e e dt e e te dt

s s

u e e dt

edv e

s

ee te dt te

2 2

2 2 2

2

0 00

2

2t

=t du= ( -2t )

= v = -

tst t st t

t t t

stst

e e dt e e dts s

u e e e dt

edv e

s

=

54. cosate bt

Lt

2 2 2 2

2 2 2 2

2

cos cos( )

1 1 1( )

( )

cos 1 2cos ( ) ( )

2

cos 1(

( )

at at

atat

s

s

ss

at

e bt e btL f t L L L

t t t

eL e L du ln u a ln

s a t u a s a

s bt uL bt L du ln u b ln s b

ts b u b

e btL ln ln s b

t s a

2 22 ) ln( )

s b

s a

Rpta: 2 2

ln( )s b

s a

55. 2

0

tsenu

L duu



2

0

2

2

2

22

2

222

2

1 cos 2

2

1 2 1

2 2 2 2( 4)

1 1 1 1ln( ) ( 4)

2 2 24

1 1 4(ln( ) ln( 4)) ln

2

t

s s s

sen uF s L du

u

xsen u

cos u sL sen u L L

s s

sen u xL dx dx x ln x

u x x

ssen usL

s su

sen uL

u

2 4ln

s

s

Rpta: 2 4

lns

s

56. 2

8

2

0

cos 4

t

t tdL te e tdt

dt

28

2

0

2 2

0

2

2 22

0

2 2

2

0

( ) cos 4

1 1cos 4 cos 4 .

16 ( 1) 16

1 ( 1)(0) (0) 1 1cos 4

( 1) 16 ( 1) 16

(2 1)(( 1) 16)cos 4

t

t t

t

t

t

t

t

t

df s L te e tdt

dt

s sL t L e tdt

ss s

s s sds F FL e tdt

s sdt

d s sL t e tdt

dt

2 2

2 2 2 2

2 28

2 2 2

0

2 ( 1) ( 1) 32 16

(( 1) 16) (( 1) 16)

( 9) 32( 9) 16cos 4

(( 9) 16)

t

t t

s s s s

s s

d s sL e t e tdt

dt s

Rpta: 2

2 2

( 9) 32( 9) 16

(( 9) 16)

s s

s



APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a. 2

2

24 4 4 , (0) 1, '(0) 4td x dx

x e x xdt dt

SOLUCIÓN:

22

2

2 2

2

2

22

2

2

1

4 4 4 , (0) 1, '(0) 4

( ) (0) '(0) 4 ( ) (0) 4 ( ) 4

1( ) 4 4 ( ) 4 (0) 4 ( ) 4

21

( ) 4 4 42

4 2( ) 4 4

2

4 2( )

2 4 4

( )

t

t

d x dxx e x x

dt dt

s X s sx x sX s x X s L e

s X s s sX s x X ss

X s s s ss

s sX s s s

s

s sX s

s s s

L X s L

21

2

21

3

4 2

2 4 4

4 2( )

2

s s

s s s

s sx t L

s

Como vemos podemos aplicar el método de fracciones parciales

21

3

2

3 2 3

22

3 3

2 2

12 3

4 2( )

2

4 2

22 2 2

2 24 2

2 2

4 2 4 4 2

2 4 2

1

4 4 2 4

1 2 4( )

2 2 2

s sx t L

s

s s A B C

ss s s

A s B s Cs s

s s

s s s A sA A sB B C

A B B

A

A B C C

x t Ls s s



1 1 1

2 3

2 2 2 2

1 1 2( ) 2 2

2 2 2

( ) 2 2t t t

x t L L Ls s s

x t e te t e

Respuesta: 2 2( ) (2 2 1)tx t e t t

b. 2

26cos 2 , (0) 3, '(0) 1

d xx t x x

dt

SOLUCIÓN:

2

2

2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

3 2

2

2 2

3 2

6 cos 2 , (0) 3, '(0) 1

( ) (0) '(0) ( ) 6 cos 2

( ) 3 1 ( ) 62

( ) 1 3 1 62

( ) 1 6 3 12

6 3 1 2( ) 1

2

6 3 12 4( ) 1

2

3 18 4( )

d xx t x x

dt

s X s sx x X s L t

ss X s s X s

ss

X s s ss

sX s s s

s

s s sX s s

s

s s s sX s s

s

s s sX s

s

2 2 2

3 21 1

2 2

2 1

3 18 4( )

4 1

s

s s sL X s L

s s


3 21 1

2 2

3 21

2 2

3 2

2 2 2 2

3 18 4( )

4 1

3 18 4( )

4 1

3 18 4

4 1 4 1

s s sL X s L

s s

s s sx t L

s s

s s s As B Cs D

s s s s



3 2 2 2

3 2 3 2 3 2

1

2 2

1 1

2 2

3 18 4 1 4

3 18 4 4 4

3

18 4

15 3 5 2

1

4 4

3 3 1 0

2 5 1( )

4 1

5 1( ) 2

4 1

( )

s s s As B s Cs D s

s s s As Bs As B Cs Cs Ds D

A C

A C

C C A

B D

B D

D D B

s sx t L

s s

s sx t L L

s s

x t

1 1 1

2 2 2

12 5

4 1 1

s sL L L

s s s

Respuesta: ( ) 2cos2 5cosx t t t sent

c. ''( ) ( ) 5 2 , (0) 0, '(0) 1y t y t sen t y y

SOLUCIÓN:

2 1

2

2

2

2

22

2

2

2 2

21 1

2 2

''( ) ( ) 5 2 , (0) 0, '(0) 1

( ) (0) '(0) 5 2

2( ) 1 5

42

( ) 5 14

10 4( )

4

14( )

4

14( )

4

y t y t sen t y y

s Y s sy y L sen t

s Y ss

s Y ss

ss Y s

s

sY s

s s

sL Y s L

s s




21 1

2 2

31

2 2

3

22 2 2

2 2 23

2 2 2 2

3 2 2 2

3 3 2 3 2

14( )

4

1 14( )

4

14

4 4

4 414

4 4

14 4 4

14 4 4

51

2

14 4

sL Y s L

s s

s sy t L

s s s

s s A B Cs D

s ss s s

As s B s s Cs Ds s

s s s s

s s As s B s s Cs D

s s As As Bs B Cs Ds

A C C

A A

1

2 2

1 1

2 2

20

7 5

2 2( )4

7 1 5 2( )

