Kaszás Bálint

Csúsztatott frekvenciás rezonanciajelenségeknumerikus és ḱısérleti vizsgálata

sűrűségrétegzett áramlástani rendszerekben

Diplomamunka

Kaszás BálintFizikus MSc, tudományos adatanalitika és modellezés specializáció

Témavezető: Vincze MiklósMTA - ELTE Elméleti Fizikai Kutatócsoport

Kármán Környezeti Áramlások Laboratórium1117 Budapest, Pázmány Péter Sétány 1/A

Budapest, 2019 május

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 2

2. Elméleti áttekintés 42.1. Kétréteg közeĺıtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Háromréteg közeĺıtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Barotróp-baroklin transzfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Módszerek 93.1. Kı́sérleti összeálĺıtás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. Background oriented schlieren módszer . . . . . . . . . . . . . 13

4. A harmonikus gerjesztés rezonanciája 164.1. A felsźın hullámai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5. Csúszó paraméterű dinamikai rendszerek 215.1. Csúsztatott frekvenciás rezonancia . . . . . . . . . . . . . . . 225.2. ,,Korai effektus” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6. A csúszó frekvenciás gerjesztésű áramlás 266.1. Az akadályok számának szerepe . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7. Eredmények, összefoglalás 34

1. Függelék: a csúsztatott frekvenciával gerjesztett oszcillátor 41

2. Függelék: adatelemzési módszerek 43

1

1. Bevezetés

Földünk óceánjai és tengerei sűrűségrétegzett áramlástani közegek: afelsźıntől az aljzat felé haladva a tengerv́ız sótartalma egyre növekszik,hőmérséklete pedig jellemzően csökken, s mindkét hatás a sűrűség növe-kedéséhez vezet. Az sűrűséghajtotta óceáni áramlásokat jelentős mértékbenmeghatározza a ρ(z) függőleges sűrűségprofil alakja, illetve az a sajátosság,hogy a hőmérséklet- és a sótartalom növekedése a sűrűség ellenkező előjelűmegváltozását okozza.

A nýılt óceánon a v́ızfelsźın közelében lévő legfelső, mintegy 50-100méteres rétegében (az ún. Ekman-féle határrétegben [1]) nagyban érvényesüla szelek, illetve a szélnýırás által keltett felsźıni hullámok turbulens keverőhatása, ı́gy ez a tartomány a sűrűség szempontjából homogénnek tekinthető.Mélyebbre merülve jelentős gradienseket észlelhetünk mind a (csökkenő)hőmérséklet mind a (növekvő) sótartalom tekintetében. Ezt a közbülső tar-tományt

”termoklin zónának” vagy

”gradiens rétegnek” nevezik, s alsó határa

tipikusan az 1 km-es mélység közelében fekszik. Az ennél mélyebben húzódórégióban, a mélyóceánban a sűrűség szinte állandónak tekinthető. Megjegy-zendő, hogy a teljes sűrűségváltozás a ρ(z) profil teljes sűrűségváltozása jel-lemzően mintegy 1%-os a teljes (néhány kilométeres) mélységben [2].

A függőleges sűrűséggradiens mértékének egy beszédes és széles körbenhasználatos mérőszáma az N Brunt-Väisälä–frekvencia [3], vagyis annak arezgőmozgásnak a körfrekvenciája, melyet egy függőlegesen kis mértékbenkitéŕıtett nyugvó folyadékelem végez a z-függő felhajtóerő hatására. N értékeı́gy adható meg:

N =

√− gρ0

dρ

dz, (1)

ahol g a gravitációs gyorsulást jelöli, ρ0 pedig a közeg jellemző (referencia-) sűrűsége. Megjegyzendő, hogy a v́ızbeli sókoncentráció- vagy hődiffúzióidőskálája lényegesen nagyobb az ilyen jellegű tehetetlenségi mozgásokénál[4], vagyis feltételezhetjük, hogy a mozgó folyadékelemek mindvégig meg-tartják sűrűségüket (Boussinesq-közeĺıtés).

A fentebb emĺıtett termoklin zónában N ∼ 0.1 rad/s körüli értékek iselőfordulhatnak, mı́g a mélyóceánban az N ∼ 10−4 − 10−3 rad/s körüliBrunt-Väisälä–frekvencia-értékek tekinthetőek tipikusnak (az előbbi per-ces, utóbbi órás nagyságrendű periódusidőnek felel meg). Vegyük észre,hogy a mélyóceánbeli érték közel eshet az árapályra jellemző 2Ω ∼ 10−4rad/s értékhez. Nem véletlen, hogy a mélyóceáni áramlások függőleges osz-cillációinak egyik legfőbb kiváltó oka éppen az árapály.

Az ilyen oszcillációk kollekt́ıv megfelelői a belső nehézségi hullámok,

2

melyek az óceáni áramlások energiamérlegének számottevő részét adják:a világóceán rendszerének összes teljeśıtménye mintegy 20 TW, melybőlnagyságrendileg 1 TW a belső hullámok keltésére ford́ıtódik [5].

A belső hullámok egyik t́ıpusa, melyet határfelületi hullámoknak (in-terfacial waves) nevezhetünk különösen

”éles” belső réteghatárok mentén

alakulhatnak ki, ı́gy pl. folyótorkolatok vagy gleccservájta öblök (fjordok)közelében, ahol a beáramló édesv́ız nagyléptékű turbulens keverés nélkülképes szétterjedni a sós tengerv́ız tetején. E különböző sűrűségű rétegekhatárán belső hullámok alakulhatnak ki. Ezeknek a felfedezése a régen is-mert holtv́ız jelenségéhez köthető. Tapasztalat szerint, a fjordokba belépőhajók hirtelen, látszólagos külső behatás nélkül lefékeződtek. Ma már érhető,hogy a holtv́ız a hajó által keltett, sós és édesv́ız közötti határréteg hullámaiokozzák [6].

A fjordok aljzatán igen gyakran éles szirtek találhatók, melyek jellemzőenéppen a belső (sósv́ız-édesv́ız) réteghatárig nyúlnak föl. Az ilyen jellegű alj-zati domborzatnak nagy szerepe van abban, hogy az ún. barotróp-baroklinenergiatranszfer révén (melyről részletesebben a 2.3 fejezetben fogunk szólni)a felsźıni árapályhullámok energiája belső hullámok keltésére ford́ıtódjon [7].A határfelületi belső hullámok amplitúdója felsźıni társaikénál akár ρ0/∆ρ-szor nagyobb lehet (∆ρ az sósv́ızes és édesv́ızes rétegek sűrűségkülönbségétjelöli). Ezek a hullámok az aljzati szirt peremén megtörve turbulensörvényeket kelthetnek, hozzáseǵıtve a tápanyagok (vagy épp szennyezések)elkeveredéséhez a mélységi és felsźınközeli rétegek között.

Amennyiben két aljzati szirt is található a vizsgált öbölben, ezek megfe-lelő távolsága esetén előállhat olyan helyzet is, hogy e két akadály közelébenébredő belső hullámok konstrukt́ıv interferenciába léphetnek egymással,tovább növelve a réteghatár kitéréseinek amplitúdóját illetve az elkeve-redés mértékét. A dolgozatban bemutatott ḱısérleti vizsgálataink tárgyátéppen egy ilyen, a felsźıni (árapály, vagy tólengés-jellegű) gerjesztés frek-venciájával rezonanciába hozható, két aljzati akadályt tartalmazó elrendezésdinamikájának vizsgálatát tűztük ki célul.

Mindezek mellett, a dolgozat motivációjának egy része egy teljesen másterületről, az időfüggő dinamikai rendszerek elméletéből származik. A di-namikai rendszerek alkalmazásának köre rendḱıvül sokrétű. Ezek közül, akĺımaváltozás okozta kih́ıvások miatt, kiemelt szerep jut a környezeti al-kalmazásoknak [8, 9]. Kulcsfontosságúvá vált az olyan rendszerek dina-mikájának ismerete, amelyekben valamilyen paraméter (például a külső ger-jesztés) időben csúszik.

Éppen ezért, a két aljzati akadályt tartalmazó elrendezés dinamikájánakvizsgálata után egy olyan feltételezett szituációt is tanulmányozunk, amely-ben a felsźın gerjesztése időfüggővé, méghozzá időben változó frekvenciájúvá

3

válik. A dolgozatban is ezt a feléṕıtést követjük.A következő, 2. fejezetben a rétegzett közegek belső hullámaira vo-

natkozó legfontosabb összefüggéseket, a 3. fejezetben pedig a ḱısérletiösszeálĺıtásunkat és vizsgálati módszereinket mutatjuk be. Az aljzatiakadályok jelenlétében (stacionárius, állandó frekvenciájú gerjesztés mellett)kialakuló rezonanciajelenséggel kapcsolatos ḱısérleti eredményeinket a 4. fe-jezet tartalmazza. Ezek után, az 5. fejezetben térünk rá a csúszó paraméterűdinamikai rendszerek tárgyalására. Az 5.1. fejezetben a lineáris oszcillátorpéldáján keresztül ismertetjük a csúszó rezonancia jelenségét. A 6. feje-zetben pedig a csúsztatott frekvenciájú gerjesztésnek kitett ḱısérleti elren-dezéssel mért eredményeinket mutatjuk be, melyet rövid összefoglalás követa 7. fejezetben.

2. Elméleti áttekintés

A természetesen kialakuló sűrűség-rétegzettség motiválja, a hidrodinami-kai többrétegű közeĺıtést. A dolgozatban vizsgált jelenség szempontjából aNavier-Stokes egyenleteknek olyan hullámmegoldásai érdekesek, amelyek akét közeg határán terjednek. Bizonyos közeĺıtések feltételezésével megkap-hatjuk ezen belső hullámok terjedési sebességét is.

2.1. Kétréteg közeĺıtés

A rétegzett folyadékot első közeĺıtésben két független rétegnek tekintjük [10].Tegyük fel, hogy mind a két réteg sekély, azaz h1, h2 � L, amennyiben h1 ésh2 a két réteg mélysége és L a vizsgált áramlási tér horizontális mérete. Te-kintsünk el továbbá a disszipációtól is, ekkor az Euler-egyenletet kell megol-danunk, külön külön a két rétegben. A szokásos peremfeltételek kiegészülnekazzal, hogy a réteghatáron a nyomásnak folytonosnak kell lennie. Keressüktehát az alábbi egyenletek megoldásait

dv1,2dt

= − 1ρ1,2

grad p+ g, (2)

∂ρ1,2∂t

+ div(ρ1,2v1,2) = 0. (3)

A rétegek átlagos mélységét jelölje H1 és H2, az ettől való eltérést pedig χ1és χ2, az 1. ábra szerint. Ekkor a pillanatnyi rétegvastagságokat a következő

4

képpen ı́rhatjuk

h1 = H1 + χ1 − χ2 és (4)h2 = H2 + χ2. (5)

H1

H2

H

h1

h2

χ1

χ2

h2

ρ(z)

ρ1

ρ2

1. ábra. Bal panel: A kétrétegű folyadék sematikus ábrája. Jobb panel: amélységtől függő sűrűségprofil a két rétgeben. Forrás [10].

