construcción de sistemas numéricos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIASEDE MANIZALES

PROFESOR : OMAR EVELIO OSPINA A.

CONSTRUCCIÓN DE SISTEMAS NUMÉRICOS

Esta presentación está basada fundamentalmente en el libro “Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: contar-inducir” de Carlos Julio Luque Arias, Lyda Constanza Mora M., Jorge Edgar Perez. Publicado por la Universidad Pedagógica Nacional.

Desde un punto de vista pedagógico queremos recorrer el proceso para construir sistemas numéricos para contar. Esperando que la comprensión de este proceso sirva de modelo para construir otros sistemas de numeración.

REPRESENTACIÓNPara ello, recordando lo que se hizo en la sesión anterior: inventaremos símbolos y reglas, reconoceremos problemas y buscaremos sus soluciones, definiremos operaciones y analizaremos características de ellas.

1 er Paso : Asociar a cada unidad de un conjunto un símbolo cualquiera. Por ejemplo el I.

Así 25 objetos se pueden representar por:

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII : 25

Problema: Cuando se quieran contar muchos objetos, el símbolo de representación es difícil de leer.

2 = Paso : Para resolver este problema podemos asignar un nuevo símbolo, preferiblemente

Sencillo, a un grupo de símbolos tomados como unidad.

Por ejemplo notemos por O cada grupo de cinco I

Así O = IIIII o sea O equivale a 5 por tanto 25 : OOOOO, y para facilitar más aún la representación representemos por Y cuatro OOOO. Es decir el Y equivale a nuestro 20. Así 25 : YO.

Ejemplos

37 ≡ YOOOII = I Y OO IIIIII = OOOO IIIIIII OO etc.

Problema: Existen muchas maneras de escribir un número.

3 er Paso : Dar reglas para que la representación sea única.Por ejemplo, podemos adoptar estas reglas: 1. Escribir y leer los números de izquierda a derecha,( podía ser de otra forma).2. Escribir primero las Y , luego las O, luego las I3. Escribir la representación con la mínima cantidad de símbolos posibles.

Así 37 ≡ YOOOII

Observe que este sistema de numeración es NO posicional y aditivo. Tiene tres símbolos básicos I – O – Y lo cual puede traer problemas para representar números grandes.

OPERACIONESSUMA: Como el sistema es aditivo, basta con colocar la representación de un número seguido de la del otro y simplificar aplicando las reglas.

Y OO III + OO IIII = Y OO III OO IIII

= Y OOOO IIIIIII

= Y Y O II

Pregunta: ¿Qué propiedades conocidas de la nuestra suma cumple esta operación?

RESTA: Si vamos a restar A – B, siendo A mayor que B, descomponemos el número A en tantos símbolos como sean necesarios, para que en la representación de A aparezca, así sea en desorden, la representación de B. Eliminamos de A estos símbolos y lo que queda es A – B

Y Y Y OO III – Y OOO IIII

= Y Y OOOOO IIIIIIII - Y OOO IIII = Y OO IIII

MULTIPLICACIÓN: Primero recordemos que la multiplicación es una suma abreviada: multiplicar un número A por un número B es equivalente a sumar A veces el número B.

Primer intento: Multiplicar O I por YY O I (los dos números se conocen como factores), equivale a sumar O I veces el Y Y O II es decir colocar OI veces el YY O II seguido y luego simplificar según las reglas de representación:

YY O II YY O II YY O II YY O II YY O II YY O II

= Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y OOOOOO IIIIIIIIIIII

= Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y OOOO I I = Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y I I

2 = Intento: Busquemos simplificar más el proceso del primer intento al realizar la multiplicación. Para ello observemos algunos detallesPaso 1: Observemos cual es el resultado de multiplicar entre si los símbolos básicos (tablas de multiplicar). Introduzcamos para la operación el símbolo ¿ de tal forma que A ¿ B significa sumar A veces el número B. Por tanto:I ¿ I = I I ¿ O = O I ¿ Y = Y

