condicoes de contorno
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138
6. Transferncia de Massa
6.1 Analogia entre Transferncia de Massa e Transferncia de Calor
Neste captulo considera-se a transferncia de massa, ou transporte de alguma
espcie qumica atravs de um meio em que a espcie atua como um contaminante. Os
processos de transferncia de massa so abundantes na natureza e em muitos processos.
Um exemplo bem familiar a secagem de uma superfcie molhada exposta ao vento. A
lamina de ar que faz contato com a superfcie da camada de gua se torna saturada de
vapor dgua. O vapor a espcie de interesse na mistura de gs ideal representada por
ar mido.
A concentrao de vapor dgua no prximo a superfcie, 0,w , geralmente diferente da concentrao na corrente livre, ,w . A diferena de concentrao
0,0, > ww faz com mais vapor deixe a superfcie de camada de gua. Este processo de evaporao pode ser aumentado a medida que a velocidade longitudinal da
corrente livre varre a superfcie molhada, como ilustrado na Figura 6.1
Figura 5.1 Camada limite de concentrao prximo a uma superfcie molhada varrida
por ar.
Mesmo que no ocorra escoamento, pode ocorrer transferncia de massa por
difuso como ilustrado na Figura 6.2. Um vaso cilndrico de paredes impermeveis
contm um lquido i. O vapor i difundir para cima na coluna de ar estacionria. Ar
mido de gua menos denso que ar seco. Se a coluna larga o bastante, ar mido sobe
-
139
por conveco natural atravs do centro da coluna, enquanto ar seco toma seu lugar
descendo ao das paredes.
Figura 6.2 Difuso vertical de vapor i atravs de uma coluna unidimensional de ar
acima de um lquido i.
O processo de transferncia de massa por difuso (meios estacionrios)
anlogo ao processo de conduo ou difuso de energia e a conveco tem analogia com
a conveco trmica. O gradiente de concentrao 0=
y
w
y
tem comportamento similar
a 0=
yy
T .
6.2 A Conservao das Espcies Qumicas
6.2.1 Velocidade das Espcies Versus Velocidade Mdia
Se ),,( tyxi a concentrao de espcies qumicas i num meio bidimensional, ento a densidade do meio, , a soma das densidades individuais:
-
140
=
=N
ii
1
(6.1)
Pode-se demonstrar atravs de balano de massa que
( ) ( )i
iiiii my
vx
ut
=+
+ (6.2)
Na qual ii vu , so as velocidades das espcies i relativas ao volume de controle e im resulta de reaes qumicas. Se no h reaes qumicas 0=im , e mesmo no caso de
ocorrer reaes qumicas a soma de todas as criaes de espcies se anula 01
==
N
iim .
Aplicando o operador somatrio a Eq. (6.2) resulta
0111
=
+
+
===
N
iii
N
iii
N
ii vy
uxt
(6.3)
ou pelo uso da Eq. (6.1) obtm-se a conservao da massa ou equao de continuidade
( ) ( ) 0=+
+
yv
xu
t (6.4)
na qual a densidade do meio fluido composto pelas espcies i e vu, so os componentes de velocidade do meio fluido relativas ao mesmo volume de controle onde
esto as espcies i. Por comparao das Eqs. (6.3) e (6.4) pode-se concluir que
= =
=N
i
N
iiiii vuu
1 1
1,1 (6.5)
A velocidade mdia difere das velocidades das espcies como ser ilustrado na
Figura 6.3. No instante 0=t , uma coluna vertical de ar seco a colocada sob uma coluna de ar saturado com vapor dgua v . Ao longo do tempo, vapor dgua difunde
-
141
para baixo dentro da coluna de mistura (ar-vapor) relativamente seca, enquanto ar seco
