Corrente elettrica

F i s i c a s p e r i m e n t a l e I I

Per descrivere il moto di una singola carica introdurremo il vettore velocità

Se, come in un metallo, abbiamo un numero enorme di cariche libere di muoversi dovremo introdurre il vettore velocità media

Densità di probabilità che la particella abbia, nel punto

considerato, velocità v

Velocità di deriva

v r( ) = η r , v( )∫ ⋅ v dv3 = vd

Due grandezze macroscopiche legate alla velocità media

Intensità di corrente elettrica

Vettore densità di corrente

Intensità di corrente Grandezza scalare

i =dqdt

Unità di misura : Ampere

Coulomb = Ampere ·Secondi

Unità di misura fondamentale nel sistema MKSA

A seconda della direzione di n, la corrente sarà positiva o negativa

A seconda del segno delle cariche in moto, la corrente

sarà positiva o negativa

Il valore della corrente eguaglia quello della carica che oltrepassa in un secondo la superficie nel senso indicato

dalla normale

Vettore densità di corrente

j r( ) = ρ r( ) vd

r( )

i =dqSdt

=1dt

ρ r( ) vdr( )dt ⋅ n( )

S∫ ds = ρ r( ) vd

r( ) ⋅ nS∫ ds = ΦS

j( )

L’attraversamento della superficie è legato alla componente della velocità parallela alla normale

Nel caso di cariche discrete in moto:

j r( ) = qini

r( )vdir( )

i∑

Legge di conservazione della carica elettrica

Avendo identificato una grandezza vettoriale che descrive come si muovono le cariche, possiamo esprimere, in forma locale, la

legge di conservazione

In parole:

In formule:

Se la carica elettrica si conserva, la diminuizione di carica che si verifichi all’interno di un volume dato dovrà eguagliare il flusso di carica uscente

attraverso la superficie delimitante il volume

−dQint

dt= ΦS

j( )

−dQint

dt= ΦS

j( )

−dQint

dt= −

ddt

ρ dv =v∫ ΦS

j( ) =

j ⋅ n dsS∫ =

∇

V∫j dv

Per cui, in forma differenziale:

∇j r( ) = −

dρ r( )dt

Ricordate le basi sperimentali di questa legge?

Conduzione nei metalli

In un metallo vi sono particelle cariche libere di muoversi

In quali condizioni daranno luogo ad una corrente elettrica?

Come possiamo identificare la particella responsabile del passaggio di corrente?

Il valore della corrente a quali parametri fisici è correlato?

In quali condizioni daranno luogo ad una corrente elettrica?

Se tutte le direzioni sono fisicamente equivalenti:

i = 0

j = 0

vd = 0

La presenza di un campo Elettrico origina una anisotropia.

L’esperienza ci dice che per produrre una corrente occorre connetterne i capi a due punti tra i quali esista una d.d.p. (ad es.

ad una batteria)

Prendiamo un lungo filo metallico

Le cariche si muovono in opposte direzioni

Come può la chiusura dell’interruttore alterare il

valore dei campi presenti nel filo?

Si genererà nel filo una densità di carica che varierà in modo continuo tra i due valori, positivo e negativo, caratteristici dei

bottoni del generatore

−E ⋅dl = V

γ∫

Campo elettrico locale

Nel caso più semplice:

E =

VL

L’effetto di questo campo?

Se accadesse solo questo avremo un moto uniformemente accelerato per cui la corrente elettrica dovrebbe aumentare

linearmente nel tempo

Indica che una ulteriore forza agisce sui portatori

di carica

Spesso, il valore della corrente a regime è proporzionale alla d.d.p.

applicata

In questi casi si dice che il conduttore segue la Legge di Ohm

i t = ∞( ) = 1RV

i = S ⋅ j

LE = V j =

LRS

⋅E = σ ⋅E

Resistenza elettrica

Conducibilità elettrica

R =LS1σ

=LSρ

Resistività elettrica

Come si possono interpretare questi dati sperimentali?

Supponendo che agisca sul portatore di carica anche una forza di tipo

viscoso

ma = q

E − kv

Equazione di moto

Soluzione

v =qEk1− e

−kmt⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

v =qEk1− e

−kmt⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

j t( ) = niqi

vii∑ =

E

niqi2

kii∑ 1− e

−kimi

t⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

i(t) S ⋅E

niqi2

mii∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟t

i(t) S ⋅E

niqi2

kii∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

σ =niqi

2

kii∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=1ρ

Resistività in Ωm x 108

Materiale Resistività

Argento 1.59

Rame 1.7

Oro 2.44

Alluminio 2.82

Tungsteno 5.6

Ferro 10.0

Platino 11.1

Piombo 22.

