sistemas numéricos e funções lógicas
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7/23/2019 Sistemas Numricos e Funes Lgicas
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Eletrnica Digital
Flvio [email protected]
Curso Superior de Tecnologia em Automao IndustrialFaculdade SENAI de Telmaco Borba
mailto:[email protected]:[email protected] -
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Objetivo da UC
Fornecer os conceitos de lgica para a
compreenso de circuitos aplicados eminstrumentos e sistemas de controle digital daautomao industrial.
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Ementa
Sistemas numricos, notao e cdigos.
Funes Lgicas.
lgebra Booleana, simplificao de equaese circuitos lgicos, Teoremas De Morgan.
Mapas de Karnaugh.
Circuitos combinacionais e sequenciais. Caractersticas e aplicaes das tecnologias.
Dispositivos programveis e interfaces.
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Bibliografia
IDOETA & CAPUANO Elementosde Eletrnica Digital. 40 ed. SoPaulo: rica, 2007.
FLOYD Sistemas Digitais:Fundamentos e Aplicaes. 9 ed.
Porto Alegre: Bookman, 2007.
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Avaliaes
Avaliao escrita 1 = Nota1*0,35
Avaliao escrita 2 = Nota2*0,35
Relatrio Laboratrio (MultiSim) = Nota3*0,3---------------------------------------------------------------
Nota final = Nota1+Nota2+Nota3
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Introduo Eletrnica Digital
Digital Digitus
Sistema indo arbico Decimal
Valores discretos
Aplicaes em automao
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Objetivo: Utilizao de diferentes sistemas de numerao para aotimizao do processamento de informaes eletrnicas ecomputacionais, tornando-as muito mais rpidas e simples.
Entender conceitos bsicos de sistemas de numerao como base, valor
posicional e valor de smbolo. Entender como trabalhar com nmeros representados nos sistemas de
numerao decimal, binrio, octal e hexadecimal.
Abreviar nmeros binrios como nmeros octais ou hexadecimais.
Converter nmeros octais e hexadecimais em nmeros binrios. Converter nos dois sentidos entre nmeros decimais e seus equivalentes
binrios, octais e hexadecimais.
Entender a aritmtica binria e como os nmeros binrios negativos sorepresentados utilizando a notao de complemento de dois.
Sistemas Numricos
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Sistema Decimal
O sistema decimal de numerao composto por 10smbolos ou dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9;usando tais smbolos, podemos expressar qualquerquantidade.
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Sistema Binrio
No sistema binrio denumerao, existem apenas2 algarismos: 0 (zero) e 1(um). Por isso sua base
dois. Cada dgito ou algarismo
binrio chamado de bit (doingls binary digit, ou seja
dgito binrio). Um bit ,pois, a menor unidade deinformao nos circuitosdigitais.
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MSB do ingls most significant bit ou seja, bit
mais significativo
LSB do ingls least significant bit ou seja, bit
menos significativo
Sistema Binrio
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Converso do Sistema Binrio para oSistema Decimal
Para converter um nmero binrio em decimal, deve-semultiplicar cada bit pelo seu valor de posio (que indicado pelo valor da base) e somar os resultados.
Exemplo:
Na converso de 10102para o sistema decimal, procede-seda seguinte forma:
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Exerccios
Converta os nmeros do sistema numricobinrio para o sistema numrico decimal:
a) 11000110b) 1000110
c) 1010101010
d) 100000001e) 10011
f) 1010111
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Converso do Sistema Decimal para oSistema Binrio
A converso de nmeros dosistema decimal para osistema binrio realizadaefetuando-se divisessucessivas do nmero decimalpela base a ser convertida (nocaso 2) at o ltimo quocientepossvel. O nmerotransformado ser compostopor este ltimo quociente(algarismo mais significativo)e, todos os restos, na ordeminversa s divises.
