costruzioni in zona sismica. parte 2c. -...

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA STRUTTURALE STRUTTURALE

Università di Pisa

Corsi di Laurea in Ingegneria Edile ed EdileCorsi di Laurea in Ingegneria Edile ed Edile--ArchitetturaArchitettura

Costruzioni in Zona Sismica. Parte 2c.La progettazione strutturale antisismica

Docente:

Ing. Walter Salvatore

Anno Accademico 2003Anno Accademico 2003--20042004

Costruzioni in Zona Sismica - Corsi di Laurea in Ingegneria Edile ed Edile Architettura - A.A. 2003-04 2

La progettazione strutturale anti-sismica

Un approccio progettuale esauriente deve prevedere i seguenti passi:

- selezione dei livelli di prestazione richiesti;- definizione dei livelli di verifica strutturale;- determinazione dei livelli di azione sismica corrispondenti a ciascun

livello di verifica;- definizione dei criteri di progetto;- scelta del modello strutturale;- selezione del tipo di analisi strutturale appropriato;- definizione delle procedure di verifica.

[Rif. Bibl. Gioncu V., Mazzolani F.M., 2002. Ductility odseismic resistant steel structures. Spon Press, New York]


[Rif. Bibl. Petrini, Pinho, Calvi, 2004. Criteri di progettazioneantisismica degli edifici. IUSS Press, Pavia] Analisi strutturale

Richiami di dinamica strutturale: sistemi ad un grado di libertà.

Si consideri un sistema ad un grado di libertà (1-GDL) caratterizzato da una massa M, disposta

sopra due piedritti elastici di massa trascurabile e rigidezza k ed un elemento viscoso di massa

nulla e constante C.


Analisi strutturale

Dato un sistema di riferimento inerziale fisso, rappresentata l’eccitazione sismica come uno

spostamento orizzontale del suolo xg(t), il sistema oscillerà con uno spostamento relativo u(t)

rispetto al terreno in modo tale che spostamento, velocità e accelerazione assoluti del sistema

risultino essere espressi dalle seguenti relazioni:

dove un punto soprasegnato indica la derivata prima rispetto al tempo e due punti indicano la

derivata seconda.


Analisi strutturale

Applicando la seconda legge di Newton:

si ottiene l’equazione del moto del sistema:

dalla quale è possibile ricavare, note le condizioni iniziali del sistema ( du(t)/dt e u(t) per t=0 ), lo

spostamento nel tempo della struttura.

Più comunemente l’equazione precedente si trova scritta nella forma:

dove l’accelerazione assoluta è stata divisa in accelerazione del terreno ( d2xg/dt2 ) e accelerazione

della massa della struttura rispetto al terreno ( d2u/dt2 ) e dove sono stati introdotti due parametri

caratteristici della struttura:


Analisi strutturale

• La pulsazione o frequenza angolare

da cui si ricava il periodo naturale

Il periodo è la caratteristica dinamica più importante di un sistema in quanto, rappresentando il

tempo impiegato per compiere un’intera oscillazione (un sistema con smorzamento nullo,

disturbato dal suo stato di quiete, u(0)∫0, oscilla indefinitamente con periodo T) dà informazioni

circa il modo con cui il sistema risponde quando sollecitato da vibrazioni del terreno.


Analisi strutturale• Lo smorzamento relativo al critico:

dove ccr=2 m ω è lo smorzamento critico, ovvero quel valore di smorzamento tale per cui se

c¥ccr (ξ ¥1) la struttura, disturbata dal suo stato di quiete u(0)∫0, ritorna nella configurazione

iniziale senza oscillazioni. Se invece c<ccr (ξ<1), il sistema, disturbato dal suo stato di quiete,

oscilla con ampiezze decrescenti, avendo frequenza smorzata

e periodo proprio


Analisi strutturalePer le strutture in cemento armato e muratura si assumono comunemente smorzamenti intorno al

5% dello smorzamento critico, per quelle in acciaio attorno al 2%.

Da ciò si ricava solitamente che il termine (1-ξ2) risulta essere molto prossimo ad uno: l’influenza

dello smorzamento sui parametri caratteristici della risposta dinamica risulta quindi trascurabile.

Si assume infatti generalmente

D =ω ωe coerentemente

=DT TLa soluzione dell’equazione del moto del sistema può essere scritta, assumendo ωD=ω, nella

forma dell’integrale di Duhamel:


Analisi strutturale

Noto lo spostamento relativo del sistema è immediato ricavare la velocità relativa; derivando

l’equazione precedente di ottiene:

Ed infine l’accelerazione assoluta si ricava sostituendo nell’equazione del moto

= −ω − ωξ2x u 2 ule espressioni dello spostamento relativo e della velocità relativa.

