wordpress.com€¦ · concept map การวัดค ากลาง ของข อมูล...
TRANSCRIPT
Concept Map
การวดคากลาง
ของขอมล
การวดการกระจาย
ของขอมล
การวเคราะหขอมล
เบองตน
การวเคราะหขอมลเบองตนหนวยการเรยนรท1
ผลการเรยนร
เลอกวธวเคราะหขอมลเบองตนและอธบายผลการวเคราะหขอมลไดถกตอง
นาความรเรองการวเคราะหขอมลไปใชได
การวเคราะหขอมลเบองตน เปนขนตอนหนงของกระบวนการทางสถต เพอหาขอสรปหรออธบายลกษณะของขอมล
ซงเปนสวนหนงของสถตเชงพรรณนา ทเกบรวบรวมจากกลมตวอยาง (sample) หรอจากประชากร (population)
ทงหมด
การวดการกระจายสมบรณ
การวดการกระจายสมพทธ
ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ คากลาง
และการกระจายของขอมล
มธยฐานเดไซล
ฐานนยมเปอรเซนไทล
คาเฉลยเรขาคณต
คาเฉลยฮารมอนก
คาเฉลยเลขคณต ควอรไทล
การวดตาแหนงท
ของขอมล ฉบบเฉลย
คณตศาสตร เลม 5 1
1 . 1 ʶԵÔáÅТŒÍÁÙÅ Statistics and Data
ความหมายของสถต ความหมายของสถต สามารถจาแนกไดอยางกวางๆ 2 ลกษณะ คอ
1) สถต หมายถง ตวเลขทางสถต ซงอาจเกดจากการวด การคานวณจากขอมลทเกบ
รวบรวมไดตามหลกเกณฑทางสถต
2) สถต หมายถง ศาสตรทเกยวของกบหลกการและกระบวนการทางสถต ซงประกอบดวย
การเกบรวบรวมขอมล การนาเสนอขอมล การวเคราะหขอมล และการตความหมายขอมล
สถตเชงพรรณนาและสถตเชงอนมาน สถตเชงพรรณนา คอ สถตทมงศกษาเพออธบายลกษณะหรอเรองราวตางๆ ของประชากร
กลมใดกลมหนง โดยทาการเกบรวบรวมขอมลของสมาชกทกหนวยในกลมประชากรนน ซงผล
การศกษาทไดจะสามารถอธบายหรอสรปเกยวกบเรองราวของกลมประชากรททาการศกษาเทานน
ไมสามารถนาผลการศกษาทไดไปสรปอางองกบประชากรกลมอน
สถตเชงอนมาน คอ สถตทมงศกษาเพออธบายลกษณะหรอเรองราวตางๆ ของประชากร
กลมใดกลมหนง โดยทาการเกบรวบรวมขอมลจากกลมตวอยาง แลวนาผลทไดไปสรปอางองถง
กลมประชากรซงเปนกลมทตองการศกษา
ขอมลสถต จาแนกตามลกษณะของขอมล
1) ขอมลเชงคณภาพ คอ ขอมลทใชบอกลกษณะของการแบงเปนกลมหรอแบงเปนประเภท
ซงไมอาจวดคาเปนตวเลขหรอสอความหมายตามคาตวเลขไดโดยตรง
2) ขอมลเชงปรมาณ คอ ขอมลทวดเปนตวเลขหรอปรมาณและสอความหมายตามคา
ของตวเลขได ซงแบงออกเปน 2 ลกษณะ คอ
- ขอมลไมตอเนอง เปนขอมลทไดจากการนบ ลกษณะของขอมลเปนจานวนเตม
- ขอมลตอเนอง เปนขอมลทไดจากการวด ซงเปนขอมลทมคาไดทกคาในชวง
ทกาหนด
จาแนกตามแหลงทมาของขอมล
1) ขอมลปฐมภม คอ ขอมลทผใชเกบรวบรวมจากแหลงขอมลโดยตรง
2) ขอมลทตยภม คอ ขอมลทผใชไดมาจากแหลงขอมลทมผเกบรวบรวมไวแลว
ฉบบเฉลย
2 คณตศาสตร เลม 5
คาศพททเกยวของกบสถต ประชากร คอ เซตของสงตางๆ ทเราตองการศกษาทงหมด
ตวอยาง คอ สวนหนงของประชากรทเราตองการศกษา
คาพารามเตอร คอ คาทคานวณไดจากขอมลทเกบรวบรวมจากสมาชกทกๆ หนวยในกลม
ประชากร
คาสถต คอ คาทคานวณไดจากขอมลทเกบรวบรวมจากกลมตวอยาง
1. พจารณาวาขอมลทกาหนดใหเปนขอมลเชงคณภาพหรอขอมลเชงปรมาณ
1) คะแนนสอบวชาคณตศาสตร ............................................................
2) จานวนผโดยสารทรอรถประจาทาง ............................................................
3) เลขทะเบยนรถสวนบคคล ............................................................
4) ราคารถยนต ............................................................
5) อาชพของผปกครองนกเรยน ............................................................
6) โรคของผปวยในโรงพยาบาล ............................................................
7) รหสไปรษณย ............................................................
8) ปรมาณผลผลตขาวตามภาคตางๆ ............................................................
9) ขนาดรองเทาของนกเรยน ............................................................
10) เลขประจาตวประชาชน ............................................................
2. พจารณาขอความตอไปน แลวใสเครองหมาย ✓ หนาขอความทถกตอง และใสเครองหมาย
✗ หนาขอความทผด
…………………. 1) สถตศาสตรเปนศาสตรทวาดวยการวเคราะหขอมล เพอหาขอสรปจากขอมล
ทเกยวของมาอธบายปรากฏการณหนง หรอประเดนปญหาทสนใจ
…………………. 2) สถตเชงอนมาน คอ วธการในการสรปและนาเสนอขอมลดวยตวเลขสถต
ชดหนง เชน คาวดแนวโนมเขาสศนยกลาง คาการกระจาย หรอแผนภมตางๆ
…………………. 3) สถตเชงพรรณนา คอ การนาเสนอขอมลเพยงบางสวนซงเรยกวาตวอยางมา
วเคราะห โดยใชความรทางคณตศาสตรและสถตขนสง
จดประสงค นกเรยนมความรความเขาใจในเรองขอมล ขาวสาร การเกบรวบรวมขอมล และการนาเสนอขอมล
Exercise 1.1
ฉบบเฉลย
✓
✗
✗
ขอมลเชงปรมาณ
ขอมลเชงปรมาณ
ขอมลเชงคณภาพ
ขอมลเชงปรมาณ
ขอมลเชงคณภาพ
ขอมลเชงคณภาพ
ขอมลเชงคณภาพ
ขอมลเชงปรมาณ
ขอมลเชงคณภาพ
ขอมลเชงคณภาพ
คณตศาสตร เลม 5 3
…………………. 4) กระบวนการทางสถตประกอบดวย การกาหนดประเดนปญหาทางสถต การเกบ
รวบรวมขอมล การสรปสาระสาคญและการนาเสนอขอมล การวเคราะหขอมล
และการสรปผลเพอตอบคาถามหรอปญหาในประเดนทสนใจ
…………………. 5) ขอมลเชงปรมาณ คอ ขอมลทแสดงลกษณะ ประเภท รปแบบทไมสามารถ
วดคาออกมาเปนตวเลขและสอความหมายคาของตวเลขไดโดยตรง
…………………. 6) วธการเกบรวบรวมขอมลของการสารวจตวอยางอาจใชการสอบถาม การสมภาษณ
หรอการสงเกต แตตองเกบทกหนวยทใหขอมลนน
…………………. 7) การเลอกวธการเกบรวบรวมขอมลทเหมาะสมกบแตละเรอง หรอแตละสถานการณ
นนจะขนอยกบวตถประสงคหรอความตองการทจะนาขอมลไปใช
…………………. 8) นกวจยตองการขอมลเกยวกบความคดเหนดานการศกษาของนกเรยนชนมธยม
ศกษาปท 5 จงเกบรวบรวมขอมลโดยวธสมภาษณ ซงจะไดผลอยางรวดเรว
3. จากขอมลทกาหนดให ตอบคาถามตอไปน
“สานกงานสถตแหงชาต ไดดาเนนการเกบรวบรวมขอมลแรงงานนอกระบบในไตรมาสท 3
(เดอนกรกฎาคม - กนยายน) พ.ศ. 2556 พบวามแรงงานนอกระบบซงเปนผททางานแตไมได
รบความคมครองหรอไมมหลกประกนทางสงคมจากการทางานถงรอยละ 64.2 ของผทางาน
ทงหมด 39.1 ลานคน และจากขอมลยงพบวา แรงงานนอกระบบเหลานอยในภาคเกษตรกรรม
เปนสวนใหญ และมการศกษาไมสงนก” จากขอความขางตน
1) กลมประชากร คอ ……………………………………………………………………………………………………………………………………..
2) กลมตวอยาง คอ ……………………………………………………………………………………………………………………………………..
4. พจารณาวาควรใชวธใดในการเกบขอมลตอไปน
1) รายไดเฉลยตอครวเรอนของคนในกรงเทพมหานคร
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) จานวนผใชบรการหองสมดโรงเรยน
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) ผลการเคลอบฟลออไรดบนผวฟนทมผลตอการปองกนฟนผ
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) การเปรยบเทยบประสทธภาพของยาแกปวด
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) การสารวจความคดเหนกรณการเกดแผนดนไหวทางภาคเหนอ
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
✗
✗
✗
✓
✗
การสมภาษณ
เกบรวบรวมขอมลจากบนทกการเขาใชบรการหองสมดโรงเรยน
การทดลอง
การทดลอง
การสมภาษณ
ผมงานทา
ตวอยางกลมผมงานทา
4 คณตศาสตร เลม 5
ฉบบเฉลย
แนวคด ผลการประเมนทนกเรยนไดรบนนไดจากครสอนวทยาศาสตรโดยตรงจงจดเปนขอมล
แบบปฐมภม และผลการประเมนออกมาเปน ดเยยม ด พอใช และตองแกไข
เปนขอมลเชงคณภาพ
แนวคด กรณทขาดขอมลและสารสนเทศควรทาการกาหนดขอมลทจาเปนตองใชกอนเปน
ลาดบแรก จากนนจงเลอกวธเกบรวบรวมขอมล เกบรวบรวมขอมล และเลอกวธ
วเคราะหขอมล ตามลาดบ
Test for U1. ครสอนวทยาศาสตรมอบหมายใหนกเรยน 40 คน ทาโครงงานตามความสนใจ หลงจากตรวจ
รายงานโครงงานของทกคนแลว ผลสรปเปนตารางดงน
ผลการประเมน จานวนโครงงาน
ดเยยม
ด
พอใช
ตองแกไข
3
20
12
5
ขอมลทเกบรวบรวม เพอใหไดผลสรปขางตนเปนขอมลชนดใด
1. ขอมลปฐมภม เชงปรมาณ 2. ขอมลทตยภม เชงปรมาณ
3. ขอมลปฐมภม เชงคณภาพ 4. ขอมลทตยภม เชงคณภาพ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. ในการใชสถตเพอการตดสนใจและวางแผน สาหรบเรองทจาเปนตองมการใชขอมลและสารสนเทศ
ถาขาดขอมลและสารสนเทศดงกลาว ผตดสนใจควรทาขนตอนใดกอน
1. เกบรวบรวมขอมล 2. เลอกวธวเคราะหขอมล
3. เลอกวธเกบรวบรวมขอมล 4. กาหนดขอมลทจาเปนตองใช
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3 ขอมลปฐมภม เชงคณภาพ 4
เลอกวธเกบรวบรวมขอมล 4 กาหนดขอมลทจาเปนตองใช
คณตศาสตร เลม 5 5
ฉบบเฉลย
แนวคด ขอ ก. ผด เพราะจากตารางแมวาอตราการวางงานในภาคใตในเดอนกนยายนของ
ป พ.ศ. 2550 และของป พ.ศ. 2551 จะเทากน แตจานวนผวางงานในแตละป
ไมจาเปนจะตองเทากนกได
ขอ ข. ถก เพราะจานวนผอยในกาลงแรงงานทวประเทศในเดอนกนยายนป พ.ศ. 2551
เทากบ 429,0001.1
× 100 = 39,000,000 คน
Test for U3. จานวนผวางงานทวประเทศในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2551 มจานวนทงสน 4.29 แสนคน ตาราง
เปรยบเทยบอตราการวางงานในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2550 กบป พ.ศ. 2551 เปนดงน
พนทสารวจ
อตราการวางงานในเดอนกนยายน
(จานวนผวางงานตอจานวนผอยในกาลงแรงงานคณ 100)
ป พ.ศ. 2550 ป พ.ศ. 2551
ภาคใต
ภาคตะวนออกเฉยงเหนอ
ภาคเหนอ
ภาคกลาง
(ยกเวน กรงเทพมหานคร)
กรงเทพมหานคร
ทวประเทศ
1.0
0.9
1.5
1.3
1.2
1.2
1.0
1.3
1.2
0.9
1.2
1.1
พจารณาขอความตอไปน
ก. จานวนผวางงานในภาคใตในเดอนกนยายนของป พ.ศ. 2550 และของป พ.ศ. 2551 เทากน
ข. จานวนผอยในกาลงแรงงานทวประเทศในเดอนกนยายนป พ.ศ. 2551 มประมาณ 39 ลานคน
ขอใดถกตอง
1. ก. และ ข. 2. ก. เทานน
3. ข. เทานน 4. ก. และ ข. ผด
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3 ข
6 คณตศาสตร เลม 5
1. 2 ¡ÒùÓàʹ͢ŒÍÁÙÅ Presentation of data
ตวแปร หมายถง ลกษณะของประชากรทเราสนใจวเคราะห โดยทลกษณะนนๆ ของประชากร
สามารถเปลยนคาได ทงตวแปรทเปนเชงคณภาพและเชงปรมาณ เชน
- คะแนนสอบ เปนตวแปรเชงปรมาณ
- เพศ เปนตวแปรเชงคณภาพ
คาจากการสงเกตและคาทเปนไปได
ถา x เปนตวแปรทใชแสดงผลคะแนนสอบซงมคะแนนเตม 10 คะแนน คะแนนทนกเรยน
แตละคนสอบไดเรยกวา คาจากการสงเกตหรอคาสงเกต และเรยกคะแนนสอบทอาจเปนไปได
สาหรบการสอบไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และ 10 วา คาทเปนไปได
คาสงเกตทเกบรวบรวมมาได และยงมไดมการจดหมวดหมขอมลชนดนเรยกวา ขอมลดบ
การจดเรยงขอมลดบหรอคาสงเกตทเกบรวบรวมมาไดใหเปนหมวดหม เรยกวา การแจกแจง
ความถ ซงม 2 รปแบบ คอ การแจกแจงความถแบบตาราง และการแจกแจงความถแบบใชกราฟ
การแจกแจงความถแบบตาราง การสรางตารางแจกแจงความถโดยสวนใหญประกอบดวย ขอมล รอยขด ความถของ
ขอมล ความถสะสม ความถสมพทธ และรอยละความถสะสมสมพทธ ซงมขนตอนดงน
ตวอยาง ขอมลคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน ม.6 จานวน 30 คน ดงน
45 56 76 85 45 34 65 76 86 65
76 70 53 82 61 73 87 88 60 89
74 48 51 54 76 68 93 97 53 72
สามารถสรางตารางแจกแจงความถไดดงน
1. หาคาพสยของขอมล
จาก พสย = คาสงเกตสงสด - คาสงเกตตาสด = 97 - 34 = 63
2. กาหนดจานวนอนตรภาคชนของขอมลตามความเหมาะสม ซงในทนจะกาหนดใหม
6 อนตรภาคชน
3. หาความกวางของอนตรภาคชน (I) จาก I = พสยจานวนอนตรภาคชน
= 636 ≈ 11กรณทหารแลวไมเหลอเศษใหบวกเพมอก 1 เสมอ
เชน 606
= 10 ใหปดเปน 11
กรณทหารแลวไมเหลอเศษใหบวกเพมอก 1 เสมอ Note
ปดขนใหเปนจานวนเตมเสมอ
ฉบบเฉลย
คณตศาสตร เลม 5 7
4. เขยนชวงของขอมลแตละอนตรภาคชน อาจเรมจากอนตรภาคชนของขอมลตาสด
ไปหาขอมลสงสด หรอจากอนตรภาคชนของขอมลสงสดไปหาขอมลตาสด ตามความกวางของ
อนตรภาคชนทคานวณได
5. พจารณาวาคาสงเกตแตละคาอยในอนตรภาคชนใด แลวขดในชองรอยขด
6. นบจานวนรอยขดของแตละอนตรภาคชน แลวใสรวมในชองความถของขอมลใน
อนตรภาคชนนน และเมอรวมความถของขอมลในแตละอนตรภาคชนจะตองเทากบจานวนคา
สงเกตทงหมด ไดตารางแจกแจงความถดงน
คะแนนสอบ รอยขด ความถ ขอบลาง ขอบบนจดกงกลาง
ของอนตรภาคชน
34 - 44 � 1 33.5 44.5 39.0
45 - 55 ���� �� 7 44.5 55.5 50.0
56 - 66 ���� 5 55.5 66.5 61.0
67 - 77 ���� ���� 9 66.5 77.5 72.0
78 - 88 ���� 5 77.5 88.5 83.0
89 - 99 ��� 3 88.5 99.5 94.0
รวม 30
ขอบลาง = คานอยทสดของอนตรภาคชนนน + คามากสดของชนทอยตากวาหนงชน
2
เชน ขอบลางของอนตรภาคชนท 2 = 45 + 442 = 44.5
ขอบลางของอนตรภาคชนท 3 = 56 + 552 = 55.5
ขอบบน = คามากทสดของอนตรภาคชนนน + คานอยสดของชนทอยสงกวาหนงชน
2
เชน ขอบบนของอนตรภาคชนท 2 = 55 + 562 = 55.5
ขอบบนของอนตรภาคชนท 3 = 66 + 672 = 66.5
การสรางอนตรภาคชนทมความกวางเทากน แตละคนอาจสรางแตกตางกน แตตองอย
ภายใตหลกการเดยวกนวา คาตาสดของขอมลตองอยอนตรภาคชนตาสด และคาสงสด
ของขอมลตองอยอนตรภาคสงสด
Note
+ 11 + 11 ความกวาง ของอนตรภาคชน
+ 11ฉบบเฉลย
8 คณตศาสตร เลม 5
จดกงกลางของอนตรภาคชน คอ คาทอยกงกลางระหวางขอบบนและขอบลางของชวง
ขอมลในอนตรภาคชน
จดกงกลางของอนตรภาคชน = ขอบบน + ขอบลาง2
ความกวางของอนตรภาคชน คอ ผลตางระหวางขอบบนและขอบลางของขอมลในแตละ
อนตรภาคชน
ความกวางของอนตรภาคชน = ขอบบน - ขอบลาง
นอกจากนเรายงสามารถหาความถสะสม ความถสมพทธ ความถสะสมสมพทธ และรอยละ
ของความถสะสมสมพทธไดดงตาราง
คะแนนสอบ ความถความถสะสม
ความถสมพทธ
ความถสะสมสมพทธรอยละของความถ
สะสมสมพทธ
34 - 44 1 1 1 ÷ 30 ≈ 0.033 1 ÷ 30 ≈ 0.033 0.033 × 100 = 3.3
45 - 55 7 7 + 1 = 8 7 ÷ 30 ≈ 0.233 8 ÷ 30 ≈ 0.267 0.267 × 100 = 26.7
56 - 66 5 5 + 8 = 13 5 ÷ 30 ≈ 0.167 13 ÷ 30 ≈ 0.433 0.433 × 100 = 43.3
67 - 77 9 9 + 13 = 22 9 ÷ 30 = 0.300 22 ÷ 30 ≈ 0.733 0.733 × 100 = 73.3
78 - 88 5 5 + 22 = 27 5 ÷ 30 = 0.167 27 ÷ 30 = 0.900 0.900 × 100 = 90.0
89 - 99 3 3 + 27 = 30 3 ÷ 30 = 0.100 30 ÷ 30 = 1.000 1.000 × 100 = 100.0
รวม 30 1.000
ความถสะสม คอ ผลรวมของความถของคานนหรอของอนตรภาคชนกบความถของคา
หรอของอนตรภาคชนทมชวงคะแนนตากวาทงหมด
ความถสมพทธ คอ อตราสวนระหวางความถของคานนหรอของอนตรภาคชนนนกบ
