conceptos fundamentales en mecánica de solidos

Master en Integridad y Durabilidad de Materiales Componentes y Estructuras

1 Conceptos fundamentales en Mecánica de Solidos.

Parte I - Análisis de tensiones INTRODUCCIÓN

Las fuerzas externas aplicadas sobre cualquier elemento estructural generan en el mismo un estado de tensiones y deformaciones, que se utilizan como base para diseñar el componente. De forma clásica, el diseño del elemento se efectúa comparando las tensiones y deformaciones del punto más desfavorable con los valores resistentes del material (límite elástico, tensión de rotura, etc.). En consecuencia, los conceptos de tensión y deformación representan la base para el diseño de componentes estructurales. Saber operar con estados tensionales uniaxiales, biaxiales o triaxiales permitirá poder abordar problemas de diseño en cualquier situación que se nos pueda presentar. Otra de las bases fundamentales del diseño del componente es el conocimiento de las denominadas ecuaciones de comportamiento, o ecuaciones constitutivas, que relacionan las tensiones y las deformaciones a nivel local del material. Estas ecuaciones matemáticas están definidas por una serie de constantes numéricas, relacionadas con las propiedades del material, y permiten conocer (en cada punto del componente) el estado tensional ante un estado de deformaciones cualquiera y viceversa. Las constantes de los modelos matemáticos serán determinadas a partir de ensayos experimentales, estableciendo de esta forma la unión entre la realidad física del material y la abstracción matemática del modelo constitutivo. Desde un punto de vista práctico es conveniente comenzar con el estudio de las tensiones y de las deformaciones antes de abordar el correspondiente de las ecuaciones constitutivas de los diferentes materiales. Con ese objetivo se inicia en este primer Capítulo el estudio de las tensiones utilizando las ventajas que nos proporciona el álgebra tensorial. Repasaremos en primer lugar el concepto de tensión, y después nos centraremos en como determinar la tensión en una dirección cualquiera, como representar el estado tensional en distintos sistemas de referencia, como calcular las tensiones y direcciones principales y como se representan de forma gráfica los diferentes estados tensionales. Finalmente, describiremos algunos de los estados tensionales particulares que con mayor frecuencia se pueden presentar, como por ejemplo el estado de tensión plana.

2 Capítulo 1


CONCEPTO DE TENSIÓN

El concepto de tensión de un punto material es uno de los más utilizados en ingeniería. Para explicar su significado considérese un sólido en equilibrio estático sometido a la acción de un sistema de fuerzas cualquiera, tal y como se presenta esquemáticamente en la Figura 1.1 En ese caso se puede seccionar el sólido mediante un plano cualquiera , y sustituir una de las partes por el conjunto de fuerzas internas (tensiones) que mantienen unidas ambas partes del elemento.

Las pequeñas fuerzas f

que actúan sobre cada elemento de área S de dicha sección tendrán, en general, una dirección cualquiera que no tiene por que coincidir con la normal al plano de corte n

.

Figura 1-1. Fuerzas interiores en un sólido, y tensión en el entrono de un punto en un plano definido su vector normal n

.

Reduciendo las fracciones de área en las que hemos dividido la sección hasta obtener elementos diferenciales, cuya posición está definida por un punto, llegamos al concepto de tensión de un punto material (n)T

, según una determinada

dirección n

.

n

0

f fT lim

S

d

S dS

( )

(0.1)

El superíndice (n) se incluye para enfatizar que la tensión del punto es la correspondiente a la dirección normal n

de la superficie diferencial.

Por lo tanto, la tensión (de un punto según un plano) es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección de f

, y dimensiones de una fuerza por unidad de

f

S

n

(n)T

dS

Análisis de tensiones 3


superficie. Las unidades más comunes para expresar la tensión son 2/kg cm en el

sistema CGS y 2/N m Pa en el sistema internacional. Al ser el pascal una cantidad muy pequeña se utiliza el megapascal, 2/N mm MPa . El paso de unas a otras es 21 / 0.1kg cm MPa . La tensión del punto material (n)T

, en una superficie definida por su vector normal

n

, puede descomponerse en dos vectores, uno perpendicular a la superficie n

,

denominado tensión normal, y otro contenido en la misma n

, denominado tensión

tangencial (Figura 1-2). Entre ambas componentes se cumple la relación vectorial,

nn nT ( )

(0.2)

Figura 1-2. Tensiones del punto P en diferentes planos.

