control 2 tdc
DESCRIPTION
teoría de controlTRANSCRIPT
-
Control II Teora de Control
Integrantes: Alberto Aravena; Jos De la Fuente; Ren Jimnez; Pedro Lpez; Manuel Palacios. Problema 1:
() = (1
22 + + + )
2
0
(0) = 0 (2) = 1 a) Escriba condiciones necesarias.
b) Resuelva. Es un mnimo local? Es la solucin ptima?
c) Resuelva nuevamente con (2) libre.
Solucin: a) Las condiciones necesarias de primer y segundo orden para este problema de minimizacin, con instante final y estado final dado, serian:
Condicin de Euler:
= 0
Condicin de Legendre: > 0 b)
(, , ) =1
22 + + +
Ecuacin de Euler:
= 0
Condicin de Euler:
= 2 + 1 = +
2 + 1
= + 2
Luego, aplicamos la ecuacin de Euler:
2 + 1 = + 2 = 1 /
= + /
() =2
2+ + ;
De la condicin inicial (0) = 0, se tiene que:
(0) = 0 =02
2+ 0 +
-
= 0 De la condicin inicial (2) = 1, se tiene que:
(2) = 1 =22
2+ 2
2 = 1
= 1
2
Por lo tanto, ()nos queda de la siguiente manera:
() =2
2
2 0 2
Adems mediante la condicin de Legendre tenemos que:
= 1 Como > 0 se concluye que () es un mnimo local del problema. c) Ahora analizaremos el sistema con las restricciones (0) = 0 y (2) = Condicin de transversalidad:
|1 = 0
Condicin de Euler:
= 2 + 1 = +
2 + 1
= + 2
Luego, aplicamos la ecuacin de Euler:
2 + 1 = + 2 = 1 /
= + /
() =2
2+ + ;
De la condicin inicial (0) = 0, se tiene que:
(0) = 0 =02
2+ 0 +
= 0 Por lo tanto, ()nos queda de la siguiente manera:
() =2
2+
-
Aplicando la condicin de transversalidad tenemos que:
|1 = + 2 + 1|=2 = 0
+ + (2
2+ )
2
+ 1|
=2
= 0
2 + + (22
2+ 2)
2
+ 1 = 0
42 + 9 + 7 = 0
Se despeja la ecuacin cuadrtica:
=9 81 4 4 7
8
1 =9 + 31
8 2 =
9 31
8
Finalmente tenemos que:
1() =2
2+ (
9 + 31
8)
2() =2
2+ (
9 31
8)
Adems mediante la condicin de Legendre tenemos que:
= 1 > 0 Como > 0 se concluye que () es un mnimo local.
-
Problema 2
() = [1 11
2] [
2]
1
0
+ 3(1)
Sujeto a:
[1 1 1] [
] = 0
[0,2] (0) = 0
Solucin: Reescribiendo el problema:
() = ( + +2
2)
1
0
+ 3(1)
Sujeto a:
= [0,2] (0) = 0
I) Formamos el Hamiltoniano:
(, , , ) = (, , ) + (, , )
(, , ) = + +2
2 ; (, , ) =
(, , ) = + +2
2+( )
=
= (1 + ) + = 1
Solucin homognea de () + = 0 ; () =
+ 1 = 0 = 1 () = 1
Solucin particular de () + = 1 ; () = () = 0
0 + = 1 = 1 Solucin general de () () = 1
1
Con: (1) =[(1)]
(1)
[(1)]
(1)= 3 (1) = 3
(1) = 11 1 = 3 1
1 = 4 1 = 4
() = 4(1) 1
-
II) = +1
22
Sujeto a: + = 2 0 0 III) Creamos el lagrangiano:
= +1
22 + (2 )
Sujeto a: 2 = 0 0 0 Aplicando las condiciones de KKT:
)
0 1 + 0
)
= 0 (1 + ) = 0
)
0 0
)
= 0 = 0
)
0 2 = 0
Con = :