ผลรวมของความถทงหมด อาจอยในรปเศษสวน หรอทศนยม วตถประสงคในการสรางเพอหาวา
ความถของแตละคาทเปนไปไดหรอของแตละอนตรภาคชนมจานวนมากนอยเพยงใดเมอเทยบกบ
ความถทงหมด
ความถสะสมสมพทธ คอ อตราสวนระหวางความถสะสมของคานนหรอของอนตรภาคชนนน
กบผลรวมของความถทงหมด อาจแสดงในรปเศษสวน หรอทศนยม เพอหาวาแตละคาทเปนไปได
หรอแตละอนตรภาคชนทมความถสะสมเปนจานวนมากนอยเพยงใดเมอเทยบกบความถทงหมด
รอยละของความถสะสมสมพทธ คอ คาทไดจากการนาความถสะสมสมพทธคณดวย 100
ซงเปนการแสดงความถสะสมสมพทธในรปรอยละ
ฉบบเฉลย
คณตศาสตร เลม 5 9
1. เตมขอมลลงในตารางแจกแจงความถใหถกตอง และตอบคาถามตอไปน
ขอมล ความถ ขอบลาง ขอบบน จดกงกลางชน
นอยกวา 450 11
450 - 469 23
470 - 489 14
490 - 529 15
ตงแต 530 ขนไป 10
1) ความกวางของอนตรภาคชนท 3 เทากบ …………………………………………………
2) ความกวางของอนตรภาคชนท 4 เทากบ …………………………………………………
3) ผลตางระหวางจดกงกลางชนของชนท 2 และ 3 เทากบ …………………………………………………
4) อนตรภาคชนใดมความถสงทสด …………………………………………………
5) ขอมลในชวงใดทมความถนอยทสด …………………………………………………
6) อนตรภาคชนใดไมมจดกงกลางชน …………………………………………………
2. เตมขอมลลงในตารางแจกแจงความถใหถกตอง และตอบคาถามตอไปน
ขอมล ความถ ขอบลาง ขอบบน จดกงกลางชน
0 ≤ x < 15 2
15 ≤ x < 30 15
30 ≤ x < 45 16
45 ≤ x < 60 2
60 ≤ x < 75 3
1) ความกวางของอนตรภาคชนท 2 เทากบ …………………………………………………
2) ความกวางของอนตรภาคชนท 4 เทากบ …………………………………………………
3) จากตารางขอมลขางตนมจานวนขอมลทงหมด เทากบ …………………………………………………
4) คาสงเกต 45.5 อยในอนตรภาคชนใด …………………………………………………
5) คาสงเกต 60.0 อยในอนตรภาคชนใด …………………………………………………
Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถสรางตารางแจกแจงความถของขอมลได
1.2 A
ฉบบเฉลย
-
449.5
469.5
489.5
529.5
-0.5
14.5
29.5
44.5
59.5
489.5 - 469.5 = 20
529.5 - 489.5 = 40
479.5 - 459.5 = 20
อนตรภาคชนท 2
ตงแต 530 ขนไป
อนตรภาคชนท 1 และ 5
29.5 - 14.5 = 15
59.5 - 44.5 = 15
2 + 15 + 16 + 2 + 3 = 38
อนตรภาคชนท 4
อนตรภาคชนท 5
449.5
469.5
489.5
529.5
-
14.5
29.5
44.5
59.5
74.5
-
459.5
479.5
509.5
-
7
22.5
37.5
52.5
57
10 คณตศาสตร เลม 5
3. เตมขอมลลงในตารางแจกแจงความถใหถกตอง
ขอมล ความถ ขอบลาง ขอบบน จดกงกลางชน ความกวางของอนตรภาคชน
2.0 - 3.9 3
4.0 - 5.9 4
6.0 - 8.5 6
8.6 - 9.2 12
9.3 - 9.9 5
4. เตมขอมลลงในตารางแจกแจงความถใหถกตอง
ขอมล ความถความถสะสม
ความถสมพทธ
ความถสะสมสมพทธรอยละความถสะสมสมพทธ
41 - 45 5
46 - 50 2
51 - 55 14
56 - 60 10
61 - 70 9
รวม
5. จากตารางการสารวจอายของคนในหมบานแหงหนง ใหนกเรยนเตมขอมลลงในตารางแจกแจง
ความถใหถกตอง
อาย (ป) ความถ (คน) ความถสมพทธ
0 - 10 10
11 - 20 25
21 - 30 35
31 - 40
41 - 50 40
51 - 60 20 0.100
61 - 70 15
71 - 80 3
91 - 90 2
รวม
ฉบบเฉลย
3.95
5.95
8.55
9.25
9.95
1.95
3.95
5.95
8.55
9.25
กาหนดใหจานวนคนในหมบานม x คน
จะได 20x = 0.10
x = 200 คน
2.95
4.95
7.25
8.90
9.60
5
5 + 2 = 7
7 + 14 = 21
21 + 10 = 31
31 + 9 = 40
40
5 ÷ 40 = 0.125
2 ÷ 40 = 0.050
14 ÷ 40 = 0.350
10 ÷ 40 = 0.250
9 ÷ 40 = 0.225
1.000
0.125
0.125 + 0.050 = 0.175
0.175 + 0.350 = 0.525
0.525 + 0.250 = 0.775
0.775 + 0.225 = 1.000
0.125 × 100 = 12.5
0.175 × 100 = 17.5
0.525 × 100 = 52.5
0.775 × 100 = 77.5
1.000 × 100 = 100
0.050
0.125
0.175
0.250
0.200
0.075
0.015
0.010
1.000
50
200
2.0
2.0
2.6
0.7
0.7
คณตศาสตร เลม 5 11
6. ขอมล จดกงกลางชน ความถ
a - b 12.5 4
c - d 16.5 5
e - f 20.5 2
g - h 24.5 9
จากตารางทกาหนดให ตอบคาถามตอไปน
1) ชวงของขอมลในอนตรภาคท 3 และ 4 คอ ……………………………………………………..
2) คาสงเกตคาหนงคอ 15 คาสงเกตนจะอยในอนตรภาคชนใด ……………………………………………………..
3) คาของ h - a เทากบ ……………………………………………………..
7. ขอมล ความถสะสม
11 - 20 4
21 - 30 15
31 - 40 27
41 - 50 30
จากตารางทกาหนดให ตอบคาถามตอไปน
1) อนตรภาคชนใดมความถมากทสด ……………………………………………………..
2) ความถสมพทธของขอมล 31 - 40 เทากบ ……………………………………………………..
3) ความถสะสมสมพทธของขอมล 21 - 30 เทากบ ……………………………………………………..
8. ในการสารวจจานวนลกหมทแตละครอบครวเลยงไวในหมบานแหงหนงเปนดงน
จานวนลกหม (ตว) จานวนครอบครว
14 ตวหรอนอยกวา 50
11 ตวหรอนอยกวา 45
8 ตวหรอนอยกวา 37
5 ตวหรอนอยกวา 22
3 ตวหรอนอยกวา 15
1 ตวหรอนอยกวา 5
จากตารางทกาหนดให ครอบครวทเลยงหมตงแต 4 ถง 11 ตว คดเปนกเปอรเซนตของจานวน
ครอบครวทงหมด ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ฉบบเฉลย
19 - 22 และ 23 - 26
อนตรภาคชนท 2
26 - 11 = 15
อนตรภาคชนท 3
0.4
0.5
8 + 15 + 750
× 100 = 60%
ขอมล
11 - 14
15 - 18
19 - 22
23 - 26
ความถ
4
15 - 4 = 11
27 - 15 = 12
30 - 27 = 3
ความถ จานวนลกหม
12 - 14 50 - 45 = 5
9 - 11 45 - 37 = 8
6 - 8 37 - 22 = 15
4 - 5 22 - 15 = 7
2 - 3 15 - 5 = 10
0 - 1 5
12 คณตศาสตร เลม 5
9. ขอมลรายไดตอวนของพนกงานโรงงานหลอเหลกแหงหนงจานวน 60 คน เปนดงน
330 306 296 314 284 336 348 302 312 316 302 296
312 308 328 322 316 318 286 298 316 290 298 332
314 308 324 318 306 328 322 330 304 314 296 290
340 330 330 336 308 296 306 284 334 324 302 344
280 314 326 336 294 300 302 314 306 334 328 294
1) สรางตารางแจกแจงความถ ความถสะสม ความถสมพทธ ความถสะสมสมพทธ และ
รอยละความถสะสมสมพทธ ของขอมลรายไดตอวนของพนกงานโรงงานหลอเหลกแหงน
โดยกาหนดใหจานวนอนตรภาคชนของขอมลเทากบ 7 อนตรภาคชน
2) ขอมลในชวงใดทมความถสงสด
3) หารอยละของพนกงานทไดคาแรงระหวาง 320 - 329 บาท
4) หารอยละของพนกงานทไดคาแรงตงแต 300 บาทขนไป
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
1) สรางตารางแจกแจงความถ ไดดงน
หาความกวางของอนตรภาคชนจาก พสยจานวนอนตรภาคชน
= 687
= 9.71 ≈ 10
2) ขอมลทมความถสงสด คอ อนตรภาคชนท 4 รายได 300 - 309 บาท
3) รอยละของพนกงานทไดคาแรงระหวาง 320 - 329 บาท คอ 0.133 × 100 = 13.3%
4) รอยละของพนกงานทไดคาแรงตงแต 300 บาทขนไป คอ 100.1 - 23.4 = 76.6%
รายได (บาท) รอยขด ความถ ความถสะสมความถสมพทธ
ความถสะสมสมพทธ
รอยละความถสะสมสมพทธ
280 - 289 4 4 0.067 0.067 6.7
290 - 299 10 14 0.167 0.234 23.4
300 - 309 13 27 0.217 0.451 45.1
310 - 319 12 39 0.200 0.651 65.1
320 - 329 8 47 0.133 0.784 78.4
330 - 339 10 57 0.167 0.951 95.1
340 - 349 3 60 0.050 1.001 100.1
รวม 60 1.001
คณตศาสตร เลม 5 13
10. ขอมลแสดงนาหนก (กโลกรม) ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 ของโรงเรยนแหงหนง
เปนดงน
43.4 63.7 47.8 56.8 71.0 63.2 57.8 53.7 58.9 61.1
77.3 82.4 49.9 51.2 63.4 65.2 77.3 55.6 48.7 59.0
65.1 64.4 76.3 45.5 88.5 69.8 53.6 69.2 84.6 78.9
57.2 72.6 57.3 63.2 67.2 80.2 41.9 74.6 66.8 82.6
43.6 81.0 62.4 59.2 53.7 68.9 81.7 74.2 70.3 56.5
1) สรางตารางแจกแจงความถ ความถสะสม ความถสมพทธ ความถสะสมสมพทธ และ
รอยละความถสะสมสมพทธของขอมลแสดงนาหนก (กโลกรม) ของนกเรยนชนมธยม-
ศกษาปท 6 ของโรงเรยนแหงน โดยใหอนตรภาคชนแรกเปน 40.0 - 47.9
2) ขอมลในชวงใดทมความถสงสด
3) หาอตราสวนของนกเรยนทมนาหนกนอยกวา 80 กโลกรมตอจานวนนกเรยนทงหมด
4) หารอยละของนกเรยนทมนาหนก 56.0 - 79.9 กโลกรม
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
1) สรางตารางแจกแจงความถ ไดดงน
หาความกวางของอนตรภาคชนจาก ขอบบน - ขอบลาง = 47.95 - 39.95 = 8
2) ขอมลในอนตรภาคชนท 3 ทมนาหนก 56.0 - 63.9 กโลกรม มความถสงสด
3) อตราสวนของนกเรยนทมนาหนกนอยกวา 80 กโลกรมตอจานวนนกเรยนทงหมดเทากบ
43 : 50
4) รอยละของนกเรยนทหนก 56.0 - 79.9 กโลกรม เทากบ 86 - 24 = 62
นาหนก (กโลกรม)
รอยขด ความถ ความถสะสมความถสมพทธ
ความถสะสมสมพทธ
รอยละความถสะสมสมพทธ
40.0 - 47.9 5 5 0.10 0.10 10
48.0 - 55.9 7 12 0.14 0.24 24
56.0 - 63.9 14 26 0.28 0.52 52
64.0 - 71.9 10 36 0.20 0.72 72
72.0 - 79.9 7 43 0.14 0.86 86
80.0 - 87.9 6 49 0.12 0.98 98
88.0 - 95.9 1 50 0.02 1.00 100
รวม 50 1.00
14 คณตศาสตร เลม 5
การแจกแจงความถแบบใชกราฟ การใชกราฟแสดงการแจกแจงความถของขอมล สามารถทาใหเหนการกระจายของ
ขอมลไดชดเจนกวาการดจากตารางแจกแจงความถ
จากตวอยางขอมลคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน ม.6 จานวน 30 คน
คะแนนสอบ ความถ ขอบลาง ขอบบนจดกงกลาง
ของอนตรภาคชนความถสะสม
ความถสมพทธ
ความถสะสมสมพทธ
34 - 44 1 33.5 44.5 39.0 1 0.033 0.033
45 - 55 7 44.5 55.5 50.0 8 0.233 0.266
56 - 66 5 55.5 66.5 61.0 13 0.167 0.433
67 - 77 9 66.5 77.5 72.0 22 0.300 0.733
78 - 88 5 77.5 88.5 83.0 27 0.167 0.900
89 - 99 3 88.5 99.5 94.0 30 0.100 1.000
รวม 30
ฮสโทแกรม หรอรปสเหลยมผนผาของความถ
เปนการแสดงความถโดยใชพนทสเหลยมผนผา
คลายกบการนาเสนอขอมลแบบกราฟแทง โดย
ทแตละแทงจะตดกน เพราะใชขอบเขตลางและ
ขอบเขตบนของขอมลแตละชน
รปหลายเหลยมของความถ เปนการแสดง
ความถซงสรางตอจากการทาฮสโทแกรมโดย
การแบงกงกลางทยอดของแตละแทงแลวลาก
เสนเชอมของจดแบง จะไดรปหลายเหลยมของ
ความถ
โคงของความถ เปนโคงทเกดจากการปรบเสน
ของรปหลายเหลยมของความถใหเรยบขน โดย
การปรบจะตองใหพนทภายใตเสนโคงทปรบใหม
มขนาดใกลเคยงกบพนทของรปหลายเหลยม
ของความถ
2
4
6
33.5 44.5 55.5 66.5 77.5 88.5 99.5
8
10
ความถ (คน)
คะแนนสอบ(คะแนน)
ความถ (คน)
33.5 44.5 55.5 66.5 77.5 88.5 99.5 109.5
2
4
6
8
10
คะแนนสอบ(คะแนน)
2
4
6
8
10
ความถ (คน)
33.5 44.5 55.5 66.5 77.5 88.5 99.5 109.5คะแนนสอบ(คะแนน)
ฉบบเฉลย
คณตศาสตร เลม 5 15
โคงความถสะสม เปนโคงทแสดงความถสะสมของขอมลตงแตคาตาสด โดยใชแกน Y เปนความถ
สะสม และแกน X เปนขดจากดชนทแทจรงของขอมลแตละชน ตอจากนนจงลากเสนโยงจดแตละ
จดเหลานน
แผนภาพตน - ใบ เปนการจดขอมลเปนกลมอาจใชวธการสรางแผนภาพเพอแจกแจงความถและ
วเคราะหขอมลเบองตนไปพรอมๆ กน
ตวอยาง ขอมลแสดงนาหนกของนกเรยนชน ม.6 จานวน 2 หอง
หอง 145 48 55 67 61 48 58 59 50 60
72 63 69 49 56 51 69 49 59 66
หอง 252 65 58 48 48 63 58 81 55 60
65 51 57 70 61 54 44 82 47 79
จากขอมลในตารางสามารถสรางแผนภาพตน - ใบ ไดดงน
หอง 1 หอง 2
5 8 8 9 9 4 4 7 8 8
0 1 5 6 8 9 9 5 1 2 4 5 7 8 8
0 1 3 6 7 9 9 6 0 1 3 5 5
2 7 0 9
8 1 2
33.5 44.5 55.5 66.5 77.5 88.5 99.5คะแนนสอบ (คะแนน)
ความถสะสม (คน)
5
10
15
20
25
30
ฉบบเฉลย
16 คณตศาสตร เลม 5
1. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 50 คน เปนดงน
45 28 47 39 74 64 53 72 80 34 42 55 56 73 25 58 36 65
57 59 60 57 68 64 49 50 39 38 41 53 73 56 61 62 66 57
85 47 69 50 63 62 53 29 34 52 40 49 53 66
1) สรางตารางแจกแจงความถทมความกวางของอนตรภาคชนเทากน และอนตรภาคชนแรก
เปน 20 - 29
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
2) สรางฮสโทแกรม รปหลายเหลยมของความถ เสนโคงของความถ และเสนโคงความถสะสม
จากตารางแจกแจงความถทได
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
Exerciseจดประสงค นกเรยนมความรความเขาใจเกยวกบการแจกแจงความถเพอนามาใชในการวเคราะหขอมลเบองตน
1.2 B
ฉบบเฉลย
คะแนนสอบ ความถ จดกงกลางชน ความถสะสม
20 - 29 3 24.5 3
30 - 39 6 34.5 9
40 - 49 8 44.5 17
50 - 59 15 54.5 32
60 - 69 12 64.5 44
70 - 79 4 74.5 48
80 - 89 2 84.5 50
19.5 29.5
คะแนนสอบ(คะแนน)19.5 29.5
4
6
8
10
12
14
16
2
39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5
ความถ (คน)
20
30
40
50
10
39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5คะแนนสอบ(คะแนน)
ความถสะสม (คน)
คณตศาสตร เลม 5 17
2. ความสง (เซนตเมตร) ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 ของโรงเรยนแหงหนง จานวน 40 คน
ดงน
157 167 154 162 164 166 178 180 185 148
156 158 160 166 163 159 158 170 174 171
159 165 158 163 170 176 167 160 155 182
172 162 179 169 173 158 153 156 170 167
1) สรางตารางแจกแจงความถทมอนตรภาคชนแรกเปน 140 - 149
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
2) สรางฮสโทแกรม รปหลายเหลยมของความถ เสนโคงของความถ และเสนโคงความถสะสม
จากตารางแจกแจงความถทได
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
คะแนนสอบ ความถ จดกงกลางชน ความถสะสม
140 - 149 1 144.5 1
150 - 159 12 154.5 13
160 - 169 14 164.5 27
170 - 179 10 174.5 37
180 - 189 3 184.5 40
ความถสะสม (คน)
40
30
20
10
134.5 144.5 154.5 164.5 174.5 184.5คะแนนสอบ (คะแนน)
คะแนนสอบ (คะแนน)
ความถ (คน)
20
15
10
5
129.5 139.5 149.5 159.5 169.5 179.5 189.5 199.5
18 คณตศาสตร เลม 5
3. ขอมลระดบไขมนในเลอด (มลลกรมตอเดซลตร) ของผทเขารบการตรวจสขภาพจานวน 30 คน
เปนดงน
156 142 178 203 212 167 174 195 193 169
179 180 168 189 138 166 158 182 146 183
191 213 184 159 215 178 145 160 188 163
1) สรางแผนภมตน - ใบ แทนขอมลขางตน
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
2) ผทเขารบการตรวจสขภาพสวนใหญมระดบไขมนในเลอดเทาไร
........................................................................................................................................................................................................................................