Come si è pervenuti alla scoperta che in un metallo i portatori di carica

sono gli elettroni?

Esperimento di Tolmann e Stewart (1916)

G F Moorhead and G I Opat (1996)

Quando si blocca il cilindro, un impulso di corrente attraversa il galvanometro

Lo strumento fornisce il valore della carica totale associata all’impulso di corrente

Dalla direzione della corrente si determina il segno del portatore

Dal valore della carica totale si determina il rapporto “q/m” del portatore

Dopo che il cilindro è stato bloccato:

F = −kv = m

dvdt

v t( ) = v0 exp −kmt⎡

⎣⎢⎤⎦⎥= ΩRexp −

kmt⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

j(t) = nqv t( ) = ΩRnqexp −kmt⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

Q = S j(t) dt0

∞

∫ = SΩRnq exp −kmt⎡

⎣⎢⎤⎦⎥dt

0

∞

∫ = SΩRnqmk= SΩR

nqmk

Per risalire alle informazioni sulla particella occorre conoscere il rapporto “n/k”

Questo rapporto appare nella espressione della conducibilità elettrica

Q = SΩRnqmk

σ =niqi

2

kii∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=1ρ

nk=σq2

Q = SΩRσ mq

qm

=SΩRσQ

Sperimentalmente si trova:

qm −1.8 ⋅108Coulomb / grammo

I portatori sono quindi elettroni!

Quale è il valore della velocità di deriva?

Es : Rame

Solo gli elettroni esterni

saranno liberi di muoversi

Sezione: 1mm2

Corrente : 10 A

n =δ N0

Mnc

Densità Numero di Avogadro

numero elettroni di conduzione per atomo

Peso Atomico

vd =Jnq

Numero portatori per unità di volume

Densità di corrente

vd = JM

qδ N0nc

vd = JM

qδ N0nc=

1010−6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

64 g mole1.6 ⋅10−19 ⋅ 9g cm3( ) 6.02 ⋅1023( ) ⋅1

vd = 107 64 ⋅10−3

1.6 ⋅10−19 ⋅ 9 ⋅103( ) 6.02 ⋅1023( ) = 0.74 ⋅10−3m / sec

Conclusione:

La velocità di deriva dei portatori di carica in un metallo è, al massimo, dell’ordine del mm/sec

Questa velocità è grande o piccola?

Per quale motivo la domanda? ma = q

E − kv

Il termine di paragone è la velocità con cui si muovono i portatori di carica in assenza di campo elettrico applicato!

Non si era detto che in assenza di campo la velocità era nulla?

Un semplice modello: il modello degli elettroni liberi

Prima di affrontare il modello, una breve premessa.

Come si descrive un sistema di elettroni, una volta specificata la situazione fisica?

La fenomenologia di un sistema di elettroni mostra sempre una caratteristica: compaiono numeri interi!

Ad esempio, l’energia eventualmente fornita ad un atomo di idrogeno ci viene restituita sotto forma di “radiazione

elettromagnetica” le cui possibili frequenze sono date da:

υn,m = R1n2

−1m2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

R = 3.28787 ⋅1015 s−1

Numeri interi

In quali campi della Fisica vi sono fenomeni la cui descrizione coinvolge numeri interi?

Acustica, od in generale, nelle oscillazioni dei corpi elastici

Modi di una corda vibrante di lunghezza L

y(x,t) = Φ(x) ⋅ cos(ω t) = φ0 sin(k x) ⋅ cos(ω t)

La seconda condizione: sin(k L) = 0

porta alle condizioni sul valore di “k”:

k = nπL

, n = 1,2,

In meccanica, tutto deriva dalla soluzione di equazioni differenziali del secondo ordine

Di quale equazione differenziale è soluzione la : Φ(x) = φ0 sin(k x) ?

L’ampiezza dell’oscillazione dipende

dalla coordinata “x”

Usando la funzione seno, è automaticamente soddisfatta la condizione: Φ(0) = 0

L’equazione differenziale che descrive il comportamento

della corda è:

∂2

∂x2Φ(x) = −AΦ(x)

Una equazione analoga descriverà pure i sistemi atomici in quanto essi pure sono caratterizzabili tramite numeri interi

Equazione di SchroedingerAl secondo membro:

Funzione che descrive lo stato elettronicoEnergia dello stato

Al primo membro:Operatore differenziale associato alla energia, detto Hamiltoniana, operante

sulla funzione che descrive lo stato

HΦn (x) = En Φn (x)

La Hamiltoniana del sistema dovrà esprimere il fatto che l’energia contiene termini di energia cinetica e termini di

energia potenziale

H = Hcin + HpotQuindi:

