cours signaux chapitre 5 6 etudiants
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Signaux & Systmes
Module Tlcommunications (UE3) : T1 - Signaux & SystmesFrdric PAYANIUT de Nice Cte dAzur - Dpartement R&T [email protected]
22 octobre 2007
Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Introduction aux systmes
Plan du cours
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Chapitre 5 : Etude des systmes Introduction aux systmes Analyse temporelle dun systme Analye frquentielle dun systme Chapitre 6 : La transforme de Laplace Introduction et dnition Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ? Schma danalyse dun systme avec la TL Exemple : le circuit RC Autres proprits
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Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Introduction aux systmes
IntroductionDnition dun systme On appelle systme un processus physique S qui associe un signal dentre e(t) un signal de sortie s(t) :
e(t )Entre
Systme
s(t )Sortie
Exemples de systmes :
Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Introduction aux systmes
PropritsLinarit Soit deux signaux e1 (t) s1 (t) et e2 (t) s2 (t). Un systme est dit linaire (SL) siS S
Stationnarit Un systme est stationnaire (ou invariant dans le temps (SIT)) si
Causalit Un systme est dit causal si
Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Introduction aux systmes
Analyse dun systmeDnition Lanalyse des systmes consiste
Lanalyse des systmes se fera de deux faons diffrentes :1
2
Remarque : Ici, on ne considre que des
Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Analyse temporelle dun systme
Plan du cours
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Chapitre 5 : Etude des systmes Introduction aux systmes Analyse temporelle dun systme Analye frquentielle dun systme Chapitre 6 : La transforme de Laplace Introduction et dnition Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ? Schma danalyse dun systme avec la TL Exemple : le circuit RC Autres proprits
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Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Analyse temporelle dun systme
Mise en quation dun systmeDune manire gnrale, tout systme linaire peut tre dcrit
Exemple : le circuit RC.Re(t ) i (t )
C
s(t ) s(t) + RC
ds(t) = e(t) dt
Sous cette forme, on cherchera rsoudre lquation diffrentielle.
Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Analyse temporelle dun systme
Mise en quation dun systmeOn trouvera la solution gnrale sous la forme s(t) = sg (t) + sp (t), avec : 1 sg (t)
2
sp (t) Exemple : le circuit RC.2
e(t) s(t)
1.5
s(t) = E E.e RC
t
1
0.5
Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Analyse temporelle dun systme
Relation entre/sortie dun systme
Dnition Soit un signal dentre e(t). La sortie dun SLIT est donne par :
h(t) est la ; le terme est un produit de convolution (voir plus loin).
e(t )Entre
h(t )
s(t )Sortie
Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Analyse temporelle dun systme
Rponse impulsionnelle
Dnition La rponse impulsionnelle note h(t) dun SLIT est le signal de sortie fourni par le systme lorsque lentre est un dirac ((t)) : e(t) = (t) s(t) = h(t).S
e( t ) = ( t )
S0
s(t ) = h (t )
t
Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Analyse temporelle dun systme
Rponse impulsionnelle
Exemple : Soit un systme S dont la rponse impulsionnelle est inconnue. (t )
s(t ) = e at
S0
t
0
t
On peut donc dduire facilement : Remarque :
Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Analyse temporelle dun systme
Le produit de convolutionDnition On appelle convolution de x1 (t) par x2 (t) le signal y (t) = x1 (t) x2 (t) dni par :+
y (t)
=
x1 ( ).x2 (t ).d
(1)
Proprits Le produit de convolution est commutatif : x1 (t) x2 (t) = x2 (t) x1 (t) ; x1 (t) (t) = x1 (t) ; x1 (t) (t t0 ) = x1 (t f0 ) (idem dans lespace des frquences).
Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Analye frquentielle dun systme
Plan du cours
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Chapitre 5 : Etude des systmes Introduction aux systmes Analyse temporelle dun systme Analye frquentielle dun systme Chapitre 6 : La transforme de Laplace Introduction et dnition Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ? Schma danalyse dun systme avec la TL Exemple : le circuit RC Autres proprits
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Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Analye frquentielle dun systme
Rponse frquentielle dun systmee(t ) h(t ) s ( t ) = h ( t ) * e( t )
TF
TF
TF
E( f )
H( f )
S( f ) = H ( f ) E( f )
Dnition
Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Analye frquentielle dun systme
Analyse frquentielle dun systme
Avantage de lanalyse frquentielle : systmes en srie.
e(t )
S1
S2
s(t )
Lanalyse des systmes linaires se fait souvent dans le domaine des frquences selon la dmarche suivante :
e(t )
TF
E( f )
H( f )
S( f )
TF -1
s(t )
Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Analye frquentielle dun systme
Conclusion sur lanalyse des systmes
Un systme S est compltement dni si on connait :
Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Introduction et dnition
Plan du cours
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Chapitre 5 : Etude des systmes Introduction aux systmes Analyse temporelle dun systme Analye frquentielle dun systme Chapitre 6 : La transforme de Laplace Introduction et dnition Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ? Schma danalyse dun systme avec la TL Exemple : le circuit RC Autres proprits
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Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Introduction et dnition
Motivations
La mthode danalyse base sur la TF ne marche pas toujours (TF divergente). Alternative la TF : la Transforme de Laplace (TL)
e(t )1 2 3
TL
E ( p)
H ( p)
S ( p)
TL -1
s(t )
Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Introduction et dnition
La transforme de LaplaceDnition Soit le signal causal s(t) (nul pour t 0). La transforme de Laplace (TL) permet la relation TL s(t) S(p),TL1
avec p une variable complexe dnie par p = + j2f , S(p) dnie par L est donne par+
S(p) =0
s(t)e(pt) dt.