3) ถาระดบไขมนในเลอดของคนปกตอยระหวาง 140 - 200 มก./ดล. ในกลมผทเขารบการ
ตรวจสขภาพนมกเปอรเซนตทระดบไขมนในเลอดผดปกต
........................................................................................................................................................................................................................................
4. แผนภาพตน - ใบ แสดงนาหนกของมะมวง (กรม) ทวางขายในแผงผลไมซงสมหยบ เปนดงน
1) มะมวงทงหมดทถกสมมาชงมทงหมดกผล
............................................................................................................................
2) มะมวงทงหมดทถกสมมาชงสวนใหญมนาหนก
เทาไร
............................................................................................................................
3) ในจานวนมะมวงทถกสมมาชงมกเปอรเซนต
ทหนกกวา 370 กรม
............................................................................................................................
4) มะมวงทงหมดทถกสมมาชงมนาหนกรวมกน
ทงหมดกกโลกรม
............................................................................................................................
32 3 8 9
33 2 3 7 9
34 3 3 3 6 8
35 5 8 9
36 2 6 6 8 9 9
37 0 1 2 4 6 7 8
38 2 3 7 8
39 1 3 4
40 0 2 5
ฉบบเฉลย
13 8
14 2 5 6
15 6 8 9
16 0 3 6 7 8 9
17 4 8 8 9
18 0 2 3 4 8 9
19 1 3 5
20 3
21 2 3 5
160 - 189 มลลกรมตอเดซลตร
ผทเขารบการตรวจสขภาพมระดบไขมนในเลอดผดปกต จานวน 5 คน คดเปน 16.67%
38 ผล
370 - 378 กรม
ประมาณ 42.11%
13.859 กโลกรม
คณตศาสตร เลม 5 19
5. นกเรยนหองหนงมผลการสอบวชาท 1 และวชาท 2 ซงแตละวชามคะแนนเตม 100 คะแนน
เปนดงน
วชาท 130 34 45 83 100 75 72 73 90 81
74 56 69 93 76 87 65 72 70 94
วชาท 269 99 87 60 94 63 45 55 57 75
83 80 63 65 43 46 79 65 76 98
1) สรางแผนภาพตน - ใบ เพอแสดงคะแนนสอบของทงสองวชาน ใหใชเลขโดดจากหลกสบ
ของคะแนนแตละวชาสรางเปนลาตนรวมกน
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
2) นกเรยนสวนใหญไดคะแนนวชาท 1 อยในชวงใด
........................................................................................................................................................................................................................................
3) นกเรยนสวนใหญไดคะแนนวชาท 2 อยในชวงใด
........................................................................................................................................................................................................................................
4) ความแตกตางระหวางคะแนนสงสดและคะแนนตาสดของวชาท 1 เทากบเทาใด
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
5) ความแตกตางระหวางคะแนนสงสดและคะแนนตาสดของวชาท 2 เทากบเทาใด
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
นกเรยนสวนใหญไดคะแนนวชาท 1 อยในชวง 70 - 76 คะแนน
นกเรยนสวนใหญไดคะแนนวชาท 2 อยในชวง 60 - 69 คะแนน
ความแตกตางระหวางคะแนนสงสดและคะแนนตาสดของวชาท 1 เทากบ 100 - 30 = 70 คะแนน
ความแตกตางระหวางคะแนนสงสดและคะแนนตาสดของวชาท 2 เทากบ 99 - 43 = 56 คะแนน
วชาท 1 วชาท 2
0, 4 3
5 4 3, 5, 6
6 5 5, 7
5, 9 6 0, 3, 3, 5, 5, 9
0, 2, 2, 3, 4, 5, 6 7 5, 6, 9
1, 3, 7 8 0, 3, 7
0, 3, 4 9 4, 8, 9
0 10
20 คณตศาสตร เลม 5
ฉบบเฉลย
แนวคด เตมตวเลขลงในตารางใหสมบรณ โดยเรมจากอนตรภาคชนท 4
จากความสมพนธ ความถสมพทธ = ความถ
จานวนขอมลทงหมด
แนวคด ขอ 1. ผด เพราะนกเรยนทไดคะแนน 40 - 49 คะแนน เทากบ 1020
× 100 = 50%
ขอ 2. ผด เพราะนกเรยนสวนใหญไดคะแนน 40 - 49 คะแนน
ขอ 3. ถก
ขอ 4. ผด เพราะไมสามารถสรปไดวานกเรยนทไดคะแนนนอยกวา 47 คะแนนมกคน
ความถ 1 10 7 2
กาหนดให N แทนจานวนขอมล
ทงหมด
จะได 6N = 0.3
N = 20
Test for U1. ขอมลชดหนงมบางสวนถกนาเสนอในตารางตอไปน
อนตรภาคชน ความถ ความถสะสม ความถสมพทธ
2 - 6 7 7 0.35
7 - 11 4 11 0.2
12 - 16 3 14 0.15
17 - 21 6 20 0.3
ชวงคะแนนใดเปนชวงคะแนนทมความถสงสด
1. 2 - 6 2. 7 - 11 3. 12 - 16 4. 17 - 21
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. กาหนดใหตารางแจกแจงความถสะสมของคะแนนของนกเรยนหองหนง เปนดงน
ชวงคะแนน 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69
ความถสะสม 1 11 18 20
ขอสรปในขอความตอไปนถกตอง
1. นกเรยนทไดคะแนน 40 - 49 คะแนน มจานวน 22%
2. นกเรยนสวนใหญไดคะแนน 60 - 69 คะแนน
3. นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน มจานวนนอยกวานกเรยนทไดคะแนน 40 - 49
คะแนน
4. นกเรยนทไดคะแนนนอยกวา 47 คะแนน มจานวนมากกวานกเรยนทไดคะแนนมากกวา
50 คะแนน
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
1 2
3 นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน มจานวนนอยกวานกเรยนทไดคะแนน 40
คณตศาสตร เลม 5 21
1. 3 ¡ÒÃÇÑ ¤‹Ò¡ÅÒ§¢Í§¢ŒÍÁÙÅ Central Value
คากลางของขอมลเปนคาสถตหรอคาพารามเตอรทไดจากการวเคราะหขอมลชดหนง
แลวนาผลทไดมาสรปและตความหมายของขอมล ใชเปนตวแทนของขอมลทงหมดเพอความ
สะดวกในการสรปเรองราวเกยวกบขอมลนนๆ คากลางทเปนตวแทนของขอมลทนยมใชมอย 3 คา
ไดแก คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม
สญลกษณแทนการบวก ใชสญลกษณ “Σ” แทนการบวก เชน
1) Σ xi = x1 + x2 + … + xN
2) Σ xi2 = x1
2 + x22 + … + xN
2
3) Σ fi xi = f1x1 + f2x2 + … + fN xN
สมบตของสญลกษณการบวก
กาหนดให c เปนคาคงท
1) Σ c = cN
2) Σ cxi = cΣ xi
3) Σ (xi ± yi) = Σ xi ± Σ yi
N
i=1N
i=1N
i=1
N
i=1N
i=1
N
i=1N
i=1
N
i=1
N
i=1
1. เขยนผลบวกของพจนตอไปนในรปของ Σ
1) 3x13 + 3x2
3 + 3x33 + … + 3x3
99 = ………………………………………………………………………………………………
2) (x1 - y1)2 + (x2 - y2)
2 + (x3 - y3)2 + … + (xn - yn)
2 = ……………………………………………………
3) f1x12 + f2x2
2 + f3x32 + f4x4
2 + … + fmxm2 = ………………………………………………………………………………
2. กาหนดให x1, x2, x3, x4 และ x5 มคาเทากบ 1, 3, 4, 8 และ 11 ตามลาดบ และ f1, f2, f3,
f4 และ f5 มคาเทากบ 2, 4, 3, 5 และ 7 ตามลาดบ หาคาในแตละขอตอไปน
1) Σ xi = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
2) Σ fi = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
5
i=15
i=1
Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถใชเครองหมายซกมาแทนการบวกและใชสมบตของซกมาแทนการบวกได
1.3 A
ฉบบเฉลย
Σ 3xi3
Σ (xi - yi)2
Σ fixi2
99
i=1n
i=1m
i=1
1 + 3 + 4 + 8 + 11 = 27
2 + 4 + 3 + 5 + 7 = 21
22 คณตศาสตร เลม 5
3) Σ fi xi = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) Σ (xi + 5) = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) Σ (xi - 11) = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6) Σ (fixi - 1) = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
7) Σ xi2 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
8) Σ (xi - 4)2 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
9) Σ (xi + 1)2 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
10) Σ (fi + 2)(xi - 6) = ………………………………………………………………………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………………………………………………………………………….
3. กาหนดให Σ xi = 20, Σ xi2 = 110 และ Σ xi
3 = 235 หาคาในแตละขอตอไปน
1) Σ (-3xi ) = ……………………………………………………………………………………………………………………..
2) Σ (2xi2 + 4xi + 5) = ……………………………………………………………………………………………………………………..
= ……………………………………………………………………………………………………………………..
3) Σ (xi3 - xi
2 - 3xi + 17) = ……………………………………………………………………………………………………………………..
= ……………………………………………………………………………………………………………………..
4. กาหนดให Σ xi = 25, Σ (xi - 5)2 = 145 หาคาของ Σ xi
2
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
5. กาหนดให Σ xi = 10, Σ yi = 30 และ Σ xiyi = 65 หาคาของ Σ (xi + 3)(yi - 2) วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
5
i=15
i=15
i=15
i=15
i=15
i=15
i=15
i=1
10
i=1
10
i=1
10
i=110
i=110
i=1
10
i=1
12
i=1
12
i=1
12
i=1
40
i=1
40
i=1
40
i=1
40
i=1
ฉบบเฉลย
2(1) + 4(3) + 3(4) + 5(8) + 7(11) = 143
Σ xi + Σ 5 = 27 + 5(5) = 52
Σ xi - Σ11 = 27 - 11(5) = -28
Σ fixi - Σ1 = 143 - 1(5) = 138
12 + 32 + 42 + 82 + 112 = 211
Σ (xi2 - 8xi + 16) = Σ xi
2 - 8Σ xi + Σ16 = 211 - 8(27) + 16(5) = 75
Σ (xi2 + 2xi + 1) = Σ xi
2 + 2Σ xi + Σ1 = 211 + 2(27) + 1(5) = 270
5
i=1
5
i=15
i=1
5
i=15
i=1
5
i=1
5
i=1
5
i=1
5
i=1
5
i=15
i=1
5
i=1
5
i=1
5
i=1
Σ (fixi + 2xi - 6fi - 12) = Σ fixi + 2Σ xi - 6Σ fi - Σ12
143 + 2(27) - 6(21) - 12(5) = 11
5
i=1
5
i=1
5
i=1
5
i=1
5
i=1
-3Σ xi = -3(20) = -60
2Σ xi2 + 4Σ xi + Σ 5
2(110) + 4(20) + 5(10) = 350
Σ xi3 - Σ xi
2 - 3Σ xi + Σ 17
235 - 110 - 3(20) + 17(10) = 235
10
i=110
i=1
10
i=1
10
i=1
10
i=1
10
i=1
10
i=1
10
i=1
จาก Σ (xi - 5)2 = Σ (xi
2 - 10xi + 25)
145 = Σ xi2 - 10Σ xi + Σ 25
145 = Σ xi2 - 10(25) + 25(12)
Σ xi2 = 95
12
i=1
12
i=112
i=1
12
i=1
12
i=112
i=112
i=1
จาก Σ (xi + 3)(yi - 2) = Σ (xiyi - 2xi + 3yi - 6)
= Σ xiyi - 2Σ xi + 3Σ yi - Σ 6
= 65 - 2(10) + 3(30) - 6(40)
= -105
40
i=1
40
i=140
i=1
40
i=1
40
i=1
40
i=1
คณตศาสตร เลม 5 23
คาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเลขคณต คอ คาของผลรวมของคาสงเกตของขอมลทงหมด หารดวยจานวน
ของขอมลทงหมด คาเฉลยเลขคณตเหมาะทจะนามาเปนคากลางของขอมลเมอขอมลนนไมม
คาใดคาหนงสงหรอตาผดปกต
การหาคาเฉลยเลขคณตกรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ
คาเฉลยเลขคณตของประชากร (μ)
μ = Σ xi
N
i=1
N
เมอ xi แทน ขอมลตวท i
N แทน จานวนขอมลทงหมด
คาเฉลยเลขคณตของตวอยาง (X )
X = Σ xi
n
i=1n
เมอ xi แทน ขอมลตวท i
n แทน ขนาดของตวอยาง
1. เตมคาตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ
ขอท ขอมลจานวนขอมล
ผลบวกของขอมลทงหมด
คาเฉลยเลขคณต
1 1, 3, 5, 7, 9, 11 6 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 366 = 6
2 2, 4, 6, 8 4 2 + 4 + 6 + 8 = 20 204 = 5
3 5, 10, 15, 20 4
4 11, 13, 15, 17, 19 5
5 150, 152, 154, 156, 158, 160 6
6 0.5, 0.7, 0.9, 0.11, 0.13, 0.15 6
7 22, 24, 26, 28, 30, 32 6
8 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 8
9 3, 7, 11, 15, 19 5
10 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 7
จดประสงค นกเรยนสามารถหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทไมไดแจกแจงความถได
Exercise 1.3 B
ฉบบเฉลย
50
75
930
2.49
162
184
55
280
12.5
15
155
0.42
27
23
11
40
24 คณตศาสตร เลม 5
2. การแขงขนบาสเกตบอลของทมนกกฬาโรงเรยนแหงหนง จานวน 8 ครง คะแนนททาได มดงน
58, 70, 63, 59, 66, 52, 71 และ 69 คาเฉลยเลขคณตของคะแนนทนกบาสเกตบอลทมน
ทาไดในการแขงขนเทากบเทาใด
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
3. ขอมลชดหนงม 6 จานวน คอ 35, 64, 72, 45, 69, x, 114 ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมล
ชดนเทากบ 68 แลว x มคาเทาใด
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
4. คาเฉลยเลขคณตของอายของนกศกษากลมหนงเปน 20 ป ถานกศกษาคหนงเปนพนองกน
ซงมอายหางกน 3 ป สวนนกศกษาทเหลออาย 18, 20, 23, 17 และ 19 ป อายของ
พนองคนนเทากบเทาใด
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
5. ขอมลชดหนงม 5 จานวน กอยลอกขอมลชดนเปนดงน 30, 13, 32, 15 และ 43 ปรากฏวา
กอยลอกขอมลจานวนสดทายผดไป ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทถกตอง คอ 26 อยาก
ทราบวากอยลอกขอมลผดไปเทาใด และจานวนนนเปนเทาไร
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
คาเฉลยเลขคณต = 58 + 70 + 63 + 59 + 66 + 52 + 71 + 698
= 5088 = 63.5
ดงนน คะแนนเฉลยในการแขงขนททมนกบาสเกตบอลทาได เทากบ 63.5
คาเฉลยเลขคณต = 35 + 64 + 72 + 45 + 69 + x + 1146
68 = 399 + x6
408 = 399 + x
x = 9
คาเฉลยเลขคณต = 18 + 20 + 23 + 17 + 19 + x + (x + 3)7
20 = 100 + 2x7
140 = 100 + 2x
x = 20
ดงนน อายของพนองคนน คอ 20 ป และ 23 ป
คาเฉลยเลขคณต = 30 + 13 + 32 + 15 + (43 + x)5
26 = 133 + x5
130 = 133 + x
x = -3
ดงนน กอยลอกขอมลผดไป 3 แตม จานวนนน คอ 43 + (-3) = 40
คณตศาสตร เลม 5 25
6. ขอมลชดหนงม 10 จานวน หาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนไดเทากบ 2 ตอมาปรากฏวา
ผคานวณอานขอมลผดไป 2 จานวน คอ 0.2 และ 0.4 แตเขาอานเปน 2 และ 4 ตามลาดบ
อยากทราบวาคาเฉลยเลขคณตทถกตองเทากบเทาไร
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
7. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 หองหนงม 45 คน คาเฉลยเลขคณตของนาหนกของนกเรยน
หองน คอ 54 กโลกรม ตอมามนกเรยนยายเขามาใหม 1 คน มนาหนก 62 กโลกรม
คาเฉลยเลขคณตใหมของนาหนกของนกเรยนหองนเทากบเทาใด ถานกเรยนคนอนๆ มนาหนก
เทาเดม
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
8. กาหนดขอมล x1, x2, …, xn ถา Σ xi2 = 16 และ Σ (xi + 5)
2 = 311 แลวคาเฉลยเลขคณต
ของขอมลชดนเทากบเทาใด
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
9
i=1
9
i=1
ฉบบเฉลย
จะได X ผด =
Σ xผด
10
10
i=1
2 = Σ xผด
10
10
i=1
Σ xผด = 20
Σ xถก = 20 - 2 - 4 + 0.2 + 0.4 = 14.6
ดงนน X ถก =
Σ xถก
10
10
i=1 = 14.610 = 1.46
10
i=110
i=1
จะได X เกา =
Σ xเกาnเกา
45
i=1
54 = Σ xเกา
45
45
i=1
Σ xเกา = 2,430
Σ xใหม = 2,430 + 62 = 2,492
ดงนน X ใหม =
Σ xใหมnใหม
46
i=1 = 249246 = 54.17 กโลกรม
45
i=146
i=1
จาก Σ (xi - 5)2 = Σ (xi
2 + 10xi + 25)
311 = Σ xi2 + 10Σ xi + Σ 25
= 16 + 10Σ xi + 25(9)
Σ xi = 7
ดงนน คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน = Σ xin
9
