Conseguenze generali delle leggi di Newton.Conseguenze generali delle leggi di Newton.Principi di conservazionePrincipi di conservazione

Note le forze, la 2a L. di Newton consente di calcolarne il moto di un corpo. E’ solo questione di calcolo

Tuttavia si possono dimostrare alcune proprietà o leggi generali molto importanti, perché

• forniscono un punto di vista globale di applicabilità generale• la loro validitvaliditàà trascendetrascendeaddiritturala meccanica la meccanica newtoniananewtoniana

Il lavoro di sistemazione della meccanica classica copre un lungo periodo storico: dalla pubblicazione dei “Principia” di I.Newton (1687) ai lavori di P-S de Laplace e W.R.Hamilton (1796 - 1835)

Queste sono formulate come“ leggi di conservazioneleggi di conservazione”, nel senso che, a certe condizioni, alcune quantitalcune quantitàà rimangono costanti durante lrimangono costanti durante l’’ evoluzione del sistemaevoluzione del sistema.

Conservazione dellConservazione dell’’ EnergiaEnergia(invarianza per traslazione temporale: omogeneità del tempo)

Conservazione della Conservazione della quantitquantitàà di motodi moto(invarianza per traslazione: omogeneità dello spazio)

Conservazione del Conservazione del momento angolaremomento angolare(invarianza per rotazione: isotropia dello spazio)

sono considerate le leggi più generali della Fisica e derivano in ultima analisi da simmetrie fondamentali dello spazio-tempo.

Altezza massima raggiunta da un corpo con velocità iniziale v0

g

vh

2

2

0=

h

v0 indipendentemente dalla direzione di lancio, il modulo della velocitàall’impatto con il suolo vale :

ghvv f 22

0+=

CC’è’è sotto una legge generale ? sotto una legge generale ?

v0

hin entrambi i casi

Velocità al suolo di un oggetto lanciato con velocità iniziale v0

v0

h

piano

incli

nato

liscio

Esempio 1. Esempio 1.

Esempio 2:Esempio 2:

Lavoro di una forza. DefinizioneLavoro di una forza. Definizione

sFFssFABFW T==⋅=⋅= θcosrrr

prodotto scalare

Caso particolare: Forza costantee spostamento rettilineo.

Il punto di applicazionedi F si sposta da A a B.

rsrr ∆=

Fr

θ

A B

°=⇔=°<<°⇔<

°<<°⇔>

900

180900

9000

θθ

θ

W

W

Wlavoro motore

lavoro resistente

lavoro nullo

Unità di misura è ilJouleJoule. grandezza scalaregrandezza scalare2

2

s

mkgNmJ ==

Lavoro di una forzaLavoro di una forza

dsFsdFWB

A

B

A

θcos,,∫∫ =⋅=ll

rr

FrA

B

sr

dθ

l

In generale, il lavoro dipende dal tragittoIn generale, il lavoro dipende dal tragitto.

In pratica (usando le componenti cartesiane): ( ) ∫∫∫∫ ++=++=

B

A

Z

B

A

Y

B

A

X

B

A

ZYX dzFdyFdxFdzFdyFdxFWllll ,,,,

sdFdWrr

⋅=

Nel caso generale, basta prendere ddssabbastanza piccolo affinchéF si possa considerare costante in ds

Definizione generale di lavoro:Quella da ricordare!Quella da ricordare!

21 FFFrrr

+=per un punto materiale, il lavoro della risultante è pari alla somma dei lavori delle singole forze21 WWW +=⇒

−=∆⋅ 22

22sin if v

mv

msmg θ

Teorema dellTeorema dell’’ energia cinetica:energia cinetica:

Un semplice esempio (moto 1D, forze costanti)Un semplice esempio (moto 1D, forze costanti)

PWABgm =⋅

Massa su piano inclinato liscio.

KEW ∆=

Energia cineticadi un punto materialem

pv

mEK 22

22 ==

Caso particolare del

Js

mkg =

2

2

grandezza scalaregrandezza scalare

Definizione:

A

BPr⊥P

r||Pr

Nr

θ

sgsavv if ∆=∆=

−θsin

2

22

θsinga =

0=NW

∆=+= 2

2v

mWWW NPTOT

unità di misura:

Sappiamo che

dtmvdt

ddtv

dt

vdmsd

dt

vdmsdF

=

⋅=⋅=⋅ 2

2

1rr

rr

rr

Teorema dellTeorema dell’’ Energia cineticaEnergia cinetica

KTOT EW ∆=

F: forza totale o risultante

∫ ⋅=B

A

sdFWrr

con

KiKfAB

B

A

EEvm

vm

sdFW −=−=⋅= ∫22

22

rrovvero

di validitvaliditàà generalegenerale, conseguenza delle sole leggi di Newton

vF

vF

vF

se W>0 l’energia cinetica aumenta (|v| aumenta)

se W<0 l’energia cinetica diminuisce (|v| diminuisce)

se W=0 l’energia cinetica non varia

12

3

Il segno del lavoro non Il segno del lavoro non èè convenzionale!convenzionale!

per un punto materiale

2. Esempi particolari2. Esempi particolari

v

m FC

A

B

Tr

Lavoro della tensione?

