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Control Engineering Tutorial Stability analysis

개요

제어시스템 설계목표 가운데 제일의 목표는 안정도이다. 어떤 시스템이든 불안정할 경우에는 출

력이 발산하게 되어 다른 제어목표를 수행할 수 없기 때문에 안정도를 이루는 것이 제어의 최우

선 목표가 되는 것이다. 이 장에서는 이러한 안정도의 정의와 조건 및 이를 판별하는 방법을 다

루며, 안정도와 시스템 극점 영점과의 관계를 정리한다. 그리고 제어기 이득이 바뀜에 따라 이동

하는 극점의 위치를 그림으로 나타내는 기법과 이것을 제어기 설계에 활용하는 방법을 다룬다.

1) 어떤 시스템이 유한한 입력이나 외란에 대해 출력의 크기가 항상 유한한 응답을 보이면 그 시

스템은 안정하다(Stable)고 말하며, 이와 같이 모든 유한한 입력에 대해 유한한 응답을 갖는 시스

템의 성질을 안정도(Stability)라고 부른다.

2) 선형시불변 시스템에서 안정도에 대한 필요충분조건은 전달함수의 모든 극점들이 평면의 좌반

면에 놓여 있는 것이다. 만일 어느 한 극점이라도평면의 허수축을 포함하는 우반면에 있으면 시

스템은 불안정하여 출력이 발산하게 된다.

3) 시스템이 안정하지 않으면 출력이 발산하기 때문에 제어시스템 설계를 할 때에 안정도는 제어

기 설계의 제1목표가 된다. 시스템이 안정화되면 잡음이 있거나 계수에 변화가 있더라도 제어대

상량이 원하는 값으로 따라가는 견실한 경향을 나타낸다. 그러나 시스템이 안정하더라도 극점과

영점의 위치에 따라 출력응답 성능이 서로 다르기 때문에 성능목표를 만족하도록 제어기를 잘 설

계해야 한다.

4) 극점의 위치와 시간영역 특성명세와의 상관관계는 선형 시불변 1차나 2차시스템에서 표준형의

경우에 대해서는 간단한 공식으로 나타낼 수 있다. 그러나 일반적인 경우에는 관계가 복잡하게

얽혀 있기 때문에 공식으로 나타내기는 어려우며, 모의실험을 통해 성능을 확인해야 한다.

5) 안정도를 판별하는 방법으로는 특성방정식을 풀어서 극점을 구하여 조사하는 직접적인 방법과,

우반면 극점의 존재여부만을 조사하는 간접적인 방법이 있다. 이 가운데 직접적인 방법은 대수방

정식을 풀어야하기 때문에 필산으로 풀 경우에는 2차이하의 저차시스템에만 적용할 수 있다. 그

러나 최근에는 컴퓨터 꾸러미를 이용하여 고차방정식의 근을 쉽게 구할 수 있기 때문에 이 방법

도 많이 쓰이고 있다.

6) 간접적인 안정도 판별법으로는 Routh-Hurwitz 안정도 판별법과 나이키스트 안정도 판별법이

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있다. 이 두 방법은 모두 선형시불변 시스템에 적용할 수 있는 것으로서, Routh-Hurwitz 안정도

판별법은 간단한 연산을 사용하여 구성되는 표를 써서 특성방정식의 근 가운데 불안정한 근의 개

수를 찾아내며, 나이키스트 안정도 판별법은 개로시스템에 대한 나이키스트 선도를 그려서 이 그

래프로부터 폐로시스템의 안정도를 판별하는 방법이다.

7) 제어기 이득이 바뀜에 따라 변화하는 폐로극점의 위치변화를 평면에 그림표로 나타낸 것을 근

궤적(Root locus)이라고 한다. 근궤적은 간단한 저차시스템의 경우에는 필산으로도 처리하여 작성

할 수 있지만 시스템이 복잡해지면 필산으로 처리하기는 어렵다. 그러나 컴퓨터 꾸러미를 활용하

면 상당히 복잡한 시스템의 경우에도 근궤적을 쉽게 작성할 수 있다. 따라서 이 책에서는 필산으

로 처리하는 방법은 생략하며, 컴퓨터 꾸러미를 활용한 근궤적법을 다룬다.

8) 근궤적을 활용하면 극점이 어떤 원하는 영역에 놓이도록 제어이득을 조정하면서 제어기를 설

계할 수 있다. 이와 같이 극점의 위치를 원하는 자리에 배치시키는 방식으로 제어기를 설계하는

기법을 극배치법(Pole placement method)이라고 한다.

이장에서 다루는 근궤적을 이용한 제어기 설계법의 설계목표는 4.5.1절의 1)과 2)에 해당하는 안

정도와 성능이다. 이 기법에서는 안정도를 확보하기 위해 극점이 좌반면에 놓이도록 설계하되, 성

능목표 달성을 위해 원하는 과도응답 특성을 갖도록 극점의 위치를 적절하게 선정한다.

목차

1. 안정도와 극점 영점

2. 안정도

3. 극점과 시간영역 특성

4. 영점과 시간영역 특성

5. Routh-Hurwitz 안정도 판별법

6. 나이키스트 안정성 판별법

7. 근궤적(Root Locus)

8. 근궤적(Root Locus)을 이용한 제어기 설계법

9. 요점정리

안정도와 극점 영점

안정도란 시스템의 출력이 발산하지 않고 유한한 범위 안에 한정되는 성질을 말한다. 안정도는

제어시스템이 지녀야할 가장 기본적인 성질이며 또한 안정도가 이루어지면 성능목표도 어느 정도

달성되기 때문에 제어기는 시스템의 안정도를 이루는 것을 제일의 목표로 하여 설계된다.

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2.4절에서 다루었듯이, 선형시불변 시스템의 입출력 전달특성은 전달함수로 나타낼 수 있다. 이

전달함수는 복소변수를 독립변수로 갖는 복소함수로서 대부분의 경우에 분자 분모부가 각각 다항

식의 형태로 표시되는 분수함수의 꼴을 갖는다. 이 중에서 전달함수 분모부와 분자부를 0이 되게

만드는 값을 각각 극점과 영점이라 하는데, 이 극점과 영점은 시스템의 시간영역에서의 과도상태

및 정상상태 특성과 밀접한 관련을 갖고 있다.

이 절에서는 먼저 안정도의 정의를 살펴보고 안정도와 극점영점의 관계를 정리한다. 그리고 극점

과 영점의 위치에 따라 시간영역에서 과도상태와 정상상태 특성이 어떻게 달라지는지 살펴보기로

한다.