Noto quindi il moto della struttura è possibile calcolare le azioni interne necessarie per progettare

e/o verificare una struttura. Per ottenerle è possibile seguire due strade:

- E’ possibile calcolare, essendo noti in ogni istante di tempo gli spostamenti della struttura, le

rotazioni nei nodi degli elementi strutturali (nella colonna per il caso considerato) e quindi

ricavare, conoscendo la rigidezza del singolo elemento, le caratteristiche di sollecitazione.


Analisi strutturale

- E’ possibile definire ad ogni istante di tempo, nota la rigidezza k del sistema, una forza di

statica equivalente:

= ⋅SF k u( t )

tale che, applicata al sistema, induca spostamenti uguali a quelli calcolati risolvendo l’equazione

del moto; le azioni interne sono quindi calcolate ad ogni istante di tempo con una analisi statica

della struttura soggetta alla forza equivalente. Si noti che la forza statica equivalente coincide con

la forza di richiamo elastico indotta dal moto del sistema. Questo è facilmente intuibile se si

considera che sollecitazioni e sforzi sono dovuti al solo spostamento relativo del sistema, essendo

nulli gli effetti di un moto rigido sul sistema.


Analisi strutturaleQuest’ultimo approccio è quello solitamente seguito nell’ingegneria sismica in quanto permette di

trattare gli effetti del terremoto come dei carichi statici. Ricordando la definizione di frequenza

propria è possibile riscrivere la forza statica equivalente nella forma:

( ) ( )= ⋅ = ω ⋅ = ⋅2SF k u( t ) m u t m a t

dove si nota che la forza statica può essere calcolata come il prodotto della massa del sistema per

una accelerazione a(t) = ω 2 u(t) generalmente indicata come pseudo-accelerazione. Il significato

di a(t) può essere inteso considerando l’equazione del moto per l’oscillatore semplice

= −ω − ωξ2x u 2 uquando lo smorzamento x è nullo, il valore assoluto della pseudo-accelerazione e quello

dell’accelerazione assoluta coincidono

= ω2x u


Analisi strutturale

Analogamente si può definire una pseudo-velocità v(t)=ωu(t) i cui valori massimi coincidono con

quelli della velocità relativa del sistema quando lo smorzamento x è nullo.

Generalmente non è necessario calcolare FS ad ogni istante di tempo, ma è sufficiente conoscere

la massima forza agente sul sistema durante l’azione sismica, essendo quella che indurrà le

massime sollecitazioni. Risultando quindi:

= ω ⋅ = ⋅S

max 2 max maxF m u m a

Si capisce come, per valutare l’effetto di un sisma, possa essere utile conoscere lo spostamento o

la pseudo-accelerazione massimi indotti da questo su diversi sistemi ad 1-GDL, ovvero al variare

del periodo proprio del sistema, essendo T l’elemento caratterizzante il sistema.


Analisi strutturale

Utilizzando la definizione di spettro di risposta elastico, l’espressione della forza statica

equivalente massima diventa:

= ⋅ = ⋅ ω ⋅ = ⋅S

max 2De De AeF k S m S m S

Da qui, esprimendo la forza massima in funzione del peso della struttura (W=Mg con g

accelerazione di gravità), si ottiene:

dove C è il coefficiente sismico elastico. L’equazione precedente ha il seguente significato: per

determinare il massimo sforzo e la massima deformazione di un sistema ad 1-GDL elastico, si

può applicare staticamente alla massa concentrata m una forza orizzontale


Analisi strutturale

pari la peso della struttura moltiplicato per il coefficiente sismico, il quale viene immediatamente

ricavato dallo spettro elastico di risposta di pseudo-accelerazione SAe una volta noti periodo e

smorzamento della struttura.


Analisi strutturaleRichiami di dinamica strutturale: sistemi a più gradi di libertà.

Le strutture tipiche dell’ingegneria civile non sono sempre schematizzabili come semplici sistemi

ad un grado di libertà, bisogna quindi fare ricorso a modelli più complessi, con molteplici gradi di

libertà. Nel caso frequente di edifici multipiano con solai rigidi nel piano, è possibile

schematizzare la struttura considerando le masse concentrate nei piani e assumendo come gradi

di libertà il minimo numero di spostamenti e rotazioni indipendenti delle masse concentrate.

Se si ipotizza, quindi, un edificio di n piani con diaframmi orizzontali infinitamente rigidi nel loro

piano e colonne infinitamente rigide assialmente, il suo comportamento nello spazio sarà descritto

da 3 µ n gradi di libertà (due spostamenti orizzontali secondo direzioni ortogonali e una rotazione

attorno all’asse verticale per piano; se ci si limita allo studio nel piano, questi si ridurranno a n

gradi di libertà, pari ai soli spostamenti orizzontali dei piani.


Analisi strutturale

Edificio a 5 piani con solai rigidi nel piano (5 GDL)

(a) modello piano;

(b) modello con masse concentrate;

(c) modi propri di vibrare normalizzati rispetto al massimo spostamento.


