cours de statistiques licence pro animation 2010 - 2011 bruno gachassin

Cours de statistiques

Licence Pro Animation 2010 - 2011

Bruno GACHASSIN

Organisation des 4 séances

5 janvier. Travail à partir d’un questionnaire. Définitions, échelles de variable. Mode, %

27 janvier. Représentation graphique. Moyenne, médiane, écart-type. Salle informatique: utilisation d’Excel (formules, graphique,

manipulations diverses)

28 janvier. Evaluation n°1. Khi2

15 mars. Khi2. Questions / révision. Evaluation n°2

1-n

m)-(x s 1

2i

n

i

N

x =

N

1=i

i

= (x )

N

i

1

N

2

i

Expérience pro

Gde distribution

0

1

TOTAL

non oui TOTAL

+5 (50) -13 (16) 66 (66)

-24 ( 7) +57 ( 8) 15 (15)

57 (57) 24 (24) 81 (81)

• Organiser, présenter et décrire des données.

• Vérifier des relations entre variables.

• Tester des hypothèses

• Généraliser à une population, des caractéristiques observées sur des échantillons.

• Faire de “bonnes” prévisions.

A quoi servent les statistiques?

La statistique est une méthode scientifique qui consiste à réunir des données chiffrées sur des ensembles nombreux, puis à analyser, à commenter et à critiquer ces données.

Il ne faut pas confondre la statistique qui est la science définie ci-dessus et une statistique qui est un ensemble de données chiffrées sur un sujet précis.

Il existe tellement de définitions différentes de la statistique qu’on pourrait presque en faire une étude … statistique. Ainsi, Raymond DUMAS, dans son ouvrage "L'entreprise et la statistique", datant de 1967, en dénombre-t-il déjà une centaine.

Définition: la statistique

Statistique descriptiveStatistique descriptiveOrganisation, présentation et analyse des données relatives à une population, un échantillon, en mettant les points importants en évidence..

Statistique inférentielleElle permet de généraliser à de grands ensembles d'éléments les conclusions tirées des résultats obtenus avec des ensemblesbeaucoup plus restreints appelés échantillons.

Echantillon Inférence Population ?

La statistique au sens large comprend deux branches.

Deux branches distinctes

La statistique, qu’elle soit descriptive ou inférentielle, est employée dans

toutes les sciences, ainsi que dans la vie quotidienne.

En statistique, la population désigne un ensemble d‘unités. Ces unités sont des êtres vivants ou des objets concrets ou abstraits. Le terme "individu" est souvent employé comme synonyme du terme "unité ", même lorsque l'on étudie des populations non humaines.

La première information statistique que l'on tire d'une population est le nombre de ses individus, que nous désignerons par n.

À titre d'exemple, voici la liste des 35 élèves d'une classe. {Ahmed, Alexandre, Antoine, Sandra, Hugo, Anne, Jeannot, Sara, Karim, Chloé, Kim, Loïck, Leila, Laurène, Lucas, Ludovic, Marine, Maxime, Valentine, Pauline, Paul, Pedro, Pierre, Quentin, Thomas , Nadia, Valentin, Vim, Lara, Flora, Clément, Rudy, Michael, Alison, Aline} Ces 35 élèves sont les individus qui composent notre population (n = 35). Cette population de 35 individus peut schématiquement être représentée par ce diagramme :

La population

Les ensembles étudiés sont appelés population. Les éléments de la population sont appelés individus. La population est étudiée selon une ou plusieurs variables (ou caractères).

Un individu« Individu »en latin: « ce qui est indivisible ».

Attention!!

Une population doit être définie avec précision, c’est totalement différent de considérer:

• les salariés des structures socio-culturelles de Midi-Pyrénées;

• Les salariés des structures socio-culturelles de France;

• Les animateurs socio-culturels de Midi-Pyrénées;

• Les assistant(e)s sociaux expérimentés de Toulouse;

• Des salariés de l’animation socio-culturelle.

On parle d’échantillon d’une population quand les individus sont tirées au sort ou choisies par une méthode qui permet d’assurer la représentativité de l’échantillon par rapport à la population totale.