i=1 = 79 = 0.78
9
i=1
9
i=19
i=1
9
i=1
9
i=19
i=19
i=1
26 คณตศาสตร เลม 5
คาเฉลยเลขคณตแบบถวงนาหนก คาเฉลยเลขคณตถวงนาหนก ใชในกรณทขอมลมความสาคญไมเทากน เชน การหา
ผลการเรยนเฉลย เนองจากแตละวชาอาจมจานวนหนวยกตไมเทากนจงจาเปนตองถวงนาหนก
ถาให w1, w2, w3, …, wk เปนความสาคญหรอนาหนกของคาจากการสงเกต x1, x2, x3,
…, xk ตามลาดบ แลว
คาเฉลยเลขคณตถวงนาหนกของประชากร (μ)
μ = w1μ1 + w2μ2 + … + wkμk
w1 + w2 + … + wk
= Σ wi μi
k
i=1
Σ wi
k
i=1
คาเฉลยเลขคณตถวงนาหนกของตวอยาง (X)
X = w1X
1 + w2X2 + … + wkXk
w1 + w2 + … + wk
= Σ wiXi
k
i=1
Σ wi
k
i=1
1. อรทยมผลการเรยนในภาคเรยนท 1 ดงน
วชา จานวนหนวยกต (wi) ผลการเรยน (xi)
คณตศาสตรพนฐาน 1.0 4.0
คณตศาสตรเพมเตม 1.5 3.5
วทยาศาสตรกายภาพ 1.0 3.0
ภาษาไทย 2.5 3.5
ภาษาองกฤษ 2.0 2.5
ประวตศาสตร 1.0 4.0
ระดบผลการเรยนเฉลยของอรทยเทากบเทาใด
วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาคาเฉลยเลขคณตถวงนาหนกได
1.3 Cฉบบเฉลย
จากสตร μ = Σ wixi
Σwi
6
i=16
i=1
จะได = 1.0(4.0) + 1.5(3.5) + 1.0(3.0) + … + 1.0(4.0)1.0 + 1.5 + 1.0 + … + 1.0 = 309 = 3.33
ดงนน ระดบคะแนนเฉลยของอรทยเทากบ 3.33
wixi
4.00
5.25
3.00
8.75
5.00
4.00
คณตศาสตร เลม 5 27
2. ในการสอบวชาคณตศาสตร 3 ครง กาหนดใหนาหนกในการสอบเปน 25%, 35% และ 40%
ตามลาดบ นกเรยนคนหนงสอบวชานไดแตละครงเปน 49, 72 และ 84 คะแนน ตามลาดบ
คาเฉลยในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนคนนเทากบเทาใด
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
3. ในการสอบวชาภาษาองกฤษของนายสมศกด ซงมการสอบ 4 ครง เปนการสอบยอย 3 ครง
และสอบปลายปอก 1 ครง ปรากฏวาคะแนนทนายสมศกดสอบไดสาหรบการสอบยอย 3 ครง
เปน 65, 72 และ 80 ตามลาดบ อาจารยผสอนเกบคะแนนสอบยอยครงละ 20% และสอบ
ปลายป 40% ถาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาภาษาองกฤษของการสอบทง 4 ครง
ของนายสมศกด คอ 73 คะแนน แลวนายสมศกดสอบปลายปไดเทาไร
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
จากสตร μ = Σ wixi
Σwi
3
i=13
i=1
จะได = 25(49) + 35(72) + 40(84)25 + 35 + 40
= 7105100
= 71.05
ดงนน คาเฉลยในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนคนนเทากบ 71.05 คะแนน
ให x แทนคะแนนสอบปลายปของสมศกด
จากสตร μ = Σ wixi
Σwi
4
i=14
i=1
73 = 20(65) + 20(72) + 20(80) + 40(x)20 + 20 + 20 + 40
2,960 = 40x
x = 74 คะแนน
ดงนน นายสมศกดสอบปลายปได 74 คะแนน
28 คณตศาสตร เลม 5
คาเฉลยเลขคณตรวม ในการวเคราะหขอมลหลายๆ ชดทหาคาเฉลยไวแลว หากตองการหาคาเฉลยเลขคณต
ของขอมลทงหมดโดยนบรวมเปนชดเดยว ตองใชการคานวณโดยคาเฉลยเลขคณตรวม
คาเฉลยเลขคณตรวมของประชากร (μรวม)
μรวม = μ1N1 + μ1N2 + … + μ1Nk
N1 + N2 + … + Nk
= Σ μiNi
k
i=1
Σ Ni
k
i=1
เมอ μi แทนคาเฉลยเลขคณตของประชากร
กลมท i
Ni แทนขนาดของประชากรในกลมท i
i = 1, 2, …, k
คาเฉลยเลขคณตรวมของตวอยาง (Xรวม)
X รวม =
X 1n1 + X
2n2 + … + X
knkn1 + n2 + … + nk
= Σ Xini
k
i=1
Σ ni
k
i=1
เมอ Xi แทนคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง
กลมท i
ni แทนขนาดของตวอยางกลมท i
i = 1, 2, …, k
1. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 ของโรงเรยนแหงหนงมทงหมด 5 หอง ซงแตละหองมจานวน
นกเรยนและคะแนนเฉลยวชาคณตศาสตรพนฐาน ดงน
วชา หอง 1 หอง 2 หอง 3 หอง 4 หอง 5
จานวนนกเรยน (คน) 45 47 50 53 49
คะแนนเฉลย 94 73 84 92 80
คาเฉลยรวมของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.6 เทากบเทาไร
วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาคาเฉลยเลขคณตรวมได
1.3 D ฉบบเฉลย
จากสตร μรวม = μ
1N1 + μ2N2 + μ3N3 + μ4N4 + μ5N5N1 + N2 + N3 + N4 + N5
= 94(45) + 73(47) + 84(50) + 92(53) + 80(49)45 + 47 + 50 + 53 + 49
= 20657244
= 84.66 คะแนน
ดงนน คาเฉลยรวมของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.6 เทากบ
84.66 คะแนน
คณตศาสตร เลม 5 29
2. ในการแขงขนไตรกฬารายการหนงมผเขารวมการแขงขนทงหมด 130 คน เปนหญง 55 คน
เปนชาย 75 คน โดยอายเฉลยของผเขารวมแขงขนทงหมดเทากบ 37.5 ป ซงนอยกวาอายเฉลย
ของผเขารวมแขงขนทเปนชาย 2.5 ป แลวอายเฉลยของผเขารวมแขงขนทเปนหญงเทากบ
เทาไร
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
3. ในการทดสอบความสามารถทางเทคโนโลยของนกศกษา 3 กลม ปรากฏผลดงน นกศกษา
กลมท 1 จานวน 20 คน มคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 17.8 คะแนน นกศกษา
กลมท 2 จานวน 24 คน มคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 19.2 คะแนน นกศกษา
กลมท 3 มคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 16.7 คะแนน และคานวณคาเฉลยเลขคณต
รวมได 17.2 คะแนน นกศกษากลมท 3 มจานวนเทาใด
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
จากสตร μรวม = μ
ชNช + μญNญ
Nช + Nญ
37.5 = (37.5 + 2.5)(75) + μ
ญ(55)
130
1875 = 55 μญ
μญ = 34.09 ป
ดงนน อายเฉลยของผเขารวมแขงขนทเปนหญงเทากบ 34.09 ป
จากสตร μรวม = μ
1N1 + μ2N2 + μ3N3
N1 + N2 + N3
17.2 = 17.8(20) + 19.2(24) + 16.7N3
20 + 24 + N3
17.2(44 + N3) = 356 + 460.8 + 16.7N3
756.8 + 17.2N3 = 816.8 + 16.7N3
0.5N3 = 60
N3 = 120
ดงนน จานวนนกศกษากลมท 3 เทากบ 120 คน
30 คณตศาสตร เลม 5
4. คาเฉลยเลขคณตของเงนเดอนของบรษทแหงหนงเทากบ 15,500 บาท เงนเดอนเฉลยของ
พนกงานชายและหญงเทากบ 16,700 บาท และ 14,800 บาท ตามลาดบ อตราสวนของ
จานวนพนกงานชายตอจานวนพนกงานหญงเทากบเทาไร
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
5. จากการสารวจรายจายตอวนของนกเรยนชาย 40 คน และนกเรยนหญง 50 คน รายจาย
ทงหมดตอวนคอ 12,380 บาท ถารายจายเฉลยตอวนของนกเรยนชายมากกวารายจาย
เฉลยตอวนของนกเรยนหญง 22.5 บาท รายจายเฉลยตอวนของนกเรยนชายเทากบเทาไร
วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
จากสตร μรวม = μ
ชNช + μญNญ
Nช + Nญ
15500 = 16700Nช + 14800Nญ
Nช + Nญ
15500Nช + 15500Nญ = 16700Nช + 14800Nญ
700Nญ = 1200Nช
NชNญ
= 712
ดงนน อตราสวนของจานวนพนกงานชายตอจานวนพนกงานหญงเทากบ 7 : 12
จากสตร μรวม =
N
i=1Σ xi (รวม)
Nรวม
= 1238040 + 50 = 137.56 บาท
จากสตร μรวม = μ
ชNช + μญNญ
Nช + Nญ
137.56 = μ
ช(40) + (μ
ช - 22.5)(50)
40 + 50
μช = 150.06 บาท
ดงนน รายจายเฉลยตอวนของนกเรยนชายเทากบ 150.06 บาท
คณตศาสตร เลม 5 31
6. นกเรยนหองหนงม 140 คน และอตราสวนของจานวนนกเรยนชายตอจานวนนกเรยนหญง
เทากบ 3 : 4 ปรากฏวาคาเฉลยของนาหนกของนกเรยนชายเทากบจานวนนกเรยนชาย
และคาเฉลยของนาหนกของนกเรยนหญงเทากบจานวนนกเรยนหญงพอด คาเฉลยของนาหนก
ของนกเรยนทงหองเทากบเทาไร
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
7. จากผลสอบของนกเรยน 30 คน ในหองหนง พบวาคาเฉลยของคะแนนของนกเรยนชาย
เทากบจานวนนกเรยนชายพอด และคาเฉลยของคะแนนของนกเรยนหญงกเทากบจานวน
นกเรยนหญงพอด ถาคาเฉลยรวมทงหองเปน 46.83 คะแนน และจานวนนกเรยนชายนอยกวา
จานวนนกเรยนหญง แลวจานวนนกเรยนชายเทากบเทาใด
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
ใหจานวนนกเรยนชายเทากบ 3x คน และจานวนนกเรยนหญงเทากบ 4x คน
จากสตร μรวม = μ
ชNช + μญNญ
Nช + Nญ
จะได 3x + 4x = 140
7x = 140
x = 20
ดงนน หองนมนกเรยนชาย 3(20) = 60 คน หองนมนกเรยนหญง 4(20) = 80 คน
และ μช = 60 , μญ = 80
μรวม = 60(60) + 80(80)140
= 71.43
ดงนน คาเฉลยของนาหนกของนกเรยนทงหองเทากบ 71.43 กโลกรม
ใหจานวนนกเรยนชายเทากบ x คน และจานวนนกเรยนหญงเทากบ 30 - x คน
จากสตร Xรวม = X
ชNช + XญNญ
Nช + Nญ
46.83 = x2 + (30 - x)2
30
468 = 2x2 - 60x + 900
2x2 - 60x + 432 = 0
(2x - 36)(x - 12) = 0
x = 12, 18
เนองจากจานวนนกเรยนชายนอยกวานกเรยนหญง
ดงนน จานวนนกเรยนชายเทากบ 12 คน
32 คณตศาสตร เลม 5
การหาคาเฉลยเลขคณตกรณทขอมลแจกแจงความถ
การคานวณหาคาเฉลยเลขคณตโดยวธนใชสตรทานองเดยวกบการหาคาเฉลยโดยวธ
ถวงนาหนก โดยทความสาคญของนาหนกในทนคอความถของคาจากการสงเกตแตละคา หรอ
คาทเปนตวแทนของแตละอนตรภาคชน ซงเรยกวา จดกงกลางของอนตรภาคชน
ถาให x1, x2, x3, …., xk เปนจดกงกลางของอนตรภาคชนท 1, 2, 3, …, k และ f1, f2,
f3, …, fkเปนความถของขอมลแตละอนตรภาคชนตามลาดบ แลวจะไดคาเฉลยเลขคณต คอ
คาเฉลยเลขคณตของประชากร (μ)
μ = Σ fi xi
Σ fik
i=1
k
i=1 = Σ fi xi
N
k
i=1
คาเฉลยเลขคณตของตวอยาง (X)
X = Σ fi xi
Σ fik
i=1
k
i=1 = Σ fi xin
k
i=1
1. หาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทกาหนดใหตอไปน
คะแนน 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10
ความถ 1 2 2 4 5 7 11 12 8 5 3
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถได
1.3 D
เมอ N แทนจานวนขอมลทงหมดของประชากร
n แทนจานวนตวอยางทงหมด
xi แทนจดกงกลางของชนท i
fi แทนความถของอนตรภาคชนท i
k แทนจานวนอนตรภาคชน
ฉบบเฉลย
จากสตร X =
k
i=1Σ fi xi
n
= 83860
= 13.97
ดงนน คาเฉลยเลขคณตของขอมลเทากบ 13.97 คะแนน
fixi 20 38 36 68 80 105 154 156 96 55 30 838
รวม
60
คณตศาสตร เลม 5 33
2. หาคา a ททาใหคาเฉลยเลขคณตของขอมลทกาหนดให มคาเทากบ 54.43
xi 40 45 50 55 60 65 รวม
fi 2 3 12 a 8 6 31 + a
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. ตารางแสดงความถของอายของคนกลมหนงจานวน 70 คน คาเฉลยเลขคณตของอายของ
คนกลมนเทากบเทาใด
อาย จานวนคน
11 - 15 1
16 - 20 7
21 - 25 9
26 - 30 13
31 - 35 14
36 - 40 26
รวม 70
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
fixi 80 135 600 55a 480 390 1685 + 55a
xi fixi
13 13
18 126
23 207
28 364
33 462
38 988
2160
จากสตร X =
k
i=1Σ fi xi
n
54.43 = 1685 + 55a31 + a
1687.33 + 54.43a = 1685 + 55a
a = 4.09
ดงนน a มคาประมาณ 4
จากสตร X =
k
i=1Σ fi xi
n
= 216070
= 30.86
ดงนน คาเฉลยเลขคณตของอายของคนกลมนเทากบ 30.86 ป
34 คณตศาสตร เลม 5
4. นกเรยน 40 คน สอบวชาภาษาไทยไดคะแนนดงตารางตอไปน
คะแนน จานวนนกเรยน
40 - 49 2
50 - 59 7
60 - 69 8
70 - 79 18
80 - 89 5
รวม 40
คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบเทาไร
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. หาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดหนงทกาหนดใหตอไปน
ชวงของขอมล fi1.0 - 1.4 3
1.5 - 1.9 4
2.0 - 2.4 7
2.5 - 2.9 3
3.0 - 3.4 1
3.5 - 3.9 2
รวม 20
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
xi fixi
44.5 89.0
54.5 381.5
64.5 516.0
74.5 1,341.0
84.5 422.5
2,750.0
xi fixi
1.2 3.6
1.7 6.8
2.2 15.4
2.7 8.1
3.2 3.2
3.7 7.4
44.5
จากสตร μ =
k
i=1Σ fi xi
N
= 275040
= 68.75
ดงนน คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 68.75 คะแนน
จากสตร X =
k
i=1Σ fi xi
n
= 44.520
= 2.225
ดงนน คาเฉลยเลขคณตของขอมลเทากบ 2.225 คะแนน
คณตศาสตร เลม 5 35
การหาคาเฉลยเลขคณตโดยวธทอนคาขอมลหรอวธลด การหาคาเฉลยเลขคณตกรณทขอมลแจกแจงความถแลว โดยความกวางของแตละ
อนตรภาคชนเทากน
X = A + I (Σ fidi
Σ fik
i=1
k
i=1 )
เมอ A แทน จดกงกลางของอนตรภาคชนทมความถสงสด หรอชนทอยตรงกลาง
I แทน ความกวางของอนตรภาคชน
di แทน xi - AI เมอ xi คอ จดกงกลางชนท i
ตวอยาง หาคาเฉลยเลขคณตของขอมลตอไปน โดยใชวธลด
ขอมล ความถ
110 - 129 11
130 - 149 10
150 - 169 21
170 - 189 18
รวม 60
วธทา เลอกอนตรภาคชนท 3 จะได A = 159.5
ขอมล ความถ di fidi
110 - 129 11 -2 -22
130 - 149 10 -1 -10
150 - 169 21 0 0
170 - 189 18 1 18
รวม 60 -14
A = 159.5
จากสตร
X = A + I (Σ fidi
Σ fik
i=1
k
i=1 )
= 159.5 + 20 (-1460 ) = 154.83
A เปนจดกงกลางของอนตรภาคชนใดกได แตเพอความสะดวกในการคานวณจงควรเลอก
อนตรภาคชนทมความถสงสด
Note
ฉบบเฉลย
36 คณตศาสตร เลม 5
1. นกเรยนชน ม.3 ของโรงเรยนแหงหนง มความสงตามตารางแจกแจงความถตอไปน
ความสง จานวนนกเรยน
121 - 130131 - 140141 - 150151 - 160171 - 180
111417208
รวม 70
นกเรยนกลมนมความสงเฉลยเทากบเทาไร
วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. บรษทแหงหนงใหอตราเงนเดอนของพนกงานตามตารางแจกแจงความถตอไปน
เงนเดอน จานวนพนกงาน
13,000 - 14,99915,000 - 16,99917,000 - 18,99919,000 - 20,99921,000 - 22,99923,000 - 24,99925,000 - 26,999
81531211596
รวม 105
คาเฉลยเลขคณตของเงนเดอนพนกงานเทากบเทาใด
วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exerciseจดประสงค สามารถหาคาเฉลยเลขคณตโดยวธทอนคาขอมลได
1.3 E
ฉบบเฉลย
เลอกอนตรภาคชนท 3 จะได A = 145.5
จากสตร X = A + I (Σ fidi
Σ fi5
i=1
5
i=1 ) = 145.5 + 10 ( 070) = 145.5
เลอกอนตรภาคชนท 3 จะได A = 19,999.5
จากสตร X = A + I (Σ fidi
Σ fi7
i=1
7
i=1 ) = 19,999.5 + 20,000 (-34105) = 13,523.31
di fidi
-2
-1
0
1
2
-22
-14
0
20
16
0 0
di fidi
-3
-2
-1
0
1
2
3
-24
-30
-31
0
15
18
18
-34
คณตศาสตร เลม 5 37
3. ฮสโทแกรมแสดงคาใชจายของนกเรยนกลมหนงเปนดงน
5
10
15
20
คาใชจาย (บาท)
20 25 30 35 40 45จานวนนกเรยน (คน)
คาเฉลยเลขคณตของคาใชจายเทากบกบาทตอวน
วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. ขอมล ความถ
12.1 - 13.013.1 - 14.014.1 - 15.015.1 - 16.016.1 - 17.0
7141153
รวม 40
จากตารางแจกแจงความถ คาของ N(μ - A) เทากบเทาไร เมอ A เปนจดกงกลางของ
อนตรภาคชนของชนทมความถมากทสด
วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
จากฮสโทแกรมจะได
xi 20 25 30 35 40 45 รวม
fi 8 14 17 20 11 4 74
di -3 -2 -1 0 1 2
fidi -24 -28 -17 0 11 8 -50
เลอกอนตรภาคชนท 3 จะได A = 35
จากสตร X = A + I (Σ fidi
Σ fi6
i=1
6
i=1 ) = 35 + 5 (-5074 ) = 31.62
เลอกอนตรภาคชนท 2 จะได A = 13.55
จากสตร μ = A + I (Σ fidi
Σ fi5
i=1
5
i=1 ) = 13.55 + 1 (2340) = 14.125
ดงนน N(μ - A) = 40(14.125 - 13.55) = 23
di fidi
-1
0
1
2
3
-7
0
11
10
9
23
38 คณตศาสตร เลม 5
สมบตทสาคญของคาเฉลยเลขคณต
1. คาเฉลยเลขคณตเมอนามาคณกบจานวนขอมลทงหมดจะมคาเทากบผลรวมของ
ขอมลทกๆ คา
Σ xi = Nμ และ Σ xi = nX
2. ผลรวมของผลตางระหวางขอมลแตละคากบคาเฉลยเลขคณตเทากบศนย
Σ (xi - μ) = 0 และ Σ (xi - X) = 0