2 4 4

B D

sy t L

s s s

y t L Ls s

Respuesta: 7 5

( ) 22 4

y t t sen t

d. ''( ) 2 '( ) 2 ( ) 2cos2 4 2 , (0) 0, '(0) 1y t y t y t t sen t y y

SOLUCIÓN:

2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

''( ) 2 '( ) 2 ( ) 2cos 2 4 2 , (0) 0, '(0) 1

( ) (0) '(0) 2 ( ) 2 (0) 2 ( ) 2cos 2 4 2

2( ) 1 2 ( ) 2 ( ) 2 4

4 42

( ) 2 2 2 4 14 4

2 8( ) 2 2 1

4 4

( ) 2 2

y t y t y t t sen t y y

s Y s sy y sY s y Y s L t sen t

ss Y s sY s Y s

s ss

Y s s ss ss

Y s s ss s

Y s s s

2

2

2 4

4

s s

s



2

2 2

21 1

2 2

21

2 2

2 4( )

4 2 2

2 4( )

4 2 2

2 4( )

4 2 2

s sY s

s s s

s sL Y s L

s s s

s sy t L

s s s


2 31

2 2

2 3

2 2 2 2

2 22 3

2 2 2 2

2 3 2 2

2 3 3 2 2 3

1 2 4( )

4 2 2

2 4

4 2 2 4 2 2

2 2 42 4

4 2 2 4 2 2

2 4 2 2 4

2 4 2 2 2 2

s s sy t L

s s s s

s s s As B Cs D

s s s s s s

As B s s Cs D ss s s

s s s s s s

s s s As B s s Cs D s

s s s As As As Bs Bs B Cs D

2

1

2 2

1 1

2 2

1 1 122 2

4 4

1

2 2

4 2 2 4

2 7 10

3 3 3

2 7 1

3 3 3( )4 2 2

1 2 7 1 1( )

3 34 2 2

1 2 1 7 1 1( )

3 3 34 4 1 1

s Cs D

A C

A B

A B C

D A B C

s sy t L

s s s s s

sy t L L

s s s s

y t L L Ls s s s

1 1 122 2

1 2 7 4 1 1( )

3 24 34 4 1 1

1 7 1( ) 2 1 cos 2

3 24 3t

y t L L Ls s s s

y t sen t t e sent

Respuesta: 1 7 1 7

( ) 2 cos23 24 3 24

ty t sen t t e sent



e. ''( ) '( ) ( ) 1, (0) 1, '(0) 2y t ty t y t y y

SOLUCIÓN:

''( ) '( ) ( ) 1, (0) 1, '(0) 2y t ty t y t y y

Respuesta:

f. ''( ) ( 1 ) '( ) 2 ( ) 1, (0) 0, '(0) 1ty t t y t y t t y y

SOLUCIÓN:

Respuesta:

g. 2

24 18 3 , (0) 0, '(0) 3td y dyy e sen t y y

dt dt

SOLUCIÓN:

2

2

2

22

22

2

22

2

2 2

4 18 3 , (0) 0, '(0) 3

( ) (0) '(0) (0) (0) 4 ( ) 18 3

3( ) 3 (0) 4 ( ) 18

1 9

54( ) 4 3

1 9

54 3 2 10( ) 4

1 9

54 3 2 10( )

2 10

t

t

d y dyy e sen t y y

dt dt

s Y s sy y sY y Y s L e sen t

s Y s sY Y ss

Y s s ss

s sY s s s

s

s sY s

s s s s

2

2 2

21 1

2 2

3 21

2 2

3 2

2 2 2 2

4

3 6 84( )

2 10 4

3 6 84( )

2 10 4

1 3 6 84( )

2 10 4

3 6 84

2 10 4 2 10 4

s sY s

s s s s

s sL Y s L

s s s s

s s sy t L

s s s s s

s s s As B Cs D

s s s s s s s s



2 23 2

2 2 2 2

3 2 3 2 2 3 2 2

1

2

4 2 103 6 84

2 10 4 2 10 4

3 6 84 4 4 2 10 2 10

6 2

84 4 10

90 3 12

3

81 9 9 6 18 0

6 18( )

2

As B s s Cs D s ss s s

s s s s s s s s

s s s As As As Bs Bs B Cs Cs Cs Ds Ds D

A B C

A B C

A C

A C

C C A B D

sy t L

s s s

2

9

10 4

s

s s s

Respuesta:

h. 3 2

2

3 24 4 3 4 , (0) 0, '(0) 5, ''(0) 3t td y d y dy

y e e y y ydt dt dt

SOLUCIÓN:

3 22

3 2

3 2 2 2

3 2

3 2

4 4 3 4 , (0) 0, '(0) 5, ''(0) 3

( ) (0) '(0) ''(0) ( ) (0) '(0) 4 ( ) 4 (0) 4 ( ) 3 4

3 4( ) 5 3 ( ) 5 4 ( ) 4 ( )

1 2

( ) 4 4 5 2

t t

t t

d y d y dyy e e y y y

dt dt dt

s Y s s y sy y s Y s sy y sY s y Y s L e e

s Y s s s Y s sY s Y ss s

Y s s s s s

3 2

3 2

2

3 2

3 2

3 2

3 21 1

3

3 4

1 23 6 4 4

( ) 4 4 5 21 2

3 6 4 4 5 2 1 2( )

1 2 4 4

3 6 4 4 5 2 3 2( )

1 2 4 4

5 17 17 2( )

1 2 4 4

5 17 17 2( )

1 2

s ss s

Y s s s s ss s

s s s s sY s

s s s s s

s s s s sY s

s s s s s

s s sY s

s s s s s

s s sL Y s L

s s s

2

3 21

3 2

4 4

5 17 17 2( )

1 2 4 4

s s

s s sy t L

s s s s s



3 21

2 2

3 2

2 2 22

3 2

2 2

2 22 2 2 2

2 2

3 2

2 2

5 17 17 2( )