Le diagramme ci-après représente la population statistique d'une classe de 35 élèves. Supposons que l'on y choisisse, par tirage au sort, 6 élèves. Ces 6 élèves constituent alors un échantillon.

Cet échantillon représente 17% de la population (6/35).

L’échantillon

Remarquons qu'un échantillon peut être considéré comme une population en elle-même, quoique beaucoup plus petite que la population dont il est extrait. En tant que population, il peut faire l'objet d'une étude statistique dont les conclusions, sous certaines conditions, sont susceptibles d’être étendues à la population toute entière. (C'est l'objet de la statistique inférentielle.)

xx

xx

x xx

xx

x

x

x

x

x

xx

x

x x x

x xxx

x x

xx x

xx

xx

x x

x

x xxx x

x

xx x

x xx

x

PopulationEnsemble de référence

xIndividu Elément de la population

EchantillonSous-ensemble de la population.

Il faut distinguer l'échantillon du sous-ensemble de la population obtenu par un classement ou "découpage" des individus au moyen de certains critères.

Attention!!

Nous pouvons ainsi diviser la population des 35 élèves en deux sous-ensembles, par exemple les garçons et les filles. On aura alors le schéma suivant :

Pour étudier une population, on procède à un classement des individus au moyen de certains critères appelés variables.

Les variables sont les caractéristiques que l’on observe sur chacun des individus de la population.

Organisation des données / Variables

Tableau à double entrée :. Lignes individus. Colonnes variables

Sujets / Variables V1 V2 V3 …

1

2

3

…

Dans la classe de 35 élèves, pour chaque élève, différentes caractéristiques ont été recueillies : le prénom, le nombre de frères et soeurs, la taille, ainsi que le résultat d’un test d’anglais.

Exemple de la classe de 35 élèves

Prénom SexeTaille (cm)

Nombre de frères et soeurs

Résultat testd'anglais

1 Lara F 168 1 D 2 Chloé F 163 2 D 3 Flora F 161 4 B 4 Sara F 165 1 B 5 Kim G 165 0 A 6 Leila F 168 2 B 7 Sandra F 161 2 D 8 Pauline F 163 1 C 9 Anne F 165 3 A 10 Laurène F 165 1 C 11 Lucas G 170 3 C 12 Quentin G 175 1 D 13 Valentine F 168 1 A 14 Clément G 165 0 B 15 Hugo G 170 1 C 16 Marine F 170 0 C 17 Valentin G 170 1 B 18 Aline F 170 1 B 19 Alison F 165 1 C 20 Nadia F 163 0 D 21 Rudy G 163 1 A 22 Jeannot G 170 4 C 23 Pedro G 175 2 B 24 Ahmed G 175 4 A 25 Pierre G 180 2 C 26 Michael G 170 2 C 27 Alexandre G 175 5 B 28 Loick G 175 1 A 29 Antoine G 180 0 C 30 Thomas G 180 1 B 31 Ludovic G 180 1 A 32 Karim G 182 1 C 33 Paul G 175 3 B 34 Maxime G 182 2 C 35 Vim G 180 0 D

Mise en page avec le logiciel Excel

La variable est une propriété que tous les individus d’un échantillon possède même si sa modalité est différente (ex : le sexe d’une population : tout le monde à un sexe, mais la modalité est différente : F ou M, ex : l’âge, etc).

Chaque colonne est une variable. Mais…

N° Questionnaire Pôle d'activité AnciennetéDernière

formationInfo

formationIntérêt

formation Milieu Sexe Age

1 Animation 18 1 oui - rural H 46

2 Acc Social 13 3 oui - urbain H 38

3 Accueil 1 2 je ne sais pas + rural F 20

4 Acc Social 18 4 oui -- urbain H 53

5 Animation 6 2 non ++ rural F 29

6 Administratif 17 4 oui - rural F 42

7 Accueil 3 2 oui ++ urbain F 22

8 Animation 8 3 non + urbain H 30

9 Acc Social 14 4 oui + rural F 41

10 Administratif 9 3 oui + urbain H 31

Les différents types de variables / la modalité

3 types (échelles) de variables:

Échelle nominale

Échelle ordinale

Échelle d’intervalle

Echelle NOMINALE Echelle ORDINALE Echelle d’INTERVALLE

• Les variables ne sont pas mesurables.

