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CI25 Solides déformables /RDM PARTIE 2 : FLEXION (Déformée, Contraintes, Dimensionnement)
JC ROLIN 10/2015 Lycée G.Eiffel Dijon 1
Solides déformables
Cours de Résistance des Matériaux (RDM)PARTIE 2 : FLEXION (Déformée / Contraintes / Dimensionnement)
Contenu
1 SOLLICITATION DE FLEXION ................................................................................ 2
1.1 MISE EN SITUATION DE LA SOLLICITATION DE FLEXION ..................................................................................................... 2 1.2 FLEXION PLANE ET FLEXION PLANE SIMPLE ........................................................ ............................................................. 3 1.3 FLEXION PURE ......................................................................................................................................................... 3 EXEMPLE DE FLEXION SIMPLE ET PURE ........................................................................................................................................ 3
2 DEFORMATION DUE A LA FLEXION ..................................................................... 4
2.1 EXPERIMENTATION : DEFORMEE ET FLECHE ............................................................................................................ 4 2.2 DEPLACEMENT OU PIVOTEMENT D’UNE SECTION DROITE (S) .............................................................. ............................... 4
3 DEMARCHE DE CALCUL D’UNE POUTRE .............................................................. 5
3.1 APPLICATION DU PFS POUR LES ACTIONS AUX APPUIS ..................................................................................................... 5
3.2 IDENTIFICATION DU NOMBRE DE TRONÇONS A ETUDIER ................................................................................................... 5 3.3 RECHERCHE DU TORSEUR DE COHESION DE CHAQUE TRONÇON ........................................................... ............................... 5 3.4 DIAGRAMMES DES SOLLICITATIONS LE LONG DE LA POUTRE .............................................................................................. 6
4 EQUATION DE LA DEFORME ET FLECHE MAXIMALE ............................................ 7
4.1 DEFORMATION D’UNE POUTRE ................................................................................................................................... 7 4.2 EQUATION DE LA COURBE DE LA DEFORMEE OBTENUE PAR INTEGRATION ............................................................................ 7 4.3 APPLICATION A LA POUTRE SUIVANTE .............................................................. ............................................................. 7 4.4 FORMULAIRES DE FLECHES F POUR QUELQUES CAS USUELS ............................................................................................... 8
5 CONTRAINTES AU SEIN D’UNE POUTRE EN FLEXION ........................................... 9
5.1 OBJECTIF GENERAL DU CALCUL DES CONTRAINTES ......................................................... .................................................. 9 5.2 REPARTITION DES CONTRAINTES EN FLEXION ................................................................................................................. 9 5.3 CALCUL DU MOMENT QUADRATIQUE (UNITE M
4 OU MM
4) ........................................................ ....................................... 9
5.4 CONTRAINTE NORMALE MAXIMALE ........................................................................................................................... 10
6 DIMENSIONNEMENT D’UNE POUTRE EN FLEXION ............................................ 11
6.1 CONDITION DE RESISTANCE ................................................................ ............................................................... ....... 11 6.2 CONCENTRATION DE CONTRAINTES ........................................................................................................................... 11
7 EXEMPLES A DEVELOPPER ................................................................................ 11
8 FORMULAIRE DE FLEXION ................................................................................ 12
9 EXTRAIT CATALOGUE DE POUTRES METALLIQUES ............................................ 12
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1 SOLLICITATION DE FLEXION
1.1 Mise en situation de la sollicitation de flexion
Les sollicitations en flexion sont très fréquentes dans les poutres, on prendra comme exemple :
Mécanique : arbre de transmission Châssis d’un véhicule… ici de camion
Aéronautique : aile d’avion Pale d’hélicoptère
Architecture des bâtiments : Charpente, porte à faux, balcon… Flèche d’un mât
Poutres et poutrelles métalliques
En charpente métallique, une poutrelle désigne un produit
sidérurgique en acier laminé à chaud ayant une forme de I,
de H ou de U.
