cours rdm - ms4 - partie 2
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Cours RDM IUT GC MS4TRANSCRIPT
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Chapitre II
Méthode des forces
1
Calcul des structures hyperstatiques
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
2
Introduction
C’est une méthode... pas un théorème
Il faut comprendre une démarche de calcul
Chaque problème a une seule solution mais sa résolution peut être réalisée en suivant de multiples chemins
Pas de démonstration, pas de formule magique à apprendre
Pas de difficultés particulières si l’on maîtrise bien les acquis de première année
Technique de calcul bien adaptée à la résolution «à la main» des structures faiblement hyperstatiques (degré 1 ou 2)
Technique de calcul non programmable
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
3
Pré-requis
Savoir calculer le degré d’hyperstaticité d’une structure
Savoir calculer efficacement les sollicitations M (ou N)
Savoir calculer des déplacements avec le TFu
Connaître le principe de superposition
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
4
Principe de superposition
Exemples...
P q
dHext = 3 - 2 = 1
dHint = 3x0 - 0 = 0
dHtot = dHext + dHint = 1
=
Pq
+
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
5
Principe de superposition
Exemples...
P q
dHext = 3 - 2 = 1
dHint = 3x0 - 0 = 0
dHtot = dHext + dHint = 1
=
P/2 q/2
+P/2 q/2
=P/2 q/2
x 2
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
6
Principe de superposition
Exemples...
P q
dHext = 3 - 2 = 1
dHint = 3x0 - 0 = 0
dHtot = dHext + dHint = 1
=
P/2 q/2
+Rc
a b c
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
7
Principe de superposition
Exemples...
P q
dHext = 4 - 3 = 1
dHint = 3x0 - 0 = 0
dHtot = dHext + dHint = 1
=
a b
P q
a b +Rb
a b
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
8
Principe de superposition
Exemples...
P q
dHext = 4 - 3 = 1
dHint = 3x0 - 0 = 0
dHtot = dHext + dHint = 1
=
a b
+P q
a b a b
µa
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
9
Calcul des déplacements TFu
Exemples...
P q
dHext = 3 - 2 = 1
dHint = 3x0 - 0 = 0
dHtot = dHext + dHint = 1
P q
1
a b c
Calcul du déplacement vertical au milieu de la travée ab :
δVab/2 =∫ M.Mu
E.Idl
M
Mu1
Mulundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
10
Méthode des forces
Considérons une structure hyperstatique de degré n en équilibre statique sous un chargement extérieur quelconque
P q
dHext = nb inconnues de liaison - 3
dHint = 3 x nb cadres fermés - relâchements
dHtot = dHext + dHint = n
n inconnues en trop pour réaliser un calcul avec les équations d’équilibre (interne ou externe)
Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
11
Méthode des forces
P q
hyper n
Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques
=
P q
Etat (0) + ?
Première structure isostatique déduite de la structure précédente sur laquelle on applique la totalité du chargement extérieur
On obtient cette structure en éliminant n inconnues sur la structure initiale
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
12
Méthode des forces
P q
hyper n
Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques
=
P q
Etat (0) + ?
On obtient cette structure en éliminant n inconnues sur la structure initiale dHext = nb inconnues de liaison - 3
dHint = 3 x nb cadres fermés - relâchements
dHtot = dHext + dHint = n
On réalise donc «n coupures» pour :soit diminuer le nb d’inconnues de liaisonsoit augmenter le nb de relâchements
n coupures
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
13
Méthode des forces
a) Diminuer le nb d’inconnues de liaison
⇒ coupures au niveau des liaison extérieures donc des appuis
① appui simple 1 inconnue de liaison 1 coupure possible
② appui articulé 2 inconnues de liaison 2 coupures possibles
③ appui encastré 3 inconnues de liaison 3 coupures possibles
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
14
Méthode des forces
b) augmenter le nombre de relâchements
⇒ 1 relâchement = une articulation interne, donc une inconnue de moins (Mf = 0)
Mf = 0
Attention les coupures réalisées ne doivent pas transformer la structure en mécanisme (structure instable)
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
15
Méthode des forces
P q
hyper n
Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques
=
P q
Etat (0) + ?
Première structure isostatique déduite de la structure précédente sur laquelle on applique la totalité du chargement extérieur
On obtient cette structure en éliminant n inconnues sur la structure initiale
n coupures
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
16
Méthode des forces
P q
hyper n
Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques
=
P q
Etat (0) +n coupures
Etat (1) + Etat (n)+...
les états 1 à n correspondent à «n réparations» pour assurer la validité du principe de superposition.
x1xn
Attention le chargement extérieur n’est appliqué qu’une fois
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
17
Méthode des forces
P q
hyper n
Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques
=
P q
Etat (0) +n coupures
Etat (1) + Etat (n)+...
Les états 1 à n correspondent à «n réparations» pour assurer la validité du principe de superposition. Les réparations consistent à rétablir les efforts supprimés.
x1. xn.
1 1
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
18
Méthode des forces
P q
hyper n
Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques
=
P q
Etat (0) +n coupures
Etat (1) + Etat (n)+...
X1, X2, ..., Xn sont des inconnues, on a donc toujours n inconnues.
x1. xn.
1 1
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
19
Méthode des forcesP q
hyper n=
P q
Etat (0) +n coupures
Etat (1) + Etat (n)+...x1. xn.
1 1
Les coupures réalisées dans l’état(0) produisent des déplacements dans la structure de l’état(0) qui étaient interdis dans la structure initiale.
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
20
Méthode des forces
Coupures au niveau des liaison extérieures donc des appuis
① appui simple 1 coupure
② appui articulé 1 coupure
③ appui encastré 1 coupure
déplacement autorisé
déplacement autorisé
déplacement autorisé
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
21
Méthode des forcesP q
hyper n=
P q
Etat (0) +n coupures
Etat (1) + Etat (n)+...x1. xn.
1 1
Les coupures réalisées dans l’état(0) produisent des déplacements dans la structure de l’état(0) qui étaient interdis dans la structure initiale
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
22
Méthode des forcesP q
hyper n=
P q
Etat (0) +n coupures
Etat (1) + Etat (n)+...x1. xn.
1 1On peut donc écrire par exemple l’équation suivante :
0 = ∫(M0M1/EI)dl + X1. ∫(M1M1/EI)dl + X2. ∫(M2M1/EI)dl + .... + Xn. ∫(MnM1/EI)dl
0 = δ01 + X1.δ11 + X2.δ21 + ... + Xn.δn1Cette équation s’écrit plus simplement de la forme :
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
23
Méthode des forcesP q
hyper n=
P q
Etat (0) +n coupures
Etat (1) + Etat (n)+...x1. xn.
1 1On peut donc écrire le système suivant :
(n déplacements autorisés dans l’état(0) et interdits dans la structure initiale)
0 = δ01 + X1.δ11 + X2.δ21 + ... + Xn.δn10 = δ02 + X1.δ12 + X2.δ22 + ... + Xn.δn2
0 = δ0n + X1.δ1n + X2.δ2n + ... + Xn.δnn... n équations⎬
lundi 14 septembre 2009
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
24
Exemple...
P
a b c =
+
P
a b c
a b c
x11.
Etat(0)
Structure à étudierHyperstatique de degré 1
Etat(1)
l 2l-Pl/4
-2l
-
+
-
On peut donc écrire le système suivant :
0 = δ01 + X1.δ11 ici une seule équation car la structure est hyperstatique de degré 1
Le calcul des δij est réalisé avec les intégrales de Mohr
On trouve donc X1 !!!
lundi 14 septembre 2009