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Converta os nmeros do sistema numricodecimal para o sistema numrico binrio:
a) 3
b) 8
c) 49
d) 164
e) 910f) 8000
Exerccios
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Sistema Octal
O sistema octal de numerao um sistema debase 8 no qual existem 8 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4,5, 6 e 7.
d i l
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Converso do Sistema Octal para oSistema Decimal
Vamos por exemplo converter o nmero 1448em decimal:
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Converta os nmeros do sistema numricooctal para o sistema numrico decimal:
a) 46
b) 110
c) 22
d) 77
e) 41f) 225
Exerccios
C d Si D i l
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Converso do Sistema Decimal para oSistema Octal
Vamos converter o nmero 9210para osistema octal:
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Converta os nmeros do sistema numricodecimal para o sistema numrico octal:
a) 16b) 93
c) 105
d) 177
e) 15
f) 384
Exerccios
C d Si O l
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Converso do Sistema Octal para oSistema Binrio
Vamos usar um nmero octal qualquer, porexemplo, 278. A regra consiste em transformar cadaalgarismo diretamente no correspondente embinrio, respeitando-se o nmero padro de bits do
sistema, sendo para o octal igual a trs (23 = 8, basedo sistema octal). Assim sendo, temos:
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Converta os nmeros do sistema numricooctal para o sistema numrico binrio:
a) 20b) 97
c) 105
d) 77
e) 15
f) 34
Exerccios
C d Si t Bi i
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Converso do Sistema Binrio para oSistema Octal
Para efetuar esta converso, vamos aplicar oprocesso inverso ao utilizado na conversode octal para binrio. Como exemplo, vamos
utilizar o nmero 1100102.
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Converta os nmeros do sistema numricobinrio para o sistema numrico octal:
a) 1010
b) 111000
c) 110010
d) 10000
e) 1000011f) 11111
Exerccios
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Sistema Hexadecimal
O sistema hexadecimal tem a base 16. Os 16 smbolos que
constituem a numerao hexadecimal so os seguintesalgarismos e letras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F.
C d Si t H d i l
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Converso do Sistema Hexadecimalpara o Sistema Decimal
A regra de converso anloga de outrossistemas, somente que neste caso, a base 16.Como exemplo, vamos utilizar o nmero 3F16e
convert-lo em decimal:
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Converta os nmeros do sistema numricohexadecimal para o sistema numricodecimal:
a) 1D
b) 6F
c) FA
d) 167e) DF
f) 3E8
Exerccios
C d Si t D i l
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Converso do Sistema Decimal para oSistema Hexadecimal
Da mesma forma que nos casos anteriores, esta conversose faz atravs de divises sucessivas pela base do sistema aser convertido. Para exemplificar vamos transformar onmero 100010 em hexadecimal:
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Converta os nmeros do sistema numricodecimal para o sistema numricohexadecimal:
a) 81b) 99
c) 158
d) 562e) 12
f) 68
Exerccios
Converso do Sistema Hexadecimal
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Converso do Sistema Hexadecimalpara o Sistema Binrio
anloga converso do sistema octal para o sistemabinrio, somente que, neste caso, necessita-se de 4 bits pararepresentar cada algarismo hexadecimal.
Como exemplo, vamos converter o nmero C1316para o
sistema binrio:
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Converta os nmeros do sistema numricohexadecimal para o sistema numricobinrio:
a) C8b) 3D
c) D4
d) 20De) F
f) 32C
Exerccios
Converso do Sistema Binrio
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Converso do Sistema Binriopara o Sistema Hexadecimal
anloga converso do sistema binrio para o octal,somente que neste caso, agrupamos de 4 em 4 bits dadireita para a esquerda. A ttulo de exemplo, vamos
transformar o nmero 100110002em hexadecimal:
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Converta os nmeros do sistema numricobinrio para o sistema numrico hexadecimal:
a) 10110011
b) 11111
c) 10000
d) 1010101
e) 10000011f) 110011001
Exerccios
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Aritmtica Binria
Adio Binria
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Adio Binria
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Efetue a adio dos nmeros binriosabaixo:
a) 101 + 110b) 1111 + 1010
c) 110 + 1001
d) 100 + 1010e) 10011 + 1110
f) 11 + 11011
Exerccios
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Subtrao Binria
Em muitos computadores grandes e na maioria dosminicomputadores, a operao de subtrao realizada usando-se a operao de adio. Esteprocesso requer o uso da forma complemento de 2.