Lavoro della forza centripeta?

KTOT EW ∆=

Meditazioni.Meditazioni.

il lavoro compiutosi ritrova come variazione di energia cinetica.

Un modo per modificare l’energia cinetica di un oggetto è compiere lavoro su di esso. “Flusso di energia”

PotenzaPotenza

Il lavoro per unità di tempo si dice potenzapotenza.

vFdt

sdF

dt

dWP

t

WP

rrrr⋅=⋅==

∆= si misura inWattWatt:

potenza media potenza istantaneagrandezza scalare

Un’auto (m=1200kg) accelera da 0 a 100km/h in 6.0s. Determinare la potenza mediapotenza mediaerogata e la potenza potenza istantanea massimaistantanea massimanell’ ipotesi di accelerazione costante. ipotesi di accelerazione costante.

kWt

K

t

WP 2.77≅

∆∆=

∆=

FvvFP =⋅= rr

kWFvP MAXMAX 154==

3

2

s

mkg

s

JW ==

2/63.4 smt

va =

∆∆=

kNmaF 56.5==

⇒⋅−=⋅= dymgsdgmdWrr

sdr

dx

dy

gmr

Lavoro della forza pesoLavoro della forza peso

non dipende dal percorso, ma solo dagli estremi A e Bnon dipende dal percorso, ma solo dagli estremi A e B

ABPsdPsdPWB

A

B

A

⋅=⋅=⋅= ∫∫rrrrr

ll ,,

In alternativa:

( )ABYYXX yymgABPABPW −−=+=

0 AB xx − AB yy −-mg

proprietà di ogni forza costanteforza costante, non solo forza peso.

L’espressione trovata dipende dal fatto che y y èè un asse un asse verticaleverticaleorientato orientato verso lverso l’’ altoalto.

Se yyff > > yyii (il punto sale) il lavoro è negativo: l’energia cinetica diminuisce

Se yyff < < yyii (il punto scende) lavoro positivo: l’energia cinetica aumenta

A

B

h

O

yA

yB

x

gmPrr

=

( )if yymgW −−=

Lavoro della forza elasticaLavoro della forza elastica

⇒⋅−= dxkxdW

Dipende solo dai punti estremi.

x

FFELEL

se |x2|<|x1| W>0: l’energia cinetica aumenta (|v| aumenta)

se |x2|>|x1| W<0: l’energia cinetica diminuisce (|v| diminuisce)

se |x2|=|x1| W=0: l’energia cinetica non varia

12

3

Esempio. Condiz. iniziale: vi=0 e molla a riposo Trovare l’allungamento massimo della molla

02

2 =−=−= KiKf EExk

mgxW

( )21

22

2

1 2xx

kkxdxW

x

x

−−=−= ∫

doppio dell’allungamento all’equilibriok

mgxMax 2=m

k

x

inizio fine

A

B ∫−=⇒−=⋅=B

A

DDD dsWdssddW fffrr

Lavoro della forza di attrito dinamicoLavoro della forza di attrito dinamico

Alcune forze non compiono lavoroAlcune forze non compiono lavoro

Perché sono normali agli spostamenti: Reazione normale, Forza di Lorentz (v. Fis.2)Perchénon c’è spostamentodel punto di applicazione: Attrito statico, altri vincoli fissi ...

In questo caso il lavoro dipende dal tragitto. Infatti, se AD è costante, (ad es. moto su un piano) nel qual caso si trova:

ABD

B

A

D dsW lff −=−= ∫

g

vs

Dµ2

20=

Il lavoro della forza di attrito dinamico Il lavoro della forza di attrito dinamico èè sempre negativosempre negativo. Il moto è possibile o perché ci sono altre forze che compiono un lavoro motore, o perché il corpo ha velocità iniziale non nulla.

Esempio. Punto materiale su piano orizzontale scabro (µD) con velocità iniziale v0. Quanta strada percorre prima di fermarsi?

KIKFK EEEW −=∆=

202

f vm

mgss DD −=−=− µ

γ

ηA

B

una forza si dice conservativase il suo lavoroil suo lavoro non dipende dal tragitto ma solo dalla solo dalla posizione iniziale e finaleposizione iniziale e finale.

ABABAB WWW == ηγ ,,

Una forza si dice conservativa se il suo lavoroil suo lavoro lungo un percorso chiuso qualsiasi percorso chiuso qualsiasi èè nullonullo.

