cours de statistique appliqu e -...

Polytech’Nice Sophia, Élec 3, 2007–2008 – 1

Statistique Appliquée

Iannis Aliferis

École Polytechnique de l’Université de Nice – Sophia AntipolisPolytech’Nice Sophia

Département d’Électronique, 3e année, 2007–2008

[email protected]

http://elec.polytech.unice.fr/~aliferis/

Introduction

H Introduction

Le cours en bref

Plan du cours

Bibliographie


Le cours en brefH Introduction

Le cours en bref

Plan du cours

Bibliographie


RStatistique descriptive

Statistique inférentielle

Variables aléatoires

Probabilités

Plan du coursH Introduction

Le cours en bref

Plan du cours

Bibliographie


H Rappels sur les probabilités

différentes définitions probabilité conditionelle indépendance

H Variables aléatoires (discrètes et continues)

fonction/densité de probabilité espérance, variance, moments indépendance entre v.a.

H Statistique descriptive

moyenne, écart-type, quartiles, . . . histogrammes, boîtes à moustaches

H Statistique inférentielle

estimation intervalles de confiance tests d’hypothèse

BibliographieH Introduction

Le cours en bref

Plan du cours

Bibliographie


H Probabilités, Variables Aléatoires :

P. Bogaert, “Probabilités pour scientifiques et ingénieurs”, DeBoeck, Bruxelles, 2006

D. Bertsekas, J. Tsitsiklis, “Introduction to Probability”,Athena Scientific, Belmont, 2002

H Statistique :

T.H. Wonnacott, R.J. Wonnacott, “Introductory Statistics”,5th ed., Wiley, 1990

R.E. Walpole, R.H. Mayers, “Probability and Statistics forEngineers and Scientists”, Prentice Hall International, 1993.

H R (livres disponibles en ligne) :

E. Paradis, “R pour les débutants”, 2005 W. N. Venables, D. M. Smith and the R Development Core

Team, “An introduction to R”, 2006 W. J. Owen, “The R Guide”, 2006

Rappels sur les Probabilités


DéfinitionsH Rappels sur lesProbabilités

DéfinitionsExemple: lancerdeux dés

EnsemblesModèleprobabiliste

Propriétés

Probabilitéconditionnelle

Un nouvel UniversExemple: faussealarmeThéorème deprobabilité totale

Théorème deBayes

Inférencebayésienne

Indépendance

QuelquesstratégiesCompter =multiplier. . .

. . . ou diviser!


H Expérience aléatoire : plusieurs résultats possiblesH Issue ou éventualité ω : un des résultats possiblesH Univers Ω : l’ensemble de tous les résultatsH Événement A : un sous-ensemble de Ω

H Exemple :

« Compter le nombre de personnes présentes » ω1 = 1 (au moins. . . ), ω2 = 70, etc. Ω = 1, 2, . . . , Nmax A = il y a moins de 5 personnes = 1, 2, 3, 4 ⊂ Ω

Exemple : lancer deux désH Rappels sur lesProbabilités



Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!


H ω1 = (1, 1), ω2 = (3, 4), ω3 = (4, 3), . . .H Ω = (1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (6, 6)H A = la somme est égale à 6H B = le 1er est entre 3 et 5 ; le 2nd entre 2 et 4

Exemple : lancer deux désH Rappels sur lesProbabilités



Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!


Ω

A

B

H ω1 = (1, 1), ω2 = (3, 4), ω3 = (4, 3), . . .H Ω = (1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (6, 6)H A = la somme est égale à 6H B = le 1er est entre 3 et 5 ; le 2nd entre 2 et 4

EnsemblesH Rappels sur lesProbabilités



Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!


intersection S ∩ T union S ∪ T Sc ∩ T

Sc, T ⊂ S disjoints partition

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

S SS

SSS

TT

T

TT

T

U

U

V

H Disjoints :⋂

i Si = ∅ (mutuellement exclusifs)H Partition : Si disjoints et

⋃

i Si = ΩH De Morgan 1 : (

⋂

i Si)c =

⋃

i Sci

H De Morgan 2 : (⋃

i Si)c =

⋂

i Sci

Modèle probabilisteH Rappels sur lesProbabilités



Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!


1. Définir l’ensemble Ω.2. Attribuer un nombre P (A) ∈ [0, 1] à un événement A.

H Définition classique (Laplace)

P (A) =nombre de cas équiprobables favorablesnombre de cas équiprobables possibles

H Définition intuitive (fréquence relative)

P (A) = limn→∞

Nn(A)

n

H Définition axiomatique (Kolmogorov)

1. P (A) ≥ 0 pour chaque événement A ⊆ Ω2. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) pour A et B disjoints3. P (Ω) = 1

PropriétésH Rappels sur lesProbabilités



Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!


1. P (Ac) = 1 − P (A)

dém. : P (Ω) = P (A ∪ Ac)A∩Ac=∅

= P (A) + P (Ac) = 12. P (∅) = 0 = P (Ωc)3. Si A ⊂ B, P (A) ≤ P (B)4. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)5. P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B)6. P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (Ac ∩ B) + P (Ac ∩ Bc ∩ C)

H Interprétation graphique :

PropriétésH Rappels sur lesProbabilités



Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!


1. P (Ac) = 1 − P (A)

dém. : P (Ω) = P (A ∪ Ac)A∩Ac=∅

= P (A) + P (Ac) = 12. P (∅) = 0 = P (Ωc)3. Si A ⊂ B, P (A) ≤ P (B)4. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)5. P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B)6. P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (Ac ∩ B) + P (Ac ∩ Bc ∩ C)

H Interprétation graphique :

P (A) ≤ P (B) P (A ∪ B)

A ∩ BAc ∩ B

Ω Ω

AA

B B

Probabilité conditionnelleH Rappels sur lesProbabilités



Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!


Attribuer un nombre P (A|B) ∈ [0, 1] à un événement A,sachant que l’événement B (P (B) 6= 0) a été réalisé.

H Exemple : lancer deux dés

Probabilité conditionnelleH Rappels sur lesProbabilités



Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!


Attribuer un nombre P (A|B) ∈ [0, 1] à un événement A,sachant que l’événement B (P (B) 6= 0) a été réalisé.

H Exemple : lancer deux dés

Ω

A

B

H Toutes les issues ωi (i = 1, . . . , 36)sont équiprobables

H P (A) = 536

H P (B) = 936

H P (A|B) = 29 = 2/36

9/36H

P (A|B) =P (A ∩ B)

P (B)

[Extra] Exemple : le tabac et les jeunes (20-25 ans)H Rappels sur lesProbabilités



Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!


Source : INPES, baromètre santé 2000

FréquencesFumeurs Non fumeurs Total

Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Hommes) =




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Hommes) =H P (Femmes) =




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Hommes) =H P (Femmes) =H P (Fumeurs) =




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Hommes) =H P (Femmes) =H P (Fumeurs) =H P (Non fumeurs) =




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Hommes) =H P (Femmes) =H P (Fumeurs) =H P (Non fumeurs) =H P (Fumeurs ∩ Hommes) =




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327


H P (Fumeurs|Hommes) =




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327



H P (Fumeurs|Femmes) =




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654654Femmes 289 384 673

Total 629 698 13271327

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Femmes) =H P (Fumeurs) =H P (Non fumeurs) =H P (Fumeurs ∩ Hommes) =






Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673673

Total 629 698 13271327

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Femmes) = 673/1327 = 0.51H P (Fumeurs) =H P (Non fumeurs) =H P (Fumeurs ∩ Hommes) =






Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629629 698 13271327

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Femmes) = 673/1327 = 0.51H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Non fumeurs) =H P (Fumeurs ∩ Hommes) =






Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698698 13271327

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Femmes) = 673/1327 = 0.51H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Non fumeurs) = 698/1327 = 0.53H P (Fumeurs ∩ Hommes) =






Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 13271327

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Femmes) = 673/1327 = 0.51H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Non fumeurs) = 698/1327 = 0.53H P (Fumeurs ∩ Hommes) = 340/1327 = 0.26






Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340340 314 654654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327


H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53





Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289289 384 673673

Total 629 698 1327


H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53

H P (Fumeurs|Femmes) = 289/673 = 0.43




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!



Fréquences relativesFumeurs Non fumeurs Total

Hommes 0.26 0.24 0.49

Femmes 0.22 0.29 0.51

Total 0.47 0.53 1


H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53 = 0.26/0.49

H P (Fumeurs|Femmes) = 289/673 = 0.43 = 0.22/0.51




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 0.260.26 0.24 0.49

Femmes 0.22 0.29 0.51

Total 0.47 0.53 1

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Femmes) = 673/1327 = 0.51H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Non fumeurs) = 698/1327 = 0.53H P (Fumeurs ∩ Hommes)P (Fumeurs ∩ Hommes) = 340/1327 = 0.26

H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53 = 0.260.26/0.49





Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 0.26 0.24 0.490.49

Femmes 0.22 0.29 0.51

Total 0.47 0.53 1

H P (Hommes)P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Femmes) = 673/1327 = 0.51H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Non fumeurs) = 698/1327 = 0.53H P (Fumeurs ∩ Hommes) = 340/1327 = 0.26

H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53 = 0.26/0.490.49





Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 0.26 0.24 0.49

Femmes 0.22 0.29 0.51

Total 0.47 0.53 1


H P (Fumeurs|Hommes)P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.530.53 = 0.26/0.49

H P (Fumeurs|Femmes)P (Fumeurs|Femmes) = 289/673 = 0.430.43 = 0.22/0.51

Exemple : fausse alarme


H Système radar

Avion : Présent / Absent Radar : Détection / Non détection Quatre issues possibles, Ω = (P, D), (A, D), (P, N), (A, N) S = un avion est présent = (P, D), (P, N) T = le radar signale la présence d’un avion = (P, D), (A, D) P (S) = 0.05 (présence d’un avion) P (T |S) = 0.99 (détection si avion présent) P (T |Sc) = 0.10 (fausse détection : « détection » si avion absent)



H Système radar


H Quelle est la probabilité d’une fausse alarme ?



H Système radar


H Quelle est la probabilité d’une fausse alarme ?P (Sc ∩ T ) =



H Système radar


H Quelle est la probabilité d’une fausse alarme ?P (Sc ∩ T ) = P (Sc)P (T |Sc)



H Système radar


H Quelle est la probabilité d’une fausse alarme ?P (Sc ∩ T ) = P (Sc)P (T |Sc) = [1 − P (S)]P (T |Sc)



H Système radar


H Quelle est la probabilité d’une fausse alarme ?P (Sc ∩ T ) = P (Sc)P (T |Sc) = [1 − P (S)]P (T |Sc) = 0.95 · 0.10 = 0.095



H Système radar



H Quelle est la probabilité qu’un avion ne soit pas détecté ?



H Système radar



H Quelle est la probabilité qu’un avion ne soit pas détecté ?P (S ∩ T c) =



H Système radar



H Quelle est la probabilité qu’un avion ne soit pas détecté ?P (S ∩ T c) = P (S)P (T c|S)



H Système radar



H Quelle est la probabilité qu’un avion ne soit pas détecté ?P (S ∩ T c) = P (S)P (T c|S) = P (S)[1 − P (T |S)]



H Système radar



H Quelle est la probabilité qu’un avion ne soit pas détecté ?P (S ∩ T c) = P (S)P (T c|S) = P (S)[1 − P (T |S)] = 0.05 · 0.01 = 0.0005

Théorème de probabilité totaleH Rappels sur lesProbabilités



Propriétés


Un nouvel UniversExemple: faussealarmeThéorème deprobabilitétotaleThéorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!Polytech’Nice Sophia, Élec 3, 2007–2008 – 15

Ω

B

A1

A4

A2

A3

H A1, A2, . . . , An : une partition de ΩH B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ . . . ∪ (B ∩ An)H B ∩ A1, B ∩ A2, . . . , B ∩ An : événements disjointsH P (B) = P (B ∩ A1) + P (B ∩ A2) + . . . + P (B ∩ An)

= P (A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+. . .+P (An)P (B|An)

H P (B) =n∑

i=1

P (Ai)P (B|Ai)

Théorème de probabilité totaleH Rappels sur lesProbabilités



Propriétés


Un nouvel UniversExemple: faussealarmeThéorème deprobabilitétotaleThéorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!Polytech’Nice Sophia, Élec 3, 2007–2008 – 15

Ω

B

A1

A4

A2

A3

H A1, A2, . . . , An : une partition de ΩH B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ . . . ∪ (B ∩ An)H B ∩ A1, B ∩ A2, . . . , B ∩ An : événements disjointsH P (B) = P (B ∩ A1) + P (B ∩ A2) + . . . + P (B ∩ An)

= P (A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+. . .+P (An)P (B|An)

H P (B) =n∑

i=1

P (Ai)P (B|Ai) Diviser pour régner !

[Extra] Exemple : fausse alarme (suite)


H Système radar



H Système radar




H Système radar


H Quelle est la probabilité d’une alarme ?



H Système radar


H Quelle est la probabilité d’une alarme ?P (T ) =



H Système radar


H Quelle est la probabilité d’une alarme ?P (T ) = P (S)P (T |S)



H Système radar


H Quelle est la probabilité d’une alarme ?P (T ) = P (S)P (T |S) + P (Sc)P (T |Sc)



H Système radar



= P (S)P (T |S)



H Système radar



= P (S)P (T |S) + [1 − P (S)]P (T |Sc)



H Système radar



= P (S)P (T |S) + [1 − P (S)]P (T |Sc)= 0.05 · 0.99 + 0.95 · 0.10



H Système radar



= P (S)P (T |S) + [1 − P (S)]P (T |Sc)= 0.05 · 0.99 + 0.95 · 0.10= 0.0495 + 0.0950



H Système radar



= P (S)P (T |S) + [1 − P (S)]P (T |Sc)= 0.05 · 0.99 + 0.95 · 0.10= 0.0495 + 0.0950= 0.1445



H Système radar

Avion : Présent / Absent Radar : Détection / Non détection Quatre issues possibles, Ω = (P, D), (A, D), (P, N), (A, N) S = un avion est présent = (P, D), (P, N) T = le radar signale la présence d’un avion = (P, D), (A, D) P (S) = 0.05P (S) = 0.05 (présence d’un avion) P (T |S) = 0.99 (détection si avion présent) P (T |Sc) = 0.10 (fausse détection : « détection » si avion absent)

H Quelle est la probabilité d’une alarme ?P (T )P (T ) = P (S)P (T |S) + P (Sc)P (T |Sc)

= P (S)P (T |S) + [1 − P (S)]P (T |Sc)= 0.05 · 0.99 + 0.95 · 0.10= 0.0495 + 0.0950= 0.14450.1445

[Extra] Exemple : le tabac et les jeunes (20-25 ans) (suite)H Rappels sur lesProbabilités



Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53 = 0.26/0.49




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53 = 0.26/0.49H P (Hommes|Fumeurs) = 340/629 = 0.54 = 0.26/0.47




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327


= 0.49 · 0.53




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327


= 0.49 · 0.53/0.47




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Hommes)P (Hommes) = 654/1327 = 0.490.49H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53 = 0.26/0.49H P (Hommes|Fumeurs) = 340/629 = 0.54 = 0.26/0.47

= 0.490.49 · 0.53/0.47




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes)P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.530.53 = 0.26/0.49H P (Hommes|Fumeurs) = 340/629 = 0.54 = 0.26/0.47

= 0.49 · 0.530.53/0.47




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Fumeurs)P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.470.47H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53 = 0.26/0.49H P (Hommes|Fumeurs) = 340/629 = 0.54 = 0.26/0.47

= 0.49 · 0.53/0.470.47




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340340 314 654654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes)P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.530.53 = 0.26/0.49H P (Hommes|Fumeurs) = 340/629 = 0.54 = 0.26/0.47

= 0.49 · 0.53/0.47H P (Fumeurs|Hommes)P (Fumeurs|Hommes)




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629629 698 13271327

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Fumeurs)P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.470.47H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53 = 0.26/0.49H P (Hommes|Fumeurs) = 340/629 = 0.54 = 0.26/0.47

= 0.49 · 0.53/0.47H P (Fumeurs|Hommes) > P (Fumeurs)P (Fumeurs)




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629629 698 1327

H P (Hommes) = 654/1327 = 0.49H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53 = 0.26/0.49H P (Hommes|Fumeurs)P (Hommes|Fumeurs) = 340/629 = 0.540.54 = 0.26/0.47

= 0.49 · 0.53/0.47H P (Fumeurs|Hommes) > P (Fumeurs)H P (Hommes|Fumeurs)P (Hommes|Fumeurs)




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654654Femmes 289 384 673

Total 629 698 13271327

H P (Hommes)P (Hommes) = 654/1327 = 0.490.49H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53 = 0.26/0.49H P (Hommes|Fumeurs) = 340/629 = 0.54 = 0.26/0.47

= 0.49 · 0.53/0.47H P (Fumeurs|Hommes) > P (Fumeurs)H P (Hommes|Fumeurs) > P (Hommes)P (Hommes)

IndépendanceH Rappels sur lesProbabilités



Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!


1. Entre deux événements A et B :

H P (A ∩ B) = P (A)P (B)

H si P (B) 6= 0, P (A|B) =P (A ∩ B)

P (B)= P (A)

2. Entre deux événements A et B,

conditionnés par C, (P (C) 6= 0) :

H P (A ∩ B|C) = P (A|C)P (B|C)

H si P (B|C) 6= 0, P (A|B ∩ C) = P (A|C)

3. Entre plusieurs événements A1, A2, . . . , An :

H P(⋂

i∈S Ai

)=

∏

i∈S P (Ai)

pour chaque S, sous-ensemble de 1, 2, . . . , n




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53H P (Fumeurs|Hommes) 6= P (Fumeurs)




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327

H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = 340/654 = 0.53H P (Fumeurs|Hommes) 6= P (Fumeurs)H Fumeur et Homme dépendants !




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 340 314 654Femmes 289 384 673

Total 629 698 1327




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!



Fréquences modifiéesmodifiéesFumeurs Non fumeurs Total

Hommes 310310 344344 654Femmes 319319 354354 673

Total 629 698 1327




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 310310 344344 654Femmes 319319 354354 673

Total 629 698 1327

H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 310310 344344 654Femmes 319319 354354 673

Total 629 698 1327

H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = 310/654 = 0.47




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 310310 344344 654Femmes 319319 354354 673

Total 629 698 1327

H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = 310/654 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = P (Fumeurs)




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 310310 344344 654Femmes 319319 354354 673

Total 629 698 1327

H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = 310/654 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = P (Fumeurs)H Fumeur et Homme indépendants !




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!




Hommes 310310 344344 654Femmes 319319 354354 673

Total 629 698 1327

H P (Fumeurs) = 629/1327 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = 310/654 = 0.47H P (Fumeurs|Hommes) = P (Fumeurs)H Fumeur et Homme indépendants !

(Comment faire pour trouver la modification ?)

[Extra] Disjoints = indépendants ?H Rappels sur lesProbabilités



Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!





Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!


H Deux évenements A et B sont disjoints (mutuellement exclusifs).




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!


H Deux évenements A et B sont disjoints (mutuellement exclusifs).H Sont-ils indépendants ?




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!



Ω

A

B




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!



Ω

A

B

H Indépendants :




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!



Ω

A

B

H Indépendants : P (A ∩ B) = P (A)P (B)




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!



Ω

A

B

H Indépendants : P (A ∩ B) = P (A)P (B)H Mutuellement exclusifs :




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!



Ω

A

B

H Indépendants : P (A ∩ B) = P (A)P (B)H Mutuellement exclusifs : A ∩ B = ∅




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!



Ω

A

B

H Indépendants : P (A ∩ B) = P (A)P (B)H Mutuellement exclusifs : A ∩ B = ∅ −→ P (A ∩ B) = 0




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!



Ω

A

B

H Indépendants : P (A ∩ B) = P (A)P (B)P (A ∩ B) = P (A)P (B)H Mutuellement exclusifs : A ∩ B = ∅ −→ P (A ∩ B) = 0P (A ∩ B) = 0




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!



Ω

A

B


P (A|B) = 0




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!



Ω

A

B


P (A|B) = 0 et P (B|A) = 0




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!



Ω

A

B


P (A|B) = 0 et P (B|A) = 0rappel : P (A ∪ B) = P (A) + P (B)




Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!



Ω

A

B

H Indépendants : P (A ∩ B) = P (A)P (B)P (A ∩ B) = P (A)P (B)H Mutuellement exclusifs : A ∩ B = ∅ −→ P (A ∩ B) = 0

P (A|B) = 0 et P (B|A) = 0rappel : P (A ∪ B) = P (A) + P (B)P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

Quelques stratégiesH Rappels sur lesProbabilités



Propriétés



Théorème deBayes


Indépendance


. . . ou diviser!


H Définir Ω

H . . . ou juste compter ses éléments. . .

H Issues équiprobables : P (A) = card(A)card(Ω) (Laplace)

H Approche séquentielle (+ indépendance)

H Probabilité totale (trouver une partition)

H P (B|A) −→ P (A|B) : Bayes

Compter = multiplier. . .




H Opération à M étapes



H Opération à M étapes,H chacune pouvant être réalisée selon Ni façons (i = 1, . . . , M).



H Opération à M étapes,H chacune pouvant être réalisée selon Ni façons (i = 1, . . . , M).H Nombre total des réalisations :




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni

1. Permutations de n objets




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni

1. Permutations de n objetsH

n




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2)




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . .




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . . 2




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n!




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n!

2. Permutations de k objets choisis parmi n




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n!

2. Permutations de k objets choisis parmi nH

nPk = n




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n!


nPk = n(n − 1)




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n!


nPk = n(n − 1)(n − 2)




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n!


nPk = n(n − 1)(n − 2) . . .




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n!


nPk = n(n − 1)(n − 2) . . . [n − (k − 1)]




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n!


nPk = n(n − 1)(n − 2) . . . [n − (k − 1)] =n!

(n − k)!




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n!


nPk = n(n − 1)(n − 2) . . . [n − (k − 1)] =n!

(n − k)!= nCk




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n!


nPk = n(n − 1)(n − 2) . . . [n − (k − 1)] =n!

(n − k)!= nCk k!




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n!


nPk = n(n − 1)(n − 2) . . . [n − (k − 1)] =n!

(n − k)!= nCk k!

(nPn = n!




N = N1N2 . . . NM =M∏

i=1

Ni


n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n!


nPk = n(n − 1)(n − 2) . . . [n − (k − 1)] =n!

(n − k)!= nCk k!

(nPn = n! −→ 0! = 1)

. . . ou diviser !


. . . ou diviser !


3. Combinaisons de k objets choisis parmi n

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!

4. Repartitions de n objets dans n1, n2, . . . , nr groupes

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!


H (n

n1, n2, . . . , nr

)

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!


H (n

n1, n2, . . . , nr

)

=n!

n1!n2! . . . nr!

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!


H (n

n1, n2, . . . , nr

)

=n!

n1!n2! . . . nr!, (n1 + n2 + . . . + nr = n)

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!


H (n

n1, n2, . . . , nr

)

=n!

n1!n2! . . . nr!, (n1 + n2 + . . . + nr = n)

Méthode générale

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!


H (n

n1, n2, . . . , nr

)

=n!

n1!n2! . . . nr!, (n1 + n2 + . . . + nr = n)

Méthode générale (par étape)

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!


H (n

n1, n2, . . . , nr

)

=n!

n1!n2! . . . nr!, (n1 + n2 + . . . + nr = n)

Méthode générale (par étape) :

H n objets

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!


H (n

n1, n2, . . . , nr

)

=n!

n1!n2! . . . nr!, (n1 + n2 + . . . + nr = n)


H n objets : n! permutations

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!


H (n

n1, n2, . . . , nr

)

=n!

n1!n2! . . . nr!, (n1 + n2 + . . . + nr = n)


H n objets : n! permutationsH ni objets non distincts

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!


H (n

n1, n2, . . . , nr

)

=n!

n1!n2! . . . nr!, (n1 + n2 + . . . + nr = n)


H n objets : n! permutationsH ni objets non distincts (identiques

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!


H (n

n1, n2, . . . , nr

)

=n!

n1!n2! . . . nr!, (n1 + n2 + . . . + nr = n)


H n objets : n! permutationsH ni objets non distincts (identiques ou combinaisons)

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!


H (n

n1, n2, . . . , nr

)

=n!

n1!n2! . . . nr!, (n1 + n2 + . . . + nr = n)


H n objets : n! permutationsH ni objets non distincts (identiques ou combinaisons) : diviser par ni!

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!


H (n

n1, n2, . . . , nr

)

=n!

n1!n2! . . . nr!, (n1 + n2 + . . . + nr = n)


H n objets : n! permutationsH ni objets non distincts (identiques ou combinaisons) : diviser par ni!H répéter pour tous les groupes d’objets

. . . ou diviser !



H

nCk =

(n

k

)

=nPk

k!=

n!

k!(n − k)!


H (n

n1, n2, . . . , nr

)

=n!

n1!n2! . . . nr!, (n1 + n2 + . . . + nr = n)


H n objets : n! permutationsH ni objets non distincts (identiques ou combinaisons) : diviser par ni!H répéter pour tous les groupes d’objets

Multiplier pour toutes les étapes.

Variable Aléatoire Discrète (une seule)


DéfinitionH VariableAléatoire Discrète(une seule)

DéfinitionV.A.: à usageuniqueUne partitionnaturelle del’UniversFonction deProbabilitéFonction d’uneV.A.

Espérance de X

Grandeursstatistiques

Espérance deg(X)

Fonction linéaireCalcul de lavariance


H Associer une valeur réelle x à chaque issue ω

d’une expérience aléatoireH Variable aléatoire discrète (VAD) :

Nombre de valeurs possibles : fini ou infini dénombrable

Ω

Rx

H Une variable aléatoire est une fonction ! (Ω → R)H X : la variable aléatoire / x : une valeur possibleH Fonction de probabilité pX(x) :

P ( X = x︸︷︷︸

événement ∈ Ω

)simpl.= P (X = x) , pX(x)

V.A. : à usage uniqueH VariableAléatoire Discrète(une seule)


Espérance de X


Espérance deg(X)





Espérance de X


Espérance deg(X)



1. On « interroge » la v.a. X



Espérance de X


Espérance deg(X)



1. On « interroge » la v.a. X2. L’expérience aléatoire associée est effectuée



Espérance de X


Espérance deg(X)



1. On « interroge » la v.a. X2. L’expérience aléatoire associée est effectuée3. Une issue ω ∈ Ω est réalisée



Espérance de X


Espérance deg(X)



1. On « interroge » la v.a. X2. L’expérience aléatoire associée est effectuée3. Une issue ω ∈ Ω est réalisée4. À l’issue ω correspond une valeur x



Espérance de X


Espérance deg(X)



1. On « interroge » la v.a. X2. L’expérience aléatoire associée est effectuée3. Une issue ω ∈ Ω est réalisée4. À l’issue ω correspond une valeur x5. La v.a. X « répond » avec la valeur x



Espérance de X


Espérance deg(X)




H Une v.a. X :



Espérance de X


Espérance deg(X)




H Une v.a. X :

1. représente une expérience aléatoire



Espérance de X


Espérance deg(X)




H Une v.a. X :

1. représente une expérience aléatoireet une association Ω → R



Espérance de X


Espérance deg(X)




H Une v.a. X :


2. est à usage unique



Espérance de X


Espérance deg(X)




H Une v.a. X :


2. est à usage unique : une seule expérience effectuée !



Espérance de X


Espérance deg(X)




H Une v.a. X :



H N v.a. X1, X2, . . . , XN



Espérance de X


Espérance deg(X)




H Une v.a. X :



H N v.a. X1, X2, . . . , XN identiquement distribuées :



Espérance de X


Espérance deg(X)




H Une v.a. X :




1. représente, chacune, la même expérience aléatoire



Espérance de X


Espérance deg(X)




H Une v.a. X :




1. représente, chacune, la même expérience aléatoireet la même association Ω → R



Espérance de X


Espérance deg(X)




H Une v.a. X :





2. est, chacune, à usage unique



Espérance de X


Espérance deg(X)




H Une v.a. X :





2. est, chacune, à usage unique :la même expérience répetée N fois !

Une partition naturelle de l’Univers




H Expérience : lancer deux dés



H Expérience : lancer deux dés ; X est la valeur maximale



H Expérience : lancer deux dés ; X est la valeur maximalep.ex. : pX(2) = P (X = 2) = 3

36




36

Ω




36

Ω

1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

1 / 36

3 / 36

5 / 36

7 / 36

9 / 36

11 / 36




36

Ω

1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

1 / 36

3 / 36

5 / 36

7 / 36

9 / 36

11 / 36

H⋂

xX = x = ∅




36

Ω

1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

1 / 36

3 / 36

5 / 36

7 / 36

9 / 36

11 / 36

H⋂

xX = x = ∅H

⋃

xX = x = Ω




36

Ω

1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

1 / 36

3 / 36

5 / 36

7 / 36

9 / 36

11 / 36

H⋂

xX = x = ∅H

⋃

xX = x = ΩH Les événements X = x forment une partition de Ω

Fonction de Probabilité


H Normalisation



H Normalisation :∑

x pX(x)




x pX(x) =∑

x P (X = x)




x pX(x) =∑

x P (X = x) disj.= P (

⋃

xX = x)




x pX(x) =∑


⋃

xX = x) part.= P (Ω)




x pX(x) =∑


⋃

xX = x) part.= P (Ω) = 1




x pX(x) =∑


⋃

xX = x) part.= P (Ω) = 1

H P (X ∈ S) disj.=

∑

x∈S pX(x)




x pX(x) =∑


⋃

xX = x) part.= P (Ω) = 1


∑

x∈S pX(x)

Ω P ( X ∈ 2, 4 ) = pX(2) + pX(4) = 336 + 7

36




x pX(x) =∑


⋃

xX = x) part.= P (Ω) = 1


∑

x∈S pX(x)

Ω P ( X ∈ 2, 4 ) = pX(2) + pX(4) = 336 + 7

36

H Comment calculer pX(x) :




x pX(x) =∑


⋃

xX = x) part.= P (Ω) = 1


∑

x∈S pX(x)

Ω P ( X ∈ 2, 4 ) = pX(2) + pX(4) = 336 + 7

36


1. Trouver les valeurs possibles




x pX(x) =∑


⋃

xX = x) part.= P (Ω) = 1


∑

x∈S pX(x)

Ω P ( X ∈ 2, 4 ) = pX(2) + pX(4) = 336 + 7

36


1. Trouver les valeurs possibles ; indiquer les valeurs impossibles




x pX(x) =∑


⋃

xX = x) part.= P (Ω) = 1


∑

x∈S pX(x)

Ω P ( X ∈ 2, 4 ) = pX(2) + pX(4) = 336 + 7

36


1. Trouver les valeurs possibles ; indiquer les valeurs impossibles2. Répérer les issues ωi constituant l’événement X = x




x pX(x) =∑


⋃

xX = x) part.= P (Ω) = 1


∑

x∈S pX(x)

Ω P ( X ∈ 2, 4 ) = pX(2) + pX(4) = 336 + 7

36


1. Trouver les valeurs possibles ; indiquer les valeurs impossibles2. Répérer les issues ωi constituant l’événement X = x3. Additionner les probabilités P (ωi)

Fonction d’une V.A.