3. ผลรวมของผลตางกาลงสองระหวางขอมลแตละคากบจานวนจรง M ใดๆ จะมคา
นอยทสด เมอ M เทากบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนน
Σ (xi - M)2 นอยทสด เมอ M = μ และ
Σ (xi - M)2 นอยทสด เมอ M = X
4. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใดๆ จะตองอยระหวางคาสงเกตทนอยทสด กบคาสงเกต
ทมากทสดในขอมลชดนน
xmin < μ < xmax และ xmin < X < xmax
5. ถาตวแปร Y สมพนธกบตวแปร X ในรปฟงกชนเชงเสน นนคอ ถา yi = axi + b
เมอ i = 1, 2, 3, …, N เมอ a และ b เปนคาคงตวใดๆ แลว
μy = aμx + b และ Y = aX + b
N
i=1
n
i=1
N
i=1
n
i=1
N
i=1
n
i=1
ฉบบเฉลย
คณตศาสตร เลม 5 39
1. ขอมลชดหนงม 18 จานวน ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 8.5 แลวผลบวกของ
ขอมลชดนเทากบเทาไร
วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. ตารางแสดงการกระจายของจานวน a - 12 คาเฉลยเลขคณตของขอมล a เทากบเทาไร
a - 12 ความถ
357911
4816125
รวม 45
วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. กาหนดขอมล (xi) ดงน 18.2, 15.7, 21.4, 23.8, 19.6 หาคาจานวนจรง a ททาให
Σ (xi - a) = 0
วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5
i=1
Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถนาสมบตทสาคญของคาเฉลยเลขคณตไปใชได
1.3 F
ฉบบเฉลย
จากสมบต Σ xi = nX
จะได Σ xi = 18(8.5) = 153
ดงนน ผลบวกของขอมลชดนเทากบ 153
n
i=1n
i=1
จากสตร X = Σ fixi
Σ fi5
i=1
5
i=1 = 32745
= 7.27
ดงนน คาเฉลยเลขคณตของ a - 12 เทากบ 7.27
นนคอ คาเฉลยเลขคณตของ a เทากบ 7.27 + 12 = 19.27
จากสมบต Σ (xi - X) = 0
จะไดวา a = X = Σxin
n
i=1
= 18.2 + 15.7 + 21.4 + 23.8 + 19.65
= 19.74
n
i=1
fixi
12
40
112
108
55
327
40 คณตศาสตร เลม 5
4. กาหนดให Σ (xi + yi) = 112 และ Σ (xi - yi) = 74 หาคาจานวนจรง M ททาให
Σ (xi - M) = 0
วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
5. กาหนดขอมล 10, 20, 30, 40 และ 50 หาคาของจานวนจรง a ซงทาให Σ (x - a) = 0 เมอ x แทนคาในขอมลทกาหนดให
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6. กาหนดขอมล 3, 5, 7, 9, 11 และ 13 หาคาทนอยทสดของ Σ (xi - a)2 เมอ a เปนจานวนจรง
และ x แทนคาในขอมลทกาหนดให
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
19
i=1
19
i=119
i=1
5
i=1
6
i=1
ฉบบเฉลย
จาก Σ (xi + yi) = Σ xi + Σ yi
112 = Σ xi + Σ yi ……➊จาก Σ (xi - yi) = Σ xi - Σ yi
74 = Σ xi - Σ yi ……➋➊ + ➋ จะได 186 = 2 Σ xi
Σ xi = 93
จากสมบต Σ (xi - X) = 0
จะได M = X =
19
i=1Σ x19 = 9319 = 4.89
19
i=1
19
i=1
19
i=119
i=1
19
i=119
i=1
19
i=1
19
i=119
i=1
19
i=119
i=119
i=1n
i=1
จากสมบตขอท 1 ทวา Σ (x - X) = 0แสดงวา เมอ Σ (x - a) = 0 เมอ a = X
จะได X = 10 + 20 + 30 + 40 + 505
= 1505
= 30
ดงนน a = 30
5
i=15
i=1
จากสมบตขอท 2 ทวา Σ (x - a)2 มคาทนอยทสดกตอเมอ a = X
จะได X = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 136
= 486
= 8
ดงนน คาทนอยทสดของ Σ (x - a)2 คอ = (3 - 8)2 + (5 - 8)2 + (7 - 8)2 + (9 - 8)2 + (11 - 8)2 + (13 - 8)2
= 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25
= 70
6
i=1
6
i=1
คณตศาสตร เลม 5 41
7. กาหนดขอมล X ดงน 3, 4, 6, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10, 4, 2, 7, 11, 2 และ 10 หาคาเฉลย
เลขคณตของขอมล (Y) ซงมเงอนไขดงน
(1) Y = 2X + 3 (2) Y = 34 X - 11
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
8. ความสมพนธระหวางกาไร (Y) และราคาทน (X) ของสนคาชนดหนงคอ Y = 7 + 0.25X
ถาราคาทนของสนคา 5 ชน เปนดงน 32, 48, 40, 56 และ 44 บาท คาเฉลยเลขคณต
ของกาไรของสนคาทง 5 ชนน เทากบเทาใด
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
หา X จาก X =
n
i=1Σ xin
= 3 + 4 + 6 + … + 1016
= 9616 = 6
จากสมบต Y = aX + b
ขอ (1) จะได Y = 2X + 3
= 2(6) + 3
= 15
ขอ (2) จะได Y = 34 X - 11
= 34 (6) - 11
= -6.5
หา X ของสนคา 5 ชน จาก X =
n
i=1Σ xin
= 32 + 48 + 40 + 56 + 445
= 44
จากสมบต Y = aX + b
จะได Y = 0.25X + 7
= 0.25(44) + 7
= 18
ดงนน คาเฉลยเลขคณตของกาไรของสนคา 5 ชนน เทากบ 18 บาท
42 คณตศาสตร เลม 5
9. จากการวเคราะหความสมพนธระหวางนาหนก (กก.; W) กบสวนสง (ซม.; H) ของคน
15 คน พบวาเปนไปตามสมการ 3W = H - 15 ถาคาเฉลยของสวนสง 6 คนแรกเปน
159 ซม. และอก 9 คนทเหลอเปน 156 ซม. คาเฉลยของนาหนกคน 15 คนน เทากบเทาใด
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
10. ให x1, x2, x3, …, x10 เปนจานวนชดหนง ซงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 10A คาเฉลยเลขคณต
ของขอมลตอไปน 3x1 + 2, 3x2 + 4, 3x3 + 6, …, 3x10 + 20 เทากบเทาใด
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
จากสตร Xรวม = n1X
1 + n2X
2n1 + n2
จะได Xรวม = 6(159) + 9(156)6 + 9
= 157.2
จากสมบต Y = aX + b
จะได 3W = H - 15
3W = 157.2 - 15
W = 47.4
ดงนน คาเฉลยของนาหนกคน 15 คนน เทากบ 47.4 กโลกรม
จากโจทย Σ xi = 10A
พจารณา 3x1 + 2, 3x2 + 4, 3x3 + 6, …, 3x10 + 20
จะได ai = 3xi + 2i เมอ i = 1, 2, 3, …, 10
และ Σ ai = Σ (3xi + 2i)
= 3 Σ xi + 2 Σ i = 3(10A) + 2(10)(10 + 1)2
= 30A + 110
ดงนน คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน เทากบ 30A + 110
10
i=1
10
i=1
10
i=110
i=1
10
i=1
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Hint
Σ i = n (n + 1)2
n
i=1
คณตศาสตร เลม 5 43
มธยฐาน (Median)
มธยฐาน คอ คาทมตาแหนงอยตรงกลางของขอมล เมอนาขอมลทงหมดมาเรยงลาดบ
จากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย ซงคานจะแบงขอมลชดนนออกเปน 2 สวนเทาๆ กน
การหาคามธยฐานในกรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ มขนตอนดงน
1) เรยงลาดบขอมลทงหมด จากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย
2) นบจานวนขอมลวาเปนจานวนคหรอจานวนค
- ถาจานวนขอมลเปนจานวนค
มธยฐาน คอ คาของขอมลในตาแหนงท N + 12
เมอ N แทนจานวนขอมลทงหมด
- ถาจานวนขอมลเปนจานวนค
มธยฐาน คอ (คาของขอมลในตาแหนงท n) + (คาของขอมลในตาแหนงท n + 1)2
การหาคามธยฐานในกรณทขอมลแจกแจงความถ มขนตอนดงน
1) หาความถสะสม
2) หาตาแหนงทมธยฐานอย คอ N2
3) พจารณาวาตาแหนงทมธยฐานอยตรงกบขอมลตวใด โดยใชสตร
มธยฐาน = L + I ΣfL
fm
N2 -
เมอ L แทน ขอบลางของชนทมคามธยฐานอย (เรยกชนนวา “ชนมธยฐาน”)
I แทน ความกวางของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย
fm แทน ความถของขอมลในชนมธยฐาน
N แทน จานวนขอมลทงหมด
ΣfL แทน ผลรวมของความถของทกอนตรภาคชนทเปนชวงคะแนนตากวา
ฉบบเฉลย
44 คณตศาสตร เลม 5
สมบตทสาคญของมธยฐาน
ผลรวมของคาสมบรณของผลตางระหวางขอมลแตละคากบมธยฐานของขอมลชดนนจะม
คานอยทสด
Σ � xi - มธยฐาน � มคานอยทสดn
i=1
1. หามธยฐานของขอมล 2, 6, 4, 8, 12, 10, 14
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. หามธยฐานของขอมล 1, 7, 5, 11, 13, 9, 15, 17
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหามธยฐานของขอมลทกาหนดใหได
1.3 G
ถาในจานวนขอมลทงหมดมขอมลบางตวทมคาสงหรอตากวาขอมลอนมากๆ จะมผล
ตอคาเฉลยเลขคณต กลาวคอ อาจทาใหคาเฉลยเลขคณตมคาสงหรอตากวาขอมลสวนใหญ
แตจะไมมผลกระทบตอมธยฐาน ดงนน กรณเชนนควรเลอกใชมธยฐาน
Note
ฉบบเฉลยเรยงขอมลจากนอยไปมาก จะได 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
∴ ตาแหนงของมธยฐาน = N + 12
= 7 + 12
= 4
∴ มธยฐาน = คาทอยในตาแหนงท 4
= 8
เรยงขอมลจากนอยไปมาก จะได 1, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
∴ ตาแหนงของมธยฐาน = N + 12
= 8 + 12
= 4.5
∴ มธยฐาน = คาทอยในตาแหนงท 4 และตาแหนงท 5
= 9 + 112
= 10
คณตศาสตร เลม 5 45
3. เวลาทนกเรยน 10 คน ใชทาขอสอบ 100 ขอ (หนวยเปนนาท) เปนดงน
45 62 73 69 65 75 105 82 87 90
หามธยฐานของขอมลชดน
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. หามธยฐานจากขอมลตอไปน
คะแนน 10 13 15 17 19
ความถ 12 14 10 8 6
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
เรยงลาดบขอมลจากนอยไปมาก จะได
45 62 65 69 73 75 82 87 90 105
ตาแหนงของมธยฐาน = 10 + 12
= 5.5
มธยฐาน = คาเฉลยของคาทอยในตาแหนงท 5 และตาแหนงท 6
= 73 + 752
= 74 นาท
หาความถสะสม ไดดงตาราง
คะแนน ความถ ความถสะสม
10 12 12
13 14 26
15 10 36
17 8 44
19 6 50
ตาแหนงของมธยฐาน คอ N + 12
= 50 + 12
= 25.5
มธยฐาน = คาเฉลยของคาทอยในตาแหนงท 25 และตาแหนงท 26
= 13 + 132
= 13
ตาแหนงของมธยฐานอยในชนน�
46 คณตศาสตร เลม 5
5. หามธยฐานของขอมลในตารางตอไปน
คะแนน 93 - 97 98 - 102 103 - 107 108 - 112 113 - 117
ความถ 8 2 14 6 10
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6. หามธยฐานของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนง ดงน
คะแนน 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99
นกเรยน (คน) 3 11 5 8 3
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
หาความถสะสม ไดดงตาราง
คะแนน ความถ ความถสะสม
93 - 97 8 8
98 - 102 2 10
103 - 107 14 24
108 - 112 6 30
113 - 117 10 40
ตาแหนงของมธยฐาน คอ N2 = 40
2 = 20
จากสตร มธยฐาน = L + I (N2 - ΣfLfm
) = 102.5 + 5 × (20 - 1014 ) = 102.5 + 3.57 = 106.07
มตาแหนงมธยฐานในชนน�
หาความถสะสม ไดดงตาราง
คะแนน ความถ ความถสะสม
50 - 59 3 3
60 - 69 11 14
70 - 79 5 19
80 - 89 8 27
90 - 99 3 30
ตาแหนงของมธยฐาน คอ N2 = 30
2 = 15
มธยฐาน = L + I (N2 - ΣfLfm
) = 69.5 + 10 (302
- 14
5 ) = 69.5 + 10 (15) = 71.5
มตาแหนงมธยฐานในชนน
คณตศาสตร เลม 5 47
7. ตารางแจกแจงความถแสดงอายของเดกกลมหนง ดงน
อาย (ป) จานวนเดก (คน)
1 - 4 2
5 - 8 3
9 - 12 b
13 - 16 4
ถามธยฐานของอายเดกกลมนเทากบ 9 ป แลว b เทากบเทาใด
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
เนองจากโจทยกาหนดมธยฐานอายของเดกเทากบ 9 ป
แสดงวามธยฐานอยในอนตรภาคชน 9 - 12
อาย (ป) จานวนเดก (คน) ความถสะสม
1 - 4 2 2
5 - 8 3 5
9 - 12 b 5 + b
13 - 16 4 9 + b
หาตาแหนงของมธยฐาน = N2 = 9 + b
2
จากสตร มธยฐาน = L + I [N2 - ΣfLfm
]
9 = 8.5 + 4 (9 + b
2 - 5
b ) 0.5 = 4 (b - 12b )
0.5 = 2b - 2b
0.5b = 2b - 2
2b - 0.5b = 2
b = 21.5
b = 1.33
มตาแหนงของมธยฐานในชนน
48 คณตศาสตร เลม 5
8. มเพอนกลมหนงจานวน 7 คน มารวมประชมเพอหาจดนดหมายในการไปทศนาจรตางจงหวด
โดยเลอกจดนดหมายไว 2 จด ระยะทางทสมาชกแตละคนจะมายงจดนดหมาย เปนดงน
• จดนดหมายทหนง 5 4 7 9 8 6 5
• จดนดหมายทสอง 6 5 8 5 8 9 10
เราควรจะเลอกจดนดหมายใดเพอใหสมาชกทกคนเดนทางไดใกลทสด
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
จากขอมลทกาหนด จดนดหมายท 1 มมธยฐานของระยะทางทสมาชกแตละคนจะมา
เทากบ 6 และจดนดหมายท 2 มมธยฐานของระยะทางทสมาชกแตละคนจะมา เทากบ 8
จากสมบตของมธยฐานมคานอยทสด Σ �xi - M� มคานอยทสด จะได
จดนดหมายท 1 Σ �xi - 6� = �5 - 6� + �4 - 6� + �7 - 6� + �9 - 6� + �8 - 6� + �6 - 6� +
�5 - 6� = 10
จดนดหมายท 2 Σ �xi - 8� = �6 - 8� + �5 - 8� + �8 - 8� + �5 - 8� + �8 - 8� + �9 - 8� +
�10 - 8� = 11
ดงนน นกเรยนควรจะเลอกจดนดหมายท 1 เพราะเปนจดทสมาชกในกลมเดนทางมาใกลกวา
จดนดหมายท 2
N
i=1N
i=1
N
i=1
แนวคด ขอ ก. ถก และ ขอ ข. ผด
จดเรยงลาดบขอมลจากนอยไปมาก ไดดงน
ชด A : 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5
หาคาเฉลยเลขคณต
μA = 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5
9 = 27
9 = 3
ตาแหนง MedA = 9 + 1
2 = 5 จะได MedA = 3
ชด B : 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5
μA = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5
12 = 36
12 = 3
ตาแหนง MedB = 12 + 1
2 = 6.5 จะได MedB =
2 + 32
= 2.5
Test for Uจากขอมลทกาหนดให ชด A : 1, 3, 2, 2, 5, 3, 4, 4, 3
ชด B : 1, 2, 4, 1, 2, 5, 2, 5, 1, 5, 5, 3
พจารณาขอความตอไปน ขอใดถกหรอผด
ก. คาเฉลยเลขคณตของขอมลสองชดน เทากน ข. มธยฐานของขอมลสองชดน เทากน
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
คณตศาสตร เลม 5 49
ฐานนยม (Mode) ฐานนยม คอ คาสงเกตทเกดซามากทสดหรอมความถสงสด
การหาฐานนยมในกรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ
ใหพจารณาคาของขอมลทมคาซากนมากทสด คานนคอ ฐานนยม
การหาฐานนยมในกรณทขอมลแจกแจงความถ
1) โดยการประมาณทไมตองการความละเอยดมากนก ทาไดโดยใชจดกงกลางของ
อนตรภาคชนทมความถสงสด (ชนฐานนยมอย) เปนคาฐานนยม
2) โดยใชสตรเปนกรณทตองการความละเอยด ดงน
ฐานนยม = L + I d1
d1 + d2 ))
เมอ L คอ ขอบลางของอนตรภาคชนทมความถสงสด (ชนฐานนยมอย)
I คอ ความกวางของอนตรภาคชน
d1 คอ ผลตางระหวางความถของชนฐานนยมกบชนทมขอมลตากวา
d2 คอ ผลตางระหวางความถของชนฐานนยมกบชนทมขอมลสงกวา
1. กรณทขอมลมความถเทากนทงหมด จะไมมฐานนยม
2. กรณทขอมลมความถมากทสดมมากกวา 1 คา แตไมเกน 2 คา ใหถอวาทงสองคานนเปนฐานนยม
3. กรณทขอมลมความถมากทสดเกน 2 คา ใหถอวาขอมลนนไมมฐานนยม
Note
ฐานนยมเหมาะสมกบการใชเปนคากลางของขอมล เมอขอมลชดนนๆ เปนขอมลเชงคณภาพ
เชน ยหอรถยนต ขนาดเสอผา ฯลฯ หรอขอมลทมการแจกแจงความถทมบางอนตรภาคชน
เปนอนตรภาคชนเปด หรอมขอมลทมคาสงหรอตาผดปกตรวมอยดวย
Note
ฉบบเฉลย
50 คณตศาสตร เลม 5
1. หาฐานนยมของอายเกษตรกรของหมบานแหงหนงทเขารวมโครงการฝกอบรมการจดทาบญช
ครวเรอนในหมบาน จานวน 15 คน มอายดงน
61 60 45 55 35 40 57 45 61 45 52 43 45 62 65
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. หาฐานนยมของนาหนกของนกเรยนหองหนง จานวน 20 คน ซงมนาหนก ดงน
45 48 49 51 46 45 48 47 48 52 48 53 52 48 45 46 49 48 51 52
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. ขอมลชดหนง เปนดงน 4 4 4 x 8 8 8 13 13 และ 13 ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 7.9 หาฐานนยมของขอมลชดน
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. ตารางแสดงคาใชจายในแตละวนของนกเรยนจานวน 100 คน เปนดงน
รายจาย (บาท) 25 30 35 40 45 50 55 60
ความถสะสม 8 21 42 59 76 84 95 100
