coordenadas y vectores

Apendice ACoordenadas

A.1 Coordenadas en el Plano R2

A.1.1 Cartesianas (x,y)

Dotar al plano bidimensional R2 de coordenadas cartesianas 2D es establecer unabiyeccion entre el conjunto de puntos del plano y el conjunto de parejas (x,y), donde

x ∈ R, y ∈ R

Segun estas coordenadas dividiremos al plano en cuatro cuadrantes a saber:

Cuadrantes

Notacion Nombre Primera coordenada Segunda coordenadaI Primer cuadrante x > 0 y > 0II Segundo cuadrante x < 0 y > 0III Tercer cuadrante x < 0 y < 0IV Cuarto cuadrante x > 0 y < 0

5

6 A Coordenadas

III

III IV

K2 K1 0 1 2

K2

K1

1

2

Figura A.1 Coordenadas cartesianas 2D

A.1.2 Polares (r,θ)

Dotar al plano bidimensional R2 de coordenadas polares es establecer una biyec-cion entre el conjunto de puntos del plano y el conjunto de parejas (r,θ ), donde

r ∈ R, tal que r > 0

θ ∈ R, tal que 0 ≤ θ < 2π

Por definicion establecemos como coordenadas polares del origen del sistema decoordenadas, la pareja (0,0).

Segun estas coordenadas los cuadrantes definidos anteriormente se definen como:Notacion Nombre Primera coordenada Segunda coordenada

I Primer cuadrante r > 0 0 < θ <π2

II Segundo cuadrante r > 0π2

< θ < π

III Tercer cuadrante r > 0 π < θ <3π2

IV Cuarto cuadrante r > 03π2

< θ < 2π

Nota A.1. Para representar un punto en el plano 2D dotado de coordenadas polarestendremos en cuenta las siguientes observaciones:

1. Primero establecemos un sistema de coordenadas cartesianas.2. El origen del sistema en coordenadas cartesianas le daremos coordenadas polares

(0,0) y le llamaremos polo.3. Al semieje positivo del eje x le llamaremos eje polar.

A.2 Coordenadas en el Espacio R3 7

4. Para representar un punto P(r,θ ) en coordenadas polares cuyas coordenadas sa-tisfagan nuestra definicion (A.1), trazaremos un rayo que parta del polo y queforme un angulo θ con el eje polar. Luego a partir del polo mediremos sobre esterayo la cantidad r y haremos la senal del punto sobre este rayo.

5. Si nos dan un punto P en el plano y nos dicen que sus coordenadas polares sonP(r,θ , donde r es negativo, y θ es un numero real en el intervalo (0,π), lo que

haremos es representar el punto (−r,θ +π). Por ejemplo, el punto P(−2,

π6

)lo

representaremos con el punto

(2,

7π6

).

Figura A.2 Coordenadas polares

6. Si nos dan un punto P en el plano y nos dicen que sus coordenadas polares sonP(r,θ , donde r es negativo, y θ es un numero real en el intervalo (π ,2π), lo que

haremos es representar el punto (−r,θ −π). Por ejemplo, el punto P

(−3,

5π4

)

lo representaremos con el punto(

3,π4

).

7. Si nos dan un punto P en el plano y nos dicen que sus coordenadas polares sonP(r,θ , donde r es positivo, pero θ es un numero real definido en un intervalodiferente de (0,2π), lo que haremos es sumar o restar multiplos de π de has-ta obtener un angulo en el intervalo (0,2π). Representaremos entonces (r),θ ),donde ambos tanto r como θ satisfagan nuestra definicion (A.1)

A.2 Coordenadas en el Espacio R3

A.2.1 Cartesianas (x,y,z)

Dotar al espacio tridimensional R3 de coordenadas cartesianas es establecer unabiyeccion entre el conjunto de puntos de espacio tridimensional y el conjunto deternas (x,y,z), donde