difunde para cima dentro da mistura mida. Em cada seo da coluna, a velocidade de
cada espcie finita, uma positiva ( )0>av e a outra negativa ( )0
-
142
( )vvj iiiy = , (6.7)
e usando a Eq. (6.2) resulta
( ) ( )i
iyixiii myj
xj
yv
xu
t+
=
++
,, (6.8)
ou na forma no conservativa
( ) ( )i
iyixiii myj
xj
yv
xu
t+
=
++
,, (6.9)
6.2.3 Lei de Fick
Numa mistura binria (espcie 1 e espcie2) pode-se seguir o que foi proposto
por Fick:
xDjx
= 1121, (6.10)
yDjy
= 1121, (6.11)
nas quais a constante de proporcionalidade 12D difusividade de massa da espcie 1 na
espcie 2 ou coeficiente de difuso de 1 em 2. A dimenso de 12D a mesma de
viscosidade cinemtica (difuso de quantidade de movimento) e difusividade trmica
(difuso de calor) m2/s. A equao de concentrao para DD =12 , ou seja, difusividade constante, ser da forma:
( ) ( )i
iiiii myx
Dy
vx
ut
+
+
=+
+
2
2
2
2 (6.12)
-
143
Compare a Eq. (6.13) com a equao de energia:
( ) ( )pc
qyT
xT
yTv
xTu
tT
+
+
=+
+
2
2
2
2
(6.13)
|As equaes (6.12) e (6.13) mostra a analogia entre transferncia de massa e
transferncia de calor.
6.2.4 Concentrao Molar e Fluxo Molar
No estudo de misturas e solues, define-se frao molar e frao em massa. As
seguintes relaes so definidas, em termodinmica, para uma mistura de N
componentes i
nn
x ii = (6.14)
=
=N
iix
1
1 (6.15)
Vmi
i = (6.16)
Mm
n ii = (6.17)
Mmn = (6.18)
i
N
iiMxM
==
1
(6.19)
-
144
ii
i MMx
= (6.20)
Num meio estacionrio 3D:
+
+=
2
2
2
2
2
2
zx
yx
xx
Dtx iiii (6.21)
A concentrao molar definida como
Vn
C ii = (6.22)
Da definio de concentrao molar resulta
ii xMC = (6.23)
iii CM= (6.24)
Pode-se definir tambm o fluxo por difuso molar
xC
Dj iix =, (6.25)
As relaes definidas acima se aplicam para qualquer mistura unifsica gasosa, lquida
ou slida. No caso de mistura de gases ideais tem-se que a frao molar e proporcional a
presso parcial
ppx ii = (6.26)
-
145
6.3 Difuso atravs de um Meio Estacionrio
6.3.1 Difuso em Regime Permanente
A classe mais simples de transferncia de massa por difuso aquela em que a
mistura estacionria e j tenha se passado tempo suficiente desde a imposio de
condies de contorno, de modo que, a difuso da espcie seja independente do tempo.
Considere o caso de um meio unidimensional de espessura L como mostrado no
lado esquerdo da Figura 6.4
(a)
(b)
Figura 6.4 Difuso unidirecional permanente atravs de um meio estacionrio; (a)
espessura constante, (b) anel formado entre cilindros ou esferas concntricos
Considerando a geometria do lado esquerdo da Figura 6.4 a Eq. (6.21) se reduz
a
022
=dyxd i (6.27)
com as condies de contorno
Ly em
0y em0====
Li
i
xxxx
(6.28)
A soluo da Eq. (6.27) com as condies de contorno (6.28) da forma:
-
146
( ) 00 xLyxxx Li += (6.29)
A partir de (6.29) pode-se calcular os fluxos de difuso molar e em massa como
LCCD
Lxx
MD
dydx
MD
dydCDj
L
L
iiiy
=
=
==
0
0
,
(6.30)
LD
Lxx
MMD
dydx
MMD
dyDDj
L
Li
iiiiy
=
=
==
0
0
,
(6.31)
No caso de uma regio anelar entre dois cilindros concntricos a equao de
frao molar no meio ser
( ) ( )( )00
00 /ln/lnrrrr
xxxxL
Li = (6.32)
Os fluxos molar e de massa por unidade de comprimento sero:
- fluxo molar
( )( ) ( )LL
rr
irriri
CCrr
D
drdCDrjrn
=
===
=
00
0,0
/ln2
220
0
(6.33)
- fluxo em massa
-
147
( )
( ) ( )LLrr
irriri
rrD
drdDrjrm
=
===
=
00
0,0
/ln2
220
0
(6.34)
A relao entre os fluxos : iii nMm = .