Analisi strutturale

Elemento fondamentale nell’analisi dinamica di sistemi M-GDL è l’individuazione dei

modi propri di vibrare: essi, in numero pari al numero di gradi di libertà della struttura,

costituiscono le oscillazioni periodiche libere del sistema elastico non smorzato.

La loro combinazione lineare definisce la posizione del sistema ad ogni istante.

In ciascun modo tutte le masse del sistema oscillano con la medesima pulsazione ed in

fase, mantenendo immutati i rapporti tra le ampiezze.

Ciò implica che per ogni oscillazione le masse passano attraverso il punto di massimo

spostamento allo stesso istante.

Per calcolare i modi propri di vibrare si utilizzano gli strumenti dell’analisi modale.


Analisi strutturaleConsiderato un sistema con n GDL, non smorzato e non soggetto a forzanti, indicati con U il

vettore dei gradi di libertà (spostamenti relativi), con M la matrice delle masse, con K la matrice

delle rigidezze, l’equazione che descrive le oscillazioni libere del sistema assume la forma:

L’integrale generale del sistema di equazioni precedente può essere espresso come combinazione

lineare di n integrali del tipo:

Essendo Φ un vettore di componenti costanti, purché ω e Φ soddisfino la relazione:

la quale ammette soluzioni con valori non tutti nulli di Φ se e solo se il determinante dei

coefficienti si annulla cioè quando risulta:


Analisi strutturale

L’equazione precedente è di grado n nell’incognita ω la cui soluzione fornisce i valori ωi delle

frequenze proprie del sistema (autovalori) e quindi i corrispondenti periodi propri:

⋅ π=

ωii

2T

Ad ogni periodo è associato un vettore Φi (autovettore) soluzione dell’equazione (K-ω2M) Φ=0

che, a meno di una costante, definisce l’i-esimo modo proprio di vibrare della struttura.


Analisi strutturale

Nei sistemi schematizzabili con modelli piani, il modo proprio con periodo più lungo è

definito il modo fondamentale o primo modo; nel caso di modelli spaziali si considerano i tre

periodi più lunghi associati rispettivamente ai due modi traslazionali e a quello rotazionale.


Analisi strutturale

E’ possibile dimostrare che per i modi i e j aventi distinti autovalori (ωi∫ ωj), i rispettivi

autovettori (Φi e Φj) sono ortogonali rispetto alla matrice delle masse e delle rigidezze. Ciò si

traduce numericamente nelle due relazioni matriciali:

E’ d’altra parte possibile esprimere la soluzione del sistema di equazioni che descrive il moto

dell’intera struttura tramite una sovrapposizione modale: infatti il vettore spostamento di un

sistema è descrivibile tramite un’appropriata sovrapposizione dei modi propri. Introdotte delle

particolari coordinate generalizzate zi(t), dette coordinate principali, si scrive:


Analisi strutturale

Sostituendo la precedente espressione del vettore spostamento nell’equazioni del moto si ottiene:

Premoltiplicando per Φj e ricordando le relazioni di ortogonalità tra autovettori associati ad

autovalori distinti (Φi e Φj) con (ωi∫ ωj) si ottiene:

da cui, avendo posto:= Φ ⋅ ⋅ Φ

= Φ ⋅ ⋅ Φ

* Tj j j

* Tj j j

M M

K K

Φ

Φ

=

=

si ha:

( ) ( )⋅ + ⋅ =* *j j j jM z t K z t 0


Analisi strutturale

Essendo il quadrato della frequenza propria del j-esimo modo proprio della struttura pari a:

Essa rappresenta l’equazione del moto del modo j-esimo. E’ quindi possibile, introducendo le

coordinate principali, trasformare l’equazione del moto da un sistema di equazioni differenziali

accoppiate ad un sistema di n equazioni indipendenti (una per ogni modo) ad un solo grado di

libertà z(t). La risposta nelle originarie coordinate geometriche U(t) si ottiene calcolando i moti

delle coordinate principali e quindi combinandoli linearmente.

Questo significa, da un punto di vista operativo, vedere la struttura come un insieme di sistemi

ad un solo grado di libertà che collaborano a definire il comportamento globale della struttura.

l’equazione precedente diventa:


Analisi strutturaleE’ utile notare che in molti casi i contributi agli spostamenti sono maggiori per i modi con

periodo alto e tendono a diminuire per i modi con periodo basso. Generalmente, quindi, non è

necessario calcolare tutti i modi per conoscere lo spostamento con sufficiente approssimazione.

Al limite se il primo modo di vibrare risulta essere preponderante sugli altri, ovvero gli

spostamenti dovuti al primo modo sono nettamente superiori a quelli dovuti agli altri modi, è

possibile approssimare il comportamento del sistema M-GDL con quello di un sistema ad un

solo grado di libertà avente periodo proprio pari al primo periodo della struttura.

