1

Control II

Sistema retroalimentado

Especificaciones del diseño:

- Estabilidad

- Precisión en estado estable

- Características de la respuesta (Cmax, Ts, Tr,…)

- Robustez

Configuraciones más comunes:

1.- Compensación en serie 2.-Compensación mediante retroalimentación

3.-Compensación en serie-retroalimentación

4.-Retroalimentación de estado

Controladores más comunes: - Proporcional (P)

- Proporcional-derivativo (PD)

- Proporcional-integral (PI)

- PID

- Retroalimentación de estado

- Linealización por retroalimentación

(Feedback linearization)

- Control robusto

- Control adaptativo

- Lógica difusa

- Combinaciones…

Material de clase:

http://www.robotica-up.org/

Education → Control Engineering II

Entrada controlador H(s)

Error Salida

medición

comparación (sensor) (deseado vs real)

2

Implementación física de un controlador

X(n) D/A X(s)

Y(n) A/D Y(s)

Yd= // comando del usuario

Y= // lo que viene del sensor

E=Yd-Y;

C= //código del controlador

X=E*C;

out(X) // X a puerto de salida

3

Performance of Second-Order Systems Fig.1. Transient response due to damping ξ

Fig.2. Step response of a control system

Rise time: The time it takes to rise from

10% to 90% of the magnitude of the step

response

n

rTω

ξ 6.016.2 +=

Peak response: Magnitude of the overshoot

21/

max 1ξξπ −−

+= eC

Peak time: Time required to reach the

maximum overshoot

21 ξω

π

−=

n

pT

Settling time: The time required to settle or

to reach steady-state.

n

sTξω

τ4

4 ==

Input Steady-state error

Step (A/s) *1 p

ssk

Ae

+= with: )(lim 0

* sGk sp →=

Ramp (A/s2) *

v

ssk

Ae = with: )(lim 0

* ssGk sv →=

Parabolic (2A/s3) *

a

ssk

Ae = with: )(lim 2

0

* sGsk sa →=

4

Summary of characteristics of P, I, and D controllers

(1) A proportional control (Kp) will have the effect of reducing the rise time and will reduce, but never eliminate, the

steady-state error. (2) A derivative control (Kd) will have the effect of increasing the stability of the system, reducing the

overshoot, and improving the transient response. (3) An integral control (Ki) will have the effect of eliminating the steady-

state error, but it may make the transient response worse.

CL RESPONSE RISE TIME OVERSHOOT SETTLING TIME S-S ERROR

Kp Decrease Increase Small Change Decrease

Ki Decrease Increase Increase Eliminate

Kd Small Change Decrease Decrease Small Change

ITAE Performance Index

The Integral of Time Absolute Error (ITAE) Criterion

The Optimum Coefficients of G(s) based on the ITAE Criterion for a Step Input

� � ��

��� 1.4��� � ��

�

�� 1.75���

�� 2.15��

�� � ��

� � 2.1���

� 3.4��

���� 2.7��

� � ��

��� 2.8���

� 5��

��� 5.5��

��� 3.4��

� � ��

�

��� 3.25���

�� 6.6��

�� � 8.6��

�� 7.45��

��� 3.95��

�� � ��

�

5

Método de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID

Método 1: Curva de reacción

Controlador kp kI kd

P �

�

- -

PI 0.9

�

�

0.3

�

-

PID 1.2

�

�

0.5

�

0.5�

Método 2: Oscilaciones

Controlador kp kI kd

P 0.5�� - -

PI 0.45�� 1.2�� -

PID 0.6�� 2

��

��

8

6

Root Locus - Introduction

7

Rules for Sketching the Root Locus

1.-Number of branches: The number of branches of the root locus equals the number of open-loop

poles.

2.- Real-axis segments: On the real axis, for K>0, the root locus exists to the left of an odd number

of real-axis, finite open-loop poles and/or finite open-loop zeros starting from the most far element

located to the right.

3.- Start and ending points: The root locus begins at the poles of G(s)H(s) and ends at the zeros of

G(s)H(s) or at the infinite when no zeros exist.

4.- Symmetry: If complex poles do exist in conjugate pairs, the root locus is symmetrical about the

real axis.