• Ce sont des noms, des sigles, des codes.

• Pas de hiérarchie entre les modalités de la variable.

• Il n’y a pas de quantité.

• Attention, même si les modalités sont des codes numériques, les opérations sur les modalités n’ont aucun sens.

• Hiérarchie entre les modalités de la variable. Cette hiérarchie est admise par toute personne à qui cette question est posée.

• Il y a une idée de quantité mais pas mesurable en intervalles égaux.

• C’est le cas de tous les caractères qualitatifs dont les modalités sont des opinions.

• L’instrument de mesure nous garantit des intervalles égaux.

• On est autorisé à calculer la moyenne !

• Les échelles nominales : – Modalités = catégories non hiérarchisées,

visée descriptiveExemple : un constructeur d’automobiles a demandé à un échantillon de 220

individus de faire part de leur préférence de couleur de voiture. Les résultats qu’il obtient sont les suivants :

Autres exemples : le sexe, la CSP, le département de naissance, etc.

Les modalités peuvent être nominales ou numériques

Les échelles de mesure

Couleur Blanc Noir Rouge Bleu Vert Marron Gris Jaune Autre Total

Effectifs 43 30 15 32 30 20 28 12 10 220


• Les échelles ordinales : modalités de la variable hiérarchisées

Exemple :Dans un questionnaire portant sur les loisirs, on a demandé à 102 personnes

de répondre à la question suivante : « allez-vous à l’opéra.. »Jamais. Rarement. Quelquefois. Assez souvent. Souvent. Régulièrement

Résultats sous une forme ordonnée (bon/moyen/mauvais) ou sous une forme de classement (premier, deuxième, troisième, etc.)


• Les échelles d’intervalle : l’instrument de mesure garantie des intervalles égaux entre les modalités

Exemple : la taille, l’âge, la température, etc.

Echelle d’intervalle

La taille

L’âge

L’instrument de mesure garantit des intervalles égaux.

On est autorisé à utiliser la moyenne

Echelle ordinaleEchelle nominale

Variable sexe : Homme

Femme

J’aime les stats

Un peu

Beaucoup

Passionnément

Pas du tout

Pas de hiérarchie entre les modalités de la variable

Hiérarchie entre les modalités de la variable admise par toute personne à qui cette question est posée

Variance

Ecart type

La moyenne n’est pas autorisée

Médiane

Quantiles (médiane, déciles, centiles)

Effectifs : 75 hommes, 25 femmes

Pourcentages : hommes, 25% ; femmes, 75%

Histogrammes

Secteurs angulaires

Rappel sur les pourcentages

Le pourcentage est le rapport d’un sous-ensemble à son ensemble ramené à 100. Un % est une façon d'exprimer une proportion ou une fraction dans un ensemble.

P =

n

NX 100

n= effectif de la modalité considérée

N= effectif total de la population

Représentations graphiques

Echelle

Biais (1)

Biais (2)

Transformations d’échelle

Un seul sens possible !

Echelle d’intervalle échelle ordinale échelle nominale On perd chaque fois de l’information !

Exemple Les résultats de fin d’année d’un groupe d’élèves (en %)

Élèves A B C D E F G H I

intervalle 26 32 38 44 50 56 62 68 74

ordinale < 35 de 35 et 49 De 50 à 65 > 65

nominale échec réussite

Statistiques descriptives: indicateurs de tendance centrale et de dispersion

• Echelle d’intervalles : Moyenne, variance, écart-type, mode, médiane, écart semi-interquartile, étendue.

• Echelles ordinales : Médiane, écart semi-interquartile, étendue, mode.

• Echelle nominale : mode.

Le mode d'une série est la valeur ou la modalité qui revient le plus fréquemment.

Exemples : Soit la série {8, 4, 4, 3, 4, 3, 8, 2,5} La valeur la plus fréquente de cette série est 4. Le mode est donc égal à 4. L'effectif associé à ce mode est 3.

Définitions simples

L’étendue est la différence entre la valeur la plus élevée et la valeur la plus basse.