Forze conservative. Due definizioni equivalentiForze conservative. Due definizioni equivalenti

E’ più corretto parlare di campi di forza: una forza conservativa è funzione (solo) della posizione

0,,,,

=⋅−⋅=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫B

A

B

A

A

B

B

A

sdFsdFsdFsdFsdFηγηγ

rrrrrrrrrr

Esempi di forze conservative: Forza gravitazionale(anche nel caso generale, v. cap. gravitazione) Forza elettrostatica, Forza elastica, …

Definizione 1: Definizione 1:

Definizione 2: Definizione 2:

0=⋅∫ sdFrr

Definizioni equivalenti. Infatti:

NotaNota: non si può ottenere lavoro da una forza conservativa su un percorso chiuso.

( ) ( ) ABPPP WAEBEE −=−=∆

Energia potenzialeEnergia potenziale

Il lavoro della forza conservativa, cambiato di segno, è pari alla variazione di energia potenziale

Se la forza è conservativa è possibile definire una funzione della posizione(EP) tale che

A

B

è possibile perché il lavoro WAB non dipende dal tragitto

(definizione “del libro”)

( )PEPè l’energiaenergiapotenzialepotenzialenel punto P

Osservazione: Osservazione: ( )PEP ( ) kPEP +⇔

l’energia potenziale èdefinita a meno di una costante additivadefinita a meno di una costante additiva.

[EP]=[W]=J grandezza scalare

γ

ηO

PEnergia potenzialeEnergia potenziale

Un modo forse più intuitivo di definire l’energia potenziale

∫ ⋅−=P

O

PP sdFEPE 0)(

L’arbitrarietà della costante non è un problema: contano solo le variazioni ∆∆∆∆EP di energia potenziale.

• Si sceglie un punto O arbitrario

• Si definisceEP(O) = EP0 arbitrario

• Nel punto P, EP vale:

� La definizione ha senso perché l’integrale non dipende dal tragitto� L’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitrariaEP0� Il lavoro WAB si può esprimere in funzione di EP calcolata in A e in B:

( )( ) ( )( ) PPPOPOP

B

O

O

A

B

A

AB EBEEEAEsdFsdFsdFW ∆−=−+−=⋅+⋅=⋅= ∫∫∫rrrrrr

cost+= mgyE P

Energia Potenziale della forza pesoEnergia Potenziale della forza peso

fi mgymgyW −=

PfPi EEW −=

ma sappiamo anche che:

� ∆EP>0 se ∆y>0 (W<0 e quindi ∆EK<0)

� ∆EP<0 se ∆y<0 (W>0 e quindi ∆EK>0)

essendo y lun asse verticale orientato “verso l’alto” (cioè opposto a g)

Dalla definizione di energia potenziale:

ogni funzione EP del tipo soddisfa le condizioni

Che sia definita a meno di una costante arbitraria appare anche dal fatto che l’origine dell’asse y si può scegliere in modo arbitrario

costante arbitrariacostante arbitraria

Energia Potenziale della forza pesoEnergia Potenziale della forza peso

il risultato non dipende dalla scelta dell’origine(cioè dalla costante arbitraria)

h1

h2

h1+h2=h

y

Esempio. Una palla cade dal tetto, di altezza h. Calcolare il lavoro della forza peso.

origine dell’asse y al suolo:

origine dell’asse y sul davanzale:

origine dell’asse y sulla grondaia:

∆EPEPFEPI

-mgh-mgh0

-mgh-mgh1mgh2

-mgh0mgh

mghEWvm

PP =∆−==2

2

2

2x

kE P = Forza elastica (x: deformazione della molla)

di solito si pone cost=0 (EP nulla se la molla è a riposo)+ cost.

Energia potenziale elasticaEnergia potenziale elastica

Dal confronto delle due espressioni si ricava:

22

22 if xk

xk

W +−= ma anche: PfPi EEW −=

gmr

xkr−

In presenza di più forze conservative l’energia potenziale totale è la somma delle energie potenziali.

PTOTPEPPEP EEEWWW ∆−=∆−∆−=+=

con PEPPPTOT EEE +=

Caso di piCaso di piùù forze conservativeforze conservative

Se le forze sono tutte conservativeSe le forze sono tutte conservative

Energia meccanica:Energia meccanica:

Teorema di conservazione dellTeorema di conservazione dell’’ energia meccanicaenergia meccanica

PFPIKIKF EEEE −=−PIKIPFKF EEEE +=+

123 123

Se un corpo Se un corpo èè soggettosoggettoa forze soltanto conservative, a forze soltanto conservative, la sua energia meccanica la sua energia meccanica èè costantecostante

KEW ∆=

PKM EEE +=

MIMF EE =

PK EE ∆−=∆⇒Teorema dellTeorema dell’’ energia cinetica: energia cinetica:

PEW ∆−=

Definizione:

Abbiamo dimostrato il seguente, fondamentale, Teorema:

massa m vincolata all’estremo di una molla ideale di costante ksu piano orizzontale liscio.