A sűrűségkülönbségek kicsinysége miatt (Bousinessq-közeĺıtés[10, 3]) akontinuitási egyenlet egyszerűen a sebességek divergenciamentességét ı́rja elő.A sekélység miatt pedig a hidrosztatikus közeĺıtés is igaz lesz, azaz dp =−ρ1,2gdz, ha z jelöli a függőleges koordinátát. Tudjuk továbbá, hogy azáramlás z től független lesz, ezért az Euler egyenleteket elegendő az x, yśıkban megoldani.

Az x irányba terjedő śıkhullám megoldást feltételezve, annak c = ω/kxterjedési sebességre, a következő, c2-ben másodrendű egyenletre jutunk.(

1− g′H2c2

)(1− gH1

c2

)=gH2c2

(6)

c4 − c2(gH + g′H2) + gg′H1H2 = 0, (7)ahol g′ = g ρ2−ρ1

ρ1, a redukált gravitációs gyorsulás. Az egyenletnek két meg-

oldása van, melyek más-más módusait ı́rják le a kétrétegű folyadék dina-mikájának. Az egyenlet megoldható egzaktul is, azonban hamarabb jutunkkvalitat́ıven értelmes eredményre, ha az egyik gyök esetén a g’-vel arányostagot elhanyagoljuk (g′ � g), ekkor vezető rendben

c1 =√gH. (8)

A kitéréseket és a sebességeket kifejezve megkapjuk, hogy ebben az esetbenu1 ∼ u2 és χ2 = χ1H/H2. Azaz ebben a módusban a két réteg együtt

5

mozog, és a kitérések a rétegvastagságokkal arányosak. Ezt a módust barotrópmódusnak nevezzük. Ebben az esetben kvázi egyrétegű folyadékról van szó.Ekkor a v́ızfelsźınen terjedő nehézségi hullámok fázissebessége [4]

c =ω

k=

√g

ktanh(kH), (9)

melynek k = 0 (végtelen hullámhosszú) határesete éppen c1-et adja.Az egyenlet másik gyökét pedig c4 elhanyagolásával kapjuk, ekkor

c2 =

√g′H1H2H

. (10)

Ebben az esetben u1 ∼ −u2 és χ2 = −χ1gH/(g′H2). Az egyes rétegekellentétes irányban mozognak, méghozzá úgy, hogy a felsźın kitérése 1/g′-szöröse a határfelületen létrejövő hullámok amplitúdójának. Az ellentéteselőjelű sebességek miatt ezt a módust baroklin módusnak nevezzük. Ez lesztehát a jellemző a rétegzett folyadék belső hullámaira, hosszú hullámhosszúközeĺıtésben. A rétegek jellemző mozgását mutatja a 2. ábra.

2. ábra. A kétrétegű folyadék módusai. A bal panelen a c2 sebességű baroklinmódus, a jobb panelen a c1 sebességű barotróp módus látható.

A fenti levezetés a kétréteg dinamika végtelen hullámhosszú közeĺıtésétadja. Általánosabb feltételek mellett belátható, hogy a teljes diszperziósreláció (nem csak hosszú hullámhossz esetén) a következő alakú [4, 11].

ω = ck =

√gk(ρ2 − ρ1)

ρ1 coth(kH1) + ρ2 coth(kH2). (11)

Könnyen megmutatható, hogy a sebesség, c = ω/k, kH1,2 → 0 határesetbenvalóban éppen c2 kifejezését adja.

Azonban még a hosszúhullám közeĺıtés elhagyása sem illeszkedik teljesen aḱısérleti összeálĺıtáshoz, hiszen a réteg határát valójában nem lehet végtelenvékonynak tekinteni. Reálisabb, ha egy háromrétegű folyadékot ı́runk le(amelynek mind a három rétege továbbra is sekély folyadéknak tekinthető).

6

h(3)1

h(3)3

h(3)2

ρ(z)

ρ1

ρ2, N2

ρ3

z

3. ábra. A háromréteg közeĺıtés vázlatos rajza. A jobb panelen a feltételezettsűrűségprofil látható, az első és harmadik rétegben állandó a sűrűség, aköztük lévő 2. rétegben lineárisan változik.

2.2. Háromréteg közeĺıtés

A 3. ábrán látható módon, a rétegek vastagsága legyen h(3)1 , h

(3)2 és h

(3)3 . An-

nak érdekében, hogy a jelölés ne keveredjen a kétréteg közeĺıtésben használtpillanatnyi rétegvastagságokkal, a felső index utal a háromréteg közeĺıtésre.A rétegeket felülről lefelé számozzuk, tehát ebben a formalizmusban a 2. rétegjátssza a kétréteg közeĺıtés végtelen vékony réteghatárának szerepét. Az egy-szerűség kedvéért tegyük fel, hogy az 1. és 3. rétegek sűrűsége továbbra isállandó, a 2. rétegben pedig lineárisan változik a sűrűség, jellemezze ezt egy

állandóN =√−g 1

ρ1

dρdz

Brunt-Väisälä–frekvencia, amely a közegben létrejövő

oszcillációk tipikus frekvenciája [3].Ebben az esetben a diszperziós relációra már csak egy implicit egyenlet

ı́rható fel [12], amelyet numerikusan megoldhatunk a keresett hullámszámesetén,

K22 − T1T2 − T1T3 − T2T3 = 0, (12)

ahol Kj =√N2j /c

2 − k2 és Tj = Kjcot(Kjh(3)j ), Nj pedig a j. közeg Brunt-Väisälä–frekvenciája. Ugyan N1 = N3 = 0 esetén K1 és K2 képzetes, a kife-jezésben csak szorzatként és a kotangens függvény argumentumaként szere-pelnek, ı́gy ebben az esetben is valós ω = ck frekvenciát kapunk megoldásul.

A közölt diszperziós relációkat, a különböző közeĺıtések mellett számolthullámsebességek hullámszám-függését mutatja a 4. ábra. Érdemes meg-jegyezni, hogy az általunk vizsgált hullámszám-tartományban (k ≈ 15/mhullámszámokra, vagyis λ ≈ 0.25 m hullámhosszakra) a háromréteg

7

0 10 20 30 40

k [1/m]

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

c[m/s]

c2(k = 0)

c2(k)

c(3)(k)

4. ábra. Diszperziós relációk összehasonĺıtása. A 2.1 fejezetben tárgyalt belsőhullám sebességek a hullámszám függvényében. A kék és fekete görbék akétréteg közeĺıtésből, (10) és (11) alapján, a piros görbe pedig a háromrétegközeĺıtésből, (12) alapján számolt függvények.

közeĺıtés adja a legnagyobb sebességet, ezt követi a kétréteg közeĺıtés nul-la hullámszámú határesete, majd a kétréteg közeĺıtés.

2.3. Barotróp-baroklin transzfer

A fent bemutatott barotróp és baroklin módusok külön-külön oldják meg amozgásegyenletet, egymástól függetlenül. Előfordulhat azonban, hogy va-lamilyen (például) geometriai kényszer miatt a két módus kölcsönhatásbakerül. Ezt a jelenséget barotróp- baroklin transzfernek h́ıvjuk. Egy egyszerűelrendezéshez képzeljük el, hogy egy hosszú medence közepére egy akadálythelyezünk, amely összemérhető magasságú a réteghatárral. Amennyiben afelsźınen valamilyen külső perturbáció hullámokat kelt, (8) következményemiatt a réteghatáron is közel azonos sebességű és amplitúdójú hullámok ke-letkeznek, ez a barotróp módus. A behelyezett akadály azonban az alsó réteghullámzását gátolja, ezzel a baroklin módus kialakulását ’kényszeŕıti ki’. Akialakuló áramlást az 5. ábrán bemutatott ḱısérlet szemlélteti.

A ḱısérletben egy rétegzett folyadék felsźınét periodikusan gerjesztjük,aljzati akadály jelenlétében. A gerjesztés hatására, az alsó réteg áramlásátblokkoló akadály tetejénél úgyszintén periodikus (Kelvin-Helmholtz-t́ıpusú)örvénylés alakul ki, amely a réteghatáron baroklin módusú hullámokat kelt.

8

5. ábra. Barotróp-baroklin transzfer egy akadály jelenltében. A sötétkékremegfestett, sós v́ız a külső gerjesztés hatására átbukik az akadály felett. Apaneleken félperiódusonként látszik a ḱısérletről készült felvétel.

Két, egymástól d távolságra elhelyezett akadály esetén is hasonló visel-kedést tapasztalunk, de most természetesen mind a két akadály közelében.Várható, hogy az ı́gy keltett baroklin hullámok bizonyos megfelelő feltételekmellett képesek olyan módon interferálni, hogy a két akadály közöttállóhullámok alakulnak ki. Ebben a helyzetben azt mondjuk, hogy a belsőhullámok rezonanciába kerültek a külső gerjesztéssel. A rezonancia kiala-kulásának feltétele, hogy a keletkező belső hullámok félhullámhossza azakadálytávolságnak egész számú többszöröse legyen. Felhasználva a k =2π/λ összefüggést, és feltételezve, hogy a létrejövő baroklin hullámok frek-venciája a külső gerjesztésével azonos, (rögźıtett akadálytávolság mellett) arezonáns gerjesztési frekvenciára

ω(πd

)(13)

adódik. Itt ω(k) a diszperziós reláció, amelyet (11)-ból vagy (12)-ból kapunk,attól függően, hogy két- vagy háromréteg közeĺıtéssel élünk.

3. Módszerek

Célunk az ismertetett, két akadály között létrejövő állóhullámok rezonancia-jelenségének ḱısérleti, kvantitat́ıv vizsgálata. A korábbi években már láttunkpéldát hasonló ḱısérleti és numerikus eredményekre [13, 14], azonban úgy gon-doljuk, hogy a használt újszerű vizsgálati módszerekkel a jelenség további

9

részleteit is vizsgálni tudjuk. A ḱısérletek során a v́ızfelsźınt gerjesztjük, ésvizsgáljuk a gerjesztés hatására kialakuló válaszát. A két akadály között,a közeghatáron kialakuló állóhullámok amplitúdóját az úgynevezett backg-round oriented schlieren (BOS) [15] módszerrel rögźıtjük, amely lehetőségetad arra is, hogy többek között a közeghatár vastagságának időfüggését ismegkapjuk.

Először a harmonikus gerjesztés hatására kialakuló áramlásokatvizsgáljuk. Az egyes ḱısérletekben, a v́ızfelsźınen előre meghatározott frek-venciával kis amplitúdójú hullámokat keltünk, amelyek a barotróp-baroklintranszferen keresztül a közeghatáron jelentősen nagyobb amplitúdóval kelthullámokat. A vizsgált frekvenciákra adott válaszból elkésźıtjük a rendszerrezonanciagörbéjét, és a kapott eredményt összehasonĺıtjuk a 2.3 fejezetbenlevezetett két- és háromréteg közeĺıtésből adódó rezonanciafrekvenciákkal.