H Une fonction d’une V.A. est aussi une V.A.



H Une fonction d’une V.A. est aussi une V.A.H Y = g(X)




H pY (y) = P (Y = y)




H pY (y) = P (Y = y) = P(X ∈ SS=x|g(x)=y

)





) disj.=

∑

x|g(x)=y pX(x)





) disj.=

∑

x|g(x)=y pX(x)H Exemple : X V.A. à distribution uniforme, x ∈ −3,−2, . . . , 3 ; Y = |X|





) disj.=

∑


−3 −2 −1 0 1 2 3

pX(x)

α

2α





) disj.=

∑


−3 −2 −1 0 1 2 3

pX(x)

α

2α

0 1 2 3

pY (y)

α

2α





) disj.=

∑


−3 −2 −1 0 1 2 3

pX(x)

α

2α

0 1 2 3

pY (y)

α

2α

H Normalisation :





) disj.=

∑


−3 −2 −1 0 1 2 3

pX(x)

α

2α

0 1 2 3

pY (y)

α

2α

H Normalisation : α = 1/7

Espérance de X

H VariableAléatoire Discrète(une seule)


Espérance de X


Espérance deg(X)



H v.a.d. X ; m valeurs possibles

Espérance de X



Espérance de X


Espérance deg(X)




H classement par ordre : x(1) < x(2) < . . . < x(m)

Espérance de X



Espérance de X


Espérance deg(X)





H Comment calculer une valeur « moyenne » ?

Espérance de X



Espérance de X


Espérance deg(X)






1. Répéter la même expérience n fois !

Espérance de X



Espérance de X


Espérance deg(X)







(Considérer n v.a. X1, X2, . . . , Xn identiquement distribuées)

Espérance de X



Espérance de X


Espérance deg(X)








2. Prendre la moyenne des n valeurs x1, x2, . . . , xn obtenues :

Espérance de X



Espérance de X


Espérance deg(X)









moyenne = x1+x2+...+xnn

Espérance de X



Espérance de X


Espérance deg(X)










regrouper=

x(1)Nn(x(1))+x(2)Nn(x(2))+...+x(m)Nn(x(m))

n

Espérance de X



Espérance de X


Espérance deg(X)










regrouper=

x(1)Nn(x(1))+x(2)Nn(x(2))+...+x(m)Nn(x(m))

n

−→n→∞

x(1)pX(x(1)) + x(2)pX(x(2)) + . . . + x(m)pX(x(m))

Espérance de X



Espérance de X


Espérance deg(X)










regrouper=

x(1)Nn(x(1))+x(2)Nn(x(2))+...+x(m)Nn(x(m))

n

−→n→∞

x(1)pX(x(1)) + x(2)pX(x(2)) + . . . + x(m)pX(x(m))

=∑

x xpX(x)

Espérance de X



Espérance de X


Espérance deg(X)










regrouper=

x(1)Nn(x(1))+x(2)Nn(x(2))+...+x(m)Nn(x(m))

n

−→n→∞

x(1)pX(x(1)) + x(2)pX(x(2)) + . . . + x(m)pX(x(m))

=∑

x xpX(x) , E[X]

Grandeurs statistiquesH VariableAléatoire Discrète(une seule)


Espérance de X


Espérance deg(X)





Espérance de X


Espérance deg(X)



H Espérance

µX = E[X] =∑

x

xpX(x)



Espérance de X


Espérance deg(X)



H Espérance

µX = E[X] =∑

x

xpX(x)

centre de gravité de la distribution :



Espérance de X


Espérance deg(X)



H Espérance

µX = E[X] =∑

x

xpX(x)

centre de gravité de la distribution :∑

x (x − c)pX(x) = 0



Espérance de X


Espérance deg(X)



H Espérance

µX = E[X] =∑

x

xpX(x)


x (x − c)pX(x) = 0 , c = E[X]



Espérance de X


Espérance deg(X)



H Espérance

µX = E[X] =∑

x

xpX(x)


x (x − c)pX(x) = 0 , c = E[X]pX(x) : « masse de probabilité »



Espérance de X


Espérance deg(X)



H Espérance

µX = E[X] =∑

x

xpX(x)



H Variancevar[X] = σ2

X = E[(X − E[X])2

]≥ 0



Espérance de X


Espérance deg(X)



H Espérance

µX = E[X] =∑

x

xpX(x)




X = E[(X − E[X])2

]≥ 0

H Écart-type

σX =√

var[X]



Espérance de X


Espérance deg(X)



H Espérance

µX = E[X] =∑

x

xpX(x)




X = E[(X − E[X])2

]≥ 0

H Écart-type

σX =√

var[X]

H n-ième moment (moment d’ordre n) : E[Xn]



Espérance de X


Espérance deg(X)



H Espérance

µX = E[X] =∑

x

xpX(x)




X = E[(X − E[X])2

]≥ 0

H Écart-type

σX =√

var[X]

H n-ième moment (moment d’ordre n) : E[Xn]H n-ième moment centré : E[(X − E[X])n]

[Extra] Variable aléatoire de BernoulliH VariableAléatoire Discrète(une seule)


Espérance de X


Espérance deg(X)



H Expérience aléatoire : lancer une « pièce »



Espérance de X


Espérance deg(X)



H Expérience aléatoire : lancer une « pièce »H Univers : Ω = P, F



Espérance de X


Espérance deg(X)



H Expérience aléatoire : lancer une « pièce »H Univers : Ω = P, FH Variable aléatoire X : x = 1 si « pile », x = 0 si « face »



Espérance de X


Espérance deg(X)




x

10

pX(x)

p1 − p



Espérance de X


Espérance deg(X)




x

10

pX(x)

p1 − p

∑= 1



Espérance de X


Espérance deg(X)




x

10

pX(x)

p1 − p

∑= 1

xpX(x)

p0



Espérance de X


Espérance deg(X)




x

10

pX(x)

p1 − p

∑= 1

xpX(x)

p0

E[X] = p



Espérance de X


Espérance deg(X)




x

10

pX(x)

p1 − p

∑= 1

xpX(x)

p0

E[X] = p

(x − E[X])2

(1 − p)2

(0 − p)2



Espérance de X


Espérance deg(X)




x

10

pX(x)

p1 − p

∑= 1

xpX(x)

p0

E[X] = p

(x − E[X])2

(1 − p)2

(0 − p)2

(x − E[X])2pX(x)

(1 − p)2pp2(1 − p)



Espérance de X


Espérance deg(X)




x

10

pX(x)

p1 − p

∑= 1

xpX(x)

p0

E[X] = p

(x − E[X])2

(1 − p)2

(0 − p)2

(x − E[X])2pX(x)

(1 − p)2pp2(1 − p)

var[X] = p(1 − p)



Espérance de X


Espérance deg(X)




x

10

pX(x)

p1 − p

∑= 1

xpX(x)

p0

E[X] = p

(x − E[X])2

(1 − p)2

(0 − p)2

(x − E[X])2pX(x)

(1 − p)2pp2(1 − p)

var[X] = p(1 − p)

σX =√

p(1 − p)



Espérance de X


Espérance deg(X)



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p : probabilité de succès à un essai

Esp

éran

ce /

écar

t−ty

pe

E[X]

σX

[Etra] Espérance de g(X)


H Exemple : X V.A. à distribution uniforme, x ∈ −3,−2, . . . , 3H Y = |X|




x

−3−2−1

0123

pX(x)

ααααααα




x

−3−2−1

0123

pX(x)

ααααααα

∑= 1




x

−3−2−1

0123

pX(x)

ααααααα

∑= 1

xpX(x)

−3α−2α−1α

01α2α3α




x

−3−2−1

0123

pX(x)

ααααααα

∑= 1

xpX(x)

−3α−2α−1α

01α2α3α

E[X] = 0




x

−3−2−1

0123

pX(x)

ααααααα

∑= 1

xpX(x)

−3α−2α−1α

01α2α3α

E[X] = 0

y

3210123




x

−3−2−1

0123

pX(x)

ααααααα

∑= 1

xpX(x)

−3α−2α−1α

01α2α3α

E[X] = 0

y

3210123

ypX(x)

3α2α1α0

1α2α3α




x

−3−2−1

0123

pX(x)

ααααααα

∑= 1

xpX(x)

−3α−2α−1α

01α2α3α

E[X] = 0

y

3210123

ypX(x)

3α2α1α0

1α2α3α

E[Y ] = 12α




x

−3−2−1

0123

pX(x)

ααααααα

∑= 1

xpX(x)

−3α−2α−1α

01α2α3α

E[X] = 0

y

3210123

ypX(x)

3α2α1α0

1α2α3α

E[Y ] = 12α

y

0123

pY (y)

α2α2α2α




x

−3−2−1

0123

pX(x)

ααααααα

∑= 1

xpX(x)

−3α−2α−1α

01α2α3α

E[X] = 0

y

3210123

ypX(x)

3α2α1α0

1α2α3α

E[Y ] = 12α

y

0123

pY (y)

α2α2α2α

∑= 1




x

−3−2−1

0123

pX(x)

ααααααα

∑= 1

xpX(x)

−3α−2α−1α

01α2α3α

E[X] = 0

y

3210123

ypX(x)

3α2α1α0

1α2α3α

E[Y ] = 12α

y

0123

pY (y)

α2α2α2α

∑= 1

ypY (y)

02α4α6α




x

−3−2−1

0123

pX(x)

ααααααα

∑= 1

xpX(x)

−3α−2α−1α

01α2α3α

E[X] = 0

y

3210123

ypX(x)

3α2α1α0

1α2α3α

E[Y ] = 12α

y

0123

pY (y)

α2α2α2α

∑= 1

ypY (y)

02α4α6α

E[Y ] = 12α

Espérance de g(X)H VariableAléatoire Discrète(une seule)


Espérance de X


Espérance deg(X)



H

E[g(X)] =∑

x

g(x)pX(x)

H Y = g(X) , pY (y) =∑

x|g(x)=y pX(x)

H E[g(X)] = E[Y ]

=∑

y ypY (y)

=∑

y y∑

x|g(x)=y pX(x)

=∑

y

∑

x|g(x)=y ypX(x)

=∑

y

∑

x|g(x)=y g(x)pX(x)

=∑

x g(x)pX(x)

Fonction linéaire


H

Y = aX + b

Fonction linéaire


H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b

Fonction linéaire


H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b

var[Y ] = a2var[X] σY = |a|σX

Fonction linéaire


H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b


H E[Y ] = E[aX + b]

Fonction linéaire


H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b


H E[Y ] = E[aX + b] =∑

x (ax + b)pX(x)

Fonction linéaire


H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b


H E[Y ] = E[aX + b] =∑

x (ax + b)pX(x) = a∑

x xpX(x) + b∑

x pX(x)

Fonction linéaire


H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b


H E[Y ] = E[aX + b] =∑


x xpX(x) + b∑

x pX(x)= aE[X] + b

Fonction linéaire


H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b


H E[Y ] = E[aX + b] =∑


x xpX(x) + b∑

x pX(x)= aE[X] + b

H var[Y ] = var[aX + b]

Fonction linéaire


H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b


H E[Y ] = E[aX + b] =∑


x xpX(x) + b∑

x pX(x)= aE[X] + b

H var[Y ] = var[aX + b] = E[

(aX + b − E[aX + b])2]

Fonction linéaire


H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b


H E[Y ] = E[aX + b] =∑


x xpX(x) + b∑

x pX(x)= aE[X] + b


(aX + b − E[aX + b])2]

= E[

(aX + b − aE[X] − b)2]

Fonction linéaire


H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b


H E[Y ] = E[aX + b] =∑


x xpX(x) + b∑

x pX(x)= aE[X] + b


(aX + b − E[aX + b])2]

= E[

(aX + b − aE[X] − b)2]

= E[

(aX − aE[X])2]

Fonction linéaire


H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b


H E[Y ] = E[aX + b] =∑


x xpX(x) + b∑

x pX(x)= aE[X] + b


(aX + b − E[aX + b])2]

= E[

(aX + b − aE[X] − b)2]

= E[

(aX − aE[X])2]

= a2E[

(X − E[X])2]

Fonction linéaire


H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b


H E[Y ] = E[aX + b] =∑


x xpX(x) + b∑

x pX(x)= aE[X] + b


(aX + b − E[aX + b])2]

= E[

(aX + b − aE[X] − b)2]

= E[

(aX − aE[X])2]

= a2E[

(X − E[X])2]

= a2var[X]

Calcul de la variance


H

var[X] = E[X2

]− (E[X])2 ≥ 0

H var[X] = E[(X − E[X])2

]=

∑

x (x − E[X])2pX(x)

=∑

x x2 − 2xE[X] + (E[X])2pX(x)

=∑

x x2pX(x) − 2E[X]∑

x xpX(x) + (E[X])2∑

x pX(x)

= E[X2

]− 2(E[X])2 + (E[X])2 = E

[X2

]− (E[X])2

H var[X] = E[(X − E[X]︸︷︷︸

cste

)2] = E[

X2 − 2XE[X] + (E[X])2]

= E[X2

]− 2E[X] E[X] + (E[X])2 = E

[X2

]− (E[X])2

Variables Aléatoires Discrètes (deux et plus)


[Extra] Deux variables aléatoires


H Expérience aléatoire : lancer deux dés (encore)



H Expérience aléatoire : lancer deux dés (encore)H Univers : Ω = . . . (utiliser la grille 6 × 6)



H Expérience aléatoire : lancer deux dés (encore)H Univers : Ω = . . . (utiliser la grille 6 × 6)H Variables aléatoires :

X : la valeur du premier déY : la valeur maximale des deux dés





x

123456

pX(x)

1/61/61/61/61/61/6





x

123456

pX(x)

1/61/61/61/61/61/6

∑= 1





x

123456

pX(x)

1/61/61/61/61/61/6

∑= 1

xpX(x)

1/62/63/64/65/66/6





x

123456

pX(x)

1/61/61/61/61/61/6

∑= 1

xpX(x)

1/62/63/64/65/66/6

E[X] = 21/6 = 3.5





x

123456

pX(x)

1/61/61/61/61/61/6

∑= 1

xpX(x)

1/62/63/64/65/66/6

E[X] = 21/6 = 3.5

y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/3611/36





x

123456

pX(x)

1/61/61/61/61/61/6

∑= 1

xpX(x)

1/62/63/64/65/66/6

E[X] = 21/6 = 3.5

y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/3611/36∑

= 1





x

123456

pX(x)

1/61/61/61/61/61/6

∑= 1

xpX(x)

1/62/63/64/65/66/6

E[X] = 21/6 = 3.5

y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/3611/36∑

= 1

ypY (y)

1/366/36

15/3628/3645/3666/36





x

123456

pX(x)

1/61/61/61/61/61/6

∑= 1

xpX(x)

1/62/63/64/65/66/6

E[X] = 21/6 = 3.5

y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/3611/36∑

= 1

ypY (y)

1/366/36

15/3628/3645/3666/36

E[Y ] = 161/36 ≈ 4.47



H Variables aléatoires :X : la valeur du premier déY : la valeur maximale des deux dés

P (X = x ∩ Y = y)x\y 1 2 3 4 5 6 pX(x)

1

2

3

4

5

6

pY (y)∑

= 1



H Variables aléatoires :X : la valeur du premier déY : la valeur maximale des deux dés

P (X = x ∩ Y = y)x\y 1 2 3 4 5 6 pX(x)

1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6

2 0 2/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6

3 0 0 3/36 1/36 1/36 1/36 1/6

4 0 0 0 4/36 1/36 1/36 1/6

5 0 0 0 0 5/36 1/36 1/6

6 0 0 0 0 0 6/36 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

Deux variables aléatoiresH VariablesAléatoiresDiscrètes (deux etplus)

Deux variablesaléatoires

V.A. conditionnéesEspéranceconditionnelle

Indépendance

Deux variablesaléatoiresindépendantes

Fonction derépartition

Relation linéaireentre deux v.a. ?(explorationgraphique)

(explorationgraphique 2)

(conclusion)

Covariance /coefficient decorrélation linéaireIndépendance /corrélation


H X, Y : V.A. associées à la même expérience aléatoire

H Fonction de probabilité conjointe :

pXY (x, y) , P ( X = x︸︷︷︸

événement ∈ Ω

∩ Y = y︸︷︷︸

événement ∈ Ω

)sim.= P (X = x, Y = y)

H P ((X, Y ) ∈ A) =∑

(x,y)∈A pXY (x, y)

H Fonctions de probabilité marginales :

pX(x) =∑

y pXY (x, y) , pY (y) =∑

x pXY (x, y)

H Z = g(X, Y ) , pZ(z) =∑

(x,y)|g(x,y)=z pXY (x, y)

E[Z] = E[g(X, Y )] =∑

x

∑

y g(x, y)pXY (x, y)

E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c

H Généralisation à n variables aléatoires

[Extra] V.A. conditionnée par un évenement


H Expérience aléatoire : lancer deux dés (encore)



H Expérience aléatoire : lancer deux dés (encore)H Univers : Ω = . . . (utiliser la grille 6 × 6)



H Expérience aléatoire : lancer deux dés (encore)H Univers : Ω = . . . (utiliser la grille 6 × 6)H Variable aléatoire : Y = la valeur maximale des deux dés



H Expérience aléatoire : lancer deux dés (encore)H Univers : Ω = . . . (utiliser la grille 6 × 6)H Variable aléatoire : Y = la valeur maximale des deux désH Évenements : A = le 1er dé est impair, B = le 1er dé est pair




y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/36

11/36




y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/36

11/36∑

= 1




y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/36

11/36∑

= 1

ypY (y)

1/366/36

15/3628/3645/3666/36




y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/36

11/36∑

= 1

ypY (y)

1/366/36

15/3628/3645/3666/36

E[Y ]≈ 4.47




y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/36

11/36∑

= 1

ypY (y)

1/366/36

15/3628/3645/3666/36

E[Y ]≈ 4.47

pY |A(y)




y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/36

11/36∑

= 1

ypY (y)

1/366/36

15/3628/3645/3666/36

E[Y ]≈ 4.47

pY |A(y)

1/181/184/182/187/183/18




y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/36

11/36∑

= 1

ypY (y)

1/366/36

15/3628/3645/3666/36

E[Y ]≈ 4.47

pY |A(y)

1/181/184/182/187/183/18

∑= 1




y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/36

11/36∑

= 1

ypY (y)

1/366/36

15/3628/3645/3666/36

E[Y ]≈ 4.47

pY |A(y)

1/181/184/182/187/183/18

∑= 1

ypY |A(y)

1/182/18

12/188/18

35/1818/18




y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/36

11/36∑

= 1

ypY (y)

1/366/36

15/3628/3645/3666/36

E[Y ]≈ 4.47

pY |A(y)

1/181/184/182/187/183/18

∑= 1

ypY |A(y)

1/182/18

12/188/18

35/1818/18

E[Y |A]≈ 4.22




y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/36

11/36∑

= 1

ypY (y)

1/366/36

15/3628/3645/3666/36

E[Y ]≈ 4.47

pY |A(y)

1/181/184/182/187/183/18

∑= 1

ypY |A(y)

1/182/18

12/188/18

35/1818/18

E[Y |A]≈ 4.22

pY |B(y)




y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/36

11/36∑

= 1

ypY (y)

1/366/36

15/3628/3645/3666/36

E[Y ]≈ 4.47

pY |A(y)

1/181/184/182/187/183/18

∑= 1

ypY |A(y)

1/182/18

12/188/18

35/1818/18

E[Y |A]≈ 4.22

pY |B(y)

02/181/185/182/188/18




y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/36

11/36∑

= 1

ypY (y)

1/366/36

15/3628/3645/3666/36

E[Y ]≈ 4.47

pY |A(y)

1/181/184/182/187/183/18

∑= 1

ypY |A(y)

1/182/18

12/188/18

35/1818/18

E[Y |A]≈ 4.22

pY |B(y)

02/181/185/182/188/18

∑= 1




y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/36

11/36∑

= 1

ypY (y)

1/366/36

15/3628/3645/3666/36

E[Y ]≈ 4.47

pY |A(y)

1/181/184/182/187/183/18

∑= 1

ypY |A(y)

1/182/18

12/188/18

35/1818/18

E[Y |A]≈ 4.22

pY |B(y)

02/181/185/182/188/18

∑= 1

ypY |B(y)

04/183/18

20/1810/1848/18




y

123456

pY (y)

1/363/365/367/369/36

11/36∑

= 1

ypY (y)

1/366/36

15/3628/3645/3666/36

E[Y ]≈ 4.47

pY |A(y)

1/181/184/182/187/183/18

∑= 1

ypY |A(y)

1/182/18

12/188/18

35/1818/18

E[Y |A]≈ 4.22

pY |B(y)

02/181/185/182/188/18

∑= 1

ypY |B(y)

04/183/18

20/1810/1848/18

E[Y |B]≈ 4.72

[Extra] V.A. conditionnée par une autre V.A.


H Variables aléatoires :X : la valeur du premier dé, Y : la valeur maximale des deux dés

pX|Y (x|y) , P (X = x|Y = y)x\y 1 2 3 4 5 6 pX(x)

123456

pY (y)∑

= 1




pXY (x, y) , P (X = x ∩ Y = y)x\y 1 2 3 4 5 6 pX(x)

1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/62 0 2/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/63 0 0 3/36 1/36 1/36 1/36 1/64 0 0 0 4/36 1/36 1/36 1/65 0 0 0 0 5/36 1/36 1/66 0 0 0 0 0 6/36 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1





1 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/62 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/63 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/64 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/65 0 0 0 0 5/9 1/11 1/66 0 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1





1 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/62 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/63 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/64 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/65 0 0 0 0 5/9 1/11 1/66 0 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y]





11 11 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/622 00 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/633 00 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/644 00 0 0 4/7 1/9 1/11 1/655 00 0 0 0 5/9 1/11 1/666 00 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 11





11 1 1/31/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/622 0 2/32/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/633 0 00 3/5 1/7 1/9 1/11 1/644 0 00 0 4/7 1/9 1/11 1/655 0 00 0 0 5/9 1/11 1/666 0 00 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/35/3





11 1 1/3 1/51/5 1/7 1/9 1/11 1/622 0 2/3 1/51/5 1/7 1/9 1/11 1/633 0 0 3/53/5 1/7 1/9 1/11 1/644 0 0 00 4/7 1/9 1/11 1/655 0 0 00 0 5/9 1/11 1/666 0 0 00 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/3 12/512/5





11 1 1/3 1/5 1/71/7 1/9 1/11 1/622 0 2/3 1/5 1/71/7 1/9 1/11 1/633 0 0 3/5 1/71/7 1/9 1/11 1/644 0 0 0 4/74/7 1/9 1/11 1/655 0 0 0 00 5/9 1/11 1/666 0 0 0 00 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/3 12/5 22/722/7





11 1 1/3 1/5 1/7 1/91/9 1/11 1/622 0 2/3 1/5 1/7 1/91/9 1/11 1/633 0 0 3/5 1/7 1/91/9 1/11 1/644 0 0 0 4/7 1/91/9 1/11 1/655 0 0 0 0 5/95/9 1/11 1/666 0 0 0 0 00 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/3 12/5 22/7 35/935/9





11 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/111/11 1/622 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/111/11 1/633 0 0 3/5 1/7 1/9 1/111/11 1/644 0 0 0 4/7 1/9 1/111/11 1/655 0 0 0 0 5/9 1/111/11 1/666 0 0 0 0 0 6/116/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/3 12/5 22/7 35/9 51/1151/11





1 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/62 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/63 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/64 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/65 0 0 0 0 5/9 1/11 1/66 0 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/3 12/5 22/7 35/9 51/11 ??





1 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/62 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/63 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/64 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/65 0 0 0 0 5/9 1/11 1/66 0 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y)pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y]E[X|Y = y] 1 5/3 12/5 22/7 35/9 51/11 ?

pY (y)E[X|Y =y]pY (y)E[X|Y =y]





1 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/62 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/63 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/64 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/65 0 0 0 0 5/9 1/11 1/66 0 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/361/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 11 5/3 12/5 22/7 35/9 51/11 ?

pY (y)E[X|Y =y] 1/361/36





1 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/62 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/63 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/64 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/65 0 0 0 0 5/9 1/11 1/66 0 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/363/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/35/3 12/5 22/7 35/9 51/11 ?

pY (y)E[X|Y =y] 1/36 5/365/36





1 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/62 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/63 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/64 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/65 0 0 0 0 5/9 1/11 1/66 0 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/365/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/3 12/512/5 22/7 35/9 51/11 ?

pY (y)E[X|Y =y] 1/36 5/36 12/3612/36





1 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/62 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/63 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/64 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/65 0 0 0 0 5/9 1/11 1/66 0 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/367/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/3 12/5 22/722/7 35/9 51/11 ?

pY (y)E[X|Y =y] 1/36 5/36 12/36 22/3622/36





1 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/62 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/63 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/64 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/65 0 0 0 0 5/9 1/11 1/66 0 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/369/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/3 12/5 22/7 35/935/9 51/11 ?

pY (y)E[X|Y =y] 1/36 5/36 12/36 22/36 35/3635/36





1 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/62 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/63 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/64 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/65 0 0 0 0 5/9 1/11 1/66 0 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/3611/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/3 12/5 22/7 35/9 51/1151/11 ?

pY (y)E[X|Y =y] 1/36 5/36 12/36 22/36 35/36 51/3651/36





1 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/62 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/63 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/64 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/65 0 0 0 0 5/9 1/11 1/66 0 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/3 12/5 22/7 35/9 51/11 ?

pY (y)E[X|Y =y]pY (y)E[X|Y =y] 1/361/36 5/365/36 12/3612/36 22/3622/36 35/3635/36 51/3651/36P

=126/36P

=126/36





11 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/61/622 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/61/633 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/61/644 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/61/655 0 0 0 0 5/9 1/11 1/61/666 0 0 0 0 0 6/11 1/61/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/3 12/5 22/7 35/9 51/11 ?

pY (y)E[X|Y =y] 1/36 5/36 12/36 22/36 35/36 51/36P

=126/36P

=126/36





1 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/62 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/63 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/64 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/65 0 0 0 0 5/9 1/11 1/66 0 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/3 12/5 22/7 35/9 51/11 ?

pY (y)E[X|Y =y] 1/36 5/36 12/36 22/36 35/36 51/36P

=126/36

H E[X] =∑

y pY (y)E[X|Y = y]





1 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/62 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/63 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/64 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/65 0 0 0 0 5/9 1/11 1/66 0 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/3 12/5 22/7 35/9 51/11 ?

pY (y)E[X|Y =y] 1/36 5/36 12/36 22/36 35/36 51/36P

=126/36

H E[X] =∑

y pY (y)E[X|Y = y] = E[ E[X|Y = y] ]





1 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/62 0 2/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/63 0 0 3/5 1/7 1/9 1/11 1/64 0 0 0 4/7 1/9 1/11 1/65 0 0 0 0 5/9 1/11 1/66 0 0 0 0 0 6/11 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1E[X|Y = y] 1 5/3 12/5 22/7 35/9 51/11 ?

pY (y)E[X|Y =y] 1/36 5/36 12/36 22/36 35/36 51/36P

=126/36

H E[X] =∑

y pY (y)E[X|Y = y]E[X|Y = y] = E[ E[X|Y = y]E[X|Y = y] ]

V.A. conditionnées


H V.A. conditionnée par un événement A, P (A) 6= 0

V.A. conditionnées



pX|A(x)

V.A. conditionnées



pX|A(x) = P (X = x|A)

V.A. conditionnées



pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)

P (A)

V.A. conditionnées



pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)

P (A)⋂

x (X = x ∩ A) = ∅

V.A. conditionnées



pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)

P (A)⋂

x (X = x ∩ A) = ∅ ,⋃

x (X = x ∩ A) = A

V.A. conditionnées



pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)

P (A)⋂

x (X = x ∩ A) = ∅ ,⋃

x (X = x ∩ A) = AP (A) =

∑

x P (X = x ∩ A)

V.A. conditionnées



pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)

P (A)⋂

x (X = x ∩ A) = ∅ ,⋃

x (X = x ∩ A) = AP (A) =

∑

x P (X = x ∩ A) ⇒ ∑

x pX|A(x) = 1

V.A. conditionnées



pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)

P (A)⋂

x (X = x ∩ A) = ∅ ,⋃

x (X = x ∩ A) = AP (A) =

∑

x P (X = x ∩ A) ⇒ ∑

x pX|A(x) = 1H V.A. conditionnée par une autre V.A.

