III

CONGRESO DE JÓVENES INVESTIGADORES

de laReal Sociedad Matemática Española

Universidad de Murcia, 7-11 Septiembre, 2015

CONFERENCIASPLENARIAS

Financiado por:

Fundación Séneca-Agencia de Ciencia y Tecnología de la Región de Murcia, 19625/OC/14, concargo al Programa “Jiménez de la Espada de Movilidad, Cooperación e Internacionalización”;

plan propio de investigación de la Universidad de Murcia; Departamento de Matemática Aplicadade la Universidad Politécnica de Cartagena.

Superficies mínimas y Análisis Complejo

Antonio Alarcón1

Una superficie en el espacio Euclídeo tridimensionalR3 se dicemínimasi es localmente área-minimizante,en el sentido de que todo punto de la superficie admite un entorno cuyo área es la menor de entre las detodas las superficies con el mismo borde. Aunque el origen de las superficies mínimas es físico, ya quepueden realizarse localmente como pompas de jabón, estas superficies se encuentran en la intersección devarias ramas de la matemática. En particular, el Análisis Complejo en una y varias variables juega un papelfundamental en la teoría. En esta charla discutiremos la influencia del Análisis Complejo en la Teoría deSuperficies Mínimas.

1Departamento de Geometría y TopologíaUniversidad de GranadaFacultad de Ciencias, Avenida de Fuentenueva s/n, 18071 Granadaalarcon@ugr.es

Projection Algorithms for Convex and Nonconvex FeasibilityProblems

Francisco J. Aragón Artacho1, Jonathan M. Borwein2, Matthew K. Tam 2

A feasibility problemrequests solution to the problem

Find x ∈N⋂

i=1

Ci

whereC1, C2, . . . , CN are finitely many closed sets lying in a Hilbert spaceH. In this talk we consideriterative methods based on the non-expansive properties of the metricprojectionoperator

PC(x) := argminc∈C‖x− c‖

or reflectionoperatorRC(x) := 2PC(x) − x on a closed convex setC ⊂ H. At each step, these methodsutilize the nearest point projection onto each of the individual constraint sets. The philosophy here is thatit is simpler to consider each constraint separately, rather than the intersection directly. These methods areespecially useful when the number of sets involved is large as the methods are fairly easy to parallelize.

Applied to closed convex sets, the behavior of projection algorithms is quite well understood. Moreover,their simplicity and ease of implementation have ensured continued popularity for successful applicationsin a variety of nonconvex optimization and reconstruction problems. This popularity is despite the absenceof sufficient theoretical justification.

Particularly, in recent times, the Douglas–Rachford algorithm has been empirically observed to effecti-vely solve a variety of nonconvexfeasibility problems, including those of a combinatorial nature. In this talkwe show global convergence behavior of the algorithm for solving various nonconvex feasibility problems.We also discuss recent successful applications of the method to a variety ofmatrix reconstruction problems,both convex and nonconvex. In these problems one aims to reconstruct a matrix, with known properties,from a subset of its entries.

Referencias

[1] F.J. Aragón Artacho, J.M. Borwein, M.K. Tam: Douglas–Rachford feasibility methods for matrix com-pletion problems,ANZIAM J.55(4) (2014), 299–326.

[2] F.J. Aragón Artacho, J.M. Borwein: Global convergence of a non-convex Douglas–Rachford iteration,J. Glob. Optim.57(3) (2013), 753–769.

[3] F.J. Aragón Artacho, J.M. Borwein, M.K. Tam: Recent results on Douglas–Rachford methods for com-binatorial optimization problem,J. Optim. Theory. Appl.163(1) (2014), 1–30.

[4] H.H. Bauschke, P.L. Combettes:Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces.Springer, New York, 2011.

[5] J.M. Borwein, M.K. Tam: Reflection methods for inverse problems with application to protein confor-mation determination,Generalized Nash Equilibrium Problems, Bilevel programming and MPEC.NewDelhi, 2012.