Később pedig megvizsgáljuk, az eredmény hogyan módosul, amennyi-ben a rendszert nem különálló frekvenciákkal gerjesztjük, hanem időfüggő,lineárisan növekvő frekvenciájú gerjesztéssel. A folytonos ’pásztázás’hatására természetesen a maximális kitérést nem pontosan a rezonan-ciafrekvenciánál kapjuk, hanem ahhoz képest eltolva. Eredményeinketösszehasonĺıtjuk a csúszó paraméterű dinamikai rendszerek elméleténekeredményeivel.

3.1. Kı́sérleti összeálĺıtás

A ḱısérleteket az Eötvös Loránd Tudományegyetem Fizikai IntézeténekKármán Környezeti Áramlások Laboratóriumában végeztük. A használthullámkád fontos jellemzője, hogy sokkal hosszabb, mint bármelyik másikmérete, tehát a benne létrejövő áramlásokra igaz a sekélyv́ız közeĺıtés. Ezenfelül az áramlás jó közeĺıtéssel kétdimenziós is, vagyis jól illeszkedik a 2.1fejezet x irányban terjedő hullámmegoldásainak tárgyalásához.

A medence több leválasztható modulból áll, ı́gy a hossza szabályozható.A ḱısérletek során egy L = 2.26 m hosszú szakaszt külöńıtettünk el, a konfi-guráció geometriai adatait a 6. ábra mutatja.

A rétegzettséget, vagyis a folyadékrétegek eltérő sűrűségét konyhasó ol-dattal érjük el. A hullámkád alsó felét, 8 cm magasságig feltöltjük csapv́ızzel,amihez konyhasót keverünk. Minden méréshez 1 kg sót használtunk fel,ennek az oldata körülbelül 1025 kg/m3, ami közel van az óceánok tipikussűrűségéhez [16].

Bizonyos ḱısérleteknél, az alsó réteg hullámzását sötétkék ételfestékkeltesszük láthatóvá. Ennek hozzákeverése nem változtatja meg az oldatsűrűségét számottevően, a réteghatár hullámzásának szoftveres követésétazonban jelentősen megkönnýıti.

10

6. ábra. A ḱısérletben használt hullámkád geometriai jellemzői. Az ábránfeltüntetett méretek mm-ben értendőek. Az akadályok helyét a felső panelenpirossal jelöltük, ezek távolsága d = 255 mm.

A kisebb sűrűségű folyadékot, vagyis a csapvizet, az alaposan elkevertsóoldatra rendḱıvül óvatosan kell rátölteni, hogy a turbulens keverés hatásáta lehető legjobban kiküszöböljük. Ennek érdekében, kis nyomáson, egy szi-vacson keresztül lassan töltjük fel a kád felső részét, ı́gy kapjuk az összesen16 cm mély, éles sűrűségkülönbséggel rétegzett folyadékot. A hullámkádfeltöltése, a réteghatár megőrzésének érdekében lassú folyamat, körülbelülegy órát vesz igénybe.

A sűrűség mérésére egy előre kalibrált mérőműszert használtunk, amelya folyadék vezetőképességét méri. A műszer léırása szerint, egyszerre méri afolyadék hőmérsékletét és a vezetőképességet, és egy kalibrált vezetőképességértéket mutat. A sűrűség - vezetőképesség karakterisztika negyedrendű, en-

11

nek seǵıtségével számolhatjuk át a mért vezetőképesség profilokat sűrűségprofilokká. Az előálĺıtott sűrűségprofilt minden esetben a ḱısérletek utánmértük le, mert maga a sűrűségmérés is jelentősen elkeverheti a két réteget.

A hullámzást a felsźın gerjesztésével ind́ıtjuk be, ezt egy periodiku-san mozgó hungarocell hasáb, mint ’hullámkeltő berendezéssel’ végezzük.A hullámkeltő egy egyenáramú motorra van rákötve, ennek a feszültségeszabályozza a gerjesztés frekvenciáját. A berendezés sematikus rajza a 7.ábrán látható.

7. ábra. A hullámkeltő berendezés sematikus rajza. A v́ız felsźınén lévőhungarocell hasábot egyenáramú motor mozgatja függőlegesen, ezzel felsźınihullámokat keltve.

A barotróp-baroklin transzfert, a fent tárgyalt módon aljzati akadályokkalváltjuk ki. Ezen akadályok vékony plexilapok, amelyek a hullámkád teljesvastagságát átérik, és éppen olyan magasak mint az alsó réteghatár, azaz 8cm.

A ḱısérleteket egyszerre két kamerával rögźıtjük. Az egyik kamera egyedüla réteghatár hullámzását követi, ennek sebessége 29 képkocka/másodperc.A hullámkeltő berendezést és a felsźın közvetlen hullámzását rögźıtiegy második kamera, amelynek azonban elegendő kisebb sebesség, 6képkocka/másodperc.

A mérésről készült felvételeket ezután képkockánként elemezzük, a mérésisorozattól függő módon. Amennyiben a rétegzett folyadékhoz ételfestéket iskevertünk, a réteghatár helyzetét részecskekövető szoftverrel mérjük. Al-kalmazunk egy ettől eltérő módszert is, amikor kék ételfesték használatátmellőzzük. Ilyenkor a két folyadékréteg eltérő törésmutatóját használjuk ki.

12

3.2. Background oriented schlieren módszer

Az áramló folyadék sűrűség-anomáliáinak detektálására használatos eljárásaz úgynevezett ’schlieren’ fotográfia [17]. A ḱısérletben az áramlási te-ret kollimált fénysugarakkal viláǵıtjuk meg. A változó sűrűség miatt avisszaverődő fény diffrakciót szenved, méghozzá a sűrűségkülönbségtől függőmértékben. A visszaverődő fénysugarakat egy lencsével összegyűjtve, adiffraktált nyalábok fókuszálása nem tökéletes, ezért látszódik a sűrűséganomáliák hatása. A fókuszpontba egy éles pengét helyezve, amely a vissza-vert sugarak felét kitakarja, majd a pengén átjutó sugarakat ernyőn megje-leńıtve, láthatóvá válnak az áramlásbeli sűrűségkülönbségek.

A ’schlieren’ módszer rendḱıvül hatékony, azonban a mérési összeálĺıtásnagyon körülményes és nem szolgáltat elég kvantitat́ıv információt. Létezikazonban egy egyszerűbben megvalóśıtható eljárás, amely hozzá ha-sonlóan a sűrűség anomáliák detektálását teszi lehetővé, a törésmutatóváltozásának követésével. Tágabb értelemben beszélhetünk szintetikus sch-lieren eljárásokról, amelyek ugyanazon optikai elveken alapulnak, mint aklasszikus schlieren fotográfia, de ez már digitális képalkotáson alapul.

Az általunk használt eljárás az úgynevezett ,,Background oriented sch-lieren”, (BOS) módszer. A legegyszerűbb összeálĺıtásban, az áramlási térmögé egy előre ismert mintázatot helyezünk, jól látható módon. Egyszerűenmondva, ennek a mintázatnak a deformációjából nyerhetünk információt azáramlásbeli sűrűség gradiensekről.

A szintetikus vagy ’Background oriented schlieren’ előnye, hogy a mérésiösszeálĺıtás lényegesen egyszerűbb, és költséghatékonyabb. A digitálisanrögźıtett fénykép, és megfelelő referenciák seǵıtségével kiszámolható a fo-lyadék sűrűségének helyfüggése. A kérdés, hogy a hullámkád mögé helyezettmintázat hogyan változik, ha a róla induló fénysugarak először a rétegzettfolyadékon haladnak keresztül. Lenyűgöző módon, a Fermat-elvből, vagyis a

δ

∫n(x, y, z)ds = 0

variációs egyenletből levezethető, hogy a háttér-kép egy (x, z) pontjánaklátszólagos elmozdulására (vagyis az a távolság, amelyből a fénysugarak in-dulni látszanak) igaz, hogy

∆x = D1

n0

∂n′

∂x,

∆z = D1

n0

∂n′

∂z,

13

ahol D a geometriára jellemző faktor, n0 pedig egy referencia-törésmutató.Ismert továbbá, hogy a sós v́ız esetén, a törésmutató és a sűrűség kapcso-lata jó közeĺıtéssel lineáris, tehát a látszólagos elmozdulás rögtön a sűrűséggradiensével arányos.

A feladat praktikusan az, hogy a rétegzett folyadékról készült felvételenminden pontban megkeressük, hogy a referenciafelvételen (nem rétegzett fo-lyadékkal késźıtve) melyik pont felel meg neki. Ezzel a látszólagos elmoz-dulásmezőt késźıtjük el, amiből pedig kiszámolható a sűrűség [18].

8. ábra. Background oriented schlieren összeálĺıtás. A két akadály je-lenlétében (a bal oldali nincs a képen) végzett ḱısérletről készült felvétel.A háttér mintázatán látható, hogy a réteghatár az akadály tetejével egy vo-nalban húzódik.

Az általunk végzett ḱısérletben megvalóśıtott BOS összeálĺıtást mutatjaa 8. ábra, a rétegzett folyadék nyugalmi helyzetében. Kipróbáltunk többféleháttér-mintázatot is (ezt a fénykép bal és jobb oldala mutatja), melyek közüla legalkalmasabbnak a v́ızszintes vonalak egyenletes mintája bizonyult.

Mivel a határrétegen terjedő hullámok vizsgálatánál nem fontos a pontossűrűségprofil ismerete minden pillanatban, a background oriented schlierenmódszernek egy lényegesen egyszerűbb és kevesebb számı́tási igénnyel járóváltozatát alkalmazzuk. A ḱısérlet hátterének mintája v́ızszintes vonalak,amelyek állandó sűrűséggel követik egymást. A digitális felvételeken ezután,az akadályhoz közel kiválasztunk egy pixeloszlopot, amelyben kiszámoljukaz intenzitás helyfüggését. Ezt mutatja a 9. ábra. Az intenzitásnak a fekete

14

v́ızszintes vonalakon minimuma van, mı́g a közöttük lévő fehér sávban ma-ximuma. A vonalak a paṕıron egyenletesen követik egymást, ezért az inten-zitásprofil mindkét rétegben periodikus. A réteghatáron azonban ez a perio-dikusság megtörik, a vonalak már nem egyenletesen követik egymást. Ennekalapján tudjuk beazonośıtani a réteghatár helyét, az anomália nagyságából(tehát ennek a tartománynak a szélességéből) pedig a réteghatár szélességérekövetkeztethetünk.

0 50 100 150 200Intenzitás

9. ábra. Pillanatkép a gerjesztett hullámzásról. A bal panelen a párhuzamosvonalak mintázatát kinagýıtottuk és a fehér függőleges vonallal jelölt pixel-oszlopban mérhető intenzitást ábrázoltuk a jobb panelen. Az intenzitás-profilperiodicitása (az egymást szabályosan követő vonalak mintája) megtörik, ezjelzi a réteghatár helyzetét. Az algoritmus által detektált réteghatár helyze-tet és szélességet piros vonalak jelölik a bal és jobb panelekben.