8 A Coordenadas

x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R

Octantes

Notacion Nombre Primera coordenada Segunda coordenada Tercera coordenada

I Primer octante x > 0 y > 0 z > 0II Segundo octante x < 0 y > 0 z > 0III Tercer octante x < 0 y < 0 z > 0IV Cuarto octante x > 0 y < 0 z > 0V Quinto octante x > 0 y > 0 z < 0VI Sexto octante x < 0 y > 0 z < 0VII Septimo octante x < 0 y < 0 z < 0VIII Octavo octante x > 0 y < 0 z < 0

Superficies elementales

Si a,b,c ∈ R constantes diferentes de cero, entonces

Ecuacion Descripcion cartesiana

x = 0 Plano coordenado yzy = 0 Plano coordenado xzz = 0 Plano coordenado xyx = a Plano paralelo al plano yzy = b Plano paralelo al plano xzz = c Plano paralelo al plano xy

A.2.2 Cilındricas (r,θ ,z)

Dotar al espacio tridimensional R3 de coordenadas cil ındricas es establecer unabiyeccion entre el conjunto de puntos de espacio tridimensional y el conjunto deternas (r,θ ,z), donde

r ∈ R, tal que r > 0


z ∈ R

En otras palabras la terna que representa un punto P en el espacio 3D con coorde-nadas cilındricas esta formada por las coordenadas polares del punto Q, que es laproyeccion de P sobre el plano xy, y una tercera coordenada que es la misma terceracoordenada del punto en coordenadas cartesianas.

Por definicion establecemos como coordenadas cilındricas:


1. Al origen del sistema de coordenadas, la terna (0,0,0),2. A cualquier punto sobre el eje z, la terna 0,0,z, donde z ∈ R.

Las COORDENADAS CILINDRICAS estan rela-cionadas con las coordenadas cartesianas por lasecuaciones:

x = rcosθy = r sinθz = z

Figura A.3 Coordenadas cilındricas

Octantes


I Primer octante r > 0 0 < θ <π2

z > 0

II Segundo octante r > 0π2

< θ < π z > 0

III Tercer octante r > 0 π < θ <3π2

z > 0

IV Cuarto octante r > 03π2

< θ < 2π z > 0

V Quinto octante r > 0 0 < θ <π2

z < 0

VI Sexto octante r > 0π2

< θ < π z < 0

VII Septimo octante r > 0 π < θ <3π2

z < 0

VIII Octavo octante r > 03π2

< θ < 2π z < 0

10 A Coordenadas




r = 0 Origen de coordenadasθ = 0 Semiplano xz, con x > 0θ = π Semiplano xz, con x < 0z = 0 Plano coordenado xyr = a Cilindro x2 + y2 = a2

θ = b Semiplano perpendicular al plano xy y lo intercepta en el rayo θ = bz = c Plano paralelo al plano xy

-2-2-2 -1

-1

-10

0

0 x

1

y 11

2

22

Figura A.4 Coordenadas cilındricas 3D (r,θ , z): r = const. (Cilindro), θ = const. (Semiplanovertical), z = const. (Plano horizontal)

A.2.3 Esfericas (ρ,θ ,φ)

Dotar al espacio tridimensional R3 de coordenadas esfericas es establecer una bi-yeccion entre el conjunto de puntos de espacio tridimensional y el conjunto de ternas(ρ ,θ ,φ), donde

ρ ∈ R, tal que ρ > 0


φ ∈ R, tal que 0 ≤ φ ≤ π

Por definicion establecemos como coordenadas esfericas del origen la terna (0,0,0),