Debemos recordar que por condiciones de equilibrio de fuerzas, la fuerza de la parte eliminada es igual en magnitud y dirección, pero de sentido contrario, a la fuerza de reacción de la parte no eliminada. De la misma forma, el vector tensión en la dirección contraria a n

será nT( )

, es decir igual pero de sentido contrario al

vector nT( )

. En consecuencia se cumple que: n nT T ( ) ( )

(0.3)

Conviene subrayar que la tensión del punto P se define en un plano. Si este cambia, cambiará el vector tensión correspondiente, como aparece esquematizado en la misma Figura 2-1. De la misma forma la en el nuevo plano será distinto el valor de la resultante y del momento de las fuerzas exteriores. En definitiva, no es correcto hablar de tensión de un punto P sino de tensión de un punto P en un plano (definido por su dirección normal). ESTADO TENSIONAL DE UN PUNTO

Consideremos un sólido elástico (Figura 1-3) sometido a un sistema de fuerzas externas, y sea P un punto cualquiera del interior del sólido. Para definir el estado

n

(n)T

n

n

P´n

´n

P

n´

(n´)T

4 Capítulo 1


tensional del punto P, vamos a considerar tres planos perpendiculares entre sí, cuyas normales coincidan con los ejes coordenados 1 2 3, ,e e e

. En primer lugar,

seccionamos el sólido con los tres planos que pasan por el punto P, tal y como se presenta en la misma Figura 1-3. Cada vez que seccionamos con un plano debemos colocar el vector tensión correspondiente en el punto de análisis. Posteriormente seccionamos con otros tres planos paralelos, infinitamente próximos a los anteriores, de tal forma que limitemos un paralelepípedo diferencial que rodea al punto P, de dimensiones 1dx , 2dx , 3dx . En cada cara del elemento diferencial

existirá un vector tensión (i)T

, que nos define la tensión del punto en cada una de las tres direcciones del sistema de referencia utilizado.

Figura 1-3. Fuerzas interiores en un punto P de un sólido cualquiera.

2n

3n

1n

(2)T

(3)T

(2)T

(2)T(3)T

(1)T

(2)T

(3)T

(1)T

P

P

P

1

12

2

3

3



Figura 1-4. Estado tensional de un punto.

En ausencia de fuerzas en el interior del volumen diferencial (fuerzas de volumen como la gravedad o inercias) los vectores tensión en dos caras opuestas son iguales pero de sentido contrario, es decir, (i) (-i)T T

.

Cada uno de los vectores tensión (i)T

puede descomponerse en una tensión normal

a la superficie en la que actúa y otra componente tangencial contenida en el plano, la cual tendrá, a su vez, componentes dirigidas según los ejes del sistema de coordenadas. De esa forma el estado tensional queda definido por las tres componentes del vector tensión que actúa en cada uno de los planos de corte, como se ilustra en la Figura 1.4. Por lo tanto, en principio, el estado tensional vendrá definido por nueve componentes. Posteriormente veremos que se reducen a seis por condiciones de simetría. Los vectores (i)T

se pueden expresar en función de sus componentes:

(1)11 1 12 2 13 3

(2)21 1 22 2 23 3

(3)31 1 32 2 33 3

T

T

T

e e e

e e e

e e e

(0.4)

Dichas expresiones, en forma matricial, quedarán condensadas como,

(1)11 12 13 1

(2)21 22 23 2

(3)31 32 33 3

T

T

T

e

e

e

(0.5)

Expresando los vectores unitarios en función de sus componentes

22

2

3

1

22

33

322331

2112

11

13

6 Capítulo 1


(1)11 12 13 11 12 13

(2)21 22 23 21 22 23

(3)31 32 33 31 32 33

T 1 0 0

T 0 1 0

T 0 0 1

(0.6)

En definitiva podemos decir que las componentes de los tres vectores (i)T

definen el estado tensional del punto, conocido como el tensor de tensiones de Cauchy, σ ij .

En la notación indicial, el primer subíndice de ij se corresponde con la dirección

del vector normal a la cara en la que actúa la tensión. El segundo subíndice indica la dirección de dicha componente en el sistema de coordenadas. Una componente del tensor de tensiones se considera positiva cuando en las caras vistas del paralelepípedo esté dirigida según la dirección positiva de uno de los ejes coordenados. De otro modo se le asignará un valor negativo. En la Figura 1-4 se ha representado el criterio de signos considerado como positivo. Las componentes ij con i j ( 11 , 22 y 33 ) son las tensiones normales, y el

resto de componentes ij con i j son tensiones cortantes o tangenciales. En

notación ingenieril, las tensiones tangenciales suelen representarse mediante la letra , y suele designarse el sistema de referencia mediante los ejes , ,x y z , con lo que el tensor de tensiones puede encontrarse escrito de la siguiente forma:

σx xy xz

yx y yz

zx zy z

(0.7)

Se ha comentado que el tensor de tensiones de Cauchy σ define el estado tensional del punto, porque como se verá a continuación a partir de este tensor es posible determinar la tensión del punto en cualquier otra dirección del espacio. CONDICIONES DE EQUILIBRIO TENSIONAL

Al igual que cualquier pieza o porción de la misma, el elemento diferencial que se ha utilizado para definir el estado tensional de un punto debe encontrarse en equilibrio (estático y dinámico), tanto de fuerzas como de momentos respecto de los ejes coordenados.