V.A. conditionnées



pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)

P (A)⋂

x (X = x ∩ A) = ∅ ,⋃

x (X = x ∩ A) = AP (A) =

∑

x P (X = x ∩ A) ⇒ ∑


pX|Y (x|y)

V.A. conditionnées



pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)

P (A)⋂

x (X = x ∩ A) = ∅ ,⋃

x (X = x ∩ A) = AP (A) =

∑

x P (X = x ∩ A) ⇒ ∑


pX|Y (x|y)=P (X = x| Y = y︸︷︷︸

pY (y) 6=0

)=P (X = x ∩ Y = y)

P (Y = y) =pXY (x, y)

pY (y)

pY (y) =∑

x pXY (x, y)

V.A. conditionnées



pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)

P (A)⋂

x (X = x ∩ A) = ∅ ,⋃

x (X = x ∩ A) = AP (A) =

∑

x P (X = x ∩ A) ⇒ ∑


pX|Y (x|y)=P (X = x| Y = y︸︷︷︸

pY (y) 6=0

)=P (X = x ∩ Y = y)

P (Y = y) =pXY (x, y)

pY (y)

pY (y) =∑

x pXY (x, y) ⇒ ∑

x pX|Y (x|y) = 1Approche séquentielle :pXY (x, y) = pX(x)pY |X(y|x) = pY (y)pX|Y (x|y)

Indépendance


H Entre une V.A. X et un événement A :

P (X = x ∩ A) = P (X = x)P (A) = pX(x)P (A) , ∀x si P (A) 6= 0 , pX|A(x) = pX(x) , ∀x

H Entre deux V.A. X et Y :

pXY (x, y) = P (X = x ∩ Y = y) = P (X = x)P (Y = y)= pX(x)pY (y) , ∀x, y

pX|Y (x, y) = pX(x) , ∀x et ∀y, pY (y) 6= 0

E[XY ] = E[X] E[Y ] , var[X + Y ] = var[X] + var[Y ]

H Entre n V.A. X1, . . . , Xn

pX1...Xn(x1, . . . , xn) = pX1(x1) . . . pXn(xn) , ∀x1, . . . , xn

E[X1 . . .Xn] = E[X1] . . .E[Xn] var[X1 + . . . + Xn] = var[X1] + . . . + var[Xn]

[Extra] Deux variables aléatoires indépendantes


pXY (x, y) = P (X = x ∩ Y = y)x\y 1 2 3 4 5 6 pX(x)

1

2

3

4

5

6

pY (y)∑

= 1




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216

pY (y)∑

= 1




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y)∑

= 1




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H pXY (x, y) = pX(x)pY (y) ∀x, y




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H pXY (x, y) = pX(x)pY (y) ∀x, y =⇒ X et Y indépendantes




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H pXY (x, y) = pX(x)pY (y) ∀x, y =⇒ X et Y indépendantesH E[XY ] =




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1


∑

x,y xypXY (x, y)




11 1/2161/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1


∑

x,y xypXY (x, y) = 1 · 1 · 12161 · 1 · 1216




11 1/216 3/2163/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1


∑

x,y xypXY (x, y) = 1 · 1 · 1216 + 1 · 2 · 3

2161 · 2 · 3216




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

66 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/21611/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1


∑

x,y xypXY (x, y) = 1 · 1 · 1216 + 1 · 2 · 3

216 + . . . + 6 · 6 · 112166 · 6 · 11216




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1


∑

x,y xypXY (x, y) = 1 · 1 · 1216 + 1 · 2 · 3

216 + . . . + 6 · 6 · 11216

ind.= E[X] E[Y ]




11 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/61/6

22 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/61/6

33 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/61/6

44 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/61/6

55 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/61/6

66 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/61/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1


∑

x,y xypXY (x, y) = 1 · 1 · 1216 + 1 · 2 · 3

216 + . . . + 6 · 6 · 11216

ind.= E[X] E[Y ] =

(1 · 1

6 + . . . + 6 · 161 · 1

6 + . . . + 6 · 16

)




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/361/36 3/363/36 5/365/36 7/367/36 9/369/36 11/3611/36∑

= 1


∑

x,y xypXY (x, y) = 1 · 1 · 1216 + 1 · 2 · 3

216 + . . . + 6 · 6 · 11216

ind.= E[X] E[Y ] =

(1 · 1

6 + . . . + 6 · 16

) (1 · 1

36 + . . . + 6 · 11361 · 1

36 + . . . + 6 · 1136

)




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1


∑

x,y xypXY (x, y) = 1 · 1 · 1216 + 1 · 2 · 3

216 + . . . + 6 · 6 · 11216

ind.= E[X] E[Y ] =

(1 · 1

6 + . . . + 6 · 16

) (1 · 1

36 + . . . + 6 · 1136

)

= 216 · 161

36 ≈ 15.65




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H var[X + Y ]




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H var[X + Y ] = E[(X + Y − E[X + Y ])2

]




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H var[X + Y ] = E[(X + Y − E[X + Y ])2

]= E

[(X + Y )2

]− E[X + Y ]2




11 1/2161/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H var[X + Y ] = E[(X + Y − E[X + Y ])2

]= E

[(X + Y )2

]E

[(X + Y )2

]− E[X + Y ]2

=(1 + 1)2 · 1

216(1 + 1)2 · 1216




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

66 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/21611/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H var[X + Y ] = E[(X + Y − E[X + Y ])2

]= E

[(X + Y )2

]E

[(X + Y )2

]− E[X + Y ]2

=(1 + 1)2 · 1

216 + . . . + (6 + 6)2 · 11216(6 + 6)2 · 11216




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H var[X + Y ] = E[(X + Y − E[X + Y ])2

]= E

[(X + Y )2

]− E[X + Y ]E[X + Y ]2

=(1 + 1)2 · 1

216 + . . . + (6 + 6)2 · 11216

−

(216 + 161

36216 + 161

36

)2




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H var[X + Y ] = E[(X + Y − E[X + Y ])2

]= E

[(X + Y )2

]− E[X + Y ]2

=(1 + 1)2 · 1

216 + . . . + (6 + 6)2 · 11216

−

(216 + 161

36

)2

ind.= var[X] + var[Y ]




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H var[X + Y ] = E[(X + Y − E[X + Y ])2

]= E

[(X + Y )2

]− E[X + Y ]2

=(1 + 1)2 · 1

216 + . . . + (6 + 6)2 · 11216

−

(216 + 161

36

)2

ind.= var[X] + var[Y ] = E

[X2

]− E[X]2 + E

[Y 2

]− E[Y ]2




11 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/61/6

22 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/61/6

33 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/61/6

44 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/61/6

55 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/61/6

66 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/61/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H var[X + Y ] = E[(X + Y − E[X + Y ])2

]= E

[(X + Y )2

]− E[X + Y ]2

=(1 + 1)2 · 1

216 + . . . + (6 + 6)2 · 11216

−

(216 + 161

36

)2


[X2

]E

[X2

]− E[X]2 + E

[Y 2

]− E[Y ]2

=(12 · 1

6 + . . . + 62 · 1612 · 1

6 + . . . + 62 · 16

)




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H var[X + Y ] = E[(X + Y − E[X + Y ])2

]= E

[(X + Y )2

]− E[X + Y ]2

=(1 + 1)2 · 1

216 + . . . + (6 + 6)2 · 11216

−

(216 + 161

36

)2


[X2

]− E[X]E[X]2 + E

[Y 2

]− E[Y ]2

=(12 · 1

6 + . . . + 62 · 16

)−

(216216

)2




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/361/36 3/363/36 5/365/36 7/367/36 9/369/36 11/3611/36∑

= 1

H var[X + Y ] = E[(X + Y − E[X + Y ])2

]= E

[(X + Y )2

]− E[X + Y ]2

=(1 + 1)2 · 1

216 + . . . + (6 + 6)2 · 11216

−

(216 + 161

36

)2


[X2

]− E[X]2 + E

[Y 2

]E

[Y 2

]− E[Y ]2

=(12 · 1

6 + . . . + 62 · 16

)−

(216

)2+

(12 · 1

36 + . . . + 62 · 113612 · 1

36 + . . . + 62 · 1136

)




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H var[X + Y ] = E[(X + Y − E[X + Y ])2

]= E

[(X + Y )2

]− E[X + Y ]2

=(1 + 1)2 · 1

216 + . . . + (6 + 6)2 · 11216

−

(216 + 161

36

)2


[X2

]− E[X]2 + E

[Y 2

]− E[Y ]E[Y ]2

=(12 · 1

6 + . . . + 62 · 16

)−

(216

)2+

(12 · 1

36 + . . . + 62 · 1136

)−

(1613616136

)2




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H var[X + Y ] = E[(X + Y − E[X + Y ])2

]= E

[(X + Y )2

]− E[X + Y ]2

=(1 + 1)2 · 1

216 + . . . + (6 + 6)2 · 11216

−

(216 + 161

36

)2


[X2

]− E[X]2 + E

[Y 2

]− E[Y ]2

=(12 · 1

6 + . . . + 62 · 16

)−

(216

)2+

(12 · 1

36 + . . . + 62 · 1136

)−

(16136

)2

= 916 −

(216

)2+ 791

36 −(

16136

)2




1 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

2 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

3 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

4 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

5 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

6 1/216 3/216 5/216 7/216 9/216 11/216 1/6

pY (y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36∑

= 1

H var[X + Y ] = E[(X + Y − E[X + Y ])2

]= E

[(X + Y )2

]− E[X + Y ]2

=(1 + 1)2 · 1

216 + . . . + (6 + 6)2 · 11216

−

(216 + 161

36

)2


[X2

]− E[X]2 + E

[Y 2

]− E[Y ]2

=(12 · 1

6 + . . . + 62 · 16

)−

(216

)2+

(12 · 1

36 + . . . + 62 · 1136

)−

(16136

)2

= 916 −

(216

)2+ 791

36 −(

16136

)2 ≈ 4.89

Deux variables aléatoires indépendantesH VariablesAléatoiresDiscrètes (deux etplus)



Indépendance





(conclusion)



Cliquer sur le logo pour télécharger le script R !

http://elec.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/statistique_appliquee/ep_unsa_elec3_statistique_appliquee_script_vad_deux_va_independantes.R

http://cran.r-project.org/doc/contrib/Short-refcard.pdf

http://elec.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/statistiques_appliquees/docs.php




Indépendance





(conclusion)



Cliquer sur le logo pour télécharger le script R !H R en 5 points







Indépendance





(conclusion)




1. x <- 5 équivalent à x = 5

(les deux sont équivalents dans les versions récentes !)







Indépendance





(conclusion)





(les deux sont équivalents dans les versions récentes !)2. x = c(1, 2, 3) : x = (1, 2, 3)

(fonction de concantenation ; on la trouve partout !)







Indépendance





(conclusion)






(fonction de concantenation ; on la trouve partout !)3. On utilise le point “.” dans les noms à la place de “_”

(esp.x.fois.y n’est qu’un nom de variable !)







Indépendance





(conclusion)







(esp.x.fois.y n’est qu’un nom de variable !)4. Obtenir de l’aide sur une commande :

?nom_de_la_commande ouhelp(nom_de_la_commande)







Indépendance





(conclusion)









5. Un document très utile :Short-refcard.pdf (4 pages)







Indépendance





(conclusion)









5. Un document très utile :Short-refcard.pdf (4 pages)(plus la documentation proposée en bibliographie)




[Extra] Fonction de probabilité / Fonction de répartitionH VariablesAléatoiresDiscrètes (deux etplus)



Indépendance





(conclusion)



1 2 3 4 5 6

0.10

0.14

0.18

0.22

x

px E[X]

1 2 3 4 5 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

FX(x

)

pX(5)

Fonction de probabilité, pX(x) = P (X = x)

Fonction de répartition, FX(x) = P (X ≤ x)

[Extra] Fonction de probabilité / Fonction de répartitionH VariablesAléatoiresDiscrètes (deux etplus)



Indépendance





(conclusion)



1 2 3 4 5 6

0.05

0.15

0.25

y

py

E[Y]

1 2 3 4 5 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

FY(y

) pY(5)

Fonction de probabilité, pY (y) = P (Y = y)

Fonction de répartition, FY (y) = P (Y ≤ y)

Fonction de répartitionH VariablesAléatoiresDiscrètes (deux etplus)



Indépendance





(conclusion)



H

FX(x) , P (X ≤ x)




Indépendance





(conclusion)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =∑

x′≤x

pX(x′)




Indépendance





(conclusion)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =∑

x′≤x

pX(x′)

H Classement par ordre : x(1) < x(2) < . . . < x(m)




Indépendance





(conclusion)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =∑

x′≤x

pX(x′)


FX(x(k)) = P (X ≤ x(k))




Indépendance





(conclusion)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =∑

x′≤x

pX(x′)


FX(x(k)) = P (X ≤ x(k)) =k∑

i=1

pX(x(i))




Indépendance





(conclusion)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =∑

x′≤x

pX(x′)


FX(x(k)) = P (X ≤ x(k)) =k∑

i=1

pX(x(i))

H Propriétés :




Indépendance





(conclusion)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =∑

x′≤x

pX(x′)


FX(x(k)) = P (X ≤ x(k)) =k∑

i=1

pX(x(i))

H Propriétés :

FX(x) : définie sur R ; continue à droite




Indépendance





(conclusion)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =∑

x′≤x

pX(x′)


FX(x(k)) = P (X ≤ x(k)) =k∑

i=1

pX(x(i))

H Propriétés :

FX(x) : définie sur R ; continue à droite FX(x(k)) − FX(x−

(k)) = pX(x(k))




Indépendance





(conclusion)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =∑

x′≤x

pX(x′)


FX(x(k)) = P (X ≤ x(k)) =k∑

i=1

pX(x(i))

H Propriétés :


(k)) = pX(x(k))

Monotone croissante (au sens large) :




Indépendance





(conclusion)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =∑

x′≤x

pX(x′)


FX(x(k)) = P (X ≤ x(k)) =k∑

i=1

pX(x(i))

H Propriétés :


(k)) = pX(x(k))

Monotone croissante (au sens large) :si x1 < x2 , FX(x1) ≤ FX(x2)




Indépendance





(conclusion)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =∑

x′≤x

pX(x′)


FX(x(k)) = P (X ≤ x(k)) =k∑

i=1

pX(x(i))

H Propriétés :


(k)) = pX(x(k))


limx→−∞ FX(x) = 0




Indépendance





(conclusion)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =∑

x′≤x

pX(x′)


FX(x(k)) = P (X ≤ x(k)) =k∑

i=1

pX(x(i))

H Propriétés :


(k)) = pX(x(k))


limx→−∞ FX(x) = 0 limx→+∞ FX(x) = 1




Indépendance





(conclusion)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =∑

x′≤x

pX(x′)


FX(x(k)) = P (X ≤ x(k)) =k∑

i=1

pX(x(i))

H Propriétés :


(k)) = pX(x(k))


limx→−∞ FX(x) = 0 limx→+∞ FX(x) = 1 FX(x2) − FX(x1) = P (x1 < X ≤ x2)

Relation linéaire entre deux v.a. ?H VariablesAléatoiresDiscrètes (deux etplus)



Indépendance



Relation linéaireentre deux v.a.?(explorationgraphique)


(conclusion)

Covariance /coefficient decorrélation linéaireIndépendance /corrélation Polytech’Nice Sophia, Élec 3, 2007–2008 – 40

H X et Y associées à la même expérience aléatoire




Indépendance





(conclusion)


H X et Y associées à la même expérience aléatoireH Est-ce que Y = aX + b ?




Indépendance





(conclusion)



Si oui :




Indépendance





(conclusion)



Si oui :

y = ax + b (les valeurs des v.a.)




Indépendance





(conclusion)



Si oui :

y = ax + b (les valeurs des v.a.) E[Y ] = aE[X] + b (les espérances des v.a.)




Indépendance





(conclusion)



Si oui :


H Comment « mesurer » la dépendance linéaire ?




Indépendance





(conclusion)



Si oui :


H Comment « mesurer » la dépendance linéaire ?H Exemple :

Expérience aléatoire : lancer deux désX : la valeur du premier déY : la valeur maximale des deux dés

Relation linéaire ? (exploration graphique)H VariablesAléatoiresDiscrètes (deux etplus)



Indépendance





(conclusion)



−4 −2 0 2 4 6

−4

−2

02

46

x

y

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

2/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

x

3/36

1/36

1/36

1/36

x

x

x

4/36

1/36

1/36

x

x

x

x

5/36

1/36

x

x

x

x

x

6/36

Y?= aX + b

Si oui :y = ax + bE[Y ] = aE[X] + b

http://elec.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/statistique_appliquee/ep_unsa_elec3_statistique_appliquee_script_vad_correlation_entre_deux_va.R




Indépendance





(conclusion)



−4 −2 0 2 4 6

−4

−2

02

46

x

y

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

2/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

x

3/36

1/36

1/36

1/36

x

x

x

4/36

1/36

1/36

x

x

x

x

5/36

1/36

x

x

x

x

x

6/36

E[X]

E[Y]

Y?= aX + b






Indépendance





(conclusion)



−4 −2 0 2 4 6

−4

−2

02

46

x

y

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

2/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

x

3/36

1/36

1/36

1/36

x

x

x

4/36

1/36

1/36

x

x

x

x

5/36

1/36

x

x

x

x

x

6/36

E[X]

E[Y]

a=0.71; b=2

Y?= aX + b






Indépendance





(conclusion)



−4 −2 0 2 4 6

−4

−2

02

46

x

y

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

2/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

x

3/36

1/36

1/36

1/36

x

x

x

4/36

1/36

1/36

x

x

x

x

5/36

1/36

x

x

x

x

x

6/36

E[X]

E[Y]

a=0.71; b=2

a=−0.44; b=6

Y?= aX + b



Relation linéaire ? (exploration graphique 2)H VariablesAléatoiresDiscrètes (deux etplus)



Indépendance





(conclusion)



−4 −2 0 2 4 6

−4

−2

02

46

x’ = x − E[X]

y’ =

y −

E[Y

]

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

2/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

x

3/36

1/36

1/36

1/36

x

x

x

4/36

1/36

1/36

x

x

x

x

5/36

1/36

x

x

x

x

x

6/36

Y?= aX + b


X ′ = X − E[X]Y ′ = Y − E[Y ]




Indépendance





(conclusion)



−4 −2 0 2 4 6

−4

−2

02

46

x’ = x − E[X]

y’ =

y −

E[Y

]

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

2/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

x

3/36

1/36

1/36

1/36

x

x

x

4/36

1/36

1/36

x

x

x

x

5/36

1/36

x

x

x

x

x

6/36

a=0.71

a=−0.44

Y?= aX + b


X ′ = X − E[X]Y ′ = Y − E[Y ]Y ′ = aX ′




Indépendance





(conclusion)



−4 −2 0 2 4 6

−4

−2

02

46

x’ = x − E[X]

y’ =

y −

E[Y

]

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

2/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

x

3/36

1/36

1/36

1/36

x

x

x

4/36

1/36

1/36

x

x

x

x

5/36

1/36

x

x

x

x

x

6/36

a=0.71

a=−0.44

8.68

6.18

3.68

1.18

−1.32

−3.82

3.71

2.21

0.71

−0.79

−2.29

0.74

0.24

−0.26

−0.76

−0.24

0.26

0.76

0.79

2.29 3.82

Y?= aX + b


X ′ = X − E[X]Y ′ = Y − E[Y ]Y ′ = aX ′

x′y′ =?




Indépendance





(conclusion)



−4 −2 0 2 4 6

−4

−2

02

46

x’ = x − E[X]

y’ =

y −

E[Y

]

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

2/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

x

3/36

1/36

1/36

1/36

x

x

x

4/36

1/36

1/36

x

x

x

x

5/36

1/36

x

x

x

x

x

6/36

a=0.71

a=−0.44

8.68

6.18

3.68

1.18

−1.32

−3.82

3.71

2.21

0.71

−0.79

−2.29

0.74

0.24

−0.26

−0.76

−0.24

0.26

0.76

0.79

2.29 3.82

1/36

8.68

1/36

6.18

1/36

3.68

1/36

1.18

1/36

−1.32

1/36

−3.82

x

2/36

3.71

1/36

2.21

1/36

0.71

1/36

−0.79

1/36

−2.29

x

x

3/36

0.74

1/36

0.24

1/36

−0.26

1/36

−0.76

x

x

x

4/36

−0.24

1/36

0.26

1/36

0.76

x

x

x

x

5/36

0.79

1/36

2.29

x

x

x

x

x

6/36

3.82

a=0.71

a=−0.44

Y?= aX + b


X ′ = X − E[X]Y ′ = Y − E[Y ]Y ′ = aX ′

x′y′ =?

Relation linéaire ? (conclusion)H VariablesAléatoiresDiscrètes (deux etplus)



Indépendance





(conclusion)



−4 −2 0 2 4 6

−4

−2

02

46

x’ = x − E[X]

y’ =

y −

E[Y

]

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

2/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

x

3/36

1/36

1/36

1/36

x

x

x

4/36

1/36

1/36

x

x

x

x

5/36

1/36

x

x

x

x

x

6/36

a=0.71

a=−0.44

8.68

6.18

3.68

1.18

−1.32

−3.82

3.71

2.21

0.71

−0.79

−2.29

0.74

0.24

−0.26

−0.76

−0.24

0.26

0.76

0.79

2.29 3.82

1/36

8.68

1/36

6.18

1/36

3.68

1/36

1.18

1/36

−1.32

1/36

−3.82

x

2/36

3.71

1/36

2.21

1/36

0.71

1/36

−0.79

1/36

−2.29

x

x

3/36

0.74

1/36

0.24

1/36

−0.26

1/36

−0.76

x

x

x

4/36

−0.24

1/36

0.26

1/36

0.76

x

x

x

x

5/36

0.79

1/36

2.29

x

x

x

x

x

6/36

3.82

a=0.71

a=−0.44

(x − E[X]) (y − E[Y]) > 0

(x − E[X]) (y − E[Y]) > 0

(x − E[X]) (y − E[Y]) < 0

(x − E[X]) (y − E[Y]) < 0

Y?= aX + b


X ′ = X − E[X]Y ′ = Y − E[Y ]Y ′ = aX ′

x′y′ =?

Relation linéaire ? (conclusion)H VariablesAléatoiresDiscrètes (deux etplus)



Indépendance





(conclusion)



−4 −2 0 2 4 6

−4

−2

02

46

x’ = x − E[X]

y’ =

y −

E[Y

]

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

2/36

1/36

1/36

1/36

1/36

x

x

3/36

1/36

1/36

1/36

x

x

x

4/36

1/36

1/36

x

x

x

x

5/36

1/36

x

x

x

x

x

6/36

a=0.71

a=−0.44

8.68

6.18

3.68

1.18

−1.32

−3.82

3.71

2.21

0.71

−0.79

−2.29

0.74

0.24

−0.26

−0.76

−0.24

0.26

0.76

0.79

2.29 3.82

1/36

8.68

1/36

6.18

1/36

3.68

1/36

1.18

1/36

−1.32

1/36

−3.82

x

2/36

3.71

1/36

2.21

1/36

0.71

1/36

−0.79

1/36

−2.29

x

x

3/36

0.74

1/36

0.24

1/36

−0.26

1/36

−0.76

x

x

x

4/36

−0.24

1/36

0.26

1/36

0.76

x

x

x

x

5/36

0.79

1/36

2.29

x

x

x

x

x

6/36

3.82

a=0.71

a=−0.44

(x − E[X]) (y − E[Y]) > 0

(x − E[X]) (y − E[Y]) > 0

(x − E[X]) (y − E[Y]) < 0

(x − E[X]) (y − E[Y]) < 0

Y?= aX + b


X ′ = X − E[X]Y ′ = Y − E[Y ]Y ′ = aX ′

x′y′ =?

E[X ′Y ′] ≈ 1.46

Covariance / coefficient de corrélation linéaire


H Covariance

cov[X, Y ] , E[(X − E[X])(Y − E[Y ])]



H Covariance

cov[X, Y ] , E[(X − E[X])(Y − E[Y ])] = E[XY ] − E[X] E[Y ]



H Covariance

cov[X, Y ] , E[(X − E[X])(Y − E[Y ])] = E[XY ] − E[X] E[Y ] = RXY −µXµY



H Covariance


cov[X, X] = E[(X − E[X])(X − E[X])]



H Covariance


cov[X, X] = E[(X − E[X])(X − E[X])] = E[X2

]− E[X]2



H Covariance


cov[X, X] = E[(X − E[X])(X − E[X])] = E[X2

]− E[X]2 = var[X]



H Covariance


cov[X, X] = E[(X − E[X])(X − E[X])] = E[X2

]− E[X]2 = var[X]

cov[X, Y ] ≫ 0 ou ≪ 0 : relation linéaire entre X et Y



H Covariance


cov[X, X] = E[(X − E[X])(X − E[X])] = E[X2

]− E[X]2 = var[X]

cov[X, Y ] ≫ 0 ou ≪ 0 : relation linéaire entre X et YQuelles sont les valeurs extrêmes de cov[X, Y ] ?



H Covariance


cov[X, X] = E[(X − E[X])(X − E[X])] = E[X2

]− E[X]2 = var[X]


Si Y = aX + b



H Covariance


cov[X, X] = E[(X − E[X])(X − E[X])] = E[X2

]− E[X]2 = var[X]


Si Y = aX + b ⇒ cov[X, Y ] = . . . = avar[X]



H Covariance


cov[X, X] = E[(X − E[X])(X − E[X])] = E[X2

]− E[X]2 = var[X]


Si Y = aX + b ⇒ cov[X, Y ] = . . . = avar[X] = aσ2X



H Covariance


cov[X, X] = E[(X − E[X])(X − E[X])] = E[X2

]− E[X]2 = var[X]



σY =|a|σX=



H Covariance


cov[X, X] = E[(X − E[X])(X − E[X])] = E[X2

]− E[X]2 = var[X]



σY =|a|σX= sign(a)σXσY



H Covariance


cov[X, X] = E[(X − E[X])(X − E[X])] = E[X2

]− E[X]2 = var[X]




−σXσY ≤ cov[X, Y ] ≤ +σXσY



H Covariance


cov[X, X] = E[(X − E[X])(X − E[X])] = E[X2

]− E[X]2 = var[X]





H Coefficient de corrélation linéaire

ρ ,cov[X, Y ]

σXσY



H Covariance


cov[X, X] = E[(X − E[X])(X − E[X])] = E[X2

]− E[X]2 = var[X]






ρ ,cov[X, Y ]

σXσY− 1 ≤ ρ ≤ +1



H Covariance


cov[X, X] = E[(X − E[X])(X − E[X])] = E[X2

]− E[X]2 = var[X]






ρ ,cov[X, Y ]

σXσY− 1 ≤ ρ ≤ +1 ρ = sign(a) si Y = aX + b

Indépendance / corrélationH VariablesAléatoiresDiscrètes (deux etplus)



Indépendance





(conclusion)




ρ =cov[X, Y ]

σXσY




Indépendance





(conclusion)




ρ =cov[X, Y ]

σXσY=

E[XY ] − E[X] E[Y ]

σXσY




Indépendance





(conclusion)




ρ =cov[X, Y ]

σXσY=

E[XY ] − E[X] E[Y ]

σXσY

H Corrélation entre X et Y

RXY , E[XY ]




Indépendance





(conclusion)




ρ =cov[X, Y ]

σXσY=

E[XY ] − E[X] E[Y ]

σXσY


RXY , E[XY ] =∑

x

∑

y

xypXY (x, y)




Indépendance





(conclusion)




ρ =cov[X, Y ]

σXσY=

E[XY ] − E[X] E[Y ]

σXσY


RXY , E[XY ] =∑

x

∑

y

xypXY (x, y)

H E[XY ]ind.= E[X] E[Y ]




Indépendance





(conclusion)




ρ =cov[X, Y ]

σXσY=

E[XY ] − E[X] E[Y ]

σXσY


RXY , E[XY ] =∑

x

∑

y

xypXY (x, y)

H E[XY ]ind.= E[X] E[Y ] ⇒ ρ = 0




Indépendance





(conclusion)




ρ =cov[X, Y ]

σXσY=

E[XY ] − E[X] E[Y ]

σXσY


RXY , E[XY ] =∑

x

∑

y

xypXY (x, y)

H E[XY ]ind.= E[X] E[Y ] ⇒ ρ = 0

H Si X et Y indépendantes ⇒ décorrélées




Indépendance





(conclusion)




ρ =cov[X, Y ]

σXσY=

E[XY ] − E[X] E[Y ]

σXσY


RXY , E[XY ] =∑

x

∑

y

xypXY (x, y)

H E[XY ]ind.= E[X] E[Y ] ⇒ ρ = 0

H Si X et Y indépendantes ⇒ décorréléesH Attention (1) : l’inverse n’est pas nécessairement vraie !




Indépendance





(conclusion)




ρ =cov[X, Y ]

σXσY=

E[XY ] − E[X] E[Y ]

σXσY


RXY , E[XY ] =∑

x

∑

y

xypXY (x, y)

H E[XY ]ind.= E[X] E[Y ] ⇒ ρ = 0


(examiner, p.ex., X et Y = |X| dans le cas où E[X] = 0)




Indépendance





(conclusion)




ρ =cov[X, Y ]

σXσY=

E[XY ] − E[X] E[Y ]

σXσY


RXY , E[XY ] =∑

x

∑

y

xypXY (x, y)

H E[XY ]ind.= E[X] E[Y ] ⇒ ρ = 0


(examiner, p.ex., X et Y = |X| dans le cas où E[X] = 0)H Attention (2) : « corrélées / décorrélées » se réfère à ρ

(6= corrélation RXY !)

Variables Aléatoires Continues


Définition


Définition


H Associer une valeur réelle à chaque issue d’une expérience aléatoire

Définition


H Associer une valeur réelle à chaque issue d’une expérience aléatoireH Nombre de valeurs possibles : infini (non dénombrable)

Définition



Ω

Rx

Définition



Ω

Rx

H Exemples :

Définition



Ω

Rx

H Exemples :

la vitesse d’une voiture

Définition



Ω

Rx

H Exemples :

la vitesse d’une voiture le temps entre l’arrivée de deux clients

Définition



Ω

Rx

H Exemples :

la vitesse d’une voiture le temps entre l’arrivée de deux clients la « position » d’un électron

Définition



Ω

Rx

H Exemples :

la vitesse d’une voiture le temps entre l’arrivée de deux clients la « position » d’un électron l’énergie d’une particule

[Extra] Quel infini ?

Polytech’Nice Sophia, Élec 3, 2007–2008 – 47α



# segm. longueur2 2α



# segm. longueur2 2α4 2α



# segm. longueur2 2α4 2α8 2α




16 2α




16 2α32 2α




16 2α32 2α64 2α




16 2α32 2α64 2α. . . 2α




16 2α32 2α64 2α. . . 2α

2n → ∞ 2α




16 2α32 2α64 2α. . . 2α

2n → ∞ 2α

∞√

2α

Nombre de succès sur n essais (v.a.d. binomiale)H VariablesAléatoiresContinues

DéfinitionNombre desuccès sur nessais (v.a.d.binomiale)

Fonction derépartition: v.a.d.vers v.a.c.Densité deprobabilité


Exemple: v.a.uniforme et v.a.normaleFonction d’uneV.A.Grandeursstatistiques

Fonction linéaireDeux variablesaléatoiresV.A.ConditionnéesEspéranceconditionnelle

IndépendancePolytech’Nice Sophia, Élec 3, 2007–2008 – 48








H Expérience aléatoire : lancer n « pièces »








H Expérience aléatoire : lancer n « pièces »H Les pièces sont indépendantes : « pile » avec probabilité p

indépendemmant des autres résultats









indépendemmant des autres résultatsH La pièce i est représentée par une v.a.d. Xi de Bernoulli :










xi = 1 si « pile », xi = 0 si « face »










xi = 1 si « pile », xi = 0 si « face »H Nombre de « piles » sur n essais :

X = X1 + X2 + . . . + Xn











X = X1 + X2 + . . . + Xn =∑n

i=1 Xi











X = X1 + X2 + . . . + Xn =∑n

i=1 Xi

H X : somme de n v.a. Bernoulli indépendantes











X = X1 + X2 + . . . + Xn =∑n

i=1 Xi

H X : somme de n v.a. Bernoulli indépendantesH X : v.a. binomiale de paramètres p, n (v.a. discrète)











X = X1 + X2 + . . . + Xn =∑n

i=1 Xi


pX(k) =

(n

k

)

pk(1 − p)n−k











X = X1 + X2 + . . . + Xn =∑n

i=1 Xi


pX(k) =

(n

k

)

pk(1 − p)n−k (0 ≤ k ≤ n)











X = X1 + X2 + . . . + Xn =∑n

i=1 Xi


pX(k) =

(n

k

)

pk(1 − p)n−k (0 ≤ k ≤ n)

H E[X] =∑n

i=1 E[Xi]











X = X1 + X2 + . . . + Xn =∑n

i=1 Xi


pX(k) =

(n

k

)

pk(1 − p)n−k (0 ≤ k ≤ n)

H E[X] =∑n

i=1 E[Xi] = nE[Xi]











X = X1 + X2 + . . . + Xn =∑n

i=1 Xi


pX(k) =

(n

k

)

pk(1 − p)n−k (0 ≤ k ≤ n)

H E[X] =∑n

i=1 E[Xi] = nE[Xi] = np











X = X1 + X2 + . . . + Xn =∑n

i=1 Xi


pX(k) =

(n

k

)

pk(1 − p)n−k (0 ≤ k ≤ n)

H E[X] =∑n


H var[X]ind=

∑ni=1 var[Xi]











X = X1 + X2 + . . . + Xn =∑n

i=1 Xi


pX(k) =

(n

k

)

pk(1 − p)n−k (0 ≤ k ≤ n)

H E[X] =∑n


H var[X]ind=

∑ni=1 var[Xi] = nvar[Xi]











X = X1 + X2 + . . . + Xn =∑n

i=1 Xi


pX(k) =

(n

k

)

pk(1 − p)n−k (0 ≤ k ≤ n)

H E[X] =∑n


H var[X]ind=

∑ni=1 var[Xi] = nvar[Xi] = np(1 − p)











X = X1 + X2 + . . . + Xn =∑n

i=1 Xi


pX(k) =

(n

k

)

pk(1 − p)n−k (0 ≤ k ≤ n)

H E[X] =∑n


H var[X]ind=

∑ni=1 var[Xi] = nvar[Xi] = np(1 − p)

H (Comment faire la transition v.a.d. → v.a.c. ?)