No caso de duas esferas concntricas tem-se
+= LL
Li rrrr
xxxx 1111
0
00 (6.35)
Os fluxos molar e de massa por unidade de comprimento sero
- fluxo molar
( )( )L
L
rr
irriri
CCrrD
drdCDrjrn
=
==
==
0110
20,
20
4
440
0
(6.36)
- fluxo em massa
( )( )L
L
rr
irriri
rrD
drdDrjrm
=
==
==
0110
20,
20
4
440
0
(6.37)
6.3.2 Difusividades de Massa
Para calcular a transferncia de massa, deve-se primeiro identificar valores de
dois itens: (6.29)-(6.37):
(a) a difusividade de massa da espcie de interesse, D
(b) a concentrao das espcies em duas superfcies ou contornos
-
148
No caso de uma mistura gasosa binria a difusividade ou coeficiente de difuso
independe do sentido de difuso se de 1 em 2 ou de 2 em 1. Em outras palavras
2112 DDD == (6.38)
Demonstrao:
A difuso da espcie 1 na 2 ser
dydx
MDjy 1121,
= (6.39)
e a difuso da espcie 2 em 1 ser
dydx
MDjy 2212,
= (6.40)
Somando as Eqs. (6.39) e (6.40)
0 2,1, =+ yy jj ; em qual quer plano ctey = onde 121 =+ xx (6.41)
A influncia da temperatura e presso sobre a difusividade pode ser levada em
considerao em relaes do tipo:
( )( ) p
pTT
pTDpTD 0
75,1
000 ,,
(6.42)
No caso de misturas lquidas, os componentes da mistura so chamados de soluto e
solvente (espcie 2). A difusividade funo da temperatura na forma:
( )( ) )(
)(
2
02
00 TT
TT
TDTD
(6.43)
-
149
6.3.3 Condies de Contorno
Os quatro casos principais de condies de contorno so ilustrados na Figura
6.5.
Figura 6.5. Possveis contornos de meios difusivos e maneiras de especificar condies
de contorno.
O caso Fig. 6.5(a) uma ilustrao de uma interface entre uma mistura de gases
ideais e fase lquida de um de seus componentes. Se a espcie 1 uma substncia pura
na fase lquida ento 1 tambm um componente na mistura gasosa acima. A presso
de vapor da espcie 1 na interface do lado do gs igual a presso de saturao na
temperatura da interface lquida:
)(,11 Tpp sat= (6.44)
O caso Fig. 6.5(b) uma ilustrao de uma interface entre um meio lquido e
uma mistura de gasosa. A espcie 1 difunde atravs do lquido e est presente como um
componente na mistura gasosa. A condio de contorno de interesse a frao molar da
espcie 1 do lado do lquido. A frao molar na fronteira Lx ser maior quanto maior a
quantidade da espcie 1 na mistura gasosa, ou seja quando a presso parcial 1p alta.
No caso de mistura diluda, na qual apenas pequenas quantidades de solvente so
-
150
encontradas no lquido, Lx e 1p esto relacionados atravs de uma proporcionalidade
conhecida como lei de Henry:
HpxL 1= (6.45)
Na qual H a constante de Henry que depende da temperatura e da substncia gasosa.