안정도

어떤 시스템이 유한한 입력이나 외란에 대해 크기가 항상 유한한 응답을 보이면 그 시스템은 안

정하다(Stable)고 말하며, 이와 같이 모든 유한한 입력에 대해 유한한 응답을 갖는 시스템의 성질

을 안정도(Stability)라고 부른다. 안정도는 모든 시스템이 갖춰야 할 기본적인 성질이다. 왜냐하면

시스템이 불안정하면 응답이 발산하게 되는데 이것은 기계적 시스템의 경우에는 속도나 변위가,

전기적 시스템의 경우에는 전압이나 전류가, 화공이나 열역학 시스템의 경우에는 온도나 압력 따

위의 크기가 발산하는 것을 뜻하므로 시스템이 손상되거나 파괴되는 아주 위험한 상황이 일어나

기 때문이다. 이렇게 시스템이 불안정할 경우에는 응답이 발산하게 되어 어떤 성능목표도 정상적

으로 수행할 수 없다. 따라서 안정도를 이루는 것은 제어시스템 설계목표 가운데 가장 우선하는

제일의 목표가 된다. 그리고 실제 문제에서도 많은 경우에 안정도가 이루어지면 성능목표는 어느

정도 달성되기 때문에 제어기 설계에서는 안정도를 우선적으로 고려한다.

안정도는 시스템 내의 어떤 변수나 대상를 기준으로 하는가에 따라 여러 가지로 정의할 수 있다.

유한한 '응답'을 보일 때 안정하다고 하는데 여기에서 '응답'을 어느 것으로 하는지 기준을 정해야

한다. 많은 경우에 출력을 응답으로 보지만 내부상태 가운데 하나를 응답으로 볼 수 있고 이 기

준에 따라 안정도가 달라질 수 있다. 출력만을 응답의 기준으로 하여 정의하는 것으로서 유한입

출력(BIBO, Bounded Input/Bounded Output) 안정도가 있는데 다음과 같이 정의된다:

<정의6.1> 어떤 시스템에서 모든 유한 입력에 대해 출력이 유한한 크기의 응답을 보이면 그

시스템은 유한입출력 안정하다 말하며, 이러한 성질을 유한입출력 안정도(BIBO stability)라고 부

른다.

학부과정에서는 주로 유한입출력 안정도만을 다루는데, 이 책에서도 안정도 문제를 유한입출력

안정도에 한정하여 다룰 것이다. 따라서 유한입출력 안정도를 간략히 줄여서 안정도라고 부르기

로 한다.

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어떤 시스템이 안정한가 불안정한가 하는 것은 시스템 자체의 성질이며 입력신호와는 무관하다.

전달함수가 ( )G s 인 어떤 시스템에서 입력의 라플라스 변환을 ( )U s 라 하면 출력의 라플라스

변환은 ( ) ( ) ( )Y s G s U s= Y=GU로 표시되며 이것을 시간영역에서 나타내면 다음과 같은 중첩

적분으로 표시된다:

0( ) ( ) ( )y t g u t dt t t

¥= -ò …(6.1)

여기에서 ( )g t 는 전달함수 ( )G s 의 라플라스 역변환인 순간신호 응답이다. 식(6.1)로부터 입력

이 ( )u t M£ 로서 상한 M 을 갖는다면 출력의 상한은 다음과 같이 구할 수 있다:

0

0

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

y t g u t d

g u t d

M g d

t t t

t t t

t t

¥

¥

¥

= -

£ -

£

ò

òò

…(6.2)

따라서 유한입출력 안정도에 대한 조건은 다음과 같이 정리된다:

<정리6.1> 순간신호 응답이 g(t)인 어떤 시스템이 유한입출력 안정하기 위한 필요충분조건은

다음과 같다:

0( )g t dt

¥< ¥ò …(6.3)

정리6.1은 식(6.3)에 보는 바와 같이 순간신호 응답을 써서 안정도 조건을 제시하고 있다. 그런데

이 정리를 써서 안정도를 판별하려면 순간신호 응답이 주어지지 않은 경우에는 이것을 직접 구해

야 하기 때문에 실제로 안정도 판별에 사용하기에는 적합하지 않다. 그러면 이 정리로부터 실제

사용하기에 적합한 꼴의 안정도 조건을 유도하기로 한다.

순간신호 응답 ( )g t 는 전달함수 ( )G s 의 라플라스 역변환이다. 그런데 전달함수는 분수함수이

므로 이것은 2.2.3절에서 살펴보았듯이 극점인수를 분모로 하는 부분분수의 합으로 표시할 수 있

다. 극점인수들은 1차, 2차 및 다중인수들로 분해되므로 전달함수는 일반적으로 다음과 같이 부분

분수 합의 꼴로 나타낼 수 있다:

1 2

2 21 1 1

( )( )( ) ( )

N N Mi i i i i k

ki i ki i i i

a c s d w bG ss p s w s q

ss= = =

- += + +

- - + -å å å

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여기에서 ip 는 1차극점, is , iw 는 2차극점의 실수부와 허수부, iq 는 M중인수를 나타내는 실

수들이다. 이 식에서 다중인수는 한 가지만 있는 것으로 가정하였는데, 두 가지 이상이 있을 경

우에는 세 번째 항과 같은 꼴의 항을 추가하면 된다. 이 식에 라플라스 역변환을 적용하면 순간

신호 응답 ( )g t 의 일반형은 다음과 같이 구해진다:

{ }

( )1 2

1

1

1 1 1

( ) ( )

cos sin( 1)!

i i i

N N Mp t t q tkk

i i i i ii i k

g t G s

ba e e c w t d w t t ek

s

-

-

= = =

=

= + + +-å å å

L

…(6.5)

이 식으로부터 순간신호 응답 ( )g t 는 지수함수 항과 지수가중 삼각함수 및 정 함수 항들로 이

루어짐을 알 수 있다. 식(6.5)에서 지수항의 지수들 ip , is , iq 가운데 어느 하나라도 0보다 크

면 그 항은 시간이 지남에 따라 발산하게 되어 식(6.3)의 안정도 조건을 만족시키지 못하므로 시

스템은 불안정하게 된다. 그러나 0ip < , 0is < , 0iq < , i" 이면, 즉 극점이 s평면 왼쪽에

있으면 진동이 있더라도 시간이 지나가면 순간신호 응답이 0으로 수렴하면서 시스템은 안정하게

된다. 따라서 유한입출력 안정도에 대한 조건은 극점을 써서 다음과 같이 나타낼 수 있다:

<정리6.2> 전달함수가 G인 어떤 시스템이 유한입출력 안정하기 위한 필요충분조건은 전달함

수의 극점들이 모두 평면 좌반면에 있는 것이다.