IPE UPE HPE
Dans le programme de TSI, les études de flexion se limitent à la flexion plane simple
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1.2 Flexion plane et flexion plane simple
Une poutre est soumise à de la flexion plane si
- Les actions mécaniques extérieures à la poutre sont composées de forces coplanaires et de
couples perpendiculaires au plan que forment les forces extérieures
- Le plan que forment les forces extérieures est un plan de symétrie de la poutre.
F1
F2
C
Plan de symétrie
F3
La longueur de la poutre est selon
l’axe0
x .
Le torseur de cohésion est réduit en
tout point G du tronçon à :
BaseLoca leG
coh
Mfz
Ty
N
T
0
0
0
Flexion plane : il existe une résultante normale Nx
FLEXION PLANE SIMPLE :On distingue la flexion plane simple de la flexion plane par l’absence du terme d’effort normal Nx ,
la situation de la poutre est alors isostatique.
Le torseur de cohésion est alors selon l’orientation du moment de flexion (autour de y ou z ).
BaseLocaleG
coh
0
Mfy
0
Tz
0
0
T
ou BaseLocaleG
coh
Mfz0
0
0Ty
0
T
1.3 Flexion pure
Un tronçon de poutre est sollicité en flexion pure si, en tout point G du tronçon,
- La section présente un plan de symétrie
- le torseur de cohésion se réduit à un couple perpendiculaire au plan de symétrie.
BaseLoca leG
coh MfyT
0
0
0
0
0
ou
BaseLocaleG
coh
Mfz
T
0
0
0
0
0
FF FF
Flexion pure
x0
y0
z0
G
A B
Flexion plane
simple
Flexion plane
simple
DC
Gz0
y0
Symétrie
Section quelconque
de la poutre
Exemple de flexion simple et pure
La zone entre B et C est soumise à 2 moments de signe opposés dus aux efforts en A, B, C et D,elle est en flexion pure.
Il n’y pas d’effort normal Nx car l’appui en C est un appui simple laissant le degré de liberté
selon0
x .
Mettre en place le
repère global
Illustrer une poutre
déformée en 3 D
pour les 2 cas de
flexion simple
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2 DEFORMATION DUE A LA FLEXION
2.1 Expérimentation : DEFORMEE ET FLECHE
La poutre (AB) est soumise à une sollicitation de flexion simple. Observons la déformation des
fibres de la poutre (ligne parallèle à la ligne moyenne AB) et le déplacement des sections droites.
G
G’
A’’
A’
A
B’’
B
B’
P1
P2
A’’
A’
AP’1
P’2
B’’
B’
B
Avant déformation
Après déformation
F
F
y0
x0
Section (S)
Section (S’)
y
x
Dé formée
da
DEFORMEE : La ligne moyenne « après déformation » est appelée
déformée.
FLECHE : La valeur du déplacement vertical d’un point M appartenant à
la ligne moyenne ( ] AB[M ) est appelé flèche au point M.
DEFORMATIONS
CONSTATEES : Les fibres « du
dessus »
raccourcissent
(ex : fibre
supérieure A’’B’’)
Les fibres « du
dessous »
s’allongent
(ex : fibre inférieure
A’B’)
Les fibres du planmédian ne
subissent pas de
variations de
longueur.
2.2 Déplacement ou pivotement d’une section droite (S)
D'après l'hypothèse de Navier et Bernoulli, les sections
droites restent planes et normales à la ligne moyenne après
déformation, tout se passe donc comme si la section droite
(S) avait pivoté d'un angle faible dα autour de l'axe )z,G(
pour venir en (S').
On peut donc dire que les déformations relatives Lo
L x
en un point M sont proportionnelles à l'ordonnée y de ce
point.
D’autre part, la loi de Hooke lie la contrainte σx, la
déformation εx et le module d’élasticité ou de Young E,
par : σx = E. εx
G x
y
(S)(S’)
da
x0
La contrainte normale σx en un point M d'une section droite (S) est proportionnelle à
l'ordonnée y de ce point.
Localiser la flèche
maximale et illustrer.
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3 DEMARCHE DE CALCUL D’UNE POUTRE
3.1 Application du PFS pour les actions aux appuis
En général le problème est plan, on applique :
le TRS en projection sur0
x et0
y , mais en
flexion pure il n’y a pas de résultante sur 0 x
le TMS en projection sur0
z .