Fonction de répartition : v.a.d. vers v.a.c.


0.0 0.5 1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

k

E[X]

0.0 0.5 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Nombre d’essais : 1k

Fonction de probabilité, pX(k) = P (X = k)

pX

(k)

Fonction de répartition, FX(k) = P (X ≤ k)

FX

(k)

∆FX |k

V.A.D.H FX(b) − FX(a) =

http://elec.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/statistique_appliquee/ep_unsa_elec3_statistique_appliquee_script_vac_fonction_de_repartition_discrete_vers_continue.R



0.0 0.5 1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

k

E[X]

0.0 0.5 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)

∆FX |k


= P (a < X ≤ b)




0.0 0.5 1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

k

E[X]

0.0 0.5 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)

∆FX |k


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−)




0.0 0.5 1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

k

E[X]

0.0 0.5 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)

∆FX |k


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k




0.0 0.5 1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

k

E[X]

0.0 0.5 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)

∆FX |k


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k)




0.0 0.5 1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

k

E[X]

0.0 0.5 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)

∆FX |k


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)




0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

k

E[X]

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)

∆FX |k


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)



0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0

0.1

0.2

0.3

k

E[X]

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)

∆FX |k


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)



0 2 4 6 8 10

0.00

0.10

0.20

k

E[X]

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k) ∆FX |k


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)



0 20 40 60 80 100

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

k

E[X]

0 20 40 60 80 100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)

∆FX |k


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)



35 40 45 50 55 60 65

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

k

35 40 45 50 55 60 65

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)



35 40 45 50 55 60 65

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

k

35 40 45 50 55 60 65

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)V.A.C.



35 40 45 50 55 60 65

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

k

35 40 45 50 55 60 65

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)V.A.C.

H FX(b) − FX(a) == P (a < X ≤ b)



35 40 45 50 55 60 65

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

k

35 40 45 50 55 60 65

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)V.A.C.

H FX(b) − FX(a) == P (a < X ≤ b)

H FX(x + dx) − FX(x)



35 40 45 50 55 60 65

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

k

35 40 45 50 55 60 65

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)V.A.C.

H FX(b) − FX(a) == P (a < X ≤ b)

H FX(x + dx) − FX(x) , dFX



35 40 45 50 55 60 65

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

k

35 40 45 50 55 60 65

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)V.A.C.

H FX(b) − FX(a) == P (a < X ≤ b)


= P (x < X ≤ x + dx)



35 40 45 50 55 60 65

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

k

35 40 45 50 55 60 65

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)V.A.C.

H FX(b) − FX(a) == P (a < X ≤ b)


= P (x < X ≤ x + dx)H

dFXdx



35 40 45 50 55 60 65

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

k

35 40 45 50 55 60 65

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)V.A.C.

H FX(b) − FX(a) == P (a < X ≤ b)


= P (x < X ≤ x + dx)H

dFXdx = P (x<X≤x+ dx)

dx



35 40 45 50 55 60 65

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

k

35 40 45 50 55 60 65

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)V.A.C.

H FX(b) − FX(a) == P (a < X ≤ b)


= P (x < X ≤ x + dx)H


dx

, pX(x) ddp



35 40 45 50 55 60 65

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

k

35 40 45 50 55 60 65

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



pX

(k)


FX

(k)


= P (a < X ≤ b)H FX(k) − FX(k−) , ∆FX |k

= P (X = k) = pX(k)V.A.C.

H FX(b) − FX(a) == P (a < X ≤ b)


= P (x < X ≤ x + dx)H


dx

, pX(x) ddpH FX(x) =

∫ x−∞ pX(u) du



35 40 45 50 55 60 65

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

x

35 40 45 50 55 60 65

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

ddp pX(x) = P (x < X ≤ x + dx)/ dx

pX

(x)


FX

(x)

P (A)

P (A)

P (B)

P (B)

V.A.C.H FX(b) − FX(a) =

= P (a < X ≤ b)H FX(x + dx) − FX(x) , dFX

= P (x < X ≤ x + dx)H


dx





35 40 45 50 55 60 65

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

x

35 40 45 50 55 60 65

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


FX

(x)

P (A)

P (A)

P (B)

P (B)



= P (x < X ≤ x + dx)H


dx



H A = X ≤ 45



35 40 45 50 55 60 65

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

x

35 40 45 50 55 60 65

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


FX

(x)

P (A)

P (A)

P (B)

P (B)



= P (x < X ≤ x + dx)H


dx



H A = X ≤ 45H B = 50 < X ≤ 60

Densité de probabilité


H

P (x < X ≤ x + dx) = pX(x) dx



H

P (x < X ≤ x + dx) = pX(x) dx

P (a < X ≤ b) =

∫ b

apX(x) dx



H

P (x < X ≤ x + dx) = pX(x) dx

P (a < X ≤ b) =

∫ b

apX(x) dx

Ω

pX(x)

A

P (A)

xa b

A = a < X ≤ b



H

P (x < X ≤ x + dx) = pX(x) dx

P (a < X ≤ b) =

∫ b

apX(x) dx

Ω

pX(x)

A

P (A)

xa b

A = a < X ≤ b

H pX(x) ≥ 0 , ∀x



H

P (x < X ≤ x + dx) = pX(x) dx

P (a < X ≤ b) =

∫ b

apX(x) dx

Ω

pX(x)

A

P (A)

xa b

A = a < X ≤ b

H pX(x) ≥ 0 , ∀xH P (X = x0)



H

P (x < X ≤ x + dx) = pX(x) dx

P (a < X ≤ b) =

∫ b

apX(x) dx

Ω

pX(x)

A

P (A)

xa b

A = a < X ≤ b

H pX(x) ≥ 0 , ∀xH P (X = x0) = P (x0 < X ≤ x0



H

P (x < X ≤ x + dx) = pX(x) dx

P (a < X ≤ b) =

∫ b

apX(x) dx

Ω

pX(x)

A

P (A)

xa b

A = a < X ≤ b

H pX(x) ≥ 0 , ∀xH P (X = x0) = P (x0 < X ≤ x0 =

∫ x0

x0pX(x) dx



H

P (x < X ≤ x + dx) = pX(x) dx

P (a < X ≤ b) =

∫ b

apX(x) dx

Ω

pX(x)

A

P (A)

xa b

A = a < X ≤ b

H pX(x) ≥ 0 , ∀xH P (X = x0) = P (x0 < X ≤ x0 =

∫ x0

x0pX(x) dx = 0



H

P (x < X ≤ x + dx) = pX(x) dx

P (a < X ≤ b) =

∫ b

apX(x) dx

Ω

pX(x)

A

P (A)

xa b

A = a < X ≤ b

H pX(x) ≥ 0 , ∀xH P (X = x0) = P (x0 < X ≤ x0 =

∫ x0

x0pX(x) dx = 0

H Normalisation :



H

P (x < X ≤ x + dx) = pX(x) dx

P (a < X ≤ b) =

∫ b

apX(x) dx

Ω

pX(x)

A

P (A)

xa b

A = a < X ≤ b

H pX(x) ≥ 0 , ∀xH P (X = x0) = P (x0 < X ≤ x0 =

∫ x0

x0pX(x) dx = 0

H Normalisation :∫ +∞−∞ pX(x) dx



H

P (x < X ≤ x + dx) = pX(x) dx

P (a < X ≤ b) =

∫ b

apX(x) dx

Ω

pX(x)

A

P (A)

xa b

A = a < X ≤ b

H pX(x) ≥ 0 , ∀xH P (X = x0) = P (x0 < X ≤ x0 =

∫ x0

x0pX(x) dx = 0

H Normalisation :∫ +∞−∞ pX(x) dx = P (−∞ < X < +∞)



H

P (x < X ≤ x + dx) = pX(x) dx

P (a < X ≤ b) =

∫ b

apX(x) dx

Ω

pX(x)

A

P (A)

xa b

A = a < X ≤ b

H pX(x) ≥ 0 , ∀xH P (X = x0) = P (x0 < X ≤ x0 =

∫ x0

x0pX(x) dx = 0

H Normalisation :∫ +∞−∞ pX(x) dx = P (−∞ < X < +∞) = P (Ω)



H

P (x < X ≤ x + dx) = pX(x) dx

P (a < X ≤ b) =

∫ b

apX(x) dx

Ω

pX(x)

A

P (A)

xa b

A = a < X ≤ b

H pX(x) ≥ 0 , ∀xH P (X = x0) = P (x0 < X ≤ x0 =

∫ x0

x0pX(x) dx = 0

H Normalisation :∫ +∞−∞ pX(x) dx = P (−∞ < X < +∞) = P (Ω) = 1

Fonction de répartition




H

FX(x) , P (X ≤ x)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =

∫ x

−∞pX(u) du



H

FX(x) , P (X ≤ x) =

∫ x

−∞pX(u) du pX(x) =

dFX(x)

dx



H

FX(x) , P (X ≤ x) =

∫ x


dFX(x)

dx

H Propriétés :



H

FX(x) , P (X ≤ x) =

∫ x


dFX(x)

dx

H Propriétés :

FX(x) : définie sur R ; continue (v.a.c.) / cont. à droite (v.a.d.)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =

∫ x


dFX(x)

dx

H Propriétés :

FX(x) : définie sur R ; continue (v.a.c.) / cont. à droite (v.a.d.) Monotone croissante (au sens large) :



H

FX(x) , P (X ≤ x) =

∫ x


dFX(x)

dx

H Propriétés :


si x1 < x2 , FX(x1) ≤ FX(x2)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =

∫ x


dFX(x)

dx

H Propriétés :


si x1 < x2 , FX(x1) ≤ FX(x2)


limx→+∞ FX(x) = 1



H

FX(x) , P (X ≤ x) =

∫ x


dFX(x)

dx

H Propriétés :


si x1 < x2 , FX(x1) ≤ FX(x2)



FX(x2) − FX(x1) = P (x1 < X ≤ x2)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =

∫ x


dFX(x)

dx

H Propriétés :


si x1 < x2 , FX(x1) ≤ FX(x2)



FX(x2) − FX(x1) = P (x1 < X ≤ x2) v.a.d. : FX(x(k)) − FX(x−

(k)) = pX(x(k))



H

FX(x) , P (X ≤ x) =

∫ x


dFX(x)

dx

H Propriétés :


si x1 < x2 , FX(x1) ≤ FX(x2)




(k)) = pX(x(k))

v.a.c. : dFX(x) = FX(x + dx) − FX(x) = P (x < X ≤ x + dx)



H

FX(x) , P (X ≤ x) =

∫ x


dFX(x)

dx

H Propriétés :


si x1 < x2 , FX(x1) ≤ FX(x2)




(k)) = pX(x(k))

v.a.c. : dFX(x) = FX(x + dx) − FX(x) = P (x < X ≤ x + dx)

dFX(x)

dx = P (x<X≤x+ dx)dx , pX(x)

Exemple : v.a. uniforme et v.a. normaleH VariablesAléatoiresContinues

DéfinitionNombre de succèssur n essais (v.a.d.binomiale)





Indépendance Polytech’Nice Sophia, Élec 3, 2007–2008 – 59

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

ddp pX(x)

pX

(x)

fdr, FX(x) = P (X ≤ x)F

X(x

)

http://elec.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/statistique_appliquee/ep_unsa_elec3_statistique_appliquee_script_vac_ddp_fdr_uniforme_normale.R



x

y = g(x)

x1 x1 + δx1 x2 x2 + δx2

y0

y0 + δy0



x

y = g(x)

x1 x1 + δx1 x2 x2 + δx2

y0

y0 + δy0

H P (y0 < Y ≤ y0 + δy0)



x

y = g(x)

x1 x1 + δx1 x2 x2 + δx2

y0

y0 + δy0

H P (y0 < Y ≤ y0 + δy0) = pY (y0) · δy0



x

y = g(x)

x1 x1 + δx1 x2 x2 + δx2

y0

y0 + δy0

H P (y0 < Y ≤ y0 + δy0) = pY (y0) · δy0

=∑

xi|g(xi)=y0 P (xi < X ≤ xi + δxi)



x

y = g(x)

x1 x1 + δx1 x2 x2 + δx2

y0

y0 + δy0

H P (y0 < Y ≤ y0 + δy0) = pY (y0) · δy0

=∑

xi|g(xi)=y0 P (xi < X ≤ xi + δxi)=

∑

xi|g(xi)=y0 pX(xi) · δxi



x

y = g(x)

x1 x1 + δx1 x2 x2 + δx2

y0

y0 + δy0

H P (y0 < Y ≤ y0 + δy0) = pY (y0) · δy0

=∑


∑

xi|g(xi)=y0 pX(xi) · δxiH

pY (y0)



x

y = g(x)

x1 x1 + δx1 x2 x2 + δx2

y0

y0 + δy0

H P (y0 < Y ≤ y0 + δy0) = pY (y0) · δy0

=∑


∑


pY (y0) =∑

xi|g(xi)=y0pX(xi)

1

δy0/δxi



x

y = g(x)

x1 x1 + δx1 x2 x2 + δx2

y0

y0 + δy0

H P (y0 < Y ≤ y0 + δy0) = pY (y0) · δy0

=∑


∑


pY (y0) =∑

xi|g(xi)=y0pX(xi)

1

δy0/δxi=

∑

xi|g(xi)=y0

pX(xi)

|g′(xi)|

Grandeurs statistiques




H Espérance

µX = E[X] =

∫ +∞

−∞x pX(x) dx



H Espérance

µX = E[X] =

∫ +∞

−∞x pX(x) dx

H Espérance de g(X)

µg(X) = E[g(X)] =

∫ +∞

−∞g(x) pX(x) dx



H Espérance

µX = E[X] =

∫ +∞

−∞x pX(x) dx


µg(X) = E[g(X)] =

∫ +∞

−∞g(x) pX(x) dx

H Variance

var[X] = σ2X = E

[(X − E[X])2

]= E

[X2

]− E[X]2



H Espérance

µX = E[X] =

∫ +∞

−∞x pX(x) dx


µg(X) = E[g(X)] =

∫ +∞

−∞g(x) pX(x) dx

H Variance

var[X] = σ2X = E

[(X − E[X])2

]= E

[X2

]− E[X]2

H n-ième moment :

E[Xn] =

∫ +∞

−∞xn pX(x) dx



H Espérance

µX = E[X] =

∫ +∞

−∞x pX(x) dx


µg(X) = E[g(X)] =

∫ +∞

−∞g(x) pX(x) dx

H Variance

var[X] = σ2X = E

[(X − E[X])2

]= E

[X2

]− E[X]2

H n-ième moment :

E[Xn] =

∫ +∞

−∞xn pX(x) dx

H n-ième moment centré :

E[(X − E[X])n] =

∫ +∞

−∞(x − E[X])n pX(x) dx

Fonction linéaireH VariablesAléatoiresContinues




Exemple: v.a.uniforme et v.a.normaleFonction d’uneV.A.GrandeursstatistiquesFonctionlinéaireDeux variablesaléatoiresV.A.ConditionnéesEspéranceconditionnelle


H

Y = aX + b







H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b







H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b


H E[Y ] = E[aX + b]







H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b


H E[Y ] = E[aX + b]=

∫ +∞−∞ (ax + b) pX(x) dx







H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b


H E[Y ] = E[aX + b]=

∫ +∞−∞ (ax + b) pX(x) dx

= a∫ +∞−∞ x pX(x) dx + b

∫ +∞−∞ pX(x) dx







H

Y = aX + b

H

E[Y ] = aE[X] + b


H E[Y ] = E[aX + b]=

∫ +∞−∞ (ax + b) pX(x) dx

= a∫ +∞−∞ x pX(x) dx + b

∫ +∞−∞ pX(x) dx

= aE[X] + b

Deux variables aléatoires


H X, Y : V.A. associées à la même expérience aléatoire



H X, Y : V.A. associées à la même expérience aléatoireH Densité de probabilité conjointe pXY (x, y) :



H X, Y : V.A. associées à la même expérience aléatoireH Densité de probabilité conjointe pXY (x, y) :H

P (x < X ≤ x + dx ∩ y < Y ≤ y + dy) = pXY (x, y) dxdy





P (a < X ≤ b ∩ c < Y ≤ d) =

∫ d

c

∫ b

apXY (x, y) dxdy





P (a < X ≤ b ∩ c < Y ≤ d) =

∫ d

c

∫ b

apXY (x, y) dxdy

H Densités de probabilité marginales :





P (a < X ≤ b ∩ c < Y ≤ d) =

∫ d

c

∫ b

apXY (x, y) dxdy

H Densités de probabilité marginales :pX(x) =

∫ +∞−∞ pXY (x, y) dy





P (a < X ≤ b ∩ c < Y ≤ d) =

∫ d

c

∫ b

apXY (x, y) dxdy


∫ +∞−∞ pXY (x, y) dy , pY (y) =

∫ +∞−∞ pXY (x, y) dx





P (a < X ≤ b ∩ c < Y ≤ d) =

∫ d

c

∫ b

apXY (x, y) dxdy


∫ +∞−∞ pXY (x, y) dy , pY (y) =

∫ +∞−∞ pXY (x, y) dx

H Z = g(X, Y )





P (a < X ≤ b ∩ c < Y ≤ d) =

∫ d

c

∫ b

apXY (x, y) dxdy


∫ +∞−∞ pXY (x, y) dy , pY (y) =

∫ +∞−∞ pXY (x, y) dx

H Z = g(X, Y )E[Z] = E[g(X, Y )] =

∫∫ +∞−∞ g(x, y)pXY (x, y) dxdy





P (a < X ≤ b ∩ c < Y ≤ d) =

∫ d

c

∫ b

apXY (x, y) dxdy


∫ +∞−∞ pXY (x, y) dy , pY (y) =

∫ +∞−∞ pXY (x, y) dx

H Z = g(X, Y )E[Z] = E[g(X, Y )] =


E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c





P (a < X ≤ b ∩ c < Y ≤ d) =

∫ d

c

∫ b

apXY (x, y) dxdy


∫ +∞−∞ pXY (x, y) dy , pY (y) =

∫ +∞−∞ pXY (x, y) dx

H Z = g(X, Y )E[Z] = E[g(X, Y )] =


E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + cH Généralisation à n variables aléatoires

V.A. Conditionnées


V.A. Conditionnées



ddpc pX|A(x) : P (x < X ≤ x + dx|A) = pX|A(x) dx

V.A. Conditionnées




cas spécial : si A = X ∈ C :

V.A. Conditionnées





pX|X∈C(x) =

pX(x)

P (X∈C) x ∈ C

0 x /∈ C

V.A. Conditionnées





pX|X∈C(x) =

pX(x)

P (X∈C) x ∈ C

0 x /∈ C

H V.A. conditionnée par une V.A.

V.A. Conditionnées





pX|X∈C(x) =

pX(x)

P (X∈C) x ∈ C

0 x /∈ C


pX|Y (x|y) =pXY (x, y)

pY (y), ∀y | pY (y) 6= 0

V.A. Conditionnées





pX|X∈C(x) =

pX(x)

P (X∈C) x ∈ C

0 x /∈ C



pY (y), ∀y | pY (y) 6= 0

Approche séquentielle :

V.A. Conditionnées





pX|X∈C(x) =

pX(x)

P (X∈C) x ∈ C

0 x /∈ C



pY (y), ∀y | pY (y) 6= 0

Approche séquentielle : pXY (x, y)

V.A. Conditionnées





pX|X∈C(x) =

pX(x)

P (X∈C) x ∈ C

0 x /∈ C



pY (y), ∀y | pY (y) 6= 0

Approche séquentielle : pXY (x, y) = pX(x)pY |X(y|x)

V.A. Conditionnées





pX|X∈C(x) =

pX(x)

P (X∈C) x ∈ C

0 x /∈ C



pY (y), ∀y | pY (y) 6= 0

Approche séquentielle : pXY (x, y) = pX(x)pY |X(y|x) = pY (y)pX|Y (x|y)

Espérance conditionnelleH VariablesAléatoiresContinues







H E[X|Y = y] =∫

x pX|Y (x|y) dx








H E[X|Y = y] =∫

x pX|Y (x|y) dx

H E[X] =∫

E[X|Y = y] pY (y) dy (théorème d’espérance totale)








H E[X|Y = y] =∫

x pX|Y (x|y) dx

H E[X] =∫


H E[g(X)|Y = y] =∫

g(x) pX|Y (x|y) dx








H E[X|Y = y] =∫

x pX|Y (x|y) dx

H E[X] =∫


H E[g(X)|Y = y] =∫

g(x) pX|Y (x|y) dx

H E[g(X)] =∫


H E[g(X, Y )|Y = y] =∫

g(x, y) pX|Y (x|y) dx

IndépendanceH VariablesAléatoiresContinues















H pXY (x, y) = pX(x)pY (y) , ∀x, y











P (X ∈ A ∩ Y ∈ B) = P (X ∈ A) · P (Y ∈ B)











P (X ∈ A ∩ Y ∈ B) = P (X ∈ A) · P (Y ∈ B) E[XY ] = E[X] E[Y ]











P (X ∈ A ∩ Y ∈ B) = P (X ∈ A) · P (Y ∈ B) E[XY ] = E[X] E[Y ] ⇒ cov[X, Y ] = 0 : v.a. non corrélées












E[g(X)h(Y )] = E[g(X)] E[h(Y )]












E[g(X)h(Y )] = E[g(X)] E[h(Y )]

var[X + Y ] = var[X] + var[Y ]












E[g(X)h(Y )] = E[g(X)] E[h(Y )]














E[g(X)h(Y )] = E[g(X)] E[h(Y )]



H pX1...Xn(x1, . . . , xn) = pX1(x1) . . . pXn(xn) , ∀x1, . . . , xn












E[g(X)h(Y )] = E[g(X)] E[h(Y )]




E[X1 . . .Xn] = E[X1] . . .E[Xn]












E[g(X)h(Y )] = E[g(X)] E[h(Y )]




E[X1 . . .Xn] = E[X1] . . .E[Xn]

var[X1 + . . . + Xn] = var[X1] + . . . + var[Xn]

Statistique Descriptive


Quelques définitionsH StatistiqueDescriptive

QuelquesdéfinitionsParamètresstatistiques d’unéchantillonExemple: notesTP Élec2006-2007


Quelques définitionsH StatistiqueDescriptive



H Population statistique : ensemble d’individus à étudier

finie infinie

H Individu / unité statistiqueH Caractère / variable statistique

qualitatif quantitatif (discret / continu)

H Échantillon : sous-ensemble de la populationH Fréquences

absolues (effectifs) relatives (proportions)

Paramètres statistiques d’un échantillon


H Mesures de tendance centrale (position)

Moyenne : x = 1n

∑ni=1 xi (mean)




Moyenne : x = 1n

∑ni=1 xi (mean)

Médiane : partage les valeurs en deux parties (median)




Moyenne : x = 1n

∑ni=1 xi (mean)

Médiane : partage les valeurs en deux parties (median) Quantiles : partagent les valeurs en k parties (quantile)




Moyenne : x = 1n

∑ni=1 xi (mean)

Médiane : partage les valeurs en deux parties (median) Quantiles : partagent les valeurs en k parties (quantile) Quartiles (k = 4) : Q1, Q2 (médiane), Q3 (summary)




Moyenne : x = 1n

∑ni=1 xi (mean)

Médiane : partage les valeurs en deux parties (median) Quantiles : partagent les valeurs en k parties (quantile) Quartiles (k = 4) : Q1, Q2 (médiane), Q3 (summary) Mode(s) : la (les) valeur(s) avec la plus grande fréquence




Moyenne : x = 1n

∑ni=1 xi (mean)


H Mesures de dispersion




Moyenne : x = 1n

∑ni=1 xi (mean)



Étendue : x(n) − x(1) (max - min)




Moyenne : x = 1n

∑ni=1 xi (mean)



Étendue : x(n) − x(1) (max - min) Intervalle interquartile (IQR) : Q3 − Q1 (IRQ)




Moyenne : x = 1n

∑ni=1 xi (mean)



Étendue : x(n) − x(1) (max - min) Intervalle interquartile (IQR) : Q3 − Q1 (IRQ) Variance de l’échantillon : (var)

s2 = 1n−1

∑ni=1 (xi − x)2




Moyenne : x = 1n

∑ni=1 xi (mean)




s2 = 1n−1

∑ni=1 (xi − x)2 =

nPn

i=1 (xi)2−(

Pni=1 xi)

2

n(n−1)




Moyenne : x = 1n

∑ni=1 xi (mean)




s2 = 1n−1

∑ni=1 (xi − x)2 =

nPn

i=1 (xi)2−(

Pni=1 xi)

2

n(n−1) (attn. si s/x ≪ 1)




Moyenne : x = 1n

∑ni=1 xi (mean)




s2 = 1n−1

∑ni=1 (xi − x)2 =

nPn

i=1 (xi)2−(

Pni=1 xi)

2


Écart-type de l’échantillon : s (sd)




Moyenne : x = 1n

∑ni=1 xi (mean)




s2 = 1n−1

∑ni=1 (xi − x)2 =

nPn

i=1 (xi)2−(

Pni=1 xi)

2


Écart-type de l’échantillon : s (sd) Écart absolu médian par rapport à la médiane (mad)




Moyenne : x = 1n

∑ni=1 xi (mean)




s2 = 1n−1

∑ni=1 (xi − x)2 =

nPn

i=1 (xi)2−(

Pni=1 xi)

2


Écart-type de l’échantillon : s (sd) Écart absolu médian par rapport à la médiane (mad) Coefficient de variation : s/x

Exemple : notes TP Élec 2006-2007H StatistiqueDescriptive



H Population : étudiants Élec4, 2006-2007H Caractère étudié :

1. option (qualitatif)2. moyenne tp (quantitatif)3. contrôle final (quantitatif)

H Échantillon : 30 étudiants

http://elec.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/statistique_appliquee/ep_unsa_elec3_statistique_appliquee_script_stat_descr_explorer_notes_TP.R

[Extra] « Barplot »


Caractère : option

GSE MI TNS TR

02

46

8

[Extra] « Piechart »


Caractère : option

GSEMI

TNS

TR

[Extra] Histogrammes


Caractère : moyenne tp (classes différentes)Histogram of tp

tp

Fre

quen

cy

0 5 10 15 20

02

46

8

Histogram of tp

tp

Fre

quen

cy0 5 10 15 20

02

46

810

12

[Extra] « Boxplot » (boîte à moustache)


Caractère : moyenne tp0

510

1520

GSE MI TNS TR

05

1015

20

[Extra] « Boxplots »


Caractère : moyenne tp / contrôle final / note finale (50-50)

TP Ctrl Finale

810

1214

16

[Extra] Fréquence relative cumulée / quantiles


Caractère : contrôle final

0 5 10 15 20

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ecdf(ctrl)

x

Fn(

x)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

05

1015

20qs

quan

tile(

ctrl,

qs)

xFX−→ FX(x) = P (X ≤ x) = p p

QX=F−1X−→ QX(p) = x

Statistique Inférentielle : introduction


ObjectifH StatistiqueInférentielle:introduction

Objectif

Échantillonnage:définitionUne expériencealéatoireÉchantillon:ensemble devariables aléatoiresParamètresstatistiques d’unéchantillonCas spécial:caractère qualitatif(les proportions)

Statistiqueinférentielle: feuillede routeDistributionuniformeDistributionnormale(gaussienne)

Propriétés de la loinormaleSomme de deuxv.a. indépendantes

[Théorème limitecentral]


Obtenir, à partir de mesures sur une partie de lapopulation (échantillon), des informations (de caractèreprobabiliste) sur la totalité de celle-ci.


Objectif







Populationproba−→ Échantillon


Objectif







Populationproba−→ Échantillon

Échantillonstat. inf.−→ Population

Échantillonnage : définitionH StatistiqueInférentielle:introduction

Objectif






Choisir au hasard n individus de la population afind’étudier un ou plusieurs caractères.


Objectif







H Deux types d’échantillonnage :


Objectif








1. avec remplacement de l’individu choisi


Objectif








1. avec remplacement de l’individu choisitraitement théorique plus simple


Objectif









2. sans remplacement : échantillonnage exhaustif


Objectif









2. sans remplacement : échantillonnage exhaustifprocédure naturelle ou obligatoire (contrôle destructif)


Objectif










H Population de taille finie + éch. non exhaustif


Objectif










H Population de taille finie + éch. non exhaustif⇒ population de taille infinie


Objectif











H Éch. exhaustif de taille n + Population de taille N ≫ n


Objectif











H Éch. exhaustif de taille n + Population de taille N ≫ n⇒ échantillonnage non exhaustif

Une expérience aléatoire


Choisir au hasard un individu de la population. Obtenir une valeur ducaractère étudié.




H Valeurs possibles du caractère : celles présentes dans la population




H Valeurs possibles du caractère : celles présentes dans la populationH Probabilité associée : fréquence relative des individus possedant cette valeur

dans la population





dans la population

À condition que chaque individu ait la même probabilité d’être choisi !





dans la population


populationéch.−→ individu

caract.−→ valeur





dans la population




Ωéch.−→ ω

caract.−→ x





dans la population




Ωéch.−→ ω

caract.−→ x

H Expérience aléatoire : choisir au hasard un individu de la population





dans la population




Ωéch.−→ ω

caract.−→ x

H Expérience aléatoire : choisir au hasard un individu de la populationH Variable aléatoire X associée : le caractère étudié (quantitatif / qualitatif)





dans la population




Ωéch.−→ ω

caract.−→ x

H Expérience aléatoire : choisir au hasard un individu de la populationH Variable aléatoire X associée : le caractère étudié (quantitatif / qualitatif)H Fonction/densité de probabilité pX(x) : dépend de la population

Échantillon : ensemble de variables aléatoires


H « Population pX(x) » : génère des v.a.



H « Population pX(x) » : génère des v.a.H Observation d’un caractère d’un individu : v.a. X, loi pX(x)




H Échantillonnage de taille n : la même expérience aléatoire répétée n fois !