นกเรยนสวนใหญมคาใชจายเทาใด
วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาฐานนยมของขอมลทกาหนดใหได
1.3 H
ฉบบเฉลย
ฐานนยมของอายเกษตรกรของหมบานแหงนทเขารวมโครงการฝกอบรมทง 15 คน คอ 45 ป
ฐานนยมของนาหนกของนกเรยนหองน คอ 48 กโลกรม
จากคาเฉลยเลขคณตเทากบ 7.9 จะได
7.9 = 4 + 4 + 4 + x + 8 + 8 + 8 + 13 + 13 + 1310
= 75 + x10
x = 4
ดงนน จานวนทมากทสดของขอมลชดน คอ 4
นนคอ ฐานนยมของขอมลชดน คอ 4
สรางตารางแจกแจงความถ
รายจาย (บาท) 25 30 35 40 45 50 55 60
ความถสะสม 8 21 42 59 76 84 95 100
ความถ 8 13 21 17 17 8 11 5
ฐานนยมของขอมลชดน คอ 35
ดงนน นกเรยนสวนใหญมคาใชจายในแตละวนเทากบ 35 บาท
คณตศาสตร เลม 5 51
5. ตารางแจกแจงความถแสดงคะแนนสอบของนกเรยนชน ม.6/2 จานวน 42 คน ดงน
คะแนน ความถ (คน)
50 - 59 6
60 - 69 11
70 - 79 16
80 - 89 8
90 - 99 1
หาฐานนยมโดยประมาณของคะแนนสอบของนกเรยนชน ม.6/2
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6. ตารางแจกแจงความถแสดงจานวนเงนตออาหารกลางวนของนกเรยนชน ม.6/1 จานวน 36 คน
ดงน
จานวนเงน ความถ (คน)
11 - 20 2
21 - 30 15
31 - 40 12
41 - 50 7
หาฐานนยมโดยประมาณของจานวนเงนคาอาหารกลางวนของนกเรยนชน ม.6/1
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
อนตรภาคชนทมความถสงสด คอ อนตรภาคชนท 5
จาก ฐานนยม = L + I d1
d1 + d2
))
จะได ฐานนยม = 69.5 + 10 ( 55 + 8)
≈ 69.5 + 3.85
≈ 73.35
ดงนน ฐานนยมของคะแนนสอบของนกเรยนชน ม.6/2 ประมาณ 73.35 คะแนน
อนตรภาคชนทมความถสงสด คอ อนตรภาคชนท 2
จาก ฐานนยม = L + I d1d1 + d2
))
จะได ฐานนยม = 20.5 + 10 ( 1313 + 3) ≈ 20.5 + 8.13 ≈ 28.63
ดงนน ฐานนยมของจานวนเงนคาอาหารกลางวนประมาณ 28.63 บาท
d1 = 15 - 2 = 13
ฐานนยมอยในอนตรภาคชนน
d2 = 15 - 12 = 3
d1 = 16 - 11 = 5
ฐานนยมอยในอนตรภาคชนน
d2 = 16 - 8 = 8
52 คณตศาสตร เลม 5
ฉบบเฉลย
แนวคด นาขอมลจากแผนภาพตน - ใบ มาเขยนเรยงจากนอยไปมาก จะได
12 13 15 21 24 27 30 34 34 36 40 42
จะเหนวา ฐานนยม เทากบ 34
มธยฐานอยในตาแหนงท N + 12
= 12 + 12
= 6.5
จะได มธยฐาน = 27 + 302
= 28.5
และคาเฉลยเลขคณต = 12 + 13 + 15 + 21 + 24 + 27 + 30 + 34 + 34 + 36 + 40 + 4212
= 27.33
ดงนน คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน < ฐานนยม
แนวคด เพราะฐานนยมของขอมลชดแรกเทากบ 3 จะได a = 3
ตาแหนงมธยฐาน คอ 10 + 12
= 5.5
จะได มธยฐานเทากบ a + b2
= 1.5 + b2
แตโจทยกาหนดมธยฐานของขอมลชดแรกเทากบ 4 จะได 1.5 + b2 = 4
b = 5
ดงนน คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดทสองเทากบ
1.1 + 2.2 + 3.3 + 3.4 + 3.5 + 5.6 + 6.7 + 6.8 + 9.9 + 1310
= 5.55 ≈ 5.6
Test for U1. กาหนดแผนภาพตน - ใบ ของขอมลชดหนง ดงน
1 2 3 52 1 4 73 0 4 6 44 0 2
ขอใดตอไปนถกตอง
1. คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม < มธยฐาน 2. คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน < ฐานนยม
3. มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม 4. ฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. ขอมลชดหนงเรยงลาดบจากนอยไปมากไดเปน
1, 2, 3, 3, a, b, 6, 6, 9, 12
ถาฐานนยมและมธยฐานของขอมลชดนเปน 3 และ 4 ตามลาดบ แลวขอมลชดตอไปน คอ
1.1, 2.2, 3.3, 3.4, a + 0.5, b + 0.6, 6.7, 6.8, 9.9, 13
มคาเฉลยเลขคณตเทากบเทาใด
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
มธยฐาน 2. คาเฉลยเลขคณตมธยฐาน 2 คาเฉลยเลขคณต
คณตศาสตร เลม 5 53
คาเฉลยฮารมอนก (Harmonic Mean) คาเฉลยฮารมอนก เปนคาเฉลยทเหมาะสาหรบขอมลทอยในรปอตรา เชน ความเรวตอ
ชวโมง ราคาสนคาตอชน ปรมาณงานททาไดตอหนวยเวลา เปนตน
ถา x1, x2, …, xN เปนขอมล N จานวน ซงเปนจานวนบวกทกจานวน
คาเฉลยฮารมอนก (H.M.) = 1N{ 1x1
+ 1x2
+ … + 1xN
}1 =
Σ 1xi
NN
i=1
ในกรณท xi มความถ fi และ Σ fi = N จะไดวา
H.M. = 1N {f1 1x1
+ f2 1x2
+ … + fk 1xk
}1 =
Σ fixi
Nk
i=1
เมอ k แทนจานวนอนตรภาคชน
xi แทนจดกงกลางของอนตรภาคชนท i โดยท i คอ 1, 2, …, k
fi แทนความถของขอมลอนตรภาคชนท i
k
i=1
1. หาคาเฉลยฮารมอนกของขอมล 20, 30, 40, 50 และ 60
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาคาเฉลยฮารมอนกของขอมลทกาหนดใหได
1.3 I
ฉบบเฉลย
จากสตร H.M. = Σ
1xi
NN
i=1
จะได H.M. = 5120
+ 130
+ 140
+ 150
+ 160
= 587600
≈ 34.48
54 คณตศาสตร เลม 5
2. หาคาเฉลยฮารมอนกของขอมล 1.2, 2.4, 3.6 และ 7.2
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. อยวงรอบสนามรปสเหลยมจตรส โดยดานแรกวงดวยความเรว 12 เมตรตอนาท และในดานท
2, 3 และ 4 เขาเรมรสกเหนอยจงวงชาลงเปน 10, 6 และ 4 เมตรตอนาท ตามลาดบ
หาความเรวเฉลยทอยใชในการวงรอบสนาม
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. โรงงานเยบผาแหงหนง จตราเยบกางเกงหนงตวเสรจในเวลา 25 นาท นาร วมล และวภา
เยบกางเกงแบบเดยวกนเสรจในเวลา 30, 40 และ 45 นาท ตามลาดบ เวลาเฉลยในการเยบ
กางเกงหนงตวของทง 4 คน เทากบเทาไร
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
จากสตร H.M. = Σ
1xi
NN
i=1
จะได H.M. = 4112
+ 110
+ 16 + 1
4
= 6.67
ดงนน ความเรวเฉลยทอยใชในการวงรอบสนาม เทากบ 6.67 เมตรตอนาท
จากสตร H.M. = Σ
1xi
NN
i=1
จะได H.M. = 411.2
+ 12.4
+ 13.6
+ 17.2
= 412072
= 2.4
จากสตร H.M. = Σ
1xi
NN
i=1
= 4125
+ 130
+ 140
+ 145
= 42171,800
≈ 33.18
ดงนน เวลาเฉลยในการเยบกางเกงหนงตวของทง 4 คน เทากบ 33.18 นาท
คณตศาสตร เลม 5 55
5. พนกงานขายคนหนง ขบรถจากกรงเทพฯ เพอไปสงของทจงหวดเพชรบร ซงหางจาก
กรงเทพฯ ประมาณ 160 กโลเมตร ขาไปเขาขบรถดวยความเรวเฉลย 80 กโลเมตรตอชวโมง
สวนขากลบเขาขบรถดวยความเรวเฉลย 100 กโลเมตรตอชวโมง ความเรวเฉลยทเขาใช
ในการเดนทางเทากบเทาใด
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6. นาแปลงหนงนายกมลใชเวลาดานาแลวเสรจในเวลา 90 วน ขณะทใหนายขาว นายคณต
และนางสาวจนทร ทานาแปลงเดยวกนน ใชเวลา 80, 60 และ 120 วน ตามลาดบ คาเฉลย
ของอตราการทางานของทง 4 คนนเทากบเทาไร และถาใหคนทง 4 คนนรวมกนทางาน
จะใชเวลาเทาไรงานจงจะเสรจ
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
ให x1 แทนความเรวทพนกงานขายใชขบรถจากกรงเทพฯ ไปเพชรบร = 80 กม./ชม.
x2 แทนความเรวทพนกงานขายใชขบรถกลบจากเพชรบร ถงกรงเทพฯ = 100 กม./ชม.
จาก H.M. = Σ
1xi
NN
i=1
= 2180
+ 1100
= 88.89 กโลเมตรตอชวโมง
ดงนน ความเรวเฉลยทพนกงานขายใชในการขบรถไป-กลบ ระหวางกรงเทพฯ - เพชรบร
ประมาณ 88.89 กโลเมตรตอชวโมง
สมมตปรมาณงานทงหมดคอ 1 หนวย งานททาไดตอวนของนายกมล นายขาว นายคณต
และนางสาวจนทร คอ 190
, 180
, 160
และ 1120
หนวย ตามลาดบ
เวลาเฉลยในการทางานเพอใหงานเสรจตอคน คอ
H.M. = 190
+ 180
+ 160
+ 1120
4
= 4 × 72035
วน
ถาใหทง 4 คน รวมกนทางานใน 1 วน จะไดงานเทากบ 14 × 720
× 4
35
= 354 × 720
× 4
= 35720
หนวย
ถาจะใหงานเสรจ 1 หนวย จะตองใชเวลาเทากบ 72035
= 20.57 วน
56 คณตศาสตร เลม 5
7. แมคาซอไขจากตลาด ก ข และ ค ราคาทแมคาซอ เปนดงน
ตลาด ก ไขราคาแผงละ 80 บาท
ตลาด ข ไขราคาแผงละ 90 บาท
ตลาด ค ไขราคาแผงละ 100 บาท
หาราคาเฉลยตอแผงของไขทแมคาซอมา เมอกาหนด
1) แมคาซอไขแตละตลาดจานวน 100 แผง เทากน
2) แมคาซอไขแตละตลาด 2,000 บาท
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
1) ราคาเฉลยตอแผง = ราคาไข (บาท) ทงหมด
จานวนไข (แผง) ทงหมดทซอมา
= 80(100) + 90(100) + 100(100)100 + 100 + 100
= 80 + 90 + 1003
= 90
ราคาเฉลยตอแผงของไขเทากบ 90 บาท
2) ราคาเฉลยตอแผง = ราคาไข (บาท) ทงหมด
จานวนไข (แผง) ทงหมดทซอมา
= 200080
+ 200090 + 2000100
2000 + 2000 + 2000
= 3 × 2000
2000 ( 180
+ 190
+ 1100)
= 3180
+ 190
+ 1100
= 32427,200
= 89.26
ราคาเฉลยตอแผงของไขเทากบ 89.26 บาท
คณตศาสตร เลม 5 57
8. หาคาเฉลยฮารมอนกของขอมลตอไปน
คะแนน จานวนนกเรยน
11 - 15
16 - 20
21 - 25
3
2
5
10
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
9. หาคาเฉลยฮารมอนกของขอมลตอไปน
คะแนน 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99
จานวนนกเรยน 2 5 10 13 6 3 1
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
xifixi
13
18
23
313
= 0.23218
= 0.11523
= 0.22
Σ fixi
= 0.563
i=1
จากสตร H.M. = fixi
N
Σ 3
i=1
= 100.56
≈ 17.86
จากสตร H.M. = fixi
N
Σ 7
i=1
= 400.683
≈ 58.57
คะแนน fi Xi
fixi
30 - 39
40 - 49
50 - 59
60 - 69
70 - 79
80 - 89
90 - 99
2
5
10
13
6
3
1
34.5
44.5
54.5
64.5
74.5
84.5
94.5
0.058
0.112
0.183
0.202
0.081
0.036
0.011
N = 40 Σ fixi
= 0.6837
i=1
สรางตารางใหม ดงน
58 คณตศาสตร เลม 5
1. หาคาเฉลยเรขาคณตของขอมลตอไปน
25 125 125 625
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาคาเฉลยเรขาคณตของขอมลทกาหนดใหได
1.3 J
คาเฉลยเรขาคณต (Geometric Mean) คาเฉลยเรขาคณตมประโยชนเมอมคาของขอมลสงหรอตากวาคาอนๆ รวมอยดวย
ถา x1, x2, …, xN เปนขอมล N จานวน ซงเปนจานวนบวกทกจานวน
คาเฉลยเรขาคณต (G.M.) = N x1 x2 … xN
หรอ log G.M. = 1N(f1log x1 + f2log x2 + f3log x3 + … + fklog xk)
log G.M. = 1N Σ log xi
ในกรณท xi มความถ fi และ Σ fi = N
G.M. = N x1f1 x2
f2 … xkfk
หรอ log G.M. = 1N(f1log x1 + f2log x2 + f3log x3 + … + fklog xk)
log G.M. = 1N Σ fi log xi
เมอ xi แทนจดกงกลางของอนตรภาคชนท i โดยท i คอ 1, 2, …, k
fi แทนความถของขอมลอนตรภาคชนท i
k แทนจานวนอนตรภาคชน
N
i=1
k
i=1
k
i=1
ฉบบเฉลย
จาก G.M. = N x1 x2 … xN
จะไดวา G.M. = 4 (25)(125)(125)(625)
= 4 (52)(53)(53)(54)
= 4 512
= (512) 14 = 53 = 125
คณตศาสตร เลม 5 59
2. หาคาเฉลยเรขาคณตของขอมลตอไปน
27 81 243 729 2,187
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. ตารางแจกแจงความถแสดงคะแนนสอบของนกเรยนชน ม.6/2 จานวน 45 คน ดงน
คะแนน จานวน (คน)
30 - 39 2
40 - 49 1
50 - 59 6
60 - 69 11
70 - 79 16
80 - 89 8
90 - 99 1
45
หาคาเฉลยเรขาคณตของคะแนนสอบของนกเรยนชน ม.6/2
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ฉบบเฉลย
จาก G.M. = N x1 x2 … xN
จะไดวา G.M. = 5 (27)(81)(243)(729)(2,187)
= 5 (33)(34)(35)(36)(37)
= 5 (3)25
= (325) 15
= 35
= 243
จาก log G.M. = 1N Σ fi log xi =
145
(82.393)
log G.M. = 1.831
G.M. = 101.831 = 67.76
ดงนน คาเฉลยเรขาคณตของคะแนนสอบของนกเรยนชน ม.6/2 ประมาณ 68 คะแนน
k
i=1
xi log xi fi log xi
34.5 1.538 3.076
44.5 1.648 1.648
54.5 1.736 10.416
64.5 1.810 19.910
74.5 1.872 29.952
84.5 1.927 15.416
94.5 1.975 1.975
82.393
60 คณตศาสตร เลม 5
4. ตารางแจกแจงความถคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 20 คน ดงน
คะแนน 1 - 5 6 - 10 11 - 15 16 - 20
ความถ (คน) 4 6 7 3
หาคาเฉลยเรขาคณตของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 20 คนน
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. หาคาเฉลยเรขาคณตของคะแนนความถนดของนกเรยนกลมหนงซงแสดงดงน
คะแนน 0 - 4 5 - 9 10 - 14 15 - 19
ความถ (คน) 4 3 11 7
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
คะแนน ความถ (fi) xi log xi fi log xi
1 - 5 4 3 0.477 1.908
6 - 10 6 8 0.903 5.418
11 - 15 7 13 1.114 7.798
16 - 20 3 18 1.255 3.765
N = 20 18.889
สรางตารางใหมไดดงน
จาก log G.M. = 1N Σ fi log xi =
120
(18.889) = 0.945
G.M. = (10)0.945 = 8.81
ดงนน คาเฉลยเรขาคณตของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 20 คนน
ประมาณ 9 คะแนน
k
i=1
คะแนน ความถ (fi) Xi log Xi fi log Xi
0 - 4 4 2 0.301 1.204
5 - 9 3 7 0.845 2.535
10 - 14 11 12 1.079 11.869
15 - 19 7 17 1.230 8.61
N = 25 24.218
สรางตารางใหมไดดงน
จาก log G.M. = 1N Σ fi log xi =
125
(24.218) = 0.969
G.M. = (10)0.969 = 9.31
ดงนน คาเฉลยเรขาคณตของคะแนนความถนดของนกเรยนกลมนประมาณ 9 คะแนน
k
i=1
คณตศาสตร เลม 5 61
คากงกลางพสย (Mid - range)
คากงกลางพสย (M.R.) = xmax + xmin
2
เมอ xmax เปนคาสงสดของขอมลทงหมด
xmin เปนคาตาสดของขอมลทงหมด
1. หาคากงกลางพสยของขอมลทกาหนดใหตอไปน
1) 19 20 23 25 18 31
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) 32 30 35 42 49 56 28
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) 110 125 210 140 169 108
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) 211 275 191 243 251 195
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) 421 622 380 462 529 610
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาคากงกลางพสยของขอมลทกาหนดใหได
1.3 K
ฉบบเฉลย คากงกลางพสย = 25 + 18
2 = 21.5
คากงกลางพสย = 56 + 282
= 42
คากงกลางพสย = 210 + 1082
= 159
คากงกลางพสย = 275 + 1912
= 233
คากงกลางพสย = 622 + 3802
= 501
62 คณตศาสตร เลม 5
2. สมมตปรมาณขยะในรอบ 12 เดอน ของเทศบาลแหงหนงในหนวยเปนตนคอ 46.1, 47.3,
42.9, 46, 48, 57.2, 53.7, 52.8, 58.4, 50.1, 52.7, 46.4 หาคากงกลางพสยของปรมาณ
ขยะของเทศบาลแหงน
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. ขอมลชดหนงเรยงจากนอยไปหามาก ดงน 98, 100, 101, 104, x, 109, 110, 111, yถาคากงกลางพสยและคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 105 และ 106 ตามลาดบ
แลวมธยฐานของขอมลชดนเทากบเทาใด
วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ฉบบเฉลย
คากงกลางพสย = xmax + xmin
2
= 58.4 + 42.92
= 50.65 ตน
ดงนน คากงกลางพสยของปรมาณขยะของเทศบาลแหงน ประมาณ 50.65 ตน
จาก คากงกลางพสย = xmax + xmin
2
จะได 105 = y + 982
y = 112
จาก คาเฉลยเลขคณต =
n
i=1Σ xin
จะได 106 = 98 + 100 + 101 + 104 + x + 109 + 110 + 111 + 1129
954 = 845 + x
x = 109
ตาแหนงของมธยฐาน = N + 12
= 9 + 12
= 5
ดงนน มธยฐาน = 109
คณตศาสตร เลม 5 63
1. “โดยเฉลยแลวคนไทยใชรถขนาด 1,600 ซซ ซงใชนามนโดยเฉลย 10 กโลเมตรตอลตร” คาวา
โดยเฉลยทงสองคาตามลาดบในทนใหความหมายตรงกบขอใด
1. คาเฉลยเลขคณตและคาเฉลยเรขาคณต
2. คาเฉลยเลขคณตและคาเฉลยฮารมอนก
3. มธยฐานและคาเฉลยฮารมอนก
4. ฐานนยมและคาเฉลยฮารมอนก
