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Coordenadas Planas

Facultad de Ingeniería Agrícola

Angel F. Becerra Pajuelo

DESARROLLO NUMERICO DE UN CASO

A continuación se da un ejemplo numérico del calculo de coordenadas que ayudará a comprender mejor todo lo expuesto al respecto.


Datos de campo necesarios

Ángulos internos y Distancias de la poligonal:

Lado Distancia Vértice Ang.Horiz.

(m) Gr Min Seg

1-2 497 1 88 10 10

2-3 454 2 107 20 10

3-4 625 3 65 30 10

4-1 355 4 99 0 10

Azimut del Lado 1- 4 = N 60 50’

Tolerancia error lineal de cierre

Aproximación del instrumento igual a 30 segundos.


SOLUCION:

1. Corrección de lados de la poligonal

Las mediciones de campo se corrigen de errores por tensión, temperatura, catenaria, etc. si los hubiera.

Luego se determina la longitud horizontal o longitud proyectada al horizonte de c/u de los lados de la poligonal.


2. Determinación del error angular de cierre

a) Sumatoria de ángulos medidos ( a.m )

88 10’ 10”

107 20’ 10” ”

65 30’ 10”

99 00’ 10”

La suma de los 4 ángulos internos de la poligonal dan :

ang. medidos = 360 00 40”


b) La suma de ángulos horizontales internos calculados

de una poligonal de n lados es:

ang. calc.= 180(n–2) = 2R(n-2) = 180(4–2) = 360

c) Error Angular (Ea):

Ea = ang. med - ang. calc.

Ea = 36000’40” - 36000’00” = 40” (en exceso)


d) Tolerancia angular:

= 30( 4 )0.5 = 60”

La “Ta” se compara con el error encontrado Ea = 40”

Ea < Ta ==> 40” < 60”

e) Corrección o distribución del error angular:

Este valor se restara a cada uno de los ángulos por ser el error en exceso.


e) Ángulos Corregidos:

Vértice 1 = 88 10’10” –10” = 88 10’

Vértice 2 = 107 20’10” – 10” = 107 20’

Vértice 3 = 65 30’10” – 10” = 65 30’

Vértice 4 = 99 00’10” – 10” = 99 00’


3. Cálculo de Azimut y Rumbos.

Habiéndose realizado la corrección angular y a partir del valor del azimut inicial, se calcula el azimut de los otros lados.

El azimut inicial proporcionado en los datos es un azimut inverso Az1-4 = N 6050’

Para hallar el Azimut directo Az4-1 , hay que sumarle 180 grados.

Az4-1 = (6050’ + 180) = N 240 50’ ;

Luego los azimut para cada lado de la poligonal serán:


Vértice 1:

Az1-2 = Az4-1 + Ang 1

Az1-2 = 240 50’+ 86 10’ = 329; como es mayor de 180 =>

Az1-2 = 329 - 180 = N 149

Vértice 2:

Az2-3 = Az1-2 + Ang 2

Az2-3 = 149 + 107 20’ = 256 20’; como es mayor de 180 =>

Az2-3 = 256 20’-180 = N 76 20’


Vértice 3: Az3-4 = Az2-3 +Ang 3 Az3-4 = 7620’+6530’ = 14150’; como es

menor de 180 => Az3-4 = 14150’+ 180 Az3-4 = N 321 50’ Vértice 4: Az4-1 = Az3-4 + Ang 4 Az4-1 = 32150’+99 =42050’: como es

mayor de 360 => 420 50’ - 360 = 60 50’ como la diferencia es menor de 180 ==> Az4-1 = 6050’+180 = N 240 50’


Resumiendo tenemos:

Azimut

Lado Directo Inverso

1-2 14900’ 32900’

2-3 7620’ 25620’

3-4 32150’ 14150’

4-1 24050’ 6050’


4. Determinación de Rumbos:

El Azimut 1-2 = N 149 esta en el II cuadrante luego:

Rb 1-2 = 180 – 149 = S 31 E

El Azimut 2–3 = 7620’ esta en el I cuadrante luego:

Rb2-3 = N 76 20’ E

El Azimut 3-4 = 32150’ esta en el IV cuadrante luego:

Rb3-4 = 360 - 321 0’ = N 38 10’ O

El Azimut 4-1 = 240 50’ esta en el III cuadrante luego:

Rb4-1 = 240 50’ - 180 = S 60 50’ O


Calculo de las Proyecciones

El resumen de la información obtenida hasta ahora y

el calculo de la proyecciones o coordenadas parciales

se presentan en el cuadro siguiente:

Vért. Ang.Horiz Lado Dist. Azimut Rumbo Coord.Parciales

Gr Min (m) Gr Min Gr Min X=LSenRb Y=LSenRb

1 88 10 1-2 497 149 0 S 31 E 255.97 -426.01

2 107 20 2-3 454 76 20 N 76 20 E 441.15 107.27

3 65 30 3-4 625 312 50 N 38 10 O -386.22 491.39

4 99 0 4-1 355 240 50 S 60 50 O -309.99 -173.01


Determinación del Error Lineal de Cierre y el Error

Relativo de Cierre

En el eje X : Suma Algebraica de las Abscisas

X(+) = 255.97 + 441.15 = + 697.12

X(-) = - 386.22 + (-309.99) = - 696.21

Error de Cierre en el Eje X = Ey = + 0.91

En el eje Y : Suma Algebraica de las Ordenadas

Y(+) = 491.39 + 107.27 = + 598.66

Y(-) = - 426.01 + (- 173.01) = - 599.02

Error de Cierre en el Eje Y = Ey = - 0.36


Luego el Error lineal de cierre = ((0.91)2+ (0.36)2 )0.5

Ec = 0.978

Perímetro (P) = Longitud total de la poligonal = 1,931 m.

El Error Relativo de Cierre Erc = Ec / P

Se compara el error Relativo con la Tolerancia:


Compensación de Coordenadas de la Poligonal

Lado 1-2

Lado 1-2 Compensado ò corregido

X = +255.97 - 0.23 = +255.74

Y = - 426.01 + 0.09 = - 425.92

De esta forma se compensan los otros lados de la poligonal obteniéndose los siguientes resultados.


Abscisa Ordenada

Lado X Cx Corregida Y Cy Corregida

1 - 2 255.97 -0.23 255.74 -426.01 0.09 -425.92

2 - 3 441.15 -0.22 440.93 107.27 0.08 107.35

3 - 4 -386.22 -0.29 -386.51 491.39 0.11 491.50

4 - 1 -309.99 -0.17 -310.16 -173.01 0.08 -172.93


8. Determinación de las Coordenadas Totales

8.1 Para la determinación de las Coordenadas Totales hemos asumido el valor de la coordenada del vértice 1 en:

V1(1000,1000) ó X=1000, Y=1000

A este valor inicial se han sumado algebraica y sucesivamente el valor de las coordenadas parciales compensadas de los vértices 2, 3 y 4 obteniéndose el valor de las coordenadas totales de cada uno de los vértices de la poligonal (ver cuadro siguiente).


Coordenadas Coordenadas Totales

Lado X Y Vértice X Y

1 - 2 255.74 -425.92 1 1000.00 1000.00

2 - 3 440.93 107.35 2 1255.74 574.08

3 - 4 -386.51 491.50 3 1696.67 681.43

4 - 1 -310.16 -172.93 4 1310.16 1172.93

1 1000.00 1000.00


8.2 Determinación de Coordenadas UTM

Con el GPS Navegador, se obtuvo la Coordenada UTM (sistema WGS84) del V1 de la poligonal:

18 L 292288 m E, 8863295 m N

A este valor se le suma algebraica y sucesivamente el valor de las coordenadas parciales compensadas de los vértices o estaciones 2, 3 y 4 obteniéndose el valor de las coordenadas UTM de cada uno de los vértices de la poligonal como se muestra en el cuadro siguiente.


Vertice X Y Este Norte

1-2 2 255,74 -425,92 1 292288,00 8863295,00

2-3 3 440,93 107,35 2 292543,74 8862869,08

3-4 4 -386,51 491,50 3 292984,67 8862976,43

4-1 1 -310,16 -172,93 4 292598,16 8863467,93

1 292288,00 8863295,00

Coordenada UTMVerticeLado

Coordenada


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