H Échantillonnage de taille n : la même expérience aléatoire répétée n fois !ensemble de n v.a. Xi (i = 1, . . . , n)





H Échantillonnage aléatoire (non biaisé) :





H Échantillonnage aléatoire (non biaisé) : n v.a. identiques et indépendantes (iid)






pX1(x) = pX2(x) = . . . = pXn(x) = pX(x)






pX1(x) = pX2(x) = . . . = pXn(x) = pX(x)

pX1X2...Xn(x1, x2, . . . , xn) = pX(x1)pX(x2) . . . pX(xn)






pX1(x) = pX2(x) = . . . = pXn(x) = pX(x)


c-à-d : avec remplacement + même probabilité de choisir chaque individu






pX1(x) = pX2(x) = . . . = pXn(x) = pX(x)


c-à-d : avec remplacement + même probabilité de choisir chaque individuH Statistiques : des v.a., fonctions des Xi (i = 1, . . . , n) d’un échantillon






pX1(x) = pX2(x) = . . . = pXn(x) = pX(x)



(théorie d’échantillonnage : quelles valeurs et quelles probabilités ?)






pX1(x) = pX2(x) = . . . = pXn(x) = pX(x)



(théorie d’échantillonnage : quelles valeurs et quelles probabilités ?)H Obtenir un échantillon, de taille n :

ensemble de n valeurs xi (i = 1, . . . , n) −→ Statistique Descriptive !






pX1(x) = pX2(x) = . . . = pXn(x) = pX(x)



(théorie d’échantillonnage : quelles valeurs et quelles probabilités ?)H Obtenir un échantillon, de taille n :

ensemble de n valeurs xi (i = 1, . . . , n) −→ Statistique Descriptive !H Expérience mentale : obtenir une infinité d’échantillons




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi

Médiane : partage les valeurs en deux parties




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi

Médiane : partage les valeurs en deux parties Quantiles : partagent les valeurs en k parties




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi

Médiane : partage les valeurs en deux parties Quantiles : partagent les valeurs en k parties Quartiles (k = 4) : Q1, Q2 (médiane), Q3




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi


Déciles (k = 9) : D1, D2, . . . , D5 (médiane), . . . , D9




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi



H Statistiques d’ordre : X(1), X(2), . . . , X(n) où x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n)




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi








Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi





Étendue : X(n) − X(1)




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi






Intervalle interquartile (IQR) : Q3 − Q1




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi







Variance de l’échantillon :

S2 = 1n−1

∑ni=1

(Xi − X

)2




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi








S2 = 1n−1

∑ni=1

(Xi − X

)2=

nPn

i=1 (Xi)2−(

Pni=1 Xi)

2

n(n−1)




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi








S2 = 1n−1

∑ni=1

(Xi − X

)2=

nPn

i=1 (Xi)2−(

Pni=1 Xi)

2





Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi








S2 = 1n−1

∑ni=1

(Xi − X

)2=

nPn

i=1 (Xi)2−(

Pni=1 Xi)

2


Écart-type de l’échantillon : S




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi








S2 = 1n−1

∑ni=1

(Xi − X

)2=

nPn

i=1 (Xi)2−(

Pni=1 Xi)

2


Écart-type de l’échantillon : S Écart absolu médian par rapport à la médiane




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi








S2 = 1n−1

∑ni=1

(Xi − X

)2=

nPn

i=1 (Xi)2−(

Pni=1 Xi)

2


Écart-type de l’échantillon : S Écart absolu médian par rapport à la médiane Coefficient de variation : S/X

Cas spécial : caractère qualitatif (les proportions)


H Étudier un caractère qualitatif à M modalités (réponses possibles)




Population : M « types » d’individus ; M fréquences relatives πj





Échantillonnage aléatoire d’un individu :v.a.d. X à M valeurs ; probabilités associées πj (j = 1, . . . , M)






H Autre approche (cas par cas) :

Pour chaque modalité du caractère, étudier le nouveau caractère« l’individu présente la modalité j du caractère initial »








Réponses possibles : « oui » / « non »








Réponses possibles : « oui » / « non » Population : 2 « types » d’individus ; fréquences relatives πj , 1 − πj









Échantillonnage aléatoire d’un individu :v.a.d. X à 2 valeurs (1 = « oui », 0 = « non ») ;probabilités associées πj, 1 − πj










X : v.a.d. de Bernoulli, de paramètre πj











Échantillon de taille n :Moyenne X = 1

n

∑ni=1 Xi











Échantillon de taille n :Moyenne X = 1

n

∑ni=1 Xi , P proportion de « oui » dans l’échantillon

Statistique inférentielle : feuille de routeH StatistiqueInférentielle:introduction

Objectif


Statistiqueinférentielle:feuille de routeDistributionuniformeDistributionnormale(gaussienne)




Théorie d’échantillonnage : Population −→ ÉchantillonStatistique inférentielle : Échantillon −→ Population


Objectif







Échantillon Population pX(x)

v.a. valeur paramètre

une population

X m = x µX = E[X]S2 s2 σ2

X = var[X]

P p π

deux populations

X2 − X1 m2 − m1 = x2 − x1 µ2 − µ1

S22/S2

1 (s2/s1)2 (σ2/σ1)

2

P2 − P1 p2 − p1 π2 − π1


Objectif









une population


X = var[X]

P p π

deux populations

X2 − X1 m2 − m1 = x2 − x1 µ2 − µ1

S22/S2

1 (s2/s1)2 (σ2/σ1)

2

P2 − P1 p2 − p1 π2 − π1

H Estimer les paramètres de la population


Objectif









une population


X = var[X]

P p π

deux populations

X2 − X1 m2 − m1 = x2 − x1 µ2 − µ1

S22/S2

1 (s2/s1)2 (σ2/σ1)

2

P2 − P1 p2 − p1 π2 − π1

H Estimer les paramètres de la populationH Calculer des intervalles de confiance


Objectif









une population


X = var[X]

P p π

deux populations

X2 − X1 m2 − m1 = x2 − x1 µ2 − µ1

S22/S2

1 (s2/s1)2 (σ2/σ1)

2

P2 − P1 p2 − p1 π2 − π1

H Estimer les paramètres de la populationH Calculer des intervalles de confianceH Formuler des hypothèses et les tester

Distribution uniformeH StatistiqueInférentielle:introduction

Objectif







Objectif






H

pX(x) =

1

b−a a ≤ x ≤ b

0 ailleurs


Objectif






H

pX(x) =

1

b−a a ≤ x ≤ b

0 ailleurs

H

E[X] =1

2(a + b)


Objectif






H

pX(x) =

1

b−a a ≤ x ≤ b

0 ailleurs

H

E[X] =1

2(a + b)

H

var[X] = σ2X =

1

12(a − b)2


Objectif






H

pX(x) =

1

b−a a ≤ x ≤ b

0 ailleurs

H

E[X] =1

2(a + b)

H

var[X] = σ2X =

1

12(a − b)2

H

FX(x) =

0 x < ax−ab−a a ≤ x ≤ b

1 x > b


Objectif






0 2 4 6 8 10

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

ddp pX(x) = P (x < X ≤ x + dx)/dx

pX

(x)

fdr FX(x) = P (X ≤ x)F

X(x

)

http://elec.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/statistique_appliquee/ep_unsa_elec3_statistique_appliquee_script_echantillonnage_loi_uniforme.R

Distribution normale (gaussienne)H StatistiqueInférentielle:introduction

Objectif







Objectif






H

N(µX , σX) : pX(x) =1√

2πσX

exp

[

−1

2

(x − µX

σX

)2]


Objectif






H

N(µX , σX) : pX(x) =1√

2πσX

exp

[

−1

2

(x − µX

σX

)2]

H

E[X] = µX


Objectif






H

N(µX , σX) : pX(x) =1√

2πσX

exp

[

−1

2

(x − µX

σX

)2]

H

E[X] = µX

H

var[X] = σ2X


Objectif






H

N(µX , σX) : pX(x) =1√

2πσX

exp

[

−1

2

(x − µX

σX

)2]

H

E[X] = µX

H

var[X] = σ2X

H

FX(x) =1√

2πσX

∫ x

−∞exp

[

−1

2

(x′ − µX

σX

)2]

dx′

Distribution normaleH StatistiqueInférentielle:introduction

Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 1

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)

http://elec.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/statistique_appliquee/ep_unsa_elec3_statistique_appliquee_script_echantillonnage_loi_normale.R


Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 1.25

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 1.5

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 1.75

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 2

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 2.25

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 2.5

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 2.75

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 3

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 3.25

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 3.5

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 3.75

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 4

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 4.25

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 4.5

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 4.75

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)



Objectif






−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

sigma = 5

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x


pX

(x)


X(x

)


Distribution normale standard (centrée réduite)


H

X = N(µX , σX) : P (X ≤ x = µX + zσX) = FX(x = µX + zσX)



H


=1√

2πσX

∫ µX+zσX

−∞exp

[

−1

2

(x − µX

σX

)2]

dx



H


=1√

2πσX

∫ µX+zσX

−∞exp

[

−1

2

(x − µX

σX

)2]

dx

=1√2π

∫ z

−∞exp

(

−1

2u2

)

du



H


=1√

2πσX

∫ µX+zσX

−∞exp

[

−1

2

(x − µX

σX

)2]

dx

=1√2π

∫ z

−∞exp

(

−1

2u2

)

du = P (Z ≤ z)



H


=1√

2πσX

∫ µX+zσX

−∞exp

[

−1

2

(x − µX

σX

)2]

dx

=1√2π

∫ z

−∞exp

(

−1

2u2

)

du = P (Z ≤ z) = FZ

(

z =x − µX

σX

)



H


=1√

2πσX

∫ µX+zσX

−∞exp

[

−1

2

(x − µX

σX

)2]

dx

=1√2π

∫ z

−∞exp

(

−1

2u2

)

du = P (Z ≤ z) = FZ

(

z =x − µX

σX

)

, 1−Q(z)



H


=1√

2πσX

∫ µX+zσX

−∞exp

[

−1

2

(x − µX

σX

)2]

dx

=1√2π

∫ z

−∞exp

(

−1

2u2

)

du = P (Z ≤ z) = FZ

(

z =x − µX

σX

)

, 1−Q(z)

H

Z =X − µX

σX: normale standard (centrée réduite) N(0, 1)



H


=1√

2πσX

∫ µX+zσX

−∞exp

[

−1

2

(x − µX

σX

)2]

dx

=1√2π

∫ z

−∞exp

(

−1

2u2

)

du = P (Z ≤ z) = FZ

(

z =x − µX

σX

)

, 1−Q(z)

H

Z =X − µX


H z : exprime l’écart entre x et µX en termes (unité de mesure) de σX



H


=1√

2πσX

∫ µX+zσX

−∞exp

[

−1

2

(x − µX

σX

)2]

dx

=1√2π

∫ z

−∞exp

(

−1

2u2

)

du = P (Z ≤ z) = FZ

(

z =x − µX

σX

)

, 1−Q(z)

H

Z =X − µX


H z : exprime l’écart entre x et µX en termes (unité de mesure) de σXtoujours sans unité !



H v.a. centrée réduite : fonction linéaire d’une autre v.a.




H notion générale (pas seulement pour la normale !)





de X vers Z de Z vers X

v.a. X Z = (X − µX)/σX Z X = µX + ZσX

valeur x z = (x − µX)/σX z x = µX + zσX

esp. µX 0 0 µX

var. σ2X 1 1 σ2

X

ddp pX(x) σXpX(µX + zσX) pZ(z) 1σX

pZ

(x−µX

σX

)

fdr FX(x) = FZ

(x−µX

σX

)

FZ(z) = FX(µX + zσX)





de X vers Z de Z vers X

v.a. X Z = (X − µX)/σX Z X = µX + ZσX

valeur x z = (x − µX)/σX z x = µX + zσX

esp. µX 0 0 µX

var. σ2X 1 1 σ2

X

ddp pX(x) σXpX(µX + zσX) pZ(z) 1σX

pZ

(x−µX

σX

)

fdr FX(x) = FZ

(x−µX

σX

)

FZ(z) = FX(µX + zσX)

H On peut calculer des probabilités aussi bien en X qu’en Z !



−2 0 2 4 6 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

px et pz

valeurs de x ou z

ddp

xα

α

N(µX, σX)

zα

α

N(0, 1)

−2 0 2 4 6 8

0.0

0.4

0.8

Fx et Fz

valeurs de x ou z

fdr

xα

1−

α

N(µX, σX)

zα

N(0, 1)

H X : N(4, 1.5)H Z : N(0, 1)H X = µX + ZσX

http://elec.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/statistique_appliquee/ep_unsa_elec3_statistique_appliquee_script_echantillonnage_loi_normale_standard.R



−2 0 2 4 6 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

px et pz

valeurs de x ou z

ddp

xα

α

N(µX, σX)

zα

α

N(0, 1)

−2 0 2 4 6 8

0.0

0.4

0.8

Fx et Fz

valeurs de x ou z

fdr

xα

1−

α

N(µX, σX)

zα

N(0, 1)

H X : N(4, 1.5)H Z : N(0, 1)H X = µX + ZσX

H « Valeur critique » xα :P (X > xα) = α




−2 0 2 4 6 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

px et pz

valeurs de x ou z

ddp

xα

α

N(µX, σX)

zα

α

N(0, 1)

−2 0 2 4 6 8

0.0

0.4

0.8

Fx et Fz

valeurs de x ou z

fdr

xα

1−

α

N(µX, σX)

zα

N(0, 1)

H X : N(4, 1.5)H Z : N(0, 1)H X = µX + ZσX


H FX(xα) = 1 − α




−2 0 2 4 6 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

px et pz

valeurs de x ou z

ddp

xα

α

N(µX, σX)

zα

α

N(0, 1)

−2 0 2 4 6 8

0.0

0.4

0.8

Fx et Fz

valeurs de x ou z

fdr

xα

1−

α

N(µX, σX)

zα

N(0, 1)

H X : N(4, 1.5)H Z : N(0, 1)H X = µX + ZσX


H FX(xα) = 1 − α

H « Valeur critique » zα :P (Z > zα) = α




−2 0 2 4 6 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

px et pz

valeurs de x ou z

ddp

xα

α

N(µX, σX)

zα

α

N(0, 1)

−2 0 2 4 6 8

0.0

0.4

0.8

Fx et Fz

valeurs de x ou z

fdr

xα

1−

α

N(µX, σX)

zα

N(0, 1)

H X : N(4, 1.5)H Z : N(0, 1)H X = µX + ZσX


H FX(xα) = 1 − α


H FZ(zα) = 1 − α




−2 0 2 4 6 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

px et pz

valeurs de x ou z

ddp

xα

α

N(µX, σX)

zα

α

N(0, 1)

−2 0 2 4 6 8

0.0

0.4

0.8

Fx et Fz

valeurs de x ou z

fdr

xα

1−

α

N(µX, σX)

zα

N(0, 1)

H X : N(4, 1.5)H Z : N(0, 1)H X = µX + ZσX


H FX(xα) = 1 − α


H FZ(zα) = 1 − αH

xα = µX + zασX




−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribution Normale : µ = 0, σ = 1

z

Den

sité

de

prob

abili

té

Propriétés de la loi normale




1. Deux gaussiennes décoréllées sont indépendantes (l’exception !)




H X1, X2 conjointement normales : ddp conjointe pX1X2(x1, x2) :





pX1X2(x1, x2) = 1

2πσ1σ2

√1−ρ2

exp

[

− 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2−

−2ρ (x1−µ1)(x2−µ2)σ1σ2

+ 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2]





pX1X2(x1, x2) = 1

2πσ1σ2

√1−ρ2

exp

[

− 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2−

−2ρ (x1−µ1)(x2−µ2)σ1σ2

+ 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2]

H ddp marginales : X1 = N(µ1, σ1) et X2 = N(µ2, σ2)





pX1X2(x1, x2) = 1

2πσ1σ2

√1−ρ2

exp

[

− 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2−

−2ρ (x1−µ1)(x2−µ2)σ1σ2

+ 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2]

H ddp marginales : X1 = N(µ1, σ1) et X2 = N(µ2, σ2)H coefficient de corrélation linéaire : ρ





pX1X2(x1, x2) = 1

2πσ1σ2

√1−ρ2

exp

[

− 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2−

−2ρ (x1−µ1)(x2−µ2)σ1σ2

+ 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2]

H ddp marginales : X1 = N(µ1, σ1) et X2 = N(µ2, σ2)H coefficient de corrélation linéaire : ρH ρ = 0 =⇒ pX1X2(x1, x2) = pX1(x1)pX2(x2)





pX1X2(x1, x2) = 1

2πσ1σ2

√1−ρ2

exp

[

− 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2−

−2ρ (x1−µ1)(x2−µ2)σ1σ2

+ 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2]


2. La somme de gaussiennes indépendantes est une gaussienne





pX1X2(x1, x2) = 1

2πσ1σ2

√1−ρ2

exp

[

− 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2−

−2ρ (x1−µ1)(x2−µ2)σ1σ2

+ 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2]



H X1, X2, . . . , Xn normales N(µi, σi), indépendantesH X = a1X1 + a2X2 + . . . + anXn =

∑ni=1 aiXi





pX1X2(x1, x2) = 1

2πσ1σ2

√1−ρ2

exp

[

− 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2−

−2ρ (x1−µ1)(x2−µ2)σ1σ2

+ 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2]




∑ni=1 aiXi

H µX = a1µ1 + a2µ2 + . . . + anµn =∑n

i=1 aiµi





pX1X2(x1, x2) = 1

2πσ1σ2

√1−ρ2

exp

[

− 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2−

−2ρ (x1−µ1)(x2−µ2)σ1σ2

+ 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2]




∑ni=1 aiXi

H µX = a1µ1 + a2µ2 + . . . + anµn =∑n

i=1 aiµi

H σ2X

ind= a2

1σ21 + a2

2σ22 + . . . + a2

nσ2n =

∑ni=1 a2

i σ2i





pX1X2(x1, x2) = 1

2πσ1σ2

√1−ρ2

exp

[

− 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2−

−2ρ (x1−µ1)(x2−µ2)σ1σ2

+ 12(1−ρ2)

(x1−µ1

σ1

)2]




∑ni=1 aiXi

H µX = a1µ1 + a2µ2 + . . . + anµn =∑n

i=1 aiµi

H σ2X

ind= a2

1σ21 + a2

2σ22 + . . . + a2

nσ2n =

∑ni=1 a2

i σ2i

H X : N(µX , σX)

Somme de deux v.a. indépendantes


H X1, X2 : v.a. indépendantes (pas nécessairement identiques)H X = X1 + X2 : nouvelle v.a.H Comment trouver pX(x) à partir de pX1(x1) et pX2(x2) ?




1. Cas v.a.d. :pX(x) = P (X = x)




1. Cas v.a.d. :pX(x) = P (X = x) prob. tot.

=∑

x1P (X1 = x1)P (X2 = x − x1|X1 = x1)





=∑

x1P (X1 = x1)P (X2 = x − x1|X1 = x1)

ind=

∑

x1P (X1 = x1)P (X2 = x − x1)





=∑

x1P (X1 = x1)P (X2 = x − x1|X1 = x1)

ind=

∑

x1P (X1 = x1)P (X2 = x − x1)

=∑

x1pX1(x1)pX2(x − x1)





=∑

x1P (X1 = x1)P (X2 = x − x1|X1 = x1)

ind=

∑

x1P (X1 = x1)P (X2 = x − x1)

=∑

x1pX1(x1)pX2(x − x1) = pX1 ⋆ pX2





=∑

x1P (X1 = x1)P (X2 = x − x1|X1 = x1)

ind=

∑

x1P (X1 = x1)P (X2 = x − x1)

=∑

x1pX1(x1)pX2(x − x1) = pX1 ⋆ pX2

2. Cas v.a.c. :pX(x) = sans démonstration

=∫

x′ pX1(x′)pX2(x − x′) dx′





=∑

x1P (X1 = x1)P (X2 = x − x1|X1 = x1)

ind=

∑

x1P (X1 = x1)P (X2 = x − x1)

=∑

x1pX1(x1)pX2(x − x1) = pX1 ⋆ pX2


=∫

x′ pX1(x′)pX2(x − x′) dx′ = pX1 ⋆ pX2





=∑

x1P (X1 = x1)P (X2 = x − x1|X1 = x1)

ind=

∑

x1P (X1 = x1)P (X2 = x − x1)

=∑

x1pX1(x1)pX2(x − x1) = pX1 ⋆ pX2


=∫

x′ pX1(x′)pX2(x − x′) dx′ = pX1 ⋆ pX2

X = X1 + X2ind=⇒ pX = pX1 ⋆ pX2

[Théorème limite central]




H X1, X2, . . . , Xn : série de v.a. indépendantes



H X1, X2, . . . , Xn : série de v.a. indépendantesH pX1(x) = . . . = pXn(x) = pX(x) (même distribution)



H X1, X2, . . . , Xn : série de v.a. indépendantesH pX1(x) = . . . = pXn(x) = pX(x) (même distribution)H E[X1] = . . . = E[Xn] = µX



H X1, X2, . . . , Xn : série de v.a. indépendantesH pX1(x) = . . . = pXn(x) = pX(x) (même distribution)H E[X1] = . . . = E[Xn] = µX , σX1 = . . . = σXn = σX




H

Sn = X1 + X2 + . . . + Xn




H

Sn = X1 + X2 + . . . + Xn , E[Sn] = nµX




H

Sn = X1 + X2 + . . . + Xn , E[Sn] = nµX , σ2Sn

ind= nσ2

X




H


ind= nσ2

X

Zn =Sn − µSn

σSn




H


ind= nσ2

X

Zn =Sn − µSn

σSn

=X1 + X2 + . . . + Xn − nµX√

nσX




H


ind= nσ2

X

Zn =Sn − µSn

σSn

=X1 + X2 + . . . + Xn − nµX√

nσX, E[Zn] = 0




H


ind= nσ2

X

Zn =Sn − µSn

σSn

=X1 + X2 + . . . + Xn − nµX√

nσX, E[Zn] = 0 , σ2

Zn= 1




H


ind= nσ2

X

Zn =Sn − µSn

σSn

=X1 + X2 + . . . + Xn − nµX√

nσX, E[Zn] = 0 , σ2

Zn= 1

H TLC :

limn−→∞

P (Zn ≤ z)




H


ind= nσ2

X

Zn =Sn − µSn

σSn

=X1 + X2 + . . . + Xn − nµX√

nσX, E[Zn] = 0 , σ2

Zn= 1

H TLC :

limn−→∞

P (Zn ≤ z) =1√2π

∫ z

−∞exp

(

−1

2u2

)

du




H


ind= nσ2

X

Zn =Sn − µSn

σSn

=X1 + X2 + . . . + Xn − nµX√

nσX, E[Zn] = 0 , σ2

Zn= 1

H TLC :

limn−→∞

P (Zn ≤ z) =1√2π

∫ z

−∞exp

(

−1

2u2

)

du

H TLC :n → ∞




H


ind= nσ2

X

Zn =Sn − µSn

σSn

=X1 + X2 + . . . + Xn − nµX√

nσX, E[Zn] = 0 , σ2

Zn= 1

H TLC :

limn−→∞

P (Zn ≤ z) =1√2π

∫ z

−∞exp

(

−1

2u2

)

du

H TLC :n → ∞ : Zn → N(0, 1)




H


ind= nσ2

X

Zn =Sn − µSn

σSn

=X1 + X2 + . . . + Xn − nµX√

nσX, E[Zn] = 0 , σ2

Zn= 1

H TLC :

limn−→∞

P (Zn ≤ z) =1√2π

∫ z

−∞exp

(

−1

2u2

)

du

H TLC :n → ∞ : Zn → N(0, 1) , Sn → N(nµX ,

√nσX)




H


ind= nσ2

X

Zn =Sn − µSn

σSn

=X1 + X2 + . . . + Xn − nµX√

nσX, E[Zn] = 0 , σ2

Zn= 1

H TLC :

limn−→∞

P (Zn ≤ z) =1√2π

∫ z

−∞exp

(

−1

2u2

)

du

H TLC :n → ∞ : Zn → N(0, 1) , Sn → N(nµX ,

√nσX) , Sn

n → N(

µX , σX√n

)

Théorie d’échantillonnage – un échantillon


Distribution de la moyenneH Théoried’échantillonnage –un échantillonDistribution dela moyenne

Distribution de lamoyenne; σX

inconnueDistribution deStudentDistribution de lavariance

Distribution du χ2

Distribution de laproportion


H Échantillon aléatoire de taille n ; moyenne X




Distribution du χ2



H Échantillon aléatoire de taille n ; moyenne XH Population normale N(µ, σ)




Distribution du χ2




X : normale (combinaison linéaire de v.a. normales)




Distribution du χ2




X : normale (combinaison linéaire de v.a. normales) µX = µ




Distribution du χ2




X : normale (combinaison linéaire de v.a. normales) µX = µ σX = σ√

n




Distribution du χ2





n(σ connu)




Distribution du χ2





n(σ connu)

H Population non normale (σ connu)




Distribution du χ2





n(σ connu)


n > 30 : X = N(

µ, σ√n

)

(tlc)




Distribution du χ2





n(σ connu)


n > 30 : X = N(

µ, σ√n

)

(tlc)

n < 30 : X = N(

µ, σ√n

)

si pX(x) « presque » normale




Distribution du χ2





n(σ connu)


n > 30 : X = N(

µ, σ√n

)

(tlc)

n < 30 : X = N(

µ, σ√n

)


H Presque toujours : X = N(µ, σ/√

n)




Distribution du χ2





n(σ connu)


n > 30 : X = N(

µ, σ√n

)

(tlc)

n < 30 : X = N(

µ, σ√n

)



n)

Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)




Distribution du χ2





n(σ connu)


n > 30 : X = N(

µ, σ√n

)

(tlc)

n < 30 : X = N(

µ, σ√n

)



n)

Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

P (Z > zα) = α (définition de zα « valeur critique »)




Distribution du χ2





n(σ connu)


n > 30 : X = N(

µ, σ√n

)

(tlc)

n < 30 : X = N(

µ, σ√n

)



n)

Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

P (Z > zα) = α (définition de zα « valeur critique ») P (Z < −zα) = α (symétrie de la normale)

Distribution de la moyenne ; σX inconnueH Théoried’échantillonnage –un échantillonDistribution de lamoyenne

Distribution dela moyenne;σX inconnue

Distribution deStudentDistribution de lavariance

Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n

= (X−µ)/(σ/√

n)√S2/σ2




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n

= (X−µ)/(σ/√

n)√S2/σ2

= Z√V/(n−1)




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n

= (X−µ)/(σ/√

n)√S2/σ2

= Z√V/(n−1)

= Z√V/ν




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n

= (X−µ)/(σ/√

n)√S2/σ2

= Z√V/(n−1)

= Z√V/ν

H V = (n−1)S2

σ2 : loi du χ2 à ν = n − 1 d.l.




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n

= (X−µ)/(σ/√

n)√S2/σ2

= Z√V/(n−1)

= Z√V/ν

H V = (n−1)S2

σ2 : loi du χ2 à ν = n − 1 d.l.

H Condition : population normale




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n

= (X−µ)/(σ/√

n)√S2/σ2

= Z√V/(n−1)

= Z√V/ν

H V = (n−1)S2

σ2 : loi du χ2 à ν = n − 1 d.l.


H Z, V indépendantes




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n

= (X−µ)/(σ/√

n)√S2/σ2

= Z√V/(n−1)

= Z√V/ν

H V = (n−1)S2

σ2 : loi du χ2 à ν = n − 1 d.l.



H T = X−µS/

√n

: loi de Student à ν = n − 1 d.l.




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n

= (X−µ)/(σ/√

n)√S2/σ2

= Z√V/(n−1)

= Z√V/ν

H V = (n−1)S2

σ2 : loi du χ2 à ν = n − 1 d.l.



H T = X−µS/

√n


H E[T ] = 0




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n

= (X−µ)/(σ/√

n)√S2/σ2

= Z√V/(n−1)

= Z√V/ν

H V = (n−1)S2

σ2 : loi du χ2 à ν = n − 1 d.l.



H T = X−µS/

√n


H E[T ] = 0

H σ2T = ν

ν−2 > 1 (non définie pour ν ≤ 2)




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n

= (X−µ)/(σ/√

n)√S2/σ2

= Z√V/(n−1)

= Z√V/ν

H V = (n−1)S2

σ2 : loi du χ2 à ν = n − 1 d.l.



H T = X−µS/

√n


H E[T ] = 0

H σ2T = ν


H P (T > tα) = α (définition de tα, valeur critique)




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n

= (X−µ)/(σ/√

n)√S2/σ2

= Z√V/(n−1)

= Z√V/ν

H V = (n−1)S2

σ2 : loi du χ2 à ν = n − 1 d.l.



H T = X−µS/

√n


H E[T ] = 0

H σ2T = ν



H P (T < −tα) = α (symétrie de la loi t)




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n

= (X−µ)/(σ/√

n)√S2/σ2

= Z√V/(n−1)

= Z√V/ν

H V = (n−1)S2

σ2 : loi du χ2 à ν = n − 1 d.l.



H T = X−µS/

√n


H E[T ] = 0

H σ2T = ν




H n ≥ 30 : s → σ




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n

= (X−µ)/(σ/√

n)√S2/σ2

= Z√V/(n−1)

= Z√V/ν

H V = (n−1)S2

σ2 : loi du χ2 à ν = n − 1 d.l.



H T = X−µS/

√n


H E[T ] = 0

H σ2T = ν




H n ≥ 30 : s → σ donc T → Z




Distribution du χ2



H Z = X−µσ/

√n→ N(0, 1)

H T = X−µS/

√n

= (X−µ)/(σ/√

n)√S2/σ2

= Z√V/(n−1)

= Z√V/ν

H V = (n−1)S2

σ2 : loi du χ2 à ν = n − 1 d.l.



H T = X−µS/

√n


H E[T ] = 0

H σ2T = ν




H n ≥ 30 : s → σ donc T → Z

H “Student” : W.S. Gosset, 1908

Distribution de Student


−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribution de Student

t

Den

sité

de

prob

abili

té

dl = 5

dl = 100

E[T ] = 0 , σ2T = ν


Distribution de la varianceH Théoried’échantillonnage –un échantillonDistribution de lamoyenne


inconnueDistribution deStudentDistribution dela variance

Distribution du χ2



H Échantillon aléatoire de taille n ; variance S2




Distribution du χ2




Condition : population normale N(µ, σ)




Distribution du χ2





X2 =(n − 1)S2

σ2




Distribution du χ2





X2 =(n − 1)S2

σ2= 1

σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2




Distribution du χ2





X2 =(n − 1)S2

σ2= 1

σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2

X2 : v.a. loi du χ2 à ν = n − 1 degrés de liberté (d.l.)




Distribution du χ2





X2 =(n − 1)S2

σ2= 1

σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2


X2 > 0




Distribution du χ2





X2 =(n − 1)S2

σ2= 1

σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2


X2 > 0

E[X2

]= n − 1




Distribution du χ2





X2 =(n − 1)S2

σ2= 1

σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2


X2 > 0

E[X2

]= n − 1 −→ E

[S2

]= σ2




Distribution du χ2





X2 =(n − 1)S2

σ2= 1

σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2


X2 > 0

E[X2

]= n − 1 −→ E

[S2

]= σ2

σ2X2 = 2(n − 1)




Distribution du χ2





X2 =(n − 1)S2

σ2= 1

σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2


X2 > 0

E[X2

]= n − 1 −→ E

[S2

]= σ2

σ2X2 = 2(n − 1) −→ σ2

S2 = 2σ4/(n − 1)




Distribution du χ2





X2 =(n − 1)S2

σ2= 1

σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2


X2 > 0

E[X2

]= n − 1 −→ E

[S2

]= σ2

σ2X2 = 2(n − 1) −→ σ2

S2 = 2σ4/(n − 1)

P (X2 > χ2α(ν)) = α (définition de χ2

α(ν), valeur critique)

Distribution du χ2


0 50 100 150

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

Distribution du Khi−deux

χ2

Den

sité

de

prob

abili

té

dl = 10

dl = 100

E[X2

]= n − 1 , σ2

X2 = 2(n − 1)

Distribution de la proportion


H Population π : proportion d’individus possédant un caractère qualitatif



H Population π : proportion d’individus possédant un caractère qualitatif (π 6= 3.14 !)




