ctgeom 5s iip

CAPTULO I

PAGE

V. REA DE REGIONES

POLIGONALES Y CIRCULARES

1.- REAS DE REGIONES TRIANGULARESFRMULA GENERAL

TRIGULO EQUILTERO

En funcin de su lado:

En funcin de su altura:

FRMULA TRIGONOMTRICA

FRMULA DE HERN

EN FUNCIN DEL INRADIO

EN FUNCIN DEL CIRCUNRADIO

EN FUNCIN DEL EXRADIO

DIVERSAS EXPRESIONES DEL REA DE UN TRINGULO RECTNGULO

EN FUNCIN DE SUS ALTURAS

ALGUNAS RELACIONES DE REAS

RELACIONES DE REAS DE TRINGULARES SEMEJANTES

Si 2 tringulos son semejantes, la relacin de sus reas es igual a la relacin de los cuadrados de los elementos homlogos.

CASOS PARTICULARES

(

(

PROBLEMAS RESUELTOS1).- Calcula el rea del tringulo MOC, si el rea del tringulo ABC es 240u2.

Solucin :

2 Como son medianas se cumple:

EMBED Equation.3

40 u2= S

2. Segn la figura, AC = 18 , BH = 12, adems = 3. Calcula el rea de la regin ABCE.

Solucin :

SABC - SAEC = SABCE

- = SABCE108 36 = SABCE

72u2 = SABCE

3. Calcula el rea de la regin sombreada si el rea del tringulo ABC es 225u2.

Solucin :

: Por ser ceviana se cumple :

SABC = 5k

225 = 5k

45 = k

( SBCD = 3k = 3(45) = 135u2PRCTICA DIRIGIDA N 05NIVEL I

1).- En la figura, hallar el rea de la regin sombreada.

a) 60 U2b) 65

c) 64

d) 62

e) 56

2).- Calcula el rea de un tringulo equiltero, sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita mide 2m.

a) 10

b) 11

c) 13

d) 12

e) 9

3).- En un tringulo rectngulo un cateto mide 4m. Y la altura sobre la hipotenusa 2.4 m Cul es el rea del tringulo?.

a) 3m2

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

4).- Los lados de un rombo son dos radios y dos cuerdas de una circunferencia de 16cm de radio. Calcula el rea del rombo en cm2a) 121

b) 122 c) 123

d) 124

e) 128

5).- Los lados y de un tringulo ABC tienen longitudes de 8 y 9 cm. Respectivamente. Una semicircunferencia de radio 6cm. Es tangente a AB y BC, teniendo su dimetro sobre AC. Halla el rea del tringulo.

a) 50 cm2b) 51

c) 52

d) 53

e) 54

6).- En un trapecio ABCD, se conocen las longitudes de las bases BC=15cm; y AD=27cm. P es un punto de AD, tal que al unirlo con C, resulta dos regiones equivalentes. Halla PA.

a) 4cm

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

7).- El rea de un tringulo ABC es 22cm2. Sobre las prolongaciones de los lados BA y BC se toman longitudes AE=2AB y CF=3BC. Hallar el rea del cuadriltero ACFE.

a) 240

b) 241

c) 242

d) 243

e) 244

8).- El rea de un tringulo ABC es 72cm2. Por el baricentro G se trazan paralelas a AB y BC, que interceptan a AC en los puntos E y F, respectivamente. Hallar el rea del tringulo EGF.

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

9).- El rea de un tringulo ABC(B=90), es 24cm2 . Exteriormente se dibujan los tringulos equilteros AEB y BFC. Trazar EF y hallar el rea del tringulo EBF

a) 11

b) 12

c) 13

d) 14

e) 15

10).- En un tringulo rectngulo ABC, las longitudes de los catetos: AB=3cm y BC=4cm. Se dibuja el tringulo issceles BDC (BD=DC), Equivalente a ABC, Interceptando BD a AC en el punto E. Hallar el rea del tringulo BEC.