Méréseinkből arra következtetünk, hogy a BOS módszerből a réteghatárvastagságára megb́ızható értéket kapunk, mı́g a réteghatár poźıciójára nemfeltétlenül. Ezért, amikor annak tényleges elmozdulása a kérdés, az alsóréteget ételfestékkel tesszük láthatóvá, és a festék elmozdulását követjükszoftveresen. Annak érdekében, hogy a (más időpontokban, némileg máskörülmények között) mért idősorokat össze tudjuk hasonĺıtani egymással,

15

azokat normáltuk: nulla átlagúra és egységnyi szórásúra transzformáltuk.Ezért tehát az ábrákon feltüntetett amplitúdó értékek általában ebben azegységben, vagyis az eredeti adatsor σ szórásának egységében vannak.

4. A harmonikus gerjesztés rezonanciája

Elsőként a rendszer harmonikus gerjesztésre adott válaszát vizsgáljuk. Itt,és a további mérésekben az akadályok távolságát d = 25.5 cm-nek rögźıtjük,a 3.1 fejezetben tárgyalt mérési elrendezéssel. A vizsgált frekvenciatar-tományban összesen 21 ḱısérletet végeztünk, amelyek során a réteghatárkitérését, annak vastagságát, a felsźın kitérését és a gerjesztési amplitúdótmértük 2 percen keresztül. A vizsgált gerjesztési frekvenciáknál a 2 perchosszú mérés alatt már képesek kialakulni a keresett állóhullámok, a tranzi-ens áramlások időskálája hozzávetőlegesen 20-30 másodperc.

A digitális felvételeket ezután képkockánként elemezzük ki. Mindenképkockán megkeressük a réteghatár helyét és vastagságát, a 3.2 fejezet-ben léırt módszerrel, ı́gy egy-egy idősort kapunk a határréteg poźıciójáraés a vastagságára. Az ı́gy kapott nyers adatsorokból levágva a kezdetitranziens áramlások nyomát, egyetlen, a hullámzás amplitúdójára jellemzőmennyiséget kapunk. A gerjesztés és a felsźın poźıcióját a Tracker szoftver-rel [19] határoztuk meg. A gerjesztés időfüggésének követése azért fontos,mert a gyakorlatban a gerjesztést egy feszültséggenerátorra kötött elektro-mos motor biztośıtja. Így valójában az egyes ḱısérletekben csak a motorraeső feszültséget tudtuk kontrollálni, a gerjesztés frekvenciáját meg kellettmérnünk.

Egy tipikus mérésből kapott nyers idősorokat mutat a 10. ábra. Látható,hogy a gerjesztés tisztán harmonikus, a felsźın és a réteghatár válaszai (alsópanelek) azonban erősen zajjal terheltek. Elsőként tekintsük a gerjesztésidősorát. Fourier-transzformációt végezve, a maximális amplitúdójú csúcsfrekvenciáját tekintjük a gerjesztési frekvenciának.

A 11. ábra a mérés tényleges kontrollparamétere, a motor feszültségénekfüggvényében mutatja a mért gerjesztés frekvenciájának. A frekvenciákbizonytalanságát a Fourier-csúcs félértékszélességével becsültük, amelyetfőként a mintavételezési frekvencia határoz meg.

A rezonanciagörbe kiszámı́tásához a 21 független mérés során a réteghatárés a v́ızfelsźın válaszának a ’nagyságát’ ábrázoljuk a kiszámolt gerjesztésifrekvenciák mellett. Fontos kérdés, hogy milyen mennyiséget tárśıtunk azegyes idősorokhoz, amely a két réteg között kialakuló állóhullámokat jól jel-lemzi. Ideális esetben, a réteghatár kitérésének időfüggése 0 körül ingadoz-na periodikusan, ezért itt az amplitúdó mérőszámának az idősor szórását

16

0 50 100 150

Idő [s]

−1

0

1

Ger

jesz

tési

amp

litú

dó

[σ]

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

Frekvencia [Hz]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ger

jesz

tési

amp

litú

dó

[σ]

0 50 100 150

Idő [s]

20

40

60

Rét

egh

atár

vast

agsá

g[p

ixel

]

0 50 100 150

Idő [s]

−2

0

2F

elsź

ıni

kit

érés

[σ]

10. ábra. A harmonikusan gerjesztett mérések idősorai, ebben a példában agerjesztés feszültsége 0.85 V. A bal felső panelen a gerjesztés időfüggése, ajobb oldalon ennek Fourier-spektruma látható, a legnagyobb csúcshoz tar-tozó félértékszélességet piros vonal jelöli. A bal alsó panel a réteghatárvastagságának időfüggését mutatja, pixelben mérve. A jobb alsó panelena felsźın kitérésének időfüggése látható.

tekintjük. A réteghatár szélességeinek pedig, mivel az, az állóhullám ki-alakulása után állandó maradna, az idősor átlagát tekintjük. A mérés bi-zonytalanságát is hasonlóan becsülhetjük, ezt az adatsorok időátlaga (20másodperces ablakokban számolva) körüli szórásának tekintjük.

A ḱısérletek során döntő fontosságú a rétegzettség előálĺıtása, hiszen adiszperziós relációkon is tükröződik, hogy a jelenség rendḱıvül érzékeny arelat́ıv sűrűségkülönbségre. Éppen ezért, egy adott ḱısérleti összeálĺıtással(és rétegzettséggel) a lehető legtöbb mérést érdemes elvégezni. Mégis, aḱısérletek hossza miatt elkerülhetetlen, hogy a rétegzettséget ismételtenelő kelljen álĺıtani. Annak érdekében, hogy felmérjük a mérés re-produkálhatóságát, a rezonanciagörbét két mérési sorozatban vettük fel.A ḱısérleti összeálĺıtásokban ugyanannyi sót használtunk az alsó réteg

17

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Feszültség [V]

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Fre

kve

nci

a[H

z]

11. ábra. Az egyedi ḱısérletek során mért feszültség-frekvencia karakteriszti-ka. A frekvencia értékeket a ḱısérlet során, a gerjesztési amplitúdó idősoránakFourier-transzformáltja adja.

előkésźıtéséhez, de még ı́gy is nehéz feladat volt az azonos sűrűségprofilelérése. A 12. ábra alsó panelje mutatja a két mérési sorozatban mértsűrűségprofilokat, amelyet a 3. fejezetben tárgyalt módon kaptunk, a ve-zetőképességből. A profilokat a 3. ábra jobb paneljével összevetve látható,hogy várhatóan a háromréteg közeĺıtés ı́rja le a legjobban a keletkező belsőhullámokat.

A 12. ábra felső paneljén látható a mért rezonanciagörbe, amelyen ahatárréteg vastagságát ábrázoltuk a gerjesztési frekvencia függvényében. Areprodukciós mérés alapján ez a változó robusztusabbnak bizonyult, hiszena második mérési sorozat adatpontjai mérési hibán belül egybeesnek az elsőmérési sorozattal. A továbbiakban ezért ezen a változón keresztül fogjukvizsgálni a rezonanciajelenséget.

A mért adatoktól a kétréteg elmélet hosszú hullámú határesetének barok-lin módusa, (10) összefüggésből kapott frekvencia esik. A teljes diszperziósrelációból, (11)-ból valamennyivel jobb egyezést kapunk, azonban a legjobbanmégis a háromréteg elmélet illeszkedik. Annak ellenére, hogy a háromrétegdiszperziós reláció feltételei (mozdulatlan felsźın) szigorúan véve nem állnakfent, a (12) összefüggésből számolt első és második állóhullám módusok mégismérési hibán belül illeszkednek a mérési eredményekre.

4.1. A felsźın hullámai

Elrendezésünk, természetesen nem csak a réteghatáron terjedő hullámokatengedi meg, számos egyéb hullámjelenséggel is számolnunk kell. A legfon-

18

1000 1005 1010 1015 1020 1025

ρ [kg / m3]

0.025

0.050

0.075

0.100

0.125

0.150

z [m]

12. ábra. Felső panel: A közeghatár (2. réteg) vastagságának a gerjesztésfrekvenciájától való függése, a két független méréssorozatban, ezeket kékés narancssárga sźınek jelölik. A függőleges vonalak a két- és háromrétegelméletből számolt elméleti rezonanciafrekvenciák és azoknak második fel-harmonikusai. Kék: kétréteg elmélet, végtelen hullámszámú határeset. Fe-kete: kétréteg elmélet, teljes diszperziós reláció. Piros: háromréteg elmélet.Alsó panel: a két méréssorozatban mért sűrűségprofil.

tosabb ezek közül a felsźıni tólengés (vagy idegen szóval seiche), amely ahullámkád teljes hosszára kiterjedő állóhullám módusok megjelenését jelen-ti. A tólengés jelenségének nincs köze a folyadék sűrűség-rétegzettségéhez,csupán a hullámkád geometriája befolyásolja. Az első, legnagyobb amp-

19

litúdójú módushoz tartozó rezonanciafeltétel, hogy a medencében terjedőbarotróp hullámok félhullámhossza egész számszor férjen bele a kád teljeshosszába, azaz a rezonáns frekvenciára

fseiche =

√gH

2L,

összefüggés alapján fseiche = 0.277 Hz adódik. A 13. ábrán a felsźın

13. ábra. A felsźın gerjesztésre adott válasza. A mértékegység a sztender-dizált egységben értendő. A különböző sźınű adatpontok más-más mérésinap eredményei. A zöld függőleges vonal a tólengés első módusához tartozórezonancia.

hullámainak amplitúdója látható, melyek a 12. ábra pontjaihoz tartoznaka két mérési sorozatban. A felsźın kitérését a hullámkád végénél mértük,hiszen a kialakuló állóhullámoknak a széleknél mindig duzzadóhelye van,ı́gy várhatóan ott a legnagyobb az effektus. Annak érdekében, hogy afelsźın hullámainak amplitúdóját összehasonĺıthassuk a réteghatár ’amp-litúdóját’ jellemző mennyiséggel (a réteghatár vastagságával), az adatso-rokat normáltuk. Látható, hogy a tólengés első módusának frekvenciájakörnyékén, fseiche = 0.277 Hz-nél a réteghatár amplitúdójával összemérhetőválaszt látunk a felsźınen is.

A ḱısérlet geometriájának, vagyis az akadálytávolság és arétegvastagságok megválasztásának eredményeként 0.27 Hz környékéntulajdonképpen egy kettős csúcsot látunk. A réteghatáron a két akadályközött kialakuló állóhullámok is rezonálnak ennél a frekvenciánál (ezeknek a

20

második módusa) és a felsźınen kialakuló tólengés állóhullámai is (ezeknekpedig az első módusa). A csúsztatott gerjesztésű áramlás vizsgálata szem-pontjából ez kifejezetten előnyös helyzet, ı́gy további méréseink során erre acsúcsra és környezetére, vagyis 0.2 Hz < f < 0.4 Hz közötti frekvenciákkalfogunk törődni.