Il faut bien identifier la nature de liaisons pour
connaître le nomme d’inconnues de chacune
d’entre elle.
FF FF
Flexion pure
x0
y0
z0
G
A B
Flexion plane
simple
Flexion plane
simple
DC
Articulation en A : RAx et RAy Appui simple en C : RCy
PFS avec 3 inconnues à déterminer
3.2 Identification du nombre de tronçons à étudier
On balaye la poutre de gauche à droite :
chaque appui et chaque force ponctuelle présente le long de la poutre détermine un nouveau tronçon.
pas de changement de tronçon le long d’une charge répartie.
Exemples :
FF FF
Flexion pure
x0
y0
z0
G
A B
Flexion planesimple
Flexion planesimple
DC
Appui simple en A, articulation en
B, charge ponctuelle P.
2 charges ponctuelles et 2 appuis, 3 intervalles
distincts.
2 appuis et une charge répartie,
3.3 Recherche du torseur de cohésion de chaque tronçon
Une poutre en bois est sollicitée en porte à faux par une force
concentrée à son extrémité et on néglige son poids propre.
On donne L = 4m, a = 0, 5m et F = −20kN.
Pour chaque tronçon (P-) est la partie à gauche, (P+) celle à
droite.
On choisit d’isoler le tronçon le plus facile pour les calculs et
on applique le PFS en introduisant le torseur de cohésion.
1)
Définition des appuis et forme d’écriture du torseur de cohésion
2) Calcul des actions d’appuis :
Ce calcul préliminaire est nécessaire dans quasi tous les cas on utilise le PFS = TRS = TMS dans le plan
Il est souvent utile de mettre en place les résultantes sous forme de vecteurs sur le dessin
TRS sur l’axe x .
TRS sur l’axe y .
TMS sur l’axe z au point A.
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3)
Torseur de cohésion dans le tronçon AB en isolant la partie gauche de AB soit (P-) :
PFS en G avec 0 < x < L :
TRS sur y :
TMS sur z en G :
On trouve le torseur de cohésion suivant valable entre A et B.
),,()/(
0
0
0
/
0
z y xG
coh
LaF x
LaF T
4) Torseur de cohésion dans le tronçon BC en isolant la partie droite de BC soit (P+) :
PFS en G avec L < x < L+a :
La partie droite étant retenue on étudie – {Tcoh}
TRS projeté sur y :
TMS sur z en G :
On trouve le torseur de cohésion suivant valable entre B et C.
),,()(
0
0
0
0
z y xG
coh
xa L F
F T
5)
Vérification de la relation entre effort tranchant et
moment fléchissant : )()( xT xdx
dM y
fz
6) Recherche de la localisation de la contrainte
maximale et expression de Mfz maxi.
3.4 Diagrammes des sollicitations le long de la poutre
Ces diagrammes représentent la variation de l’effort tranchant Ty et du
moment de flexion Mfz tout au long de la poutre.
On peut remarquer deux points utiles à la vérification des résultats : L’aire totale pour Ty en sommant sur la longueur de la poutre de A à
C est nulle (TRS vérifié).
Et )()( xT xdx
dM y
fz
On voit d’un coup d’œil que la contrainte maximale est localisée au
point B.
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4 EQUATION DE LA DEFORME ET FLECHE MAXIMALE
4.1 Déformation d’une poutre
On montre ci-contre pour une poutre en
charge l’évolution de la ligne moyenne.
En l’absence de chargement cette ligne est
confondue avec l’axe x, les points (AIJBD)
sont alignés.
Sous chargement la ligne moyenne se
déplace les points (AIJBD) ne sont plus
alignés mais appartiennent à la DEFORMEE.
La déformée est la fonction y = f(x) de la
ligne moyenne d’une poutre sous charge,
dans le repère global (A, x, y).
En un point G quelconque de la déformée,
la pente de sa tangente est pour les petits
angles avec G en radians :
Tan G = G = y’ = f’(x)
Cet angle correspond au pivotement de la
section droite de la poutre.