1 2 4

5 17 17 2

1 2 41 2 4 1

5 17 17 2

1 2 4

1 2 4 2 4 1 4 1 2 4

1 2 4

5 17 17 2

1 2 4

s s sy t L

s s s

s s s A B C Ds E

s s ss s s s

s s s

s s s

A s s s B s s C s s Ds E s s s

s s s

s s s

s s s

4 3 2 3 2 4 3 2 5 4 3 2

2 2

3 2 4 3 2 3 2 4 3 2

5 4 3 2

3 6 3 8 2 4 8 ( 2 5 8 4) ( 4 9 18 20 8)

1 2 4

5 17 17 2 3 6 3 8 2 4 8 ( 2 5 8 4)

( 4 9 18 20 8)

A s s s s B s s s C s s s s Ds E s s s s s

s s s

s s s A s s s s B s s s C s s s s

Ds E s s s s s

Respuesta:


a. 3 2

3 22 11 12 4, (0) '(0) ''(0) 0

d y d y dyy y y y

dt dt dt

SOLUCIÓN: 3 2

3 2

3 2 2

3 2

3 2

3 2

2 11 12 4, (0) '(0) ''(0) 0

( ) (0) '(0) ''(0) 2( ( ) (0) '(0)) 11( ( ) (0)) 12 ( ) [4]

4( ) 2 ( ) 11 ( ) 12 ( )

4( )( 2 11 12)

4( )

( 2 11 12)

d y d y dyy y y y

dt dt dt

s Y s s y sy y s Y s sy y sY s y Y s L

s Y s s Y s sY s Y ss

Y s s s ss

Y ss s s s

Y

1 1

4( )

( 4)( 3)( 1)

4( )

( 4)( 3)( 1)

ss s s s

L Y s Ls s s s




1

3 2 3 2 3 2 3 2

3 2 3 2 3

4( )

( 4)( 3)( 1)

4

( 4)( 3)( 1) ( 4) ( 3) ( 1)

4

( 4)( 3)( 1)

( 2 11 12) ( 2 3 ) ( 5 4 ) ( 12 )

( 4)( 3)( 1)

4 ( 2 11 12) ( 2 3 ) ( 5

y t Ls s s s

A B C D

s s s s s s s s

s s s s

A s s s B s s s C s s s D s s s

s s s s

A s s s B s s s C s

2 3 2

1

1

4 ) ( 12 )

0

12 32 2 5 0

7279 96

11 3 4 12 021

17568 303 18312 4 3

1491 497 71

17568 303 1833 1491 497 71( )

( 4) ( 3) ( 1)

1 17568( ) 3

s s D s s s

A B C D

DA B C D C

DA B C D B

A A B C D

y t Ls s s s

y t Ls

1 1 11 303 1 183 1

1491 ( 4) 497 ( 3) 71 ( 1)L L L

s s s

Respuesta: 4 317568 303 183( ) 3

1491 497 71t t ty t e e e

b. 2 ''( ) 2 ( ) 2t y t y t

SOLUCIÓN:

2

2 2

2 2

22

22

2 2

2

''( ) 2 ( ) 2

( ( ) (0) '(0))2 ( ) [2]

( ( )) 22 ( )

2 ( ) 2 ( ) ( )) 22 ( ) 2 ( )

4 ( ) ( ) 2

24

2(4 )

t y t y t

d s Y s sy yY s L

ds

d s Y sY s

ds s

sdY s sdY s d Y sY s s Y s

ds ds ds s

sdY s d Y ss

ds ds s

st s ts

t sts



Respuesta:

c. ''( ) 2 '( ) 4 ( ) 6, (0) '(0) 0y t ty t y t y y

SOLUCIÓN:

''( ) 2 '( ) 4 ( ) 6, (0) '(0) 0y t ty t y t y y

Respuesta:

d. ''( ) 8 '( ) 16 ( ) 3, (0) '(0) 0y t ty t y t y y

SOLUCIÓN:

''( ) 8 '( ) 16 ( ) 3, (0) '(0) 0y t ty t y t y y

Respuesta:

e. ''( ) 4 '( ) 4 ( ) 0, (0) 0, '(0) 10y t ty t y t y y

SOLUCIÓN:

''( ) 4 '( ) 4 ( ) 0, (0) 0, '(0) 10y t ty t y t y y

Respuesta:

f. 3 2

3 24 5 2 10cos , (0) 0, '(0) 0, ''(0) 3

d y d y dyy t y y y

dt dt dt

SOLUCIÓN:

3 2

3 24 5 2 10cos , (0) 0, '(0) 0, ''(0) 3

d y d y dyy t y y y

dt dt dt

Respuesta:

g. 2

2

2, (0) '(0) 0td y

y e sent y ydt

SOLUCIÓN:

22

2, (0) '(0) 0td y

y e sent y ydt

Respuesta:

h. 2

22 8 0, (0) 3, '(0) 6

d y dyy y y

dt dt



SOLUCIÓN:

2

22 8 0, (0) 3, '(0) 6

d y dyy y y

dt dt

Respuesta:

3. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales:

a. ''( ) (4 1) '( ) 2(2 1) ( ) 0,tx t t x t t x t si (0) 0x

SOLUCIÓN:

''( ) (4 1) '( ) 2(2 1) ( ) 0,tx t t x t t x t

Respuesta:

b. 2

20, (0) 1, '(0) 1

d y dyx xy y ydt dt

SOLUCIÓN:

2

20, (0) 1, '(0) 1

d y dyx xy y ydt dt

Respuesta:

c. 2''( ) '( ) ( ) 0, (0) , '(0) 0, 0tx t x t a tx t x k x a

SOLUCIÓN:

2''( ) '( ) ( ) 0, (0) , '(0) 0, 0tx t x t a tx t x k x a

Respuesta:

d. Resolver para V(t), si1

4

0

'( ) ( ) 24 , (0) 0V t V t u du t V

SOLUCIÓN:

Respuesta:

e. ''( ) 3 '( ) ( ) 0,tx t x t tx t si1

(0)2

x

SOLUCIÓN:

''( ) 3 '( ) ( ) 0,tx t x t tx t

Respuesta:



f. 2 2 2''( ) (2 ) '( ) (2 1) ( ) 0,t y t t t y t t t y t si1

(0) 0, '(0)2

y y

SOLUCIÓN:

2 2 2''( ) (2 ) '( ) (2 1) ( ) 0,t y t t t y t t t y t

Respuesta:

g. 3 2'''( ) 6 ''( ) 12 '( ) 8 ( ) 1, (0) 1, '(0) 1, ''(0) 2ty t y t y t y t t e y y y

SOLUCIÓN:

3 2'''( ) 6 ''( ) 12 '( ) 8 ( ) 1, (0) 1, '(0) 1, ''(0) 2ty t y t y t y t t e y y y

Respuesta:

h. 2 2''( ) '( ) ( 1) ( ) 0, (1) 2t V t tV t t V t V

SOLUCIÓN:

2 2''( ) '( ) ( 1) ( ) 0, (1) 2t V t tV t t V t V

Respuesta:


a. ''( ) 4 ( ) 9 , (0) 0, '(0) 7y t y t t y y

SOLUCIÓN:

''( ) 4 ( ) 9 , (0) 0, '(0) 7y t y t t y y

Respuesta:

b. ''( ) 3 '( ) 2 ( ) 4 12 , (0) 6, '(0) 1ty t y t y t t e y y

SOLUCIÓN:

''( ) 3 '( ) 2 ( ) 4 12 , (0) 6, '(0) 1ty t y t y t t e y y

Respuesta:

c. 2''( ) 4 '( ) 5 ( ) 125 , (0) '(0) 0y t y t y t t y y

SOLUCIÓN:

2''( ) 4 '( ) 5 ( ) 125 , (0) '(0) 0y t y t y t t y y



Respuesta:

d. ''( ) ( ) 8cos , (0) 1, '(0) 1y t y t t y y

SOLUCIÓN:

''( ) ( ) 8cos , (0) 1, '(0) 1y t y t t y y

Respuesta:

e. 2''( ) 3 '( ) 2 ( ) 4 ty t y t y t e

SOLUCIÓN:

2''( ) 3 '( ) 2 ( ) 4 ty t y t y t e

Respuesta:

f. ''( ) 9 ( ) 18 , (0) 0, ( ) 02

y t y t t y y

SOLUCIÓN:

''( ) 9 ( ) 18 , (0) 0, ( ) 02

y t y t t y y

Respuesta:

g. 1,0 1

''( ) 4 ( ) ( ), (0) 0, '(0) 1, ( )0, 1

ty t y t F t y y dondeF t

t

SOLUCIÓN:

1,0 1''( ) 4 ( ) ( ), (0) 0, '(0) 1, ( )

0, 1

ty t y t F t y y dondeF t

t

Respuesta:

h. ''( ) 4 ( ) ( ), (0) 0, '() 1, ( ) ( 2)y t y t F t y y SiF t U t

SOLUCIÓN:

''( ) 4 ( ) ( ), (0) 0, '() 1, ( ) ( 2)y t y t F t y y SiF t U t

Respuesta:

i. 2'( ) 3 ( ) , (0) 0tx t x t e x

SOLUCIÓN:



2'( ) 3 ( ) , (0) 0tx t x t e x

Respuesta:

j. '( ) ( ) cos , (0) 0x t x t t sent x

SOLUCIÓN:

'( ) ( ) cos , (0) 0x t x t t sent x

Respuesta:

k. '( ) ( ) 2 , (0) 0x t x t sent x

SOLUCIÓN:

'( ) ( ) 2 , (0) 0x t x t sent x

Respuesta:

l. 3 12 '( ) 6 ( ) , (0)

2tx t x t te x

SOLUCIÓN:

3 12 '( ) 6 ( ) , (0)

2tx t x t te x

Respuesta:


a. ''( ) ( ) 2 , (0) 1, '(0) 2tx t x t e x x

SOLUCIÓN:

2

2

2

22

2

''( ) ( ) 2 , (0) 1, '(0) 2

( ) (0) '(0) ( ) 2 [ ]

2( ) 2 ( )

12

( )( 1) 21

( )( 1)1

( 1)( )

( 1)( 1)

t

t

x t x t e x x

s X s sx x X s L e

s X s s X ss

X s s ss

s sX s s

ss s

X ss s



1 1

2

1

2

2 2

2

2 2

2

2 2 2

( 1)( )

( 1)( 1)

( 1)( )

( 1)( 1)

( 1)

( 1)( 1) ( 1) ( 1)

( 1) ( )( 1) ( 1)

( 1)( 1) ( 1)( 1)

( 1) ( )( 1) ( 1)

1

s sL X s L

s s

s sx t L

s s

s s As B C

s s s s

s s As B s C s

s s s s

s s As B s C s

s s As Bs As B Cs C

A

1

2

1 1

2

1

2

0

2 2 1 0 1

1 1( )

( 1) ( 1)

1 1( )

( 1) ( 1)

C

B A

B C

C B

C C A B

x t Ls s

x t L Ls s

Respuesta: ( ) tx t sent e

b. 3 2'( ) 3 ( ) 3 3 2 1, (0) 1x t x t t t t x

SOLUCIÓN:

3 2

3 2

3 2

4 3 2

4 3 2

2 3 4

4

1 1

'( ) 3 ( ) 3 3 2 1, (0) 1

( ) (0) 3 ( ) [3 3 2 1]

( ) 1 3 ( ) [3 ] [3 ] [2 ] [1]

6 6 2 1( ) 1 3 ( )

6 6 2 1( )( 3) 1

6 6 2( )

( 3)

6 6 2( )

x t x t t t t x

sX s x X s L t t t

sX s X s L t L t L t L

sX s X ss s s s

X s ss s s s

s s s sX s

s s

s sL X s L

2 3 4

4( 3)

s s

s s



2 3 41

4

2 3 4

4 2 3 4

2 3 4 3 2 4

4 4

2 3 4 4 3 3 2 2 4

4

6 6 2( )

( 3)

6 6 2

( 3) ( 3)

6 6 2 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)

( 3) ( 3)

6 6 2 3 3 3 3

( 3)

s s s sx t L

s s

s s s s A B C D E

s s s s s s s

s s s s As s Bs s Cs s D s Es

s s s s

s s s s As As Bs Bs Cs Cs Ds D Es

s s

4

2 3 4 4 3 3 2 2 4

1

2 3 4

1 1

( 3)