Equilibrio de fuerzas

Supongamos que, en el caso de carga más general, existen en el componente una

serie de fuerzas de volumen b

(donde 3(kg/cm ) es la densidad y b(N/kg)

son



las fuerzas por unidad de masa) y que como consecuencia de las fuerzas actuantes, el elemento está sometido a una aceleración de valor a

. En la Figura 1-5 se ha

representado únicamente las componentes, de la tensión y de las fuerzas de volumen, en la dirección 2 para mayor claridad. Debido a la existencia de fuerzas internas las tensiones en una cara no son idénticas a las tensiones en la cara opuesta, sino que existe una variación infinitesimal de dicha tensión, ( / )d x dx . Según la segunda ley de Newton, el equilibrio de fuerzas del elemento diferencial es igual al producto de su masa por su aceleración. Vamos a calcular el equilibrio de fuerzas en la dirección 2. La fuerza en cada cara será igual al valor de la tensión por el área en la que actúa. Por ejemplo, en el plano 1-3 la fuerza resultante (en la dirección 2) será 22 1 3dx dx ,

y en su cara opuesta, donde actúa una tensión de valor 22

222 2x dx , la fuerza

resultante será 22

222 2 1 3x dx dx dx . De la misma forma se resolvería la resultante

en la dirección 2 del resto de caras. Además de las tensiones tenemos que considerar las fuerzas por unidad de

volumen b

. La componente de dicha fuerza b

en la dirección 2 será

2 1 2 3( )b dx dx dx . Finalmente, la componente de la aceleración en la dirección 2 es

2a , que multiplicado por la masa del elemento diferencial 1 2 3dx dx dx proporciona

la fuerza resultante en la dirección 2.

Figura 1-5. Equilibrio de fuerzas en la dirección 2. Teniendo en cuenta todas las consideraciones anteriores, la suma de fuerzas en la dirección 2, 2 aF m

, conduce a,

32

22

3232 3

3

dxx

1212 1

1

dxx

12

2b

2

3

1

1dx

2dx

3dx22

22 22

dxx

2a

8 Capítulo 1


22 12 322 1 3 1 2 3 3 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3

2 1 3

( ) ( )dx dx dx dx dx dx dx dx dx b dx dx dx a dx dx dxx x x

Simplificando por unidad de volumen obtenemos finalmente,

22 12 322 2 2

2 1 3

aF m b ax x x

(0.8)

Análogamente puede obtenerse para las direcciones 1 y 3. El resultado final son las denominadas ecuaciones de movimiento, que relacionan las variaciones de tensión de una cara a la opuesta debido a las fuerzas másicas y aceleraciones,

11 21 311 1

1 2 3

12 22 322 2

1 2 3

13 23 333 3

1 3 3

b ax x x

b ax x x

b ax x x

(0.9)

En algunos textos pueden encontrarse los términos ib y ia agrupados en el lado

derecho de la ecuación. Las ecuaciones anteriores pueden expresarse en forma compacta como,

1 2 3

1 2 3

1,2,3i i ii ib a i

x x x

(0.10)

En el caso importante de equilibrio estático o con movimiento a velocidad constante, para los cuales las componentes de la aceleración se anulan, estas ecuaciones quedan reducidas a las denominadas ecuaciones de equilibrio interno:

1 2 3

1 2 3

0 1,2,3i i iib i

x x x

(0.11)

Equilibrio de momentos

El establecimiento de las condiciones de equilibrio de momentos también conduce a una interesante propiedad del estado tensional. Para su deducción considérese de nuevo el elemento diferencial de la Figura 1-6, sometido a un estado tensional cualquiera y a las correspondientes fuerzas de volumen. En este caso elegiremos por comodidad un sistema de coordenadas que pasa por el centro de gravedad del elemento.



En la Figura 1-6 se han representado únicamente las tensiones que producen momentos alrededor del eje 1, para mayor claridad en la exposición. Respecto de los ejes elegidos las fuerzas por unidad de volumen y las tensiones normales no producen momentos, y en consecuencia no se han representado en la Figura 1-6.