[6] V. Elser, I. Rankenburg, P. Thibault: Searching with iterated maps,Proc. Natl. Acad. Sci. USA104(2)(2007), 418–423.

[7] J. Douglas, H.H. Rachford: On the numerical solution of heat conduction problems in two and threespace variables,Trans. Am. Math. Soc.82(2) (1956), 421–439.

[8] P.L. Lions, B. Mercier: Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators,SIAM J. Numer.Anal.16(6) (1979), 964–979.

1Dpto. Estadística e Investigación OperativaUniversidad de Alicante03690 San Vicente del Raspeig, Alicantefrancisco.aragon@ua.es

2CARMA Centre, University of NewcastleUniversity Drive, Callaghan NSW 2308, Australiajon.borwein@gmail.com , matthew.tam@uon.edu.au

Entropy methods in kinetic theory: the interplay of physics andfunctional inequalities

José A. Cañizo1

Lyapunov functionals are a basic tool to study the asymptotic behaviour of ordinary differential equa-tions, but in general they are difficult to find. Kinetic equations are usually integro-differential partial diffe-rential equations derived from the microscopic behaviour of particles, and they model physical systems atseveral scales, including fluids, gases, aggregates, and biological populations in more recent applications.Entropy is a central concept in many of these equations, and it provides a Lyapunov functional that hasbeen used to study the asymptotic behaviour of many of these PDE. Several deep functional inequalitiesare involved in this, and there have been many recent results linking them to the behaviour of this kind ofequations. We will give an overview of the topic and comment on some of these advances.

1Departamento de Matemática AplicadaUniversidad de GranadaFacultad de Ciencias, Avda. Fuentenueva S/N, 18071 Granadacanizo@ugr.es

The Nash problem for arc spaces

Roi Docampo Álvarez1

Algebraic varieties (zeroes of polynomial equations) often present singularities: points around whichthe variety fails to be a manifold, and where the usual techniques of calculus encounter difficulties. Theproblem of understanding singularities can be traced to the very beginning of algebraic geometry, and wenow have at our disposal many tools for their study. Among these, one of the most successful is what isknown as resolution of singularities [1], a process that transforms (often in an algorithmic way) any varietyinto a smooth one, using a sequence of simple modifications.

In the 60’s Nash [2] proposed a novel approach to the study of singularities: the arc space. These spacesare natural higher-order analogs of tangent spaces; they parametrize germs of curves mapping into thevariety. Just as for tangent spaces, arc spaces are easy to understand in the smooth case, but Nash pointedout that their geometric structure becomes very rich in the presence of singularities.

Roughly speaking, the Nash problem explores the connection between the topology of the arc spaceand the process of resolution of singularities. The mere existence of such a connection has sparked in recentyears a high volume of activity in singularity theory, with connections to many other areas, most notablybirational geometry and the minimal model program.

The objective of this talk is to give an overview of the Nash problem. I will give a precise descriptionof the problem, and discuss the most recent developments, including the proof of Fernández de Bobadillaand Pe Pereira [3] of the Nash conjecture in dimension two, and our extension of their result to arbitrarydimension [4].

Referencias

[1] Hironaka, H.: Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II,Ann. of Math. (2)79 (1964), 109–203, 205–326.

[2] Nash, J.F. Jr.: Arc structure of singularities,Duke Math. J.81 (1) (1995), 31–38.

[3] Fernández de Bobadilla, J., Pe Pereira, M.: The Nash problem for surfaces,Ann. of Math. (2)176 (3)(2012), 2003–2029.