H Échantillon aléatoire de taille n




H Échantillon aléatoire de taille n n v.a. Xi




H Échantillon aléatoire de taille n n v.a. Xi ; xi ∈ 0, 1




H Échantillon aléatoire de taille n n v.a. Xi ; xi ∈ 0, 1 : Bernoulli indépendantes, de paramètre π





∑ni=1 Xi : nombre d’individus possédant le caractère (fréquence)






P = 1n

∑ni=1 Xi : proportion d’individus (fréquence relative)






P = 1n


H Conditions :






P = 1n


H Conditions : n > 30 (grand échantillon : théorème limite central)






P = 1n


H Conditions : n > 30 (grand échantillon : théorème limite central) np ≥ 5 (fréquence de présence du caractère)






P = 1n


H Conditions : n > 30 (grand échantillon : théorème limite central) np ≥ 5 (fréquence de présence du caractère) n(1 − p) = n − np ≥ 5 (fréquence d’absence du caractère)






P = 1n


H Conditions : n > 30 (grand échantillon : théorème limite central) np ≥ 5 (fréquence de présence du caractère) n(1 − p) = n − np ≥ 5 (fréquence d’absence du caractère) ni p ≈ 0, ni p ≈ 1






P = 1n



H Distribution :






P = 1n



H Distribution : µP = (nµX)/n






P = 1n



H Distribution : µP = (nµX)/n = µX = π






P = 1n



H Distribution : µP = (nµX)/n = µX = π , σ2

P

ind= (nσ2

X)/n2






P = 1n




P

ind= (nσ2

X)/n2 = π(1 − π)/n






P = 1n




P

ind= (nσ2

X)/n2 = π(1 − π)/n

P : normale N

(

π,

√π(1−π)

n

)






P = 1n




P

ind= (nσ2

X)/n2 = π(1 − π)/n

P : normale N

(

π,

√π(1−π)

n

)

→ Z : normale N(0, 1)

Théorie d’échantillonnage – deux échantillons


Distribution de la différence des moyennesH Théoried’échantillonnage –deux échantillonsDistribution dela différence desmoyennes

Distribution durapport desvariancesDistribution deFisher


H Conditions : σ1, σ2 connus et

populations normales N(µ1, σ1), N(µ2, σ2) ou

n1 > 30 et n2 > 30, ou

populations « presque » normales






n1 > 30 et n2 > 30, ou


H Échantillons aléatoires et indépendants de tailles n1, n2 ;

moyennes X1, X2






n1 > 30 et n2 > 30, ou



moyennes X1, X2

X1 − X2 : normale






n1 > 30 et n2 > 30, ou



moyennes X1, X2

X1 − X2 : normale

µX1−X2= µX1

− µX2






n1 > 30 et n2 > 30, ou



moyennes X1, X2

X1 − X2 : normale

µX1−X2= µX1

− µX2= µ1 − µ2






n1 > 30 et n2 > 30, ou



moyennes X1, X2

X1 − X2 : normale

µX1−X2= µX1

− µX2= µ1 − µ2

σ2X1−X2






n1 > 30 et n2 > 30, ou



moyennes X1, X2

X1 − X2 : normale

µX1−X2= µX1

− µX2= µ1 − µ2

σ2X1−X2

ind= σ2

X1+ σ2

X2






n1 > 30 et n2 > 30, ou



moyennes X1, X2

X1 − X2 : normale

µX1−X2= µX1

− µX2= µ1 − µ2

σ2X1−X2

ind= σ2

X1+ σ2

X2=

σ21

n1+

σ22

n2






n1 > 30 et n2 > 30, ou



moyennes X1, X2

X1 − X2 : normale

µX1−X2= µX1

− µX2= µ1 − µ2

σ2X1−X2

ind= σ2

X1+ σ2

X2=

σ21

n1+

σ22

n2

H D’autres cas à examiner ultérieurement. . .

Distribution du rapport des variancesH Théoried’échantillonnage –deux échantillonsDistribution de ladifférence desmoyennes



H Échantillons aléatoires et indépendants de tailles n1, n2





H Provenant de populations normales de variances σ21, σ2

2






2

H Variances des échantillons : S21 , S2

2






2


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2






2


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2

= V1/ν1

V2/ν2






2


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2

= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i

: v.a. indépendantes, loi du χ2 à νi = ni − 1 d.l.






2


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2

= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i


H F : loi de Fisher (1924) - Snedecor (1934) avec ν1 et ν2 d.l.






2


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2

= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i



H F ≥ 0






2


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2

= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i



H F ≥ 0

H E[F ] = ν2ν2−2 (ν2 > 2)






2


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2

= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i



H F ≥ 0

H E[F ] = ν2ν2−2 (ν2 > 2)

H σ2F =

ν22 (2ν1+2ν2−4)

ν1(ν2−2)2(ν2−4)(ν2 > 4)






2


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2

= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i



H F ≥ 0

H E[F ] = ν2ν2−2 (ν2 > 2)

H σ2F =

ν22 (2ν1+2ν2−4)

ν1(ν2−2)2(ν2−4)(ν2 > 4)

H P (F > fα(ν1, ν2)) = α (définition de fα(ν1, ν2), v.c.)






2


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2

= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i



H F ≥ 0

H E[F ] = ν2ν2−2 (ν2 > 2)

H σ2F =

ν22 (2ν1+2ν2−4)

ν1(ν2−2)2(ν2−4)(ν2 > 4)

H P (F > fα(ν1, ν2)) = α (définition de fα(ν1, ν2), v.c.)

H fα(ν1, ν2) =1

f1−α(ν2, ν1)(propriété de la loi F )

Distribution de Fisher


0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

Distribution de Fischer

f

Den

sité

de

prob

abili

té dl1 = 5 , dl2 = 20

dl1 = 20 , dl2 = 5

fα(ν1, ν2) = 1/f1−α(ν2, ν1)

Estimation – intervalles de confiance


Définitions


H Estimation ponctuelle

Paramètre à estimer : θ

Définitions



Paramètre à estimer : θ Estimateur : v.a. Θ

Définitions



Paramètre à estimer : θ Estimateur : v.a. Θ Estimateur non biaisé : E[Θ] = θ

Définitions



Paramètre à estimer : θ Estimateur : v.a. Θ Estimateur non biaisé : E[Θ] = θ Biais = E[Θ] − θ

Définitions



Paramètre à estimer : θ Estimateur : v.a. Θ Estimateur non biaisé : E[Θ] = θ Biais = E[Θ] − θ Estimateur efficace : sans biais ; de faible variance

Définitions



Paramètre à estimer : θ Estimateur : v.a. Θ Estimateur non biaisé : E[Θ] = θ Biais = E[Θ] − θ Estimateur efficace : sans biais ; de faible variance Estimateur efficace : minimiser l’erreur quadratique moyenne

E[

(Θ − θ)2]

= σ2Θ

+ (biais)2

Définitions




E[

(Θ − θ)2]

= σ2Θ

+ (biais)2

Estimateur convergent : n → ∞ : E[Θ] = θ et var[Θ] = 0

Définitions




E[

(Θ − θ)2]

= σ2Θ

+ (biais)2


H Estimation par intervalle de confiance

Définitions




E[

(Θ − θ)2]

= σ2Θ

+ (biais)2



v.a. ΘL, ΘH : estimateurs ponctuels

Définitions




E[

(Θ − θ)2]

= σ2Θ

+ (biais)2



v.a. ΘL, ΘH : estimateurs ponctuels P (ΘL < θ < ΘH) = 1 − α

Définitions




E[

(Θ − θ)2]

= σ2Θ

+ (biais)2




θL < θ < θH : intervalle de confiance

Définitions




E[

(Θ − θ)2]

= σ2Θ

+ (biais)2




θL < θ < θH : intervalle de confiance 1 − α : niveau de confiance

Estimation de la moyenne (1/3)


H Variance σ2 connue



H Variance σ2 connueH X : normale N(µ, σ/

√n)




√n)

H Z = (X − µ)/(σ/√

n) : normale N(0, 1)




√n)

H Z = (X − µ)/(σ/√


H X estimateur non biaisé et convergent de µ




√n)

H Z = (X − µ)/(σ/√



H P (Z > zα/2) = α/2 (définition de zα/2)




√n)

H Z = (X − µ)/(σ/√



H P (Z > zα/2) = α/2 (définition de zα/2)H P (Z < −zα/2) = α/2 (symétrie de la normale)




√n)

H Z = (X − µ)/(σ/√



H P (Z > zα/2) = α/2 (définition de zα/2)H P (Z < −zα/2) = α/2 (symétrie de la normale)H P (−zα/2 < Z < zα/2) = 1 − α




√n)

H Z = (X − µ)/(σ/√




H P (−zα/2 < X−µσ/

√n

< zα/2) = 1 − α




√n)

H Z = (X − µ)/(σ/√




H P (−zα/2 < X−µσ/

√n

< zα/2) = 1 − α

H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α




√n)

H Z = (X − µ)/(σ/√




H P (−zα/2 < X−µσ/

√n

< zα/2) = 1 − α

H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α

H P (X − zα/2σ√n

< µ < X + zα/2σ√n) = 1 − α




√n)

H Z = (X − µ)/(σ/√




H P (−zα/2 < X−µσ/

√n

< zα/2) = 1 − α

H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α


< µ < X + zα/2σ√n) = 1 − α

H ΘL = X − zα/2σX , ΘH = X + zα/2σX




√n)

H Z = (X − µ)/(σ/√




H P (−zα/2 < X−µσ/

√n

< zα/2) = 1 − α

H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α


< µ < X + zα/2σ√n) = 1 − α


H 1 − α = 0.95, zα/2 =qnorm(0.025,mean=0,sd=1,lower.tail=FALSE)= 1.96




√n)

H Z = (X − µ)/(σ/√




H P (−zα/2 < X−µσ/

√n

< zα/2) = 1 − α

H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α


< µ < X + zα/2σ√n) = 1 − α




Estimation de la moyenne (2/3) : taille de l’échantillon


H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α



H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α

H P (|X − µ| < zα/2σ√n) = 1 − α



H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α

H P (|X − µ| < zα/2σ√n) = 1 − α

H e = |X − µ| : erreur



H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α

H P (|X − µ| < zα/2σ√n) = 1 − α


H emax = zα/2σ√n

: marge d’erreur à 1 − α



H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α

H P (|X − µ| < zα/2σ√n) = 1 − α




H nmin =(

zα/2σ

emax

)2: taille d’échantillon minimale



H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α

H P (|X − µ| < zα/2σ√n) = 1 − α




H nmin =(

zα/2σ

emax


H X − emax < µ < X + emax à 1 − α



H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α

H P (|X − µ| < zα/2σ√n) = 1 − α




H nmin =(

zα/2σ

emax



H Cas particulier : échantillonnage d’une population finie, sans remplacement



H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α

H P (|X − µ| < zα/2σ√n) = 1 − α




H nmin =(

zα/2σ

emax




Population de taille N



H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α

H P (|X − µ| < zα/2σ√n) = 1 − α




H nmin =(

zα/2σ

emax





σX = σ√n

√N−nN−1



H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α

H P (|X − µ| < zα/2σ√n) = 1 − α




H nmin =(

zα/2σ

emax





σX = σ√n

√N−nN−1

N≫1≈ σ√n

√N−n

N



H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α

H P (|X − µ| < zα/2σ√n) = 1 − α




H nmin =(

zα/2σ

emax





σX = σ√n

√N−nN−1

N≫1≈ σ√n

√N−n

N = σ√n

√1 − n

N



H P (−zα/2σ√n

< X − µ < zα/2σ√n) = 1 − α

H P (|X − µ| < zα/2σ√n) = 1 − α




H nmin =(

zα/2σ

emax





σX = σ√n

√N−nN−1

N≫1≈ σ√n

√N−n

N = σ√n

√1 − n

N

nmin =Nz2

α/2σ2

Ne2max+z2

α/2σ2 : taille d’échantillon minimale



H Variance σ2 inconnue



H Variance σ2 inconnueH Population normale



H Variance σ2 inconnueH Population normaleH T = (X − µ)/(S/

√n) : Student à n − 1 d.l.





H P (T > tα/2) = α/2 (définition de tα/2)





H P (T > tα/2) = α/2 (définition de tα/2)H P (T < −tα/2) = α/2 (symétrie de la loi t)





H P (T > tα/2) = α/2 (définition de tα/2)H P (T < −tα/2) = α/2 (symétrie de la loi t)H P (−tα/2 < T < tα/2) = 1 − α






H P (−tα/2 < X−µS/

√n

< tα/2) = 1 − α






H P (−tα/2 < X−µS/

√n

< tα/2) = 1 − α

H P (−tα/2S√n

< X − µ < tα/2S√n) = 1 − α






H P (−tα/2 < X−µS/

√n

< tα/2) = 1 − α

H P (−tα/2S√n

< X − µ < tα/2S√n) = 1 − α

H P (X − tα/2S√n

< µ < X + tα/2S√n) = 1 − α






H P (−tα/2 < X−µS/

√n

< tα/2) = 1 − α

H P (−tα/2S√n

< X − µ < tα/2S√n) = 1 − α


< µ < X + tα/2S√n) = 1 − α

H ΘL = X − tα/2S√n

, ΘH = X + tα/2S√n






H P (−tα/2 < X−µS/

√n

< tα/2) = 1 − α

H P (−tα/2S√n

< X − µ < tα/2S√n) = 1 − α


< µ < X + tα/2S√n) = 1 − α


, ΘH = X + tα/2S√n

H 1 − α = 0.95, tα/2 =qt(0.025,df=29,lower.tail=FALSE)= 2.05






H P (−tα/2 < X−µS/

√n

< tα/2) = 1 − α

H P (−tα/2S√n

< X − µ < tα/2S√n) = 1 − α


< µ < X + tα/2S√n) = 1 − α


, ΘH = X + tα/2S√n








H P (−tα/2 < X−µS/

√n

< tα/2) = 1 − α

H P (−tα/2S√n

< X − µ < tα/2S√n) = 1 − α


< µ < X + tα/2S√n) = 1 − α


, ΘH = X + tα/2S√n



H Rappel : n ≥ 30 , T → Z






H P (−tα/2 < X−µS/

√n

< tα/2) = 1 − α

H P (−tα/2S√n

< X − µ < tα/2S√n) = 1 − α


< µ < X + tα/2S√n) = 1 − α


, ΘH = X + tα/2S√n



H Rappel : n ≥ 30 , T → Z

H T : petits échantillons !

Estimation de la variance (un échantillon)


H Condition : population normale N(µ, σ)




H X2 = (n−1)S2

σ2




H X2 = (n−1)S2

σ2 = 1σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2




H X2 = (n−1)S2

σ2 = 1σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2

H X2 : v.a. loi du χ2 à ν = n − 1 degrés de liberté (d.l.)




H X2 = (n−1)S2

σ2 = 1σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2


H P (χ21−α/2 < X2 < χ2

α/2) = 1 − α




H X2 = (n−1)S2

σ2 = 1σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2


H P (χ21−α/2 < X2 < χ2

α/2) = 1 − α

H P(

χ21−α/2 < (n−1)S2

σ2 < χ2α/2

)

= 1 − α




H X2 = (n−1)S2

σ2 = 1σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2


H P (χ21−α/2 < X2 < χ2

α/2) = 1 − α

H P(

χ21−α/2 < (n−1)S2

σ2 < χ2α/2

)

= 1 − α

H P

(

(n−1)S2

χ2α/2

< σ2 < (n−1)S2

χ21−α/2

)

= 1 − α




H X2 = (n−1)S2

σ2 = 1σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2


H P (χ21−α/2 < X2 < χ2

α/2) = 1 − α

H P(

χ21−α/2 < (n−1)S2

σ2 < χ2α/2

)

= 1 − α

H P

(

(n−1)S2

χ2α/2

< σ2 < (n−1)S2

χ21−α/2

)

= 1 − α

H P

(√(n−1)S2

χ2α/2

< σ <

√(n−1)S2

χ21−α/2

)

= 1 − α




H X2 = (n−1)S2

σ2 = 1σ2

∑ni=1

(Xi − X

)2


H P (χ21−α/2 < X2 < χ2

α/2) = 1 − α

H P(

χ21−α/2 < (n−1)S2

σ2 < χ2α/2

)

= 1 − α

H P

(

(n−1)S2

χ2α/2

< σ2 < (n−1)S2

χ21−α/2

)

= 1 − α

H P

(√(n−1)S2

χ2α/2

< σ <

√(n−1)S2

χ21−α/2

)

= 1 − α

H Intervalle de confiance :√

(n−1)s2

χ2α/2

< σ <

√(n−1)s2

χ21−α/2

à un niveau de confiance de (1 − α)100%

Proportion = moyenne


H Caractère quantitatif (rappel)




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi

n > 30, σ connu




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi

n > 30, σ connu X = N

(

µ, σ√n

)




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi


(

µ, σ√n

)

H Caractère qualitatif




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi


(

µ, σ√n

)


Proportion : P = 1n

∑ni=1 Xi




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi


(

µ, σ√n

)


Proportion : P = 1n

∑ni=1 Xi

n > 30, np ≥ 5, n(1 − p) ≥ 5, ni p ≈ 0, ni p ≈ 1




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi


(

µ, σ√n

)


Proportion : P = 1n

∑ni=1 Xi

n > 30, np ≥ 5, n(1 − p) ≥ 5, ni p ≈ 0, ni p ≈ 1

P = N

(

π,

√π(1−π)

n

)




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi


(

µ, σ√n

)


Proportion : P = 1n

∑ni=1 Xi

n > 30, np ≥ 5, n(1 − p) ≥ 5, ni p ≈ 0, ni p ≈ 1

P = N

(

π,

√π(1−π)

n

)

H Les proportions (fréquences relatives) sont des moyennes !




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi


(

µ, σ√n

)


Proportion : P = 1n

∑ni=1 Xi

n > 30, np ≥ 5, n(1 − p) ≥ 5, ni p ≈ 0, ni p ≈ 1

P = N

(

π,

√π(1−π)

n

)

H Les proportions (fréquences relatives) sont des moyennes !H X −→ P : remplacer




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi


(

µ, σ√n

)


Proportion : P = 1n

∑ni=1 Xi

n > 30, np ≥ 5, n(1 − p) ≥ 5, ni p ≈ 0, ni p ≈ 1

P = N

(

π,

√π(1−π)

n

)


µ −→ π




Moyenne : X = 1n

∑ni=1 Xi


(

µ, σ√n

)


Proportion : P = 1n

∑ni=1 Xi

n > 30, np ≥ 5, n(1 − p) ≥ 5, ni p ≈ 0, ni p ≈ 1

P = N

(

π,

√π(1−π)

n

)


µ −→ π σ −→

√

π(1 − π)

Estimation de la proportion






P (X − zα/2σ√n

< µ < X + zα/2σ√n) = 1 − α





< µ < X + zα/2σ√n) = 1 − α

Intervalle de confiance à un niveau de confiance de (1 − α)100% :x − zα/2

σ√n

< µ < x + zα/2σ√n





< µ < X + zα/2σ√n) = 1 − α


σ√n

< µ < x + zα/2σ√n

nmin =(

zα/2σ

emax






< µ < X + zα/2σ√n) = 1 − α


σ√n

< µ < x + zα/2σ√n

nmin =(

zα/2σ

emax



P

(

P − zα/2

√π(1−π)

n < π < P + zα/2

√π(1−π)

n

)

= 1 − α





< µ < X + zα/2σ√n) = 1 − α


σ√n

< µ < x + zα/2σ√n

nmin =(

zα/2σ

emax



P

(

P − zα/2

√π(1−π)

n < π < P + zα/2

√π(1−π)

n

)

= 1 − α

Intervalle de confiance à un niveau de confiance de (1 − α)100% :

p − zα/2

√p(1−p)

n < π < p + zα/2

√p(1−p)

n





< µ < X + zα/2σ√n) = 1 − α


σ√n

< µ < x + zα/2σ√n

nmin =(

zα/2σ

emax



P

(

P − zα/2

√π(1−π)

n < π < P + zα/2

√π(1−π)

n

)

= 1 − α


p − zα/2

√p(1−p)

n < π < p + zα/2

√p(1−p)

n

nmin =(

zα/2

emax

)2p(1 − p) : taille d’échantillon minimale





< µ < X + zα/2σ√n) = 1 − α


σ√n

< µ < x + zα/2σ√n

nmin =(

zα/2σ

emax



P

(

P − zα/2

√π(1−π)

n < π < P + zα/2

√π(1−π)

n

)

= 1 − α


p − zα/2

√p(1−p)

n < π < p + zα/2

√p(1−p)

n

nmin =(

zα/2

emax


estimer p (1er échantillonage, n ≥ 30)





< µ < X + zα/2σ√n) = 1 − α


σ√n

< µ < x + zα/2σ√n

nmin =(

zα/2σ

emax



P

(

P − zα/2

√π(1−π)

n < π < P + zα/2

√π(1−π)

n

)

= 1 − α


p − zα/2

√p(1−p)

n < π < p + zα/2

√p(1−p)

n

nmin =(

zα/2

emax


estimer p (1er échantillonage, n ≥ 30) ou prendre p = 0.5 (pire scénario)

Estimation du rapport des variances (deux échantillons)






H Provenant de populations normales de variances σ21, σ

22





22


2





22


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2





22


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2= V1/ν1

V2/ν2





22


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i






22


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i


H F : loi de Fisher - Snedecor avec ν1 et ν2 d.l.





22


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i



H P (f1−α/2(ν1, ν2) < F < fα/2(ν1, ν2)) = 1 − α





22


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i



H P (f1−α/2(ν1, ν2) < F < fα/2(ν1, ν2)) = 1 − α

H P(

f1−α/2(ν1, ν2) <σ22S2

1

σ21S2

2< fα/2(ν1, ν2)

)

= 1 − α





22


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i



H P (f1−α/2(ν1, ν2) < F < fα/2(ν1, ν2)) = 1 − α

H P(

f1−α/2(ν1, ν2) <σ22S2

1

σ21S2

2< fα/2(ν1, ν2)

)

= 1 − α

H P(

S21

S22

1fα/2(ν1,ν2) <

σ21

σ22

<S2

1

S22

1f1−α/2(ν1,ν2)

)

= 1 − α





22


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i



H P (f1−α/2(ν1, ν2) < F < fα/2(ν1, ν2)) = 1 − α

H P(

f1−α/2(ν1, ν2) <σ22S2

1

σ21S2

2< fα/2(ν1, ν2)

)

= 1 − α

H P(

S21

S22

1fα/2(ν1,ν2) <

σ21

σ22

<S2

1

S22

1f1−α/2(ν1,ν2)

)

= 1 − α

H P(

S21

S22

1fα/2(ν1,ν2) <

σ21

σ22

<S2

1

S22fα/2(ν2, ν1)

)

= 1 − α

Tests d’hypothèse


Définitions


H Hypothèse : énoncé concernant les caractéristiques d’une population

Définitions



H Hypothèse nulle : fixer un paramètre θ à une valeur particulière θ0

Définitions




H0 : θ = θ0

Définitions




H0 : θ = θ0

H Hypothèse alternative (trois choix possibles)

Définitions




H0 : θ = θ0


H1 : θ 6= θ0 (test bilatéral)

H1 : θ < θ0 (test unilatéral)

H1 : θ > θ0 (test unilatéral)

Définitions




H0 : θ = θ0





H Test : procédure suivie afin d’accepter/rejeter H0

Définitions




H0 : θ = θ0






H Rejet > Acceptation (non-rejet)

Définitions




H0 : θ = θ0






H Rejet > Acceptation (non-rejet)

H En pratique : formuler H0 comme l’opposé de ce qu’on veut démontrer !

Types et probabilités d’erreur




H

Types d’erreur

décision \ état du monde H0 vraie H1 vraie

non-rejet de H0 OK Type II

rejet de H0 Type I OK



H

Types d’erreur



rejet de H0 Type I OKH P (Type I)



H

Types d’erreur



rejet de H0 Type I OKH P (Type I) = P (rejet de H0|H0 vraie)



H

Types d’erreur



rejet de H0 Type I OKH P (Type I) = P (rejet de H0|H0 vraie) = α



H

Types d’erreur




H P (Type II)



H

Types d’erreur




H P (Type II) = P (non-rejet de H0|H1 vraie)



H

Types d’erreur




H P (Type II) = P (non-rejet de H0|H1 vraie) = β



H

Types d’erreur





H

Probabilités d’erreur


non-rejet de H0 1 − α β

rejet de H0 α 1 − β



H

Types d’erreur





H





H α : seuil de signification



H

Types d’erreur





H





H α : seuil de signification (calculé dans l’univers de H0



H

Types d’erreur





H





H α : seuil de signification (calculé dans l’univers de H0, ok)



H

Types d’erreur





H





H α : seuil de signification (calculé dans l’univers de H0, ok)H 1 − β : puissance du test



H

Types d’erreur





H





H α : seuil de signification (calculé dans l’univers de H0, ok)H 1 − β : puissance du test (calculée dans l’univers de H1



H

Types d’erreur





H





H α : seuil de signification (calculé dans l’univers de H0, ok)H 1 − β : puissance du test (calculée dans l’univers de H1, ? ? ?)



H

Types d’erreur





H






Préciser H1



H

Types d’erreur





H






Préciser H1, ensuite calculer une valeur de β liée à cette H1

Tests : la procédure à suivre


Tests : la procédure à suivre


1. Formuler les hypothèses H0 et H1

2. Choisir le seuil de signification α (typiquement 1% ou 5%)

3. Déterminer la statistique utilisée ainsi que sa distribution

4. Définir la région critique (région de rejet de H0)

5. Adopter une règle de décision (à partir des valeurs critiques)

6. Prélever un échantillon et faire les calculs

7. Décider

Test sur une moyenne (1/3)




1. H0 : µ = µ0, H1 : µ 6= µ0 (test bilatéral)



1. H0 : µ = µ0, H1 : µ 6= µ0 (test bilatéral)2. α à définir



1. H0 : µ = µ0, H1 : µ 6= µ0 (test bilatéral)2. α à définir3. Statistique à utiliser : X



1. H0 : µ = µ0, H1 : µ 6= µ0 (test bilatéral)2. α à définir3. Statistique à utiliser : X ; distribution :




Z = (X − µ)/(σ/√

n) si on connaît σ ou n grand (cas présenté dans la suite)




Z = (X − µ)/(σ/√

n) si on connaît σ ou n grand (cas présenté dans la suite)T = (X − µ)/(S/

√n) si on ne connaît pas σ et n petit (population normale)




Z = (X − µ)/(σ/√



4. P (non-rejet de H0|H0 vraie) = 1 − α




Z = (X − µ)/(σ/√



4. P (non-rejet de H0|H0 vraie) = 1 − αP (non-rejet de H0|µ = µ0) = 1 − α




Z = (X − µ)/(σ/√



4. P (non-rejet de H0|H0 vraie) = 1 − αP (non-rejet de H0|µ = µ0) = 1 − αP (z1−α/2 < Z < zα/2|µ = µ0) = 1 − α




Z = (X − µ)/(σ/√



4. P (non-rejet de H0|H0 vraie) = 1 − αP (non-rejet de H0|µ = µ0) = 1 − αP (z1−α/2 < Z < zα/2|µ = µ0) = 1 − αP (−zα/2 < Z < zα/2|µ = µ0) = 1 − α




Z = (X − µ)/(σ/√




√n) < zα/2|µ = µ0) = 1 − α

P (−zα/2 < (X − µ0)/(σ/√

n) < zα/2) = 1 − α




Z = (X − µ)/(σ/√




√n) < zα/2|µ = µ0) = 1 − α

P (−zα/2 < (X − µ0)/(σ/√

n) < zα/2) = 1 − αrégion critique




Z = (X − µ)/(σ/√




√n) < zα/2|µ = µ0) = 1 − α

P (−zα/2 < (X − µ0)/(σ/√

n) < zα/2) = 1 − αrégion critique : Z = (X − µ0)/(σ/

√n) < −zα/2 et

Z = (X − µ0)/(σ/√

n) > zα/2




Z = (X − µ)/(σ/√




√n) < zα/2|µ = µ0) = 1 − α

P (−zα/2 < (X − µ0)/(σ/√

n) < zα/2) = 1 − αrégion critique : Z = (X − µ0)/(σ/

√n) < −zα/2 et

Z = (X − µ0)/(σ/√

n) > zα/2

5. Règle de décision :rejeter H0 si x < xc1 = µ0 − zα/2

σ√n

ou x > xc2 = µ0 + zα/2σ√n



1. H0 : µ = µ0, H1 : µ > µ0 (test unilatéral)



1. H0 : µ = µ0, H1 : µ > µ0 (test unilatéral)2. α à définir



1. H0 : µ = µ0, H1 : µ > µ0 (test unilatéral)2. α à définir3. Statistique à utiliser : X



1. H0 : µ = µ0, H1 : µ > µ0 (test unilatéral)2. α à définir3. Statistique à utiliser : X ; distribution :




Z = (X − µ)/(σ/√

n) si on connaît σ ou n grand (cas présenté dans la suite)




Z = (X − µ)/(σ/√






Z = (X − µ)/(σ/√



4. P (non-rejet de H0|H0 vraie) = 1 − α




Z = (X − µ)/(σ/√



4. P (non-rejet de H0|H0 vraie) = 1 − αP (non-rejet de H0|µ = µ0) = 1 − α




Z = (X − µ)/(σ/√



4. P (non-rejet de H0|H0 vraie) = 1 − αP (non-rejet de H0|µ = µ0) = 1 − αP (Z < zα|µ = µ0) = 1 − α




Z = (X − µ)/(σ/√



4. P (non-rejet de H0|H0 vraie) = 1 − αP (non-rejet de H0|µ = µ0) = 1 − αP (Z < zα|µ = µ0) = 1 − αP ((X − µ)/(σ/

√n) < zα|µ = µ0) = 1 − α




Z = (X − µ)/(σ/√




√n) < zα|µ = µ0) = 1 − α

P ((X − µ0)/(σ/√

n) < zα) = 1 − α




Z = (X − µ)/(σ/√




√n) < zα|µ = µ0) = 1 − α

P ((X − µ0)/(σ/√

n) < zα) = 1 − αrégion critique




Z = (X − µ)/(σ/√




√n) < zα|µ = µ0) = 1 − α

P ((X − µ0)/(σ/√

n) < zα) = 1 − αrégion critique : Z = (X − µ0)/(σ/

√n) > zα




Z = (X − µ)/(σ/√




√n) < zα|µ = µ0) = 1 − α

P ((X − µ0)/(σ/√

n) < zα) = 1 − αrégion critique : Z = (X − µ0)/(σ/

√n) > zα

5. Règle de décision :rejeter H0 si x > xc = µ0 + zα

σ√n

Test sur une moyenne (3/3) : taille de l’échantillon


H H0 : µ = µ0, H1 : µ > µ0 (test unilatéral)