Figura 1-6. Equilibrio de momentos en el eje 1. El momento originado por las tensiones se obtiene a partir de la fuerza resultante en cada cara por su distancia al eje. Por ejemplo, para la tensión 32 el momento

generado alrededor del eje 1 será 3

32 2 1 2( ) dxdx dx . Con estas consideraciones, el

equilibrio de momentos en el eje 1 será:

2 23 2 3 32 323 1 3 23 2 1 3 32 1 2 32 3 1 2

2 3

02 2 2 2

dx dx dx dxdx dx dx dx dx dx dx dx dx dx

x x

Simplificando,

23 3223 23 2 32 32 3

2 3

0dx dxx x

Y despreciando los términos diferenciales frente a los no diferenciales la expresión anterior se puede reducir a, 23 32 23 322 2 0 (0.12)

Efectuando un desarrollo similar en los ejes 2 y 3 se obtiene que 13 31 y

12 21 .

El resultado anterior quiere decir que la tensión tangencial actuando en dos caras perpendiculares debe ser igual para satisfacer el equilibrio del elemento diferencial. Además el estado tensional representado en forma matricial conduce a que el tensor de tensiones es simétrico es decir: ij ji σ σ (0.13)

32

3232 3

3

dxx

2323 2

2

dxx

1eje

1dx

2dx

3dx

23

10 Capítulo 1


TENSIÓN EN UNA DIRECCIÓN CUALQUIERA

El tensor de tensiones σ define completamente el estado tensional de un punto, dado que a partir de él se puede obtener el valor de la tensión del punto en cualquier otra dirección. Para demostrarlo seccionemos el elemento diferencial con un plano cualquiera, definido por su vector normal n

. De esta manera se forma un

tetraedro diferencial (Figura 1-7) donde tres de sus caras coinciden con los planos coordenados, y la otra viene definida el vector normal unitario n

de componentes

1 2 3n = ( , , )n n n

. Recordamos que las componentes de un vector también representan

los cosenos de los ángulos con los ejes coordenados (cosenos directores). Los vectores tensión en los planos paralelos a los coordenados son (1)T

, (2)T

y (3)T

,

y llamaremos (n)T

al vector tensión en la dirección n

. Las áreas de las caras del tetraedro paralelas a los planos coordenados son las proyecciones ortogonales del área dS de ABC, tienen de valor 1dS n , 2dS n y

3dS n respectivamente.

Figura 1-7. Tetraedro diferencial Planteando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas del tetraedro se obtiene:

(n) (1) (2) (3)1 2 3T T T T 0dS dS n dS n dS n

(0.14)

eliminando dS y reordenando nos queda,

(n) (1) (2) (3)1 2 3T T T Tn n n

(0.15)

Que puede ser expresado como,

(1)

(n) (1) (2) (3) (2)1 2 3 1 2 3

(3)

T

T T T T T

T

n n n n n n

(0.16)

n (n)T

2

1

A

C

B

(2)T

(3)T

(1)T

dS

3

(2)T

(3)T

(1)T

1

2

3



Y como según la ecuación (1.4) se cumple que

(1)11 12 13

(2)21 22 23

(3)31 32 33

T

T

T

(0.17)

Obtenemos finalmente:

11 12 13

(n)1 2 3 21 22 23

31 32 33

T nσn n n

(0.18)

Expresión que indica que la tensión (n)T

de un punto según un plano determinado

por su vector unitario n

se obtiene multiplicando el tensor de tensiones del punto σ por el vector unitario n

. Como el tensor de tensiones es simétrico se cumple

que,

(n)T n nσ σ

(0.19) El vector tensión puede descomponerse en una tensión perpendicular al plano o tensión normal n

, y otra contenida en el plano denominada tensión tangencial n

.

Como los vectores tensión normal n

, y unitario del plano n

tienen la misma

dirección (normal al plano), el módulo de la tensión normal del plano puede obtenerse proyectando el vector tensión en la dirección de n

, (producto escalar de

los dos vectores),

(n)T n nn n n

(0.20)

Por su parte, la componente de la tensión tangencial puede obtenerse mediante una simple resta de vectores, entre el vector tensión y el vector tensión normal,

Tn n

(0.21)

CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA

En determinadas ocasiones interesa conocer el estado tensional de un punto en una orientación diferente a la del sistema de coordenadas de referencia 1 2 3( , , )x x x .

Vamos a deducir las operaciones a realizar en esta sencilla operación tensorial. Sea un sistema de coordenadas 1 2 3( , , )x x x y el nuevo sistema de coordenadas

1 2 3( , , )x x x tal y como se representa en la Figura 1-8. Vamos a denominar 11 al

12 Capítulo 1


ángulo que forma el eje 1x con el eje 1x , y en general ij el ángulo que forma el

eje ix con el eje jx . En esta denominación no se considera ningún criterio de

signos, simplemente el valor del ángulo formado entre los pares de ejes considerados, sin embargo debe efectuarse en el orden indicado, es decir el ángulo que forma el eje nuevo ( ' ) con el eje de referencia ( ).

