conteo_de_figuras_1ro secundaria.pdf

pág. 1

DEFINICIÓN.- Es el procedimiento mediante el

cual se contabiliza la máxima cantidad de figuras

de una determinada especie, tales como segmentos,

triángulos, cuadrados, cuadriláteros, sectores

circulares, etc.

I. METODOS.- Para determinar la cantidad

de figuras se utilizan dos métodos: Conteo

Directo (espacios no alineados) e Inducción

Matemática (espacios alineados)

1.1. CONTEO DIRECTO.- Consiste en

calcular el número de figuras del tipo

deseado procediendo a la numeración

de todas las figuras simples mediante

dígitos y/o letras, posteriormente al

conteo ordenado de las figuras de 1

número, al unir 2 números, al unir 3

números y así sucesivamente

Ejemplos:

1) Hallar el número de triángulos

en la siguiente figura:

A) 10 B) 12 C)14 D)16 E)18

Enumeramos la figura dada y

luego procedemos a contar:

De 1 número: 1;2;3;4;5

De 2 números: 1a;2a;34;45

De 3 números: 1b3;2b5

De 4 números: ninguno

De 5 números: 123ab;125ab


De 7 números: 12345ab

Total de triángulos:

5 + 4 + 2 + 2 + 1 = 14

Rpta C

2) Hallar el número de triángulos en la

siguiente figura:

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

Enumeramos la figura dada y luego

procedemos a contar:

De 1 número: 1;2;3;4;5

De 2 números: 12;1a;23;3a;34

De 3 números: 234

De 4 números: 123a;2345



Total de triángulos:

5 + 5 + 1 + 2 = 13

Rpta C

CONTEO DE FIGURAS

pág. 2

3) ¿Cuántos cuadriláteros hay en la

siguiente figura?

A) 6 B) 12 C) 13 D) 15 E) 16

Enumeramos la figura dada y luego

procedemos a contar:

De 1 número: ninguno

De 2 números: 12;23;34;45;56;61

De 3 números: 123;234;345;456;561

y 612




Total de cuadriláteros:

6 + 6 = 12

Rpta B

1.2. INDUCCION MATEMÁTICA.-

Este método se emplea para

determinar en ciertos casos fórmulas

donde la cantidad de figuras a contar

parece enorme.

A) Conteo de segmentos, triángulos,

cuadriláteros, ángulos agudos y

sectores circulares:

Número de triángulos:

( 1)#

2

n n

Número de segmentos: ( 1)

2

n n

Número de cuadriláteros: ( 1)

2

n n

Número de ángulos agudos: ( 1)

2

n n

Número de sectores circulares: ( 1)

2

n n

pág. 3

Ejemplos:

1) ¿Cuántos triángulos hay en?

A) 12 B) 24 C) 36 D) 78 E) 80

Contamos los espacios alineados

para calcular “n”

n = 12

( 1)#

2

n n

12(12 1)

#2

# 78

Rpta D

2) ¿Cuántos segmentos hay en?

A) 6 B) 12 C) 18 D) 21 E) 42

Contamos los espacios alineados

para calcular “n”

n = 6

( 1)#

2

n nSegmentos

6(6 1)#

2Segmentos

# 21Segmentos

Rpta D

3) ¿Cuántos cuadrilátero hay en?

A) 20 B) 200 C) 210 D) 221

E) 420

n = 20

( 1)#

2

n n

20(20 1)

#2

# 210

Rpta C

4) ¿Cuántos ángulos agudos hay en?

A) 50 B) 250 C) 2500 D) 225 E) 1275

n = 50

( 1)#

2

n n

50(50 1)#

2

# 1275

Rpta E

B) Conteo de Triángulos.- Existen dos casos:

CASO 1.- cuando desde un vértice salen

líneas que llegan al lado opuesto y hay

líneas paralelas o no a dicho lado

Número de triángulos:

( 1)#

2

n nx m

n = número de espacios verticales

m = número de espacios horizontales

pág. 4

Ejemplo:


A) 30 B) 36 C) 105 D) 200 E) 210

n = 6

m = 5

( 1)#

2

n nx m

6(6 1)

# 52

x

# 105

Rpta C


A) 63 B) 315 C) 90 D) 630 E) 110

n = 9

m = 7

( 1)#

2

n nx m

9(9 1)

# 72

x

# 315

Rpta B

CASO 2.- cuando los triángulos son

generados por cevianas trazadas desde dos

vértices.