[4] de Fernex, T., Docampo, R.: Terminal valuations and the Nash problem,Invent. Math.(2015) DOI:10.1007/s00222-015-0597-5

1Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)Calle Nicolás Cabrera, 13-15 Campus de Cantoblanco, UAM28049 Madrid, Spainroi.docampo@icmat.es

Mathematical Models in Neuroscience

Gemma Huguet1

The study of the brain has attracted the attention of scientists from different disciplines; amongst them,mathematics have sought tools and mathematical models for the study of this body. Mathematical neu-roscience aims at understanding the fundamental mechanisms responsible for neuronal activity patternsobserved experimentally. Modelling is important to interpret experimental data, test hypothesis, make pre-dictions, and suggest new experiments. Mathematical neuroscience seeks models that must be both complexenough so that they include the relevant biological processes and simple enough so that they can be analy-sed, either numerically or computationally.

In this talk, I will review some widely-studied mathematical models describing firing dynamics in neuro-nal systems, both at the single cell and network level, including the most relevant techniques from dynamicalsystems used to study them. Finally, I will present some examples of applications of neuronal modelling toperceptual multistability and spreading depolarization.

1Department de Matemàtica Aplicada IUniversidad Politècnica de CatalunyaAvda Diagonal, 64708028 Barcelonagemma.huguet@upc.edu

Laplace transform methods for evolution problems/Metodosnuméricos para problemas de evolución basados en la transformada

de Laplace

María López-Fernández1

Efficient numerical methods for the time integration of many evolution equations can be designed byworking at some point in the Laplace domain. The inverse Laplace transform may provide a representationof the exact solution as a contour integral in the complex plane which can be very favourable for practicalcomputations. Starting from linear parabolic problems [2, 3, 1] and considering later more complicatedequations, such as problems with fractional derivatives or exterior wave problems [4, 5], I will present afew successful methods designed in the Laplace domain. Essential ingredients in this context are quadra-ture rules based on conformal transformation of the complex plane and numerical methods for ordinarydifferential equations. Fine error estimates are necessary in order to control all parameters involved in theapproximation procedure and achieve competitive rates of convergence in practice. I will show the mainerror estimates, discuss implementation issues and present some numerical experiments.

Referencias

[1] M. López-Fernández, C. Lubich, C. Palencia, and A. Schädle: Fast Runge-Kutta approximation ofinhomogeneous parabolic equations,Numer. Math., 102(2) (2005), 277–291.

[2] M. López-Fernández and C. Palencia: On the numerical inversion of the Laplace transform of certainholomorphic mappings,Appl. Numer. Math., 51 (2-3) (2004), 289–303.

[3] M. López-Fernández, C. Palencia, and A. Schädle: A spectral order method for inverting sectorialLaplace transforms,SIAM J. Numer. Anal., 44 (3) (2006), 1332–1350.

[4] M. López-Fernández and S. Sauter: Generalized convolution quadrature with variable time stepping,IMA J. Numer. Anal., 33 (4) (2013), 1156–1175.

[5] M. López-Fernández and S. Sauter: Generalized convolution quadrature with variable time stepping.Part II: algorithm and numerical results,Appl. Numer. Math, 94 (2015), 88–105.

1Division of MathematicsGran Sasso Science Institute GSSIViale Franceso Crispi, 7. 67100 L’Aquila. Italiamaria.lopez@gssi.infn.it

Criptografía basada en códigos correctores: alternativa a los clásicoscriptosistemas de clave pública

Irene Márquez-Corbella1

En un mundo en que la utilización de datos electrónicos es imprescindible tanto en la vida personalcomo en la institucional, el uso de la criptografía ya no es opcional: es imperativo. Sin embargo, se estáconvirtiendo en una tarea ardua encontrar primitivas criptográficas eficientes que sobrevivan a ataques crip-toanalíticos. Por ejemplo, la seguridad de casi todos los criptosistemas de clave pública -aquellos que norequieren un intercambio inicial de secretos- se basa hoy en día sólo en dos problemas: la factorización yel logarítmo discreto. Por lo tanto, avances en estos problemas o la construcción de ordenadores cuánticoscambiarán de forma drástica el panorama actual.