O caso da Fig. 6.5(c) ilustra uma mistura lquida binria em que o soluto a
espcie 1. Um exemplo deste tipo de mistura pode ser um bloco de laCN acima da
interface de gua salgada ( )OHeCN la 2 . A concentrao de laCN do lado lquido pode ser determinada por equaes termodinmicas e dados de solubilidade.
O caso da Fig. 6.5(d) ilustra uma interface entre um meio slido e um gs. A
espcie que difunde atravs do slido (espcie 1) tambm um componente na mistura
gasosa. Neste caso, a concentrao na fronteira dada por
1pSCL = (6.46)
na qual S o coeficiente de solubilidade da espcie 1 no slido.
Ex. 6.1 Difuso permanente, slido entre dois planos paralelos. Uma membrana de
borracha fina (neoprene) separa um volume de nitrognio gasoso a alta presso (5 bares)
de um volume de nitrognio gasoso a baixa presso (1 bar). A espessura da membrana
05 mm e a temperatura do sistema inteiro de 300 K. Calcule os fluxos molar e de
massa de nitrognio que difundem atravs da membrana.
6.3.4 Difuso Dependente do Tempo
Um processo de difuso transiente ilustrado na Figura 6.6. Inicialmente a
concentrao da espcie de interesse uniforme e igual a inC . No instante 0=t , a concentrao em 0=y mantida a 0C por contato com outro meio. Quando 0C maior que inC a espcie difunde para dentro do meio semi-infinito e forma uma camada
-
151
limite de concentrao, cuja espessura aumenta com o tempo. A equao governante do
problema :
tC
DyC
=
12
2
(6.47)
com as condies inicial e de contornos
0, == tCC in (6.48)
0CC = , em 0=y (6.49)
inCC , em y (6.50)
Figura 6.6 Camada limite de concentrao num meio semi-infinito com uma
concentrao diferente imposta na superfcie.
A soluo da Eq. (6.47) com a condio inicial (6.48) e condies de contornos
(6.49 e (6.50) da forma (fica como exerccio obter a soluo)
( )
=
2/1
0
0
2 tDyerf
CCCC
in
(6.51)
Na Eq. (6.51) erf denominada de funo erro definida como
-
152
( ) = x dmmxerf 0 22/1 exp2)( (6.52)
Com seguintes propriedades:
[ ] 2/10 2)(1)(0)0(
===
=xxerfdxderferf
(6.53)
No caso de uma parede plana, o tempo adimensional
tLD
2 (6.54)
e para cilindros ou esferas o tempo adimensional
trD
o2 (6.55)
Resultados grficos da Eq. (6.51) so apresentados na Figura 6.7. No caso em que a
abscissa na Fig. 6.7 for maior que 0,1, as correlaes aproximadas pode ser usadas:
Placa:
t
LD
CCCC
in
o22
0 4exp8 (6.56)
Cilindro:
405,2,exp4 122
1210
=
bt
rDb
bCCCC
oin
o (6.57)
-
153
Figura 6.7. Concentrao mdia no volume em corpos com concentrao constante
imposta no contorno.
Esfera:
t
rD
CCCC
oin
o2
22
0
exp4 (6.58)
Ex. 6.2: Difuso dependente do tempo de ar em gua. Uma camada fina de gua pura
colocada em contato com ar a presso atmosfrica e 20 oC. Ar comea a difundir para
dentro da gua. Deseja-se saber qual a frao molar de ar x a 1 mm para dentro da
interface gua-ar. Calcule o tempo para x atingir da frao molar doar na interface
0x , isto 2/0xx = . Calcule tambm o valor real da frao molar x no tempo.