Si consideri ora un sistema M-GDL con smorzamento viscoso (C matrice di smorzamento)

soggetto ad eccitazione sismica: in analogia con quanto visto per un sistema 1-GDL, l’equazione

del moto del sistema assume la forma:


Analisi strutturale

dove l’effetto del sisma è rappresentato da una forza proporzionale alla matrice delle masse e

all’accelerazione del terreno tramite il vettore di influenza del terremoto R che fornisce gli

spostamenti nella direzione dei gradi di libertà del sistema per uno spostamento unitario del

terreno.

Si consideri il modello di telaio a solai rigidi nel piano:

Il modello essendo bi-dimensionale

(piano x-z) avrà come gradi di libertà i

soli spostamenti dei piani in direzione

x, da cui si deduce che, per uno

spostamento del terreno unitario in

direzione x, il vettore R associato al

modello sarà un vettore unitario.


Analisi strutturale

Nel caso di modello spaziale di un edificio con telai orditi in direzione x e y e solai rigidi nel

piano, i gradi di libertà saranno tre per piano (due traslazioni Uix, Uiy ed una rotazione Uiθ)


Analisi strutturaleUno spostamento unitario del terreno in direzione x fornirà quindi un vettore di influenza di

componenti unitarie in corrispondenza degli Uix e nulle per gli altri gradi di libertà. Infine, uno

spostamento del terreno unitario in direzione obliqua rispetto all’edificio (angolo q rispetto

all’asse x) fornirà un vettore con componenti non nulle in direzione x e y, pari rispettivamente a

cos(θ) e sin (θ).

Applicando quanto visto prima, dopo aver risolto il problema agli autovalori e quindi note le

frequenze proprie del sistema ωj e i modi propri Φj, anche in questo caso si riconduce la

soluzione del sistema di equazioni del moto alla soluzione di n equazioni disaccoppiate nelle

coordinate generalizzate del tipo:


Analisi strutturale

γj rappresenta il coefficiente di partecipazione del j-esimo modo di vibrare.

Questo è possibile ammesso che si assuma che la matrice degli smorzamenti C sia fatta in modo

tale che i modi di vibrare rimangano disaccoppiati; si richiede quindi che:

Da ciò si nota come la scelta della forma della matrice degli smorzamenti sia dettata più da

esigenze di calcolo, per rendere più semplice la soluzione del problema, che non da riscontro

fisico.

A giustificazione, almeno in parte, di una tale scelta si può portare il fatto che lo smorzamento

viscoso è piccolo se confrontato con lo smorzamento isteretico indotto dal comportamento non

lineare della struttura durante il moto sismico ed inoltre la sua conoscenza è sempre comunque

approssimata.


Analisi strutturale

Una classica espressione usata per la matrice di smorzamento è quella della matrice di Rayleigh:

C M K= α ⋅ + β ⋅Dove i parametri α e β sono tipicamente scelti per ottenere un corretto ordine di grandezza dello

smorzamento in corrispondenza degli estremi delle frequenze che contribuiscono alla risposta

della struttura.

Possono quindi essere calcolati nel seguente modo:

14max min

max min

max min

T TT TT T

α = πξ+

⋅ξβ =

π +Dove Tmax e Tmin sono i periodi non smorzati che definiscono l’intervallo di frequenze di

interesse


Analisi strutturaleE’ utile notare che generalmente non è necessario calcolare la matrice degli smorzamenti:

l’utilizzo della decomposizione modale permette, come appena spiegato, di ridursi alla soluzione

delle equazioni del moto di sistemi ad 1-GDL e quindi è sufficiente conoscere il coefficiente di

smorzamento relativo al critico di ciascun sistema.

La conoscenza di C è necessaria solo nel caso si eseguano analisi dinamiche non lineari.

La soluzione del sistema di equazioni nelle coordinate principali zj si ottiene dalla soluzione νj(t)

dell’equazione del moto di un oscillatore semplice soggetto ad eccitazione pari all’accelerazione

del suolo:

(dove il segno della forza è poco significativo a causa del carattere oscillante dell’azione sismica)

amplificata del fattore γj:


Analisi strutturaleIl vettore spostamento relativo prodotto nel j-esimo modo sarà allora:

Noti i contributi dei modi, per la sovrapposizione modale, il vettore spostamento relativo risulterà

pari a:

avendo indicato con Φ la matrice quadrata di componenti Φ1, Φ2,…,Φn e con Z il vettore di

componenti zi(t).

Identicamente, si potranno ottenere le sollecitazioni agenti sul sistema tramite la sovrapposizione

modale delle sollecitazioni calcolate in corrispondenza di ciascun modo.