Remarque : relation Fourier-Laplace : sous certaines conditions (toujours vries dans ce cours) X (f ) = X (p)|p=j2f X (p) = X (f )|f =p/j2 (2)
Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ?
Plan du cours
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Chapitre 5 : Etude des systmes Introduction aux systmes Analyse temporelle dun systme Analye frquentielle dun systme Chapitre 6 : La transforme de Laplace Introduction et dnition Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ? Schma danalyse dun systme avec la TL Exemple : le circuit RC Autres proprits
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Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ?
Raison 1 : Les transformes de Laplace usuelless(t) (t) eat .u(t) t n .u(t) t n .eat .u(t) sin(t).u(t) cos(t).u(t) eat .sin(t).u(t) eat .cos(t).u(t) S(p) 1 1/(p+a) n!/pn+1 n!/(p + a)n+1 /(p2 + 2 ) p/(p2 + 2 ) / (p + a)2 + 2 (p + a) / (p + a)2 + 2 Domaine R ] a, +[ R+ ] a, +[ R+ R+ R+ R+
Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ?
Raison 2 : Les proprits de la TL
Convolution : Rsolution simples des quations diffrentielles :Thorme de la drivation :
avec x(0+ ) et x (0+ ) respectivement la valeur instantane de x(t) et de sa drive linstant t = 0.
Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ?
Raison 3 : la transforme de Laplace inverseSoit le signal x(t) et X (p) sa TL dnie par une fraction rationnelle N(p) . X (p) = D(p)Les valeurs qui annulent N(p) : les Les valeurs qui annulent D(p) : les
Dnition Si deg(N(p)) deg(D(p)), La TL inverse sobtient en 2 tapes :
Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ?
La transforme de Laplace inverseExemple Soit le signal x(t) dont la TL est dnie par X (p) = 3p + 4 . p2 + 2p
Avec une dcomposition en lments simples : 3p + 4 1 2 = + . p2 + 2p p+2 p Or, 1 TL1 2t 2 TL1 e .u(t), et 2.t 0 .u(t). p+2 p Donc, x(t) = e2t + 2 .u(t).
Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Schma danalyse dun systme avec la TL
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Chapitre 5 : Etude des systmes Introduction aux systmes Analyse temporelle dun systme Analye frquentielle dun systme Chapitre 6 : La transforme de Laplace Introduction et dnition Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ? Schma danalyse dun systme avec la TL Exemple : le circuit RC Autres proprits
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Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Schma danalyse dun systme avec la TL
Schma type dune tude dun systme
Soit un certain systme S tudier. Pour connaitre son comportement :1 2 3 4 5
dtermination de lquation diffrentielle dcrivant S. obtention dune fraction liant S(p) et E(p) ;
on connait alors s(t) en fonction de e(t) !
Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Schma danalyse dun systme avec la TL
Schma type dune tude dun systme (II)On a plus qu appliquer en entre des signaux pour en tudier la sortie : 1 impulsion de Dirac (t) =>reprsente la modlisation mathmatique du systme ; permet de connatre la stabilit du systme tudi.2
chelon unit =>capacit du systme ragir une variation brusque ; tude du rgime transitoire.
3
signal sinuisoidale =>permet de dcrire le comportement en frquence du systme ; diagrammes de Bode (amplitude et phase).
Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Exemple : le circuit RC
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Chapitre 5 : Etude des systmes Introduction aux systmes Analyse temporelle dun systme Analye frquentielle dun systme Chapitre 6 : La transforme de Laplace Introduction et dnition Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ? Schma danalyse dun systme avec la TL Exemple : le circuit RC Autres proprits
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Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Exemple : le circuit RC
Etude du circuit RCRe(t ) i (t )
C
s(t )
1 2
Ce ltre est dni par lquation RC ds(t) + s(t) = e(t). dt Thorme de la drivation RC.s(0+ ) E(p) S(p) = + 1 + RCp 1 + RCp Rponse impulsionnelle : e(t) = (t)TL TL1
3
E(p) = 1.
Si le condensateur est dcharg : s(0 ) = 0 S(p) =4 t 1 1 TL1 s(t) = ( ).e( RC ) u(t) = h(t). 1 + RCp RC
+
Idem pour les rponses indicielles, harmoniques...
Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Autres proprits
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Chapitre 5 : Etude des systmes Introduction aux systmes Analyse temporelle dun systme Analye frquentielle dun systme Chapitre 6 : La transforme de Laplace Introduction et dnition Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ? Schma danalyse dun systme avec la TL Exemple : le circuit RC Autres proprits
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Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Autres proprits
PropritsLinarit : Si x(t)TL TL1
X (p) et y (t)TL TL1
TL TL1
Y (p),
a.x(t) + b.y (t)
a.X (p) + b.Y (p)
Changement dchelle : x(at)TL TL1
1 X (p/a) a
Translation temporelle : si T0 0, x(t T0 )TL TL1
X (p).epT0
Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Autres proprits
Proprits (suite)Dnition Thorme de la valeur initiale : x(0+ ) = lim p.X (p)p+
Thorme de la valeur nale : x(+) = lim p.X (p)p0
x (t )x (0+ )
t