O ¿ I = IIIII = O O ¿ O = OOOOO = Y O O ¿ Y = Y Y Y Y Y

Y ¿ I = I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I = Y

Y ¿ O = OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO = Y Y Y Y Y

Y ¿ Y = Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

Paso 2: Observe que: si queremos multiplicar O por Y O, lo que queremos es sumar O veces el número Y O es decir O ¿ YO = Y O Y O Y O Y O Y O = Y Y Y Y Y O O O O O

= Y Y Y Y Y Y O = O ¿ (Y O)

Ahora, como O ¿ Y = Y Y Y Y Y entonces

( O ¿ Y ) O = Y Y Y Y Y O

Observe que O ¿ ( Y O ) ≠ ( O ¿ Y ) O , por tanto es importante, cuando aparezcan dos o más símbolos en uno de los factores, enunciar la multiplicación usando paréntesis en el sitio adecuado. Observe también que aquí el Y O no indica multiplicación sino suma .

Paso 3: Observe cuáles de las propiedades conocidas por nosotros se satisfacen en este producto:

i) Modulativa: El I es el módulo del producto.ii) Asociativa: A*(B*C) = (A*B)*C. Esto se puede apreciar desarrollando los dos lados

de la igualdad y verificar que tienen la misma representación, para lo cual debe observar que A*(B*C) equivale a sumar A veces B*C, y que B*C equivale a sumar B veces C.

iii) Distributiva: A*(BC) = (A*B)(A*C) . La demostración se basa en el hecho de que al repetir A veces el número B, se repite A veces cada símbolo que compone a B y como la notación es aditiva, estamos sumando los símbolos de B cada uno de ellos A veces, es decir cada uno de ellos multiplicado por A.

iv) Conmutativa: Observe de la tabla de multiplicación, que los productos de los símbolos básicos son conmutativos. Al aplicar la distributividad completa a A ¿ B

solo quedan productos de símbolos básicos, los cuales se pueden conmutar, obteniendo así, al agruparlos adecuadamente, B ¿ A.

Paso 4: Con estas propiedades, aplicadas metódicamente, se puede generar un algoritmo que facilite el proceso de multiplicar. Observemos con un ejemplo:

( O I ) ¿ ( Y O O I ) = ( O ¿( Y O O I )) ( I *(Y O O I )) (distributiva)

= (Y O O I) (Y O O I) (Y O O I) (Y O O I) ( Y O O I) (Y O O I) (modulativa)

= Y Y Y Y Y Y OOOOOOOOOOOO I I I I I I

= Y Y Y Y Y Y Y Y Y O I

O de otra forma:

YOOIOIYOOI

YYYYYOOOOOOOOOOIIIII

YOOIOIYOOI

YYYYYYYOOIIIIIYYYYYYYYOOOOIIIIII

= Y Y Y Y Y Y Y Y Y O I

DIVISIÓN:

¿En cuántos grupos (cociente) se puede repartir una cantidad A, (dividendo) de tal forma que cada grupo contenga B elementos (divisor)? En ese proceso, cuántos elementos sobran (residuo)? Esta operación de división la notaremos A ÷ B.

1 er Intento : Escribir los números A y B solo con I separar las I de A en grupos con igual número de I que las que figuran en B. El número de grupos que resultan es el cociente y el número de I que sobran por no alcanzar a formar un grupo es el residuo.

YOO ÷ OOII

YOO : IIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIII IIIII

OOII : IIIIIIIIIIII

Observe que en YOO hay II grupos de OOII y sobran IIIIII. Por tanto el cociente es II y el residuo OI notamos: YOO ÷ OOII = II con residuo OI ó

YOOOI OOIIII

Problema: Observe lo engorroso del método cuando el dividendo es un número grande.

2 = Intento : Organizar el dividendo y el divisor de tal forma que en el dividendo aparezca el mayor número de bloques con los mismos símbolos del divisor. El número de bloques así obtenido es el cociente y los que sobren por no formar un bloque completo es el residuo.