La criptografía basada en códigos correctores junto con la criptografía basada en retículos (en inglés:lattice based cryptography), la criptografía multivariable o la criptografía basada en funciones hash sonlas principales técnicas de las que disponemos para resistir a ataques por ordenador cuántico. McEliece en1978 [3] propone el primer criptosistema basado en la teoría de códigos correctores, definiendo uno de lossistemas de cifrado más eficientes que existen y que, además, resiste (hasta el momento) cualquier tipo decriptoanálisis.

El principio de estos criptosistemas se basa en la siguiente función“trapdoor one-way”: es fácil y rápidocodificar mensajes utilizando transformaciones lineales; pero el problema general de decodificación se hademostrado que es un problema NP-completo para la métrica de Hamming. La “puerta trampa” consiste enque existen ciertas familias de códigos que poseen algoritmos específicos eficientes de decodificación. Ensu artículo original, McEliece propone utilizar códigos Goppa binarios, y esta opción sigue siendo segura.Pero otras familias de códigos han sido propuestas en un intento de reducir el tamaño de las claves, porejemplo (y esta lista está lejos de ser exhaustiva): los códigos Reed-Solomon Generalizados [6], los códigosReed-Muller binarios [8] o los códigos geométricos [2]. Todas estas propuestas han sido atacadas en tiempopolinomial o sub-exponencial [7, 4, 1]. La principal desventaja de estos criptosistemas es el gran tamaño desus claves. Sin embargo, se han realizado grandes avances en este área (reduciendo la longitud de la clavepero manteniendo el mismo nivel de seguridad). Los nuevos resultados admiten claves muy compactas [5](alrededor de 5000 bits para alcanzar 80 bits de seguridad), lo que permite comparar estos criptosistemascon el clásico criptosistema RSA.

En esta charla presentaremos con detalle el estado de la criptografía basada en códigos correctores y losprogresos que ha hecho la comunidad con el fin de estar preparada para el proceso de estandarización.

Referencias

[1] A. Couvreur and I. Márquez-Corbella and R. Pellikaan. A Polynomial Time Attack against AlgebraicGeometry Code Based Public Key Cryptosystems. EnIEEE International Symposium on InformationTheory (ISIT), 1446–1450. Honolulu, June 2014.

[2] H. Janwa and O. Moreno. McEliece public cryptosystem using algebraic-geometric codes.Des. CodesCryptogr.8 (1996) 293–307.

[3] R. J. McEliece. A public-key cryptosystem based on algebraic coding theory.DSN Progress Report42-44, (1978) 114–116.

[4] L. Minder and A. Shokrollahi. Cryptanalysis of the Sidelnikov cryptosystem. EnAdvances in Crypto-logy - EUROCRYPT 2007, Lecture Notes in Computer Science, vol. 4515 (2007) 347-360.

[5] R. Misoczki, J.P. Tillich, N. Sendrier and P. Barreto. MDPC-McEliece: New McEliece variants fromModerate Density Parity-Check codes EnIEEE International Symposium on Information Theory (ISIT),2069-2073. Istanbul, July 2013.

[6] H. Niederreiter. Knapsack-type cryptosystems and algebraic coding theory.Problems of Control andInformation Theory15 (2) (1986) 159–166.

[7] V. M. Sidelnikov and S. O. Shestakov. On the insecurity of cryptosystems based on generalized Reed-Solomon codes.Discrete Math. Appl.2 (1992) 439–444.

[8] V.M. Sidelnikov. A public-key cryptosytem based on Reed-Muller codes.Discrete Math. Appl.4 (3)(1994) 191-207.

1Project-team SECRET, INRIA Rocquencourt78153 Le Chesnay Cedex, Franceirene.marquez-corbella@inria.fr

Canales Cuánticos: De la teleportación a los espaciosLp noconmutativos

Carlos Palazuelos1, Marius Junge2

El objetivo fundamental de esta charla es mostrar algunas conexiones entre la teoría de informacióncuántica y el análisis funcional. En concreto, empezaremos explicando algunos conceptos básicos sobrecanales cuánticos y el cálculo de sus capacidades y a continuación mostraremos cómo ciertos problemas dela teoría de álgebras de operadores aparecen de forma natural en este contexto.

