coordenadas cartesianas - arquivos.info.ufrn.br · de valores, então as duas inequações...
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P=(x,y,z)
k
j
i
r
kzjyixr
Coordenadas cartesianas
O ponto P ϵ R3 pode ser representado como pares ordenados (x,y,z) Ou pode ser identificado pelo raio vetor
r
Plano R2
Equação 1 (Reta)
x = 3, y ϵ R
(3,0)
(3,y)
Equação 2 (semi-reta)
y = -2, x ≥ 0
(x,-2)
(0,-2)
Curvas (unidimensional)
Equação 4 (segmento de reta)
y = -2, 1 < x ≤ 5
(x,-2)
(1,-2)
(5,-2)
Plano R2
Equação 3
Curvas (unidimensional)
(x,y)
(-2,4)
52
xy
2x
𝞠
Tan(𝞠)=1/2
Regiões espaciais planas 2D
Superfícies: bidimensional
-3 ≤ x ≤ 5 0 ≤ y ≤ 5
(-3,0) (5,0)
(0,5)
retângulo (x,y)
Uma superfície plana precisa de duas coordenadas livres, pra ser definida.
Regiões espaciais planas 2D
Superfícies: bidimensional
-3 < x ≤ 5 0 ≤ y < 5
(-3,0) (5,0)
(0,5)
retângulo (x,y)
Regiões espaciais planas 2D
Superfícies: bidimensional
0< y ≤ - x+4 0 ≤ x < 4
Triangulo retângulo
Observe que as duas variáveis tem um intervalo de valores, então as duas inequações representam uma região bidimensional.
(4,0)
(0,4) y
x x
y
Regiões espaciais planas 2D
Superfícies: bidimensional
0< y ≤ 4 0 ≤ x ≤ 4-y
Triangulo retângulo
Observe que as duas variáveis tem um intervalo de valores, então as duas inequações representam uma região bidimensional.
(4,0)
(0,4) y
x x
y
Exemplo. Determine o intervalo de valores para as coordenadas x e y que defina o seguinte triangulo.
O paralelepípedo esta definido assim : 0≤ x ≤ a 0≤ y ≤ b 0≤ z ≤ c
X b
c
a
Z
Y X
Y Z
y = 0 z = 0 0 ≤ x ≤ a
a
X
Y
Z
z = 0 0 ≤ x ≤ a 0 ≤ y ≤ b
b
a
y
x
eixo polar
r
P=(r,𝞠)
Coordenadas polares
(x,y) ---------> (r,𝞠)
Sistema de coordenadas polares
- 𝞠 é medido sempre desde o eixo polar, em sentido anti-horário. - r é sempre positiva, 0≤ r
um plano quadriculado em coordenadas cartesianas
Um plano “quadriculado” em Coordenadas polares
Coordenadas polares
Coord. polares
20
0
r
exemplos
y
x
eixo polar
r
P
r=r(𝞠)
Curvas planas em coordenadas polares: r=r(𝞠)
Curvas planas em coordenadas polares: r=r(𝞠)
y
x
eixo polar
r
P
r=r(𝞠) er e𝞠
j
i
Curvas planas em coordenadas polares: r=r(𝞠)
jie
jier
)cos()sin(ˆ
)sin()cos(ˆ
,ˆˆ
,ˆˆ
r
r
edr
ed
ed
ed
Provar que :
y
x
eixo polar
r
P
r=r(𝞠) er
e𝞠 j
i
ree ˆˆ
Vetores unitários ortogonais em qualquer ponto da curva
𝞠
𝞠
Coordenadas polares
Elemento de linha:
rerr ˆ
|| rdds
Vetor posição em coordenadas polares
Vetores unitários em coordenas polares
re Vetor unitário ao longo do crescimento da variável r
e Vetor unitário ao longo do crescimento da variável ϴ
Coordenadas polares
rerr ˆ Vetor posição em coordenadas polares
Vetores unitários em coordenas polares
Produto escalar dos vetores unitários polares : eles são ortogonais
1ˆ .ˆ 1ˆˆ θθrr
ee, e.e
0ˆ .ˆ
eer
Norma unitária
ortogonalidade
eredrrd
rˆ d ˆ
Diferenciando os vetores unitários polares em relação à 𝞠, temos, r
e ,
e
Comprimento de arco em coordenadas polares.
Seja r=r(θ), uma função que define uma curva em coordenadas polares. Logo :
2
1
22)(
dd
drrL
PQ
222d .|| rdrrdrdrd
(módulo do elemento de linha)
y
x 1
r1
P r=r(𝞠)
2
r2 L
Q
Exemplos de gráficos en coordenadas polares
> with(plots): polarplot(1, theta=0..2*Pi, axis[radial]=[color=“Gold"]);
Representa uma circunferência centrada na origem de coordenadas Em coordenadas cartesianas.