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

NIVEL II

1).- En un tringulo PQR, La mediana QM corta a la ceviana interior PE en el punto A. Siendo ER=2EQ y el rea del tringulo QAE 2cm2, Hallar el rea del tringulo PQR

a) 20

b) 24

c) 28

d) 32

e) 36

2).- Un terreno que tiene forma de un trapecio rectgulo cuyas bases son; AB=200m, DC=180m y la altura AD=120m. Ha de dividirse en tres parcelas equivalentes, de modo que sus dueos puedan, sin salir de sus propiedades respectivas, ir por agua a un pozo P, situado en la base superior DC y a 75m del punto D. Hallar la diferencia entre las longitudes de los segmentos AR y GB de la base inferior.

a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

e) 60

3).- La longitud del lado de un cuadrado ABCD es 6cm. Se construye exteriormente l tringulo equiltero CED y se traza AE. Hallar el rea del tringulo AED.

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 104).- En la figura ABCD es un cuadrado BE = 4, EC=6. Calcular el rea de la regin sombreada.

a) 10

b) 12

c) 24

d) 20

e) 16

5).- Si ABCD es un cuadrado, FB=BE y EF=8, calcula el rea de la regin triangular FBE:

a) 8

b) 4

c) 16

d) 8

e) 12

6).- De la figura AC=3AM=10. Si P y T son pu8ntos de tangencia, calcular el rea de la regin sombreada.

a) 15

b) 8

c) 16

d) 6

e) 10

7).- En la figura ABCD es un cuadrado BP=3, PA=2. Calcular el rea de la regin sombreada siendo T punto de tangencia.

a) 5

b) 10

c) 8

d) 6

e) 16

8).- En la figura m(TPA=mAB=60, CB=2. Calcular el rea de la regin sombreada.

(T: Punto de tangencia)

a) 2

b) 4

c) 3

d) 6

e) 2

9).- Segn la figura AB=13, BC=15 y AC=14. Calcula el rea de la regin sombreada siendo P, Q y R puntos de tangencia.

a) 36

b) 24

c) 48

d) 26

e) 30

10).- En la figura si P y Q son puntos de tangencia, calcular

a) 1/2

b)

c) 2/3

d) /2e) 2/3

CLAVES DE RESPUESTAS

NIVEL II

1) b

2) d

3) d

4) e

5) b

6) c

7) c

8) c

9)

10)c

NIVEL II

1) b

2) b

3) d

4) d

5) c

6) c

7) c

8) a

9) c

10)b

2. REAS DE REGIONES CUADRANGULARES

Diversas expresiones del rea de un cuadriltero.

REA DEL TRAPECIO

Paralelogramo

Rectngulos

Cuadrado

En funcin de su lado

En funcin de su diagonal

Rombo

Cuadriltero Circunscrito a una Circunferencia.

Cuadriltero Inscrito en una Circunferencia

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Halla el valor de S.

Solucin :

Prolongando y uniendo se tiene:

5S = a2

S =

2) Calcula S, si el area del cuadriltero ABCD es 84u2.

Solucin:

El rea del cuadriltero ABCD es: = S = S

42u2 = S

3) Calcula S2, si S1 = 15; S3 = 45 y S4 = 30

Solucin:

Remplazando:

450 = 45.S2

10 = S2

PRCTICA DIRIGIDA N 06

NIVEL I

1).- El permetro de una regin cuadrada es numricamente igual al rea de la regin. El valor del rea es igual a :

a) 4

b) 16

c) 8

d) 14

e) 22

2).- En a figura AM = MB y CN =ND (ABCD : romboide) Calcula x :

a) 10

b) 15

c) 12

d) 14

e) 5

3).- El rea de una regin trapezoidal es igual a 10. Calcula el rea de la regin limitada por aquel cuadriltero que se forma al trazar paralelas a las diagonales por los cuatro vrtices.

a) 10

b) 15

c) 20

d) 25

e) 30

4).- Dado un cuadrado ABCD, BD intersecta a la circunferencia inscrita en el punto E. Si AE = , calcula S(ABCD)a) 3

b) 3,5

c) 4

d) 4,5

e) 5

5).- En la figura AB = 28; BC =21, BPQR : cuadrado. Calcula : S(BPQR)a) 121

b) 144

c) 225

d) 81

e) 100

6).- Dado un rectngulo ABCD, M punto medio de; N punto medio de; O es el punto de interseccin de las diagonales; P es el punto de interseccin de; Q es el punto de interseccin de . Si AB=8 y AD=12, calcula S(NPOQ).a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