Exemple: Les fréquentations par journée de l’atelier poterie depuis la rentrée:10 – 5 – 16 – 7 – 20 – 9 – 11 R = 20 – 5 = 15

Moyenne arithmétique : indice de tendance centrale

x

N

Prononcer « mu »

Nombre de valeurs

Somme

de toutes les valeurs

POPULATION

Prononcer

« x barre »

Nombre de valeurs

Somme

de toutes les valeurs

Xx

n

ECHANTILLON

LA MOYENNE (indice de tendance centrale)

NE DIT RIEN DE LA DISPERSION DES VALEURS

Deux outils vont être associés à la moyenne pour donner à voir la dispersion des données : La variance et l’écart type.

LA VARIANCE ET L’ECART TYPE

Voici les scores sur 20 (échelles d’intervalles) de deux groupes A et B

Groupe A : 10 - 12 - 8 - 9 - 11

Groupe B : 3 - 17 - 2 - 18 - 19 - 1

Ces deux groupes ont pour moyenne : 10

Groupe A

Groupe B

10 11 1298

1 2 3 17 18 19Dispersion

D i s p e r s i o n

VarianceL’idée consiste à inventer un indice qui donne une idée des écarts à la moyenne.

2 1

2

2

2

3

2 2

X X X X X X X X

nn.............

C’est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.

Ecart à la moyenne

élevé au carréVariance

2

2

X X

n

Cette formule est équivalente à :

VarianceExemple pour le groupe A :

10 11 1298

Variance

8 10 9 10 10 10 11 10 12 10

5

10

52

2 2 2 2 2

Variance

1 10 2 10 3 10 17 10 18 10 19 10

6

388

664 66

2 2 2 2 2 2

,

Groupe B 1 2 3 17 18 19

Rappel des diverses formules que vous utiliserez

2

2

1

X X

nLa variance

X X

n

2

1L’écart type

Variance et Ecart-type

Groupe B

10 11 1298

1 2 3 17 18 19

Dispersion

D i s p e r s i o n

Variance du groupe A = 2,5

Variance du groupe B = 77,6

A la lecture de ces deux variances on voit que la dispersion du groupe B est plus importante que celle du groupe A. Mais ces calculs ayant été obtenus par des élévations au carré, il est difficile de percevoir l’ordre de grandeur des variances.

Groupe A : variance = 2,5 Ecart type =

Groupe B : variance = 77,6 Ecart type =

2 5 1 58, ,77 6 8 81, ,

La médiane

13 - 15 - 12 - 9 - 7 - 17 - 18

7 - 9 - 12 - 13 - 15 - 17 - 18Valeurs

Rangs

50% de l’effectif du groupe a une note supérieure ou égale à la médiane

50% de l’effectif du groupe a une note inférieure ou égale à la médiane

1 2 3 4 5 6 7

La médiane, c’est une valeur qui occupe la place du milieu lorsqu’on énumère la totalité des

valeurs du groupe, soit dans l’ordre croissant, soit dans l’ordre décroissant.

Les principes des tests statistiques

Comparaisons de deux moyennes Test « t » de student

Comparaisons de deux variances Le « F » de Snédecor

Comparaison de proportions d’individus (effectifs) Le chi2

Comparaison de plus de deux moyennes ANOVA

La corrélation entre deux variables Le « r » de pearson, etc.

Comparaison de rangs Le U de Mann Withney, Wilcoxon, Friedman ,etc.

Les tests permettent de comparer des statistiques mesurées (moyenne, variance, effectifs, etc.) sur des échantillons de données (comparaison de deux échantillons, comparaison de plusieurs échantillons, comparaison échantillon/population)

Les statistiques inférentielles

Utilisation du Khi2

Nous allons utiliser le test du Khi2 pour:

• Comparer la distribution observée dans un échantillon statistique à une distribution théorique. Exemple: un dé est-il pipé? Comparaison du résultat d’une série de tirage au résultat théorique (chaque face doit avoir la même fréquence d’apparition).

• Apprécier l’existence ou non d’une relation entre deux variables au sein d’une population.Exemple: Les salariés qui ont le plus d’ancienneté sont-ils davantage intéressés que les salariés débutants pour recevoir de la documentation sur la formation continue?

