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CONTRAINTES DEFORMATIONS

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  • Mcanique des Milieux ContinusI Milieux DformablesII Forces de ContactIII Contraintes IV Loi Fondamentale de la DynamiqueV DformationsVI Relation Contraintes - Dformation

  • I Milieux DformablesI-1 Forces Externes et quilibre McaniqueI-2 Comportement dune StructureI-3 Raideur et Rigidit

  • I-1 Forces Externes : quilibre Mcanique FFquilibre des Forcesquilibre des Moments

  • I-2 Comportement dune Structure :Essai de TractionRupture

  • I-3 Raideur et Rigidit : Gomtrie de la Structure et Comportement du Matriau Rigidit de la Structure F=KDlF ~ S Dl ~ l

  • II Forces de ContactII-1 Forces Internes : Action et RactionII-2 Forces Internes : Rpartition HomogneII-3 Forces Internes : Rpartition non HomogneII-4 Vecteur Contrainte : tat Local

  • II-1 Forces Internes :Action et Raction-FF-FFABF(A/B) = -F(B/A) La Rsultante des Forces Internes est toujours Nulle

  • II-2 Forces Internes :Rpartition HomogneLe Vecteur Contrainte T Force par unit de Surface [MPa]est indpendant du point dans la section STFFF

  • II-3 Forces Internes : Rpartition non HomogneLe Vecteur Contrainte T dpenddu point M dans la section STFFM

  • II-4 Vecteur Contrainte : tat localT dpend : du point M dans la section S : de lorientation n de la section STFFMTnn

  • III ContraintesIII-1 Tenseur des ContraintesIII-2 Reprsentation des Contraintes

  • III-1 Tenseur des ContraintesIII-1.1 Repre local : Traction, CisaillementIII-1.2 Tenseur des Contraintes : DfinitionIII-1.3 Tenseur des Contraintes : SymtrieIII-1.4 Contraintes Principales et Axes PropresIII-1.5 Sollicitations PrincipalesIII-1.6 Invariants du Tenseur des ContraintesIII-1.7 Sphrique et Dviateur des Contraintes

  • III-1.1 Tenseur des Contraintes :Repre LocalT(M,n)n, r, T coplanaires snn = T n Traction > 0 Compression
  • III-1.2 Tenseur des Contraintes : quilibre local des Forces dS1dS2dS3dSTi=sijnj

  • III-1.3 Tenseur des Contraintes : quilibre local des Moments s21 dx2 dx3dx1=s12 dx3 dx1dx2s31 dx3 dx2dx1=s13 dx2 dx1dx3s32 dx3 dx1dx2=s23 dx1 dx2dx3sij =sjiLe Tenseur des Contraintes s est Symtrique

  • III-1.4 Tenseur des Contraintes : Contraintes Principales et Axes Propres Sil = aij sjk akl

  • III-1.5 Tenseur des Contraintes : Sollicitations Principales Traction - Compression

  • III-1.6 Tenseur des Contraintes : Les Invariants Tensoriels I1= SI + SII + SIII = skk =3 sm =Tr(s)I2= SI SII+ SII SIII + SIII SI = (s11 s22 - s122) + (s11 s33 - s132) + (s22 s33 s232) I3= SI SII SIII = Det(s)6 Composantes = 3 (Invariants ou Valeurs Propres) + 3 Angles dEuler

  • III-1.7 Tenseur des Contraintes : Sphrique et Dviateur 6 Composantes = sm + sd + +3 Angles dEuler

  • III-2 Reprsentation des ContraintesIII-2.1 Contraintes OctadriquesIII-2.2 Espace des ContraintesIII-2.3 Critres de Plasticit et de RuptureIII-2.4 Ellipsode des ContraintesIII-2.5 Cercle de Mohr PrincipalIII-2.6 Cercles de Mohr III-2.7 Cisaillement Simple