6 6 2 3 3 3 3

51

1823

1 31814

2 398

6 33

6 3 2

23 14 8 5218 9 3 18( )

( 3)

23 1 14( )

18 9

s s

s s s s As As Bs Bs Cs Cs Ds D Es

A E E

A B A

B C B

C D C

D D

x t Ls s s s s

x t L Ls

1 1 1

2 3 4

1 8 1 1 5 12

3 18 ( 3)L L L

s s s s

Respuesta: 2 3

323 14 4 5( ) 2

18 9 3 6 18tt t

x t t e

c. 21 1 1''( ) 2 '( ) ( ) , (0) 2, '(0)

7 4 56tx t x t t e x x

SOLUCIÓN:



2

2 2

2 2

2 2 2

2

1 1 1''( ) 2 '( ) ( ) , (0) 2, '(0)

7 4 56

1 1( ) (0) '(0) 2 ( ) 2 (0) ( )

7 4

1 1 1( ) 2 2 ( ) 4 ( )

56 7 4

223 1 1( )( 2 ) 2

56 7 2822

( )( 2 ) 2

t

t

t

t t

x t x t t e x x

s X s sx x sX s x L t e

s X s s sX s L t e

X s s s s L te L e

X s s s s

2

22

2

22

2

2 22

2

22

2

3 1 1 1 1

56 7 ( 2) 28 2

( 6) 56( 4 4 ) 223( )( 2 )

28( 2) 56

56 224 225 6 223( )( 2 )

28( 2) 56

2(56 224 225 6) 223( 2)( )( 2 )

56( 2)

112 225 442 880( )( 2 )

56( 2)

s s

s s s sX s s s

s

s s sX s s s

s

s s s sX s s s

s

s s sX s s s

s

L

2

1 1

2 2

21

2 2

2

2 2 2 3

2

2 2

1 112 225 1342 880( )

56 ( 2) ( 2 )

1 112 225 1342 880( )

56 ( 2) ( 2 )

112 225 1342 880

( 2) ( 2 ) ( 2) ( 2) ( 2)

112 225 1342 880

( 2) (

s s sX s L

s s s

s s sx t L

s s s

s s s A B C D

s s s s s s s

s s s

s s

2 3

3

2 3 2 2 2 3 2

( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

2 ) ( 2)

112 225 1342 880 4 4 2 2 6 12 8

As s Bs s Cs s D s

s s s

s s s As As As Bs Bs Cs Cs Ds Ds Ds D

Respuesta:

d. ''( ) 3 '( ) 2 ( ) ( ), (0) '(0) 0, ( ) ( 1)y t y t y t f t y y f t U t

SOLUCIÓN:

2

2

''( ) 3 '( ) 2 ( ) ( ), (0) '(0) 0, ( ) ( 1)

( ) (0) '(0) 3 ( ) 3 (0) 2 ( ) [ ( 1)]

( ) (0) '(0) 3 ( ) 3 (0) 2 ( ) [ ( 1)]

y t y t y t f t y y f t U t

s Y s sy y sY s y Y s L U t

s Y s sy y sY s y Y s L U t

Respuesta:



e. ''( ) (1 2 ) '( ) 2 ( ) 0, (0) 1, '(0) 2ty t t y t y t y y

SOLUCIÓN:

''( ) (1 2 ) '( ) 2 ( ) 0, (0) 1, '(0) 2ty t t y t y t y y

Respuesta:

f. ''( ) ( 1) '( ) ( ) 0, (0) 5, '(0) 0ty t t y t y t y y

SOLUCIÓN:

''( ) ( 1) '( ) ( ) 0, (0) 5, '(0) 0ty t t y t y t y y

Respuesta:


g. '''( ) 6 ''( ) 12 '( ) 8 ( ) 0, (0) 4, '(0) 12, ''(0) 34y t y t y t y t y y y

SOLUCIÓN:

Respuesta:

h. ''( ) 2 '( ) 5 ( ) , (0) 0, '(0) 1ty t y t y t e sent y y

SOLUCIÓN:

Respuesta:

i. 3''( ) 3 '( ) 2 ( ) 4 , (0) 1, '(0) 1ty t y t y t t e y y

SOLUCIÓN:

Respuesta:

j. '''( ) 3 ''( ) 3 '( ) ( ) 0, (0) 1, '(0) 1, ''(0) 1y t y t y t y t y y y

SOLUCIÓN:

Respuesta:

k. ''( ) 2 '( ) 5 ( ) , (0) 0, '(0) 1ty t y t y t e sent y y

SOLUCIÓN:

Respuesta:



l. '''( ) 3 ''( ) 4 '( ) 12 ( ) 12 , (0) 4, '(0) 2, ''(0) 18ty t y t y t y t e y y y

SOLUCIÓN:

Respuesta:


m. ( ) ( ) 2 ( ) ( ), 0b

a

P x t u x u du x t sen pt p

SOLUCIÓN:

Respuesta:

n. Si ( ) ( )L F t H s , resolver para x(t) la ecuación diferencial

''( ) 6 '( ) 7 ( ) ( )x t x t x t F t sujeto a (0) '(0) 0x x

SOLUCIÓN:

Respuesta:

o. ''( ) ( ) ( )y t y t F t , donde

30,

23 5

(0) 0, '(0) 0, ( ) cos ,2 2

50,

2

t

y y F t t t

t

SOLUCIÓN:

Respuesta:

p. 0

''( ) '( ) '( ) ( ), (0) '(0) 0t

x u x t u du x t x t x x

SOLUCIÓN:

Respuesta:

q. 0

5 cos2( ) ( ) ( '( ) ( )) 1, (0) 0tu te t u x u du e x t x t x

SOLUCIÓN:

Respuesta:

r. ''( ) 2 '( ) 2 ( ) , (0) 0, '(0) 1ty t y t y t e y y



SOLUCIÓN:

Respuesta:

s. 2'''( ) 3 ''( ) 3 '( ) ( ) , (0) 1, '(0) 0, ''(0) 2ty t y t y t y t t e y y y

SOLUCIÓN:

Respuesta:

t. '''( ) ''( ) 4 '( ) 4 ( ) 2, (0) 0, '(0) 1, ''(0) 1y t y t y t y t y y y

SOLUCIÓN:

Respuesta:

8. Resolver la ecuación diferencial de segundo orden por Transformada de

Laplace. ''( ) '( ) ( ) 0y t y t y t , donde =6, = 9,y(0)=0, y'(0)=0 .