) 2 0 = 0 = 2 ) 2 = 0 = 0 ) 1 + 0 0 0 1 (Reemplazando por ())
1 4(1) 1 2
4 1 /ln[ ] ln (
1
2) 1
1,693 (si cumple)
Con = : ) 2 2 = 0 = 0 ) 0 0 ) 2(1 + 2 ) = 0 = 3 0 3 (Reemplazando por ())
0 3 4(1) + 1 1 1 /ln[ ] 1 t ln(1) 1 (si cumple)
Con
) = 0
) (1 + 0) = 0 = 1 () = 4(1) 2
Como: 0 < < 2
0 < 1 < 0 ( ())
-
0 < [4(1) 1] 1 < 2 0 < 4(1) 2 < 2 /+2
2 < 4(1) < 4 1
2< (1) < 1 /ln [ ]
ln (1
2) < 1 < ln(1) ln (
1
2) 1 < < ln(1) 1 / (1)
1 > < 1,693 (si cumple)
En resumen:
() = 4(1) 1
() = {2 ; 0 < 1
4(1) 2 ; 1 < < 1,6930 ; 1,693 < 2
Entre: < = 2 = 2 ; () =
= 0 1 = 0 = 1
() = 1
= 2 ; () = () = 0
0 = 2 = 2 () = 2 () = () + () () = 1
+ 2
Con (0) = 0 (0) = 10 + 2 = 0 1 = 2
() = 2 21
Entre : < < , = 4(1) + 2 = 4(1) + 2 () =
= 0 1 = 0 = 1
() = 1
= 4(1) + 2 ; () = (1) + () =
(1)
(1) (1) = 4(1) + 2 2 = 4 = 2 ; = 2 = 2
() = 2(1) 2
() = () + () () = 1 + 2(1) 2
Con (0) = 0 (0) = 10 + 2(10) 2 = 0 1 = 2 2
() = (2 2) + 2(1) 2
Entre: , < = 0 = 0 ; () =
= 0 1 = 0 = 1 () = 1
Con (0) = 0 (0) = 1
0 = 0 1 = 0
() = 0
-
Problema 3: Resuelva:
() = 1
0
= + () [1,1]
(0) = 5 (1) = 11 Solucin:
(, , , ) = (, , ) + (, , ) (, , ) = 1 ; (, , ) = +
Formamos el Hamiltoniano: (, , , ) = 1 + ( + )
Aplicando la condicin de mximo:
=
=
+ = 0 ; () = + 1 = 0 = 1
() = 1 , 0 1
Luego el problema truncado con respecto a u que debemos optimizar es:
S.A: 1 1
La solucin de () depende del valor que tenga la constante 1, [1 < 0 1 > 0]
() = {1 ; () > 0
; () = 01 ; () < 0
Si () = : = 1
Solucin homognea de () = 0 ; () =
1 = 0 = 1 () = 2
Solucin particular de () = 1 ; () = () = 0
0 = 1 = 1
Solucin general de () () = 2 + 1
-
Si () = : = + 1
Solucin homognea de () = 0 ; () =
1 = 0 = 1 () = 3
Solucin particular de () = 1 ; () = () = 0
0 = 1 = 1
Solucin general de () () = 3 1
Aplicando las condiciones iniciales para () en el caso de que () = : C.I: (0) = 5 (0) = 2
0 + 1 = 5 2 = 4
C.F: (1) = 11 (1) = 41 + 1 = 11 1 = ln (
10
4)
Aplicando la condicin de transversalidad:
[(1), (1), (1)] +[(1)]
(1)= 0
1 + 11[41 + 1) 1] + 0 = 0
41 = 1 1 = 1
4
1 = 0,25 y por ende el valor de () < 0,por definicin de ()el valor ptimo de la funcin debiera ser () = 1, con lo que se llega a una contradiccin dado que estamos suponiendo que () = 1. Aplicando las condiciones iniciales para () en el caso de que () = : C.I: (0) = 5 (0) = 3
0 1 = 5 3 = 6 C.F: (1) = 11 (1) = 6
1 1 = 11 1 = ln(2) Aplicando la condicin de transversalidad:
[(1), (1), (1)] +[(1)]
(1)= 0
1 + 11[61 1) + 1] + 0 = 0
61 = 1 1 = 1
6
1 = 0,1667 cumple con las suposicin inicial. En resumen:
() = 1
6 ; () = 6 1 ; () = 1 ; 0 0,6931