Attention!! Une relation n’est pas une causalité.

Principes des tests statistiques

Hypothèse nulle (H0) : les différences entre les mesures effectuées sont uniquement dues à l’effet du hasard (5% d’erreur).

Accepter H0, c’est dire que les différences ne sont pas suffisantes. Le lien entre les deux variables n’est pas significatif.

Rejeter H0, c’est dire que les différences sont suffisantes. Le lien entre les deux variables est significatif.

Principes des tests statistiques

Echantillons appariés : comparaison de paires de sujets, plan expérimental avant/après

Echantillons indépendants : comparaison de groupes de sujets différents

Comparaison de données catégorielles ou nominales : le test du Chi2

1. Comparaison d’une fréquence et d’une norme

Exemple :Un fabriquant teste trois type de nourriture pour des souris. Pendant 50 jours, il propose aux mêmes souris ces trois type de nourriture. Le tableau suivant résume le choix des souris. Peut-on affirmer que les souris préfèrent un de ces produits ?

A B C TotalEffectifs observés 58 30 23 111

Types de nourritures

H0 : à .05, les choix des souris ne sont pas significativement différents de choix au hasard

A B C TotalEffectifs observés 58 30 23 111Effectifs théoriques 37 37 37 111

Types de nourritures

n n

n0 t

2

t

ddl = k-1

( ) ( ) ( ),

58 37

37

30 37

37

23 37

3718 54

2 2 2

À .05, Chi2 théorique = 5.99À .001, chi2 théorique = 13.81H0 est rejetée à .001 car chi2 observé > chi2 théoriqueAvec moins d’une chance sur 1000 de se tromper, on peut affirmer que ces souris préfèrent la nourriture A.


2. Comparaison de deux variables nominales, échantillons indépendants

Exemple :Au cours d’une enquête sur les loisirs, un jeune chercheur souhaite savoir s’il y a un lien entre le sexe et la préférence pour des loisirs particuliers. Au cours de son étude, il demande ainsi à des hommes et à des femmes s’ils préfèrent aller au cinéma ou au théâtre. il obtient les réponses suivantes :

Théâtre Cinéma Total

Hommes 20 55 75

Femmes 50 44 94

Total 70 99 196

Tableau de contingence

H0 : à .05, les réponses des hommes ne diffèrent pas significativement de celles des femmes.

Théâtre Cinéma TotalHommes 20 55 75Femmes 50 44 94

Total 70 99 196

-3,478 3,478

3,478 -3,478

Cinéma Théâtre

Femmes

Hommes

Contribut. a posteriori pour sexe, culture

55,065 38,935 94,000

43,935 31,065 75,000

99,000 70,000 169,000

Cinéma Théâtre Totaux

Femmes

Hommes

Totaux

Valeurs attendues pour sexe, culture


3. Comparaison de deux variables nominales, échantillons appariés

Exemple : Dans une étude de docimologie, on analyse les résultats des examens d’entrée à Polytechnique et à Normale. On ne considère que les résultats des 300 candidats ayant présenté ces deux examens à la fois : 60 ont été reçus uniquement à Normale, 44 uniquement à Polytechnique et 16 aux deux. Peut-on conclure que les deux examens sont de même difficulté ?On reconstitue le tableau de contingence

Ecole Polytechnique

Réussite Echec

EcoleNormale

Réussite 16 60

Echec 44 180

Ecole Polytechnique

Réussite Echec

EcoleNormale

Réussite 16 60

Echec 44 180

H0 : A .05, il n’y a pas de différence significative dans les résultats (réussite/échec) des deux types d’examen (Polytechnique/Normale)

Chi2 Mac Nemar = (60-44)-1)2/60 + 44 = 1,81

2

21

a d

a d

On conserve l’hypothèse nulle car chi2 observé est < au chi2 théorique (3, 84 à .05)

Une référence intéressante:

Statistique pour psychologues, cours et exercices de Nicolas Guéguen (2006), édition Dunod.

Côte BU centrale: 150.727 GUE 4ème étage Nord

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