Universidad Autónoma de Zacatecas

Unidad Académica Preparatoria

Prepa 2, Laboratorio de Física

Prof. Juan Manuel Hernández Dávila

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Índice

1. Escalares y Vectores 3

1.1. Magnitudes escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Magnitudes vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Caracteristicas de los vectores 4

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1. Escalares y Vectores

1.1. Magnitudes escalares

Estas magnitudes de los cuerpos se pueden especi�car, conociendo un nú-mero que nos indique su tamaño y las unidades que usamos para expresarla.por ejemplo si medimos una distancia, podemos asignarle el valor x = 4.5m.En este ejemplo m representa metros, que son las unidades que utilizamos,y 4.5 signi�ca que la distancia medida, equivale a colocar cuatro reglas deun metro cada una y al �nal colocar la mitad de una regla de un metro. De-bemos señalar que la distancia puede medirse en un sentido, o en el sentidocontrario y su valor es invariante[3], es decir, no cambiara.

Otro ejemplo sería medir la densidad de un cuerpo. La densidad de cual-quier cuerpo se calcula con la formula ρ = m

V. Si la masa vale m = 200gr y

el volumen vale V = 800cm3, la densidad es:

ρ =m

V=

200gr

800cm3= 0.25 gr

cm3

Este resultado, comparte una caracteristica con la distancia medida an-teriormente. Ambas magnitudes quedan claramente especi�cadas, dando unvalor númerico, junto con sus unidades.

Magnitud escalar: Es cualquier magnitud de un cuerpo, que se deter-mina con un número y sus unidades[1].

1.2. Magnitudes vectoriales

Estas magnitudes de los cuerpos son tales que, para que nos quede clarosu signi�cado, debemos conocer un valor numérico que nos indique el tamaño,las unidades utilizadas y la dirección que tienen[2].

Para ilustrar la situación, consideremos un balón de futbol que es pateado.El balón se movera tanto, como fuerte lo hayan pateado, es decir si lo pateanfuerte se movera mucho, y se movera poco si lo patean quedito. Además elbalón se moverá en la misma dirección de la fuerza aplicada.

Otro ejemplo de magnitud vectorial es el peso, que es la fuerza de atrac-ción gravitacional que la tierra ejerce sobre cualquier cuerpo que este en susuper�cie o, no muy alejado de ella. El problema consiste en que todos deci-mos que la fuerza esta dirigida hacia abajo. Si �abajo� fuera lo mismo paratodos, la tierra sería plana.

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Por ultimo, si un pájaro vuela al sur a 45kmh, mientras hace un viento de

22kmh, de este a oeste. ¾Con que �velocidad� y en que dirección veriamos que

vuela el pájaro?1

Debe observarse, que en estos ejemplos, la dirección de cada magnitudvectorial es indispensable. Si esta no se conociera, tendriamos una visiónparcial de la situación. Por ejemplo, Un turista que esta en la plaza bicente-nario en la capital de Zacatecas, pregunta a una persona que cuanta distanciale falta caminar para ir a la plaza de armas. Si le contestan que 650m. Conesta información ¾Podría llegar a su destino?2

Magnitud vectorial: Es cualquier magnitud de un cuerpo, que se de-termina con un número, las unidades y la dirección.

2. Caracteristicas de los vectores

Por lo expuesto en las dos secciones anteriores, es claro que las mag-nitudes escalares1.1 son diferentes de las magnitudes vectoriales1.2. Ambasrepresentan caracteristicas de los cuerpos, pero la naturaleza de las magni-tudes escalares es diferente de las magnitudes vectoriales y por lo tanto sutratamiento matemático debe ser distinto.

Los escalares se combinan obedeciendo las reglas de la aritmética. Mien-tras que los vectores se combinan mediante reglas geometricas. Por esta razóny para no confundir los escalares y los vectores, estamos obligados a escribir-los de forma distinta.

Los escalares los escribiremos con un nombre (que puede ser una letra)y les asignaremos un valor numerico junto con sus unidades. Ejemplos:

Magnitud escalar Escritura

Distancia x = 120km

Rapidez v = 90kmh

Temperatura T = 36�Densidad ρ = 60gr

L

Tiempo t = 50min

Cuadro 1: Magnitudes escalares

1Respuesta: La �velocidad� sería 50.1kmh y la dirección φ = 26.10 al suroeste.