정리6.2에서 제시하는 안정도 영역은 원점과 허수축을 제외한다. 만일 원점이나 허수축에 극점이

있는 경우에는 순간신호 응답에 상수항이나 삼각함수항이 나타나면서 안정도 조건인 식(6.3)이 성

립하지 않기 때문에 시스템은 불안정하다. 그러나 극점이평면 좌반면에 있기만 하면 다중극점이

라 하더라도 시스템은 안정하다. 지금까지 다룬 안정도 조건에 관한 사항들을 다음의 몇 가지 예

제를 통해서 확인해 보기로 한다.

<예제6.1> 다음과 같은 전달함수로 표시되는 시스템의 안정도를 판별하라

2 2

1( )( 2) ( 1)

sG ss s s

+=

+ + +

이 시스템의 극점은 2s = - (이중근), 1 32 2

s j= - ± 으로서 모두 좌평면에 있다. 그러므

로 정리6.2에 따라서 시스템은 안정하다. 실제로 이중극점 인수 2( 2)s + 에 대응하는 순간신

호 응답을 구해보면 2tte- 인데 이 항은 시간이 지남에 따라 0으로 수렴하여 안정한 반응을 나

타낸다.

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지금까지 다룬 안정도는 정의5.1의 유한입출력 안정도이다. 이 안정도는 내부상태를 고려하지 않

고 입력과 출력변수만을 기준으로 하여 정의되기 때문에 외부안정도(External stability)라고도 부른

다. 이 안정도는 임의의 유한입력에 대해 출력변수가 유한하기만 하면 시스템이 안정하다고 보는

것인데, 출력변수는 유한하더라도 내부상태가 발산하는 경우가 있을 수 있기 때문에 이 안정도는

엄밀한 의미에서는 시스템 전체의 안정도를 보장하는 것은 아니다. 이 유한입출력 안정도와는 달

리 시스템 안의 모든 내부상태를 기준으로 하여 안정도를 정의할 수 있는데, 이러한 안정도를 내

부안정도(Internal stability)라 부른다. 내부안정도에서는 유한한 입력에 대해 모든 내부상태가 유한

한 응답을 보이는 경우에 시스템이 안정하다고 정의한다. 그런데 출력은 내부상태의 선형결합으

로 나타낼 수 있기 때문에 내부안정 시스템에서 외부안정도는 항상 보장된다. 그러나 역은 성립

하지 않을 수 있으므로 내부안정도가 외부안정도보다 더 엄밀한 안정도라 할 수 있다. 내부안정

도로서 주로 사용되는 것은 리아프노프(Liapunov) 안정도인데, 이 안정도는 1892년 러시아의 수학

자인 A.M. Liapunov가 정의한 것이다. 리아프노프는 안정도 해석법도 제시하였는데, 그가 제시한

안정도 이론은 선형은 물론이고 비선형 시스템에까지 적용할 수 있는 일반적인 것이다. 그러나

이 안정도 이론은 대학원 과정에 속하는 것으로서 학부과정에서 다루기는 어렵기 때문에 이 책에

서는 다루지 않기로 한다.

극점과 시간영역 특성

극점은 시스템의 정상상태와 과도상태 특성 모두에서 거의 결정적인 영향을 미친다. 극점의 위치

에 따라 과도상태는 물론이고 정상상태에서의 시스템 출력신호의 변화가 크게 달라지게 된다. 2.4

절에서 이미 다룬 바 있는 극점과 시스템 특성 사이의 관계를 요약하면 다음과 같다:

>극점이 좌반면에 있으면 시스템은 안정하고, 우반면에 있으면 불안정하다.

>극점이 좌(우)반면에 있으면서 허수축으로부터 멀어질수록 출력신호의 수렴(발산)속도가 빨라진

다.

>극점이 실수축으로부터 멀어질수록 출력신호의 진동주파수가 높아진다.

이 관계는 극점의 위치와 시스템 특성 사이의 정성적인 관계를 설명하고 있다. 그러나 제어기 설

계에서 제어목표는 상승시간 몇 초 이내, 초과 몇 % 이내 따위의 정량적 지표로 주어지기 때문에

극점과 시스템 특성 사이의 관계도 정량적으로 표현되어야 이 관계를 제어기 설계에 활용할 수

있다.

2.2.3절에서 살펴보았듯이 전달함수의 분모부는 실수범위에서 인수분해를 할 경우에 항상 1차나

2차인수로 분해되며 대응하는 극점은 각각 실극점과 복소극점이 된다. 따라서 전달함수의 실극점

과 복소극점 각각에 대응하는 시간영역 특성을 알면 이로부터 이 전달함수로 표시되는 시스템에

대한 시간영역 특성을 미루어 알 수 있다. 극점과 시간영역 특성 사이의 관계에 대해서는 5.3절에

서 자세히 다루었는데, 여기에서는 실극점과 복소극점 각각의 경우에 대해서 극점의 위치에 따라

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시간영역 특성과 시스템 성능이 어떻게 달라지는가를 요약하기로 한다.

실극점

실극점은 다음과 같은 1차인수를 분모로 갖는 전달함수에 대응된다:

1( ) 1p

c

GG s

T s=

+…(6.6)

여기에서 pG 는 직류이득, cT 는 시정수이다. 시정수가 0cT > 일 때 시스템은 안정하게 되며,

이 경우에 극점과 시간응답특성 사이의 관계를 요약하면 다음과 같다:

* 상승시간 : 2.2r ct T»

* 지연시간 : 0.1d ct T»

* 초과 : 0pM =

* 상승시간 : 4s ct T»

* 정상상태 오차 : 1s pE G= -

시정수가 cT 인 1차시스템의 극점은 1

c

sT

= - 로 결정되며 과도상태 특성은 시정수 cT 에 의해

결정된다. <그림6.1>의 극점도에서 보는 바와 같이 시정수가 클수록 극점은 허수축에 가까이 다

가가면서 응답속도가 느려지며, 시정수가 작을수록 극점은 허수축에서 멀어지면서 응답속도가 빨

라진다. 따라서 과도상태 특성을 개선하려면 이 시정수를 줄이면 된다. 그리고 정상상태 특성은

직류이득 pG 에 의해 결정되는데 1pG = 일 때 출력은 기준입력과 같아지면서 정상상태 오차는

0이 된다. 따라서 1차시스템의 제어문제는 폐로시스템의 시정수를 줄이면서 폐로 직류이득을 1로

만드는 방향으로 제어기를 설계하는 문제로 귀결된다.