Analisi strutturaleOperando come nel caso di un sistema ad 1-GDL, noti gli spostamenti relativi, si calcolano le

forze statiche equivalenti associate ai modi tramite la relazione:

( ) ( ) ( )SF t K U t K Z t= ⋅ = ⋅ Φ ⋅ed essendo:

posta Ω matrice diagonale dei quadrati delle frequenze modali ω2j, si ottiene:

dove il prodotto ω2j νj è la pseudo-accelerazione del modo j-esimo.

Svolgendo, ad ogni istante di tempo t del sisma, per ogni distribuzioni di forze statiche

equivalente associata ad un modo, un’analisi statica della struttura, è possibile ricavare allo stesso

istante reazioni e sollecitazioni interne, semplicemente sommando i contributi derivanti da tutte le

analisi.


Analisi strutturaleAd esempio, la forza di taglio alla base di un telaio di n piani a solai rigidi nel piano, è data dalla

somma di tutte le forze statiche agenti sul sistema:

essendo FSi(t) la forza agente sull’i-esimo piano della struttura.

Il termine

ha le dimensioni di una massa ed è solitamente indicato come la massa efficace della struttura nel

modo j-esimo poiché può essere interpretato come la parte di massa totale che risponde al

terremoto secondo il modo j-esimo. Questa interpretazione è valida però solo se si fa riferimento

a strutture a telaio a solai rigidi nel piano; in questo caso la massa totale risulta pari alla somma

delle masse efficaci dei vari modi:


Analisi strutturale

Se non si è interessati al comportamento nel tempo del sistema M-GDL, ma soltanto alla

massima risposta è possibile utilizzare lo spettro di risposta come descritto nel caso di un sistema

1-GDL. Quindi, con riferimento ai valori assoluti, il massimo vettore spostamento relativo ed il

massimo taglio alla base in corrispondenza del modo j-esimo risulteranno rispettivamente:

E’ importante notare che la risposta globale del sistema non può essere ottenuta sommando

semplicemente i vettori modali dedotti con lo spettro di risposta: infatti, ciascun modo

raggiungerà il valore massimo in un tempo diverso dagli altri e quindi non vi sarà mai un istante di

tempo in cui la risposta della struttura sarà pari alla somma di tutti i vettori massimi.


Analisi strutturalePer ottenere la risposta del sistema si utilizzano delle tecniche di combinazione dei modi derivanti

dall’analisi probabilistica. Ricordando inoltre che le masse modali dei primi modi sono

generalmente preponderanti, si deduce che per un’analisi modale con spettro di risposta può

essere sufficiente considerare solo i primi modi.


Analisi strutturale

Metodi di analisi strutturale.


La normativa italiana: l’Ordinanza n. 3274 del 20/03/2003.

Metodi di analisi strutturale

Nelle norme sono ammessi quattro metodi di analisi caratterizzati da complessità e precisione

crescenti. Essi sono:

a) statica lineare (Analisi tramite la forza laterale equivalente)

b) dinamica modale (Metodo di sovrapposizione modale)

c) statica non lineare (Analisi tipo “Push-over”)

d) dinamica non lineare (Analisi dinamica non-lineare)

La scelta tra un metodo e l’altro dipende dalle caratteristiche (regolarità, periodi propri caratteristici) e

dall’importanza della struttura che si sta studiando. In particolare, le norme definiscono “metodo

normale”, per la definizione delle sollecitazioni di progetto, l’analisi modale associata allo spettro di

progetto ed applicata ad un modello tridimensionale dell’edificio.




Considerazioni sulla regolarità in pianta ed in altezza della struttura permettono di considerare al

posto di un modello tridimensionale due modelli piani separati e al posto dell’analisi modale una

semplice analisi statica lineare, secondo quanto riassunto nella tabella:

Dinamica modaleSpazialeNoNo

Statica lineareSpazialeSìNo

Dinamica modalePianoNoSì

Statica linearePianoSìSì

AnalisiModelloAltezzaPianta

Semplificazioni ammesseRegolarità geometrica




Nella progettazione di edifici nuovi l’utilizzo di metodi di analisi più sofisticati, come l’analisi statica

non lineare e quella dinamica non lineare, è, quindi, a discrezione del progettista, al quale è lasciato il

compito di valutare quale tipo di analisi, in relazione al tipo di progetto affrontato, dà informazioni

sufficienti per realizzare un’opera che abbia il carattere prestazionale richiesto dalle norme.

Come già precedentemente ricordato, infatti, le norme richiedono di progettare avendo come

obiettivo non solo la salvaguardia della vita umana, ma anche il controllo del danno al fine di rendere

minimi gli eventuali costi di riparazione ed adeguamento a seguito di un evento sismico con periodo

di ritorno più basso di quello del terremoto di progetto.


La normativa italiana: l’Ordinanza n. 3274 del 20/03/2003. Metodi di analisi strutturale

In questo approccio è permesso al progettista di fare affidamento su fonti di resistenza e di

dissipazione di energia non considerate nelle procedure basate sull’analisi e progettazione elastica: ad

esempio è possibile sfruttare l’effetto benefico di elementi “secondari” o di elementi non strutturali

sulla risposta strutturale, nonché la ridistribuzione delle forze dovuta alla non-linearità della risposta.