YYYOI ÷ YOI

YYYOI = YYOOOOIIIIII

= (YOI) (YOI) (OOIIII)

Luego el cociente es II y el residuo OOIIII

3 er Intento : Probemos adaptando el método que tradicionalmente usamos. Hagámoslo con un ejemplo: YYYYOOI ÷ YII

1 er Paso : Tomemos de izquierda a derecha en el dividendo un primer bloque de números que contengan el mismo número de elementos que el divisor, en este caso YYY así

YYYYOOI = (YYY) (YOOI)

2 = Paso : Veamos cuántas veces cabe el YII en el primer bloque (YYY) como YYY = YYOOOIIIII = (YII) (YII) (OOOI)

se observa que YOO cabe II en YYY y restan OOOI

3 er Paso : Coloque ese II como parte del cociente, y en el dividendo cambie el YYY por el residuo OOOI, y ordene el número resultante.

OOOIYOOI = YOOOOOII = YYOII

4 o Paso : Repita el proceso de los pasos 1 – 2 – 3 YYOII = (YYO) (II)

pero YYO = YYIIIII = (YII) (YII) I

como YII cabe II veces en YYO, pase el II al cociente, que sumado con el II que había, quedan IIII en el cociente y queda I en el residuo.

5 = Paso : Al reemplazar el YYO por el I del residuo queda III. Como YII no cabe en III, el residuo es este III.

6 = Paso : Por tanto YYYYOOI ÷ YII da cociente IIII y residuo III

POTENCIACIÓNUsando la misma notación que conocemos; multiplicar un número A por si mismo B veces, lo notamos AB.Así (OII)III quiere decir multiplicar el número OII por si mismo III veces:

(OII)III = (OII) ⋆ (OII) ⋆ (OII)

= ((OII) ¿ (OII)) ¿ (OII)

= {((OII) ¿ O) ((OII)¿ I) ((OII)¿ I)} ¿ (OII)

= {(O ¿ O) (I ¿ O)(I ¿ O)(OII) (OII)} ¿ (OII)

= {(YO) (O) (O) (OII) (OII)} ¿ (OII)

= (YYOIIII) ¿ (OII)

= (Y ¿ (OII)) (Y ¿ (OII)) (O ¿ (OII)) (I ¿ (OII)) (I¿ (OII)) (I ¿ (OII)) (I ¿ (OII))

= (Y ¿ O) (Y ¿ I) (Y ¿ I) (Y ¿ O) (Y ¿I) (Y¿I) (O ¿O) (O¿I) (O¿I) (OII) (OII) (OII) (OII)

= (YYYYY) (Y) (Y) (YYYYY) (Y) (Y) (YO) (O) (O) (OII) (OII) (OII) (OII)

= YYYYYYYYYYYYYYYOOOOOOOIIIIIIII

= YYYYYYYYYYYYYYYYYIII

NOTACION MULTIPLICATIVAObserve en el ejemplo anterior lo engorroso que resulta manejar un número con un símbolo repetido muchas veces. En este caso en el resultado la Y aparece OOOII veces (17 veces) y no se puede escribir YOOOII pues no es Y multiplicado por si mismo OOOII veces, sino Y sumado por si mismo OOOII veces, luego valdría la pena introducir una notación que indicara esto, ojalá sin introducir nuevos símbolos, pues conociendo que

representa una suma podríamos pensar por ejemplo en (∑17 Y ) ó (Y∑ 17 ) ó (Y S17 )

etc. o también como superíndice a la izquierda (pues a la derecha ya indica potenciación) o subíndice izquierdo o derecho.Optando por este último, se tendría:

YYYYYYYYYYYYYYYYY = YOOOII

y así la expresión del ejemplo anterior se simboliza por:

YOOOII III

Observe que por significar sumas, se tienen propiedades como:

Ymn = Ym Yn

n¿ Ym = ( Y ) m ¿ n

Ym ¿ Yn = ( Y ) (Y m) ¿n

NOTACION EXPONENCIALLos números grandes tienen una presentación muy engorrosa, pues en ella aparece muchas veces repetida la Y , ya vimos como con la notación multiplicativa se puede obviar esa situación. Observemos que si tomamos esa Y como una base, los números grandes se pueden escribir en forma más simplificada usando potencias de Y:Y I = Y