1Instituto de Ciencias Matemáticas, Departamento de Análisis MatemáticoUniversidad Complutense de MadridPlaza de Ciencias s/n, 28040, Madrid, Españacarlospalazuelos@mat.ucm.es

2Department of MathematicsUniversity of Illinois at Urbana-Champaign1409 W. Green Street, Urbana, Illinois 61801-2975junge@math.uiuc.edu

¿Qué compactos deR3 pueden ser atractores?Jaime Jorge Sánchez Gabites1

En el estudio de los sistemas dinámicos surgen frecuentemente atractores “extraños”, así llamados por-que tienen una estructura muy complicada. Para un topólogo es natural preguntarse si puede decirse algomás preciso acerca de esa “estructura complicada”, y cobra así interés el siguienteproblema de realización:dado un compactoK ⊂ R3, ¿existe un flujo o un homeomorfismo deR3 que tiene aK por atractor?En estacharla analizaremos varios ejemplos de compactosK para los que la respuesta es negativa (entre ellos algu-nos objetos clásicos de la topología geométrica, como las esferas de Alexander y Antoine), explicando encada caso por qué es así. Nuestro objetivo es dar una visión general del problema, de modo que evitaremosentrar en detalles técnicos y presentaremos las definiciones necesarias a lo largo de la charla.

Parte de los resultados que se expondrán son trabajo conjunto con Héctor Barge Yáñez.

1Departmento de Análisis Económico, Facultad de Ciencias Económicas y EmpresarialesUniversidad Autónoma de MadridFrancisco Tomás y Valiente 5, Campus de Cantoblanco, 28031 MadridJaimeJ.Sanchez@uam.es

Geometría tropical: Hipersuperficies singulares tropicalesLuis Felipe Tabera Alonso1

En esta charla introduciremos las nociones básicas de la geometría tropical. Dado un conjunto alge-braicoX, podemos asociarle un complejo poliédrico (variedad tropical)T (X) [2]. Bajo esta correspon-dencia, diversos problemas planteados paraX, típicamente de naturaleza combinatoria, pueden resolverseconociendo solamente su variedad tropicalT (X). Formalmente, dada una variedad algebraicaX sobre uncuerpok, la variedad tropicalT (X) es la imagen deX a través de una valoración dek. Veremos, a travésde ejemplos sencillos, qué puede esperarse y qué no de las variedades tropicales.

Uno de los resultados más celebrados en geometría tropical y enumerativa es elTeorema de corres-pondencia de Mikhalkin([3] que permite usar curvas tropicales para contar el número de curvas complejasde género y grado prefijados que pasan por una configuración genérica de puntos. Para realizar este estu-dio, se necesita contar con una noción de punto singular tropical. Daremos una definición de singularidady condiciones para que una hipersuperficie tropical sea singular en términos delálgebra tropical([1]) yestudiaremos la combinatoria asociada a la variedad discriminante que parametriza las hipersuperficies sin-gulares de grado fijado. En particular, mostraremos qué ocurre cuando la característica del cuerpo basekes positiva, estamos trabajando sobre un cuerpop-ádico o qué podemos decir cuando estamos trabajandosobre los reales. También veremos problemas abiertos para casos tan sencillos como estudiar el espacio detodas las curvas planas con dos puntos singulares.

Referencias

[1] A. Dickenstein, L.F. Tabera: Singular Tropical HypersurfacesDisc. Comput. Geom.47(2012), 430–453

[2] D. Maclagan, B. Sturmfels:Introduction to Tropical GeometryGraduate Studies in Mathematics, Vol161, AMS, Providence, RI, 2015.

[3] G. Mikhalkin: Enumerative tropical algebraic geometry inR2 J. Amer. Math. Soc.18 (2005), 313-377

1Departamento de Matemáticas, Estadística y ComputaciónUniversidad de CantabriaAv. Los Castros s/n, 39005 Santandertaberalf@unican.es