5.- Behavior at infinity: The root locus approaches straight lines as asymptotes as the root locus

approaches to infinity. Further, the equation of the asymptotes is given by the real-axis intercept

σa and angle θa as follows:

zerosfinitepolesfinite

zerosfinitepolesfinitea

_#_#

__

−

−=

∑∑σ

zerosfinitepolesfinite

ka

_#_#

)12(

−

+=

πθ

where k=0, ±1, ±2, ±3,… and the angle is given in radians with respect to the positive extension of

the real axis. K yields a multiplicity of lines that account for the many branches of a root locus that

approach infinity.

8

1.- Para cada uno de los LGR que se muestran a continuación, indique si es correcto o no.

2.-Dibuje el LGR para cada una de las siguientes gráficas.

3.-Dibuje el LGR para:

(a) 258

)6)(2()(

2++

++=

ss

ssKsG

(b) 1

)4()(

2

2

+

+=

s

sKsG

(c) 2

2 )1()(

s

sKsG

+=

(d) )4()1(

)(3

++=

ss

KsG

9

Lenguaje de Máquinas con Redes de Petri

Historia

Carl Adam Petri, matemático alemán, definió en

“Kommunication mit Automaten” (1962) una herramienta

matemática general que permite describir las relaciones

existentes entre eventos y condiciones para modelar o

representar el comportamiento dinámico de Sistemas de

Eventos Discretos (SED) de cualquier naturaleza.

Nociones básicas

Las Redes de Petri (RdP) tienen solo 2 elementos

principales:

Plazas (P): representadas con círculos

Transiciones (T): representadas con líneas

P y T están unidas por arcos que indican el flujo del

diagrama. P y T son finitos y no nulos.

Las RdP se definen entonces como una grafica bipartita,

hay una alternancia entre arcos y transiciones a lo largo de

la red.

RdP NUNCA

���� SIEMPRE

Marcaje

El numero de marcas contenidas en una plaza Pi se denota

por M(Pi) o mi . El marcaje total de la red, M, es el vector de

marcajes, o M=(m1 , m2 , m3 , …. , mn).

M(t) define el estado de la red en cierto instante t.

Validación de una transición

La validación de T define la evolución de la red. Para

validar una T se requiere que todas y cada una de las plazas

P previas a T contengan al menos una marca. Como

consecuencia todas y cada una de las plazas P posteriores

reciben una marca.

2 casos especiales:

(a) Transición fuente: siempre

se valida

(b) Transición pozo/destino:

solo consume marcas

RdP Autónoma: Cuando las condiciones de validación no

dependen de eventos externos sino que se dan de manera

independiente o autónoma.

RdP no Autónoma: Cuando las condiciones de validación

dependen de eventos externos, por ejemplo el tiempo.

Gráfica de estados: Una RdP es una gráfica de estados ssi

toda transición tiene exactamente una plaza de entrada y

una de salida

Gráfica de eventos: Ssi toda plaza tiene exactamente una

transición de entrada y otra de salida.

Conflicto: Un conflicto corresponde a la existencia de una

plaza que tiene al menos 2 transiciones de salida.

RdP ordinaria: Si el peso de todos los arcos es 1.

RdP generalizada: Si el peso de al menos uno de los arcos

es diferente a 1.

Propiedades de las RdP

RdP delimitada: Una Plaza Pi esta delimitada para un

marcaje inicial M0 si existe un numero entero k que para

todo marcaje accesible a partir de M0 el numero de marcas

en Pi sea inferior o igual a k. En otras palabras P esta

delimitada si el numero de marcas en ella es siempre finito

o no hay acumulación significante de ellas.

RdP viva: Cuando, sea cual sea la evolución de la red,

siempre exista la posibilidad de validar al menos una

transición.

Bloqueo: Cuando no existe la posibilidad de validar una

transición.

a) RdP Cuasi-viviente: Cuando no todas las transiciones

de la red se han bloqueado pero si funcionaron alguna

vez. b) RdP muerta: Cuando la red permanece en un

estado estancado y ya no evoluciona.