7).- Una de las diagonales de un trapecio issceles mide 13. Sabiendo que la altura del trapecio mide 5, calcular el rea de la regin trapecial correspondiente.

a) 30b) 40c) 50d) 60e) 70

8).- Dadas una regin cuadrada y una regin rectangular de igual permetro :

S1 = rea de la regin cuadrada.

S2 = rea de la regin rectangular.

Entonces :

a) S1 = S2b) S1 < S2c) S1 > S2d) S1 + S2 =

e)

9).- Se tiene un cuadriltero ABCD inscrito en una circunferencia; AB=7; BC=CD = 15 y AD= 25. Calcula S(ABCD)a) 190

b) 192

c) 194

d) 196

e) 198

10).- Dado un cuadriltero ABCD, M N y Q son puntos medios de respectivamente. Si MQ=10, QN=17 y MN=21, calcula S(ABCD)

a) 330

b) 332

c) 334

d) 336

e) 338

NIVEL II

1).- Dada una regin rectangular cuya diagonal mide 6, calcula el rea de dicha regin si esta es la mxima posible.

a) 36

b) 36

c) 72

d) 48

e) 54

2).- En la figura A, B y C: puntos de tangencia. Calcula S(OPQ)

a) 100

b) 150

c) 200

d) 250

e) 300

3).- El permetro de una regin rectangular es igual a 100; sus dimetros estn en la relacin de 3 a 2. Calcula el rea dela regin.

a) 500

b) 550

c) 600

d) 650

e) 700

4).- En la figura ABCD: paralelogramo, S(ABCD)=100. Calcula el rea de la regin sombreada.

a) 20

b) 25

c) 30

d) 35

e) 40

5).- En la figura PQRS : cuadrado, calcular S(PQRS).

a) 20,04

b) 21,04

c) 22,04

d) 23,04

e) 24,04

6).- En la figura ABCD : cuadrado, R=. Calcula S(ABCD)

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

7).- En un trapecio rectngulo ABCD se tiene que la base menor BC mide 3cm. En la altura AB se ubica el punto F tal que el ngulo AFD es el doble del ngulo BCF y FD = 8cm. Calcula el rea del tringulo CFD.

a) 6

b) 12

c) 20

d) 28

e) 30

CLAVES DE RESPUESTAS

NIVEL I

1) b

2) a

3) c

4) c

5) b

6) c

7) d

8) c

9) b

10)d

NIVEL II

1)a

2)c

3)c

4)b

5)d

6)b

7)b

3.-REA DE REGIONES CURVAS3.1. Crculo

Donde: ( = 3,14

3.2. Corona Circular

3.3. Sector Circular

3.4. Segmento Circular

3.5. Trapecio Circular

3.6. Zona o Faja Circular

LNULAS DE HIPCRATES

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Del grfico, calcula la razn entre el rea del crculo y el rea de la regin triangular UNI.

Solucin:

Para el crculo: S1 = ( x r2Para el ( UNI :

Nos piden:

2.- En la figura , calcula S1 / S2 , Si : MA = MI = MN (M ( punto de tangencia)

Solucin:El ( ANI, es rectngulo e issceles notable de 45 (recto en N).

El ( MEN es rectngulo e issceles notable de 45 (recto en E).

Ahora, en el trapecio rectngulo IMEN por propiedad se tiene:S1 = S2 ( = 1

3.- En el grfico, calcula S1 / S2, si: mON = 2 x mGR.

Solucin:

OLA ( GTA (A L - A)

Es decir (( - - ()

Entonces, se cumple:

S1 + K =

4.- Del grfico, calcula : S1 + S2.

Solucin:

Segn el grfico:

S1 =

S2 =

5.- Calcula Sx en funcin de A y B.