5. Csúszó paraméterű dinamikai rendszerek

A 3. fejezetben bemutatott ḱısérleti eredmények, amelyek a harmoniku-san gerjesztett hidrodinamikai rendszer két aljzati akadály között kialakulórezonáns állóhullámainak jellemzőit mutatják, jól érthetőek elméleti szem-pontból. Láttuk, hogy a kialakuló áramlást a barotróp-baroklin transzferváltja ki, és azt is, hogy a rezonáns gerjesztési frekvenciát jól lehet ma-gyarázni a háromréteg közeĺıtéssel, vagyis a középső réteg belső hullámaival.Most, hogy a csúszó frekvenciával gerjesztett esetet is magyarázni tudjuk,először általánosan a tetszőleges időfüggésű dinamikai rendszerekről esik szó.Ezt követően tárgyaljuk a csúsztatott rezonancia jelenségét, majd a ḱısérletielrendezésünkkel végzett mérések eredményeit.

Az időben változó paraméterű rendszerek vizsgálata nehéz, viselkedésüketnemautonóm differenciálegyenletek ı́rják le [20], amelyeknek az elmélete méga mai napig akt́ıvan kutatott terület. Az általános megállaṕıtás az, hogya csúszó paraméterű rendszer dinamikája nem ismerhető meg a megfelelő,rögźıtett paraméterű autonóm rendszer ismeretében [21, 22]. Ezen rend-szerek között kiemelten fontosak azok, amelyekben a gerjesztést jellemzőparaméter változik folytonosan, valamilyen trendet követve. Manapság,a csúszó paraméterű rendszerek vizsgálata során nem hagyhatjuk emĺıtésnélkül a kĺımaváltozást [8]. A Föld-rendszer üvegházhatás általi gerjesztésefolytonosan erősödik, az üvegházgázok koncentrációjának növekedésével. Afolyamat vizsgálatára számos elméleti [23], numerikus [9] és ḱısérleti [24]munka született.

Különösen érdekesek azok a problémák, amelyekben a folytonosan csúszóparaméter átlép bizonyos kritikus értékeket, például amelyek a nemautonómrendszer bifurkációihoz tartoznak (vagyis amely paraméter értékeknél a rend-szer egyensúlyi állapotainak stabilitása megváltozik [25]). Ezek a t́ıpusúvizsgálatok kiterjednek az alkalmazott matematika, fizika és a biológiaiterületeire is. Hogyha a paramétercsúszás nagyon lassú, vagyis a rendszersaját, belső időskálájánál lényegesen lassabb [26], a kérdéses bifurkációkáltalában később következnek be [27, 28, 29]. Itt kiemelendő a Hopf-bifurkáció [30] és a rezonancia [31, 32] példája, ehhez hasonló jelenségekkeltalálkozunk az áramlástani rendszerben.

21

Mostanában egyre nagyobb figyelmet kap az a szituáció, amikor a pa-ramétercsúszás és a rendszer saját időskálája nem válik szét, ebben az eset-ben nem egyszerűen késő, dinamikus bifurkációkat látunk [33, 34], hanem újt́ıpusú átmenetek (tippingek) is bekövetkezhetnek.

5.1. Csúsztatott frekvenciás rezonancia

Mivel ez a helyzet áll közelebb a realisztikus paramétercsúszással rendelkezőproblémákhoz, számos alkalmazások szempontjából fontos vizsgálat tárgyátképezi. Többek között, a mérnöki szempontból is releváns rendszerek rezo-nanciájának vizsgálata döntő fontosságú. Itt általában jelentős disszipációrólis beszélünk, a relat́ıve gyors paramétercsúszás mellett. Erre valóban számosanalitikus, numerikus [35, 36] és ḱısérleti [37] példa áll rendelkezésre. An-nak ellenére, hogy a fent emĺıtett példák többnyire rendḱıvül bonyolult,nemlineáris rendszerek voltak, érdemes a csúsztatott frekvenciás rezonanciátelőször lineáris rendszerekben tárgyalni.

Ez azzal az előnnyel is jár, hogy lineáris (ám nemautonóm), közönségesdifferenciálegyenlet lévén rendelkezésre áll analitikus megoldás [38, 39]. Azalábbiakban ismertetjük az erre vonatkozó leglényegesebb eredményeket. Azanalitikus összefüggések seǵıtségével egzakt képletet kapunk a rezonancia-frekvencia elcsúszása és a probléma egyéb paraméterei között, melyek közüla legfontosabb a frekvenciacsúszás sebessége.

Tekintsük tehát ([38] nyomán) a következő rendszert

ẍ+ 2Dẋ+ x = A0 cosϕ(t). (14)

Vegyük észre, hogy most nem az egyszerű, harmonikus gerjesztésű csillaṕıtottoszcillátor egyenletéről van szó, hiszen ϕ(t) játssza a csúszó paraméter sze-repét. Az egyszerűség kedvéért, az irodalomban elterjedt választás ϕ(t) =α2t2 + ω0t+ β, amely egy lineárisan növekvő frekvenciájú gerjesztést ı́r le.

A lineárisan változó frekvencia esetében (a stacionárius esethez ha-sonlóan1) az oszcillátor kitérésének időfüggése az alábbi alakú.

x(t) = |Q(t)| cos[ϕ(t)− ψ(t)]

Itt Q(t), ϕ(t) és ψ(t) az amplitúdó és a fáziskésés időfüggő általánośıtásai.A rezonancia szempontjából az amplitúdó, vagyis az oszcillációk bur-

1A stacionárius, állandó frekvenciával gerjesztett oszcillátor válasza x(t) = A cos(ωt−δ)lenne.

22

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

ϕ̇ ≡ ω

0

2

4

6

8

10

|Q|

α > 0

α < 0

14. ábra. A csúszó frekvenciával meghajtott harmonikus oszcillátor rezonan-ciagörbéje. Az autonóm rendszer rezonanciafrekvenciája ω = 1-nél van, eh-hez képest a csúszó rendszerben α > 0 esetén felfelé (piros görbék), α < 0esetén pedig lefelé (fekete görbék) tolódik. D = 0.02, A0 = 1, β = 0.

kológörbéje, Q(t) a mérvadó, melynek alakja [38]

Q(t) ∼ B1w(v(t)), ahol w(z) a hibafüggvény,

w(z) = e−z2

(1 +

2i√π

∫ z0

ez′2

dz′)

Itt B1 a disszipációtól és a paramétercsúszás α rátájától függő konstans, mı́gaz időfüggést

v(t) = −1 + i2√α

(αt+ ω0 − iD −√

1−D2)

hordozza. A fenti analitikus összefüggésekből pedig egészen egyszerűen kap-juk a rezonancia feltételét: a |Q(t)| burkológörbe első maximumában lesz acsúszó frekvenciás oszcillátor rezonanciája, vagyis

d(QQ∗)

dt= 0 esetén,

˙ϕ(t) ≡ ωR.

A deriválást elvégezve, megkapjuk a keresett összefüggést, a rezonanciafrek-vencia és a csúszás sebessége között.

ωR = 1 + sgn(α)C(α) (15)

23

C(α) transzcendens egyenlet megoldásaként jelentkezik, és C(α) ∼ √α. Bi-zonyos közeĺıtésekkel élve megmutatható, hogy C(α) =

√3π/2

√α, ezt az

1. Függelékben közöljük. A (15) összefüggésnek numerikus szimulációkeredményével való összehasonĺıtását mutatja a 15. ábra. Látjuk, hogy lassúfrekvenciacsúszás esetén az elmélettel való egyezés kifejezetten jó, nagyobbα esetén pedig kevésbé. Ennek oka az lehet, hogy amint α kellően nagy lesz,a frekvenciacsúszás elég gyors, maga a rezonancia sem feltétlenül jelentkezikelég markánsan, nehéz elkülöńıteni egyetlen rezonanciafrekvenciát. Továbbá,számos numerikus példa azt mutatja [38], hogy a disszipáció nem befolyásoljalátható mértékben a rezonanciacsúszás mértékét.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

α

1.0

1.2

1.4

1.6

ωR

15. ábra. A csúsztatott rezonanciajelenség helyének (ϕ̇R) a frekven-ciacsúsztatás sebességétől, α-tól való függése. A kék adatpontok numerikusszimulációk eredményét mutatják, a narancssárga görbe pedig az analitikuseredményt, ωR = 1 +

√3πα/2.

A fenti gondolatmenet természetesen, szigorúan véve csak a lineáris osz-cillátorra igaz. Általános esetben, például nemlineáris oszcillátoroknál máregyáltalán nem várjuk el, hogy a (15) összefüggés igaz maradjon. Mégis,a lineáris eset kvalitat́ıv jellemzői várhatóan érvényben maradnak bonyo-lultabb (és eredendően nemlineáris) rezonanciajelenségekre is, mint példáula rezonancia késése, (a ’delay effect’). Az oszcillátor esetében tapasztaltcsúszó rezonancia teljesebb vizsgálata érdekében érdemes egy nemlineárisoszcillátorra is elvégezni a számı́tást. Tekintsük tehát a következő rendszert,

24

amely egy rezgetett felfüggesztésű nemlineáris inga differenciálegyenlete [25].

ẍ+ 2Dẋ+ sin(x) = A0 cos(x) cos(ϕ(t)) (16)

A gerjesztési tagban ϕ(t) = α2t2 +ω0t továbbra is. Mivel az egyenlet periodi-

kus az x változóban (ami most az inga szögkitérését jelenti), ezért amp-litúdónak a sebesség-koordinátát tekintettük. A 16. ábra mutatja ezenegyenlet egyik tipikus trajektóriáját, amint áthalad a rezonáns gerjesztésifrekvencián, ϕ̇ = 0.8 körül (lásd a 16. ábra bal alsó panelje, melyen anem csúszó gerjesztésű rendszer rezonanciagörbéje látható [40]). Látható,hogy a 0.8 < ϕ̇ < 1 tartományban az amplitúdó nagyobb mint egyébként,viszont itt nem beszélhetünk nagyságrendi különbségekről, mint a lineárisoszcillátor esetében (lásd 15. ábra). A nagyobb amplitúdójú oszcillációkkezdetét tekintve ’rezonanciafrekvenciának (ωR)’, feltérképezhetjük annak aparamétercsúszás sebességétől, α-tól való függését is, a lineáris esethez ha-sonlóan. Az ωR(α) összefüggés láthatóan most is folytonos és monoton ma-rad, azonban már lényegesen különbözik a lineáris esetre jellemző analitikusképlettel, mely szerint a rezonanciacsúszás mértéke

√α-val arányos.

5.2. ,,Korai effektus”

A csúsztatott frekvenciás rezonanciajelenséggel foglalkozó munkák egyike,[31] meglepő eredményt közöl. A (14) egyenletben, lineáris frekvenciacsúszástfeltételezve egy korai rezonáns effektust mutatnak be, azaz a maximális amp-litúdójú oszcillációk jóval a nem csúszú rendszer sajátfrekvenciájának eléréseelőtt jelentkeznek. Azon túl, hogy az eredmény egyáltalán nem intuit́ıv, el-lentmond (15) összefüggésnek is [38]. Mint kiderül, valódi ellentmondásrólnincs szó, csupán a frekvencia definiálásának módjából adódik az eltérés.Mégis, ez a példa rámutat arra, hogy általános gerjesztés esetén különös fi-gyelemmel kell eljárni a pillanatnyi frekvencia definiálásakor.