Las COORDENADAS ESFERICAS estan relacio-nadas con las coordenadas cartesianas por lasecuaciones:

x = ρ sinφ cosθy = ρ sinφ sinθz = ρ cosφ

Figura A.5 Coordenadas esfericas

Octantes


I Primer octante ρ > 0 0 < θ <π2

0 < φ <π2

II Segundo octante ρ > 0π2

< θ < π 0 < φ <π2

III Tercer octante ρ > 0 π < θ <3π2

0 < φ <π2

IV Cuarto octante ρ > 03π2

< θ < 2π 0 < φ <π2

V Quinto octante ρ > 0 0 < θ <π2

π2

< φ < π

VI Sexto octante ρ > 0π2

< θ < ππ2

< φ < π

VII Septimo octante ρ > 0 π < θ <3π2

π2

< φ < π

VIII Octavo octante ρ > 03π2

< θ < 2ππ2

< φ < π



12 A Coordenadas


ρ = 0 Origen de coordenadasθ = 0 Semiplano xz, con x > 0θ = π Semiplano xz, con x < 0φ = 0 Semieje z siendo z > 0

φ =π2

Plano coordenado xy

φ = π Semieje z siendo z < 0ρ = a Esfera x2 + y2 + z2 = a2

θ = b Semiplano perpendicular al plano xy y lo intercepta en el rayo θ = b

φ = c �= π2

Semicono recto de revolucion x2 + y2 −d2z2 = 0, con d = tanc

-1.7-2-1.7 -0.7

-1

-0.7

0

0.30.3

1

1.3

2

1.3

Figura A.6 Coordenadas esfericas 3D (ρ ,θ ,φ): ρ = const. (Esfera), θ = const. (Semiplano ver-tical), φ = const. (Semicono)

A.3 Ejercicios

A.1. Encontrar las coordenadas polares(r,θ ) del punto P(x,y) del plano dadoen coordenadas cartesianas. Use el argu-mento principal y la medida en radianespara el angulo θ .

(a) P(2,3)(b) P(−1,2)(c) P(3,−4)

(d) P(−1,−1)(e) P(2.34,−1.78)(f) P(−4.54,π)(g) P(π/2,−π/2)

A.2. Encontrar las coordenadas carte-sianas (x,y) del punto P(r,θ ) del planodado en coordenadas polares. El anguloθ esta medido en radianes.

A.3 Ejercicios 13

(a) P(1,π/4)(b) P(−1,π/3)(c) P(3,−π/8)(d) P(−1,−π/3)(e) P(−1,−3)(e) P(2,5.25)

A.3. Encontrar la ecuacion de la me-diatriz del segmento que une los puntosA(1,4) y B(7,−2).

A.4. Encontrar la ecuacion en coor-denadas cartesianas de la elipse concentro en el origen y que pasa porP(1,−10

√2/3) y Q(−2,5

√5/3). Escri-

bir esta ecuacion en coordenadas pola-res.

A.5. Encontrar las coordenadascilındricas (r,θ ,z) del punto P(x,y,z)dado en coordenadas cartesianas. Identi-fique el octante en el cual se encuentra.

(a) P(1,1,1)(b) P(−1,1,1)(c) P(1,−1,1)(d) P(1,1,−1)(e) P(−1,−1,1)(f) P(1,−1,−1)(g) P(−1,1,−1)(h) P(−1,−1,−1)

A.6. Encontrar las coordenadasesfericas (ρ ,φ ,θ ) del punto P(x,y,z)dado en coordenadas cartesianas.

(a) P(1,1,1)(b) P(−1,1,1)(c) P(1,−1,1)(d) P(1,1,−1)(e) P(−1,−1,1)(f) P(1,−1,−1)(g) P(−1,1,−1)(h) P(−1,−1,−1)

A.7. Considere el punto P que en coor-denadas cartesianas tiene coordenadasP(3,−5,2). Halle las coordenadas del

punto Q segun la condicion exigida.Identifique los octantes en los cuales seencuentran P y Q.

(a) Simetrico respecto del eje x.(b) Simetrico respecto del eje y.(c) Simetrico respecto del eje z.(a) Simetrico respecto del plano coor-

denado xy.(a) Simetrico respecto del plano coor-

denado xz.(a) Simetrico respecto del plano coor-

denado yz.(a) Simetrico respecto del origen de

coordenadas.

A.8. Escribir en coordenadas cilındricasde las siguientes ecuaciones. Exprese suresultado en la forma z = f (r,θ ).

