CRECIMIENTO EXPONENCIAL & FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL

Algunas de sus aplicacionesMatemáticas 2º Año

Crecimiento Exponencial (I) El término crecimiento exponencial se

aplica generalmente a una magnitud “Y” tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo cual implica que crece muy rápidamente en el tiempo de acuerdo con la ecuación:treYY 0

Crecimiento Exponencial (II)Donde: Yt es valor de la magnitud en el instante t > 0;

Y0 es el valor inicial de la variable, valor en t = 0, cuando empezamos a medirla;

r es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre t = 0 y t > 0;

e = 2,718281828459... treYY 0

1. Desintegración Radioactiva: datación radiométrica

La datación radiométrica es el procedimiento técnico empleado para determinar la edad absoluta de rocas, minerales y restos orgánicos.

En los tres casos se analizan las proporciones de un isótopo padre y un isótopo hijo de los que se conoce su semivida o vida media.

La Datación por radiocarbono (basada en la desintegración del isótopo carbono-14) es comúnmente utilizada para datación de restos orgánicos relativamente recientes.

El isótopo usado depende de la antigüedad de las rocas o restos que se quieran datar. Por ejemplo, para restos orgánicos de hasta 60,000 años se usa el carbono-14, pero para rocas de millones de años se usan otros isótopos de semivida más larga.

Datación radiométrica De acuerdo al modelo:

La edad de una muestra será:

mtNtN 2)( 0

02

)(log

NtN

mt

Donde: N(t)=Cantidad de Núcleos (ó gramos) del isotopo, aun presentes en la muestra al periodo “t”No=Cantidad original de del isotopo en la muestra.m=semivida del isotopo

Datación radiométrica Semividas para algunos isótopos

radioactivos:

Para desarrollar en el cuaderno

Completar la siguiente tabla para los isótopos radiactivos señalados:

mtNtN 2)( 0Nota recuerde el modelo es:

2. Ley de enfriamiento de Newton El nombre de Isaac Newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus

numerosas contribuciones a la ciencia.

Probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto de fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la acuñación mientras fue funcionario de la casa de la moneda de Inglaterra.

Newton observó que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba más rápidamente cuando estaba muy caliente, y más lentamente cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del aire.

Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de enfriamiento de Newton.

Ecuación de la Ley de enfriamiento de Newton

tkmmt eTTTT )( 0)(

Donde: T(t)=temperatura del cuerpo en el instante “t”To=Temperatura inicial del cuerpoTm=Temperatura del ambiente donde se encuentra el cuerpo.k= ritmo de enfriamiento.e=2.7182…

mtk

mt TeTTT )( 0)(

También se puede expresar así:

“La razón de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del medio que lo rodea”

Ejemplo: Ley de Enfriamiento de Newton

Un cuerpo que se encuentra a 20ºC se coloca en un ambiente que se encuentra a 60ºC . A los 5 min. el cuerpo alcanza los 30ºC . ¿Cuál será su temperatura al cabo de 20 min., Cuándo alcanzará los 40ºC ?

Solución: información que brinda el problema:Temperatura inicial del cuerpo: To=20ºCLa temperatura del ambiente es: Tm=60ºCLa temperatura después de 5 minutos es de 30ºCLo que se busca en primer lugar es la temperatura del cuerpo dentro de 20 min. En segundo lugar dentro de cuanto tiempo la temperatura del cuerpo será de 40ºC

Ejemplo: Ley de Enfriamiento de Newton

la temperatura del cuerpo dentro de 20 min. Primero calculamos el ritmo de

enfriamiento (k)

0575.05

)4/3ln(

54

3ln

4

3

6020

6030

60)6020(30

55

5

k

kee

e

kk

k

Ejemplo: Ley de Enfriamiento de Newton

Ahora sí podemos calcular la temperatura del cuerpo. El modelo a usar es:

CeT

eT

eTt

t

tt

º33.476040

6040

60)6020(

)20(0575.0)20(

0575.0)(

0575.0)(

Ejemplo: Ley de Enfriamiento de Newton

Calculamos ahora ¿Cuándo alcanzará los 40ºC?

minutos 05.120575.0

)2/1ln(

0575.0)2/1ln(2

1

40

20

406040

604040

0575.00575.0

0575.0

0575.0

t

tee

e

e

tt

t

t

La escala de Richter Charles Richter fue un sismólogo americano cuyo estudio permitió

relacionar la magnitud de un terremoto o sismo con el tiempo transcurrido entre la aparición de ondas P y ondas S y la amplitud de estas.