Grafico dellGrafico dell’’ Energia (caso 1D)Energia (caso 1D)

v

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

2

2x

kU =

cost22

22 =+= vm

xk

EM

U

K

Fr

equilibrio

Conservazione dellConservazione dell’’ energia meccanicaenergia meccanica

v0

Corpo lanciato verso l’altoEsempio con la forza peso.

mghvm

mghEEE

vm

EEE

PfKff

PiKii=⇒

+=+=

+=+=20

20

20

02

Corpo lanciato verso l’alto lungo un piano inclinato liscio.

v0

corpo lanciato lungo una guida liscia qualsiasi

Calcolare l’altezza massima raggiunta

il risultato dipende solo dalla conservazione dell’energia e non dai dettagli del moto.

g

vh

2

20=

Conservazione dellConservazione dell’’ energia meccanicaenergia meccanica

Pendolo.

)cos1(2

2

cos0

02max

2max

0

θ

θ

−=⇒

−=+=

−=+=

l

l

l

mgvm

mgvm

EEE

mgEEE

PfKff

PiKii

Pendolo lasciato andare da un’inclinazione θ0 rispetto alla verticale. Calcolare la velocitànel punto più basso

Nota: Queste non sono piccole oscillazioni

Quanto vale la tensione del filo nel punto più basso?

nel punto più basso ⇒= 0Tal

2vaa N ==

( )0cos23 θ−==− mgTmamgT

generalizzare: velocità e tensione ad un angolo θ<θ0.

v=0θ0

Tr

gmrv

r

Se le forze sono tutte conservativeSe le forze sono tutte conservative

Energia meccanica in presenza di forze non conservativeEnergia meccanica in presenza di forze non conservative

KNCC EWW ∆=+PKNC EEW ∆+∆=⇒

Teorema dellTeorema dell’’ energia cinetica: energia cinetica:

PC EW ∆−=

MNC EW ∆=

Il lavoro delle forzeIl lavoro delle forzenon conservative produce una variazione di energia meccanica. non conservative produce una variazione di energia meccanica.

L’energia meccanica di un sistema può essere modificata solo mediante il lavoro di forze non conservative.

Quali sono le forze non conservative?

Oltre alle forze di attrito (radente o viscoso), resistenza del mezzo si considerano forze non conservative anche le “forze applicate” (muscolare, motore ...)

Energia potenziale con forze non conservative. Energia potenziale con forze non conservative.

Una sfera è inizialmente in quiete, appesa ad un filo di lunghezza l. Poi è posta in rotazione come in figura (pendolo conico). Che lavoro è stato fatto per portarla in questo stato?

ovvero, che lavoro deve fare una forza esterna Fper portare un sistema dallo stato A allo stato B?

Se la forza F si considera non conservativa:

PKMF EEEW ∆+∆=∆=

θ

Il lavoro è pari alla variazione di energia meccanica.

Energia potenziale e forze esterne. Una diversa definizione. Energia potenziale e forze esterne. Una diversa definizione.

h

Una palla è sollevata e posta su uno scaffale ad altezza h rispetto alla posizione iniziale.Che lavoro è stato fatto per sollevarla?

in questo caso

0=∆= KTOT EW

Se la forza F si considera non conservativa: PKMF EEEW ∆+∆=∆=

FP WE =∆

la variazione di energia potenziale è pari la lavoro compiuto da una forza esterna contro le forze del campoconservativo (s’intende il lavoro minimo necessario per effettuare lo spostamento)

dzFdyFdxFddWdE ZYXP −−−=⋅−=−= rFrr

se si considera uno spostamento lungo x: dy = dz = 0x

EFdxFdE P

XXP ∂∂−=⇒−=

( ) PP

PZ

PY

PX

EEgradF

z

EF

y

EF

x

EF

∇−=−=

∂∂−=

∂∂−=

∂∂−=

rr

Si è visto come si ricava l’energia potenziale data una forza conservativa. Problema inverso: ricavare la forza (conservativa) data l’energia potenziale

In un caso 1D dx

dEF P

X −=

Es. forza elastica ….

La forza (conservativa) è sempre diretta nel verso di EP decrescente.

Forze conservative ed Energia potenzialeForze conservative ed Energia potenziale

Grafico dellGrafico dell’’ Energia Potenziale (caso 1D)Energia Potenziale (caso 1D)

punti di inversionepunti di inversione

U

x

EM

posizioni di equilibrioposizioni di equilibrio

x

EMU

max minmin