10

1.- Indicar si las estructuras siguientes son RdP. Para las que lo son indicar:

a) Las transiciones que son validadas

b) El marcaje después de validación

2.- Para cada una de las RdP siguientes indicar si: a) están delimitadas, b) vivas y c) si presentan bloqueo.

11

Parte diseño – RdP

1.- Modelar con RdP el siguiente proceso automotriz:

** Considere un stock de piezas de capacidad infinita entre c/proceso y un solo robot soldador.

2.- Una línea de producción consta de 2 maquinas

M1 y M2. Las máquinas pueden descomponerse

mientras están trabajando una pieza. Existe un solo

reparador para ambas máquinas. Modele este

sistema con RdP.

3.- Cuando una máquina en producción termina una

pieza la deposita en un stock, cuya capacidad

máxima es de 3 piezas. Una 2° máquina consume

las piezas del stock. Modele este sistema con RdP.

4.- Cuatro personas P1�P4 están sentadas

alrededor de una mesa y disponen de 4 cucharas

c1�c4 dispuestas entre ellas. Una persona puede

tener esencialmente 2 estados: o habla o come. Para

comer necesita las 2 cucharas que están a su lado.

En el estado inicial todas las personas están

hablando y las cucharas están sobre la mesa.

a) Describir con una RdP el protocolo siguiente: una

vez que una persona decide comer, toma la cuchara

a su derecha, luego la de su izquierda y empieza a

comer. Cuando termina, regresa la cuchara de la

derecha, luego la de la izquierda y vuelve a la

platica.

b) ¿Existe algún bloqueo en esta red?

5.- Considere 2 bolas de billar A y B que se

desplazan sobre una misma línea paralela a las

bandas. Cada bola puede tener 3 estados: se mueve

a la derecha, a la izquierda o no se mueve. Modele

con RdP el comportamiento de las bolas sabiendo

que:

a) una bola que pega en la banda rebota en sentido

contrario

b) si las 2 bolas en movimiento chocan, cada una

rebota en sentido inverso

c) si una bola esta detenida y la otra le pega, la 1° se

mueve y la 2° se detiene

6.- Dos calculadoras utilizan una memoria común.

Suponiendo que cada calculadora puede tener 3

estados: no necesita la memoria, la pide pero aun no

la utiliza y la utiliza, modelar este funcionamiento

con RdP.

7.- Suponiendo que 4 tareas por ejecutar se

comparten una misma unidad central, la cual ejecuta

solo una parte de la tarea-1, otra de la 2, luego otra

de la 3 y finalmente otra de la 4 y así sucesivamente

hasta que las completa. Modelar con RdP este

comportamiento.

8.- En la playa, una persona que encuentra una

cabina libre, entra y se desviste. Pide enseguida una

canasta para su ropa, la cual llena para liberar la

cabina. Después de nadar, la persona vuelve a entrar

a la cabina con su canasta, la vacía y la entrega.

Enseguida se viste y libera la cabina. Si hay 3

cabinas y 5 canastas, modele el sistema con RdP.

¿Existe algún bloqueo en esta red?

9.- Se dispone de 2 tanques de almacenamiento: R1

cuya capacidad es de 7 lts y R2 de 5 lts.

Inicialmente ambos tanques están vacíos. Los

tanques se pueden llenar con agua proveniente de

una fuente externa de capacidad infinita o vaciar a

otro recipiente exterior de capacidad infinita. El

líquido puede también transferirse de un tanque al

otro hasta que el 1° se llene o el último se vacíe. Se

busca encontrar la secuencia de operaciones a

efectuar de tal forma a encontrar exactamente 4 lts

en R1. El volumen restante en R2 no importa.

10.- Modele con RdP el funcionamiento de 4

semáforos de 3 luces en un crucero vial. Recuerde

que los semáforos no pueden estar en verde al

mismo tiempo a menos que el sentido que

coordinan sea opuesto.