  • III-2.1 Reprsentation des Contraintes : Contraintes Octadriques snnsmsnn = smsnr = sdsnrsd

  • III-2.2 Reprsentation des Contraintes : Espace des Contraintes

  • III-2.3 Reprsentation des Contraintes : Critres de Plasticit et de RupturesRs1 (R) = sR et sd (R) < sP sd (P) = sP et s1 (P) < sR

  • III-2.4 Reprsentation des Contraintes : Ellipsode des ContraintesLorsque n appartient un plan principal, T appartient au mme plan

  • III-2.5 Reprsentation des Contraintes : Cercle de Mohr Principal

  • III-2.6 Reprsentation des Contraintes : Cercles de Mohr

  • III-2.7 Reprsentation des Contraintes : Cisaillement SimpleLe cisaillement est maximal sur les facettes orientes 45 des facettes principales

  • IV Loi Fondamentale de la DynamiqueIV-1 Conditions aux LimitesIV-2 Bilan des Forces : quilibre DynamiqueIV-2 quation de lquilibre DynamiqueIV-3 Exemple : Prisme pesantIV-4 Application : Optimisation en Compression

  • IV-1 Loi Fondamentale de la Dynamique : Conditions aux Limites Au Point M de la Surface : n Normale Extrieure f Force Extrieure Applique (/ unit de surface)La normale n une surface libre de charge est direction principale valeur propre = 0

  • IV-2 Loi Fondamentale de la Dynamique : Bilan des Forces : quilibre Dynamique

    n Normale Extrieure f Force Extrieure Applique (/ unit de surface)mG=SF=>=+Conditions aux LimitesThorme de la DivergenceDivDs + rX = rg

  • IV-3 Loi Fondamentale de la Dynamique : quilibre Dynamique : DivDsmG=SF projection des Forces sur laxe x1DivDs + rX = rg

  • IV-4 Loi Fondamentale de la Dynamique : Exemple : Prisme pesant: s(x,y)n=0 quilibre Statique : DivDs + rX = 0: s(0,y)n=0 y

  • IV-5 Loi Fondamentale de la Dynamique : Application : Optimisation en CompressionsS l(z) + rg l(z)dz = sS l(z+dz)

  • V DformationsV-1 Ut Tensio sic VisV-2 Tenseur des DformationsV-3 Reprsentation des Dformations

  • V-1 Ut Tensio sic VisV-1.1 Robert HookeV-1.2 Translation, Rotation et DformationV-1.3 Conservation de la MasseV-1.4 Champ de dplacementV-1.5 Exemple : le Glissement SimpleV-1.6 Les Grandes DformationsV-1.7 Petites Dformations et SuperpositionV-1.8 Sparer Rotation et DformationV-1.9 Continuit et Compatibilit des Dformations

  • V-1.1 Ut Tensio sic Vis : Robert HookePour supporter un chargement un milieu matriel doit se dformerA lchelle macroscopiqueGlissementg

  • V-1.2 Ut Tensio sic Vis : Translation, Rotation et DformationSeule la Dformation modifie les Longueurs et les Angles

  • V-1.3 Ut Tensio sic Vis : Conservation de la Masse

  • V-1.4 Ut Tensio sic Vis : Champ de DplacementTenseur Gradient de Dplacement

  • V-1.5 Ut Tensio sic Vis : Exemple : Glissement Simple

  • V-1.6 Ut Tensio sic Vis : Les Grandes DformationsLes Grandes Dformations ne sont pas Additives

  • V-1.6 Ut Tensio sic Vis : Petites Dformations et SuperpositionPrincipe de Superposition : les Petites Dformations sont Additives

  • V-1.7 Ut Tensio sic Vis : Sparer Rotation et Dformationl L(1+g11)