(a) x2 + y2 + z2 = 9(b) x2 + y2 −4z2 = 16(c) −x2 − y2 +36z2 = 9(d) 3z = x2 + y2

(e) z = xy

A.9. Escribir en coordenadas esfericasde las siguientes ecuaciones. Simplifiquesu resultado.

(a) x2 + y2 + z2 = 25(b) x2 + y2 −4z2 = 16(c) −x2 − y2 +36z2 = 9(d) x+ y2 = 1− z(e) x+ y+ z = 1

A.10. Escribir en coordenadas carte-sianas las siguientes ecuaciones lascuales se encuentran en coordenadascilındricas. Exprese su resultado en laforma de una ecuacion de segundo or-den.

(a) z = r2

(b) z = er

(c) z = sinr(d) z = 2− r2

(e) z = r2 cos2θ

14 A Coordenadas

A.11. Escribir en coordenadas cartesia-nas las siguientes ecuaciones las cualesse encuentran en coordenadas esfericas.Exprese su resultado en la forma de unaecuacion de segundo orden.

(a) ρ = 2

(b) φ =π3

(c) cosφ = ρ sin2 φ cos2θ(d) ρ sinφ cosθ = 3(e) ρ sin2 φ = cosφ

A.12. (a) Existen puntos en el plano2D tales que su representacion carte-siana y polar numericamente sean lamisma?. En caso afirmativo encontrartodos esos puntos.

(b) Existen puntos en el espacio 3Dtales que su representacion cartesia-na y cilındrica numericamente sean lamisma?. En caso afirmativo encontrartodos esos puntos.

(c) Existen puntos en el espacio 3D ta-les que su representacion cartesiana yesferica numericamente sean la mis-ma?. En caso afirmativo encontrar to-dos esos puntos.

(d) Existen puntos en el espacio 3D ta-les que su representacion cilındrica yesferica numericamente sean la mis-ma?. En caso afirmativo encontrar to-dos esos puntos.

Apendice BVectores

B.4 Vectores en Rn (n = 2,3)

Nos basaremos en el siguiente hecho visto en el curso de algebra lineal: El plano decoordenadas R2 (o el espacio de coordenadas R3) es un espacio afın y el conjunto detodos los vectores asociados a cada punto en R2 (o R3 en el caso 3D) es un espaciovectorial de dimension 2 con la base canonica los vectores i y j (o en el caso 3D losvectores i, j y k).

Definicion B.1. Un vector en el espacio cartesiano Rn es un objeto geometricoque tiene:

1. Magnitud, la cual es un numero real no negativo.2. Direccion, la cual esta determinada por una recta que lo contiene.3. Sentido, el cual esta determinado por uno de las dos orientaciones que de-

termina un punto sobre la recta que lo contiene.

Dos vectores son iguales si tiene igual magnitud, direccion y sentido.

Dos puntos A y B en Rn determinan dos vectores a saber:

1. El vector AB, que tiene origen en el punto A y extremo en el punto B,2. El vector BA, que tiene origen en el punto B y extremo en el punto A.3. Si los puntos A y B tienen coordenadas cartesianas A(a1,a2) y B(b1,b2) (o en

el caso 3D A(a1,a2,a3) y B(b1,b2,b3) ), las componentes del vector AB, el cualdenotaremos por u se definen como:

u1 = b1 −a1 Primera componente

u2 = b2 −a2 Segunda componente

u3 = b3 −a3 Tercera componente para el caso 3D

15

16 B Vectores

y el vector u lo denotaremos como

u = AB = (b1 −a1) i+(b2 −a2) j

u = AB = (b1 −a1) i+(b2 −a2) j+(b3 −a3) j para el caso 3D

o simplemente

u = AB = (b1 −a1,b2 −a2)u = AB = (b1 −a1,b2 −a2,b3 −a3) para el caso 3D

A veces decimos que un vector es un segmento de recta dirigido.4. La magnitud la definiremos como

‖u‖ =√

(b1 −a1)2 +(b2 −a2)

2

‖u‖ =√

(b1 −a1)2 +(b2 −a2)