Il modulo quadro della funzione d’onda dà la densità di probabilità di trovare in quel punto la particella. Essa è quindi

nulla ove la particella non possa assolutamente trovarsi

nel caso più semplice: H = Hcin

Ora Ecin =p2

2mper cui: p2

2mΦn (x) = En Φn (x)

deve dare luogo ad: ∂2

∂x2Φ(x) = −AΦ(x)

Operatore associato all’impulso

Essendo le energie cinetiche positive, l’operatore impulso deve contenere a fattore il coefficiente immaginario “i”

p = −i∂∂x

nel caso unidimensionale

In tre dimensioni:

p = −i∇

e quindi:

−2

2m∇2Φn (

r ) = En Φn (r )

Detto questo torniamo alla descrizione degli stati di conduzione in un metallo

Si procede come per trovare lo stato

fondamentale di una molecola

1) Si ricavano gli stati elettronici

2) Se si hanno N elettroni, lo stato fondamentale è quello in cui sono doppiamente occupati i primi “N/2” livelli e sono vuoti

tutti gli altri

Per ricavare gli stati vengono introdotte due ipotesi semplificatrici

1) Gli elettroni di valenza sono perfettamente liberi di muoversi all’interno del metallo, ma non possono uscire da esso

l’energia potenziale, all’interno del metallo è

costante.Le interazioni con i “core” , i nuclei più gli elettroni interni, danno semplicemente

luogo ad una barriera di energia potenziale molto maggiore dell’energia elettronica

In Fisica per “punto” si intende una regione di spazio molto piccola rispetto alle dimensioni lineari del sistema

Il potenziale in un “punto” è il valor medio del potenziale in detta regione

Dato che nel nostro caso le dimensioni lineari del sistema sono macroscopiche, il “punto” conterrà al suo interno molti atomi

Ne consegue che il valor medio sarà lo stesso per tutti i “punti”

Si possono considerare le barriere come infinitamente

alte

2) Si suppone che gli elettroni di conduzione non interagiscano tra loro

Come fanno a non interagire se, essendo carichi dello stesso segno, si respingono tra loro?

L’obiezione è fisicamente errata, in quanto inverte i termini della questione

Infatti, introduciamo una forza repulsiva in quanto, e solo in quanto, li osserviamo interagire tra loro.

In definitiva la validità dell’ipotesi, risiede unicamente nella osservazione di un comportamento, che porta alla

formulazione del “Principio di esclusione di Pauli”, e sarà verificata a posteriori sulla base di dati sperimentali.

Il modello è adatto solo per i metalli nobili, non per quelli appartenenti alle seri di transizione

Caso unidimensionale: catena di atomi lunga L

Se l’elettrone non può uscire, la funzione d’onda sarà nulla

all’esterno della buca

Se l’elettrone non può uscire, la funzione d’onda sarà nulla

all’esterno della buca

Zero dell’energia, quindi l’energia

sarà solo cinetica

Per motivi di continuità, la funzione d’onda all’interno della buca tenderà a zero avvicinandosi agli estremi

All’interno:

−2

2m∂2

∂x2Ψn x( ) = EnΨn x( )

con le condizioni agli estremi: Ψn 0( ) = Ψn L( ) = 0

La soluzione sarà: Ψn x( ) = an sin(knx)

kn = nπL

, n = 1,2,con

Sostituendo, si ricavano gli autovalori:

En =2

2mnπL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

Si sono trovati gli stati, occorre riempirli.

Se, ad esempio, la catena è formata da N atomi monovalenti

lo stato fondamentale sarà quello in cui sono doppiamente occupati i primi N/2 stati e vuoti i superiori

L’energia dell’ultimo livello occupato sarà:

EF =2

2mNπ2L

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

Energia di Fermi

1) Dove si è usata l’ipotesi che gli elettroni non interagiscano tra loro?

2) Quale è l’analogo atomico dell’energia di Fermi?

Dipende dalla densità lineare di atomi nella catena, non da quanti

atomi la formano!

Una importante differenza con le molecole

A temperatura ordinaria le molecole

sono nel loro stato fondamentale

Nel metallo:

In una molecola le differenze di energia tra i

livelli sono dell’ordine dello eV

ΔE =2

2mN +1( )π2L

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

−2

2mNπ2L

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

ΔE 2

2mπ 2

4L22N =

2

4mπ 2

L2N

Es: catena lunga 10 cm formata da atomi distanti 1.5 Å

ΔE 2

4mπ 2

L2N

1.054 ⋅10−34( )24 ⋅9.11 ⋅10−31

π 2

0.120.1

1.5 ⋅10−10⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 2.0 ⋅10−27 Joule = 1.25 ⋅10−8eV

A temperatura ambiente:

KBT 140eV

Solo allo zero assoluto il sistema di elettroni sarà nello stato fondamentale

Gli stati sono così vicini da formare una “banda” continua

Per quale motivo la differenza di energia tra gli stati elettronici è enormemente minore che nel caso delle molecole?