Y II = Y ¿ Y = Y … Y (20 veces Y) (400 en nuestra notación)

Y III = (Y ¿Y) ¿ Y = (Y veces) (Y ¿ Y) = Y … Y (400 veces Y) (8000)

Y IIII = (Y ¿ Y ¿ Y ¿ Y) = ( Y veces) (Y ¿ Y ¿ Y) = Y …Y (8000 veces Y) (160.000)

Y O = (Y¿ Y ¿ Y ¿ Y¿ Y) = (Y veces) (Y ¿ Y ¿ Y ¿ Y) = Y … Y (160.000 veces Y) (3.200.000)

Y OI = (Y¿Y¿Y¿Y¿Y¿Y) = ( Y veces) (Y¿Y¿Y¿Y¿Y) = Y … Y (3.200.000 veces Y) (64.000.000)

Aunque no resulta del todo practica de manejar si nos va a servir para presentar un gran avance en la notación numérica: la notación posicional.

NOTACION POSICIONAL

Tomamos uno de los símbolos de nuestro sistema numérico como base de la notación. (Entre más grande sea el número, más símbolos debemos usar para la representación).

En nuestro caso escojamos la O y observemos algunas de sus potencias:

O I = IIIII

O II = OOOOO

O III = O ¿ (O II) = O II O II O II O II O II

O IIII = O ¿(O III) = O III O III O III O III O III

O O = O ¿(O IIII) = O IIII O IIII O IIII O IIII O IIII

O OI = O ¿(O O) = O O O O O O O O O O

etc.

Ahora los números los escribiremos solamente con los símbolos O e I, teniendo en cuenta que cuando aparezcan: I I I I I se reemplaza por O, o sea:

I I I I I se reemplaza por O I

O I O I O I O I O I se reemplaza por O II

O II O II O II O II O II se reemplaza por O III

O III O III O III O III O III se reemplaza por O IIII

O IIII O IIII O IIII O IIII O IIII se reemplaza por O O

y así sucesivamente.y se colocan estas potencias en el número, en orden de potencias de mayor a menor de izquierda a derecha.En los siguientes ejemplos analice que cantidad de O aparecerían en su representación con I y O si no se tomasen exponencialmente. ¿Qué números representan en nuestra notación tradicional?i) O I O I O I II = OOOII (17)

ii) OIII O II O II I = (OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO) (OOOOO)(OOOOO) I = ( 5 3 + 5 2 + 5 2 + 1)iii) O O O O O IIII O IIII O IIII O III O II O II OI O I OI III = ?iv) O IIII O IIII O II O II Iv) O III O III I

Como las potencias de O aparecen ordenadas de izquierda a derecha, de mayor a menor y cada una de ellas puede aparecer a lo más I I I I veces, podríamos optar por no colocar las potencias, sino, de derecha a izquierda ir colocando las veces que aparecen en su orden la I, la O I, la O II, la O III, la O IIII, la O O, etc., asumiendo que recordamos la posición de las potencias de O que no escribimos.

Lo malo es que cuando no haya potencia I I de O, por ejemplo, qué colocamos?, bueno pensemos inicialmente en dejar un espacio; pero si además faltan las potencias III, IIII y O de O y sí está la O I, cómo sabemos que el espacio que se deja corresponde a uno, dos o tres elementos? Definitivamente no es adecuado resolver este problema con los espacios, razón por la cual vamos a introducir un nuevo símbolo que represente un solo espacio, es claro que dos veces seguidas el mismo símbolo representará dos espacios y así sucesivamente.

A ese nuevo símbolo lo llamamos cero, y lo vamos a notar por ϕ para no confundirlo con la O.Así los números de atrás se pueden representar por:i) III IIii) I II ϕ Iiii) II III I II III IIIiv) II ϕ II Iv) II ϕ ϕ I

Pero además sería cómodo no tener que dejar esos espacios que separan el número de repeticiones de cada potencia. Para ello podemos asignar símbolos para cuando la potencia se repite 1 vez, otro cuando se repite 2 veces, otro cuando se repite 3 veces y otro cuando se repite 4 veces.Para no complicarnos con signos nuevos, usemos los que tradicionalmente conocemos:1 indica que la potencia de O que ocupa ese lugar aparece 1 vez

2 indica que la potencia de O que ocupa ese lugar aparece 2 veces



es claro que no requerimos más símbolos pues si una potencia aparece 5 veces ya corresponde a una de orden superior.