O complemento de 2 de um nmero binrio obtido trocando-se cada 0 por 1, e cada 1 por 0, esomando-se 1 ao resultado. O primeiro passo, ainverso de cada bit, chamado complementaode 1. Por exemplo, o complemento de 10110110 01001001.
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O complemento de 2 de um nmero binrio formado somando-se 1 ao complemento de 1do mesmo nmero. Por exemplo, ocomplemento de 2 de 10110110 obtido
como a seguir:
Subtrao Binria
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A operao de subtrao pode ser executada convertendo-seo subtraendo (o nmero a ser subtrado em seucomplemento de 2 e, ento, somando-se ao minuendo (onmero do qual se subtrai). Para ilustrar, considere asubtrao no nmero 1001 de 1100 (decimal 9 de decimal12).
Subtrao Binria
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Efetue a subtrao dos nmerosbinrios abaixo:
a) 111 - 101
b) 1101 - 1010
c) 1100 - 1001
d) 1111 - 1010
e) 11000 - 1110
f) 111 - 10
Exerccios
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Multiplicao binria
A multiplicao de nmeros binrios feitada mesma maneira que a multiplicao denmeros decimais.
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Efetue a multiplicao dos nmerosbinrios abaixo:
a) 10 x 11b) 1101 x 101
c) 1000 x 10
d) 1011 x 1010e) 11010 x 1110
f) 1011 x 100
Exerccios
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Diviso binria
O procedimento para dividir um nmero binrio (odividendo) por outro (o divisor) igual quele que seguido para os nmeros decimais, ao qualnormalmente nos referimos como diviso longa.O processo real mais simples em binrio; pois,quando estamos verificando quantas vezes o divisorcabe no dividendo, existem apenas duas
possibilidades: 0 ou 1. Para ilustrar, considere oseguinte exemplo:
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1001
0
11
119 : 3
10 : 41010
10
100
10
E i
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Efetue a diviso dos nmeros binriosabaixo:
a) 110 : 11
b) 1000 : 10
c) 1010 : 10
d) 1111 : 10
e) 1110 : 10
f) 10011 : 11
Exerccios
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Cdigos Binrios
So arranjos compostos pelos dgitos binrios 0 e 1para representao de dados;
No obrigatoriamente respeitam as propriedades
algbricas, como os sistemas numricos; So normalmente empregados para simplificar o
hardware necessrio nas interfaces homem-mquina;
Tambm so utilizados com o objetivo de reduoda margem de erro na codificao de informaes.
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Cdigo BCD (B inary Coded Decimal)
obtido pela converso de cada algarismo decimalde um nmero pelo seu equivalente valor binriopuro com 4 bits.
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Cdigo BCD (B inary Coded Decimal)
O BCD utiliza apenas os nmeros binrios entre00002e 10012. 010a 910
O cdigo BCD no utiliza os nmeros10102,10112,11002, 11012, 11102e 11112.
So utilizados apenas os 10 primeiros dos 16possveis grupos de 4 bits.
A apario de qualquer um desses nmeros
proibidos em uma mquina que use o cdigoBCD, geralmente uma indicao de que ocorreuum erro.
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Cdigo BCD (B inary Coded Decimal)
Exemplo:
Converta 0110100000111001(BCD) para seuequivalente decimal.
Divida o nmero BCD em grupos de 4 bits econverta cada um deles para decimal.
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Cdigo BCD (B inary Coded Decimal)
Exemplo:
Converta 011111000001(BCD) para seu equivalentedecimal.
Este grupo de bits proibido e indica um erro no
nmero BCD.
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Cdigo BCD (B inary Coded Decimal)
Comparao entre BCD e binrio
BCD um sistema decimal onde cada dgito codificado noseu equivalente binrio;
Binrio puro obtido a partir de um nmero decimalcompleto;
BCD requer mais bits que o binrio puro para representarnmeros decimais maiores que um digito.
BCD tem facilidade de converso em decimal: importante doponto de vista do hardware.
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Cdigo Gray
Este sistema de codificaosurgiu quando os circuitoslgicos digitais se realizavamcom vlvulas termoinicas e
dispositivos eletromecnicos.
