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Corso di Formazione per docenti di Scuola Superiore: Il calcolo infinitesimale nei licei Marzo-Aprile 2014 LaboratorioDidattico effediesse Dipartimento diMatematica Politecnico di Milano Prof. Marco Bramanti Pagina web del corso (materiale scaricabile ecc.): www1.mate.polimi.it/~bramanti/corsi/corso_formazione_analisi_2014.htm Raggiungibile anche dalla pagina web effediesse: http://fds.mate.polimi.it/ formazione, formazione docenti, calcolo infinitesimale, link a fondo pagina.

Lezione 5. Calcolo integrale Dalle indicazioni nazionali per il 5 anno dei licei non scientifici. Matematica, Relazioni e funzioni Lo studente acquisir i principali concetti del calcolo infinitesimale in particolare () lintegrabilit anche in relazione con le problematiche in cui sono nati (() calcolo di aree e volumi). Non sar richiesto un particolare addestramento alle tecniche del calcolo, che si limiter (...) alla capacit di integrare funzioni polinomiali intere e altre funzioni elementari, nonch a determinare aree e volumi in casi semplici. Lobiettivo principale sar soprattutto quello di comprendere il ruolo del calcolo infinitesimale in quanto strumento concettuale fondamentale nella descrizione e nella modellizzazione di fenomeni fisici o di altra natura.

Problemi da cui nasce il calcolo integrale Il problema di definire (e non solo di calcolare!) l'area di una regione a contorni curvilinei. Occorre riandare ai calcoli di aree della geometria elementare per comprendere come la stessa nozione di area si sia via via estesa. Idea di misura come rapporto tra quadratino unit di misura e regione da misurare; idea di equiscomponibilit; idea di additivit dell'area. E poi? Manca ancora qualcosa per le regioni a contorno curvilineo. Problema di calcolare lo spazio percorso da un punto mobile con velocit istantanea variabile.

La definizione di integrale L'integrale come limite di somme. (Questo lo slogan che vogliamo rimanga). Consideriamo le funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato. Costruiamo le somme di Cauchy-Riemann relative a una partizione in intervalli di uguale ampiezza, con la funzione integranda calcolata in un punto arbitrario scelto in ogni intervallino. Enunciamo il teorema: la successione delle somme di C.R. converge, e il limite non dipende da come abbiamo fatto le scelte arbitrarie in ciascun intervallino e a ciascun passo della costruzione. Definizione: il numero s limite di (qualsiasi) successione di C.R. relativa a f in [a,b] si dice integrale (definito) di f in [a,b] e si indica col simbolo

La definizione di integrale Osservazione sul simbolo: un simbolo, cio ha un significato complessivo (il dx non ha un significato indipendente), per, come per il simbolo di Leibniz per la derivata, ricorda la definizione del concetto. (v. le simulazioni Mathematica e GeoGebra delle somme di Riemann). Un testo in cui la teoria dellintegrazione svolta in questo modo: Pensare e fare matematica. (Andreini, Bramanti, Manara, Prestipino). Per una motivazione dettagliata di questo modo di procedere, v. articolo su Emmeciquadro, nr. 36 - agosto 2009.

Significato geometrico di integrale Se f(x) > 0 su [a,b] l'integrale ha il significato geometrico di area, anzi ne la definizione (se i contorni sono curvilinei). Se f cambia segno lintegrale unarea con segno. Se vogliamo unarea in senso geometrico per una funzione di segno variabile, dovremo calcolare l'integrale del modulo di f(x). Ma in molte questioni proprio l'area con segno quella che serve (es. velocit / spostamento). Il fatto che nei casi elementari l'integrale restituisca l'area elementare dipende dalle propriet dell'integrale, che vedremo un po alla volta. Vale la pena far osservare subito, dalla definizione di integrale come limite di somme che lintegrale di una retta larea del trapezio (basta scegliere il punto medio di ogni intervallino).

Significato cinematico di integrale Se v(t) la velocit di un punto mobile sulla retta, lo spostamento netto in un intervallo di tempo [0,T] pari allintegrale di v(t) in [0,T]: vederlo ragionando sul limite di somme, non sull'area. Invece, lo spazio totale percorso lintegrale di | v(t) | in [0,T] (che il punto vada avanti o indietro, voglio in ogni caso sommare le lunghezze percorse). Altri significati fisici: la massa di una sbarra non omogenea l'integrale della densit lineare di massa; il lavoro l'integrale rispetto allo spostamento ds della componente della forza nella direzione dello spostamento. (vedremo esempi).