Con esta nueva notación los números de atrás se representan como:

i) 32ii) 12 ϕ 1iii) 231233iv) 2 ϕ 21v) 2 ϕ ϕ 1

Es claro que con este sistema en el ejemplo iii) el primer 3 que aparece de izquierda a derecha representa O IIII O IIII O IIII, el segundo que aparece representa O I O I O I y el tercero que aparece representa III , es decir el mismo símbolo representa diferentes valores según la posición que ocupa. Razón por la cual este sistema de representación se llama posicional.

Qué representa por ejemplo el número 321 ϕ ϕ 212?

representa el número O OII O OII O OII O OI O OI O O O II O II O II

el cual nuestro sistema tradicional es el número:

3(57) + 2 (56) + 1 (55) + 2 (5) 2 + 1 (5) + 2.

Con este sistema de numeración es que trabajamos actualmente considerando la base 10 (en lugar de la O), y los símbolos para expresar la repetición de potencias de 10 son respectivamente 1,2,3,4,5,6,7,8,9, y el cero, 0, para cuando hay ausencia de potencia de determinado nivel. Asì, con estos 10 símbolos se representa cualquier número en este sistema.

También son útiles en el lenguaje de computadores la base 2, y en la configuración de sus memorias la base 16. Como vimos anteriormente las culturas maya y babilonia usaban sistemas posicionales en base 20 y 60 respectivamente.

CAMBIOS DE BASE EN SISTEMAS POSICIONALES

De base 10 a base 2 y viceversa.Ejemplo: El número 215 en base 10 pasarlo a base 2.Procedimiento: Dividimos el número 215 entre 2 y retenemos su residuo, luego dividimos su cociente entre 2 y retenemos su residuo, y así sucesivamente hasta que el cociente sea 0 ó 1. El número 215 en base 2 será el número formado de izquierda a derecha por ese último cociente y los residuos retenidos desde el último hasta el primero en ese orden.215 ÷ 2 = 107 R 1 = 1107 ÷ 2 = 53 R 2 = 153 ÷ 2 = 26 R 3 = 126 ÷ 2 = 13 R 4 = 013 ÷ 2 = 6 R 5 = 16 ÷ 2 = 3 R 6 = 03 ÷ 2 = 1 R 7 = 1El número 215 es base 2 es (11010111)

Justificación del proceso:Aplicando sucesivamente a cada división el algoritmo de la división:

dividiendo = (divisor) (cociente) + (residuo)

obtenemos:

215 = (107) (2) + 1

= [ (53 ) (2 )+1 ] (2 )+1

= (53) (2 2) + 2 + 1

= [ (26 ) (2 )+1 ] 22 + 2 + 1

= 26 (2 3) + 2 2 + 2 + 1

= (13) (2) (2 3) + 2 2 + 2 + 1

= (13) (2 4) + 2 2 + 2 + 1

= [ (6 ) (2 )+1 ] 2 4 + 2 2 + 2 + 1

= 6 (2 5) + 2 4 + 2 2 + 2 + 1

= (3) (2) 2 5 + 2 4 + 2 2 + 2 + 1

= 3 (2 6) + 2 4 + 2 2 + 2 + 1

= [ (1 ) (2 )+1 ] 2 6 + 2 4 + 2 2 + 2 + 1

= 2 7 + 2 6 + 2 4 + 2 2 + 2 + 1

cuya representación es : 11010111

Ahora cómo se pasa el número (11010111) 2 en base 2 a base 10?

Evaluando lo que ese número significa en base 2, es decir

2 7 + 2 6 + (0) 2 5 + 2 4 + 0 (2 3) + (2 2) + (2) + 1 = 215

De base 10 a base 20 y viceversa

Ejemplo: El número 342158 en base 10 pasarlo a base 20.