Figura 1-8. Cambio de coordenadas entre dos sistemas ortogonales. Las componentes de un vector cualquiera 1 2 3u ( , , )u u u

en el nuevo sistema

1 2 3( , , )x x x se obtienen a partir de la matriz de cambio de coordenadas mediante,

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

u u

u u

u u

(0.22)

que puede expresarse matricialmente como, u A u

(0.23)

donde A es la matriz de transformación de coordenadas, que es ortogonal por lo que su inversa es igual a su traspuesta, -1 TA A . Consideremos ahora el vector tensión T

que actúa sobre un plano de vector normal

n

, en el sistema 1 2 3( , , )x x x . Dicha tensión puede obtenerse a partir del tensor de

tensiones expresado en el sistema 1 2 3( , , )x x x como,

T nσ =

Según hemos visto, las componentes del vector tensión en el nuevo sistema de referencia vendrá definido a partir de la matriz de cambio de coordenadas A , de tal forma que combinando ambas expresiones se tiene,

T A T A nσ

(0.24) Además el vector normal n

en el nuevo sistema tendrá de componentes,

1112

1x2x

3x2x

1x

3x

13



-1 Tn A n n A n A n

(0.25) Es decir,

TT A T A A nσ

(0.26)

Y dado que por el carácter tensorial de la expresión T nσ =

se cumple que

T nσ

(0.27) Con lo que obtenemos finalmente, TA Aσ σ (0.28) donde σ representa el tensor de tensiones expresado en el sistema 1 2 3( , , )x x x , σ

el tensor expresado en la base 1 2 3( , , )x x x y A es la matriz de transformación entre

ambos sistemas. Si se dispone del tensor en el sistema de coordenadas 1 2 3( , , )x x x y deseamos

obtener su representación en el sistema 1 2 3( , , )x x x , tenemos que,

TA Aσ σ (0.29) Esta operación de cambio de coordenadas será válida para cualquier tensor de segundo orden. En el siguiente Capítulo estudiaremos las deformaciones que se presentan en un material, y veremos como se pueden representar mediante un tensor de segundo orden. En consecuencia este cambio de coordenadas será aplicable también al tensor de deformaciones infinitesimales. TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

Una de las propiedades de los tensores simétricos es la de convertirse en tensores diagonales mediante un giro del triedro de referencia. Si matemáticamente el tensor de tensiones σ se puede transformar en un tensor diagonal, físicamente quiere decir que existen tres planos respecto de los cuales no existen tensiones tangenciales. Estos planos reciben el nombre de planos principales y vienen definidos por sus direcciones principales. Esta propiedad es fundamental, dado que simplifica un estado tensional general definido por 6 componentes a otro definido únicamente por 3 tensiones principales. La mayoría de los criterios de fallo que serán analizados en Plasticidad utilizan esta propiedad del estado tensional para establecer una expresión más sencilla del criterio de fallo, basada en tensiones principales. La Figura 1-9 presenta un esquema del fenómeno físico que tiene lugar, y que vamos a analizar matemáticamente a continuación.

14 Capítulo 1


Figura 1-9. Tensiones y direcciones principales Sea T

el vector tensión de una de estas direcciones principales en un plano

definido por su vector normal n

. Como en este plano no existe componente tangencial la tensión T

será proporcional al vector unitario n

(y con su misma

dirección), es decir,

T n

(0.30) Por otro lado sabemos que el vector tensión de un punto en la dirección n

se

obtiene a partir del tensor de tensiones multiplicado por el vector normal a la

superficie, T nσ =

. En consecuencia, igualando ambas expresiones,

T n nσ =

(0.31) Y como n I n

, la expresión anterior se puede poner como,

n I n I n 0σ σ

(0.32)

Las tres ecuaciones anteriores representan un sistema homogéneo de tres ecuaciones lineales, y que en forma explícita se expresa como

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

0

0

0

n

n

n

(0.33)

Para que el sistema de ecuaciones anterior tenga una solución distinta de la trivial el determinante de la matriz de coeficientes debe ser cero, es decir,

II

I

III

22

2

3

1

22

33

322331

2112

11

13



I 0σ (0.34)

Desarrollando el determinante anterior obtenemos una ecuación de tercer grado denominada ecuación característica, 3 2

1 2 3 0I I I (0.35)

Los coeficientes 1I , 2I e 3I son cantidades escalares independientes del sistema de

coordenadas en el cual estén expresadas las componentes del tensor de tensiones σ . Se les denomina invariantes de tensiones y, desarrollando el determinante (0.35) se obtiene,

1 11 22 33

2 2 22 11 22 11 33 22 33 12 13 23

11 12 13

3 21 22 23

31 32 33

I

I

I

(0.36)

El primer invariante indica que la suma de los tres elementos de la diagonal principal es un valor constante, independientemente de la orientación de los ejes en los que esté representado el tensor de tensiones. Es decir, 1 11 22 33 ...x y zI (0.37)

Las raíces de la ecuación característica representan las tensiones que sólo poseen tensión normal, y reciben el nombre de tensiones principales, I , II y III . Por

cuestiones puramente formalistas conviene ordenar las tensiones principales de mayor a menor, de tal manera que I II III .