Os contadores necessitavam depotncias muito elevadas e
geravam rudo quando vriosbits modificavam-sesimultaneamente
Equivalente entre
binrio de 3 bits ecdigo Gray
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Cdigo Gray
Pertence classe de cdigosdenominados de variaomnima, pois somente um bitmuda entre valores
subsequentes.
No aplicado a operaesaritmticas, mais adequado a
sistemas de controle digitalpara eliminar o problema decorrida na mudana de bits.
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Cdigo Gray
Aplicao:
Codificador de rotao de eixo
de trs bits e oito posies.
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Bytes A maioria dos microcomputadores manipula e armazena
dados binrios e informaes em grupos de 8 bits.
Assim um nome especial dado para uma cadeia (ousequncia) de 8 bits: o chamado byte.
Um byte sempre corresponde a 8 bits, e pode representarnumerosos tipos de dados e informaes
Exemplo: Quantos bytes h em uma sequncia de 32 bits(cadeia de caracteres de 32 bits)?
32 / 8 = 4 Assim, uma cadeia de caracteres de 32 bits constituda por quatro bytes
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Bytes
Exemplo: Qual o maior valor decimal que pode ser
representado em binrios usando dois bytes?
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Nibble
Nmeros binrios muitas vezes so divididos em gruposde 4 bits, por exemplo: BCD e nmeros hexadecimais;
Nibble = grupos de 4 bits.
Exemplo:
Quantos nibbles existem em 1 byte?
1 byte = 8 bits; portanto 1 byte tem 2 nibbles.
Qual o hexa do nibble menos significativo do nmero1001 0101?
O nibble menos significativo 0101 = 5
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Palavras (Words)
Bits, bytes e nibbles representam nmeros fixos dedgitos binrios;
O tamanho de uma palavra (word) depende docaminho (pathway) de cada sistema.
Por exemplo:
Microondas = 1 byte (8 bits)
PC = 8 bytes (64 bits)
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Exerccios
Quantos bytes so necessrios para representar nosistema binrio o nmero decimal 9635245?
Quantos bytes so necessrios para representar ovalor decimal 846569 em BCD?
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Funes Lgicas
F L i E OU NO NE NOU
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Funes Lgicas E, OU, NO, NE e NOU
Nas funes lgicas, temos apenas dois estadosdistintos:
O estado 0 (zero) e o estado 1 (um).
O estado 0 representar, por exemplo: portofechado, aparelho desligado, ausncia de tenso,chave aberta, no, etc. O estado 1 representar,
ento: porto aberto, aparelho ligado, presenade tenso, chave fechada, sim, etc.
Funo E ou AND
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Funo E ou AND
A funo E aquela que executa a multiplicao de 2 oumais variveis booleanas. tambm conhecida como funoAND, nome derivado do ingls. Sua representao algbricapara 2 variveis S = A.B, onde se l S = A e B.
Tabela verdade e simbologia Porta E ou AND
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Tabela-verdade e simbologiaPorta E ou AND
A
B
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Notamos que a tabela-verdade mostra as 8 possveisvariaes das variveis de entrada e seus respectivosresultados na sada. O nmero de situaes possveis iguala 2N, onde N o nmero de variveis de entrada.
No exemplo: N = 3 23= 8.
S
Funo OU ou OR
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Funo OU ou OR
A funo OU ou OR aquela que assume valor 1 quandouma ou mais variveis da entrada forem iguais a 1 e assumevalor 0 se, e somente se, todas as variveis de entradaforem iguais a 0. Sua representao algbrica para 2
variveis de entrada S = A + B, onde se l S = A ou B.
Tabela-verdade e Simbologia Funo OR
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Tabela verdade e Simbologia Funo ORou OU
Funo NO ou NOT
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Funo NO ou NOT
A funo NO, ou funo complemento, aquela queinverte ou complementa o estado da varivel de entrada. Sea varivel de entrada for 1, ela se tornar 0 na sada. Se avarivel de entrada for 0, ela se tornar 1 na sada.
Tabela-verdade e Simbologia
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gFuno NO ou NOT
Portas Lgicas Derivadas
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Portas Lgicas Derivadas
Os sistemas digitais mais complexos, comocomputadores de grande porte, so construdos apartir das portas lgicas bsicas E, OU e NO. Apartir dessas portas, podem-se construir quatro
outras denominadas portas lgicas derivadas.