Solucin:

Segn el grfico:

* Sx + K =

* A + K + B =

6.- En el grfico, calcula el rea de la regin sombreada, si IC = 1 y CA = 3 (T, A son puntos de tangencia).

Solucin:

En el TIA (propiedad : semejanza)

TI2 = 4 x 1 ( TI = 2

En el FIA Notable y aproximado de 37 y 53. Se tiene : FI = 3

Nos piden:

Sx =

Sx = 7,5u27.- En el grfico, ON = . Siendo T punto de tangencia. Calcula el rea de la corona circular.

Solucin:

En el PON (propiedad : semejanza)

(2)2 = (R + r)(R - r) ( R2 r2 = 8Nos piden:Sx = ((R2 - r2)

Sx = 8(u2PRCTICA DIRIGIDA N 071).- De la figura calcula el rea de la regin sombreada si A y B son puntos de tangencia.

a) 9

b) 18

c) 24

d) 36

e) 12

2).- Calcula el rea del crculo mostrado en la figura, si AB=8 y C es punto de tangencia.

a) 16

b) 9

c) 64

d) 25

e) 32

3).- Segn la figura si AB=6, calcula el rea de la regin sombreada.

a) b)

c) d) e)

4).- Calcula el rea del crculo inscrito en un tringulo rectngulo, si este determina en la hipotenusa segmentos que miden 4 y 6.

a) 16

b) 4

c) 18

d) 9

e) 8

5).- En un trapecio rectngulo ABCD, recto en A y D, con dimetro AD se traza la semicircunferencia tangente a BC. Calcula el rea del semicrculo si AB=4 y CD=9.

a) 9

b) 18

c) 16

d) 81

e) 36

6).- Segn la figura AB=BC, calcular Sx si S1 + S2=4

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

7).- De la figura si TH=1 y R=2, calcula el rea de la regin sombreada. (T es punto de tangencia)

a)

b)

c)

d)

e)

8).- Calcula el rea de la regin sombreada, si AB=1, BC=8 (t y P son puntos de tangencia).

a) 3

b) 16

c) 8

d) 9

e) 4

9).- . En la figura calcula el rea de la regin sombreada, si R=2, M y N son puntos de tangencia.

a)

b)

c)

d)

e)

10).- De la figura, si BC=15, PC=9 y B es punto de tangencia, calcula el rea de la regin sombreada.

a) 90

b) 100

c) 70

d) 82

e) 50

NIVEL II

1).- Se tiene un cuadrado ABCD, en la prolongacin de AD se ubica el punto P, luego se traza una circunferencia de dimetro DP que interfecta a CP en T. Calcula el rea del crculo correspondiente, si AB=4 y CT=2.

a) 8

b) 10

c) 12

d) 6

e) 14

2).- Si ABCD es un cuadrado, P y Q son puntos de tangencia, calcula el rea de la regin sombreada.

a)

b)

c)

d)

e)

3).- Segn la figura mAP=40 y m ACP=10. Calcula el rea de la regin sombreada, si R=

a)

b)

c)

d)

e)

4).- Si AD=2 y R=2, calcula el rea de la regin sombreada.

a)

b) c)

d)

e)

5).- De la figura si AD=6, AB=4, calcula el rea de la regin sombreada, si D y E son puntos de tangencia.

a) 36

b)

c) 16

d)

e)

6).- Si ABCD es un cuadrado; O y A son centros, calcula S1/S2

a) 1

b) 2

c) 1/2

d) 1/3

e) 3

7).- De la figura calcula el rea de la regin sombreada, si 2(QO)=3(PQ)=6a)

b)

c)

d)

e) 125

CLAVES DE RESPUESTASNIVEL I1) d2) d3) e4) b5) b

6) a7) b8) d9) d10)d

NIVEL II1) c2) --3) e4) c5) b

6) a7) a

A

B

C

h

b

C

A

B

b

h

h

b

B

C

A

SABC = EMBED Equation.3

A

B

C

l

l

l


A

B

C

h


A

C

B

a

c

b

(


Semipermetro : p

p = EMBED Equation.3

A

C

B

a

c

b


A

C

B

a

c

b

r

SABC = P.r

B

A

C

R

b

c

a


R

c

a

b

A

B

C

SABC = R(p-c)

m

n

A

B

C

SABC = m.n

A

B

C

c

r

SABC = r(c+r)