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. กาหนดให x1, x2, x3, x4, x5 และ x6 คอ 3, 4, 6, 13, 8 และ 2 ตามลาดบ พจารณาขอความ
ตอไปน
(1) Σ (xi - a)2 มคานอยทสด เมอ a = 6
(2) Σ �xi - b� มคานอยทสด เมอ b = 5
ขอใดตอไปนถกตอง
1. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ถก 2. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ผด
3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก 4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
4 ฐานนยมและคาเฉลยฮารมอนก
6
i=16
i=1
1 ขอ
ฉบบเฉลย
แนวคด โดยเฉลย คาแรก เปนการแสดงความถสงสดและเปนขอมลเชงคณภาพ
จงเปนฐานนยม
โดยเฉลย คาหลง เปนการแสดงอตราเรวเฉลย ควรใชคาเฉลยฮารมอนก
แนวคด (1) คาเฉลยเลขคณต = 3 + 4 + 6 +13 + 8 + 26
= 6
จากสมบตของคาเฉลยเลขคณต Σ (xi - a)2 มคานอยทสด
เมอ a = คาเฉลยเลขคณต
ดงนน Σ (xi - a)2 มคานอยทสด เมอ a = 6 เปนจรง
(2) เรยงลาดบขอมลจากนอยไปมากได 2, 3, 4, 6, 8, 13
ตาแหนงมธยฐาน = 6 + 12
= 3.5 จะได มธยฐาน = 4 + 0.5(2) = 5
จากสมบตของมธยฐาน Σ �xi - b� มคานอยทสด เมอ b = มธยฐาน
ดงนน Σ �xi - b� มคานอยทสด เมอ b = 5 เปนจรง
6
i=1
6
i=1
6
i=16
i=1
Test for U
64 คณตศาสตร เลม 5
ฉบบเฉลย
แนวคด เนองจากมผเขาสอบไดคะแนนสงกวาและตากวาคาเฉลยเลขคณตอยเปนจานวน
เทากน ดงนน คาเฉลยเลขคณตกบมธยฐานจะเปนคาเดยวกน เพราะวามธยฐาน
อยในตาแหนงกงกลางของขอมลทเรยงจากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย
แนวคด จากสมบต Σ xi = nX
จะไดวาผลรวมของอายนกกฬาครงแรก 379 คน = 379(22) = 8,338 ป
หลงมการถอนตว 4 คน ผลรวมของอายนกกฬาเหลอ
= 8,338 - (24 + 25 + 25 + 27)
= 8,237 ป
ผลรวมของอายนกกฬาหลงมการเพมนกกฬา 5 คน
= 8,237 + 5(17) = 8,322 ป
ดงนน อายเฉลยของนกกฬาจากประเทศไทยจะเทากบ 8,322379 - 4 + 5
= 21.9 ป
n
i=1
Test for U3. ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของผเขาสอบ 100 คน ซงไมไดแจกแจงความถ ปรากฏวามผได
คะแนนสงกวาและตากวาคาเฉลยเลขคณตอยางละ 50 คน ขอใดตอไปนเปนขอสรปทถกตอง
1. คาเฉลยเลขคณตกบมธยฐานจะเปนคาเดยวกนได แตไมเทากบฐานนยม
2. คาเฉลยเลขคณตกบฐานนยมเปนคาเดยวกน แตจะไมเทากบมธยฐาน
3. มธยฐานและฐานนยมเปนคาเดยวกน แตจะไมเทากบคาเฉลยเลขคณต
4. คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมจะมคาเดยวกน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
4. ในการแขงขนกฬามหาวทยาลยโลกครงท 24 ซงประเทศไทยเปนเจาภาพ มการสงรายชอนกกฬา
จากประเทศไทย 379 คน มอายเฉลย 22 ป ถามการถอดถอนตวนกกฬาไทยออก 4 คน ซงมอาย
24, 25, 25 และ 27 ป และมการเพมนกกฬาไทยอก 5 คน ซงมอายเฉลย 17 ป แลวอายเฉลยของ
นกกฬาจากประเทศไทยจะเทากบขอใดตอไปน
1. 21.6 ป 2. 21.7 ป 3. 21.8 ป 4. 21.9 ป
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
1 คาเฉลยเลขคณตกบมธยฐานจะเปนคาเดยวกนได แตไมเทากบฐานนยม
8 ป 4 21
คณตศาสตร เลม 5 65
ฉบบเฉลย
แนวคด (1) จากความสมพนธ yi = xi + b
จะได Y = X + b
และ Mod2 = Mod1 + b
Med2 = Med1 + b
ถา X = Mod1 = Med1 แลวจะได Y = Mod2 = Med2 ขอ (1) ถก
(2) ให p เปนคาตาสดของขอมลชดท 1 และ q เปนคาสงสดของขอมลชดท 1
พสยของขอมลชดท 1 = q - p
พสยของขอมลชดท 2 = (q + b) - (p + b) = q - p ขอ (2) ถก
แนวคด ให 2 จานวนดงกลาวเปน a และ b ซง a < b
จะไดคาเฉลยเลขคณต 56 = a + b2
a + b = 112 ……➊ และ พสย b - a = 18 ……➋ จาก ➊ และ ➋ จะได a = 47 และ b = 65
ดงนน คาเฉลยเรขาคณต = ab = 47 × 65 = 3,055
Test for U5. กาหนดให x1, x2, …, xn เปนขอมลชดท 1 และ y1, y2, …, yn เปนขอมลชดท 2
โดยท yi = xi + b เมอ i = 1, 2, …, n และ b ≠ 0 พจารณาขอความตอไปน
(1) ถาขอมลชดท 1 มฐานนยม 1 คา และมสมบตวา คาเฉลยเลขคณต = มธยฐาน = ฐานนยม
แลวขอมลชดทสองจะมสมบตขางตนเชนเดยวกน
(2) พสยของขอมลทงสองชดเทากน
ขอใดตอไปนถกตอง
1. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ถก 2. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ผด
3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก 4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
6. ขอมลชดหนงม 2 จานวน คาเฉลยเลขคณตเทากบ 56 พสยเทากบ 18 คาเฉลยเรขาคณตของขอมล
ชดนเทากบเทาใด
1. 3,055 2. 3,255 3. 3,465 4. 3,885
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
1 ขอ
1
66 คณตศาสตร เลม 5
ฉบบเฉลย
แนวคด ใหขอมลชดนเปน a, b และ c
จะได คาเฉลยเรขาคณต = abc 3 = 4
abc = 64 ……➊ คาเฉลยเลขคณต = a + b + c
3 = 14
3
a + b + c = 14 ……➋ หาคาตอบของ ➊ และ ➋ จะได a = 2, b = 4 และ c = 8
คาเฉลยฮารมอนก = 312 + 1
4 + 1
8
= 3 37
แนวคด จากคาเฉลยเลขคณตของอายนกเรยน N คน เทากบ m ป
จะไดวานกเรยน N คน มอายรวมกนเทากบ mN ป
ให x แทนอายของนกเรยนทมาเพม ทาใหคาเฉลยเลขคณตเปน m + 1 ป
ดงนน mN + xN + 1
= m + 1
mN + x = (m + 1)(N + 1)
= mN + m + N + 1
x = m + N + 1
Test for U7. ขอมลชดหนงม 3 จานวน มคาเฉลยเรขาคณตเปน 4 และคาเฉลยเลขคณตเปน 14
3 ขอมลชดน
มคาเฉลยฮารมอนกเทาใด
1. 3 17 2. 3 3
7 3. 3 4
7 4. 3 6
7
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
8. คาเฉลยเลขคณตของอายนกเรยน N คน เทากบ m ป เมอนาอายของนกเรยนคนหนงมาเพม
ทาใหคาเฉลยเลขคณตเปน m + 1 ป อายของเดกทมาเพมเทากบเทาใด
1. m + N - 1 ป 2. m + N + 1 ป
3. (m + 1)(N + 1) - 1 ป 4. (m + 1)(N + 1) + 1 ป
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2 3
1 ป 2
คณตศาสตร เลม 5 67
ฉบบเฉลย
แนวคด ในการหาจานวนหนาทพมพตอหนงหนวยเวลาควรใชคาเฉลยฮารมอนก
จากสตร H.M. = Σ 1xi
NN
i=1
= 415 + 1
6 + 1
10 + 1
12
= 412 + 10 + 6 + 5
60
= 4 × 6033
= 8011
ดงนน คาเฉลยของอตราเรวในการพมพเอกสารของพนกงานทง 4 คน
เทากบ 7 311
นาทตอหนา ขอ (1) ผด
ในเวลา 5 12 ชวโมง หรอ 330 นาท พนกงานทง 4 คนจะพมพดดได
= 4 × 3308011
หนา
= 4 × 330 × 1180
หนา
= 181.5 หนา ขอ (2) ผด
Test for U9. ในสานกงานแหงหนงมพนกงานพมพดด 4 คน พมพเอกสาร 1 หนา ใชเวลา 5, 6, 10 และ
12 นาท ตามลาดบ
พจารณาขอความตอไปน
(1) คาเฉลยของอตราเรวในการพมพเอกสารของพนกงานทง 4 คน เทากบ 8.25 นาทตอหนา
(2) ในเวลา 5 12 ชวโมง พนกงานทง 4 คน จะพมพดดไดทงหมด 160 หนา
ขอใดตอไปนถกตอง
1. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ถก 2. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ผด
3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก 4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ในการหาจานวนหนาทพมพตอหนงหนวยเวลาควรใชคาเฉลยฮารมอนก
ถก 4 ขอ
68 คณตศาสตร เลม 5
1 . 4 ¡ÒÃÇÑ µÓá˹‹§¢Í§¢ŒÍÁÙÅ Measures of Relative Standing
การวดตาแหนงของขอมล เปนการแปลงขอมลแตละชดใหอย ในลกษณะเดยวกน
เพอประโยชนในการเปรยบเทยบขอมลระหวางขอมลตางชดกน ในการแปลงขอมลจะแบงชดขอมล
ออกเปนสวนยอยเทาๆ กน มทง 4 สวน, 10 สวน และ 100 สวน
การวดตาแหนงของขอมลทแบงออกเปน 4 สวน คอ ควอรไทล
การวดตาแหนงของขอมลทแบงออกเปน 10 สวน คอ เดไซล
การวดตาแหนงของขอมลทแบงออกเปน 100 สวน คอ เปอรเซนไทล
ขอมลแตละชดมลกษณะตางกน ดงนนการนาคะแนนทตางชดกนมาเปรยบเทยบกน
จงจาเปนตองนาขอมลแตละชดมาแปลงใหเปนขอมลทมลกษณะเดยวกนกอน โดยอาจใชวธการ
ทางสถตชนดใดชนดหนงคอ ควอรไทล เดไซล หรอเปอรเซนไทล
กรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ
การหาควอรไทล เดไซล และเปอรเซนตไทลของขอมล มวธหาเหมอนกบการหามธยฐาน
ของขอมลทไมไดแจกแจงความถ ดงน
1. เรยงลาดบขอมลจากคาทนอยทสดไปคาทมากทสด
2. หาตาแหนงทของควอรไทล เดไซล และเปอรเซนตไทลทตองการจากสตร
ตาแหนงของ Qr คอ
r(N + 1)4 เมอ r = {1, 2, 3}
ตาแหนงของ Dr คอ r(N + 1)
10 เมอ r = {1, 2, …, 9}
ตาแหนงของ Pr คอ r(N + 1)
100 เมอ r = {1, 2, …, 99}
เมอ r คอ ตาแหนงของควอรไทล เดไซล หรอเปอรเซนไทล
N คอ จานวนขอมลทงหมด
หาคาของขอมลทตรงกบตาแหนงของควอรไทล เดไซล และเปอรเซนตไทลทตองการ
โดยวธเดยวกบการหามธยฐานของขอมลทไมไดแจกแจงความถ
ฉบบเฉลย
คณตศาสตร เลม 5 69
กรณทขอมลแจกแจงความถ
การหาควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทลของขอมลทแจกแจงความถ มวธดาเนนการ
คลายกบการหามธยฐานของขอมลทแจกแจงความถทไดศกษามาแลว โดยการเทยบอตราสวนของ
ความแตกตางของความถสะสมกบความกวางของอนตรภาคชน ดงน
1. สรางตารางแจกแจงความถสะสมของขอมล
2. หาตาแหนงทของควอรไทล เดไซล และเปอรเซนตไทลทตองการจากสตร
ตาแหนงของ Qr คอ rN4 เมอ r = {1, 2, 3}
ตาแหนงของ Dr คอ rN10 เมอ r = {1, 2, …, 9}
ตาแหนงของ Pr คอ rN100 เมอ r = {1, 2, …, 99}
เมอ r คอ ตาแหนงของควอรไทล เดไซล หรอเปอรเซนไทล
N คอ จานวนขอมลทงหมด
3. คานวณหาคาของขอมลทตรงกบตาแหนงของควอรไทล เดไซล หรอเปอรเซนไทล
ทตองการจากสตร
Qr = L + (rN4 - ΣfL
fQ) I Dr = L + (
rN10 - ΣfL
fD) I
Pr = L + (rN100 - ΣfL
fP) I
เมอ r คอ ตาแหนงของควอรไทล เดไซล หรอเปอรเซนไทล
ΣfL คอ ผลรวมความถของอนตรภาคชนทมคานอยกวาอนตรภาคชน
ทควอรไทล เดไซล หรอเปอรเซนไทลในตาแหนงทตองการอย
L คอ ขอบลางของอนตรภาคชนทควอรไทล เดไซล หรอเปอรเซนไทล
ในตาแหนงทตองการอย
I คอ ความกวางของอนตรภาคชน
fQ, fD, fP คอ ความถของขอมลของอนตรภาคชนทควอรไทล เดไซล
หรอเปอรเซนไทลในตาแหนงทตองการอย ตามลาดบ
ฉบบเฉลย
70 คณตศาสตร เลม 5
1. คะแนนสอบปลายภาคของนกเรยนหองหนงเปนดงน
60 65 65 67 70 71 73 75 76 76 79 81 83 84 85 85 88 89 90 92
95 96 99 100 100
1) หาควอรไทลท 3 ของคะแนนสอบของนกเรยน
วธทา .......................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
2) หาเดไซลท 5 ของคะแนนสอบของนกเรยน
วธทา ........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
3) หาเปอรเซนไทลท 68 ของคะแนนสอบของนกเรยน
วธทา ........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาตาแหนงของขอมลทกาหนดใหได
1.4 A
ฉบบเฉลยตาแหนงของ D5 คอ
5(25 + 1)10
= 13
ดงนน D5 = 83 คะแนน
ตาแหนงของ P68 คอ 68(25 + 1)
100 = 17.68
ดงนน P68 อยระหวาง 88 กบ 89
ตาแหนงตางกน 18 - 17 = 1 คะแนนสอบเพมขน 89 - 88 = 1 คะแนน
ตาแหนงตางกน 17.68 - 17 = 0.68 คะแนนสอบเพมขน 0.68 × 11
= 0.68 คะแนน
นนคอ P68 = 88 + 0.68 = 88.68 คะแนน
ตาแหนงของ Q3 คอ 3(25 + 1)
4 = 19.5
ดงนน Q3 อยระหวาง 90 กบ 92
ตาแหนงตางกน 20 - 19 = 1 คะแนนสอบเพมขน 92 - 90 = 2 คะแนน
ตาแหนงตางกน 19.5 - 19 = 0.5 คะแนนสอบเพมขน 2 × 0.51
= 1 คะแนน
นนคอ Q3 = 90 + 1 = 91 คะแนน
คณตศาสตร เลม 5 71
2. นกเรยนกลมหนงมความสง ดงน
165 155 154 158 163 148 150 161 166 152 160 145
1) หาควอรไทลท 3 ของสวนสงของนกเรยนทง 12 คน
วธทา ........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
2) หาเดไซลท 6 ของสวนสงของนกเรยนทง 12 คน
วธทา ........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
3) หาเปอรเซนตไทลท 45 ของสวนสงของนกเรยนทง 12 คน
วธทา ........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
จากสวนสงของนกเรยนทง 12 คน เมอนามาเรยงลาดบจากนอยไปหามากจะได ดงน
145 148 150 152 154 155 158 160 161 163 165 166
ตาแหนงของ Q3 คอ 3(12 + 1)
4 = 9.75
ดงนน Q3 อยระหวาง 161 กบ 163
ตาแหนงตางกน 10 - 9 = 1 ความสงเพมขน 163 - 161 = 2 เซนตเมตร
ตาแหนงตางกน 9.75 - 9 = 0.75 ความสงเพมขน 0.75 × 21
= 1.5 เซนตเมตร
นนคอ Q3 = 161 + 1.5 = 162.5 เซนตเมตร
ตาแหนงของ D6 คอ 6(12 + 1)
10 = 7.8
ดงนน D6 อยระหวาง 158 กบ 160
ตาแหนงตางกน 8 - 7 = 1 ความสงเพมขน 160 - 158 = 2 เซนตเมตร
ตาแหนงตางกน 7.8 - 7 = 0.8 ความสงเพมขน 0.8 × 21
= 1.6 เซนตเมตร
นนคอ D6 = 158 + 1.6 = 159.6 เซนตเมตร
ตาแหนงของ P45 คอ 45(12 + 1)
100 = 5.85
ดงนน P45 อยระหวาง 154 กบ 155
ตาแหนงตางกน 6 - 5 = 1 ความสงเพมขน 155 - 154 = 1 เซนตเมตร
ตาแหนงตางกน 5.85 - 5 = 0.85 ความสงเพมขน 0.85 × 11
= 0.85 เซนตเมตร
นนคอ P45 = 154 + 0.85 = 154.85 เซนตเมตร
72 คณตศาสตร เลม 5
3. ผลการทดสอบเกยวกบระดบสตปญญาของนกเรยนชน ม.6 กลมหนงปรากฏคะแนน ดงน
98 110 100 97 102 105 99 109 95 106116 97 102 106 117 122 111 98 119 107111 102 116 99 103 120 101 102 114 97
1) นกเรยนจะตองสอบไดคะแนนเทาไรจงจะมนกเรยนครงหนงของชนไดคะแนนตากวา
วธทา ........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
2) นกเรยนจะตองสอบไดคะแนนเทาไรจงจะมนกเรยน 7 ใน 10 ของชนไดคะแนนตากวา
วธทา ........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
จากผลการทดสอบเกยวกบระดบสตปญญาของนกเรยนชน ม.6 เมอนามาเรยงลาดบ
จากนอยไปหามากจะได ดงน
95 97 97 97 98 98 99 99 100 101
102 102 102 102 103 105 106 106 107 109
110 111 111 114 116 116 117 119 120 122
คะแนนทมจานวนนกเรยนครงหนงของชนไดคะแนนตากวา คอ คะแนนท Q2
ตาแหนงของ Q2 คอ 2(30 + 1)
4 = 15.5
ดงนน Q2 อยระหวาง 103 กบ 105
ตาแหนงตางกน 16 - 15 = 1 คะแนน เพมขน 105 - 103 = 2 คะแนน
ตาแหนงตางกน 15.5 - 15 = 0.5 คะแนน เพมขน 0.5 × 21
= 1 คะแนน
นนคอ Q2 = 103 + 1 = 104 คะแนน
ดงนน คะแนนทมจานวนนกเรยนครงหนงของชนไดคะแนนตากวา คอ 104 คะแนน
คะแนนทมจานวนนกเรยน 7 ใน 10 ของชนไดคะแนนตากวา คอ คะแนนท D7
ตาแหนงของ D7 คอ 7(30 + 1)
10 = 21.7
ดงนน D7 อยระหวาง 110 กบ 111
ตาแหนงตางกน 22 - 21 = 1 คะแนนเพมขน 111 - 110 = 1 คะแนน
ตาแหนงตางกน 21.7 - 21 = 0.7 คะแนนเพมขน 0.7 × 11
= 0.7 คะแนน
นนคอ D7 = 110 + 0.7 = 110.7 คะแนน
ดงนน คะแนนทมจานวนนกเรยน 7 ใน 10 ของชนไดคะแนนตากวา คอ 110.7 คะแนน
คณตศาสตร เลม 5 73
3) นกเรยนจะตองสอบไดคะแนนเทาไรจงจะมนกเรยนรอยละ 25 ของชนไดคะแนนสงกวา
วธทา ........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
4. จากการตรวจสอบลาดบทของคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข ในวชาคณตศาสตรทม
ผเขาสอบ 400 คน ปรากฏวา นาย ก สอบไดคะแนนอยในตาแหนงควอรไทลท 3 และ
นาย ข สอบไดคะแนนอยในตาแหนงเปอรเซนไทลท 60 จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนน
ระหวางคะแนนของนาย ก และนาย ข มประมาณกคน
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
คะแนนทมจานวนนกเรยนรอยละ 25 ของชนไดคะแนนสงกวา คอ คะแนนท P75