-
154
6.4 Conveco
6.4.1 Conveco Forada em Escoamento de Camada Limite Laminar
A analogia entre transferncia de massa e transferncia de calor tambm pode
ser feita no caso de conveco. A Figura 6.8 ilustra uma camada limite de conveco no
caso de transferncia de massa
Figura 6.8 Transferncia de massa de uma superfcie plana para um escoamento em
camada limite por conveco forada laminar
O fluxo molar na superfcie definido como
0
=
=
yw y
CDj (6.59)
e o coeficiente de transferncia de massa por conveco para o escoamento externo
pode ser definido como
=
CCjh
w
wm
ou (6.60)
( )
=CCyCD
hw
ym
0/ (6.61)
A distribuio de concentrao no escoamento governada pela seguinte
equao:
-
155
2
2
yCD
yCv
xCu
=+
(6.62)
com as condies de contorno
wCC = em 0=y (6.63)
CC em 0y (6.64)
O campo de concentrao determinado da mesma maneira que no caso da
camada limite trmica. A Analogia entre transferncia de calor e de massa nos permite
fazer a seguinte equivalncia de variveis nas camada limite de temperatura (C.L.T) e
camada limite de concentrao (C.L.C):
DkjqDCTCTCT
ww
ww
massade Transf. calor de Transf.
(6.65
No caso da camada limite trmica laminar tem-se a correlao para o coeficiente
de transferncia de calor:
==
5,0;332,0
2/13/1
xu
kx
TTq
Nuw
wx (6.66)
Por analogia pode-se escrever
=
5,0;332,0
2/13/1
Dxu
DDx
CCj
w
w
(6.67)
w no caso de transferncia de massa se define o nmero de Sherwood:
-
156
( ) ( ) ( )5,0;Re332,0 2/13/1 = cxcx SSSh (6.68)
na qual
( ) Dxh
DCCxjSh m
w
wx ==
(6.69)
e cS o nmero de Schmidt definido como
DSc
= (6.70)
A analogia entre transferncia de calor e massa leva a equivalncia:
cr
xx
SPShNu
massa de Transf. calor de Transf.
(6.71)
No caso de escoamentos com baixo nmero de Prandtl a correlao de clculo
do coeficiente de transferncia de calor :
( ) ( ) ( )5,0;Re564,0 2/13/1 ==
rxr
w
wx PPk
xTT
qNu (6.72)
De maneira anloga pode-se obter
( ) ( ) ( )5,0;Re564,0 2/13/1 == cxcww
x SSDx
CCjSh (6.73)
O coeficiente de transferncia de massa pode ser calculado como
= L mm dxhLh 01 (6.74)
-
157
e o nmero de Sherwwod baseado neste coeficiente definido na forma:
DLhhS mL = (6.75)
A partir das Eqs. (6.68) e (6.73) pode-se obter
( ) ( ) ( )5,0;Re664,0 2/13/1 = cLcL SShS (6.76)
( ) ( ) ( )5,0;Re128,1 2/13/1 = cLcL SShS (6.77)
O coeficiente de transferncia de massa baseado no fluxo de massa pode ser
avaliado como
= w
wm
jh (6.78)
Desta forma, as vazes molar e de massa podem ser calculadas como
( )= CCLhn wm (6.79)
( )= wmLhm (6.80)
( )= CCAhn wm (6.81)
( )= wm Ahm (6.82)
6.4.2 O Modelo de Superfcie Impermevel
O caso de parede impermevel, 0=v , s justificado quando a concentrao da espcie de interesse baixa, menor do que um valor crtico. O fluxo de massa pode ser
calculado como
-
158
( )
== 5,0;2/1
5,0;3/1Re 2/1
c
cncxww Sn
SnS
xDj (6.83)
No caso de camada limite com 0v ou linhas de corrente no paralela a 0=y ,
2/1Re xuv (6.84)
A transferncia de massa atravs da parede s pode desprezada quando o
movimento transversal induzido por ela pequeno relativo ao movimento natural
transversal (sempre presente) da camada limite, isto ,
vjw < ou (6.85)
nc
w S
-
159
turbulenta sobre uma superfcie plana, que no caso de transferncia de calor leva a
correlao:
( )
-
160
( ) ( )
DuCCDj
kuTTq
w
w
w
w
(6.93)
ento, pode-se definir o nmero de Stanton local para transferncia de massa como
=uh
St mm (6.94)
( )5,0;Re0296,0 5/13/2 = cxcm SSSt (6.95)
o que leva ao coeficiente mdio
( )5,0;Re037,0 5/13/2 = cLcm SStS (6.96)
Em outras configuraes tambm esto cilindros e esferas em escoamentos
cruzados, Figura 6.9. Para um cilindro em escoamento cruzado, o numero de Nusselt foi
definido como
Figura 6.9. Cilindro ou esfera em escoamento cruzado com transferncia de massa.