SOLUCIÓN:

2

2

1

''( ) '( ) ( ) 0 =6, = 9,y(0)=0, y'(0)=0

''( ) 6 '( ) 9 ( ) 0

( ) (0) (0) 6 ( ) 6 (0) 9 ( ) 0

( )( 6 9) 0

( ) 0

[ ( )] 0

y t y t y t

y t y t y t

s Y s sy y sY s y Y s

Y s s s

Y s

L Y s

Respuesta: ( ) 0y t


Laplace. ''( ) '( ) ( ) ( )y t y t y t Q t , donde

2=-1, = -2, (0) 0, '(0) 0,Q(t)= t ty y e e

SOLUCIÓN:



2

2

2 2

2 2

2

2

''( ) '( ) ( ) ( )

=-1, = -2, (0) 0, '(0) 0,Q(t)=

''( ) '( ) 2 ( )

( ) (0) (0) ( ) (0) 2 ( ) [ ]

( )( 2) [ ] [ ]

1 1( )( 2)

1 22

( )( 2)

t t

t t

t t

t t

y t y t y t Q t

y y e e

y t y t y t e e

s Y s sy y sY s y Y s L e e

Y s s s L e L e

Y s s ss ss

Y s s s

1 1

1

1

( 1)( 2)

2 1( )

( 1)( 2)( 2)( 1)

2 1[ ( )]

( 1)( 2)( 2)( 1)

2 1( )

( 1)( 2)( 2)( 1)

2 1

( 1)( 2)( 2)( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 1)

2 1

( 1)( 2)( 2)( 1)

s

s s

sY s

s s s s

sL Y s L

s s s s

sy t L

s s s s

s A B C D

s s s s s s s s

s

s s s s

3 2 3 2 3 2 3 2

3 2

( 2)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 2)

( 1)( 2)( 2)( 1)

2 1 ( 4 4) ( 2 2) ( 2 2) ( 4 4)

( 1)( 2)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 2)( 1)

2 1 (

A s s s B s s s C s s s D s s s

s s s s

s A s s s B s s s C s s s D s s s

s s s s s s s s

s A s s

3 2 3 2 3 24 4) ( 2 2) ( 2 2) ( 4 4)

0

2 2 0

2 3 0

4 4 2

4 2 2 4 1

8 3 3

16 3

21

24 0

1 13

2 61 1

6 2

s B s s s C s s s D s s s

A B C D

A B C D

A B C

A B C D

A B C D

A B C

A A

B C D

B C D

D D

B C



1

1 1 1 1

1 1 1

1

32

31 1

2 12 6

( )( 1) ( 2) ( 2) ( 1)

( )( 1) ( 2) ( 2) ( 1)

1 1 1 1 1 1( )

2 ( 1) 6 ( 2) 2 ( 2)

B C

B C

C C B

A B C Dy t L

s s s s

A B C Dy t L L L L

s s s s

y t L L Ls s s

11 1

6 ( 1)L

s

Respuesta: 2 21 1 1 1( )

2 6 2 6t t t ty t e e e e


Laplace. ( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )F t y t R t y t S t y t Q t , donde

2 2 2(0) 0, '(0) 0, ( ) 4 , ( ) ( 1) , ( ) 0y y F t t S t t Q t .

SOLUCIÓN:

2 2 2

2 2 2

2 4 2

2 4 2

2 2

( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )

(0) 0, '(0) 0, ( ) 4 , ( ) ( 1) , ( ) 0

4 ''( ) ( ) '( ) ( 1) ( ) 0

4 ''( ) ( ) '( ) ( 2 1) ( ) 0

4 ''( ) ( ) '( ) ( 2 1) ( ) 0

( ( ) (0)4

F t y t R t y t S t y t Q t

y y F t t S t t Q t

t y t R t y t t y t

t y t R t y t t t y t

t y t R t y t t t y t

d s Y s sy y

'(0))

ds

Respuesta:

11. Resolver la siguiente ecuación diferencial mediante Transformada de

Laplace. ''( ) 3 '( ) 2 ( ) ( )y t y t y t f t donde

0,0 1( ) , (0) '(0) 0

1, 1

tf t y y

t

SOLUCIÓN:



2

2

2

2

1 1

''( ) 3 '( ) 2 ( ) ( )

( ) 0,0 1, (0) '(0) 0

( ) 3 ( ) 2 ( ) 0

( ) 0

( ) 1, 1, (0) '(0) 0

( ) 3 ( ) 2 ( ) 1

( )( 3 2) 1

1 1( ) ( )

( 3 2) ( 2)( 1)

1[ ( )]

( 2)( 1)

(

y t y t y t f t

f t t y y

s Y s sY s Y s

y t

f t t y y

s Y s sY s Y s

Y s s s

Y s Y ss s s s

L Y s Ls s

y t

1

1

1 1

2

1)

( 2)( 1)

1

( 2)( 1) ( 2) ( 1)

1 2

( 2)( 1) ( 2)( 1)

1 2

0

2 1 1 1

1 1( )

( 2) ( 1)

1 1( )

( 2) ( 1)

( ) t t

Ls s

A B

s s s s

As A Bs B

s s s s

As A Bs B

A B A B

B B B A

y t Ls s

y t L Ls s

y t e e

Respuesta:

12. Resolver la ecuación diferencial dado por: ''( ) 2 '( ) ( ) 0, (0 ) 1, ( ) 0ty t y t ty t y y

SOLUCIÓN:

2

2

''( ) 2 '( ) ( ) 0, (0 ) 1, ( ) 0

( ( ) (0) '(0)) ( ( ))2 ( ) 2 (0) 0

( ( )) ( ( ))2 ( ) 1 2 ( ) 2 0

ty t y t ty t y y

d s Y s sy y d Y ssY s y

ds dsd Y s d Y s

sY s s sY sds ds



2

2

( ( )) ( ( ))1 0

( ( ))( 1) 1

( ( )) 1

( 1)( 1)