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복소극점

복소극점을 갖는 2차 전달함수의 표준형은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

2

2 2( )2

n

n n

wG ss w s wx

=+ +

…(6.7)

여기에서 x 와 nw 을 각각 제동비, 비제동 고유진동수라 부른다. 2차시스템에서 제동비 x 는 시

스템의 안정도와 밀접한 관련이 있는데, 만일 0x £ 일 경우에는 시스템이 불안정하여 출력이

발산하게 된다. 0 1x< < 일 때에 극점은 s평면 좌반면에 놓이게 되어 시스템은 안정하지만 복

소극점을 갖게 되어 진동성분이 나타나면서 부족제동 상태에 놓이게 된다. 1x ³ 일 경우에는 식

(6.7)의 분모부가 1차인수로 분해되어 두 개의 실극점을 가지면서 초과가 전혀 나타나지 않는 과

제동 상태에 있게 된다.

제동비가 0 1x< < 인 부족제동의 경우에 표준형 2차시스템에 대한 복소극점의 극점도는 <그림

6.2>와 같으며, 시간영역특성과 제동비 및 비제동 고유진동수 사이의 관계를 요약하면 다음과 같

다:

* 상승시간 :

1

20.5

sin 1.820.751

rnn

tww x

px

x

-

=

+= =

-

* 초과 : 21

pM epx

x-

-=

* 마루시간 : 21

pd n

tw wp p

x= =

-

* 상승시간 : 4

sn

twx

»

* 정상상태 오차 : 1 (0) 0sE G= - =

여기에서 특기할 사항은, nw 이 일정한 경우에, 제동비 x 가 커질수록 초과는 줄어들지만 상승시

간은 커지기 때문에 초과와 상승시간 가운데 어느 한 쪽을 좋게 하려면 다른 쪽이 나빠지는 상충

관계를 갖는다는 점이다. 따라서 2차시스템을 제어할 때에는 이러한 상충관계를 적절히 절충시키

면서 시스템의 특성을 개선하는 방식으로 제어기를 설계해야 한다. 그리고 주의할 사항은 이 관

계식들이 식(6.7)로 표시되는 것과 같은 영점이 없는 2차시스템의 표준형에서만 성립하며, 영점이

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있는 경우에는 특성이 크게 달라진다는 것이다.

영점과 시간영역 특성

극점은 시스템의 안정도에 직결되어 있으며, 정상상태와 과도상태 모두에서 시스템의 출력응답에

큰 영향을 미친다. 영점은 이러한 극점처럼 시스템의 특성에 결정적인 영향을 주지는 않는다. 그

러나 영점도 위치에 따라서 과도상태에서의 시스템 출력에 적잖은 영향을 준다. 영점과 시스템

특성 사이의 정성적인 관계에 대해서는 2.4절과 5.3절에서 이미 다루었는데 그 내용을 요약하면

다음과 같다:

>영점이 허수축으로부터 멀리 떨어져 있으면 영점은 시스템 출력에 거의 영향을 주지 않는다.

>영점이 좌반면에 있으면서 허수축에 가까워질수록 출력신호의 초과가 심해진다.

>영점이 우반면에 있으면 하향초과가 생기며, 하향초과의 크기는 영점이 허수축에 가까워질수록

심해진다.

이와 같이 영점의 위치에 따라 시스템의 과도상태 특성이 상당히 달라질 수 있지만, 시간영역 특

성에는 극점의 영향도 크게 나타나기 때문에 영점과 시간영역 특성계수 사이의 관계를 5.3절에서

처럼 극점과 시간영역 특성계수 사이의 간단한 공식으로 정량화하여 나타내기는 어렵다.

최소위상 및 비최소위상 시스템

영점의 위치에 따라 시스템의 과도응답 특성이 크게 달라질 수 있기 때문에, 영점이 좌반면에 있

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는 시스템을 최소위상(Minimum phase) 시스템, 영점이 우반면에 있는 경우에는 비최소위상

(Nonminimum phase) 시스템이라고 구분하여 부른다. 이와 같은 이름을 붙이게 된 까닭은 어떤

두 전달함수가 똑같은 크기응답을 갖는 경우에 영점이 모두 좌반면에 있는 쪽의 위상응답이 그렇

지 않은 쪽보다 더 작게 나타나기 때문이다.

최소위상 시스템에서 허수축에 가까이 있는 좌반면 영점 때문에 생기는 초과현상을 개선하려면

그 영점 가까이에 극점을 갖는 제어기를 사용하면 된다. 이 경우에 제어기의 극점과 플랜트의 영

점이 상쇄되면서 허수축 가까이에 있는 플랜트 영점에 의한 초과현상이 억제되는 것이다. 이러한

방법을 극영점 상쇄법(Pole-zero cancellation)이라고 부른다. 이 방법에서 극점과 영점의 위치가

조금 달라서 상쇄가 완벽히 되지 않는다 하더라도 영점에 의한 초과현상은 효과적으로 억제할 수

있다. 그러나 이 방법을 비최소위상 시스템에 적용할 경우에는 주의해야 한다. 왜냐하면, 이 방법

을 써서 비최소위상 시스템에서 허수축 가까이에 있는 영점의 하향초과 현상을 억제하려면 우반

면 극점을 갖는 제어기를 써야하는데, 이 경우에는 제어기가 불안정하여 전체 폐로시스템의 안정

화가 어려워지기 때문이다.

비최소위상 시스템이 허수축 가까이에 우반면 영점을 갖고 있으면 과도상태에서 하향초과 현상이

크게 일어나면서 응답하기 때문에 응답속도가 최소위상 시스템에 비해 느리다. 그런데 위에서 살

펴보았듯이, 이 시스템에서 우반면 영점의 하향초과 현상을 억제하는 것은 상당히 어려운 문제이

다. 실제로 이 문제는 현대제어 분야에서도 완벽한 해결방법이 제시되지 않고 있는 실정이다. 따

라서 현재까지의 기술로는 플랜트를 구성할 때에 비최소위상 특성이 없거나, 어쩔 수 없이 비최

소위상 특성이 포함되더라도 우반면 영점이 허수축 가까이에 나타나지 않도록 설계하는 것이 최

상의 방법이라고 할 수 있다.