Los planos asociados con dichas tensiones principales, denominados planos principales, vienen definidos por su dirección normal, y se les conoce como las direcciones principales del estado tensional, n I , n II y n III

. Para calcular estas direcciones principales basta con hallar los vectores propios asociados a cada valor propio, es decir resolver cada uno de los tres sistemas siguientes I II IIII n 0 I n 0 I n 0σ σ σI II III

(0.38)

Para que las direcciones calculadas vengan definidas por vectores unitarios debemos imponer la condición de que los vectores n I , n II y n III

tengan modulo unidad, es decir,

16 Capítulo 1


2 2 2 2 2 2 2 2 2I I I II II II III III III1 2 3 1 2 3 1 2 31; 1; 1n n n n n n n n n

(0.39) Las tres direcciones principales son vectores perpendiculares entre sí, y en consecuencia para el cálculo de las mismas también se pueden utilizar las correspondientes operaciones entre vectores perpendiculares: (a) producto escalar nulo, y (b) el producto vectorial de dos direcciones proporciona la tercera, es decir

III I IIn n n

, I II IIIn n n

y II III In n n

respectivamente. El tensor de tensiones una vez orientado en el sistema de coordenadas formado por las tres direcciones principales adopta la siguiente forma, con todas las componentes de tensión tangencial nulas (Figura 1-9),

0 0

0 0

0 0

σI

II

III

= (0.40)

PARTES HIDROSTÁTICA Y DESVIADORA DEL TENSOR DE TENSIONES

Para el estudio de la Plasticidad, es conveniente descomponer el tensor de tensiones de un punto σ en suma de dos nuevos tensores que se denominan tensor hidrostático y tensor desviador (Figura 1-10). El tensor hidrostático o medio nos da una medida del nivel de presión hidrostática media en ese punto, tomando como referencia la tensión media. El tensor desviador nos indica cuanto se aparta el estado tensional de un estado de tensión hidrostática, y es el responsable en los materiales metálicos de su plastificación.

Figura 1-10. Tensores hidrostático y desviador de un estado tensional.

22

2

3

1

22

33

3223

21

11

13

m

m

m

33 m

22 m

11 m

32

31

13

12

12



Matemáticamente la operación de separación se expresa como, Hσ σ σ'= (0.41)

Donde el tensor hidrostático se obtiene a partir de la tensión media, definida como 1 1

11 22 333 3m I II III :

H13

0 0

I tr Ι 0 0

0 0

σ σm

m m

m

(0.42)

y el tensor desviador será en consecuencia la diferencia entre ambos, es decir

H

11 12 13

21 22 23

31 32 33

σ σ σm

m

m

'

(0.43)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE MOHR

A lo largo de la historia se han ido desarrollando diferentes métodos gráficos que permiten visualizar y trabajar de forma sencilla con el estado tensional de un punto, calculando de forma más cómoda las componentes del estado tensional en las diferentes orientaciones del espacio. Uno de los más utilizados ha sido el desarrollado por Mohr (1835-1918), y que se conoce como las circunferencias de Mohr. El método consiste en representar el estado tensional triaxial de un punto en un plano cuyo eje de abscisas sea la componente de tensión normal y cuyo eje de ordenadas sea la componente de tensión tangencial. Para ello, consideremos un punto P cualquiera de un sólido elástico, y sea σ su

tensor de tensiones. La tensión T

del punto en un plano definido por su vector

normal n

será T nσ

, de componente normal T nn

y tangencial Tn n

.

La representación de las dos componentes de T

, en un plano , será un punto. Pero la tensión del punto en otra dirección n'

, tendrá otras componentes normal y

tangencial, y su representación será otro punto en el plano . Si representamos las componentes de las infinitas orientaciones se forma un lugar geométrico en el plano , delimitado por tres círculos, como vamos a deducir a continuación. Para ello, consideremos las direcciones principales n I , n II y n III

como nuevo

sistema de ejes coordenados. La tensión T

, obtenida a partir del tensor de tensiones expresado en el sistema de ejes principales será,

18 Capítulo 1


1 1

2 2

3 3

0 0

T n 0 0

0 0

σI I

II II

III III

n n

n n

n n

(0.44)

cuyo módulo al cuadrado es 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3n n I II IIIT n n n (0.45)