  • V-1.8 Ut Tensio sic Vis : Continuit et Compatibilit des Dformations

  • V-2 Tenseur des DformationsV-2.1 Repre local : Extension, DistorsionV-2.2 Tenseur des Dformations : DfinitionV-2.3 Dformations Principales et Axes PropresV-2.4 Invariants du Tenseur des DformationsV-2.5 Sphrique et Dviateur des DformationsV-2.6 Changement de Volume et de Forme

  • V-2.1 Tenseur des Dformations : Repre locall, r, u coplanaires ell = u l Extension > 0 Contraction < 0erl = u r DistorsionTridre local direct l, r, tetl = u t = 0

  • V-2.2 Tenseur des Dformations : DfinitionLe Tenseur des Dformations e est Symtriqueeij =eji

  • V-2.3 Tenseur des Dformations : Dformations Principales et Axes Propres Eil = aij ejk akl

  • V-2.4 Tenseur des Dformations : Les Invariants Tensoriels I1= EI + EII + EIII = ekk =3 em =Tr(e)I2= EI EII+ EII EIII + EIII EI = (e11 e22 - e122) + (e11 e33 - e132) + (e22 e33 e232) I3= EI EII EIII = Det(e)6 Composantes = 3 (Invariants ou Valeurs Propres) + 3 Angles dEuler

  • V-2.5 Tenseur des Dformations : Sphrique et Dviateur 6 Composantes = em + ed + +3 Angles dEuler

  • V-2.6 Tenseur des Dformations : Changement de Volume et de Forme dv=(1+e1) dx1 (1+e2)dx2 (1+e3)dx3Changement de Volume Forme ConstanteChangement de Forme Volume Constant

  • V-3 Reprsentation des DformationsV-3.1 Dformations OctadriquesV-3.2 Ellipsode des DformationsV-3.3 Cercle de Mohr PrincipalV-3.4 Cercle de Mohr et DformationV-3.5 Cercles de Mohr V-3.6 Glissement Pur et Glissement Simple

  • V-3.1 Reprsentation des Dformations : Dformations Octadriques ellemell = emelr = edelred

  • V-3.2 Reprsentation des Dformations : Ellipsode des DformationsLorsque l appartient un plan principal, u appartient au mme plan

  • V-3.3 Reprsentation des Dformations : Cercle de Mohr Principal

  • V-3.4 Reprsentation des Dformations : Cercle de Mohr et Dformation

  • V-3.5 Reprsentation des Dformations : Cercles de Mohr

  • V-3.6 Reprsentation des Dformations : Glissement Pur et Glissement Simple La distorsion est maximale sur les directions orientes 45 des directions principalesLe glissement est le double de la distorsion g = 2eLa rotation w = -e

  • VI Relation Contraintes - DformationVI-1 Contraintes et DformationsVI-2 Lois de ComportementVI-3 s et e Nominales et NaturellesVI-4 Le Travail de Dformation

  • VI-1 Contraintes et DformationsDescription de ltat Mcanique LocalDescription Indpendante du Comportement du Matriau

  • VI-2 Lois de Comportementquation dtat du MatriauDescription du Comportement du MatriauRuptureViscosit

  • VI-3 s et e Nominales et NaturellesLa Loi de Comportement du Matriau relie e et s Vraies = Ln(1+ en)s sne ens > sne < en

  • VI-4 Le Travail de DformationVI-4.1 Travail des Forces ExternesVI-4.2 Champs admissibles et Travaux virtuelsVI-4.3 Relation avec la ThermodynamiqueVI-4.4 Rversibilits Thermique et Mcanique

  • VI-4.1 Le Travail de Dformation : Travail des Forces Externes

    n Normale Extrieure f Force Extrieure Applique (/ unit de surface)Forces de Volume : Forces de Surface :

  • VI-4.2 Le Travail de Dformation : Champs admissibles et Travaux virtuels

  • VI-4.3 Le Travail de Dformation : Relation avec la Thermodynamique 1er principedE = Tr(sde)+dQ-dDivq2me principe

  • VI-4.4 Le Travail de

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