Routh-Hurwitz 안정도 판별법

앞 절에서 살펴보았듯이 안정도는 특성방정식의 근인 극점의 위치에 의해 결정된다. 그런데 특성

방정식이 2차이하의 저차일 경우에는 극점위치를 필산에 의해 직접 구하여 안정도를 판별할 수

있으나 고차의 경우에는 특성방정식을 필산으로는 풀기가 어렵기 때문에 컴퓨터를 이용하지 않고

서는 직접적인 방법에 의한 안정도 판별은 쉽지 않다. 그러나 특성방정식을 풀지 않고서도 필산

이 가능할 정도의 간단한 연산에 의해 불안정한 극점의 개수를 알아냄으로써 안정도를 판별할 수

있는 간접적인 방법이 있는데 이 방법이 Routh-Hurwitz 안정도 판별법이다. 이 절에서는 먼저

Routh-Hurwitz 판별법을 다루고, 이어서 컴퓨터 꾸러미를 활용하여 극점을 직접 구하여 안정도를

판별하는 방법을 다룬다.

선형시불변 시스템의 경우에 시스템이 안정하기 위한 필요충분조건은 시스템 전달함수의 모든 극

점이 복소평면의 좌반면에 있는 것이다. Routh-Hurwitz 안정도 판별법은 특성방정식의 불안정 극

점의 개수를 알아낼 수 있는 방법으로서, 안정도의 필요충분조건에 의해 불안정 극점의 개수가 0

이냐 아니냐에 따라서 안정도를 판별할 수 있다.

11

Routh-Hurwitz 판별법에서 제시하는 따라 다음과 같은 특성방정식에서 모든 근이 복소평면상에서

왼쪽에 있을 필요충분 조건을 구해보기로 한다:

1 2

0 1 2 1( ) 0n n nn nQ s a s a s a s a s a- --= + + + + + =L …(6.8)

위의 특성방정식에 대해 다음과 같은 Routh-Hurwitz 표를 작성한다:

여기서 계수 ib , 1,2,3,i = L는 ia 계수들로부터 다음과 같이 계산한다:

1 2 0 3 1 4 0 51 2 3

1 1

, ,a a a a a a a ab b ba a- -

= = =L

ib 의 계산은 그 뒤의 것들이 모두 0이 될 때까지 계산한다. ic , 1,2,3,i = L는 ib 계수로부터

구하며 다음과 같이 ia 로부터 ib 를 구할 때와 똑같은 방법으로 계산한다:

1 3 1 2 1 5 1 31 3

1 1

, ,bb a a b b a a bc c c

b b- -

= = =L

이러한 과정을 수행하여 위의 표를 완성한다.

Routh와 Hurwitz는 위의 표에서 첫 번째 열계수의 부호가 바뀌는 회수와 특성방정식의 양의 실

수부를 갖는 근의 개수가 서로 같다는 사실을 증명하였다. 따라서 이 사실에 근거하여 Routh-

Hurwitz 표로부터 불안정 극점의 개수를 알아낼 수 있는 것이다. 이 표를 만들 때에 제1열이 0

이 되어 이후의 계수를 계산할 수 없는 특수한 경우가 있는데 이 문제는 이 책에서는 다루지 않

기로 한다.

<예제6.4> 다음의 특성방정식에서 불안정 극점의 개수를 구하라.

3 2( ) 2 24 0Q s s s s= + + + =

주어진 특성방정식에 Routh-Hurwitz 판별법을 적용하면 다음과 같은 표를 얻을 수 있다:

이 시스템이 안정하기 위해서는 이 표에서 제1열들을 모두 양수가 되어야 한다. 즉, 4-K>0, K>0

12

이어야 하므로 이 조건으로부터 시스템이 안정하기 위한 K의 범위는 0<K<4 이다.

셈툴(CEMTool)의 명령어 가운데에는 다항식의 근을 구하는 'roots'라는 함수가 있는데, 이를 사용

하여 특성방정식의 근을 조사해보면 실제로 다음과 같이 우반면에 근 두 개가 존재함을 알 수 있

다:

>roots([1 1 2 24])

ans =

-3.0000

1.0000 + 2.6458i

1.0000 - 2.6458i

특성방정식에 미정계수가 들어있는 경우에는 'roots' 명령어를 직접 사용할 수 없다. 이 경우에는

미정계수 값을 여러 가지로 바꿔가면서 근을 계산하는 방식으로 문제를 풀어나갈 수 있다. 이 과

정은 몇 단계를 거쳐야 하기 때문에 셈툴 작업창에서 직접 처리하기보다는 묶음(Macro)파일을 만

들어 사용하는 것이 더 편리하다. 묶음파일로 만들어 두면 필요한 경우에 또 다시 같은 작업을

반복하지 않아도 되고, 또한 중간과정을 수정하여 다른 비슷한 작업도 처리할 수 있기 때문에 편

리하다. 따라서, 다루는 문제가 아주 간단한 경우가 아니라면, 될 수 있는 대로 묶음파일을 만들

어서 처리하는 방식을 권장한다. 예제6.5를 처리하는 묶음파일을 만들어보면 다음과 같다:

<예제6.5> 다음의 특성방정식에서 안정도를 보장하는 계수 의 범위를 구하라.

3 2( ) 4 , (0 20)Q s s s s K K= + + + < <

Ex1.cem

// ex1.cem (묶음파일의 이름)

// 특성방정식 Q(s)=s^3+s^2+4s+K (0<K<20) 근계산

K = 0:20:0.1;

p = [];

for(i=1;i<=length(K);i=i+1)

{

q = [1 1 4 K(i)];

r = roots(q);

13

p = [p r];

}

// 근궤적을 그리기 위한 부분

p = p';

pa = [p(:;1);p(:;2);p(:;3)];

pr = real(pa);

pi = imag(pa);

plot(pr,pi,"+");

위와 같이 실행시키면 그 결과는 <그림6.3>과 같다.

<그림 6.3> 3 2( ) 4 , (0 20)Q s s s s K K= + + + < < 의 근궤적

Routh-Hurwitz 안정도 판별법은 시스템의 안정도에 대한 판별만 해주고 근의 정확한 위치는 알려

주지 않으나 셈툴을 사용하면 근을 직접 계산하기 때문에 근의 정확한 위치를 알 수 있다. 이 절

14

에서는 특성방정식에 미정계수가 있는 문제에는 묶음파일을 만들어서 처리하는 예를 보였는데 이

러한 문제는 제어기 설계문제에 자주 나타나기 때문에 셈툴에는 이 문제에 사용할 수 있는 명령

어로서 'rlocus'라는 함수를 제공하고 있다. 이 명령어 사용법과 활용에 관한 보다 상세한 내용은

6.5절의 근궤적에서 다룰 것이다.