CONDITIONS AUX LIMITES ET FLECHE
On remarque qu’au niveau des appuis en A
et B, la position de la ligne moyenne n’a pas
changé : yA et yB = 0.
Au point I, la déformation passe par un
extrémum (maxi ici), la dérivée de la
déformée est nulle : y’I = 0
FLECHES : On nomme « flèches » les valeursmaximales de la déformation pour un
tronçon, ici en I et D.
Flèche en I = yi et flèche en D = yD
Exemples usuels de conditions aux limites
4.2 Equation de la courbe de la déformée obtenue par intégration
L’étude en géométrie analytique de la relation entre le pivotement de la section droite de centre G(x) et la contrainte
normale dans la poutre (paragraphe 2.2) permet d’établir une relation simple entre :
le moment fléchissant Mfz,
le moment quadratique I(G,z) de la section de la poutre
le module d’élasticité longitudinal ou module de Young E,
la dérivée seconde de la fonction de la déformée.
)(''..),(
x Mf y I E z z G Relation valable pour les petites déformations
Remarque 1 : On peut donc établir l’équation de la déformée à partir du moment fléchissant par 2 intégrations successives,
en recherchant les constantes d’intégration par les conditions aux limites.
Remarque 2 : Comme la relation Mfz dépend du tronçon de la poutre, la méthode par intégration doit être réalisée pour
chacun de ses tronçons.
4.3 Application à la poutre suivante
De A à C : Mfz = x.(F/2)
=' ' y. I . E ) z ,G(
=' y. I . E ) z ,G(
= y. I . E ) z ,G(
De C à B : Mfz = (x - L). F/2
=' ' y. I . E ) z ,G(
=' y. I . E ) z ,G(
= y. I . E ) z ,G(
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Conditions aux limites et recherche des
constantes d’intégration. De A à C De C à B
Equation de la déformée
Localisation de la déformée maximale ou
flèche.
Montrer que la flèche est :
) z ,G(
3
I . E .48
L. F - f =
4.4
Formulaires de flèches f pour quelques cas usuelsPoutre encastrée et charge ponctuelle F (N) en extrémité Poutre encastrée et charge répartie homogène p (N/m)
Poutre sur appuis avec charge ponctuelle en milieu de poutre Poutre sur appuis avec charge répartie linéaire p (N/m)
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5 CONTRAINTES AU SEIN D’UNE POUTRE EN FLEXION
5.1 Objectif général du calcul des contraintesCalculer les contraintes au sein du matériau de la poutre à différents objectifs :
Vérifier sa résistance pour dimensionner sa section et le choisir lors d’une conception (contrainte normale) ;
o non dépassement de sa limite à la rupture Rr ;
o exploitation dans le domaine élastique Re ;
Vérifier sa déformation afin qu’elle reste dans les limites acceptables de son contexte d’emploi (déformée) ; Satisfaire des critères économiques en utilisant le minimum de matière, mais au bon endroit (moment quadratique)
5.2 Répartition des contraintes en flexionConsidérons une section droite (S) d’abscisse x, et un point M de coordonnées (x,y,z) appartenant à
cette surface (S). La répartition des contraintes normales dépend de x et de y :
Gx
y
sx0
(traction)
Répartition de s X dans une section (S) d’abscisse x
sx(x,y)
x
y
M
G(x)z
y
Section S
M(x,y,z)
x
y. I
) x( Mfz ) y , x(
Gz
x =s
Avec IGz moment
quadratique par rapport àl’axe )z,G(
Pour l’exemple précédent :
Pour y = 0, 0x s
la contrainte normale est nulle tout le long de la fibre neutre
Pour y > 0, 0x s
sollicitation de compression
Pour y < 0, 0x s sollicitation de traction
En flexion plane simple, il apparait 2 termes non nuls dans le torseur de cohésion : Ty et Mfz (ou
Tz / Mfy).
En flexion pure, on néglige la contrainte tangentielle induite par l’effort tranchant.
5.3 Calcul du moment quadratique (unité m4 ou mm
4)
Le moment quadratique (IGz ou IGy) caractérise la répartition de surface (S) autour d’un axe.
Un moment quadratique élevé traduit une grande rigidité de la poutre.