Vegyük fel az oszcillátor gerjesztését A0 cos(ω(t)t) alakban. Ekkor, [31]szerzői ω(t) = αt+ ω0 feltételezéssel élve egyszerűen ω(t)-t tekintik pillanat-nyi frekvenciának. Eredményeik szerint, amennyiben α → 0, a rezonancia-jelenség tj =

1−ω02α

időpontban jelentkezik, azaz ω(tj) =ω0+1

2frekvenciánál,

pont félúton a sajátfrekvencia és a kezdő frekvencia között.Amennyiben viszont a gerjesztést A0 cos(ϕ(t)) alakúnak vesszük fel, és

a pillanatnyi frekvencia szokásos, dϕdt

defińıcióját tekintjük, erre ω(t) helyett2αt + ω0 adódik. Ebbe behelyetteśıtve a ,,kritikus” tj értékét, a rezonan-cia frekvenciára egyszerűen ϕ̇ = 1 értéket kapjuk, ami éppen a nem csúszórendszerre jellemző rezonanciafrekvencia. Ez persze nem meglepő, hiszenα → 0 határesetben, a fent tárgyaltak szerint nem tapasztalunk rezonan-

25

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

Gerjesztési frekvencia [Hz]

−2

−1

0

1

2

Am

plitú

dó

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

Gerjesztési frekvencia [Hz]

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Max

imál

isam

pli

túd

ó

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030

α

0.80

0.82

0.84

0.86

0.88

0.90

Rez

onan

ciaf

rekve

nci

a,ωR

[Hz]

ωR − ω0 ∼√α

16. ábra. A nemlineáris, rezgetett inga rezonanciagörbéje. A felső panelenaz (16) egyenlet egy tipikus megoldásának az ẋ koordinátája látható, a ger-jesztési frekvencia függvényében. A bal alsó panel, a nem csúszó frekvenciásrendszer rezonanciagörbéjét mutatja. Jobb alul, csúszó gerjesztésű modellrezonanciafrekvenciájának a rátától, α-tól való függése látható (kék pon-tok). A narancssárga görbe a lineáris esetre vonatkozó analitikus eredmény.D = 0.005, α = 10−5, ω0 = 0.6.

ciacsúszást. A látszólagos korai effektust tehát egyszerűen a frekvenciánakϕ(t)/t -vé történő ,,átdefiniálása” okozta.

6. A csúszó frekvenciás gerjesztésű áramlás

Most, hogy a 4. fejezetben ismertettünk egy hidrodinamikai rendszerbenfellépő rezonanciajelenséget, majd a 5.1. fejezetben megvizsgáltuk a lineárisoszcillátor, csúszó frekvenciás gerjesztésre adott válaszát, a következő céla csúsztatott rezonancia kimutatása a vizsgált hidrodinamikai rendszerbenis. Ennek érdekében ugyanazt a ḱısérleti elrendezést tekintjük, mint a 3.1.fejezetben és ugyanazokkal a vizsgálati módszerekkel is dolgozunk.

26

Elsőként fontos megemĺıteni a lineárisan növekvő frekvenciájú gerjesztéspraktikus előálĺıtását. Erre a célra továbbra is a 7. ábrán látható,egyenáramú hullámkeltő berendezést használjuk. A ḱısérletek során azonbanmost a feszültséggenerátor feszültségét egyenletes ütemben növeljük, ’kézivezérléssel’. Az, hogy nem mindig egyenletes a feszültségnövelés, nem játszikjelentős szerepet, hiszen a mérések kiértékeléséhez rögźıtjük a hullámkeltőtényleges mozgását is. Így rendelkezésünkre áll annak pillanatnyi frekven-ciája. Annak érdekében, hogy a ḱısérleteink illeszkedjenek az oszcillátor-problémához, lineáris időfüggést feltételezünk a pillanatnyi frekvenciára, azaza ḱısérletekben is ϕ(t) = α

2t2 + ω0t.

0 100 200 300 400 500

t

−20

0

20

40

60

Ger

jesz

tési

amp

litú

dó

[pix

el]

0 100 200 300 400 500

Idő [s]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ger

jesz

tési

frek

ven

cia

[Hz]

0 200 400 600

Idő [s]

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Ger

jesz

tési

frek

ven

cia

[Hz]

17. ábra. Lineárisan növekvő frekvenciájú gerjesztés. A bal oldalon ahullámkeltő kitérés-idő függvénye látható. A középső panelen a kitérés-függvény spektrogramja, a jobb panelen pedig a spektrogram maximális amp-litúdójú egyenese, a rá illesztett lineáris függvénnyel.

Ebből pedig minden pillanatra meghatározhatjuk az aktuális frekven-ciát. A módszert lépésenként a 17. ábra mutatja. A bal panelben láthatógerjesztés-idő függvényen először egy kellően hosszú időablakkal időfüggő

27

Fourier-transzformációt végzünk. Ennek eredménye egy spektrogram, vagyisminden időponthoz egy teljes Fourier-spektrum tartozik. Végül a spekt-rogramból minden időpontra kiválasztjuk a maximális amplitúdójú Fourier-komponens frekvenciáját, ez adja a jobb panelben lévő lépcsőzetes függvényt.A lépcsős szerkezet a feszültséggenerátor felbontásának a következménye.A ḱısérletek során azonban érdemes folytonos, lineáris frekvenciacsúszásrólbeszélni, és ennek az α rátájáról. Ennek érdekében az időfüggő Fourier-transzformáció eredményére egyenest illesztünk és ezt követően ezt az illesz-tett függvényt tekintjük f(t) időfüggésének.

0 200

Idő [s]

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Ger

jesz

tési

frek

ven

cia

[Hz]

0 200

Idő [s]

−1

0

1

2

3

4

Rét

egh

atár

vast

agsá

g[σ

]

0.2 0.4

Gerjesztési frekvencia [Hz]

−1

0

1

2

3

4

Rét

egh

atár

vast

agsá

g[σ

]

18. ábra. A csúszó frekvenciával végzett ḱısérlet eredménye. A balpanelen a gerjesztés frekvenciájának időfüggése, a középső panelen pe-dig a réteghatár vastagságának időfüggése látható. A jobb oldali pane-len réteghatár válaszának frekvenciafüggését (az f(t)-re illesztett egyenesseǵıtségével) ábrázoltuk. A frekvencia időfüggése az egyenesillesztés alapjánf(t) = 0.065 Hz +0.0014Hz

s· t.

A ḱısérletet ugyanazzal a módszerrel rögźıtjük és dolgozzuk fel, mint aharmonikusan gerjesztett esetben, a 4. fejezetben tárgyalt módon. Azonban,most a rezonanciajelenség amplitúdója (a réteghatár vastagsága) is időfüggő.Ezért, a mért idősornak, egy megfelelően választott csúszó időablakkal (amelyegybeesik az időfüggő Fourier-transzformáció időablakával) kiszámoljuk amozgóátlagát. Ez ugyanis a megfelelő általánośıtása a harmonikus ger-jesztésű esetben választott szimpla átlagnak. A csúszó időablak megfelelőhosszát a korábbi, nem csúszó frekvenciás mérések alapján becsülhetjük.Ott, a tranziens áramlások időskálája körülbelül 20 másodperc, ı́gy egy ilyen,vagy ennél hosszabb időablakkal számı́tott mozgóátlag várhatóan jól jellemzia csúszó gerjesztésre adott dinamikus választ.

Egy tipikus ḱısérlet során mért és feldolgozott idősort mutat a 18.

28

ábra. Kiszámoltuk a gerjesztés időfüggését, és a réteghatár vastagságánakmozgóátlagának időfüggését. Ezt követően, a frekvencia-idő függvényre il-lesztett egyenes seǵıtségével a réteghatár vastagságát ábrázoljuk a gerjesztésifrekvencia függvényében, az időt teljesen kiküszöbölve.

Az ábra a teljes spektrumot mutatja. Azonban, ahogy arról a 2.3. feje-zetben szó volt, a felsźın első tólengési módusa, és a rétegzett, két akadályosösszeálĺıtás második módusa egybeesnek, 0.27 Hz frekvencia környékén. Atovábbiakban ennek a dupla csúcsnak a folytonosan növekvő frekvenciahatására történő elcsúszását vizsgáljuk, különböző sebességű rámpák esetén.Fontos megemĺıteni, hogy a csúsztatott frekvenciával végzett méréseket nemközvetlenül egymás után végeztük, ı́gy a hullámkádat esetlegesen újra felkellett tölteni a mérések között. Ez azt eredményezi, hogy a ḱısérletek soránnem feltétlenül tudtuk mindig ugyanazt a rétegzettséget (ugyanazt a sűrűség-profilt), reprodukálni. Ellenőriztük azonban (a háromréteg elmélet alapján),hogy az ı́gy adódott sűrűségkülönbségek hatása kicsi a rendszer rezonan-ciagörbéjére. Ezért a csúszó frekvenciás eredményeket jogosan hasonĺıtjukössze az 12. ábrával.

A nyolc, eltérő rátával végzett mérés össześıtett eredményeit mutatja a19. ábra. Itt, a vizsgált tartomány 0.2 Hz < f < 0.4 Hz frekvenciáiraábrázoltuk a réteghatár vastagságának frekvenciafüggését. Összehasonĺıtva anem csúszó frekvenciás rendszer rezonanciagörbéjével, kvalitat́ıven ugyanazta jelenséget tapasztaljuk, mint a lineáris oszcillátornál. Növekvő frekven-ciájú pásztázás hatására (α > 0) a maximális réteghatár-szélesség a rezonan-ciacsúcs után jelentkezik, mı́g csökkenő frekvenciás esetben (α < 0) a csúcselőtt. Természetesen ha az adatokat az idő függvényében ábrázolnánk, ennekeredményeképpen a rezonanciajelenség mindkét irányú frekvenciacsúszásrakésne időben.

Ezen mérések egymással (és a rezonanciagörbével) való összevetése miattfontos megjegyezni, hogy a feltüntetett amplitúdók itt is normált egységbenértendőek, azaz 0 átlagú és egységnyi szórásúra transzformáltuk őket. En-nek alapján megállaṕıtható, hogy a rezonanciajelenség körülbelül 3 szórásnyiamplitúdóval jelentkezik a nem csúszó gerjesztésű esetben. A csúszó frek-venciájú gerjesztésre adott válasz tipikusan összemérhető ezzel, de néhányesetben (lásd 19. ábra első és negyedik panelek) az amplitúdó sokkal kisebbis lehet.