나이키스트 안정성 판별법

나이키스트 선도 : 전달함 ( )G s 수의 주파수응답인 ( )G jw 의 크기와 위상을 극좌표로 하여 복

소평면 위에 점으로 대응시키면서 입력주파수 w가 0부터 ¥까지 변화할 때 나타나는 궤적.

<그림6.4> 나이키스트 경로

<예제 6.8> 나이키스트 선도 그리기

2

25( )4 25

G ss s

=+ +

Control5_8.cem

num = 25;

15

den = [1 4 25];

nyquist(num,den);

title("Nyquist diagram of G(s)");

xtitle("Real Axis");

ytitle("Imag Axis");

대상시스템의 전달함수가 주어졌으므로 나이키스트 선도는 `nyquist' 명령을 이용하여 다음과 같

은 프로그램으로 그릴 수 있다:

<그림6.7> 예제6.8의 나이키스트 선도

되먹임시스템 기본형 :

16

<그림6.10> 나이키스트 안정성판별법의 폐로시스템 기본형

폐로시스템의 전달함수 :

( ) ( )( ) 1 ( ) ( )

Y s G sR s G s H s

=+

폐로시스템의 특성방정식 :

1 ( ) ( ) 0G s H s+ = …(6.9)

<정리6.3> G(s)H(s)의 나이키스트 선도는 다음과 같은 성질을 만족한다.

Z N P= +

Z : 우반평면에 있는 특성방정식 (6.9)의 근의 수 (불안정 폐로극점의 수)

N : 의 궤적이 점(-1, 0)을 시계방향으로 감싸는 횟수

P : 우반평면에 있는의 극점의 수 (불안정 개로극점의 수)

① 폐로시스템 안정성에 대한 필요충분조건

Z= N + P = 0, 따라서 N = -P가 만족되어야 한다. 만일 개로시스템 G(s)H(s)가 갖고있는 불안정

한 극점의 수가 세 개일 경우에는 P = 3이므로 폐로시스템이 안정하려면 N = -P = -3이어야

한다. 즉, 점(-1, 0)을 반시계방향으로 세 번 감싸야 한다.

② 개로시스템이 안정한 경우

P = 0 이므로 N = -P = 0이 되어야 폐로시스템의 안정성을 보장할 수 있으며, 따라서 G(s)H(s)

의 나이키스트 선도가 점(-1, 0)을 감싸지 않아야 한다.

<예제 6.10> <그림6.10>에서 개로 전달함수과 다음과 같은 경우에 나이키스트 선도를 구하고 되

먹임시스템의 안정성을 판별하라.

17

1 21 2

1( ) , ( ) , ( , 0)( 1)( 1)

H s K G s T TT s T s

= = >+ +

Control6_10.cem

주어진 개로 전달함수에서는 1T , 2T 가 모두 0보다 클 경우에는 우평면에 극점을 갖지 않는다.

따라서 1 1T = , 2 1T = 일 때 개로 전달함수는 안정하므로 0P = 이다.

K = 1; T1 = 1; T2 = 1;

num = K;

den = conv([T1 1],[T2 1]);

nyquist(num,den);

title("나이키스트 선도 (K=1)");

xtitle("실수축");

ytitle("허수축");

이를 실행한 결과는 <그림6.11>과 같다. 이 그림에서 GH 의 나이키스트 선도는 점 ( 1,0)- 을

둘러싸지 않으므로 0N = 이다. 따라서, 폐로 전달함수의 우반면의 극점의 수는 0Z = 이며 이

시스템은 안정하다는 것을 알 수 있다.

18

<그림6.11> 예제6.10의 나이키스트 선도

<예제 6.11> 되먹임 제어시스템의 개로 전달함수 ( ) ( )G s H s 가 다음과 같다.

( ) ( )G jw H jw 의 나이키스트 선도를 그리고 폐로시스템의 안정성을 판별하라. 만일 시스템이

불안정한 경우에는 폐로 전달함수의 우반평면에 있는 극점 수를 구하라. 또한 나이키스트 선도가

음의 실수축과 만나는 점을 구하라.

20( ) ( )(1 0.1 )(1 0.5 )

G s H ss s s

=+ +

Control6_11.cem

num = 20;

19

den = conv([0.1 1 0],[0.5 1]);

w = logspace(0.5,3,100);

nyquist(num,den,w);

[cnum,cden] = cloop(num,den);

roots(cden)

이 문제의 대상 시스템은 안정한 시스템이므로 폐로시스템 안정도에 대한 필요충분 조건은 나이

키스트 선도가 (-1,0)점을 둘러싸지 않는 것이다. 이 파일을 실행한 결과는 <그림6.12>를 얻을 수

있으며, 이 그림을 보면 나이키스트 선도가 점(-1,0)을 감싸고 있다. 따라서 폐로 시스템은 불안정

하다는 것을 알 수 있다.

<그림6.12> 예제6.11의 나이키스트 선도

그리고 불안정한 폐로극점의 수는 다음과 같다.

ans =

20

-12.8628

0.4314 + 5.5598i

0.4314 - 5.5598i

root 함수를 통해서 폐로 전달함수 분모의 근을 직접 구할 수 있다. 이것이 곧 폐로극점인데 결과

를 살펴보면 우반평면에 있는 폐로극점의 수는 두 개임을 알 수 있다. 그리고 나이키스트 선도가

음의 실수축과 만나는 점을 <그림6.12>에서 구해보면 약 -1.7 정도가 된다.

① 최소위상시스템에 대해서는 나이키스트 선도를 주파수 전구간이 아니라 적절한 부분에 대해

그린 다음 나이키스트 안정성 판별법을 써서 폐로시스템의 안정성을 판별할 수 있다.

② 비최소위상시스템에서 극점이 원점이나 허수축에 있는 경우에 나이키스트 안정성 판별법을 적

용하기 위해서는 나이키스트 선도를 나이키스트 경로 전구간에 대해 그려야 하는데 이것은 컴퓨

터 꾸러미를 사용하더라도 쉽지 않은 작업이다. 따라서 이 경우에는 안정성 판별을 위해 다른 방

법을 써야 한다.

근궤적(Root Locus)

근궤적법(root locus method) : 시스템의 어떤 한 계수 값의 변화에 따른 폐로시스템의 극점의 위

치를 그림으로 나타냄으로써 시스템의 안정성과 성능을 함께 조사하는 방법.