Inoltre gli elementi strutturali possono subire elevate deformazioni, compatibilmente con i vincoli

imposti dalle verifiche allo stato limite di danno, ammesso che mantengano la loro capacità di

sopportare i carichi verticali e venga assicurata la stabilità globale.

L’analisi non lineare consente quindi una più puntuale valutazione della risposta attesa.

Nella verifica di edifici esistenti l’analisi non-lineare, in particolare quella statica, diviene in molti casi

necessaria per valutare in modo sufficientemente attendibile la sicurezza della struttura, le norme

pertanto ne raccomandano l’utilizzazione.


Analisi strutturaleMetodo della forza laterale equivalente.

E’ il primo e più semplice metodo di analisi

sismica delle strutture. E’ basato sull’assunzione

che il comportamento della struttura è

governato dal suo periodo fondamentale di

vibrazione e della relativa forma modale.

L’analisi strutturale risulta conservativa per

edifici di piccola e media altezza con

caratteristiche di regolarità strutturale.

La distribuzione delle forze laterali segue la

forma del primo modo .



Le caratteristiche del moto del terreno sono descritte tramite lo spettro di risposta elastico.

Lo spettro definisce l’accelerazione che deve essere sostenta dall’edificio se progettato in modo da

rimanere in campo elastico anche per terremoti di elevata intensità.

Nel caso si voglia far ricorso anche alle risorse inelastiche della struttura, è possibile ridurre le

ordinate dello spettro in ragione del fattore di struttura q.



Il metodo prevede di prendere in considerazione, in entrambe le due direzioni principali della

struttura, solo il primo modi di vibrare (modo fondamentale). Calcolati i periodi propri

fondamentali nelle due direzioni (T1x e T1y) è possibile ricavare le massime forze di taglio alla base

dell’edificio nelle due direzioni, ricavare i loro contributi lungo l’altezza dell’edificio e quindi, con

questi carichi, svolgere un’analisi statica.

Un’analisi di questo genere è in grado di dare risultati soddisfacenti solo nel caso di strutture la cui

risposta non è significativamente influenzata da modi di vibrare elevati.

Ciò avviene quando sono verificate le condizioni di regolarità in alzato e ciascun periodo

proprio fondamentale nelle due direzioni principali risulta minore di 2.5 TC, essendo TC

uno dei parametri dello spettro di risposta elastico.



Come già notato, nel caso in cui la struttura soddisfi anche le condizioni di regolarità in pianta si

studiano due modelli separati.

Facendo riferimento allo spettro di progetto la forza di taglio massima alla base in ciascuna delle sue

direzioni risulta pari a:

dove

Sd(T1) è l’ordinata dello spettro di progetto (espressa in frazioni di g) corrispondente al periodo T1,

W è il peso sismico dell’intera struttura,

λ è un coefficiente correttivo,

C è il coefficiente sismico elastico.

Il taglio alla base Fb è distribuito lungo i piani proporzionalmente alle forze di inerzia corrispondenti

al modo fondamentale.



Poiché il primo modo di vibrare di un edificio multipiano a telaio con un numero limitato di piano e

sufficiente rigidezza laterale è approssimativamente lineare, le componenti dell’autovettore Φ1

possono essere espresse dalla relazione:

con zi=altezza dal suolo dell’i-esimo piano e zn=altezza dal suolo dell’ultimo piano



Le forze di inerzia agenti sull’i-esimo piano di peso Wi risultano:

essendo:

Essendo:

Risulta:

da cui



Per valori costanti di peso e altezza dei piani la distribuzione delle forze sismiche lungo l’altezza

assume forma triangolare.

Questo tipo di analisi trova il suo fondamento nel fatto che in molte strutture la massa efficace

relativa al primo modo risulta essere preponderante (fino all’80-90% della massa totale) rispetto

alle altra e la corrispondente ordinata spettrale è maggiore o uguale a quella degli altri modi. Infatti

sotto queste ipotesi essendo la forza di taglio alla base dovuta all’i-esimo modo pari a

iW

( )bi i a i iF g W S T ,ξ= ⋅ ⋅

e quindi il taglio alla base può essere approssimato con la somma dei contributi modali:

in cui il contributo del primo modo alla forza totale sarà preponderante e sostituendo la massa

relativa al primo modo con la massa totale del sistema M si otterrà un’approssimazione per eccesso

della forza di taglio alla base Fb.



Questa approssimazione non è più valida qualora risulti Sa1<Sa2, Sa3 … cioè se il periodo

fondamentale del sistema è alto. Si veda ad esempio il caso rappresentato nella seguente figura

Analisi con spettro di risposta di una struttura flessibile, caratterizzata da un modo fondamentale

elevato. La massa partecipante del primo modo risulta essere pari al 70% contro il 13% del secondo

modo ed il 6% del terzo.