Annak érdekében, hogy a rezonanciahely csúszásáról valamilyen kvanti-tat́ıv jellemzőt is tudjunk mondani, minden mérés esetén meghatároztuk,hogy a a 0.27 Hz környékére eső csúcs hova került a csúszó frekvenciásmérés során. Ehhez a 19. ábrán az összes csúcsra görbét illesztünk, és azillesztési paraméterekből (csúcs helye és félértékszélessége) megkapjuk a re-zonanciahelyet és annak bizonytalanságát is. A nyolc mérésből számolt ωR

29

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4−1

0

1

2

3

4

Rét

egh

atár

vast

ags

ág

[σ]

α = (2.088± 0.009)× 10−3 Hz/s

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4−1

0

1

2

3

4α = (0.858± 0.005)× 10−3 Hz/s

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4−1

0

1

2

3

4

Rét

egh

atár

vast

ags

ág

[σ]

α = (−1.363± 0.032)× 10−3 Hz/s

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4−1

0

1

2

3

4α = (−1.825± 0.011)× 10−3 Hz/s

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4−1

0

1

2

3

4

Rét

egh

atár

vast

ags

ág[σ

]

α = (1.394± 0.01)× 10−3 Hz/s

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4−1

0

1

2

3

4α = (0.594± 0.002)× 10−3 Hz/s

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Gerjesztési frekvencia [Hz]

−1

0

1

2

3

4

Rét

egh

atá

rva

stag

ság

[σ]

α = (0.835± 0.003)× 10−3 Hz/s

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Gerjesztési frekvencia [Hz]

−1

0

1

2

3

4α = (−0.786± 0.009)× 10−3 Hz/s

19. ábra. A réteghatár válasza, csúszó frekvenciás gerjesztés esetén. Nyolckülönböző meredekségű rámpa esetén ábrázoljuk a réteghatár vastagságátés a nem csúszó frekvenciás rendszer rezonanciagörbéjét. A rámpák mere-dekségét (Hz/s -ban értve) feltüntettük a panelek fölött.

30

−0.002 −0.001 0.000 0.001 0.002α [Hz/s]

0.25

0.30

0.35ωR

[Hz]

20. ábra. A rezonanciacsúcs helyének a rámpa meredekségétől való függése.Kék pontok jelölik a 19. ábra nyolc mérésének eredményét, a fekete pontpedig a nem csúszó frekvenciás rendszer rezonanciacsúcsának helyét mutatja.

rezonanciahelyeket a frekvenciacsúszás rátája, α függvényében mutatja a 20.ábra. Természetesen feltüntettük a nem csúszó frekvenciás gerjesztésű esetrezonanciahelyét is, ez az α = 0 helyen lévő fekete adatpont. Az ábra a17. és 16. ábrákkal hasonĺıtandó össze, melyek a lineáris és nemlineárisoszcillátorproblémákban, kiszámolt ωR(α) függvényt mutatják. A lineárisesetről tudjuk hogy a rezonancia késés mértéke

√α-val arányos. Látjuk vi-

szont, hogy ez már a nemlineáris oszcillátorra sem teljesül.A ḱısérletileg meghatározott ωR(α) függvény α > 0 esetén továbbra is

monoton, tehát a gyorsabb paramétercsúszás eredményeként a rezonanciaje-lenség többet késik. Az is igaz marad, hogy α < 0 esetén a maximális amp-litúdó a rezonanciacsúcs előtt jelentkezik. A szimmetria azonban megtörik,azonos nagyságú α-k esetén is eltérő rezonanciacsúszást tapasztalunk, a frek-venciapásztázás irányától függően. α < 0 esetén többek között ωR(α) márnem is monoton, de ez valósźınűleg mérési hibák eredménye.

A függvény alakja sem ı́rható le egyszerűen, várhatóan nem vezethető lerá analitikus képlet. Természetesen ez nem okoz nagy meglepetést, hiszen ezmár a nemlineáris oszcillátor rezonanciájára sem volt igaz, a teljes hidrodi-namikai rendszertől el sem várhatjuk, hogy közönséges differenciálegyenletekkvantitat́ıven is léırják a viselkedését. Egy további fontos különbség, hogya méréseinkben α = 0.005 Hz/s ráta felett már egyáltalán nem is tud-tunk rezonanciát detektálni [41]. Ez azt jelenti tehát, hogy az oszcillátor

31

probléma ωR(α) összefüggése lényegesen szélesebb tartományban (akár αtöbb nagyságrendjén keresztül) érvényes, mint azt ḱısérletileg kimutattuk.

6.1. Az akadályok számának szerepe

Az eddigi vizsgálataink során azzal a feltételezéssel éltünk, hogy a ta-pasztalt rezonanciajelenség a két akadály között kialakuló állóhullámoknakköszönhető. Ahhoz, hogy utólagosan ellenőrizzük ezt a feltételezést, kont-rollméréseket végeztünk. A csúsztatott frekvenciás méréseket megismételtükegyetlen akadály jelenlétében és két akadály jelenlétében is. Ezen kont-rollmérések során a frekvenciacsúszás rátáját igyekeztünk állandónak tar-tani, α = 0.0006 Hz/s körül. Összesen három mérést végeztünk és azeddigi módszerektől eltérően a kiértékelést nem a 3.2. fejezetben tárgyaltschlieren eljárással végezzük. Egyszerűen, az alsó sós réteget megfestettükkék ételfestékkel és a kék határvonal helyzetét követtük időben a Trac-ker [19] szoftverrel. Ezzel egy időben a felsźın kitérését is meghatároztuk.Ezzel a módszerrel tényleges elmozdulást mérünk, nincs szükség az adat-sorok normálására. Az időfüggő amplitúdó kiszámolásához a szokásos, 20másodperces csúszó időablakban kiszámoltuk a mért kitérések szórását.

A 21. ábra mutatja az egy és két akadállyal végzett mérések összeha-sonĺıtását, azonos paramétercsúszás (azaz a kezdőfrekvenciájuk és rátájuk isugyanaz) mellett. A bal panelen a határréteg időfüggő amplitúdója látható,egy és két akadály jelenlétében. Látható, hogy a rezonanciacsúcs ugyanottvan, és ugyanolyan nagy is. Ebből arra következtethetünk, hogy a felsźınitólengés a domináns effektus mind a két esetben (ez viszont nem függ azakadályok számától).

Ennek tudatában meg kell gondolni, hogy egyáltalán van-e kimutathatószerepe a két akadály jelenlétének, vagy az egész rezonanciajelenséget csupána felsźıni tólengés első módusa produkálja. Ennek eldöntésére a jobb panel-ban megmutatjuk az egy és két akadályos mérésekben a felsźın kitérésénekamplitúdóit is (hasonló módon, mozgó-szórást számı́tva a nyers adatso-rokból). A felsźınen látszik, hogy két akadály jelenlétekor szisztematiku-san kisebb amplitúdókat mérünk, mint egy akadály esetén. Azt mondhatjuktehát, hogy a két akadály között létrejövő nagy amplitúdójú állóhullámokjelentős energiát vesznek el a felsźıni barotróp módustól, ezáltal csökkentve afelsźın hullámainak amplitúdóját. Ebből arra lehet tehát következtetni, hogyugyan a jelenség nagy részét a felsźıni tólengés okozza, a két akadály közöttiállóhullámok rezonanciája is mérhető effektus, a 0.27 Hz körüli csúcsnál agerjesztés erre a két hatásra egyszerre rezonál. Ez rámutat arra a meg-lepő eredményre is, hogy a lényegesen nagyobb disszipációt kiváltó kétakadályos eset rezonancia-csúszása ugyanannyi, mint a kisebb disszipációjú

32

0.28 0.30 0.32 0.34 0.36

Gerjesztési frekvencia [Hz]

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Hatá

rrét

egkit

érés

e[c

m]

0.28 0.30 0.32 0.34 0.36

Gerjesztési frekvencia [Hz]

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Fel

sźın

ikit

érés

[cm

]

Egy akadály

Két akadály

21. ábra. Egy és két akadállyal végzett mérések összehasonĺıtása. Feketegörbe jelzi az egy akadállyal végzett mérés eredményét, a kék görbe pedig akét akadállyal végzettét. A bal panelen a határréteg amplitúdója látható agerjesztési frekvencia függvényében, a jobb panelen a felsźın amplitúdója.

egy akadályos eseté. Ez a viselkedés az egyszerű, lineáris oszcillátorét tükrözi[38].

0.20 0.25 0.30 0.35

Gerjesztési frekvencia [Hz]

0.1

0.2

0.3

Hat

árré

teg

kit

érés

e[c

m] Egy akadály

Egy akadály

Két akadály

0.20 0.25 0.30 0.35

Gerjesztési frekvencia [Hz]

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Fel

sźın

ikit

érés

[cm

]

22. ábra. Egy, és két akadállyal végzett mérések összehasonĺıtása, különbözőkezdőfrekvenciák esetén. A világoskék görbe kezdőfrekvenciája 0.2 Hz, anarancs és sötétkék görbéké 0.26 Hz. A bal panelen a határréteg amplitúdója,a jobb panelen pedig a felsźın amplitúdója látható.

Ezen kontrollméréseket kihasználva röviden kitérünk a kezdőfrekvenciaszerepére. A 5.2. fejezetben bemutatott [31, 32] cikkek egyik meglepőeredménye volt, hogy a csúszó frekvenciával gerjesztett rendszer rezonan-ciájára a kezdőfrekvencia van a legnagyobb hatással. Már kitértünk rá,hogy a lineáris oszcillátor esetében a kezdőfrekvenciától való függés csupána helytelen frekvencia-defińıció eredménye. Nem zárhatjuk viszont ki, hogy

33

valamilyen nemlineáris effektuson keresztül a hidrodinamikai probléma re-zonanciájára valóban hatással legyen a kezdőfrekvencia. Ennek vizsgálataérdekében, a három kontrollmérésünk közül egy 0.2 Hz értékről, mı́g kétmásik 0.26 Hz körüli értékről indult.

Az eredményeket a 22. ábra mutatja. Összevetve a háromgörbét megállaṕıthatjuk, hogy a rezonancia helye egyáltalán nem függa kezdőfrekvenciától és ez igaz mind a felsźın, mind a réteghatár amp-litúdójára. A rezonancia amplitúdójának nagysága azonban némileg függ-het a kezdőfrekvenciától. Ez azzal magyarázható, hogy a kezdőfrekvenciamegváltoztatása a rendszer előéletét befolyásolja, ami hatással lehet arra,hogy milyen mértékben válaszol a külső, rezonáns gerjesztésre. Arra azonbannincsen hatással, hogy mikor, melyik frekvenciánál válaszol rá, azt ugyaniscsak a geometria és a frekvenciacsúszás sebessége határozza meg.

7. Eredmények, összefoglalás

A dolgozatban rétegzett közegek hidrodinamikáját vizsgáltuk, aljzatiakadályok jelenlétében. Vizsgálataink alapjául azt a ḱısérleti elrendezésttekintve, amelyben a felsźıni gerjesztés által keltett belső hullámok éppenrezonanciába kerülnek és állóhullámokat alaḱıtanak ki az aljzati akadályok.A ḱısérlet motivációját elsősorban a csúszó paraméterű dinamikai rendszerekadták. Célunk mindenek előtt a csúsztatott frekvenciával gerjesztett rend-szerek rezonancián való áthaladásának elméletének megerőśıtése, ḱısérletimódszerekkel.