2 +(b3 −a3)2 para el caso 3D

5. La direccion esta determinada por la recta AB.6. El sentido del vector u es de A hacia B.

B.5 Producto escalar

Definicion B.2. Sea V el conjunto de vectores de Rn, donde n = 2,3. Si u ∈Vy v ∈V , entonces el escalar es la aplicacion 〈·, ·〉 definida ası

u = (u1,u2), v = (v1,v2)u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3) para el caso 3D

〈·, ·〉 : V ×V −→ R

(u,v) → 〈u,v〉 ∈ R

〈u,v〉 = u1v1 +u2v2

〈u,v〉 = u1v1 +u2v2 +u3v3 para el caso 3D

Denotaremos frecuentemente el producto escalar 〈u,v〉 por u · v y lo llamaremosproducto punto.

Nota B.1. Las propiedades fundamentales que satisface el producto escalar y quefueron demostradas en el curso de algebra lineal son:

1. Conmutatividad.u ·v = v ·u

B.6 Producto vectorial 17

2. Coseno del angulo entre los vectores.

u ·v = ‖u‖‖v‖cosθ dondeθ es el angulo entre uyv

3. Proyeccion.

proyuv =u ·v‖u‖2 Esta es la proyeccion escalar.

4. Ortogonlidad.Si u ⊥ v =⇒ u ·v = 0 (B.1)

El recıproco de esta afirmacion es valida solo si ambos vectores no son el vectornulo O.

B.6 Producto vectorial

Definicion B.3. Sea V el conjunto de vectores de R3. Si u ∈ V y v ∈ V , en-tonces el producto vectorial es aplicacion ·× · definida ası

u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3)V ×V −→V

(u,v) → u×v ∈V

u×v =(u2v3 −u3v2) i+

(u3v1 −u1v3) j+

(u1v2 −u2v1)k

A veces llamaremos al producto vectorial u×v producto cruz.

Nota B.2. Las propiedades fundamentales que satisface el producto vectorial y quefueron demostradas en el curso de algebra lineal son:

1. Anticonmutatividad.u×v = −v×u

2. Ortogonalidad.Si u y v no son colineales, entonces

u×v ⊥ u, u×v ⊥ v

3. Seno del angulo entre los vectores.

‖u×v‖ = |‖u‖‖v‖sinθ | dondeθ es el angulo entre uyv

18 B Vectores

De esta propiedad podemos deducir que si u y v son ambos no nulos y son nocolineales, entonces

u �= O, v �= O,v �= λu,(λ ∈ R) ⇐⇒ u×v �= O

4. Area.De la propiedad anterior se deduce que el area del paralelogramo formado porlos vectores u y v es

Area paralelogramo = ‖u×v‖

B.7 Producto mixto

Definicion B.4. Sea V el conjunto de vectores de R3. Si u∈V , v∈V y w∈V ,entonces el producto mixto es aplicacion definida ası

u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3), w = (w1,w2,w3)V ×V ×V −→ R

(u,v,w) → (u×v) ·w ∈ R

(u×v) ·w =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣

A veces llamaremos al producto vectorial u×v triple producto mixto.Una propiedad importante demostrada en el curso de Algebra Lineal es que con

el producto mixto podemos calcular el volumen del paralelepıpedo formado por losvectores u, v, y w de la siguiente manera:

Volumen paralelepıpedo = |u×v×w|

B.8 Ejercicios

B.1. Trazar los vectores v y w . En lamisma figura (plano cartesiano) trazar−v, v+w, y v−w.

(a) Para v = (2,1), w = (1,2).

(b) Para v = (2,3,−6), w = (−1,1,1).

B.2. Una fuerza constante con represen-tacion vectorial F = 10i+18j−6k, mue-ve un objeto a lo largo de la lınea recta

B.8 Ejercicios 19

desde el punto A(2,3,6) hasta el puntoB(4,9,15). Encontrar el trabajo realiza-do si la distancia esta medida en metrosy la magnitud de la fuerza en newtons.