Come accade nella maggior parte dei casi, lo spettro di risposta utilizzato presenta per

periodi superiori ad un secondo(T1=1.5s) bassi valori dell’ordinata spettrale:

in particolare Sa1=0.026s, mentre le ordinate degli altri modi risultano pari a Sa2=0.32s e

Sa3=0.36.

E’ immediato verificare che il contributo elastico del modo fondamentale

Fb1=0.026 µ 0.7=0.018 risulta inferiore a quello del secondo e del terzo modo,

rispettivamente Fb2=0.32 µ 0.13=0.04 e Fb3=0.36 µ 0.06=0.022; approssimare il

comportamento della struttura con quello del primo modo provoca errori sia nel valore

che nella distribuzione delle forze statiche equivalenti e, ovviamente, nei risultati

dell’analisi.


La normativa italiana: l’Ordinanza n. 3274 del 20/03/2003. Metodi di analisi strutturale Analisi statica lineare

L’analisi statica lineare può essere effettuata per costruzioni regolari in altezza a condizione che

il primo periodo di vibrazione, nella direzione in esame, della struttura (T1) non superi 2,5 TC.

Per edifici che non superino i 40 m di altezza, in assenza di calcoli più dettagliati, T1 può essere

stimato utilizzando la formula seguente.

T1 = C1 H3/4

Dove H è l’altezza dell’edificio, in metri, dal piano di fondazione e C1 vale

0,085 per edifici con struttura a telaio in acciaio,

0,075 per edifici con struttura a telaio in calcestruzzo e

0,050 per edifici con qualsiasi altro tipo di struttura.

L’analisi statica consiste nell’applicazione di un sistema di forze distribuite lungo l’altezza

dell’edificio assumendo una distribuzione lineare degli spostamenti.



La forza da applicare a ciascun piano è data dalla formula seguente:

( )( )

i ii h

j j j

z WF F

z W⋅

=⋅∑

dove: Fh = Sd(T1) W λ / g

Fi è la forza da applicare al piano i

Wi e Wj sono i pesi delle masse ai piani i e j rispettivamente

zi e zj sono le altezze dei piani i e j rispetto alle fondazioni

Sd(T1) è l’ordinata dello spettro di risposta di progetto

W è il peso complessivo della costruzione, calcolato secondo quanto indicato per ogni tipo strutturale

λ = 0,85 se l’edificio ha almeno tre piani e se T1 < 2 TC , λ = 1,0 in tutti gli altri casi

g è l’accelerazione di gravità.



Gli effetti torsionali accidentali, per edifici aventi massa e rigidezza simmetricamente distribuite in

pianta, possono essere considerati amplificando le forze da applicare a ciascun elemento verticale

con il fattore (δ) risultante dalla seguente espressione:

e

x1 0.6L

δ = + ⋅

dove:

x è la distanza dell’elemento resistente verticale dal baricentro geometrico dell’edificio, misurata

perpendicolarmente alla direzione dell’azione sismica considerata

Le è la distanza tra i due elementi resistenti più lontani, misurata allo stesso modo.


Analisi strutturale

La risposta del sistema a molti g.d.l. è

espressa come la sovrapposizione di

singole risposte modali, determinate dallo

spettro di risposta per il sistema ad 1 g.d.l.

Lo spettro di progetto è scalato per un

fattore di struttura q costante per tutti i

modi di vibrare considerati.

Gli effetti di ogni modo sono combinati in

modo da ottenere una stima della risposta

strutturale complessiva.

Metodi di analisi strutturale (elastici):Metodo di sovrapposizione modale


Analisi strutturaleMetodo di sovrapposizione modale.

Questo tipo di analisi è considerato il metodo normale per la definizione delle sollecitazioni di progetto.

Deve essere applicato usando un modello tridimensionale della struttura a meno che non siano

rispettati i criteri di regolarità in pianta: in questo caso è sufficiente studiare due modelli piani separati.

La maggior differenza con l’analisi statica equivalente consiste nel fatto che nel calcolo dei parametri di

risposta del sistema si tiene conto delle caratteristiche dinamiche della struttura tramite l’utilizzo dei

modi propri di vibrare.

L’analisi modale, così come è solitamente applicata, prevede di calcolare, tramite l’utilizzo dello spettro

di risposta di pseudo-accelerazione, i valori massimi di sollecitazioni e spostamenti associati a ciascun

modo proprio di vibrare della struttura supposta elastica lineare, e quindi di combinarli in modo

opportuno.



Metodologia

L’analisi modale permette di calcolare utilizzando lo spettro di progetto Sad i massimi vettori

delle forze statiche equivalenti dei vari modi:

( )j,max j j a j jF M g S T ,= ⋅ Φ ⋅ γ ⋅ ⋅ ξ

e, da questi, i massimi valori dei parametri di risposta (momenti, tagli, spostamenti…).