La componente de tensión normal n será

2 2 21 2 3T n = ( n) nσn I II IIIn n n

(0.46)

Teniendo en cuenta además que el vector normal n

es unitario,

2 2 2

1 2 3 1n n n (0.47)

Con las tres condiciones anteriores se construye el siguiente sistema de ecuaciones,

2 2 2 2 2 2122231 1 1 1

I II III n n

I II III n

n

n

n

(0.48)

que representan las ecuaciones básicas de la representación de Mohr. La resolución del sistema da lugar a una serie de condiciones que debe cumplir cualquier orientación del estado tensional del punto P . Su representación en un plano se corresponde con la zona rallada de la Figura 1-11, que representa el lugar geométrico de los pares ( ; )n n para las distintas direcciones de n

.

La construcción de los tres círculos base es sencilla. En el eje de abscisas se sitúan las tres tensiones principales I , II y III . Se trazan 3 círculos de centros,

1 2 32 2 2I II I III II IIIC C C

(0.49)

y radios, 1 2 32 2 2I II I III II IIIR R R

(0.50)

La representación de cualquier orientación del estado tensional, definida por sus componentes ( , )n n , debe situarse dentro del área rayada definida por los tres

círculos. Uno de los valores característicos de la representación anterior es la facilidad para situar el plano y el valor de la tensión tangencial máxima. En efecto, el valor de la tensión tangencial máxima será el radio del círculo mayor:



max 2I III

(0.51)

Figura 1-11. Círculo de Mohr para un estado de tensiones triaxial

. La dirección de la tensión tangencial máxima está situada a 45º respecto de las direcciones principales ;I III , tal y como aparece esquematizado en la misma

Figura 1-11, donde las direcciones principales se han hecho coincidir con los ejes coordenados para mayor simplicidad en el dibujo. ESTADO DE TENSIÓN PLANA

Uno de los estados tensionales de mayor aplicación en el cálculo estructural es el estado de tensión plana. De hecho, en todas las superficies libres de cargas en una pieza se produce este estado tensional. Además tengamos presente que es en la superficie donde se suele iniciar la rotura de la pieza. En consecuencia es un estado tensional que debe ser conocido en detalle. En un estado de tensión plana existe una superficie con tensión nula (sin componentes normales ni tangenciales). En consecuencia, en esa orientación el tensor de tensiones tiene una fila y una columna iguales a cero. Supongamos, por ejemplo, que tenemos un punto sometido a un estado de tensión plana en el plano 1-2. En ese caso se verificará que las componentes 3 3 0i i , es decir

13 31 23 32 33 0 (0.52)

En consecuencia, el tensor de tensiones del punto presentará, en el sistema de

IIIIII

1C2C3C

II

III

I

20 Capítulo 1


coordenadas 1-2-3, la siguiente forma matricial,

11 12

21 22

0

0

0 0 0

σ

(0.53)

Para el estudio de este estado tensional vamos a considerar una notación ingenieril, en un sistema de coordenadas x, y, z. Considérese una partícula material P, sometida a un estado de tensión plana en x y , como muestra la Figura 1-12. Según esta notación, las componentes nulas del tensor de tensiones son

0zz xz yz , y su representación en las direcciones x,y,z quedará reducida a,

0

0

0 0 0

σx xy

yx y

(0.54)

Dado que en tensión plana siempre tenemos una fila y una columna iguales a cero, podemos utilizar el tensor de tensiones reducido σ , que contenga únicamente las componentes en el plano xy,

σ x xy

yx y

(0.55)

A partir de aquí el análisis es idéntico al efectuado para un estado triaxial, pero mucho más fácil de operar, al hacerlo con matrices de orden 2 en lugar de orden 3.

Figura 1-12. Estado de tensión plana. Por ejemplo, vamos a calcular la tensión en una dirección cualquiera del plano xy,

y

xy

xx

y

y

y

z

x

x

xy



cuyo vector unitario sea 1 2n ( , ,0) (cos ,sen ,0)n n

donde es el ángulo que

forma el vector unitario con el eje x, como se presenta en la Figura 1-13.

Figura 1-13. Tensión en un plano cualquiera. El vector tensión en la dirección n

será,

cos sencos

T nsen cos sen

σ x xyx xy

yx y xy y

(0.56)

Dicho vector tensión puede descomponerse en una componente normal al plano y otra contenida en el mismo, como se esquematiza en la Figura 1-14.