B.3. El producto a× (b× c) es llamadoel triple producto vectorial. Probar que,

a× (b× c) = (a · c)b− (a ·b)c

B.4. Calcular el volumen del parale-lepıpedo con lados: u = 2i + j−k, v =5i−3k, y w = i−2j+k.

B.5. Considere en el plano 2D eltriangulo ABC cuyos vertices estan enA(a1,a2), B(b1,b2) y C (c1,c2), dondeA, B y C no son colineales. Una medianade un triangulo es el segmento que uneun vertice con el punto medio del ladoopuesto. Sean M1, M2 y M3 los puntosmedios de los lados AB, BC y CA res-pectivamente.

(a) Dado que AB y AC forman unabase B del plano (porque?) escribaAM2, BM3 y CM1 en terminos de es-ta base.

(b) Sea I = AM2 ∩ BM3. Escriba losvectores AI y BI en terminos de la ba-se B.

(c) Use el hecho que AB = AI+ IB ytambien AB = AC+CB para mostrarque

AIAM2

=23,

BIBM3

=23

(d) Use adecuadamente el resultadoanterior para mostrar que las tres me-dianas se interceptan en el mismopunto I.

B.6. Considere el paralelogramo en3D �ABCD cuyos vertices estan enlos puntos A(1,−1,−1), B(−1,−3,1),C (3,−2,−1) y D(d1,d2,d3).

(a) Hallar las coordenadas de D. Useel hecho que AD = BC. Compruebeque AB = DC.

(b) Hallar el area del paralelogramo�ABCD.

(c) Hallar el area del paralelogramo�A′B′C′D′ el cual es la proyeccionortogonal de �ABCD sobre el planocoordenado xy.

Apendice CComandos de Maple

C.9 Graficos

C.9.1 Librerıas

En la redaccion de este libro se uso Maple, version 11, pero muchos de los comandosson validos en versiones anteriores. Las librerıas mas usadas son: plottools, plots,linalg.Estas se pueden cargar en la primera lınea, antes con el siguiente comando:

> restart: with(plottools): with(plots): with(linalg):interface(plotoptions=color):

C.9.2 Funcion escalar

La funcion es: z = x2 − y2,> plot3d(x∧2 - y∧2, x=-4..4, y=-4..4);

C.9.3 Funcion escalar parametrizada

x = sinvcosu

y = sinvsinu

z = cosv

(C.2)

> plot3d([sin(v)*cos(u), sin(v)*sin(u), cos(v)], u=0..2*Pi,v=0..Pi/2, grid = [30,30], axes = BOXED, orientation = [45,60],scaling=constrained);

21

22 C Comandos de Maple

C.9.4 Curvas de nivel

> contourplot( x∧2 - y∧2, x = -4..4, y=-4..4, grid=[30,30],coloring = [blue,red]);

C.9.5 Superficie implıcita

La funcion esta definida implıcitamente, por ejemplo x 2 + y2− z2 +1 = 0,> implicitplot3d( x∧2 + y∧2 - z∧2 + 1 = 0, x=-3..3, y=-3..3,z=-3..3);

C.9.6 Curva en 2D

La funcion es una trayectoria en R2, por ejemplo x2 − y2 = 1,> implicitplot(x∧2 - y∧2 = 1, x=-5..5, y=-5..5):

C.9.7 Curva en 3D

Si la funcion es una trayectoria en R3, por ejemplo ω(t) = (cos t,sin t, t), entonces,> spacecurve([ cos(t), sin(t), t], t=0..4*Pi);

C.9.8 Campo vectorial

> fieldplot([-y,x], x=-4..4, y=-4..4, grid=[5,5], arrows=SLIM,color=RED);

C.9.9 Campo vectorial

> fieldplot3d([2*x,2*y,1], x = -1..1, y = -1..1, z = -1..1,grid=[5,5,5], axes=BOXED, arrows=SLIM, color=BLACK, orientation=[35,70]);

coordenadas y vectores

Documents