Ehhez meg kell érteni az alapjelenséget, azaz a belső hullámok rezonan-ciáját, az erre vonatkozó eredményeket a dolgozat első fele tárgyalja. Azaljzati akadályok a folyadék kétféle hullámmódusa közötti energiatranszfertváltanak ki, ez a barotróp-baroklin transzfer, melynek hatására az elméletszerint állóhullámok képesek kialakulni ezen behelyzett akadályok között. Akét- és háromréteg elmélet seǵıtségével megbecsültük a külső gerjesztésnekazon frekvenciáját, amely hatására az állóhullámok első és második módusaikialakulnak. Ezt követően, ḱısérletileg vizsgáltuk a rezonanciajelenséget, azegyedi mérésekben a felsźınt harmonikusan, konstans frekvenciával gerjeszt-ve. Ezen ḱısérletekből az alábbi következtetéseket vonhatjuk le.

• A Background oriented schlieren módszer egyszerűśıtett változata a kétréteg közötti határ vastagságára ad jó becslést, a pontos poźıció helyett.

• A kétréteg elmélet nem, de a háromréteg elmélet jól magyarázza arezonanciajelenséget, annak ellenére hogy ez is csupán lineáris.

34

• A réteghatár vastagságában markáns rezonanciajelenséget észlelünk: aháromérteg elmélet által jósolt gerjesztési frekvenciáknál a (hullámzó)réteghatár jóval vastagabb.

• A ḱısérleti összeálĺıtásunkban a felsźıni tólengés első módusa éppen aréteghatár állóhullámainak második módusához esett közel. Ezért ez,a második rezonanciacsúcs, különösen jól detektálhatóvá vált, hiszenkét hullámmódussal is rezonál. Emiatt, a vizsgálatok során ennek acsúcsnak a környezetére fókuszáltunk.

A csúszó frekvenciával gerjesztett hidrodinamikai rendszer ḱısérletivizsgálata előtt kitértünk a valamennyivel egyszerűbb, közönséges diffe-renciálegyenlettel léırható problémák példájára. Ezekben, a mérnöki al-kalmazások szempontjából is fontos modellekben vizsgáltuk a lineárisannövekvő frekvenciájú gerjesztésre adott választ. A rezonancia-csúszását nu-merikusan vizsgáltuk először egy lineáris oszcillátor, majd egy rezgetettfelfüggesztésű inga példáján. Feltérképeztük a legfontosabb jellemzőit a rezo-nancia csúszásnak, amelyeknek érvényességét később ḱısérletileg vizsgáltuk.Úgy is fogalmazhatunk, hogy egyfajta ,,minimál modelljét” kerestük a hid-rodinamikai problémának.

Ugyanazon ḱısérleti elrendezésben, a korábbi módszereket általánośıtvanövekvő frekvenciájú gerjesztésre számos ḱısérletet végeztünk. Ezeket össze-gezve és összevetve az alacsony dimenziós modellekkel is, a következőketmondhatjuk.

• A lineáris oszcillátor esetében, melynek gerjesztésének frekvenciájaϕ̇ = αt + ω0 szerint változik, analitikus összefüggés van a frek-vencia csúszás mérétkére. A sajátfrekvenciához képest a rezonan-cia közeĺıtőleg

√3πα/2-vel tolódik el, és mindig késik időben. Igaz

az is, hogy a rezonancia csúszása nem függ a disszipáció mértékétől(egészen addig, amı́g nem a túlcsillaṕıtott tartományban vagyunk). Ittrámutattunk arra, hogy a nemlineáris, ingát léıró rendszerben ez azösszefüggés már nem érvényes.

• A pillanatnyi frekvencia pontos definiálása kulcsszerepet játszik ajelenségek szempontjából. Kézenfekvőnek tűnhet például, hogy aω(t) = ϕ(t)/t-ként definiáljuk a frekvenciát, ez azonban félrevezetőeredményekre vezet, akár a téves ,,korai rezonanciához” is.

• A hidrodinamikai problémán végzett ḱısérleteink kimutatták, hogykvalitat́ıven ugyanazt a csúszó rezonanciát tapasztaljuk, mint az osz-cillátorprobléma esetében: a rezonancia mindig késik időben, a nem

35

csúszó rendszer rezonanciagörbéjéhez képest. Ezért tehát α > 0 eseténnagyobb, α < 0 esetén kisebb frekvenciáknál látjuk a maximális amp-litúdót a réteghatáron.

• A maximális válasz továbbra is jelentkezik a réteghatár vastagságábanis, ráadásul ugyanazon mérés során a réteghatár a rezonanciakorkiszélesedik, majd visszahúzódik a kezdeti vastagságára.

• A rezonanciacsúszás α függését is vizsgáltuk, erre már nem illeszke-dett a lineáris oszcillátorból kapott eredmény. Megállaṕıthatjuk aztis, hogy megfelelően gyors frekvenciacsúszás esetén nem detektálhatórezonancia.

• Összevetettük az eredményeket az egy akadállyal végzett mérésekkel is.Láttuk, hogy a domináns felsźıni tólengés-módusnak köszönhetően azegy, és két akadállyal végzett mérésekben is ugyanott észlelünk rezonan-ciát. A két akadály hatása azonban észrevehető a felsźın válaszában.Két akadály esetén a barotróp-baroklin transzfer sokkal erőteljesebb,ezért sokkal jobban disszipálja a felsźın energiáját. Kisebb felsźıniválaszt látunk, mint az egy akadályos esetben. Ezzel egyúttal azt isdemonstráltuk, hogy a disszipáció nem változtatja meg az elcsúszottrezonancia helyét.

• Ugyanazon konfiguráció és α érték mellett végzett ḱısérletekből láttuk,hogy a rezonanciacsúszás nem függ a ḱısérlet kezdőfrekvenciájától sem.

Összefoglalva, sikerült egy rendḱıvül unortodox ḱısérleti szituációban iskimutatni a csúszó rezonancia jelenségét. Eredményeink főként az univer-zalitásban rejlenek, számos közös jellemzőt találunk az alacsony dimenziós(lineáris és nemlineáris) oszcillátorokkal. Emellett a ḱısérleti módszerek isújszerűnek mondhatóak, az időben csúszó paraméterű áramlástani rend-szereket ḱısérletileg még nem sok tanulmány vizsgálata. Végezetül meg-emĺıtjük, hogy a csúszó frekvenciás pásztázás gyakorlati szempontból iselőnyös lehet. Tudjuk, hogy különböző irányú (α < 0 vagy α > 0)rámpák esetén a frekvencia-csúszás is eltérő irányú, ezt demonstrálja a mérésiösszeálĺıtásunkban a 23. ábra. Ezt kihasználva, mindössze két ḱısérletből le-hetőség nýılik feltérképezni a rendszer teljes rezonancia-spektrumát [35, 37],hiszen az oda- illetve visszafelé pásztázás során mért csúcsok között leszneka rendszer valódi rezonanciacsúcsai.

36

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Frekvencia [Hz]

−1

0

1

2

3

4

Rét

egh

atár

szél

essé

g[σ

] α < 0

α > 0

23. ábra. A ḱısérleti összeálĺıtás csúszó frekvenciára adott válasza, növekvő(piros görbe, α = 0.0014 Hz/s) és csökkenő (fekete görbe, α = −0.0008Hz/s) frekvencia pásztázás esetén. A nem csúszó frekvenciás rendszer rezo-nanciagörbéjét kék pontok jelölik. Az adatsorokat normálva ábrázoltuk, azértékek szórás-egységekben értendőek.

Köszönetnyilváńıtás

Köszönettel tartozom témavezetőmnek, Vincze Miklósnak a ḱısérletekösszeálĺıtásában és elvégzésében, valamint a dolgozat meǵırása során nyújtottelengedhetetlen seǵıtségéért. Köszönet illeti Tél Tamást, aki a munkámatvégig figyelemmel ḱısérte és javaslatokkal, észrevételekkel seǵıtette.

Hivatkozások

[1] Wei Wang and Rui Xin Huang. Wind energy input to the Ekman layer.Journal of physical oceanography, 34(5):1267–1275, 2004.

[2] John Marshall and R Alan Plumb. Atmosphere, ocean and climate dy-namics: an introductory text, volume 43. Academic Press, 1989.

[3] Geoffrey K Vallis. Atmospheric and oceanic fluid dynamics. Fundamen-tals and large-scale circulation. Cambridge University Press, 2006.

[4] L.D. Landau and E.M Lifschitz. Fluid Mechanics. Pergamon Press,Oxford, 1987.

37

[5] Carl Wunsch and Raffaele Ferrari. Vertical mixing, energy, and thegeneral circulation of the oceans. Annu. Rev. Fluid Mech., 36:281–314,2004.

[6] Karim Medjdoub, Imre M Jánosi, and Miklós Vincze. Laboratory in-vestigations on the resonant feature of dead water phenomenon. arXivpreprint arXiv:1901.05931, 2019.

[7] Anders Stigebrandt. Resistance to barotropic tidal flow in straits bybaroclinic wave drag. Journal of Physical Oceanography, 29(2):191–197,1999.

[8] P. M. L Parry, O. F. Canziani, and J. P Palutikof, editors. ClimateChange 2007 – The Physical Science Basis Contribution of WorkingGroup I to the Fourth Assessment Report of the IPCC. CambridgeUniversity Press Scenario A1FI, 2007.

[9] Gábor Drótos, Tamás Bódai, and Tamás Tél. Probabilistic Concepts ina Changing Climate: A Snapshot Attractor Picture. Journal of Climate,28(8):3275–3288, 1 2015.

[10] Tamás Tél. Környezeti áramlások. Eötvös Loránd Tudományegyetem,2003.

[11] Pijush K. Kundu, Ira M Cohen, and David R Dowling. Fluid Mechanics.Academic Press, Oxford, 6th edition, 2016.

[12] Dorian Fructus and John Grue. Fully nonlinear solitary waves in alayered stratified fluid. Journal of Fluid Mechanics, (505):323–347, 2004.

[13] Miklós Vincze, Péter Kozma, Balázs Gyüre, Imre M. Jánosi,K. Gábor Szabó, and Tamás Tél. Amplified internal pulsations on astratified exchange flow excited by interaction between a thin sill andexternal seiche. Physics of Fluids, 19(10):1–4, 2007.

[14] Julia Boschan, Miklós Vincze, Imre M. Jánosi, and Tamás Tél. Non-linear resonance in barotropic-baroclinic transfer generated by bottomsills. Physics of Fluids, 24(4):1–12, 2012.

[15] S B Dalziel, G O Hughes, and B R Sutherland. Whole-field interactionmeasurements by synthetic schlieren’. Exp. Fluids, 28:322–335, 2000.

[16] S. A. Thorpe. An Introduction to Ocean Turbulence. Cambridge Uni-versity Press, 2007.

38

[17] L. M. Weinstein. Review and update of lens and grid schlieren andmotion camera schlieren. European Physical Journal: Special Topics,182(1):65–95, 2010.

[18] Lilly Verso and Alex Liberzon. Background oriented schlieren in a den-sity stratified fluid. Review of Scientific Instruments, 86(10), 2015.

[19] https:\\tracker.com.

[20] Peter E. Kloeden and Martin Rasmussen. Nonautonomous DynamicalSystems, volume 176. American Mathematical Society, 2011.

[21] Báli