Exemplo 1 : realizar o gráfico da função 20 ,1 r
gráficos en coordenadas polares
Exemplo 2 : realizar o gráfico das seguintes funções : a) b) c) 4/ ,0 r 3/ ,30 r 3/0 ,3 r
Exemplo 3 : Identifique as regiões a seguir em coordenadas polares a) b) c) Exemplo 4 : Dada a equação da reta y=-x, encontre a equação desta em coordenadas polares Exemplo 5 : Dada a equação de uma reta em coordenadas polares , encontre a sua versão em coord. cartesianas
4/ 0 ,20 r 4/5 /2 ,21 r
0r ,4/3 /3
210r0 ,4/
Critérios para construir gráficos de curvas planas em coordenadas polares
1.- Encontrar valores do ângulo 𝞠 para os quais r=0. 2.- .- Encontrar valores do ângulo 𝞠 para os quais r é máximo. 3.- estudar as simetrias da função r=r(𝞠) (próximo slide) 4.- identifique o domínio fundamental, onde você precisa estudar o crescimento ou decrescimento da função. 5.- Desenhar o gráfico de r(𝞠) em coordenadas polares.
,...},{0)(21
r
Seja r=r(𝞠) a equação de uma curva plana em coord. polares
..},{021
d
rd
Critérios de simetria para desenhar curvas polares planas
a) (r,- ϴ) e (r, ϴ) são simétricas em relação ao eixo x
b) (r, ϴ) e (r, π-ϴ) são simétricas em relação ao eixo y
c) (r, ϴ) e (r, π+ϴ) são simétricas em relação ao origem.
y
x
r
- 𝞠
(r,𝞠)
(r,-𝞠)
r
(r,- ϴ) e (r, ϴ) são simétricas em relação ao eixo x
a)
y
x
r π- 𝞠
(r,𝞠) (r,π-𝞠)
r
(r, ϴ) e (r, π-ϴ) são simétricas em relação ao eixo y
b)
y
x
r
Π+ 𝞠
(r,𝞠)
(r,π+𝞠)
r
(r, ϴ) e (r, π+ϴ) são simétricas em relação ao origem de coordenadas
r=2 cos(2𝞠)
c)
Gráficos em coord polares
> with(plots): polarplot(2sin(theta), theta=0..2*Pi],);
A curva dada é uma circunferência em coordenadas cartesianas com radio r=1 e centrada em (x,y)=(0,1)
Exemplo 7: desenhar a curva 0 ),sin(2r
r=1+sin(𝞠)
cardioide
Exercícios
Exercício 2.- Determine o perímetro da cardioide Resposta: 8 )cos(1 r
Exercício 1.- encontre o perímetro da curva )sin(2 r
Exercício 3.- Realizar o gráfico e determine o perímetro da rosácea (deixe na forma integral, como os limites de integração bem definidos).
)3cos(2 r
Algumas figuras conhecidas em coordenas polares
Rosáceas
)sin(
)cos(
nar
nar
n par ------> 2n pétalas n impar -----> n pétalas
)5sin(2 r)4sin(2 r
cardioides
))sin(1(
))cos(1(
ar
ar ----- horizontal ------ vertical
Perímetro = 8a
a é constante numérica
limaçons
))sin(
))cos(
bar
bar
a < b
Com laço
))sin(42
))cos(42
r
r
limaçons
))sin(
))cos(
bar
bar
b < a
sem laço
))sin(24
))cos(24
r
r
Exercícios adicionais...
Exercícios: 4.- Desenhe a região do plano limitada por a) 2 ≤ r ≤ 4, e π/2 ≤ ϴ < 2π b) r=4, -π/2< θ < π/2 5.- Determine a forma polar para a seguinte equação cartesiana de uma curva plana 6.-Desenhe a curva r2= 4cos(2 ϴ), 0≤ϴ< 2π. Calcule o perímetro da curva, deixa na forma integral, juntos aos limites de integração bem definidos.
122 yxyx
Coordenadas cilíndricas : (r,θ,z)
zz
ry
rx
)sin(
)cos(
k
j
i
r
θ r
z O
C (r,θ,z)
kzerrr
B r
e
x
y
z
z
r
20
0
Transformação de coordenadas Coord. Cilíndricas -> coord. cartesianas
Equação de uma circunferência de (aro circular) raio R=4, localizada a um altura h=5, por cima do plano x y, centralizada no eixo z.