( ( ))( 1)( 1)

1

( 1)( 1) ( 1) ( 1)

1

( 1)( 1) ( 1)( 1)

1

0

1

1 12 1

2 21 1

( ) ( 1)2 2

d Y s d Y ss

ds dsd Y s

sds

d Y s

ds s s

dsd Y s

s s

A B

s s s s

As A Bs B

s s s s

As A Bs B

A B

A B

A A B

Y s Ln s L

1 1

( 1)

1 1( ) ( )

2 1

1 1[ ( )] ( )

2 1

1( )

2

t t

n s

sY s Ln

s

sL Y s L Ln

s

e ey t

t

Respuesta: ( )senht

y tt

13. Resolver la ecuación diferencial ''( ) 4 '( ) 5 ( ) ( ), (0) 1, '(0) 1ty t y t y t V t y y

donde

2 cos ,0 2( )

0, 2

te t tV t

t

SOLUCIÓN:



2

22

2

2

2

2

2

''( ) 4 '( ) 5 ( ) ( ), (0) 1, '(0) 1

( ) cos ,0 2

( ( ) 1)4 ( ) 4 5 ( ) [ cos ]

( ( ))2 ( ) 1 4 ( ) 4 5 ( )

( 2) 1

( ( ))( )( 6 5) 5

( 2) 1

( ( ))( )

t

t

ty t y t y t V t y y

V t e t t

d s Y s ssY s Y s L e t

dsd Y s s

sY s s sY s Y sds s

d Y s ss Y s s

ds s

d Y ss Y s

ds

2

2

22

2

2

5 20 25( 6 5)

( 2) 1

( ( )) 5 21 25( )( 6 5)

( 4 5)

( ) 0, 2

( ( ) (0) '(0))4 ( ) 4 (0) 5 (0) 0

s s ss

s

d Y s s ss Y s s

ds s s

V t t

d s Y s sy ysY s y Y

ds

Respuesta:

14. Utilizando Transformada de Laplace resolver la ecuación diferencial

0

' 2 ( ) ( ),t

y y y t f t donde

, 1

( ) (2 ),1 2

0, 2

t t

f t t t

t

sujeto a la condición inicial

y (0) = 1.

SOLUCIÓN:

0

' 2 ( ) ( )

, 1

( ) (2 ),1 2

0, 2

( ) (2 ) ( 1) (0 2 ) ( 2)

( ) 2(1 ) ( 1) ( 2) ( 2)

( ) 2(1 ) ( 1) ( 2) ( 2)

( ) 2 ( 1) 2 ( 1) ( 2) 2 ( 2)

( ) [ ] 2 [ (

t

y y y t f t

t t

f t t t

t

f t t t t t t t

f t t t t t t

f t t t t t t

f t t t t t t t t

F s L t L t

2

2 2 2

2 2 2

1)] 2 ( ) ( ) 2 [ ( 2)]

1 2( ) 2 2 2

s s

s s s s s s

d e d eL t

ds s ds s

e se e se e eF s

s s s s s



2 2

2 2 2 2

0

2

2

2

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2

1 1 2( ) 2

' 2 ( ) ( )

1 1 2( ) 1 2 ( ) ( )

1 1 2( )( 2 ) 1

(1 )( )

( 1)

(1 )( )

( 1) ( 1)

1 2( )

( 1) ( 1)

(

s s s s

t

s s

s s

s

s

s s

e e e eF s

s s s s

y y y t f t

e esY s Y s Y s

s s

e eY s s

s s

e sY s

s s

e sY s

s s s

e e sY s

s s s

Y

2

2 2 2 2

21 1 1 1 1

2 2 2 2

21 1 1

2 2 2

1 2)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( ) 1 2( 1) ( 1) ( 1)

s s

s s

s st t

e e ss

s s s s s s s

e e sL Y s L L L L

s s s s s s s

e e sy t e te L L L

s s s s s

1

2

1

2

( 1)

11

( 1)

s

t t

eL

s s

L e tes s

1 ( 1) ( 1)

2

21

2

1

2

21 ( 2) ( 2)

2

1

2

( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)( 1)

( 1)

11

( 1)

( 2) ( 2) 1 ( 2) ( 2)( 1)

( 1)

st t

s

t t

st t

t

eL Y t t e t e t

s s

eL

s s

L e tes s

eL Y t t e t e t

s s

sL e

s

1 1

2 2

( 1) ( 1) ( 2) ( 2)

1 1 1(1 )

( ) 1 2[1 ( 1) ( 1)] 1 ( 2) ( 2) (1 )

t t

t t t t t t t

sL e L e t

s s s

y t e te e t e t e t e t e t



Respuesta: ( 1) ( 1) ( 2) ( 2)( ) 2 2 ( 1) ( 1)] ( 2) ( 2)t t t t ty t te e t e t e t e t

15. Resolver la ecuación 0

( ) 4 2 ( ) ( )t

y t sent y u sen t u du

SOLUCIÓN:

0

2

2 2

2 2

3

2 2

21 1

2 2

2

2 2

( ) 4 2 ( ) ( )

1 1( ) 4 2 [ ] ( )

11 1 1

( ) 4 2 ( )1 1

4 2( ) ( )

1 ( 1)

2 4( )

( 1) 1

4 ( 1)( )

( 1)( 1)( 2)

4 ( 1)

( 1)( 1)(

t

y t sent y u sen t u du

Y s L sent Y ss s

Y s Y ss s s

Y s Y ss s s

s sY s

s s s

s sL Y s L

s s s s

s s

s s s s

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

3 4 3 2 4 3 2 4 3

2 3

2) ( 1) ( 1) ( 2)

4 ( 1) ( )( 1)( 2) ( 1)( 2) ( )( 1)( 1)

( 1)( 1)( 2) ( 1)( 1)( 2)

4 4 2 2 3 2

As B C Ds E

s s s s

s s As B s s s C s s s Ds E s s

s s s s s s s s

s s As Bs As As Bs B Cs Cs Cs Cs C Ds Ds

Ds Ds Es

2

0

4

4 2

0 3

4 2

0

4

4 4

0 2 2

4 2

4 4

0 2 2

Es Es E

A C D C D

B C D E

B D E

A C D E

A B C D E

A

B C D E

B C

B C E

B C E

B C

C E E C



1

2

1 1

2

1 1

2 2

0 2 2 0 1 1 2

1 2( )

( 1) ( 2)

1 51 2 2( )

1 7( 1) ( )2 4

1 1

2 2( ) 51 7 1 7

( ) ( )2 4 2 4

t

B C E B C D E

sy t L

s s s

sy t L L

s s

sy t e L L

s s

Respuesta: 1

2 27 5 7

( ) cos( ) ( )2 7 2

tty t e e e sen

16. Resolver el problema siguiente de valor inicial

0

'( ) 2 ( ) ( ) ( ), (0) 1t

y t y t y u du f t y donde f es dado

por el gráfico.