SABC = r1.r2

SABC = R.r


EMBED Equation.3

H = EMBED Equation.3

B

A

C

hb

hc

ha


A

B

R

C

r2

r1

r

a

b

C

A

B

S1

S2

EMBED Equation.3

C

A

B

S1

S2

a

a

S1 = S2

S

3S

M

N

B

A

C

S

S

S

S

S

S

B

M

P

A

N

C

a

c

b

R1

C

A

B

h1

r1

m

p

n

R2

P

M

N

h2

r2

EMBED Equation.3

S1

S2

C

A

B

EMBED Equation.3

C

B

A

S1

S2

S3

EMBED Equation.3

C

O

B

M

P

A

N

A

B

C

E

H

A

B

C

2K

3K

D

E

A

15

B

D

C

10

6

4

D

C

E

B

A

D

C

B

A

E

F

A

C

B

T

M

O

53

P

D

C

B

A

P

Q

P

B

A

C

T

P

R

Q

B

A

C

30

P

B

Q

O

C

H

60

(

d1

d2

B

A

C

D


A

B

C

b

D

h

SABCD = EMBED Equation.3

S1

S2

S3

S4

P

S1.S4 =S3.S2

S

C

D

B

A

S = EMBED Equation.3

A

B

C

D

a

b

h

EMBED Equation.3

A

B

C

D

n

h

EMBED Equation.3

S

C

D

A

B

S1

S2

EMBED Equation.3

S2

S1

B

A

C

D

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

S

S2

S1

S

A

B

C

D

EMBED Equation.3

A

B

C

D

a

b

h1

h2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

A

B

C

D

S

S

S

S

A

B

C

D

h

b

SABCD = b.h

A

B

C

D

h

S

S= EMBED Equation.3

A

B

C

D

l

l

SABCD = l 2

d

A

B

C

D


A

B

C

D

d1

d2


EMBED Equation.3

A

B

C

D

a

b

c

d

r

S = p.r

A

B

C

D

a

b

c

d

EMBED Equation.3

a

S

S

S

C

D

B

A

EMBED Equation.3

S1

S2

S3

S4

P

S1.S4 =S3.S2

15.30 =45.S2

D

N

C

B

M

A

P

x

7

3

A

Q

C

R

B

P

O

P

Q

4

9

16

B

C

A

D

C

B

A

M

N

12

R

C

A

P

S

Q

B

8

R

C

B

D

A

R

S = (r2

d

r

R

S = ((R2-r2)


R

R

A

B

(


(

R

R

A

B

S = S - S

B

A

D

C

r

(

R

S = S - S

D

A

C

B

A

D

B

C

R

S = S - S

D

C

A

B

S1

S2

S

B

A

C

SABC = S1 + S2

B

A

C

S1

S2

SABC = S1 - S2

U

N

I

U

N

I

r

r

r

S2

S1

r

r

S1

S2

M

N

E

A

I

S1

S2

M

N

E

A

I

45

45

45

45

S1

S2

O

N

I

E

R

G

O

N

I

E

R

G

T

S2/2

S2/2

S1

K

(

(

(

(

(

(

(

L

S2

S1

6

S2

S1

6

h

6 - h

6

6

S1 +S2 = 18

Sx

A

B

Sx

A

B

r

K

r

r

r

45

45

r

Sx = A + B

A

T

I

C

A

T

I

C

Sx

3

1

53

37

37

26,5

2

3

P

O

T

N

P

O

T

N

R

Sx

2 EMBED Equation.3

r

9

4

A

B

A

B

D

C

45

O

A

B

D

C

O

A

B

C

S1

S2

SX

H

T

P

R

A

O

B

C

T

B

A

P

B

M

R

N

C

A

A

P

C

B

R

r

A

B

D

C

P

Q

2

A

O

B

C

R

P

Q

R

R

B

C

D

A

A

B

E

C

D

O

S1

S2

A

B

D

C

A

C

Q

P

O

B

PAGE 87

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