Propriet elementari dellintegrale (optional in un liceo non scientifico) Dalla definizione di integrale come limite di somme seguono subito: la linearit dell'integrale, per la linearit del limite e della somma, (mentre non sarebbe ovvio per il significato geometrico); (la monotonia dellintegrale per il teorema di permanenza del segno). Ladditivit dell'integrale rispetto agli estremi di integrazione esprime ladditivit dell'area (mentre non cos ovvio dalla definizione). Possiamo limitarci a questo argomento intuitivo. (Il teorema del valor medio segue dalla monotonia, dallintegrale della costante, dal teorema di Weierstrass e dei valori intermedi, ma nellimpostazione che qui propongo, questo teorema non cos importante, salvo se pi avanti si tratter la funzione integrale).

Come si calcola lintegrale? Si pu usare Excel o GeoGebra per calcolare numericamente le somme di C.R. e avere un valore approssimato

Come si calcola lintegrale? Per il calcolo esatto dellintegrale, si pu fare l'esempio dellintegrale di x 2 su [0,1] con le somme di C.R. per mostrare che luso della definizione caso per caso non praticabile. Quindi si motiva il teorema fondamentale del calcolo integrale, vera novit introdotta da Newton-Leibniz rispetto ai tentativi precedenti. Definizione di primitiva. (Cose gi dette parlando di modelli differenziali) Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla (conseguenza semplice di Lagrange) e caratterizzazione dellintegrale indefinito. (Sottolineare l'implicazione non banale). Teorema: ogni funzione continua su un intervallo ammette ivi primitiva (non lo dimostriamo), ma ci non significa n che noi la sappiamo trovare, n che questa sia sempre esprimibile come composizione di funzioni elementari: per esempio la funzione exp(-x 2 )

Come si calcola lintegrale Teorema fondamentale del calcolo integrale (dimostrato direttamente, senza usare il concetto di funzione integrale). Idee di base sulla ricerca di primitive: Primitive delle funzioni elementari (costante, potenze, 1/x, esponenziali, sinx, cosx); integrazione per scomposizione (linearit della derivata, non dellintegrale); ad es., integrazione dei polinomi; primitiva di af(bx+c) quando nota la primitiva di f(x) (caso molto particolare di integrazione per sostituzione); esempi:

Come si calcola lintegrale Qualche altra astuzia nel calcolo di integrali definiti (optional): utilizzo delle simmetrie negli integrali definiti (funzioni pari o dispari su intervalli simmetrici; integrale di una funzione trigonometrica su un ciclo); gestione dei valori assoluti negli integrali definiti; cambiamento di scala in un integrale definito (caso molto particolare di integrazione per sostituzione) che si verifica pensando alla primitiva:

Applicazioni del calcolo integrale Tradizionalmente: tecnica di calcolo delle primitive; teoria dellintegrale definito; calcolo di integrali. Si pu fare: integrale definito; primitive elementari e prime applicazioni significative; poi, strada facendo, eventuali ulteriori metodi di integrazione, ed eventuali ulteriori esercizi scolastici di calcolo integrale. Applicazioni a: Calcolo di aree e volumi significativi; Calcolo del lavoro in fisica; (Integrale indefinito): integrazione di alcune equazioni differenziali gi incontrate; Calcolo delle probabilit (variabili aleatorie continue).

Esempi significativi di calcolo di aree e volumi Premessa: la geometria elementare non va dimenticata: vietato usare integrali per larea dei poligoni e del cerchio. Per tutto il resto, per Esempio 1. Dallarea del cerchio, dedurre larea dellellisse. Esempio 2. Dimostrare il Teorema di Archimede sul segmento di parabola. Volume di un solido di rotazione (formula, mediante larea del cilindro e lintegrale come limite di somme). Esempio 3. Volume della sfera (e sua superficie, per derivazione) Esempio 4. Volume del cono. Esempio 5. Volume della piramide di base qualunque.

Esempi significativi di calcolo di aree e volumi Esempio 6. Volume dellellissoide di rotazione (e poi qualsiasi). Esempio 7. Volume della scodella parabolica. (eccetera) Raccomandazioni: 1. Usare calcoli dimensionati, cio introdurre i parametri raggio, altezza, ecc., non fare tutto coi numeri puri perch pi semplice. 2. Quando possibile e significativo, esprimere il risultato finale come formula di geometria sintetica (v. segmento di parabola). Osservazione: quante cose significative abbiamo fatto conoscendo solo la primitiva di x e x 2 ! Non farei lunghezza del grafico e area della superficie di rotazione (primitive di funzioni irrazionali).