Le norme suggeriscono di considerare nell’analisi tutti i modi con massa partecipante superiore al 5%:

( )2Tk nj

i*j 1 i 1j

M R0.05 M

M= =

Φ ⋅ ⋅≥∑ ∑

dove j è l’indice dei modi considerati e Mi sono le masse degli n piani.



Oppure un numero di modi tale per cui la massa partecipante risulti superiore all’85%:

( )2Tk nj

i*j 1 i 1j

M R0.85 M

M= =

Φ ⋅ ⋅≥∑ ∑

dove k è il numero dei modi da considerare.

In questo secondo caso sarebbe comunque opportuno verificare anche che non vi siano modi

esclusi aventi massa modale partecipante superiore al 5%. Con tale controllo si vuole evitare che

si verifichi il caso in cui la massa non considerata appartenga ad un unico modo, il quale diventa,

quindi, non più trascurabile. Nel caso di modelli spaziali queste condizioni devono essere

verificate per ciascuna direzione principale.



Poiché la garanzia che non ci siano masse modali superiori al 5% può essere

effettivamente raggiunta soltanto tenendo in conto il 95% della massa modale, questa

regola non è sempre di facile applicazione, in particolare nel caso di modelli con un

elevato numero di gradi di libertà.

Poiché tutti i modi non raggiungono il massimo simultaneamente e poiché, se risulta

Tj§0.9 Ti per Tj < Ti le risposte nei modi di vibrare si possono considerare indipendenti

le une dalle altre,

le norme consentono di calcolare il loro più probabile valore massimo utilizzando una

combinazione SRSS (radice quadrata della somma dei quadrati delle quantità

considerate).



Il generico parametro della risposta risulta allora definito tramite la relazione:

2 2 2 21 2 3 nE E E E ... E= + + +

dove E1, E2 ecc. sono i valori del parametro dovuti rispettivamente al massimo vettore delle forze

statiche equivalenti del primo modo FS1max, del secondo modo FS2

max ecc.

Se i modi di vibrare non possono essere considerati indipendenti l’uno dall’altro, le norme suggeriscono

di utilizzare una combinazione quadratica completa (CQC) data dalla relazione:

1/ 2

ij i ji j

E E E = ρ ⋅ ⋅∑ ∑

dove

( )( )( ) ( )( )

2 3/ 2ij ij

ij 2 22 2ij ij ij

8 1

1 4 1

ξ + β βρ =

− β + ξ β + β


La normativa italiana: l’Ordinanza n. 3274 del 20/03/2003. Metodi di analisi strutturale Analisi dinamica modale

L’analisi modale, associata allo spettro di risposta di progetto, è da considerarsi il metodo normale

per la definizione delle sollecitazioni di progetto e va applicata ad un modello tridimensionale

dell’edificio.

Due modelli piani separati possono essere utilizzati a condizione che siano rispettati i criteri di

regolarità in pianta.

Dovranno essere considerati tutti i modi con massa partecipante superiore al 5%, oppure un

numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all’85%.

La combinazione dei modi al fine di calcolare sollecitazioni e spostamenti complessivi potrà

essere effettuata calcolando la radice quadrata della somma dei quadrati dei risultati ottenuti per

ciascun modo a condizione che il periodo di vibrazione di ciascun modo differisca di almeno il

10% da tutti gli altri.


La normativa italiana: l’Ordinanza n. 3274 del 20/03/2003. Metodi di analisi strutturale Analisi dinamica modale

In caso contrario dovrà essere utilizzata una combinazione quadratica completa.1/ 21/ 2

2i ij i j

i i jE E (4.4) E E E (4.5) = = ρ ⋅ ⋅∑ ∑ ∑

E è il valore totale della componente di risposta sismica che si sta considerando

Ei è il valore della medesima componente dovuta al modo i

Ej è il valore della medesima componente dovuta al modo j

( )( )( ) ( )( )

2 3/ 2ij ij

ij 2 22 2ij ij ij

8 1

1 4 1

ξ + β βρ =

− β + ξ β + β

ρij è il coefficiente di correlazione tra il modo i e il modo j

ξ è il coefficiente di smorzamento viscoso equivalente

βij è il rapporto tra le frequenze di ciascuna coppia i-j di modi (βij = ωi/ωj).


Analisi strutturaleMetodi di analisi strutturale (elastici): Analisi dinamica lineare

Il metodo analizza la risposta

dinamica del modello strutturale per

un moto alla base tramite

l’integrazione delle equazioni del

moto.

Tale metodo consente di ricavare

direttamente le forze presenti

durante l’evento sismico nei singoli

elementi strutturali considerati nel

modello.

costruzioni in zona sismica. parte 2c. -...

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