Tomemos como símbolos básicos en base 20:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J

Proceso: El mismo que se hizo en base 2 pero dividiendo entre 20; y parando las divisiones cuando el cociente sea un número menor que 20.

342158 ÷ 20 = 17107 R 1 = 18

17107 ÷ 20 = 855 R 2 = 7

855 ÷ 20 = 42 R 3 = 15

42 ÷ 20 = 2 R 4 = 2

Así el número 342158 en base 20 es:

(2) (2) (15) (7) (18) es decir de acuerdo a los símbolos establecidos: 22F7I

Justificación del proceso:

Análogo al anterior aplicando el algoritmo de la división:

342158 = (17107) (20) + 18

= [ (855 ) (20 )+7 ] (20) + 18

= (855 (20) 2 + (7)) (20) + 18

= [ (42 ) (20 )+15 ] (20) 2 + (7) (20) + 18

= (42) (20) 3 + (15) (20) 2 + (7) (20) + 18

= [ (2 ) (20 )+2 ] (20) 3 + (15) (20) 2 + (7) (20) + 18

= (2) (20) 4 + 2 (20) 3 + (15) (20) 2 + (7) (20) + 18

= (2) (20) 4 + 2(20) 3 + (F) (20) 2 + (7) (20) + (I)

cuya representación es: 22F7I

Ahora cómo se pasa el número 22F7I a base 10?

Evaluando lo que ese número significa en base 20, es decir:

2 (20) 4 + 2 (20) 3 + F (20) 2 + 7 (20) + I

= 2 (20) 4 + 2 (20) 3 + (15) (20) 2 + 7 (20) + 18 = 342158

En forma análoga se pasa de un número en base 10 a cualquier otra base, y recíprocamente de un número en cualquier base distinta de 10 a base 10.

OPERACIONES EN SISTEMAS POSICIONALES

SUMA:

A P + B P (sumar los números A y B en base p) se coloca un número bajo el otro haciendo coincidir sus extremos derechos, en un tercer renglón se va colocando el resultado así:Se suman las dos últimas cifras, como son números menores que p, su suma o es menor que p en ese caso se coloca ese número en el renglón de resultado o es P + R 1 con R 1

menor que p, en ese caso se coloca R 1 y se lleva un 1 para la suma de las penúltimas

cifras, y se continúa de la misma forma que en el paso anterior, procediendo así hasta que se acaban los términos

Ejemplo: 1) Sumar (63256) 7 + (4403) 7

632564403100662

Observe que 6 + 3 = 9 = 7 + 2 3 + 4 = 7 = 7 + 0 6 + 1 = 7 = 7 + 0Justificación : (63256) 7 = 6(7 4) + 3(7 3) + 2 (7 2) + 5 (7) + 6

(4403) 7 = 4 (7 3) + 4(7 2) + 3

sumando los términos de igual potencia tenemos:

6 + 3 = 7 + 2 = (7) 1 + 2

(7 1) + 5(7 1) = 6(7 1)

2 (7 2) + 4 (7 2) = 6 (7 2)

3 (7 3) + 4 (7 3) = 7 4 + 0. (7 3)

(7 4) + 6 (7 4) = 7 5 + 0.( 7 4)

7 5 = 7 5

entonces la suma es 100662

2) Sumar (1001001) 2 + (11011) 2

1001001110111100100

3) Sumar (E73D8) 20 + (B D 9 4) 20

Con las representaciones dadas atrás.

E73D 8BD 9 4E I H 2C

PROPIEDADES: ¿Cuáles de las propiedades conocidas para la suma se cumplen?

RESTA:A P – B P (Restar los números A y B en base p, es decir hallar A – B en base p)Se coloca A P y bajo èl B P como en la suma, y procedemos como en la suma pero restando. Hay que tener cuidado que en el caso de que la cifra del renglón superior sea menor que la del renglón inferior, se disminuye la cifra del renglón superior de la columna de la izquierda en una unidad y se aumenta la correspondiente donde estamos operando en p unidades.