Φ+ =12

Φ1 +Φ2( )

Φ− =12

Φ1 − Φ2( )

Le energie sono diverse in quanto :

La differenza di energia tra gli stati contigui è diminuita rispetto a quella relativa alla

coppia

Φ1 ⋅Φ2 ≠ 0

ρ+ =12

Φ12 +Φ2

2 + 2Φ1 ⋅Φ2( )

ρ− =12

Φ12 +Φ2

2 − 2Φ1 ⋅Φ2( )

Come descrivere il caso tridimensionale?

−2

2m∇2Φn (

r ) = En Φn (r )Equazione da risolvere:

Soluzione generale: Φnr( ) = exp i

kn ⋅r⎡⎣ ⎤⎦

Essa è anche soluzione dell’equazione:

pΦnr( ) = pnΦn

r( )

pΦnr( ) = −i

∇exp i

kn ⋅r⎡⎣ ⎤⎦ = −i ⋅ i

kn( )exp i

kn ⋅r⎡⎣ ⎤⎦ =

kn exp i

kn ⋅r⎡⎣ ⎤⎦

Con autovalori:

En =2kn

2

2m

Regole di quantizzazione:

kn( )x = l2πL

ed analoghe per y e z

Ciò che caratterizza un particolare stato è il vettore K

Φnr( ) = exp i

kn ⋅r⎡⎣ ⎤⎦

Gli stati con uguale valore del modulo di K sono degeneri

En =2kn

2

2m

Ad ogni stato è associato un punto nello spazio dell’impulso

Nello stato fondamentale saranno occupati solo gli stati il cui punto rappresentativo è situato all’interno di una sfera di raggio KF

Si definiscono quindi:Sfera di Fermi

Energia di Fermi

Impulso di Fermi

Velocità di Fermi

EF =2kF

2

2m=2

2m3π 2η( )

23

vF =

m3π 2η( )

13

numero di atomi per unità di volume

Valenza Metallo Concentrazione elettronica in m-3

Energia di Fermi in eV

Velocità di Fermi in m/sec

1 Sodio 2.65 1028 3.23 1.07 106

1 Rame 8.45 1028 7.00 1.57 106

2 Zinco 13.1 1028 9.39 1.82 106

3 Alluminio 18.06 1028 11.6 2.02 106

4 Piombo 13.2 1028 9.37 1.82 106

Sono un centesimo della velocità della luce! Cosa ne consegue?

Conducibilità elettrica

L’ipotesi che esista una configurazione spazialmente isotropa

è in conflitto con la supposta non interazione tra gli elettroni

Potremmo supporre gli elettroni come non non perfettamente liberi, ma soggetti ad interazioni separate temporalmente in

media di un tempo τ

l’effetto delle iterazioni è quello di ridistribuire tra le particelle l’energia acquistata o persa

Impulso medio del sistema di elettroni

La Sfera di Fermi trasla nel tempo con velocità costante

Diagramma temporale delle collisioni

k t( ) =

k 0( ) − e

Et

p t( ) = p 0( ) − eE t

L’effetto delle interazioni è quello di impedire alla velocità di deriva di

crescere indefinitivamente

Scriveremo quindi:

Espressione per la conducibilità elettrica

Dai valori sperimentali della conducibilità possiamo ricavare il tempo medio che separa una interazione dalla successiva

Se il tempo fosse “lungo” allora il modello degli elettroni liberi è adeguato

Se il tempo fosse “corto” allora il modello degli elettroni liberi è errato

vd = −eEm

τ

J = nqvd = n

q2E

mτ =

nq2τm

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟E

σ =nq2τm

Metallo ResistivitàCu 5.88 107

Ag 6.21 107

Au 4.55 107

Al 3.65 107

Fe 1.02 107

Pb 0.48 107

Bi 0.086 107

Per il rame :

τ (T = 300K ) 2.5 ⋅10−14 sec

τ (T = 4K ) 2 ⋅10−9 sec

Per sapere se i tempi sono grandi o piccoli, dovremo valutare la distanza percorsa e confrontare questa con l’interdistanza

media tra i bersagli, che sarà dell’ordine dell’ Å

λ ≈ vFτ 3mm

Il modello degli elettroni liberi risulta corretto ben oltre ogni

previsione!

τ =mnq2

σ

Quale è il motivo?

Un elettrone non può cambiare stato se non ha uno stato libero su cui trasferirsi.

La massima parte gli elettroni non ha stati liberi vicini in energia e quindi non può interagire con l’ambiente.

Si tratta quindi di un motivo prettamente quantistico, che si traduce nella formulazione del principio di Pauli