Montaje

ruedas

Montaje

eje

Ensamblado chasis

con soldadura

Montaje y

soldadura:

eje + chasis

Ensamblado

carrocería

12

Práctica No. 1 – Diseño y Desempeño de Controladores

Control P

1.- Verifique la respuesta a un escalón unitario de 2010

1)(

2 ++=

sssH en:

a) Lazo abierto

b) Lazo cerrado simple

c) Lazo cerrado con un controlador P donde 380=Pk produce un %5=

sse

2.- Verifique la respuesta a un escalón unitario de 485

1)(

2 ++=

sssH en:

a) Lazo abierto

b) Lazo cerrado simple

c) Lazo cerrado con un controlador P donde 3.129=Pk produce un %3=

sse

Control PD

3.- Compare la respuesta a una rampa de )2.361(

815265)(

+=

sssH usando:

a) Un control P donde 0232.1=Pk produce un 000433.0=

sse

b) Un control PD donde 0018.0=Dk proporciona un amortiguamiento de 1=ζ

4.- Compare la respuesta a un escalón unitario de )10)(1(

2000)(

++=

sssH usando:

a) Un control P donde 095.0=Pk produce un %5=

sse

b) Un control PD donde 0033.0=Dk proporciona un amortiguamiento de 6.0=ζ

c) Un control PD donde 0055.0=Dk proporciona un amortiguamiento de 8.0=ζ

Control PI

5.- Compare la respuesta a una rampa de 10010

100)(

2 ++=

sssH usando:

a) Un control P donde 10=Pk produce un %10=

sse

b) Un control PI donde 51.0=Pk produce un %10=

sse y 10=

Ik proporciona un

amortiguamiento de 7.0=ζ

6.- Compare la respuesta a una parábola de )2.361(

815265)(

+=

sssH :

a) En lazo abierto

b) Con un control PI donde 082.0=Pk produce un 2.0=

sse y 00221.0=

Ik proporciona un

amortiguamiento de 7.0=ζ

Control PID

7.- Observe la respuesta a un escalón unitario de 12

1)(

2 ++=

sssH :

a) Con un control PID donde 214=Pk , 5.15=

Dk y 1000=

Ik sin filtro F(s)

b) Con un filtro 51.648.13

51.64)(

2 ++=

sssF

13

8.- Considere un motor de DC.

a) Demuestre que su función de transferencia velocidad/voltaje esta dada por:

2))(()(

)(

kRLsDJs

k

sV

s

+++=

ω

Con los valores:

J=0.01 , D=0.1 , k=0.01 , R=1 , L=0.5

b) Obtenga la respuesta del sistema en lazo abierto

c) Obtenga la respuesta del sistema en lazo cerrado

d) Obtenga la respuesta con un controlador P considerando un %1=sse

e) Obtenga la respuesta con un controlador PD con cero sobrepaso ( 7.0=ζ )

f) Obtenga la respuesta con un control PID sin filtro para Ts=0.2 seg

g) Obtenga la respuesta PID después de filtrado

Respuestas

(1) (2)

Observe: - La aceleración en la respuesta del sistema y la falta total de amortiguamiento.

(3) (4)

Observe – Precisión y aceleración del control P + mejora del amortiguamiento del control D. Note la sensibilidad del

parámetro kD en (4).

14

(5) (6)

Observe – Precisión del PI ess≈0.

(7)

(8)

15

Práctica No. 2 – Sintonización por el método de Ziegler-Nichols

1.- Para las siguientes funciones de transferencia diseñe por los métodos de Ziegler-Nichols:

a) Un controlador P

b) Un controlador PI

c) Un controlador PID

d) Un controlador PID depurado

���� =100

�� + 10� + 100

���� =1

��� + 1��� + 2�

���� =1

�� + 10� + 20 ���� =

1325

��� + 1.71��� + 100�

16

Práctica No. 3 – Diseño y Desempeño de Controladores de Estado

1.- Verifique que la respuesta a un escalón unitario de: 24269

24)(

23 +++=

ssssH sea la misma:

a) En dominio s

b) En el espacio de estados

c) En el espacio de estados utilizando la función de estado de Simulink.

2.- Verifique que la respuesta a un escalón unitario de: 24269

27)(

23

2

+++

++=

sss

sssH sea la misma:

a) En dominio s

b) En el espacio de estados

c) En el espacio de estados utilizando la función de estado de Simulink.