H H0 : µ = µ0, H1 : µ > µ0 (test unilatéral)H α = P (rejet de H0|H0 vraie)



H H0 : µ = µ0, H1 : µ > µ0 (test unilatéral)H α = P (rejet de H0|H0 vraie)= P (rejet de H0|µ = µ0)



H H0 : µ = µ0, H1 : µ > µ0 (test unilatéral)H α = P (rejet de H0|H0 vraie)= P (rejet de H0|µ = µ0)= P (Z > zα|µ = µ0)




= P ((X − µ)/(σ/√

n) > zα|µ = µ0)




= P ((X − µ)/(σ/√

n) > zα|µ = µ0)= P ((X − µ0)/(σ/

√n) > zα)




= P ((X − µ)/(σ/√

n) > zα|µ = µ0)= P ((X − µ0)/(σ/

√n) > zα)

H Règle de décision : rejeter H0 si x > xc = µ0 + zασ√n




= P ((X − µ)/(σ/√

n) > zα|µ = µ0)= P ((X − µ0)/(σ/

√n) > zα)


H β = P (rejet de H1|H1 vraie)




= P ((X − µ)/(σ/√

n) > zα|µ = µ0)= P ((X − µ0)/(σ/

√n) > zα)


H β = P (rejet de H1|H1 vraie)= P (non-rejet de H0|H1 vraie)




= P ((X − µ)/(σ/√

n) > zα|µ = µ0)= P ((X − µ0)/(σ/

√n) > zα)


H β = P (rejet de H1|H1 vraie)= P (non-rejet de H0|H1 vraie)= P (X < xc|H1 vraie)




= P ((X − µ)/(σ/√

n) > zα|µ = µ0)= P ((X − µ0)/(σ/

√n) > zα)



H Préciser H1




= P ((X − µ)/(σ/√

n) > zα|µ = µ0)= P ((X − µ0)/(σ/

√n) > zα)



H Préciser H1 : µ = µ0 + δ




= P ((X − µ)/(σ/√

n) > zα|µ = µ0)= P ((X − µ0)/(σ/

√n) > zα)



H Préciser H1 : µ = µ0 + δH β = P (X < xc|µ = µ0 + δ)




= P ((X − µ)/(σ/√

n) > zα|µ = µ0)= P ((X − µ0)/(σ/

√n) > zα)



H Préciser H1 : µ = µ0 + δH β = P (X < xc|µ = µ0 + δ)= P (Z < (xc − µ)/(σ/

√n)|µ = µ0 + δ)




= P ((X − µ)/(σ/√

n) > zα|µ = µ0)= P ((X − µ0)/(σ/

√n) > zα)




√n)|µ = µ0 + δ)

H = P (Z < xc−µ0

σ/√

n− δ

σ/√

n)




= P ((X − µ)/(σ/√

n) > zα|µ = µ0)= P ((X − µ0)/(σ/

√n) > zα)




√n)|µ = µ0 + δ)

H = P (Z < xc−µ0

σ/√

n− δ

σ/√

n)

H = P (Z < zα − δσ/

√n)




= P ((X − µ)/(σ/√

n) > zα|µ = µ0)= P ((X − µ0)/(σ/

√n) > zα)




√n)|µ = µ0 + δ)

H = P (Z < xc−µ0

σ/√

n− δ

σ/√

n)

H = P (Z < zα − δσ/

√n)

H −zβ = zα − δσ/

√n




= P ((X − µ)/(σ/√

n) > zα|µ = µ0)= P ((X − µ0)/(σ/

√n) > zα)




√n)|µ = µ0 + δ)

H = P (Z < xc−µ0

σ/√

n− δ

σ/√

n)

H = P (Z < zα − δσ/

√n)

H −zβ = zα − δσ/

√n

H n = (zα + zβ)2 σ2

δ2

Test sur une variance (1/2)




1. H0 : σ = σ0, H1 : σ 6= σ0 (test bilatéral)



1. H0 : σ = σ0, H1 : σ 6= σ0 (test bilatéral)2. α à définir



1. H0 : σ = σ0, H1 : σ 6= σ0 (test bilatéral)2. α à définir3. Statistique à utiliser : S



1. H0 : σ = σ0, H1 : σ 6= σ0 (test bilatéral)2. α à définir3. Statistique à utiliser : S ; distribution :




X2 = (n−1)S2

σ2 , v.a. loi du χ2 à ν = n− 1 degrés de liberté (population normale)




X2 = (n−1)S2

σ2 , v.a. loi du χ2 à ν = n− 1 degrés de liberté (population normale)4. P (non-rejet de H0|H0 vraie) = 1 − α




X2 = (n−1)S2


P (non-rejet de H0|σ = σ0) = 1 − α




X2 = (n−1)S2


P (non-rejet de H0|σ = σ0) = 1 − αP (χ2

1−α/2 < X2 < χ2α/2|σ = σ0) = 1 − α




X2 = (n−1)S2



1−α/2 < X2 < χ2α/2|σ = σ0) = 1 − α

P(

χ21−α/2 < (n−1)S2

σ20

< χ2α/2

)

= 1 − α




X2 = (n−1)S2



1−α/2 < X2 < χ2α/2|σ = σ0) = 1 − α

P(

χ21−α/2 < (n−1)S2

σ20

< χ2α/2

)

= 1 − α

P

(χ2

1−α/2σ20

(n−1) < S2 <χ2

α/2σ20

(n−1)

)

= 1 − α




X2 = (n−1)S2



1−α/2 < X2 < χ2α/2|σ = σ0) = 1 − α

P(

χ21−α/2 < (n−1)S2

σ20

< χ2α/2

)

= 1 − α

P

(χ2

1−α/2σ20

(n−1) < S2 <χ2

α/2σ20

(n−1)

)

= 1 − α

région critique




X2 = (n−1)S2



1−α/2 < X2 < χ2α/2|σ = σ0) = 1 − α

P(

χ21−α/2 < (n−1)S2

σ20

< χ2α/2

)

= 1 − α

P

(χ2

1−α/2σ20

(n−1) < S2 <χ2

α/2σ20

(n−1)

)

= 1 − α

région critique : X2 < χ21−α/2 et X2 > χ2

α/2




X2 = (n−1)S2



1−α/2 < X2 < χ2α/2|σ = σ0) = 1 − α

P(

χ21−α/2 < (n−1)S2

σ20

< χ2α/2

)

= 1 − α

P

(χ2

1−α/2σ20

(n−1) < S2 <χ2

α/2σ20

(n−1)

)

= 1 − α

région critique : X2 < χ21−α/2 et X2 > χ2

α/2

5. Règle de décision :rejeter H0 si s2 < s2

c1 = χ21−α/2σ

20/(n − 1) ou s2 > s2

c2 = χ2α/2σ

20/(n − 1)



1. H0 : σ = σ0, H1 : σ < σ0 (test unilatéral)



1. H0 : σ = σ0, H1 : σ < σ0 (test unilatéral)2. α à définir



1. H0 : σ = σ0, H1 : σ < σ0 (test unilatéral)2. α à définir3. Statistique à utiliser : S



1. H0 : σ = σ0, H1 : σ < σ0 (test unilatéral)2. α à définir3. Statistique à utiliser : S ; distribution :




X2 = (n−1)S2

σ2 , v.a. loi du χ2 à ν = n− 1 degrés de liberté (population normale)




X2 = (n−1)S2





X2 = (n−1)S2


P (non-rejet de H0|σ = σ0) = 1 − α




X2 = (n−1)S2



1−α < X2|σ = σ0) = 1 − α




X2 = (n−1)S2



1−α < X2|σ = σ0) = 1 − α

P(

χ21−α < (n−1)S2

σ20

)

= 1 − α




X2 = (n−1)S2



1−α < X2|σ = σ0) = 1 − α

P(

χ21−α < (n−1)S2

σ20

)

= 1 − α

P(

χ21−ασ2

0

(n−1) < S2)

= 1 − α




X2 = (n−1)S2



1−α < X2|σ = σ0) = 1 − α

P(

χ21−α < (n−1)S2

σ20

)

= 1 − α

P(

χ21−ασ2

0

(n−1) < S2)

= 1 − α

région critique




X2 = (n−1)S2



1−α < X2|σ = σ0) = 1 − α

P(

χ21−α < (n−1)S2

σ20

)

= 1 − α

P(

χ21−ασ2

0

(n−1) < S2)

= 1 − α

région critique : X2 < χ21−α




X2 = (n−1)S2



1−α < X2|σ = σ0) = 1 − α

P(

χ21−α < (n−1)S2

σ20

)

= 1 − α

P(

χ21−ασ2

0

(n−1) < S2)

= 1 − α

région critique : X2 < χ21−α

5. Règle de décision :rejeter H0 si s2 < s2

c = χ21−ασ2

0/(n − 1)

Test sur une proportion




1. H0 : π = π0, H1 : π 6= π0 (test bilatéral)



1. H0 : π = π0, H1 : π 6= π0 (test bilatéral)2. α à définir



1. H0 : π = π0, H1 : π 6= π0 (test bilatéral)2. α à définir3. Statistique à utiliser : P



1. H0 : π = π0, H1 : π 6= π0 (test bilatéral)2. α à définir3. Statistique à utiliser : P ; distribution :




Z = (P − π)/(√

π(1 − π)/√

n)




Z = (P − π)/(√

π(1 − π)/√

n)4. P (non-rejet de H0|H0 vraie) = 1 − α




Z = (P − π)/(√

π(1 − π)/√


P (non-rejet de H0|π = π0) = 1 − α




Z = (P − π)/(√

π(1 − π)/√


P (non-rejet de H0|π = π0) = 1 − αP (−zα/2 < (P − π0)/(

√

π0(1 − π0)/√

n) < zα/2) = 1 − α




Z = (P − π)/(√

π(1 − π)/√



√

π0(1 − π0)/√

n) < zα/2) = 1 − αrégion critique




Z = (P − π)/(√

π(1 − π)/√



√

π0(1 − π0)/√

n) < zα/2) = 1 − αrégion critique : Z < −zα/2 et Z > zα/2




Z = (P − π)/(√

π(1 − π)/√



√

π0(1 − π0)/√


5. Règle de décision :

rejeter H0 si p < pc1 = π0 − zα/2

√π0(1−π0)√

nou p > pc1 = π0 + zα/2

√π0(1−π0)√

n




Z = (P − π)/(√

π(1 − π)/√



√

π0(1 − π0)/√




√π0(1−π0)√

nou p > pc1 = π0 + zα/2

√π0(1−π0)√

n

1. H0 : π = π0, H1 : π > π0 (test unilatéral)




Z = (P − π)/(√

π(1 − π)/√



√

π0(1 − π0)/√




√π0(1−π0)√

nou p > pc1 = π0 + zα/2

√π0(1−π0)√

n

1. H0 : π = π0, H1 : π > π0 (test unilatéral). . .

5. Règle de décision : rejeter H0 si z > zα




Z = (P − π)/(√

π(1 − π)/√



√

π0(1 − π0)/√




√π0(1−π0)√

nou p > pc1 = π0 + zα/2

√π0(1−π0)√

n

1. H0 : π = π0, H1 : π > π0 (test unilatéral). . .


c.à.d. p > pc = π0 + zα

√π0(1−π0)√

n

Récapitulatif : un échantillon


Statistiques d’un échantillon : moyenne


Paramètre θ µ

Population ≈ normale — ≈ normale

Écart-type σ connu connu inconnu

Échantillon — n > 30 n > 30 n < 30

Statistique Θ X

St. normalisée Z = X−µσ/

√n

Z = X−µS/

√n

T = X−µS/

√n

Distribution N(0, 1) Student (ν)

D.L. — n − 1

Mesure θ x

Statistiques d’un échantillon : proportion, variance


Paramètre θ π σ2

Population — ≈ normale

Écart-type σ — —

Échantillon n > 30 1 —

Statistique Θ P S2

St. normalisée Z = P−π√π(1−π)/n

X2 = (n−1)S2

σ2

Distribution N(0, 1) khi-deux (ν)

D.L. — n − 1

Mesure θ p s2

1En plus : np ≥ 5, n(1 − p) ≥ 5, ni p ≈ 0, ni p ≈ 1.

Estimation / tests : un échantillon


Stat. Intervalle Test d’hypothèse H0 : θ = θ0

norm. de confiance H1 : θ 6= θ0 H1 : θ < θ0 H1 : θ > θ0

Z −zα2

< z < zα2

z < −zα2

ou > zα2

z < −zα z > zα

T −tα2

< t < tα2

t < −tα2

ou > tα2

t < −tα t > tα

X2 χ21−α

2< χ2 < χ2

α2

χ2 < χ21−α

2ou > χ2

α2

χ2 < χ21−α χ2 > χ2

α

mettre sous « entrer dans le monde de H0 » :

la forme : θ = θ0, calculer z, t, χ2 à partir des mesures ;

θL < θ < θH décisions de rejet de H0

H Intervalle de confiance : niveau de confiance 1 − α

H Tests d’hypothèse : seuil de signification α

H Voir tableaux unifiés dans le document « Aide-mémoire ».

http://elec.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/statistiques_appliquees/ep_unsa_elec3_statistiques_appliquees_formulaire.pdf

Intervalles et tests avec deux échantillons


Distribution de la différence des moyennes (1/6) - rappel #98




n1 > 30 et n2 > 30, ou






n1 > 30 et n2 > 30, ou


H Échantillons aléatoires et indépendants de tailles n1, n2 ; moyennes X1, X2





n1 > 30 et n2 > 30, ou



X1 − X2 : normale





n1 > 30 et n2 > 30, ou



X1 − X2 : normale

µX1−X2= µX1

− µX2





n1 > 30 et n2 > 30, ou



X1 − X2 : normale

µX1−X2= µX1

− µX2= µ1 − µ2





n1 > 30 et n2 > 30, ou



X1 − X2 : normale

µX1−X2= µX1

− µX2= µ1 − µ2

σ2X1−X2





n1 > 30 et n2 > 30, ou



X1 − X2 : normale

µX1−X2= µX1

− µX2= µ1 − µ2

σ2X1−X2

ind= σ2

X1+ σ2

X2





n1 > 30 et n2 > 30, ou



X1 − X2 : normale

µX1−X2= µX1

− µX2= µ1 − µ2

σ2X1−X2

ind= σ2

X1+ σ2

X2=

σ21

n1+

σ22

n2

Distribution de la différence des moyennes (2/6)






H Populations normales ou grands échantillons (n1 > 30, n2 > 30)





H σ1, σ2 : connus





H σ1, σ2 : connus

H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

σ21

n1+

σ22

n2





H σ1, σ2 : connus

H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

σ21

n1+

σ22

n2

→ N(0, 1)





H σ1, σ2 : connus

H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

σ21

n1+

σ22

n2

→ N(0, 1)

H Intervalle de confiance





H σ1, σ2 : connus

H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

σ21

n1+

σ22

n2

→ N(0, 1)

H Intervalle de confiance :

(x1 − x2) − zα/2

√σ21

n1+

σ22

n2< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + zα/2

√σ21

n1+

σ22

n2





H σ1, σ2 : connus

H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

σ21

n1+

σ22

n2

→ N(0, 1)


(x1 − x2) − zα/2

√σ21

n1+

σ22

n2< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + zα/2

√σ21

n1+

σ22

n2

H Test d’hypothèse





H σ1, σ2 : connus

H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

σ21

n1+

σ22

n2

→ N(0, 1)


(x1 − x2) − zα/2

√σ21

n1+

σ22

n2< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + zα/2

√σ21

n1+

σ22

n2

H Test d’hypothèse :

1. H0 : µ1 − µ2 = d0, H1 : µ1 − µ2 6= d0 (test bilatéral)





H σ1, σ2 : connus

H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

σ21

n1+

σ22

n2

→ N(0, 1)


(x1 − x2) − zα/2

√σ21

n1+

σ22

n2< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + zα/2

√σ21

n1+

σ22

n2



5. Règle de décision : rejeter H0 si z < −zα/2 ou z > zα/2





H σ1, σ2 : connus

H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

σ21

n1+

σ22

n2

→ N(0, 1)


(x1 − x2) − zα/2

√σ21

n1+

σ22

n2< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + zα/2

√σ21

n1+

σ22

n2



5. Règle de décision : rejeter H0 si z < −zα/2 ou z > zα/2

(x1 − x2) < (x1 − x2)c1 = d0 − zα/2

√σ21

n1+

σ22

n2ou

(x1 − x2) > (x1 − x2)c2 = d0 + zα/2

√σ21

n1+

σ22

n2




H Populations normales et grands échantillons (n1 > 30, n2 > 30)





H σ1, σ2 : inconnus






H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2






H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2

→≈ N(0, 1)






H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2

→≈ N(0, 1)

H Équivalent de T → Z pour grands échantillons






H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2

→≈ N(0, 1)








H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2

→≈ N(0, 1)



(x1 − x2) − zα/2

√s21

n1+

s22

n2< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + zα/2

√s21

n1+

s22

n2






H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2

→≈ N(0, 1)



(x1 − x2) − zα/2

√s21

n1+

s22

n2< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + zα/2

√s21

n1+

s22

n2


1. H0 : µ1 − µ2 = d0, H1 : µ1 − µ2 > d0 (test unilatéral)






H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2

→≈ N(0, 1)



(x1 − x2) − zα/2

√s21

n1+

s22

n2< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + zα/2

√s21

n1+

s22

n2









H Z = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2

→≈ N(0, 1)



(x1 − x2) − zα/2

√s21

n1+

s22

n2< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + zα/2

√s21

n1+

s22

n2




(x1 − x2) > (x1 − x2)c = d0 + zα

√s21

n1+

s22

n2




H Populations normales et petits échantillons (n1 < 30 ou n2 < 30)





H σ1, σ2 : inconnus mais σ1 = σ2





H σ1, σ2 : inconnus mais σ1 = σ2 (à tester)






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S2c

n1+

S2c

n2






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S2c

n1+

S2c

n2

= (X1−X2)−(µ1−µ2)

Sc

q

1n1

+ 1n2






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S2c

n1+

S2c

n2

= (X1−X2)−(µ1−µ2)

Sc

q

1n1

+ 1n2

→ Student






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S2c

n1+

S2c

n2

= (X1−X2)−(µ1−µ2)

Sc

q

1n1

+ 1n2

→ Student

H Variance commune






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S2c

n1+

S2c

n2

= (X1−X2)−(µ1−µ2)

Sc

q

1n1

+ 1n2

→ Student

H Variance commune : S2c =

Pn1i=1 (X1i−X1)2+

Pn2i=1 (X2i−X2)2

(n1−1)+(n2−1)






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S2c

n1+

S2c

n2

= (X1−X2)−(µ1−µ2)

Sc

q

1n1

+ 1n2

→ Student


Pn1i=1 (X1i−X1)2+

Pn2i=1 (X2i−X2)2

(n1−1)+(n2−1) =(n1−1)S2

1+(n2−1)S22

(n1−1)+(n2−1)






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S2c

n1+

S2c

n2

= (X1−X2)−(µ1−µ2)

Sc

q

1n1

+ 1n2

→ Student


Pn1i=1 (X1i−X1)2+

Pn2i=1 (X2i−X2)2

(n1−1)+(n2−1) =(n1−1)S2

1+(n2−1)S22

(n1−1)+(n2−1)

H T : Student à (n1 + n2 − 2) d.l.






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S2c

n1+

S2c

n2

= (X1−X2)−(µ1−µ2)

Sc

q

1n1

+ 1n2

→ Student


Pn1i=1 (X1i−X1)2+

Pn2i=1 (X2i−X2)2

(n1−1)+(n2−1) =(n1−1)S2

1+(n2−1)S22

(n1−1)+(n2−1)








H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S2c

n1+

S2c

n2

= (X1−X2)−(µ1−µ2)

Sc

q

1n1

+ 1n2

→ Student


Pn1i=1 (X1i−X1)2+

Pn2i=1 (X2i−X2)2

(n1−1)+(n2−1) =(n1−1)S2

1+(n2−1)S22

(n1−1)+(n2−1)



(x1 − x2) − tα/2sc

√1n1

+ 1n2

< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + tα/2sc

√1n1

+ 1n2






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S2c

n1+

S2c

n2

= (X1−X2)−(µ1−µ2)

Sc

q

1n1

+ 1n2

→ Student


Pn1i=1 (X1i−X1)2+

Pn2i=1 (X2i−X2)2

(n1−1)+(n2−1) =(n1−1)S2

1+(n2−1)S22

(n1−1)+(n2−1)



(x1 − x2) − tα/2sc

√1n1

+ 1n2

< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + tα/2sc

√1n1

+ 1n2

H Test d’hypothèse : . . .






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S2c

n1+

S2c

n2

= (X1−X2)−(µ1−µ2)

Sc

q

1n1

+ 1n2

→ Student


Pn1i=1 (X1i−X1)2+

Pn2i=1 (X2i−X2)2

(n1−1)+(n2−1) =(n1−1)S2

1+(n2−1)S22

(n1−1)+(n2−1)



(x1 − x2) − tα/2sc

√1n1

+ 1n2

< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + tα/2sc

√1n1

+ 1n2


H À propos des conditions :






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S2c

n1+

S2c

n2

= (X1−X2)−(µ1−µ2)

Sc

q

1n1

+ 1n2

→ Student


Pn1i=1 (X1i−X1)2+

Pn2i=1 (X2i−X2)2

(n1−1)+(n2−1) =(n1−1)S2

1+(n2−1)S22

(n1−1)+(n2−1)



(x1 − x2) − tα/2sc

√1n1

+ 1n2

< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + tα/2sc

√1n1

+ 1n2



σ1 ≈ σ2 ou populations ≈ normales : OK






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S2c

n1+

S2c

n2

= (X1−X2)−(µ1−µ2)

Sc

q

1n1

+ 1n2

→ Student


Pn1i=1 (X1i−X1)2+

Pn2i=1 (X2i−X2)2

(n1−1)+(n2−1) =(n1−1)S2

1+(n2−1)S22

(n1−1)+(n2−1)



(x1 − x2) − tα/2sc

√1n1

+ 1n2

< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + tα/2sc

√1n1

+ 1n2



σ1 ≈ σ2 ou populations ≈ normales : OK

σ1 6= σ2 et normales : OK si n1 = n2





H σ1, σ2 : inconnus et σ1 6= σ2





H σ1, σ2 : inconnus et σ1 6= σ2 (à tester)






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2

→ Student à ν d.l.






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2

→ Student à ν d.l. ; ν =

„

S21

n1+

S22

n2

«2

(S21/n1)2

n1−1+

(S22/n2)2

n2−1






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2


„

S21

n1+

S22

n2

«2

(S21/n1)2

n1−1+

(S22/n2)2

n2−1

H Arrondir ν au nombre entier inférieur.






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2


„

S21

n1+

S22

n2

«2

(S21/n1)2

n1−1+

(S22/n2)2

n2−1








H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2


„

S21

n1+

S22

n2

«2

(S21/n1)2

n1−1+

(S22/n2)2

n2−1



(x1 − x2) − tα/2

√s21

n1+

s22

n2< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + tα/2

√s21

n1+

s22

n2






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2


„

S21

n1+

S22

n2

«2

(S21/n1)2

n1−1+

(S22/n2)2

n2−1



(x1 − x2) − tα/2

√s21

n1+

s22

n2< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + tα/2

√s21

n1+

s22

n2


1. H0 : µ1 − µ2 = d0, H1 : µ1 − µ2 < d0 (test unilatéral)






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2


„

S21

n1+

S22

n2

«2

(S21/n1)2

n1−1+

(S22/n2)2

n2−1



(x1 − x2) − tα/2

√s21

n1+

s22

n2< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + tα/2

√s21

n1+

s22

n2



5. Règle de décision : rejeter H0 si t < tα






H T = (X1−X2)−(µ1−µ2)r

S21

n1+

S22

n2


„

S21

n1+

S22

n2

«2

(S21/n1)2

n1−1+

(S22/n2)2

n2−1



(x1 − x2) − tα/2

√s21

n1+

s22

n2< µ1 − µ2 < (x1 − x2) + tα/2

√s21

n1+

s22

n2



5. Règle de décision : rejeter H0 si t < tα

(x1 − x2) < (x1 − x2)c = d0 − tα

√s21

n1+

s22

n2



H Échantillons aléatoires et appariés de tailles n1 = n2 = n




H Appariés : « avant / après »





H Population : nouvelle v.a. D = X1 − X2 (µD, σD)






H Échantillon : calculer di = x1i − x2i






H Échantillon : calculer di = x1i − x2i ; oublier X1, X2 !







H Population normale ou grands échantillons (n > 30), σD connu







H Population normale ou grands échantillons (n > 30), σD connu :

Z = D−µD

σD/√

n→ N(0, 1)








Z = D−µD

σD/√

n→ N(0, 1)

H Population normale et petits échantillons (n < 30), σD inconnu








Z = D−µD

σD/√

n→ N(0, 1)

H Population normale et petits échantillons (n < 30), σD inconnu :

T = D−µD

sD/√

nà (n − 1) d.l.








Z = D−µD

σD/√

n→ N(0, 1)


T = D−µD

sD/√

nà (n − 1) d.l.









Z = D−µD

σD/√

n→ N(0, 1)


T = D−µD

sD/√

nà (n − 1) d.l.

H Intervalle de confiance : d − tα/2sD√

n< µD < d + tα/2

sD√n








Z = D−µD

σD/√

n→ N(0, 1)


T = D−µD

sD/√

nà (n − 1) d.l.


n< µD < d + tα/2

sD√n









Z = D−µD

σD/√

n→ N(0, 1)


T = D−µD

sD/√

nà (n − 1) d.l.


n< µD < d + tα/2

sD√n


H Échantillons appariés : un seul nouvel échantillon !

Distribution de la différence des proportions






H Grands échantillons (n1 > 30, n2 > 30)





H Proportions : Pi = N(πi,√

πi(1 − πi)/√

ni)






πi(1 − πi)/√

ni)

H Z = (P1−P2)−(π1−π2)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2






πi(1 − πi)/√

ni)

H Z = (P1−P2)−(π1−π2)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2

→ N(0, 1)






πi(1 − πi)/√

ni)

H Z = (P1−P2)−(π1−π2)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2

→ N(0, 1)

H Intervalle de confiance : (p1 − p2) − zα/2

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2< π1 − π2 <

(p1 − p2) + zα/2

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2






πi(1 − πi)/√

ni)

H Z = (P1−P2)−(π1−π2)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2

→ N(0, 1)


√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2< π1 − π2 <

(p1 − p2) + zα/2

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2; remplacer πi(1 − πi) → pi(1 − pi)






πi(1 − πi)/√

ni)

H Z = (P1−P2)−(π1−π2)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2

→ N(0, 1)


√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2< π1 − π2 <

(p1 − p2) + zα/2

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)








πi(1 − πi)/√

ni)

H Z = (P1−P2)−(π1−π2)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2

→ N(0, 1)


√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2< π1 − π2 <

(p1 − p2) + zα/2

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)



1. H0 : π1 − π2 = d0 (π1 = π2 + d0)






πi(1 − πi)/√

ni)

H Z = (P1−P2)−(π1−π2)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2

→ N(0, 1)


√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2< π1 − π2 <

(p1 − p2) + zα/2

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)



1. H0 : π1 − π2 = d0 (π1 = π2 + d0) , H1 : π1 − π2 > d0 (test unilatéral)






πi(1 − πi)/√

ni)

H Z = (P1−P2)−(π1−π2)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2

→ N(0, 1)


√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2< π1 − π2 <

(p1 − p2) + zα/2

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)










πi(1 − πi)/√

ni)

H Z = (P1−P2)−(π1−π2)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2

→ N(0, 1)


√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2< π1 − π2 <

(p1 − p2) + zα/2

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)





(p1 − p2) > (p1 − p2)c = d0 + zα

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2






πi(1 − πi)/√

ni)

H Z = (P1−P2)−(π1−π2)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2

→ N(0, 1)


√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2< π1 − π2 <

(p1 − p2) + zα/2

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)





(p1 − p2) > (p1 − p2)c = d0 + zα

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2

Si d0 = 0, π1 = π2






πi(1 − πi)/√

ni)

H Z = (P1−P2)−(π1−π2)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2

→ N(0, 1)


√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2< π1 − π2 <

(p1 − p2) + zα/2

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)





(p1 − p2) > (p1 − p2)c = d0 + zα

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2

Si d0 = 0, π1 = π2 : remplacer πj → p =Pn1

i=1 x1i+Pn2

i=1 x2i

n1+n2






πi(1 − πi)/√

ni)

H Z = (P1−P2)−(π1−π2)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2

→ N(0, 1)


√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2< π1 − π2 <

(p1 − p2) + zα/2

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)





(p1 − p2) > (p1 − p2)c = d0 + zα

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2


i=1 x1i+Pn2

i=1 x2i

n1+n2= n1p1+n2p2

n1+n2






πi(1 − πi)/√

ni)

H Z = (P1−P2)−(π1−π2)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2

→ N(0, 1)


√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2< π1 − π2 <

(p1 − p2) + zα/2

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)





(p1 − p2) > (p1 − p2)c = d0 + zα

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2


i=1 x1i+Pn2

i=1 x2i

n1+n2= n1p1+n2p2

n1+n2

Si d0 6= 0






πi(1 − πi)/√

ni)

H Z = (P1−P2)−(π1−π2)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2

→ N(0, 1)


√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2< π1 − π2 <

(p1 − p2) + zα/2

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)





(p1 − p2) > (p1 − p2)c = d0 + zα

√π1(1−π1)

n1+ π2(1−π2)

n2


i=1 x1i+Pn2

i=1 x2i

n1+n2= n1p1+n2p2

n1+n2

Si d0 6= 0 : remplacer πj → pj

Distribution du rapport des variances (1/2) - rappel #99







22





22


2





22


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2





22


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2= V1/ν1

V2/ν2





22


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i






22


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i



H F ≥ 0





22


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i



H F ≥ 0

H P (F > fα(ν1, ν2)) = α (définition de fα(ν1, ν2))





22


2

H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2= V1/ν1

V2/ν2

H Vi =(ni−1)S2

i

σ2i



H F ≥ 0

H P (F > fα(ν1, ν2)) = α (définition de fα(ν1, ν2))

H fα(ν1, ν2) = 1f1−α(ν2,ν1) (propriété de la loi F )

Distribution du rapport des variances (2/2)


H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2=

S21

S22

σ22

σ21



H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2=

S21

S22

σ22

σ21

H Intervalle de confiance (niveau de confiance 1 − α)



H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2=

S21

S22

σ22

σ21

H Intervalle de confiance (niveau de confiance 1 − α) :

f1−α/2(ν1, ν2) < f < fα/2(ν1, ν2)



H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2=

S21

S22

σ22

σ21


f1−α/2(ν1, ν2) < f < fα/2(ν1, ν2)

s21

s22

1fα/2(ν1,ν2) <

σ21

σ22

<s21

s22

1f1−α/2(ν1,ν2)