<그림6.15> 폐로시스템의 기본구조

폐로 전달함수 : ( ) ( )( ) 1 ( ) ( )

Y s KG sR s KG s H s

=+

폐로 특성방정식 : 1 ( ) ( ) 0KG s H s+ =

근궤적(root locus) : 미정계수를 포함하는 특성방정식에서 미정계수가 부터까지 변할 때, 이 특성

방정식의 근이 변화하는 궤적을평면에 그림으로 나타낸 것.

21

특성방정식의 일반형 : ( )1 0( )

N sKD s

+ = …(6.13)

<예제> 극점이 -1이고, 영점이 0, -2, -3인 시스템의 근궤적을 그려라. 그리고 특정 근 (-2.3,

1.2)에 해당하는 계수값 K를 구하라.

Ex2.cem

% 근궤적을 그리기 위한 코드

zeros = -1; // 개로시스템의 영점

poles = [-2 -3 0]; // 개로시스템의 극점

[num,den] = zp2tf(zeros,poles,1); // 극영점으로부터 전달함수를 얻음

//근궤적을 계산할 미정계수 범위지정

k=logspace(-3,2,200); // 0.001부터 100까지 대수눈금 간격으로 200개 사용

rlocus(num,den,k); // 근궤적 그리기

%근궤적에서 특정근에 해당하는 계수 값 구하는 명령어

s = -2.3+1.2*j;

K = rlocval(num,den,s)

K가 증가함에 따라서 근궤적이 실수 축으로부터 두 개의 가지로 분리되어 뻗어나간다. 즉, 두 개

의 복소수 근을 가지게 된다. 이에 해당하는 그림은 <그림 6.16>과 같다.

22

<그림 6.16> 해당 시스템의 근궤적

근궤적에서 특정근에 해당하는 계수 값 구하는 명령은 rlocaval 함수를 이용하여 구할 수 있다.

Input point is not on the Root Locus!

Search the nearest point on Root Locus...

Nearest point to -2.3000+1.2000i : -2.3219+1.1659i

K =

2.4048

근궤적(Root Locus)을 이용한 제어기 설계법

23

폐로극점의 위치를 원하는 자리에 배치시키는 방식으로 제어기를 설계하는 기법인 극배치법을 이

용하여 설계한다.

<예제 6.13> 다음 폐로시스템을 안정화하는 보상기 미정계수 K값의 범위와 주극점의 감쇠비가가

되도록 만드는 미정계수의 값을 결정하라.

1( ) , ( )( 1) 2

KG s H ss s s

= =+ +

<그림6.17> 미정계수를 가진 제어시스템

Control6_13.cem

num=1;

poles=[0,-1,-2]';

den=poly(poles); //극점에 대응하는 분모다항식 계수 얻기

rlocus(num,den);

s = 0+1.44*i;

K = rlocval(num,den,s)

figure;

num1=1;

den1=[1 1 0];

num2=1.5014;

den2=[1 2];

24

[fnum,fden]=feedback(num1,den1,num2,den2);

step(fnum,fden);

figure;

num1=1;

den1=[1 1 0];

num2=0.5;

den2=[1 2];

[fnum,fden]=feedback(num1,den1,num2,den2);

t=[0:20:0.1];

step(fnum,fden,t);

이 묶음파일을 실행하여 근궤적을 얻으면 <그림6.18>과 같다.

<그림6.18> 예제6.13의 근궤적

25

이 그림에서 근궤적이 허수축과 만나는 점의 좌표를 셈툴의 좌표추적 기능을 이용하여 구해보면

대략 X:0, Y:1.44가 나오므로 rlocval 명령을 써서 K값을 다음과 같이 구할 수 있다:

Input point is not on the Root Locus!

Search the nearest point on Root Locus...

Nearest point to 0.0000+1.4400i : -0.0028+1.4082i

K =

5.9381

따라서 폐로시스템을 안정화하는 보상기 미정계수의 범위는 0<K<5.9381이다.

<그림6.18>의 근궤적을 보면 두 개의 극점들이 나머지 하나에 비해 허수축(j축)에 훨씬 가까우므

로 이 두 개의 극점들이 주극점을 이루게 된다. 문제에서 요구하는 제동비가 0.5인 주극점은 원점

과 극점을 이어주는 직선과 허수축의 각도가 30[ ]° 를 이루는 경우에 이 직선과 근궤적이 만나

는 점이므로, 이 점에 해당하는 점의 근궤적상의 좌표를 <그림6.18>에서 좌표추적기능을 써서 구

하면 대략 s=-0.27+0.75i이며, 이 때 대응하는 k값을 'rlocval'명령을 써서 구하면 K=1.5014 정도이

다. 실제로 K=1.5014일 때의 계단응답을 구하면 <그림6.19>와 같다.

여기에서 num1, den1은 ( )G s 의 분자, 분모이고 num2, den2는 K=1.5014일 때의 ( )H s 의 분

자, 분모이다. 그리고 'feedback'은 <그림6.17>과 같은 되먹임 시스템의 폐로 전달함수

( )1 ( ) ( )

G sG s H s+

의 분자와 분모 다항식을 구해주는 명령이다. 위와 같은 과정을 거쳐 제어이득

이 K=1.5014일 때의 계단응답을 구하면 <그림6.19>를 얻을 수 있다. 이 결과를 보면 제동비가

0.5에 해당하는 적당한 응답곡선이 얻어짐을 확인할 수 있다.

<그림6.18>의 근궤적에서는 다른 정보도 얻을 수 있다. 한가지 예로, 적당히 작은 K값에 대해서

는 모든 극점들이 실수축에 있으므로 계단응답에서 초과가 일어나지 않을 것이라는 것을 예측할

수 있다. 실제로 제어이득을 K=0.5로 하고 다음과 같이 계단응답을 구해보면 <그림6.20>에서 볼

수 있듯이 초과가 없어진다.

예제6.13에서는 미정계수가 하나인 보상기를 써서 제어하면서 제어목표로서 안정도와 제동비를

고려하고 있다. 따라서 설계한 제어시스템의 계단응답인 <그림6.19>와 <그림6.20>을 보면 제동

비 조건을 만족하면서 초과 성능지표를 만족시키지만 정상상태오차는 매우 크게 나타나고 있다.

이러한 결과가 나타나는 까닭은 제어목표로서 성능 가운데 초과나 제동비만을 고려했기 때문이다.

정상상태 오차까지 고려할 경우에는 예제6.13의 보상기로는 제어목표를 달성하기 어렵기 때문에

26

다른 제어기를 사용해야 한다. 이 다른 제어기에 대해서는 7장과 8장에서 다룰 것이다.