Ejemplo: (432101) 5 - (4032) 5

4321014032423014

Observe que en la primera columna de la derecha al ser 1 menor que 4, se aumenta el uno en 5 unidades quedando en 6 que al restar 4 da 2, y se debe disminuir en una unidad su vecino de la izquierda, pero como èste es cero, debe recurrir a una unidad de su vecino de la izquierda, aumentándose en 5 unidades, pero restando la que había cedido a su vecino de la derecha, quedando en 4 que al restar 3 da uno. Pero asì su vecino de la izquierda, el uno queda convertido en cero. De igual forma se sigue procediendo màs adelante.

MULTIPLICACIÒN:Siendo n,m números naturales. Se define la operación multiplicación entre n y m (n¿ m) como el resultado de sumar n veces el número m, es decir

n ¿ m = m + m + … + m (n veces)

- Propiedades:- Asociativa - n ¿(m ¿k) = (n ¿m) ¿ k

n ¿ (m ¿ k) = (m ¿ k) + (m ¿ k) + … + (m ¿ k) n veces

= (k + … + k) + (k + …+ k) + …+ (k + …k) n veces los paréntesis y en cada paréntesis m veces el k o sea n m veces el k, o sea ( n*m) veces el k

= (n ¿ m) ¿ k

- Modulativa - 1 ¿ n = n y n¿ 1 = n

1 ¿ n es 1 vez el n o sea n es decir 1 ¿ n = n

n ¿ 1 es n veces el 1 o sea 1 + 1 +…+ 1 (n veces) o sea n

- P n ¿ P m = P n + m

P n ¿ P m = (P ¿ P ¿ … ¿ P) ¿ (P ¿ P ¿ … ¿ P) El primer paréntesis n veces, el segundo m veces. = 1 ¿(P¿ P¿ … ¿ P) n + m veces, usando la asociativa sucesivamente.

= P ¿ P¿ … P¿P (n + m veces) modulativa

= P n + m

- Distributiva: m ¿ (n + k) = m ¿ n + m ¿ k

m ¿ (n + k) = (n + k) + (n + k) + …+ (n + k) (m veces)

= (n + n + …+ n) + (k + …+ k) m veces en cada paréntesis por

conmutatividad y asociatividad de la

suma.

= m ¿ n + m ¿ k

- Conmutativa – (explicación)Es claro que por la forma como se definió la multiplicación, al realizar esta operaciòn entre los elementos que representan 1,2, …p, siendo p la base del sistema de numeración, el producto de estos elementos es conmutativo.Ahora si representamos s y t en forma de potencias de P, y se aplica la asociatividad y el hecho de que P n P m = P n + m = P m + n , presenciaremos que el producto de s ¿ t es el mismo que t ¿ s.

El producto se puede realizar en forma análoga a como se explicò atrás para la suma y la resta. Ilustraremos con un ejemplo

(321) 4 ¿ (12) 4

((3) ¿ (4) 2 + (2) ¿ (4) + 1) ¿ ((1)* (4) + 2)

= ((3) ¿ (4) 2) ¿ (4)) + ((3) ¿ (4) 2) ¿ 2 + ((2) ¿ (4))*4 + ((2) ¿ (4)) ¿ 2 +

+ (1) ¿ (4) + 1 ¿ 2

= 3 ¿ (4 3) + 6 ¿ (4) 2 + 2 ¿ (4) 2 + 4 ¿ 4 + 4 + 2

= 3 ¿ (4 3) + 4 ¿ (4) 2 + 2 ¿ (4) 2 + 2 ¿ (4) 2 + 4 2 + 4 + 2

= 4 ¿ (4 3) + 4 ¿ (4) 2 + 4 2 + 4 + 2

= (4) 4 + (4) 3 + 4 + 2 = (11012) 4

Pregunta: Justifique a partir de este procedimiento, el método que tradicionalmente usamos para multiplicar.

DIVISIÓN:Copiando el método tradicional que conocemos justifique esta división en base 5

424302 ÷ 23

424302231441242032021021011

¿

(424302)5 ÷ (23) 5 = (13402) 5 y Residuo 1.

construcción de sistemas numéricos

Documents