Applicazioni fisiche: lavoro Esempio 1. Lavoro ed energia potenziale del campo gravitazionale del sole. Esempio 2. Lavoro ed energia potenziale di una molla.

Primitive ed equazioni differenziali Utilizzando solo la primitiva di a/(bx+c) ed eventualmente un semplice caso di scomposizione in fratti semplici si possono integrare alcune equazioni del primordine discusse in precedenza. Esempio 1. Il modello di Malthus per la dinamica delle popolazioni. Esempio 1b. Decadimento radioattivo e tempo di dimezzamento. Esempio 2. Modello di Verhulst per la dinamica delle popolazioni: crescita in un ambiente a capacit finita. Esempio 3. Raffreddamento di un corpo. Esempio 4. Caduta di un grave nellaria.

Applicazioni alla probabilit Dalle indicazioni nazionali per i licei non scientifici. Dati e previsioni Saranno studiate le caratteristiche di alcune distribuzioni di probabilit (in particolare, la distribuzione binomiale e qualche esempio di distribuzione continua. Gli esempi di distribuzione continua possono essere: la distribuzione uniforme su un intervallo; la distribuzione esponenziale (istante del 1 arrivo in un processo di Poisson); la distribuzione normale. A seconda dei concetti introdotti (funzione di ripartizione o no? Varianza o no?) servono strumenti matematici diversi. Parentesi

La funzione integrale Se si d una dimostrazione diretta del teorema fondamentale del calcolo integrale, non necessario introdurre la funzione integrale, a meno che si intenda farlo in vista dello studio delle distribuzioni continue di probabilit. Introdotto il concetto di funzione integrale (idea chiave: un nuovo tipo di funzione, non occorre trovare la primitiva per gestirla), si dimostra il 2 teorema fondamentale del calcolo integrale (la derivata della funzione integrale lintegranda, se questa continua). NB: Solo in questa dimostrazione si utilizza il teorema della media (altrimenti si poteva non farlo). Interpretazioni della funzione integrale: spazio percorso s(t) nota la velocit v(t); funzione di ripartizione di una distribuzione continua.

Distribuzioni di variabili aleatorie continue (1) (v. a parte documento Applicazioni delle serie e degli integrali generalizzati al calcolo delle probabilit) Distribuzione uniforme su un intervallo [a,b]. Se si vuole calcolare solo P(c < X < d) non c bisogno di usare gli integrali. Anche per il valore atteso, intuitivo che sia il punto medio dellintervallo. Se si parla di varianza, si pu calcolare E(X 2 ) e quindi VarX, con un integrale. Serve solo la primitiva di x 2.

Distribuzioni di variabili aleatorie continue (2) Distribuzione esponenziale Esp( ) E listante del primo arrivo in un processo di Poisson di intensit. Nota la legge di Poisson, per lesponenziale si calcola P(Y > t), quindi P(Y 0, non occorre scrivere la funzione integrale con estremo infinito. Nota la densit si possono calcolare il valore atteso ed eventualmente la varianza. Qui serve la formula di integrazione per parti (per xe ax ). Didatticamente, matematicamente, un esempio semplice e interessante. Ma molto meno utile della normale.

Distribuzioni di variabili aleatorie continue (3) Distribuzione normale Introdurrei subito le densit Gaussiane N( , 2 ) come distribuzioni plausibili su un esempio guida (es. statura). Non si sa trovare la primitiva ma, prendendo per buono lintegrale della densit normale standard, si pu verificare che lintegrale 1. Funzione di ripartizione e suo grafico (giustificato da limiti e derivata). C la difficolt aggiuntiva dellestremo infinito di integrazione. Istruttivo esempio di funzione di tipo nuovo. Calcolo di valore atteso e varianza. Esempio istruttivo di integrazione per parti e calcolo con le sostituzioni lineari. E istruttivo arrivare ad un esempio esplicito di calcolo della probabilit (tavole o Excel).

Sintesi sul calcolo delle primitive Se (come richiesto dalle indicazioni e suggerito dalleconomia di tempo) si d importanza alle applicazioni del calcolo delle primitive (calcolo di aree e di volumi, lavoro in fisica, risoluzione di alcune equazioni differenziali del 1 ordine, variabili aleatorie continue), possibile e opportuno sviluppare questi esempi con un investimento iniziale minimo (primitive di funzioni elementari, di f(ax+b)), che ha il pregio di non creare un doppio binario mentale tra cos lintegrale e come si calcola; un successivo approfondimento (funzione integrale, integrazione per parti, sostituzioni semplici) pu preludere allo studio della Gaussiana. Lintegrale generalizzato si pu considerare en passant negli esempi richiesti, senza una trattazione esplicita.

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