. ( )#

2

n m n m

n = número de espacios del lado AC

m = número de espacios del lado BC

Ejemplos:

1) Hallar el número de triángulos de la

siguiente figura:

A) 36 B) 72 C) 105 D) 234 E) 468

n = 9

m = 4

. ( )

#2

n m n m

9 4(9 4)#

2

x

# 234

Rpta D

2) Hallar el número de triángulos de la

siguiente figura:

A) 30 B) 90 C) 75 D) 165 E) 225

B

C A

pág. 5

n = 6

m = 5

. ( )#

2

n m n m

6 5(6 5)

#2

x

# 165

Rpta D

C) Conteo de cuadriláteros:

( 1) ( 1)

2 2

n n m mx



Ejemplos:

1) Hallar el número de cuadriláteros en

la siguiente figura:

n = 6

m = 3

( 1) ( 1)

#2 2

n n m mx

6(6 1) 3(3 1)#

2 2x

# 21 6x

# 126

2) Hallar el número de cuadriláteros en

la siguiente figura:

n = 10

m = 5

( 1) ( 1)#

2 2

n n m mx

10(10 1) 5(5 1)#

2 2x

# 55 15x

# 825

D) Conteo de cuadrados:

Caso 1.- Cuando el número de espacios

verticales es igual al número de espacios

horizontales.

El número de cuadrados está dado por la

siguiente fórmula

( 1)(2 1)#

6

n n n

n = número de espacios horizontales que

es igual al numero de espacios

verticales.

Ejemplos:

1) Hallar el número de cuadrados en la

siguiente figura:

n = 5

( 1)(2 1)#

6

n n n

5(5 1)(2 5 1)#

6

x

5(6)(11)#

6

# 55


siguiente figura:

pág. 6

n = 8

( 1)(2 1)#

6

n n n

8(8 1)(2 8 1)

#6

x

8(9)(17)

#6

# 204

Caso 2.- Cuando el número de espacios

verticales es diferente al número de

espacios horizontales. Se calcula con la

siguiente fórmula:

# ( 1)( 1) ( 2)( 2) ...nxm n m n m



Se reemplaza hasta que un factor tenga el

valor de 1.

Ejemplos:


siguiente figura:

n = 5

m = 4

# 5 4 (5 1)(4 1) (5 2)(4 2)x

(5 3)(4 3)

# 20 4 3 3 2 2 1x x x

# 20 12 6 2

# 40


siguiente figura:

,

n = 10

m = 5

# 10 5 (10 1)(5 1) (10 2)(5 2)x

(10 3)(5 3) (10 4)(5 4)

# 50 9 4 8 3 7 2 6 1x x x x

# 50 36 24 14 6

# 130

E) Conteo de cubos:

CASO 1.- En un cubo las aristas (lados de

las caras) son iguales.

El número de cubos está dado por la

siguiente fórmula:

2( 1)

#2

n nCubos

n = número de espacios por arista

1) Hallar el número de cubos en la

siguiente figura:

n = 3

2

( 1)#

2

n nCubos

23(3 1)

#2

Cubos

2# 6Cubos

# 36Cubos

pág. 7

2) Hallar el número de cubos en la siguiente

figura:

n = 4

2

( 1)#

2

n nCubos

24(4 1)

#2

Cubos

2# 10Cubos

# 100Cubos

CASO 2.- En la siguiente figura se muestra un

paralelepípedo que puede estar formado ya sea

por cubos simples o por paralelepípedos simples,

procediendo por inducción es sencillo demostrar

que:

.

NÚMERO TOTAL DE PARALELEPÍPEDOS

( 1) ( 1) ( 1)

2 2 2

m m n n p px x

NÚMERO TOTAL DE CUBOS

( 1)( 1)( 1) ( 2)( 2)( 2) ...mnp m n p m n p

Se reemplaza hasta que un factor tenga el valor

de 1.

Ejemplos:

1) Hallar el número de cubos en la siguiente

figura:

m = 3 ; n = 4 ; p = 5

( 1)( 1)( 1) ( 2)( 2)( 2) ...mnp m n p m n p

# 3 4 5 (3 1)(4 1)(5 1) (3 2)(4 2)(5 2)x x

# = 60 + 2x3x4 + 1x2x3

# = 60 + 24 + 6

# = 90

2) Hallar el número total de paralelepípedos

en la siguiente figura:

m = 3 ; n = 4 ; p = 5

# =( 1) ( 1) ( 1)

2 2 2

m m n n p px x

# =3(3 1) 4(4 1) 5(5 1)

2 2 2x x

# =3(4) 4(5) 5(6)

2 2 2x x

# = 6 10 15x x

# = 900

pág. 8

F) Conteo de semicírculos.- Para calcular el

número de semicírculos se emplea la

siguiente fórmula

#Semicírculos :

= 2(# )(# )diámetros círculos

Ejemplos:

1) ¿Cuántos semicírculos hay en la

siguiente figura?

# de diámetros = 4 y # de círculos = 4

Luego:

# Semicírculos = 2(4)(4)

# Semicírculos = 32

2) ¿Cuántos semicírculos hay en la

siguiente figura?


Luego:



3) ¿Cuántos semicírculos hay en la siguiente

figura?


Luego:



4) ¿Cuántos semicírculos hay en la siguiente

figura?


Luego:



FIN

conteo_de_figuras_1ro secundaria.pdf

Documents