H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2=

S21

S22

σ22

σ21


f1−α/2(ν1, ν2) < f < fα/2(ν1, ν2)

s21

s22

1fα/2(ν1,ν2) <

σ21

σ22

<s21

s22

1f1−α/2(ν1,ν2)

H Test d’hypothèse H0 : σ1 = σ2



H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2=

S21

S22

σ22

σ21


f1−α/2(ν1, ν2) < f < fα/2(ν1, ν2)

s21

s22

1fα/2(ν1,ν2) <

σ21

σ22

<s21

s22

1f1−α/2(ν1,ν2)


H Règle de décision : rejeter H0 si



H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2=

S21

S22

σ22

σ21


f1−α/2(ν1, ν2) < f < fα/2(ν1, ν2)

s21

s22

1fα/2(ν1,ν2) <

σ21

σ22

<s21

s22

1f1−α/2(ν1,ν2)



H1 : σ1 6= σ2

f < f1−α/2 ou f > fα/2



H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2=

S21

S22

σ22

σ21


f1−α/2(ν1, ν2) < f < fα/2(ν1, ν2)

s21

s22

1fα/2(ν1,ν2) <

σ21

σ22

<s21

s22

1f1−α/2(ν1,ν2)



H1 : σ1 6= σ2

f < f1−α/2 ou f > fα/2 c-à-d s21/s2

2 < f1−α/2 ou s21/s2

2 > fα/2



H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2=

S21

S22

σ22

σ21


f1−α/2(ν1, ν2) < f < fα/2(ν1, ν2)

s21

s22

1fα/2(ν1,ν2) <

σ21

σ22

<s21

s22

1f1−α/2(ν1,ν2)



H1 : σ1 6= σ2

f < f1−α/2 ou f > fα/2 c-à-d s21/s2

2 < f1−α/2 ou s21/s2

2 > fα/2

H1 : σ1 > σ2

f > fα



H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2=

S21

S22

σ22

σ21


f1−α/2(ν1, ν2) < f < fα/2(ν1, ν2)

s21

s22

1fα/2(ν1,ν2) <

σ21

σ22

<s21

s22

1f1−α/2(ν1,ν2)



H1 : σ1 6= σ2

f < f1−α/2 ou f > fα/2 c-à-d s21/s2

2 < f1−α/2 ou s21/s2

2 > fα/2

H1 : σ1 > σ2

f > fα c-à-d s21/s2

2 > fα



H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2=

S21

S22

σ22

σ21


f1−α/2(ν1, ν2) < f < fα/2(ν1, ν2)

s21

s22

1fα/2(ν1,ν2) <

σ21

σ22

<s21

s22

1f1−α/2(ν1,ν2)



H1 : σ1 6= σ2

f < f1−α/2 ou f > fα/2 c-à-d s21/s2

2 < f1−α/2 ou s21/s2

2 > fα/2

H1 : σ1 > σ2


2 > fα

H1 : σ1 < σ2

f < f1−α



H F =S2

1/σ21

S22/σ2

2=

S21

S22

σ22

σ21


f1−α/2(ν1, ν2) < f < fα/2(ν1, ν2)

s21

s22

1fα/2(ν1,ν2) <

σ21

σ22

<s21

s22

1f1−α/2(ν1,ν2)



H1 : σ1 6= σ2

f < f1−α/2 ou f > fα/2 c-à-d s21/s2

2 < f1−α/2 ou s21/s2

2 > fα/2

H1 : σ1 > σ2


2 > fα

H1 : σ1 < σ2

f < f1−α c-à-d s21/s2

2 < f1−α/2

Récapitulatif : deux échantillons


Statistiques de deux (grands) échantillons : moyenne


Paramètre θ µ2 − µ1

Populations ≈ normales — ≈ normales

Écart-types σ1, σ2 connus connus inconnus

Échantillons — n1 > 30 et n2 > 30 n1 > 30 et n2 > 30

Statistique Θ X2 − X1

St. normalisée Z = (X2−X1)−(µ2−µ1)r

σ21

n1+

σ22

n2

Z = (X2−X1)−(µ2−µ1)r

S21

n1+

S22

n2

Distribution N(0, 1)

Degrés de liberté —

Mesure θ x2 − x1

Statistiques de deux (petits) échantillons : moyenne


Paramètre θ µ2 − µ1

Populations ≈ normales

Écart-types σ1, σ2 inc., σ1 = σ2 ou n1 = n2 inc., σ1 6= σ2 et n1 6= n2

Échantillons n1 < 30 ou n2 < 30

Statistique Θ X2 − X1

St. normalisée T = (X2−X1)−(µ2−µ1)

Sc

q

1n1

+ 1n2

T = (X2−X1)−(µ2−µ1)r

S21

n1+

S22

n2

Distribution Student (ν)

Degrés de liberté n1 + n2 − 2 ν∗

Mesure θ x2 − x1

Rappels Sc : diapo #128 ν∗ : diapo #129

Statistiques de deux échantillons : proportion, variance


Paramètre θ π2 − π1 σ21/σ2

2

Populations — ≈ normales

Écart-types σ1, σ2 — —

Échantillons n1 > 30 et n2 > 30 2 —

Statistique Θ P2 − P1 F

St. normalisée Z = (P2−P1)−(π2−π1)r

π1(1−π1)n1

+π2(1−π2)

n2

F =S2

1/σ21

S22/σ2

2

Distribution N(0, 1) Fischer (ν1, ν2)

Degrés de liberté — n1 − 1, n2 − 1

Mesure θ p2 − p1 s21/s2

2

2En plus : nipi ≥ 5, ni(1 − pi) ≥ 5, ni pi ≈ 0, ni pi ≈ 1 (i = 1, 2).

Estimation / tests : deux échantillons


Stat. Intervalle Test d’hypothèse H0 : θ = θ0

norm. de confiance H1 : θ 6= θ0 H1 : θ < θ0 H1 : θ > θ0

Z −zα2

< z < zα2

z < −zα2

ou > zα2

z < −zα z > zα

T −tα2

< t < tα2

t < −tα2

ou > tα2

t < −tα t > tα

F f1−α2

< f < fα2

f < f1−α2

ou f > fα2

f < f1−α f > fα

mettre sous « entrer dans le monde de H0 » :

la forme : θ = θ0, calculer z, t, χ2 à partir des mesures ;

θL < θ < θH décisions de rejet de H0

H Intervalle de confiance : niveau de confiance 1 − α

H Tests d’hypothèse : seuil de signification α

H Voir tableaux unifiés dans le document « Aide-mémoire ».

http://elec.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/statistiques_appliquees/ep_unsa_elec3_statistiques_appliquees_formulaire.pdf

Tests : au délà du seuil de signification


Seuil descriptif (p-value)


H Test statistique : « 2. Choisir le seuil de signification α »



H Test statistique : « 2. Choisir le seuil de signification α »H « Typiquement 1% ou 5% »



H Test statistique : « 2. Choisir le seuil de signification α »H « Typiquement 1% ou 5% »H Comment choisir ?



H Test statistique : « 2. Choisir le seuil de signification α »H « Typiquement 1% ou 5% »H Comment choisir ?H Comment décider ?



H Test statistique : « 2. Choisir le seuil de signification α »H « Typiquement 1% ou 5% »H Comment choisir ?H Comment décider ?H Pourquoi choisir α ?



H Test statistique : « 2. Choisir le seuil de signification α »H « Typiquement 1% ou 5% »H Comment choisir ?H Comment décider ?H Pourquoi choisir α ?H Tests classiques :




Mesurer θ




Mesurer θ ; comparer θ aux valeurs critiques θc





Valeurs critiques dépendent de α





Valeurs critiques dépendent de αH Alternative






Calculer αp (p-value) telle que θ = θc







αp : rejeter H0 de façon marginale







αp : rejeter H0 de façon marginaleH P-value (seuil descriptif) : la plus petite valeur de α = P (rejeterH0|H0 vraie)

qui conduirait au rejet de H0







αp : rejeter H0 de façon marginaleH P-value (seuil descriptif) : la plus petite valeur de α = P (rejeterH0|H0 vraie)

qui conduirait au rejet de H0

H La probabilité de se retrouver « au moins aussi loin » de la H0 – dans le sens dela H1 – que l’échantillon examiné, si H0 est vraie.

Seuil descriptif (p-value) : exemple (1/3)


H Test sur la moyenne, petit échantillon, population normale, σ inconnu

1. H0 : µ = µ0, H1 : µ 6= µ0 (test bilatéral)




1. H0 : µ = µ0, H1 : µ 6= µ0 (test bilatéral)2. α à définir




1. H0 : µ = µ0, H1 : µ 6= µ0 (test bilatéral)2. α à définir3. Statistique à utiliser : X





T = (X − µ)/(S/√

n)





T = (X − µ)/(S/√

n)4. Région critique : T < −tα/2 et T > tα/2





T = (X − µ)/(S/√


5. Règle de décision :rejeter H0 si t < −tα/2 ou > tα/2





T = (X − µ)/(S/√








T = (X − µ)/(S/√



6. Prélever un échantillon et faire les calculs7. Décider



6. Prélever un échantillon et faire les calculsPopulation N(0.5, 1), n = 5x <- rnorm(5, mean=0.5, sd=1)



6. Prélever un échantillon et faire les calculsPopulation N(0.5, 1), n = 5x <- rnorm(5, mean=0.5, sd=1)> x[1] 0.4303745 -1.2195277 -0.3570756 2.2734783 -0.5112132



6. Prélever un échantillon et faire les calculsPopulation N(0.5, 1), n = 5x <- rnorm(5, mean=0.5, sd=1)> x[1] 0.4303745 -1.2195277 -0.3570756 2.2734783 -0.5112132> mean(x)[1] 0.1232073



6. Prélever un échantillon et faire les calculsPopulation N(0.5, 1), n = 5x <- rnorm(5, mean=0.5, sd=1)> x[1] 0.4303745 -1.2195277 -0.3570756 2.2734783 -0.5112132> mean(x)[1] 0.1232073> sd(x)[1] 1.337359



6. Prélever un échantillon et faire les calculsPopulation N(0.5, 1), n = 5x <- rnorm(5, mean=0.5, sd=1)> x[1] 0.4303745 -1.2195277 -0.3570756 2.2734783 -0.5112132> mean(x)[1] 0.1232073> sd(x)[1] 1.337359µ0 = 0, calculer t :> t = ( mean(x) - 0 ) / ( sd(x) / sqrt(5) )> t[1] 0.2060029



6. Prélever un échantillon et faire les calculsPopulation N(0.5, 1), n = 5x <- rnorm(5, mean=0.5, sd=1)> x[1] 0.4303745 -1.2195277 -0.3570756 2.2734783 -0.5112132> mean(x)[1] 0.1232073> sd(x)[1] 1.337359µ0 = 0, calculer t :> t = ( mean(x) - 0 ) / ( sd(x) / sqrt(5) )> t[1] 0.2060029α = 0.05, calculer tc = tα/2 :> qt(0.025, df=4, lower.tail=F)[1] 2.776445




7. Décider




7. Décider : −tα/2 < t < tα/2, on ne peut pas rejeter H0 : µ = µ0 = 0



6. Prélever un échantillon et faire les calculsµ0 = 0, calculer t :> t = ( mean(x) - 0 ) / ( sd(x) / sqrt(5) )> t[1] 0.2060029



6. Prélever un échantillon et faire les calculsµ0 = 0, calculer t :> t = ( mean(x) - 0 ) / ( sd(x) / sqrt(5) )> t[1] 0.2060029Quelle est la valeur de α qui donne t = tc = tα/2 ?



6. Prélever un échantillon et faire les calculsµ0 = 0, calculer t :> t = ( mean(x) - 0 ) / ( sd(x) / sqrt(5) )> t[1] 0.2060029Quelle est la valeur de α qui donne t = tc = tα/2 ?> pt(t, df=4, lower.tail=F)[1] 0.4234244



6. Prélever un échantillon et faire les calculsµ0 = 0, calculer t :> t = ( mean(x) - 0 ) / ( sd(x) / sqrt(5) )> t[1] 0.2060029Quelle est la valeur de α qui donne t = tc = tα/2 ?> pt(t, df=4, lower.tail=F)[1] 0.4234244p-value/2 = 0.4234244, p-value = 0.8468488

7. Décider




7. Décider : échantillon très probable si H0 est vraie




7. Décider : échantillon très probable si H0 est vraieH T-test avec R :

> t.test(x, mean=0, alternative = c("two.sided"))




7. Décider : échantillon très probable si H0 est vraieH T-test avec R :

> t.test(x, mean=0, alternative = c("two.sided"))One Sample t-testdata : xt = 0.206, df = 4, p-value = 0.8468alternative hypothesis : true mean is not equal to 095 percent confidence interval :-1.537343 1.783758

Test du χ2


Définition – cadre général


Comparer, à l’issue d’une expérience aléatoire, des fréquencesexpérimentales aux fréquences prévues par la théorie (Pearson, 1900).




H k : nombre de fréquences à comparer (nombre de classes)H oi : fréquences Observées (obtenues expérimentalement)H ei : fréquences « Espérées » (théoriques, à calculer)




H k : nombre de fréquences à comparer (nombre de classes)H oi : fréquences Observées (obtenues expérimentalement)H ei : fréquences « Espérées » (théoriques, à calculer)H

χ2 =k∑

i=1

(oi − ei)2

ei





χ2 =k∑

i=1

(oi − ei)2

ei

H Loi du χ2 à ν degrés de liberté ; si oi = ei, χ2 = 0, sinon χ2 > 0





χ2 =k∑

i=1

(oi − ei)2

ei

H Loi du χ2 à ν degrés de liberté ; si oi = ei, χ2 = 0, sinon χ2 > 0H Calculer χ2 à partir de oi, ei ; obtenir α = P (X2 > χ2), la p-value





χ2 =k∑

i=1

(oi − ei)2

ei


H ν = k − 1 − (nombre de paramètres estimés utilisés dans le calcul de ei)





χ2 =k∑

i=1

(oi − ei)2

ei



H Condition : ei ≥ 5 au moins pour 80% des classes ; ei > 0 pour les autres





χ2 =k∑

i=1

(oi − ei)2

ei



H Condition : ei ≥ 5 au moins pour 80% des classes ; ei > 0 pour les autresH Applications : test d’adéquation, d’indépendance, d’homogénéité, de proportions

Test d’adéquation (ou d’ajustement)


H0 : les données expérimentales ont été obtenues à partir d’unepopulation suivant la loi pX(x) (p.ex., normale, uniforme, etc).




H Example : données sur plusieurs lancers d’un dé (données simulées. . . )

HFace 1 2 3 4 5 6 Total N

Fréquence (oi) 1037 937 1055 1034 929 1008 6000






Fréquence (oi) 1037 937 1055 1034 929 1008 6000

H H0 : le dé est bien équilibré ; pi = 1/6, ei = piN = 1000






Fréquence (oi) 1037 937 1055 1034 929 1008 6000


H Conditions : OK (sinon grouper des classes voisines)






Fréquence (oi) 1037 937 1055 1034 929 1008 6000


H Conditions : OK (sinon grouper des classes voisines)H Calculer χ2 = 14.624






Fréquence (oi) 1037 937 1055 1034 929 1008 6000


H Conditions : OK (sinon grouper des classes voisines)H Calculer χ2 = 14.624H ν = 6 − 1 − 0 = 5






Fréquence (oi) 1037 937 1055 1034 929 1008 6000


H Conditions : OK (sinon grouper des classes voisines)H Calculer χ2 = 14.624H ν = 6 − 1 − 0 = 5H p-value : P (X2 > 14.624) =

pchisq( 14.624, df=5, lower.tail=FALSE ) = 0.01210






Fréquence (oi) 1037 937 1055 1034 929 1008 6000



pchisq( 14.624, df=5, lower.tail=FALSE ) = 0.01210H On peut rejeter H0 au seuil de signification 5%






Fréquence (oi) 1037 937 1055 1034 929 1008 6000



pchisq( 14.624, df=5, lower.tail=FALSE ) = 0.01210H On peut rejeter H0 au seuil de signification 5%H Commande R :

obs.vec = c(1037, 937, 1055, 1034, 929, 1008)






Fréquence (oi) 1037 937 1055 1034 929 1008 6000




obs.vec = c(1037, 937, 1055, 1034, 929, 1008)

chisq.test( obs.vec, p = rep( 1/6, times=6 ) )

Test d’indépendance / tableau de contingence


On mesure, sur chaque individu d’un échantillon aléatoire de taille n,deux caractères X et Y , à l et c modalités, respectivement.

H0 : les deux caractères X et Y sont indépendants.





H Example : le tabac et les jeunes, INPES, baromètre santé 2000 (tr. #18)

H

Sexe \ Fumeur Oui Non TotalHomme 340 (310) 314 (344) 654Femme 289 (319) 384 (354) 673Total 629 698 1327






H


H H0 : X et Y sont indépendants ; πij = πiπj (i = 1, . . . , l ; j = 1, . . . , c)






H


H H0 : X et Y sont indépendants ; πij = πiπj (i = 1, . . . , l ; j = 1, . . . , c)H On estime πi et πj à partir des fréquences marginales de l’échantillon






H



H πij = πiπj






H



H πij = πiπj → eij

n






H




n =Pc

j=1 oij

n






H




n =Pc

j=1 oij

n

Pli=1 oij

n






H




n =Pc

j=1 oij

n

Pli=1 oij

n → eij =1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij






H




n =Pc

j=1 oij

n

Pli=1 oij

n → eij =1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij

H Degrés de liberté ν = (lc − 1) − 1 − [(l − 1) + (c − 1)]






H




n =Pc

j=1 oij

n

Pli=1 oij

n → eij =1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij

H Degrés de liberté ν = (lc − 1) − 1 − [(l − 1) + (c − 1)] = (l − 1)(c − 1)






H




n =Pc

j=1 oij

n

Pli=1 oij

n → eij =1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij


H Conditions : OK (sinon ? augmenter la taille de l’échantillon !)

Test d’indépendance : correction de Yates


H Si ν = 1 (tableau 2 × 2) utiliser :

χ2 =∑

i,k

(|oij − eij | − 0.5)2

eij




χ2 =∑

i,k

(|oij − eij | − 0.5)2

eij

H Calculer χ2 = 10.5256




χ2 =∑

i,k

(|oij − eij | − 0.5)2

eij

H Calculer χ2 = 10.5256H ν = (2 − 1)(2 − 1) = 1




χ2 =∑

i,k

(|oij − eij | − 0.5)2

eij

H Calculer χ2 = 10.5256H ν = (2 − 1)(2 − 1) = 1H p-value : P (X2 > 10.5256) =





χ2 =∑

i,k

(|oij − eij | − 0.5)2

eij






χ2 =∑

i,k

(|oij − eij | − 0.5)2

eij



tableau.cont = rbind( c(340, 314), c(289, 384) )




χ2 =∑

i,k

(|oij − eij | − 0.5)2

eij



tableau.cont = rbind( c(340, 314), c(289, 384) )

chisq.test( tableau.cont, correct=TRUE )

Test d’homogénéité


À partir de c populations, on obtient c échantillons aléatoires etindépendants, de taille nj (j = 1, . . . , c). On mesure sur chaque individule même caractère X, à l modalités.




H0 : la proportion d’individus appartenant à la i-ème modalité(i = 1, . . . , l), reste la même pour toutes les populations (les populationssont homogènes par rapport au caractère étudié).





H Example : notes (fictives) échantillonnées dans trois parcours

H

Note \ Parcours I II III Total0 ≤ x < 6 32 15 8 556 ≤ x < 12 123 60 43 22612 ≤ x ≤ 20 145 125 149 419Total (nj) 300 200 200 700






H


H H0 : proportion de chaque modalité constante ;πi1 = πi2 = . . . = πic = πi (i = 1, . . . , l)






H


H H0 : proportion de chaque modalité constante ;πi1 = πi2 = . . . = πic = πi (i = 1, . . . , l)

H On estime πi à partir des fréquences marginales de l’échantillon



H

Note \ Parcours I II III Total

0 ≤ x < 6 32 (23.57) 15 (15.71) 8 (15.71) 556 ≤ x < 12 123 (96.86) 60 (64.57) 43 (64.57) 22612 ≤ x ≤ 20 145 (179.57) 125 (119.71) 149 (119.71) 419

Total (nj) 300 200 200 700



H


0 ≤ x < 6 32 (23.57) 15 (15.71) 8 (15.71) 556 ≤ x < 12 123 (96.86) 60 (64.57) 43 (64.57) 22612 ≤ x ≤ 20 145 (179.57) 125 (119.71) 149 (119.71) 419

Total (nj) 300 200 200 700H H0 : proportion de chaque modalité constante ;

πi1 = πi2 = . . . = πic = πi (i = 1, . . . , l)



H


0 ≤ x < 6 32 (23.57) 15 (15.71) 8 (15.71) 556 ≤ x < 12 123 (96.86) 60 (64.57) 43 (64.57) 22612 ≤ x ≤ 20 145 (179.57) 125 (119.71) 149 (119.71) 419


πi1 = πi2 = . . . = πic = πi (i = 1, . . . , l)H On estime πi à partir des fréquences marginales de l’échantillon



H


0 ≤ x < 6 32 (23.57) 15 (15.71) 8 (15.71) 556 ≤ x < 12 123 (96.86) 60 (64.57) 43 (64.57) 22612 ≤ x ≤ 20 145 (179.57) 125 (119.71) 149 (119.71) 419



H πij = πi



H


0 ≤ x < 6 32 (23.57) 15 (15.71) 8 (15.71) 556 ≤ x < 12 123 (96.86) 60 (64.57) 43 (64.57) 22612 ≤ x ≤ 20 145 (179.57) 125 (119.71) 149 (119.71) 419



H πij = πi → eij

nj=

Pcj=1 oij

n



H


0 ≤ x < 6 32 (23.57) 15 (15.71) 8 (15.71) 556 ≤ x < 12 123 (96.86) 60 (64.57) 43 (64.57) 22612 ≤ x ≤ 20 145 (179.57) 125 (119.71) 149 (119.71) 419




nj=

Pcj=1 oij

n → eij =1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij

︸︷︷︸

nj



H


0 ≤ x < 6 32 (23.57) 15 (15.71) 8 (15.71) 556 ≤ x < 12 123 (96.86) 60 (64.57) 43 (64.57) 22612 ≤ x ≤ 20 145 (179.57) 125 (119.71) 149 (119.71) 419




nj=

Pcj=1 oij

n → eij =1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij

︸︷︷︸

nj


H Conditions : OK (sinon ? augmenter la taille de l’échantillon !)



H


0 ≤ x < 6 32 (23.57) 15 (15.71) 8 (15.71) 556 ≤ x < 12 123 (96.86) 60 (64.57) 43 (64.57) 22612 ≤ x ≤ 20 145 (179.57) 125 (119.71) 149 (119.71) 419




nj=

Pcj=1 oij

n → eij =1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij

︸︷︷︸

nj


H Conditions : OK (sinon ? augmenter la taille de l’échantillon !)H Même formule que le test d’indépendance !



H

χ2 =∑

i,k

(oij − eij)2

eij



H

χ2 =∑

i,k

(oij − eij)2

eij

H Calculer χ2 = 35.4729



H

χ2 =∑

i,k

(oij − eij)2

eij

H Calculer χ2 = 35.4729H ν = (3 − 1)(3 − 1) = 4



H

χ2 =∑

i,k

(oij − eij)2

eij


pchisq( 35.4729, df=4, lower.tail=FALSE ) = 3.714 · 10−7



H

χ2 =∑

i,k

(oij − eij)2

eij



H On peut rejeter H0 pratiquement à n’importe quel seuil de signification !



H

χ2 =∑

i,k

(oij − eij)2

eij



H On peut rejeter H0 pratiquement à n’importe quel seuil de signification !H Commande R :

tableau = cbind(c(32, 123, 145), c(15, 60, 125), c(8, 43, 149))



H

χ2 =∑

i,k

(oij − eij)2

eij



H On peut rejeter H0 pratiquement à n’importe quel seuil de signification !H Commande R :

tableau = cbind(c(32, 123, 145), c(15, 60, 125), c(8, 43, 149))

chisq.test( tableau )

Test de proportions


À partir de c populations, on obtient c échantillons aléatoires etindépendants, de taille nj (j = 1, . . . , c). On mesure sur chaque individule même caractère X, à 2 modalités (« oui » / « non »).

Test de proportions



H0 : la proportion de « oui » reste la même pour toutes les populations(cas spécial du test d’homogénéité, l = 2).

Test de proportions




H Example : nombre de pièces défectueuses et moment de productionH

Pièces\ Créneau Matin Après-midi Nuit TotalDéfectueuses (« O ») 45 (56.97) 55 (56.67) 70 (56.37) 170

Normales (« N ») 905 (893.03) 890 (888.33) 870 (883.63) 2665Total (nj) 950 945 940 2835

Test de proportions







H H0 : π1 = π2 = . . . = πc = π

Test de proportions







H H0 : π1 = π2 = . . . = πc = πH On estime π à partir des fréquences marginales de l’échantillon

Test de proportions








H « Oui » : πj = π

Test de proportions








H « Oui » : πj = π → e1j

nj=

Pcj=1 o1j

n

Test de proportions








H « Oui » : πj = π → e1j

nj=

Pcj=1 o1j

n

H « Non » : 1 − πj = 1 − π

Test de proportions








H « Oui » : πj = π → e1j

nj=

Pcj=1 o1j

n

H « Non » : 1 − πj = 1 − π → e2j

nj=

Pcj=1 o2j

n

Test de proportions


H eij =nj

n

∑cj=1 oij

Test de proportions


H eij =nj

n

∑cj=1 oij → eij =

1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij

Test de proportions


H eij =nj

n


1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij

H Même formule que le test d’indépendance / d’homogénéité !

Test de proportions


H eij =nj

n


1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij


H Degrés de liberté ν = (2 − 1)(c − 1) = c − 1

Test de proportions


H eij =nj

n


1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij



H Conditions : OK (sinon ? augmenter les tailles des échantillons !)

Test de proportions


H eij =nj

n


1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij



H Conditions : OK (sinon ? augmenter les tailles des échantillons !)H Calculer χ2 = 6.2339

Test de proportions


H eij =nj

n


1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij



H Conditions : OK (sinon ? augmenter les tailles des échantillons !)H Calculer χ2 = 6.2339H ν = (3 − 1) = 2

Test de proportions


H eij =nj

n


1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij



H Conditions : OK (sinon ? augmenter les tailles des échantillons !)H Calculer χ2 = 6.2339H ν = (3 − 1) = 2H p-value : P (X2 > 6.2339) =


Test de proportions


H eij =nj

n


1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij





Test de proportions


H eij =nj

n


1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij





oui.non = rbind(c(45, 55, 70), c(905, 890, 870))

Test de proportions


H eij =nj

n


1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij





oui.non = rbind(c(45, 55, 70), c(905, 890, 870))chisq.test( oui.non )

Test de proportions


H eij =nj

n


1

n

c∑

j=1

oij

l∑

i=1

oij





oui.non = rbind(c(45, 55, 70), c(905, 890, 870))chisq.test( oui.non )ou, pour plus d’informations :oui = c( 45, 55, 70) ; essais = c( 950, 945, 940)prop.test( oui, essais )

Test de proportions sans estimation de paramètres


Même contexte qu’avant : c populations, c échantillons, caractère X àdeux modalités.

H0 : les proportions de « oui », π1, . . . , πc, sont égales à p1, . . . , pc (pasd’estimation de paramètres).





H « Oui » : πj = pj → e1j

nj= pj






nj= pj

H « Non » : 1 − πj = 1 − pj → e2j

nj= 1 − pj






nj= pj

H « Non » : 1 − πj = 1 − pj → e2j

nj= 1 − pj

H ν = c : on ne perd aucun degré de liberté






nj= pj

H « Non » : 1 − πj = 1 − pj → e2j

nj= 1 − pj

H ν = c : on ne perd aucun degré de libertéH Example précédent avec :

p1 = 0.05, p2 = 0.06, p3 = 0.08 (6= 170/2835 ≈ 0.06)






nj= pj

H « Non » : 1 − πj = 1 − pj → e2j

nj= 1 − pj


p1 = 0.05, p2 = 0.06, p3 = 0.08 (6= 170/2835 ≈ 0.06)H Calculer χ2 = 0.5836






nj= pj

H « Non » : 1 − πj = 1 − pj → e2j

nj= 1 − pj


p1 = 0.05, p2 = 0.06, p3 = 0.08 (6= 170/2835 ≈ 0.06)H Calculer χ2 = 0.5836H ν = 3






nj= pj

H « Non » : 1 − πj = 1 − pj → e2j

nj= 1 − pj


p1 = 0.05, p2 = 0.06, p3 = 0.08 (6= 170/2835 ≈ 0.06)H Calculer χ2 = 0.5836H ν = 3H p-value : P (X2 > 0.5836) = 0.9002






nj= pj

H « Non » : 1 − πj = 1 − pj → e2j

nj= 1 − pj


p1 = 0.05, p2 = 0.06, p3 = 0.08 (6= 170/2835 ≈ 0.06)H Calculer χ2 = 0.5836H ν = 3H p-value : P (X2 > 0.5836) = 0.9002H On ne peut pas rejeter H0






nj= pj

H « Non » : 1 − πj = 1 − pj → e2j

nj= 1 − pj


p1 = 0.05, p2 = 0.06, p3 = 0.08 (6= 170/2835 ≈ 0.06)H Calculer χ2 = 0.5836H ν = 3H p-value : P (X2 > 0.5836) = 0.9002H On ne peut pas rejeter H0

H Commande R :prop.test( oui, essais, p=c(0.05, 0.06, 0.08) )

Test d’adéquation à la loi normale (Shapiro–Wilk)


H0 : les données expérimentales (échantillon de taille n) ont étéobtenues à partir d’une population normale.

http://www.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/statistiques_appliquees/ep_unsa_elec3_statistiques_appliquees_td_05.pdf




H Procédure « classique » : test du χ2 (cf. TD 5)






1. Répartir les données en classes (histogramme)






1. Répartir les données en classes (histogramme)2. Estimer µ et σ avec qqnorm







3a. Calculer les probabilités théoriques pj des classes







3a. Calculer les probabilités théoriques pj des classesCalculer les fréquences théoriques ej = pjn







3a. Calculer les probabilités théoriques pj des classesCalculer les fréquences théoriques ej = pjnVérifier les conditions sinon regrouper les classes








3b. Ou répartir en (M + 1) classes équiprobables : ej = n/(M + 1)








3b. Ou répartir en (M + 1) classes équiprobables : ej = n/(M + 1)4. Calculer χ2 (on perd deux d.l. avec l’estimation de µ et σ !)









H Procédure spécifique : test de Shapiro–Wilk









H Procédure spécifique : test de Shapiro–WilkH Commande R :

data = rnorm(100, mean=10, sd=2) % un exemple...









H Procédure spécifique : test de Shapiro–WilkH Commande R :

data = rnorm(100, mean=10, sd=2) % un exemple...shapiro.test( data )

H Une grande p-value permet de ne pas rejetter l’hypothèse de normalité


cours de statistique appliqu e -...

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