( )[ ]5/48/5
4/13/2
3/12/1
282000Re1
/4,01
Re62,03,0
+
++= D
r
rDD
P
PuN (6.97)
Se definir o nmero de Sherwood baseado no dimetro externo como
-
161
DDhhS mD 00 = (6.98)
obtm-se por analogia
( )[ ] ( )2,0Re;282000Re1/4,01 Re62,03,0 005/48/5
4/13/2
3/12/1
>
+
++= cDD
c
cDD S
S
ShS (6.99)
Para uma esfera em escoamento cruzado, a correlao para se calcular o
coeficiente de transferncia de massa da forma
( ) ( )44,03/22/1 106,7Re5,3;Re06,0Re4,020000
xShS DcDDD
-
162
Para escoamento laminar num tubo num tubo o nmero de Sherwwod baseado no
dimetro interno
DDh
hS imDi = (6.104) Na regio de escoamento completamente desenvolvido na velocidade e concentrao
66,3=DDh im (6.105)
Figura 6.10. Escoamento num tubo com transferncia de massa.
No caso de escoamento turbulento, o comprimento de desenvolvimento
estimado como
10i
c
DX
(6.106)
No caso do escoamento turbulento completamente desenvolvido, por analogia pode
calcular o nmero de Sherwood como
( )643/15/4 10Re102;5,0;Re023,0
-
163
superfcie no contm qualquer gua lquida sobre ela. A temperatura do sistema todo
25oC. Ar forado atravs do canal para secar a neblina na superfcie. A velocidade
mdia 0,5 m/s. Calcule o coeficiente de transferncia de massa entre a parede molhada
e a corrente de ar.
6.4.5 Conveco Natural
A transferncia de massa tambm pode ocorrer em conveco natural. Neste
caso a massa especfica da mistura pode ser definida como uma funo da temperatura,
presso e da massa especfica das espcies componentes da mistura, i , na forma:
( )ipT ,,= (6.108)
Assumindo uma expanso para a massa especfica da mistura na forma:
( ) "+
+ ,
,ii
pTi
ou
( )[ ]"+= ,1 iic (6.109)
na qual uma massa especfica de referncia da mistura correspondendo ,i e
pTic
,
1
=
(6.110)
o coeficiente de expanso de composio da mistura.
No caso de camada limite sobre uma superfcie plana vertical, Figura 6.11, as
equaes governantes so:
( )+=+ ,22
iicgxv
yvv
xvu (6.111)
-
164
2
2
xD
yv
xu iii
=+
(6.112)
Figura 6.11. Transferncia de massa em conveco natural numa superfcie plana
vertical
O nmero de Rayleigh pode ser definido por analogia na forma:
( ) ( )ym
iwicwy RaD
ygyTTgRa ,3
,,3
==
(6.113)
Analogia entre os processos de transferncia de calor e massa permite fazer a
seguinte equivalncia entre variveis
( ) ( )
yy
cr
ymy
iwicw
i
ShNuSPDkRaRaD
TTT
massa de Transf.calor de Trans.
,
,,
(6.114)
-
165
O nmero de Sherwood global pode ser calculado como
( )[ ] ( )12,12
27/816/9
6/1, 1010;
/492,01
387,0825,0