SOLUCIÓN:

0

'( ) 2 ( ) ( ) ( ), (0) 1t

y t y t y u du f t y

Viendo la figura hacemos un análisis:

Si 0,1 1 1 ( )t m f t t

Si 1,2 1 1 ( ) 2t m f t t

De donde , 0,1

( )2 , 1,2

t tf t

t t

, 0,1( )

2 , 1,2

( ) (2 ) ( 2)

( ) (2 2 ) ( 1)

( ) 2 ( 1) 2 ( 1)

( ) 2 ( 1) 2 ( 1)

t tf t

t t

f t t t t t

f t t t t

f t t t t t

f t t t t t



2

2 2

2

2

2

2

21 1

2

1 1

2 2

1( ) 2 2 ( )

1( ) 2

1 2( )

( )( ) (0) 2 ( ) ( )

( ) 1 2( ) 1 2 ( )

1 2( )

( 1)

1 2( )

( 1)

1( ) 2

( 1) ( 1)

s s

s

s

s

s

s

s

e d eF s

s s ds s

eF s

s s

eF s

sY s

sY s y Y s F ss

Y s esY s Y s

s s

e sY s

s s

e sL Y s L

s s

ey t L L

s s s s

1

2

1

2

1 ( 1) ( 1)

2

1

2

( 1)

11

( 1)

( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)( 1)

(1 )( 1)

t t

st t

t

sL

s

L e tes s

eL y t t e t e t

s s

sL e t

s

Respuesta: ( 1) ( 1)( ) 1 2 ( 1) ( 1) 2t t ty t e t e t te

17. Resolver el siguiente problema de valor inicial

''( ) 4 ( ) ( 2 ). ( 2 ), (0) '(0) 0y t y t sent U t sen t y y

SOLUCIÓN:



2

2

2

22

2 2

2

2 2

21 1

( ) (0) '(0) 4 ( ) ( 2 ). ( 2 ), (0) '(0) 0

( ) 4 ( ) ( 2 ). ( 2 )

( )( 4) [ ] [ ( 2 ). ( 2 )]

1( )( 4)

1 1

1( )

( 1)( 4)

1( )

s

s

s

s Y s sy y Y s sent U t sen t y y

s Y s Y s L sent U t sen t

Y s s L sent L U t sen t

eY s s

s s

eY s

s s

eL Y s L

2 2

21 1

2 2 2 2

1

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

( 1)( 4)

1( )

( 1)( 4) ( 1)( 4)

1

( 1)( 4)

1

( 1)( 4) ( 1) ( 4)

1 ( )( 4) ( )( 1)

( 1)( 4) ( 1)( 4)

1 ( )( 4) ( )

s

s s

ey t L L

s s s s

Ls s

As B Cs D

s s s s

As B s Cs D s

s s s s

As B s Cs D

2

1 1

2 2 2 2

21

2 2

( 1)

0

0

0 4 0 0

1 11 4

3 3

1 1 1 1 2 1 12

( 1)( 4) 3 ( 1) 2 ( 4) 3 6

1 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) (2( 2 ))

( 1)( 4) 3 6

s

s

A C A C

B D D B

A C A C

B D B D

L L sent sen ts s s s

eL F t t sen t t sen t

s s

( 2 )

1 1 1 1( ) ( ) 2 ( 2 ) ( 2 ) (2( 2 )) ( 2 )

3 6 3 6

t

y t y t sent sen t sen t t sen t t

Respuesta: 1 1

( ) (2 2 ) (2 2 ) ( 2 )6 6

y t sent sen t sent sen t t

18. Resolver la ecuación diferencial 2''( ) 2 '( ) 5 ( ) (4cos3 18 3 )tx t x t x t e t sen t , (0) 2, '(0) 1x x

SOLUCIÓN:



2

2 2

2 2 2

2

''( ) 2 '( ) 5 ( ) (4 cos 3 18 3 ), (0) 2, '(0) 1

( ) (0) '(0) 2 ( ) 2 (0) 5 ( ) (4 cos 3 18 3 )

( )( 2 5) 2 1 4 4 (cos 3 ) 18 ( 3 )

( )( 2 5) 1 2 4

t

t

t t

x t x t x t e t sen t x x

s X s sx x sX s sx X s L e t sen t

X s s s s s L e t L e sen t

sX s s s s

2 2

2

2

22

2

3 22

2

3 2

2 2

1 1

2 318

( 2) 9 ( 2) 9

4( 2) 54( )( 2 5) 2 1

( 2) 9

4( 2) 54 (2 1)( 4 13)( )( 2 5)

( 2) 9

4 8 54 2 9 30 13( )( 2 5)

( 2) 9

2 9 26 49( )

(( 2) 9)( 2 5)

( )

s s

sX s s s s

s

s s s sX s s s

s

s s s sX s s s

s

s s sX s

s s s

L X s L

3 2

2 2

3 2

2 2 2 2

3 2 2 2

2 2 2 2

3 2

2 9 26 49

(( 2) 9)( 2 5)

2 9 26 49

(( 2) 9)( 2 5) (( 2) 9) ( 2 5)

2 9 26 49 ( )( 2 5) ( )( 2 5)

(( 2) 9)( 2 5) ( 4 13)( 2 5)

2 9 26

s s s

s s s

s s s As B Cs D

s s s s s s

s s s As B s s Cs D s s

s s s s s s s

s s s 2 249 ( )( 2 5) ( )( 2 5)As B s s Cs D s s

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