P
z
𝞠
r P=(r,𝞠,z)
X
Y
Z
r=4 0 ≤ 𝞠 < 2π z=5
Em coordenadas cilíndricas
Em coordenadas cartesianas
Aro circular = {(x,y,z) 𝞊 R3 /x2+y2=16, z=5}
Coordenadas cilindricas (r,θ,z)
P = (x,y,y)
P= (r,θ,z)
.40
,20
]2,0[ ,000
z
rrr
Variando a coordenada r
Qual é a equação da superfície cilíndrica Reto (seção transversal circular) de raio 3 e altura h=3 ???
P
z
𝞠
r P=(r,𝞠,z)
X
Y
Z
Qual é a equação da superfície cônica com vértice na origem de coordenadas, base circular reto de raio R=3 e altura h=3 ???
r
𝞠
z
P=(r,𝞠.z)
X
y
Z
F G
O
exercícios
7.- Seja uma reta vertical paralela ao eixo +Z, que passa pelo ponto P=(r,φ,z)=(2,π/6,0). Determine a equação de dita reta em coordenadas cilíndricas. 8.- Determine a equação em coordenadas cilíndricas de um
plano vertical perpendicular ao plano xy, e que forma um ângulo de 450 com o eixo +x que se estende no primeiro octante.
9.- Determine a equação em coordenadas cilíndricas de uma superfície cilíndrica reto de altura H=4, e de base circular de radio R=5 centrado no eixo +z, e colocada por cima do plano xy. Determine também a equação do volume cilíndrico limitada pela superfície cilíndrica anterior.
k
j
i
r
Coordenadas esféricas : (r,𝞥, θ)
𝞥
O
C (r,θ,z)
B r
e
x
y
z
)cos(
)sin()sin(
)cos()sin(
rz
ry
rx
20
0
0
r
Transformação de coordenadas Coord. Esféricas -> coord. cartesianas
𝞠 r
𝞥 -> ângulo polar 𝞠 -> ângulo azimutal
r
𝞠
𝞥
P
r = R 0 ≤ 𝞠 ≤ π 0 ≤ 𝞥 ≤ 2π
Superfície esférica centralizada na origem de coordenadas (S2)
}/),,{(222232
RzyxRzyxS
em coordenadas esféricas
em coordenadas cartesianas
}0,20,/),,{(32
RrRrS
h R
X
Y
Z
Exemplo 1.- Qual é a equação da circunferência (em coordenadas esféricas) localizada a altura h por cima do plano xy e sobre superfície esférica de raio R?. A superfície esférica esta centralizada na origem de coordenadas.
Resposta:
)}cos(,20,/),,{(:3
R
harRrRrC
Em coordenadas cartesianas
},/),,{(:22223
hRyxhzRzyxC
Exemplo 2.- Seja a superfície esférica de raio R, centralizada na origem de coordenadas. Qual é a equação da porção da superfície esférica (S) limitada pela circunferência localizada a altura h por sobre o plano x y e o polo norte? (h<R).
Z
X
Y h
R
}20,0,/),,{(:0
3 RrRrS
)cos(0
R
har
Do exercício anterior:
Logo:
Em coordenadas cartesianas
},/),,{(:22223
RzhRzyxRzyxS
Coordenadas esféricas
Exercício 10: A equação : x2+y2+z2 = 4, representa uma superfície esférica de radio 4 centrada na origem de coordenadas. Determine a equação da superfície correspondente ao hemisfério norte em coordenadas esféricas. Exercício 11 : desenhe a região espacial limitada por r=3, 0 ≤θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ 2π; r,θ,φ, são coordenadas esféricas. Exercício 12 : seja uma circunferência de radio R=2, colocada a uma altura h=3 sobre o plano xy. Determine a equação de dita curva em coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas. Exercício 13. Seja o plano do exercício 8, determine a equação deste plano em coordenadas esféricas. Exercício 14.- Considere a o planeta terra com um esfera perfeita, determine a equação da superfície esférica da terra que se estende do pólo norte ate o paralelo +π/3. Rh= radio da terra.
Exercícios
Latitude (𝞥) Longitude (𝞴)
Coordenadas geográficas
P
X
Y
Z
Q=(x,y,-R)
P=(a,b,c) 2SP
Plano T: = {(x,y,x) 𝞊 R3 /z =-R}
Projeção estereográfica
Desafio: faça uma projeção dos pontos da superfície esférica no plano horizontal T, ou seja, encontre as coordenadas x e y em função das coordenadas do ponto P da superfície esférica S2.
Superfície esférica S2, centralizada na origem de coordenadas.