<그림6.19>일 때 예제6.13의 단위계단응답

27

<그림6.20>일 때 예제6.13의 단위계단응답

예제6.13에서 설계한 제어시스템의 계단응답인 <그림6.19>와 <그림6.20>을 보면 감쇠비 조건을

만족하면서 초과 성능지표를 만족시키지만 정상상태 오차는 매우 크게 나타나고 있다. 이러한 결

과가 나타나는 까닭은 제어목표로서 성능 가운데 초과나 감쇠비만을 고려했기 때문이다. 정상상

태 오차까지 고려할 경우에는 조정계수가 하나뿐인 예제6.13의 보상기로는 제어목표를 달성하기

어렵기 때문에 다른 제어기를 사용해야 한다. 이 다른 제어기에 대해서는 7장과 8장에서 다룰 것

이다.

요점정리

이 장에서는 이러한 안정도에 대한 정의와 조건을 정리하고, 안정도을 판별하는 방법으로서

Routh-Hurwitz 안정도 판별법, Nyquist 안정도판별법을 다루었다. 그리고 시스템 극점 영점과 시

간영역 특성 사이의 관계를 살펴보았다. 그리고 제어기 이득이 바뀜에 따라 이동하는 극점의 위

치를 그림으로 나타내는 근궤적법과 이것을 제어기 설계에 활용하는 방법을 다루었다.

1) 어떤 시스템이 유한한 입력이나 외란에 대해 출력의 크기가 항상 유한한 응답을 보이면 그 시

스템은 안정하다(Stable)고 말하며, 이와 같이 모든 유한한 입력에 대해 유한한 응답을 갖는 시스

템의 성질을 안정도(Stability)라고 부른다. 선형시불변 시스템에서 안정도에 대한 필요충분조건은

전달함수의 모든 극점들이 평면의 좌반면에 놓여 있는 것이다. 만일 어느 한 극점이라도 평면의

28

허수축을 포함하는 우반면에 있으면 시스템은 불안정하여 출력이 발산하게 된다.

2) 시스템이 안정하지 않으면 출력이 발산하기 때문에 제어시스템 설계를 할 때에 안정도는 제일

의 설계목표가 된다. 시스템이 안정화되면 많은 경우에 성능이 어느 정도 달성되고, 잡음이 있거

나 계수에 변화가 있더라도 성능이 유지되는 견실한 경향을 나타낸다. 그러나 시스템이 안정하더

라도 극점과 영점의 위치에 따라 출력응답 성능이 서로 다르기 때문에 성능목표를 만족하는지를

검토하고 이 목표가 이루어지도록 제어기를 잘 설계해야 한다.

3) 극점의 위치와 시간영역 특성명세와의 상관관계는 선형 시불변 1차나 2차시스템에서 표준형의

경우에 대해서는 간단한 공식으로 나타낼 수 있다. 그러나 일반적인 경우에는 관계가 복잡하게

얽혀 있기 때문에 공식으로 나타내기는 어려우며, 모의실험을 통해 성능을 확인해야 한다.

4) 시스템이 안정하면 시스템 전달함수에 제2장의 최종치정리를 써서 출력의 정상상태 값을 미리

간단한 계산으로 쉽게 얻을 수 있다. 이 값은 시스템의 직류이득과 관련되며 제어기 성능목표인

명령추종의 지표로서 자주 활용된다.

5) 안정도를 판별하는 방법으로는 특성방정식을 풀어서 극점을 구하여 조사하는 직접적인 방법과,

우반면 극점의 존재여부만을 조사하는 간접적인 방법이 있다. 이 가운데 직접적인 방법은 대수방

정식을 풀어야하기 때문에 필산으로 풀 경우에는 2차이하의 저차시스템에만 적용할 수 있다. 그

러나 최근에는 컴퓨터 꾸러미를 이용하여 고차방정식의 근을 쉽게 구할 수 있기 때문에 이 방법

도 많이 쓰이고 있다.

6) Routh-Hurwitz 안정도 판별법은 특성방정식에 대해 간단한 연산을 적용하여 구성되는 표를 작

성하고, 이 표의 첫째 열의 계수부호가 바뀌는 회수가 불안정한 근의 개수와 같다는 원리에 의해

안정도를 판별하는 방법이다. 이 판별법은 특성방정식에 미정계수가 하나 있을 때 안정도가 보장

되는 미정계수의 범위를 결정하는 데에 응용할 수 있기 때문에 이 방식으로 제어기 설계에 활용

할 수 도 있다.

7) 나이키스트 안정도 판별법은 개로시스템에 대한 나이키스트 선도를 그려서 이 그래프로부터

폐로시스템의 안정도를 판별하는 방법이다. 안정한 개로시스템의 경우에는 나이키스트 선도가 (-

1,0)점을 둘러싸지 않는 것이 폐로시스템 안정도의 필요충분조건이 된다. 이 선도는 컴퓨터 꾸러

미를 활용하면 쉽게 그릴 수 있다. 단, 비최소위상이면서 원점이나 허수축에 극점이 있는 시스템

에 대해서는 전구간의 나이키스트 선도가 필요한데 이 선도작성이 어렵기 때문에 허수축 극점을

좌평면으로 조금 이동시킨 근사모델에 대해 나이키스트 선도를 작성하거나, 아니면 폐로극점을

직접 계산하는 방법을 써야한다.

8) 근궤적을 이용하면 폐로시스템의 안정도를 쉽게 판별할 수 있을 뿐만 아니라 제어기 설계에도

활용할 수 있다. 근궤적은 간단한 저차시스템의 경우에는 필산으로도 처리하여 작성할 수 있지만

29

시스템이 복잡해지면 필산으로 처리하기는 어렵다. 그러나 컴퓨터 꾸러미를 활용하면 상당히 복

잡한 시스템의 경우에도 근궤적을 쉽게 작성할 수 있다.

9) 폐로극점의 위치를 원하는 자리에 배치시키는 방식으로 제어기를 설계하는 기법을 극배치법이

라고 한다. 이 장에서 근궤적을 이용한 극배치법을 다루었는데 이 제어기 설계법의 설계목표는

안정도와 성능이다. 이 기법에서는 안정도를 확보하기 위해 극점이 좌반면에 놓이도록 설계하되,

성능목표 달성을 위해 원하는 과도응답 특성을 갖도록 극점의 위치를 적절하게 선정한다.

참고문헌

제어 시스템 공학, 권욱현, 권오규, 홍금식, 이준화 저, 1999, 청문각.