Figura 1-14. Componentes normal y tangencial del vector tensión. La componente normal es,

2 2T n cos sen 2 sen cosn x y xy

(0.57)

y el módulo de la componente tangencial será,

2 2Tn n (0.58)

En cuanto a las tensiones y direcciones principales, en un estado de tensión plana

y

x

y

n

T

T n

x90 xy

xy

y

x

x

y

90

n

T

xyxy

22 Capítulo 1


una de las tensiones principales es cero y su dirección es la perpendicular al plano en el que se produce el estado de tensión plana. Las otras dos tensiones principales están contenidas en el plano y pueden calcularse igual que en un estado triaxial, es decir resolviendo el determinante

0 0σ x xy

yx y

Ι (0.59)

Resolviendo se obtienen las dos tensiones principales contenidas en el plano de la tensión, xy,

2

2, 2 2

x y x yI II xy

(0.60)

Donde, como se ha comentado, la tercera tensión principal es la perpendicular al plano xy, cuyo valor es 0III . Dependiendo del signo de las tensiones I y II, si se

desea ordenar las tres tensiones principales de mayor a menor puede tener lugar un cambio en los subíndices correspondientes. El cálculo de las tres direcciones principales se efectuaría de forma idéntica a la presentada en el cado 3D (resolviendo el sistema correspondiente), pero utilizando las matrices reducidas, es decir:

0para 0

0

0para 0

0

para 0 ; ; 0 0 1

Ix I xy x I

I zIxy y I y

IIx II xy x II

II zIIxy y II y

III III IIIIII x y z

ncon n

n

ncon n

n

n n n

(0.61)

CÍRCULO DE MOHR PARA EL ESTADO DE TENSIÓN PLANA

Sin embargo, otra forma de analizar y visualizar el estado tensional plano es mediante la construcción gráfica de Mohr, en la cual se representan en el plano las componentes del estado tensional que aparece para cualquier orientación del elemento como consecuencia de un giro del sistema de referencia. El criterio se signos que utilizaremos para la representación de los círculos de Mohr aparece recogida en la Figura 1-15.



Figura 1-15. Criterio de signos positivo para la representación gráfica de Mohr. El criterio de signos indica que las tensiones normales de tracción se consideran positivas, y que las tensiones tangenciales que producen un giro en el elemento en sentido horario también se consideran positivas. Supongamos que el estado tensional del punto es el representado en la Figura 1-16. Para construir el círculo de Mohr se representa en primer lugar las componentes de la dirección x según el criterio de signos comentado, obteniendo el punto x del diagrama de Mohr. Posteriormente se representan las componentes del eje y, obteniendo el punto y. Uniendo estos dos puntos se obtiene el centro del círculo C,

situado sobre el eje . Finalmente se traza el círculo con centro C y radio Cx . Como se puede observar la representación de un eje en la pieza se convierte en un radio en el círculo de Mohr, y además los ejes x e y, separados 90º en la pieza, aparecen formando un ángulo de 180º en el círculo de Mohr. Esta propiedad se mantiene para todas las orientaciones, de tal forma que una dirección n

que forme

un ángulo con el eje x en la pieza formará un ángulo de 2 con el eje x en el círculo de Mohr. Geométricamente resulta sencillo determinar las componentes del centro y del radio a partir de las componentes x , y y xy ,

2

2

2 2x y x y

xyC R

(0.62)

Figura 1-16. Ejemplo de estado tensional y circulo de Mohr.

y

x

y

x

x

x

y

xy

xy

xy

y

C

R

Criterio

+

24 Capítulo 1


Para determinar las tensiones y direcciones principales de forma gráfica, vemos que en el círculo de Mohr se cumple (Figura 1-17),

I

II

C R

C R

(0.63)

Como se ha comentado anteriormente, la tercera tensión principal es 0III y se

encuentra situada en la dirección perpendicular al plano xy. El ángulo que forman las direcciones principales con los ejes x e y , se obtiene a partir del ángulo 2 cuyo valor se obtiene geométricamente como,

2

tan 2 xy

x y

(0.64)

Un punto del círculo de Mohr de especial interés por su aplicación práctica es el polo. Se obtiene trazando en el círculo una paralela a cualquier eje por su punto correspondiente del estado tensional. Dicha paralela cortará al círculo en otro punto denominado polo del círculo de Mohr. En la Figura 1-18 se presenta como obtener el polo de un estado tensional, y como utilizarle por ejemplo para obtener las direcciones principales. La representación de los círculos de Mohr también permite obtener fácilmente la tensión tangencial máxima en el plano xy, max

xy o en el espacio, max , a partir de los

radios de los correspondientes círculos de Mohr.

Figura 1-17. Estado tensional y tensiones principales.

x

y

C

R 2

III

x

II

I

y

x

y

x

xy

I

II



Figura 1-18. Polo del círculo de Mohr.

Figura 1-19. Tensiones tangenciales.

x

y

IIIIII

max

maxxy

x

y

C

Polo

al eje y

al eje x

y

x

y

x

xy

conceptos fundamentales en mecánica de solidos

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