2Respuesta: No, le falta la dirección en que debe moverse.

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Los vectores los escribiremos con un nombre y encima colocaremos una�echa, les asignamos un valor numerico, sus unidades y la dirección. Ejemplos:

Magnitud vectorial Escritura

Posición ~r = (18m, 350)

Desplazamiento ~D = (54km, 2160)

Velocidad ~v =(95km

h, 530

)Aceleración ~a =

(7ms2, 3000

)Fuerza ~F = (5N, 1220)

Cuadro 2: Magnitudes vectoriales

Revisemos el siguiente caso: Una chica observa una pelota que es lanzada.Si le piden que describa el movimiento de la pelota, ¾Que deberia contestar?

Figura 1: Una chica observa la trayectoria de una pelota.

Pues primero, debe pensar muy bien su respuesta, porque hay muchassituaciones que tomar en cuenta. Ella solamente ve la trayectoria de la pelota.Después le preguntan ¾Que es la trayectoria?. Ella sin dudarlo contesta: Latrayectoria es el conjunto de puntos por los cuales pasa la pelota. Luegoquieren presionarla y le preguntan. Esos puntos ¾que coordenadas tienen? Alo cual ella contesta: Eso depende del sistema de referencia seleccionado.

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Figura 2: Observando la trayectoria, en su sistema de referencias.

Se puede elegir cualquier sistema de referencias, pero normalmente descri-bimos el movimiento desde nuestro punto de vista, es decir, desde un sistemade referencias situado en nosotros mismos. Desde este sistema de referen-cias vemos todo: Asignamos posición a todos los cuerpos que estan alrededornuestro, describimos como cambia la posición, la velocidad, la dirección, sicambia la velocidad, etc.

Por supesto, otros observadores describirán el movimiento con algunasdiferencias con respecto a nosotros.

Una vez que ella describe el movimiento, desde su sistema de referencias,le asigna una posición a la pelota. Ya sea por coordenadas, o con un vectorde posición, lo cual es equivalente.

Posición de un cuerpo

Coordenadas rectangulares (x, y, z)

Vector de Posición ~r = xi+ yj + zk

Cuadro 3: Representación de la posición de un cuerpo

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Figura 3: Se asigna la posición ~r1 en el instante t1

Cuando el cuerpo se mueve, su posición cambia. Cada punto en dondeesta localizado el cuerpo, se puede especi�car por sus coordenadas o por unvector de posición. Y evidentemente, a cada punto del espacio le correspondeun instante de tiempo particular.

Figura 4: Se asigna otra posición ~r2 en otro instante t2

De�nimos el desplazamiento como el cambio de posición: ~D = ~r2 − ~r1.

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Figura 5: El desplazamiento es el cambio de posición ~D = ~r2 − ~r1

La velocidad la de�nimos como: El desplazamiento entre el tiempo.

~v =~r2 − ~r1t2 − t1

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Índice de �guras

1. Una chica observa la trayectoria de una pelota. . . . . . . . . . 52. Observando la trayectoria, en su sistema de referencias. . . . . 63. Se asigna la posición ~r1 en el instante t1 . . . . . . . . . . . . 74. Se asigna otra posición ~r2 en otro instante t2 . . . . . . . . . . 75. El desplazamiento es el cambio de posición ~D = ~r2 − ~r1 . . . . 8

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Índice de cuadros

1. Magnitudes escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Magnitudes vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. Representación de la posición de un cuerpo . . . . . . . . . . . 6

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Referencias

[1] R FEYNMAN, R SANDS M LEIGHTON, and M SANDS. Lecturas defísica. Addisoln-Wesley. EUA, 1963. 3

[2] Murray R. Spiegel. Teoría y problemas de análisis vectorial y una intro-

ducción al análisis tensorial. McGraw Hill. 3

[3] Paul E Tippens. Física conceptos y aplicaciones. México, Editorial Mc

Graw Hill,, 2010. 3

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