Esta es la escala de referencia desde 1935 que permite evaluar la fuerza de un sismo por el valor de la magnitud calculada a partir de la cantidad de energía que este produce.

La escala Richter, es una escala logarítmica que corresponde al logaritmo de la medida de las ondas de tipo P y S a 100 kilómetros del epicentro.

La escala de Richter… La fórmula para calcular la escala de Richter utiliza un logaritmo

decimal:

R = log(A) – log(A0), ó también R=log(A/A0)

Donde A representa la amplitud máxima revelada por el sismógrafo y A0 una amplitud de referencia.

Esto significa que las ondas sísmicas de un sismo de magnitud 6 tienen una amplitud diez veces más grandes que aquellas de un sismo de magnitud 5.

Ejemplos: 1) Utilizando la fórmula de la escala Richter,

determine la magnitud de un sismo cuya intensidad es:

 a) 100 veces A0. b) 10 000 veces A0. c) 100 000 veces A0.

 

Solución

5)100000log(100000

log)

4)10000log(10000

log)

2)100log(100

log)

0

0

0

0

0

0

AA

Rc

AA

Rb

AA

Ra

Ejemplos: 2)Los terremotos de mayor magnitud

registrados han estado entre 7 y 9 en la escala de Richter. Calcule las intensidades correspondientes en términos de A0.

Solución

09

0

9

0

07

0

7

0

1010log9

1010log7

AAAA

AA

AAAA

AA

Ejemplos: El devastador terremoto de San

Francisco en 1906 midió 8.9 en la escala de Richter. ¿Cómo se compara este terremoto con el de Papúa, Nueva Guinea, en 1988, que midió 6.7 en la escala de Richter?

Solución

07.6

0

09.8

0

10log7.6

10log9.8

AAAA

AAAA

15810

10

10log7.6

10log9.8

07.6

09.8

07.6

0

09.8

0

A

A

A

A

AAAA

AAAA

NG

SF

NGNG

SFSF

Escala del Sonido (Decibeles –dB) Decibelio es la unidad relativa empleada en acústica y telecomunicaciones

para expresar la relación entre dos magnitudes, acústicas o eléctricas, o entre la magnitud que se estudia y una magnitud de referencia.

El decibelio es la unidad de medida utilizada para el nivel de potencia y el nivel de intensidad del sonido.

El decibelio, cuyo símbolo es dB, es una unidad logarítmica. Es un submúltiplo del belio, de símbolo B, que es el logaritmo de la relación entre la magnitud de interés y la de referencia, pero no se utiliza por ser demasiado grande en la práctica, y por eso se utiliza el decibelio, la décima parte de un belio.

El belio recibió este nombre en honor de Alexander Graham Bell.

Fórmula

0

log10II

dB

En donde I es la potencia a estudiar, en vatios (variable), Io es el valor de referencia, igual a 10 − 12 w/m^2 y log es el logaritmo en base 10 de la relación entre estas dos potencias. Este valor de referencia se aproxima al umbral de audición en el aire.

Ejemplos: 1) Encuentre los decibelios en los casos

siguientes:a) I es 10 veces más grande que Io. b) I es 1 000 veces más grande que Io. c) I es 10 000 veces más grande que Io. (Este es el nivel de intensidad promedio

de la voz).  

Solución

40)10000log(1010000

log10)

30)1000log(101000

log10)

10)10log(1010

log10)

0

0

0

0

0

0

II

dBc

II

dBb

II

dBa

Ejemplos: 2) Un nivel de intensidad del sonido de

141 decibeles produce dolor en un oído humano común. ¿Cuántas veces, aproximadamente, debe ser I más grande para que dB alcance este nivel ?

Solución

01.14

0

1.14

0

00

1010log1.14

log10141

log10141

IIII

II

II

II