Définitions pour le calcul des moments quadratiques
Flexion simple due à
Mfz, rotation des
sections normales
autour de z, et Mfy
(rotation autour de y).
ds.²yI)S(
Gz
ds.²zI)S(
Gy
Pour la torsion simple
due à Mt, rotation des
sections autour de x
Formulaire pour quelques sections simples
Section circulaire
Valeurs maximales pour y = z = d/2
Fondamental pour la
recherche de la contrainte
maximale sur une poutre
En concours il faut
savoir exploiter ces
résultats qui doivent
être connus pour ces
2 formes simples
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Section rectangulaire
Valeurs maximales pour y = h/2 et z = b/2
Si section carrée, h = b
Exercice induitif…
Réaliser un « pont » entre deux tables (e≈10cm) permettant de déposer un stylo en toute sécurité
à l’aide d’une feuille de papier A4.
Solution : Feuille pliée ou ondulée permet d’augmenter I(G,z) /y
Comparaison du moment quadratique d’une poutre creuse et d’une poutre pleine de même
section de matière.Calculer le moment quadratique d’une poutre pleine carrée
de 20 mm de côté.
Faire la même chose si la section est conservée pour une
poutre creuse d’épaisseur 5 mm.
Déduire auparavant ses dimensions…
5.4 Contrainte normale maximale
Rappel de l’expression de la contrainte : y. I
) x( Mfz ) y , x(
Gz
x =s
On repère déjà la section S la plus sollicitée sur le diagramme du moment fléchissant c'est-à-dire l’abscisse x où
Mfz est maximal.
La contrainte ) y , x( xs est maximale quand y est maximal
Bien souvent, les fabricants de profilés donnent les caractéristiques des sections de leurs poutres et notammentv
IGz
appelé
le module de flexion Avec ymaxv =
La contrainte maximale se calcule alors par :
s
v
I
Mfz
Gz
max
maxx
Répartition de la contrainte normale dans une section de poutre circulaire
Résistance en flexion ↔ Placer la matière loin de la fibre neutre
Ci-dessous poutre dite IPN
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Déduire les modules de flexion :
d’une poutre circulaire, I(G,z) = I(G,y)
d’une poutre rectangulaire I(G,z) et I(G,y)
6
DIMENSIONNEMENT D’UNE POUTRE EN FLEXION
6.1 Condition de résistance
Nous venons de voir que la sollicitation dominante est une contrainte normale. La limite utilisée pour le dimensionnement
sera donc la résistance pratique à l’extension (Rpe) qui tient compte d’un coefficient de sécurité s.
Comme pour les sollicitations de traction/compression, on dimensionnera la poutre de telle manière que
Pemaxx Rs avec
s
RR
e
Pe
6.2 Concentration de contraintes
Du fait des accidents de forme, on majorera la contrainte maximale nominale (cf. 0.1.1) calculée dans une section droite parun coefficient K (donné par des abaques).
Ainsi 1K
nomx
maxx
s
s
7 EXEMPLES A DEVELOPPER
Faire l’étude complète des 3 exemples suivants en tenant compte des symétries éventuelles pour simplifier :
Action aux appuis et recherche du torseur de cohésion, tracé des diagrammes NX, TY et MfZ
Recherche de l’équation de la déformée et de la flèche (maximale).
Exemple 1 :POUTRE SUR DEUX APPUIS AVEC CHARGE
CONCENTREE AU MILIEU
Montrer que la valeur de la flèche maxi en C est :
Exemple 2 :
POUTRE SUR DEUX APPUIS AVEC CHARGE
UNIFORMEMENT REPARTIE (Bâtiment : plancher,toit de super marché avec neige…)
Montrer que la valeur de
la flèche maxi en C est :
Exemple 3 :
POUTRE ENCASTREE AVEC CHARGE
CONCENTREE A UNE EXTREMITE
(Bras de robot avec moteur bloqué, grue…)
Montrer que la flèche
maximale en A est
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8 FORMULAIRE DE FLEXION
9 EXTRAIT CATALOGUE DE POUTRES METALLIQUES
Poutre IPE