Elas so: porta NE (ou NO E), porta NOU (ou NO
OU), porta OU EXCLUSIVO e porta NO OUEXCLUSIVO.
Funo NO E NE ou NAND
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Funo NO E, NE ou NAND
Como o prprio nome NO E diz: essa funo acomposio da funo E com a funo NO, ou seja,teremos a funo E invertida. representadaalgebricamente da seguinte forma:
S = (A . B), onde o trao indica que teremos a inverso doproduto A . B.
Funo NO OU NOU ou NOR
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Funo NO OU, NOU ou NOR
A funo NOU a composio da funo NO com a funo OU,ou seja, a funo NOU ser o inverso da funo OU. representada da seguinte forma:
S = (A+B), onde o trao indica a inverso da soma A + B.
Exerccio
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Exerccio
Desenvolva a tabela-verdade e o smbolo dasseguintes portas lgicas:
Porta OU ou OR com 3 entradas. Porta E ou AND com 4 entradas.
Porta NO E ou NAND com 3 entradas.
Circuitos Lgicos e suas
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gExpresses Booleanas
Todo circuito lgico executa uma expressobooleana e, por mais complexo que seja, formadopela interligao das portas lgicas bsicas. Podemosobter a expresso booleana que executada por um
circuito lgico qualquer. Para mostrar oprocedimento, vamos obter a expresso que ocircuito abaixo executa.
A B C D S
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0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 11 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 11 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
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A expresso final obtida substituindo a expresso
de S1 na expresso acima, obtendo ento:
S = A . B + C
Exerccio
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Exerccio
Obtenha a expresso final do circuito abaixo:
A
B
C
D
S
Desenvolvimento de um Circuito
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Lgico a Partir da Expresso
O mtodo para obter o circuito lgico que executa umaexpresso booleana consiste em identificar as portas lgicasna expresso e desenh-las com as respectivas ligaes, a
partir das variveis de entrada. A resoluo deve respeitar a ordem de prioridade da
aritmtica elementar, iniciando pelos parnteses seguidopelos colchetes e por ltimo as chaves. Em expresses queno possuam parnteses, deve-se executar primeiro asfunes de produto:
A . B + C = (A . B) + C
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Para exemplificar vamos obter o circuito que
executa a expresso
S = (A + B) . C . (B + D)
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Exerccio
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Exerccio
Obtenha o circuito lgico que executa asseguintes funes:
a) S = A . B . Cb) S = A . B + B . C
c) S = A + B . C + C . D + D
d) S = A . B . C + B . C + B . C . D + D
Expresses Booleanas Obtidasd b l d d
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de Tabelas-verdade
Observando a tabela, notamos que a expresso verdadeira (S = 1) nos casos onde A = 0 e B = 0 ouA = 1 e B = 0 ou
A = 1 e B = 1. Para obter a expresso, basta montar
os termos relativos aos casos onde a expresso forverdadeira e som-los.
Caso 00: S = 1 quando, A = 0 e B = 0A . B
Caso 10: S = 1 quando, A = 1 e B = 0A . B Caso 11: S = 1 quando, A = 1 e B = 1A . B
S = A . B + A . B + A . B
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Notamos que o mtodo permite obter,qualquer que seja a tabela, uma expressopadro formada sempre pela soma de
produtos. Utilizando a lgebra de Boole possvel simplificar as expresses e obtercircuitos mais simplificados.
Exerccio
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Exerccio
Observando as tabelas-verdade abaixo, escrevaa expresso booleana correspondente:
a) b) c)
A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 11 1 1
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 11 1 1
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
Porta Lgica XOR (OU-EXCLUSIVO)
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Porta Lgica XOR (OU EXCLUSIVO)
A funo lgica que esta porta executa, como oprprio nome j diz, consiste em fornecer 1 sadaquando as variveis de entrada forem diferentesentre si. A partir desta definio, montamos sua
tabela-verdade.
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Porta Lgica XNOR (COINCIDNCIA)
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g ( )
Sua funo fornecer 1 sada quando houvercoincidncia nos valores das variveis de entrada.
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