3.- Obtenga la función de transferencia a partir de las representaciones de estado siguientes (con la

ayuda de Matlab) y compare la respuesta a un escalón unitario de:

(a) uxx

+

−−−

=

0

0

10

321

100

010.

, [ ]xy 001= H(s)=

(b) uxx

+

−−

−−−

−

−−−

−

=

4

5

6

7

2

13406

04367

82110

12553

24013

.

, [ ]xy 67921 −−= H(s)=

4.- Para )4)(1(

)5(20)(

+++

=sss

ssH :

(a) Construya en Simulink su equivalente en el espacio de estados.

(b) Retroalimente las variables de estado con k1=460.45, k2=124.2, k3=8.5135 y observe la

respuesta del sistema a un escalón unitario.

(c) Después de observar la magnitud de ess , corrija el sistema con ke=35.52 y las nuevas ganancias:

k1=531.875, k2=198.634, k3=11.212

(d) Un recalculo del vector K con Ts =4 s permite obtener una respuesta sin sobrepaso: ke= 0.0416,

k1= 7.0387, k2=2.9388, k3=-2

5.- Para )4)(3)(1(

)20)(2(100)(

+++++

=sss

sssH . Diseñe un controlador de estados de tal forma que el sistema

responda lo más rápido posible con una tolerancia de sobrepaso del 5% a un escalón unitario.

Implemente todos los cálculos matriciales en Matlab.

17

(4)

(5)

18

Práctica 4 – Root Locus Based P-Controller

Case 1 - Antenna Azimuth Position Control System

Schematic:

Block Diagram:

Reduced block diagram:

Find the pre-amplifier gain K required for 25%

overshoot with Kpot=1/π, K1=100, KmKg=0.2083,

a=100, am=1.71.

19

Case 2 – Unmanned Free Swimming Submersible (UFSS) Vehicle

Block Diagram:

a) If K2=0 (no rate feedback), estimate K1 with the system responding in closed

loop to 20% overshoot.

b) Let K2=K1 (add rate feedback), repeat (a).

20

Práctica 5 – Diseño de Controladores con LGR

1.- Para )10)(2)(1(

1)(

+++=

ssssG . Compare las gráficas de respuesta en:

(a) lazo abierto

(b) lazo cerrado

(c) con un control P para que el sistema opere con un amortiguamiento de 0.174.

(d) con un control PI para que el sistema opere con un amortiguamiento de 0.174.

2.- Para )6)(4(

1)(

++=

ssssG . Compare las gráficas de respuesta en:

(a) lazo abierto

(b) lazo cerrado

(c) con un control P para Cmax=16%.

(d) con un control PD para Cmax=16% y su Ts se reduzca a la tercera parte.

3.- Para )10)(6)(3(

8)(

+++

+=

sss

ssG . Compare las gráficas de respuesta en:

(a) lazo abierto

(b) lazo cerrado

(c) con un control P para Cmax=20%.

(d) con un control PD para Cmax=20% y su Ts se reduzca a 2/3 partes.

(e) con un control PID para Cmax=20% y su Ts se reduzca a 2/3 partes.

a

c

b

d

a,b

c d

e

a,b

c

d

21

Práctica 6 - Gráficas de Bode

1.- Para )2)(1(

)3()(

+++

=sss

sksG

a) Compare las gráficas de Bode del comportamiento de G(s) en lazo abierto y lazo

cerrado

b) Compare las gráficas de Bode de G(s) en lazo cerrado para 1≤k≤10

2.- Para )2(

1)(

+=s

sG

a) Obtenga su gráfica de Bode y

b) Verifique en Simulink la amplitud de la señal para 1, 10 y 100 r/s para una señal

cuadrada y senoidal.

3.- Para )15)(5(

)(++

=sss

ksG

a) Compare las gráficas de Bode del comportamiento de G(s) en :

a.1) lazo abierto

a.2) lazo cerrado

a.3) con un control P para que el sistema opere con un sobrepaso máximo del 20%

a.4) con un control PD para Cmax=20% y su Ts se reduzca en 4.

b) ¿Qué control permite operar en una mayor banda de frecuencias? ¿Por qué?

c) ¿Qué amplitud de señal se puede esperar a 100 Hz en cada caso?