ตาแหนงของ P75 คอ 75(30 + 1)
100 = 23.25
ดงนน P75 อยระหวาง 111 กบ 114
ตาแหนงตางกน 24 - 23 = 1 คะแนน เพมขน 114 - 111 = 3 คะแนน
ตาแหนงตางกน 23.25 - 23 = 0.25 คะแนน เพมขน 0.25 × 31
= 0.75 คะแนน
นนคอ P75 = 111 + 0.75 = 111.75 คะแนน
ดงนน คะแนนทมจานวนนกเรยนรอยละ 25 ของชนไดคะแนนสงกวา คอ 111.75 คะแนน
ตาแหนงของ Q3 ตรงกบตาแหนงของ P75
ลาดบทคะแนนของนาย ก อยในตาแหนงของ P75
สวนลาดบทคะแนนของนาย ข อยในตาแหนงของ P60
มผเขาสอบ 100 คน จานวนนกเรยนทไดคะแนนระหวางนาย ก และนาย ข มอย 15 คน
มผเขาสอบ 400 คน จานวนนกเรยนทไดคะแนนระหวางนาย ก และนาย ข มอย 15 × 400
100 = 60 คน
ดงนน จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนระหวางคะแนนของนาย ก และนาย ข
มประมาณ 60 คน
74 คณตศาสตร เลม 5
5. กาหนดขอมล 30, 42, 25, 34, 28, 36, 33, 44, 18 หาวา 30 เปนขอมลทอยในตาแหนง
เปอรเซนไทลทเทาใด
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
6. เมอพจารณาผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 39 คน พบวาเปอรเซนไทลท 25
ของคะแนนสอบเทากบ 35 คะแนน โดยมนกเรยน 30 คน ไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ
80 คะแนน และมนกเรยนทสอบไดคะแนน 35 คะแนน เพยงคนเดยว แลวจานวนนกเรยน
ทสอบไดคะแนนในชวง 35 - 80 คะแนน มทงหมดกคน
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
เรยงลาดบขอมลจากนอยไปมากจะได ดงน
18 25 28 30 33 34 36 42 44
กาหนดใหขอมลทมคา 30 อยในตาแหนงท r
ดงนน Pr = 30 ซงขอมลทมคา 30 อยในตาแหนงท 4
Pr = r(9 + 1)100
4 = 10r100
400 = 10r
r = 40
ดงนน 30 เปนขอมลทอยในตาแหนงเปอรเซนไทลท 40
ตาแหนงของ P25 เทากบ (25)(39 + 1)100
= 10
นนคอ จานวนนกเรยนทไดคะแนนในชวง 0 - 34 ม 9 คน
จากโจทยมนกเรยน 30 คน ทไดคะแนนในชวง 0 - 80 คะแนน
ดงนน จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวง 35 - 80 คะแนน เทากบ 30 - 9 = 21 คน
คณตศาสตร เลม 5 75
7. ขอมลชดหนงม 5 จานวน และมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 12 ถาควอรไทลท 1 และ 3 ของ
ขอมลชดนมคาเทากบ 5 และ 20 ตามลาดบ แลวเดไซลท 5 ของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
ใหขอมลชดหนงม 5 จานวน เรยงลาดบจากนอยไปมาก ดงน a, b, c, d, e
พจารณาคาเฉลยเลขคณต จะไดวา
12 = a + b + c + d + e5
a + b + c + d + e = 60 ……➊ พจารณาตาแหนงควอรไทลท 1 (Q1) ดงน
ตาแหนงของ Q1 = 1(N + 1)
4 = 5 + 1
4 = 1.5
Q1 คอ ขอมลในตาแหนงท 1.5 มคาเทากบ a + b2
แตโจทยกาหนดให Q1 = 5 นนคอ a + b2
= 5
a + b = 10 ……➋ พจารณาตาแหนงควอรไทลท 3 (Q3) ดงน
ตาแหนงของ Q3 = 3(N + 1)
4 = 3(5 + 1)
4 = 4.5
Q3 คอ ขอมลในตาแหนงท 4.5 มคาเทากบ d + e2
แตโจทยกาหนดให Q3 = 20 นนคอ d + e2
= 20
d + e = 40 ……➌ นา ➋ และ ➌ แทนใน ➊ จะได 10 + c + 40 = 60 c = 10
พจารณาเดไซลท 5 (D5) ดงน
ตาแหนงของ D5 = 5(N + 1)
10 = 5(5 + 1)
10 = 3
ดงนน D5 คอ ขอมลในตาแหนงท 3 ดงนน D5 = c = 10
76 คณตศาสตร เลม 5
8. ตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 60 คน ดงน
คะแนน จานวน (คน)
30 - 39 6
40 - 49 10
50 - 59 8
60 - 69 15
70 - 79 12
80 - 89 5
90 - 99 4
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
1) หาควอรไทลท 3 ของคะแนนสอบวชาคณตศาสตร
ของนกเรยน 60 คน
2) หาเดไซลท 4 ของคะแนนสอบวชาคณตศาสตร
ของนกเรยน 60 คน
ฉบบเฉลย
คะแนน จานวน (คน)
ความถสะสม
30 - 39 6 6
40 - 49 10 16
50 - 59 8 24
60 - 69 15 39
70 - 79 12 51
80 - 89 5 56
90 - 99 4 60
รวม 60
สรางตารางแจกแจงความถสะสมได ดงน
1) ตาแหนงของ Q3 คอ
3N4
= 3(60)4
= 45
ดงนน Q3 อยในอนตรภาคชนท 5
จากสตร Qr = L + (rN4
- ΣfLfQ
) I
จะได Q3 = 69.5 + (45 - 3912 )(10) = 74.5
ดงนน คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน
60 คน ในตาแหนงควอรไทลท 3 เทากบ 74.5
คะแนน
2) ตาแหนงของ D4 คอ 4N10
= 4(60)10
= 24 ดงนน D4 อยในอนตรภาคชนท 3
จากสตร Dr = L + (rN10
- ΣfLfD
) I
จะได Dr = 49.5 + (24 - 168 )(10) = 59.5 ดงนน คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 60 คน ในตาแหนงเดไซลท 4
เทากบ 59.5 คะแนน
คณตศาสตร เลม 5 77
9. ในการสอบครงหนงมนกเรยนเขาสอบทงหมด 50 คน แจกแจงเปนอนตรภาคชน ไดดงน
คะแนน ความถ
31 - 40 3
41 - 50 5
51 - 60 6
61 - 70 12
71 - 80 14
81 - 90 8
91 - 100 2
รวม 50
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
1) ตาแหนงของคนทสอบไดเปอรเซนไทลท 39
2) คนทสอบไดคะแนนในตาแหนงเปอรเซนไทล
ท 39 สอบไดกคะแนน
ฉบบเฉลย
คะแนนจานวน (คน)
ความถสะสม
31 - 40 3 3
41 - 50 5 8
51 - 60 6 14
61 - 70 12 26
71 - 80 14 40
81 - 90 8 48
91 - 100 2 50
รวม 50
1) ตาแหนงของ P39 คอ 39N100
= (39)(50)100
= 19.5
ดงนน ตาแหนงของคนทสอบไดเปอรเซนไทลท 39
คอ 19.5
2) ตาแหนงของ P39 อยในอนตรภาคชนท 4
จากสตร Pr = L + (rN100
- ΣfLfP
) I
จะได P39 = 60.5 + (19.5 - 1412 )(10) = 65.08
ดงนน คนทสอบไดคะแนนในตาแหนงเปอรเซนไทล
ท 39 สอบได 65.08 คะแนน
สรางตารางแจกแจงความถสะสมได ดงน
78 คณตศาสตร เลม 5
10. อายของเดกกลมหนงมการแจกแจงความถ ดงน
อาย (ป) 1 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 12 13 - 15
จานวนเดก 2 A 8 7 3
กาหนดใหเปอรเซนไทลท 25 ของอายเดกกลมนเทากบ 6.5 ป แลวเดกในกลมนทมอาย
ตากวา 10 ป มจานวนกคน
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
พจารณาเปอรเซนไทลท 25 (P25) ของอายของเดกกลมน
P25 = 25N100
= 25100
(20 + A) = 20 + A4
จากโจทยกาหนดวา P25 ของอายของเดกกลมนเทากบ 6.5 ป ซงเปนขอบบนของชวงอาย
4 - 6 ป แสดงวาตาแหนงของ P25 นคอ ตาแหนงสดทายในชวงอาย 4 - 6 ป ซงเทากบ
ตาแหนงท 2 + A
จะไดวา 20 + A4
= 2 + A
20 + A = 8 + 4A
12 = 3A
A = 4
ดงนน เดกในกลมนทอายตากวา 10 ป มจานวน 10 + A = 10 + 4 = 14 คน
อาย (ป) 1 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 12 13 - 15
จานวนเดก 2 A 8 7 3
ความถสะสม 2 2 + A 10 + A 17 + A 20 + A
สรางตารางแจกแจงความถสะสมได ดงน
คณตศาสตร เลม 5 79
11. ตารางแจกแจงความถแสดงรายจายตอวนของนกเรยนจานวน 80 คน ดงน
รายจายตอวน (บาท) จานวน (คน)
51 - 60 8
61 - 70 25
71 - 80 20
81 - 90 10
91 - 100 12
ตงแต 101 บาทขนไป 5
รวม 80
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
1) นกเรยน 3 ใน 4 ของกลมนมคาใชจาย
มากทสดเทาไร
2) คาใชจายนอยทสดทนกเรยนรอยละ 20
ของกลมทมคาใชจายมากทสดมคาเทาไร
ฉบบเฉลย
รายจายตอวน (บาท)จานวน (คน)
ความถสะสม
51 - 60 8 8
61 - 70 25 33
71 - 80 20 53
81 - 90 10 63
91 - 100 12 75
ตงแต 101 บาทขนไป 5 80
รวม 80
สรางตารางแจกแจงความถสะสมได ดงน
1) คาใชจายมากทสดทนกเรยน 3 ใน 4
ของกลมนใช คอ Q3
ตาแหนงของ Q3 คอ 3N4
= 3(80)4
= 60
ดงนน Q3 อยในอนตรภาคชนท 4
จะได Qr = L + (rN4
- ΣfLfQ
) I
Q3 = 80.5 + (60 - 5310 )(10) = 87.5 นนคอ คาใชจายมากทสดทนกเรยน 3 ใน 4
ของกลมนใช คอ 87.5 บาท
2) คาใชจายนอยทสดทนกเรยนรอยละ 20 ของกลมทมคาใชจายมากทสด คอ P80
ตาแหนงของ P80 คอ 80N100
= 80(80)100
= 64
ดงนน P80 อยในอนตรภาคชนท 5
จะได Pr = L + (rN100
- ΣfLfP
) I
P80 = 90.5 + (64 - 6312 )(10) = 91.33 นนคอ คาใชจายนอยทสดทนกเรยนรอยละ 20 ของกลมทมคาใชจายมากทสด
มคาเทากบ 91.33 บาท
80 คณตศาสตร เลม 5
12. ตารางแจกแจงขอมลนาหนกของนกกฬากลมหนง ดงน
นาหนก (กโลกรม) จานวนนกกฬา (คน)
41 - 45 5
46 - 50 x51 - 55 7
56 - 60 8
61 - 65 3
กาหนดใหเปอรเซนไทลท 24 เทากบ 48 หาคาเฉลยของขอมลชดน
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
ความถสะสม
5
5 + x
12 + x
20 + x
23 + x
จากโจทยกาหนดวา P24 ของนาหนกของนกกฬากลมหนงเทากบ 48 อยในอนตรภาคชนท 2
ตาแหนงของ P24 เทากบ 24100
(23 + x)
จะได 48 = 45.5 + [24100
(23 + x) - 5x ](5)
0.5x = 5.52 + 0.24x - 5
นนคอ x = 2
หาคา X โดยใชวธลด เลอกจดกงกลางทอยในอนตรภาคชนทมความถมากทสด
ซง A = 55.5 + 60.52
= 58
นาหนก (กโลกรม) จานวนนกกฬา (คน) di fidi
41 - 45 5 -3 -15
46 - 50 2 -2 -4
51 - 55 7 -1 -7
56 - 60 8 0 0
61 - 65 3 1 3
รวม 25 -5 -23
X = A + (Σ fidi
25
i=1
Σ fi25
i=1
) I = 58 + (-23)5
25 = 58 - 4.6 = 53.4
ดงนน คาเฉลยของนาหนกของนกกฬากลมน เทากบ 53.4 กโลกรม
A
คณตศาสตร เลม 5 81
ถาขอมลชดนม P25 = 100.5 และ Q3 = 110.5 แลว
จานวนคนงานทไดคาจางรายวนตากวา 115.5 บาท
เทากบเทาใด
1. 28 คน 2. 32 คน
3. 46 คน 4. 52 คน 46 คน 4 52 คน
กาหนดคาจางรายวนของแรงงานกลมหนงมการแจกแจง ดงน
คาจาง (บาท) จานวนคนงาน
81 - 85
86 - 90
91 - 95
96 - 100
101 - 105
106 - 110
111 - 115
116 - 120
1
3
x
5
8
y
10
4
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ฉบบเฉลย
แนวคด สรางตารางแจกแจงความถสะสม
จากโจทย P25 = 100.5 ซงเปนขอบบนของชนท 4
จะได ตาแหนงของ P25 = คนสดทายของชนท 4
25(x + y + 31)100
= x + 9
3x - y + 5 = 0 ……➊จากโจทย Q3 = 110.5 ซงเปนขอบบนของชนท 6
จะได ตาแหนงของ Q3 = คนสดทายของชนท 6
3(x + y + 31)4
= x + y + 17
x + y - 25 = 0 ……➋ x = 5
คาจาง (บาท) จานวนคนงาน ความถสะสม
81 - 85
86 - 90
91 - 95
96 - 100
101 - 105
106 - 110
111 - 115
116 - 120
1
3
x
5
8
y
10
4
1
4
x + 4
x + 9
x + 17
x + y + 17
x + y + 27
x + y + 31
แทน x ดวย 5 ใน ➋ จะได
5 + y - 25 = 0
y = 20
ดงนน จานวนคนงานทไดคาจางรายวนตากวา 115.5 บาท
เทากบ x + y + 27 = 5 + 20 + 27 = 52 คน
Test for U
82 คณตศาสตร เลม 5
บอกซพลอต บอกซพลอตเปนการสรปลกษณะของขอมลชดหนงๆ ดวยกราฟ โดยทคาสถตทงหมด
ทตองทราบเพอใชในการสรางบอกซพลอต 5 คา ไดแก คาตาสดของขอมล คาควอรไทลท 1
คาควอรไทลท 2 คาควอรไทลท 3 และคาสงสดของขอมล
ตวอยาง ขอมลแสดงรายไดของครวเรอน (หมนบาท) จานวน 12 ครวเรอน เปนดงน
23 17 21 53 16 39 26 31 48 25 29 19
สราง Box plot ของขอมลทกาหนด
วธทา ขนท 1 เรยงลาดบขอมลจากนอยไปมากไดดงน
16 17 19 21 23 25 26 29 31 39 48 53
ขนท 2 คานวณหา Q1, Q2, Q3, หาคาสงสด และคาตาสดของขอมล
ตาแหนง Q1 = 1(12 + 1)
4 = 3.25 จะได Q1 = 19 + 0.25(2) = 19.50
ตาแหนง Q2 = 2(12 + 1)
4 = 6.50 จะได Q2 = 25 + 0.50(1) = 25.5
ตาแหนง Q3 = 3(12 + 1)
4 = 9.75 จะได Q3 = 31 + 0.75(8) = 37
คาสงสด = 53 และคาตาสด = 16
ขนท 3 เขยนสเกลบนแกนแนวนอนหรอแนวตงใหครอบคลมคาตาสดและคาสงสด
แลวสราง Box plot ตามภาพ
15 20 25
Q2 Q3
คาสงสดคาตาสด
Q1
25%25% 25% 25%
30 35 40 45 50 55
จากแผนภาพจะพบวาจานวนขอมลทอยระหวาง xmin - Q1, Q2 - Q3 และ Q3 - xmaxมอยประมาณชองละ 25% ของจานวนขอมลทงหมด แตคาสงเกตทไดในแตละชวงจะไมเทากน
ดงนน เราสามารถใชความยาวของกลองในแตละชวงบอกลกษณะการกระจายตวของขอมล
ชดนนๆ ได
Note
ฉบบเฉลย
คณตศาสตร เลม 5 83
1. สราง Box plot จากขอมลตอไปน
12 11 24 15 27 21 20 13 14 12 18 12 11 10 35
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถสราง Box plot และตความหมายจาก Box plot ได
1.4 B
ฉบบเฉลย
จดเรยงขอมลจากนอยสดไปมากสด เพอหา Q1 Q2 และ Q3 ดงน
10 11 11 12 12 12 13 14 15 18 20 21 24 27 35
มขอมลทงหมด 15 จานวน
Q1 อยในตาแหนงท 1(15 + 1)4
= 4
ดงนน จานวนทตรงกบตาแหนงควอรไทลท 1 คอ 12
Q2 อยในตาแหนงท 2(15 + 1)4
= 8
ดงนน จานวนทตรงกบตาแหนงควอรไทลท 2 คอ 14
Q3 อยในตาแหนงท 3(15 + 1)4
= 12
ดงนน จานวนทตรงกบตาแหนงควอรไทลท 3 คอ 21
จากขอมลทได สราง Boxplot ไดดงรป
40
30
20
10
0
35
25
15
5
84 คณตศาสตร เลม 5
2. ขอมลตอไปนเปนปรมาณแคลอรตอไอศกรมหนงแทง จานวน 22 ชนด
346 377 320 340 300 234 294 286 370 282 210
339 120 240 282 297 209 157 290 250 230 250
สราง Box plot จากขอมลทกาหนด
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
จดเรยงขอมลจากนอยสดไปมากสดเพอหา Q1 Q2 และ Q3 ดงน
120 157 209 210 230 234 240 250 250 282 282
286 290 294 297 300 320 339 340 346 370 377
ในทนมขอมลทงหมด 22 จานวน
จาก Qr อยในตาแหนงท r(N + 1)4
จงได Q1 อยในตาแหนงท 1(22 + 1)4
= 5.75
ดงนน Q1 อยระหวางคา 230 - 234 และจานวนแคลอรทตรงกบตาแหนงควอรไทลท 1
คอ 230 + 3 = 233 แคลอร
Q2 อยในตาแหนงท 2(22 + 1)4
= 11.5 ดงนน Q2 อยระหวางคา 282 - 286
และจานวนแคลอรทตรงกบตาแหนงควอไทลท 2 คอ 282 + 2 = 284 แคลอร
Q3 อยในตาแหนงท 3(22 + 1)4
= 17.25 ดงนน Q3 อยระหวางคา 320 - 329
และจานวนแคลอรทตรงกบตาแหนงควอไทลท 3 คอ 320 + 2.25 = 322.25 แคลอร
จากขอมลทมสราง Box plot ไดดงรป
100
300
400
200
แคลอ
ร
350
250
150
คณตศาสตร เลม 5 85
3. Box plot แสดงผลสรปของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหอง ม.6/1 และหอง
ม.6/2
60 70 80 90 100
7567
60
98
918577
64
88
100(ม.6/1)
(ม.6/2)
1) คะแนนหอง ม.6/1 ทไดคะแนนอยในกลม 25% ตาสด มคะแนนตาสดและคะแนนสงสด
เปนเทาใด
วธทา .......................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
2) นกเรยนหอง ม.6/2 ทไดคะแนนมากกวาหรอเทากบ 91 คะแนน มประมาณกเปอรเซนต
วธทา .......................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
3) มนกเรยน ม.6/1 กเปอรเซนต ทไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 75 คะแนน
วธทา .......................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
4) ถาในการสอบครงนผสอนจะใหระดบผลการเรยนเทากบ 4 แกผทได 80 คะแนนขนไป
หองใดจะมนกเรยนทไดระดบผลการเรยนเทากบ 4 มากกวากน
วธทา .......................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
จาก Box plot ของนกเรยนหอง ม.6/1
คาตาสด คอ 60, คาสงสด คอ 100, Q1 = 67, Q2 = 75 และ Q3 = 88
ดงนน 25% ของนกเรยนหอง ม.6/1 ทไดคะแนนอยในกลมตาสด
มคะแนนตาสด 60 คะแนน และคะแนนสงสดเปน 67 คะแนน
จาก Box plot ของนกเรยนหอง ม.6/2
คาตาสด คอ 64, คาสงสด คอ 98, Q1 = 77, Q2 = 85 และ Q3 = 91
ดงนน นกเรยนหอง ม.6/2 ทไดคะแนนมากกวาหรอเทากบ 91 คะแนน มประมาณ 25%
จาก Box plot ของนกเรยนหอง ม.6/1 จะพบวา Q2 = 75 คะแนน
ดงนน มนกเรยน 50% ของนกเรยนทงหองทไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 75 คะแนน
จาก Box plot ของนกเรยนหอง ม.6/1 และ ม.6/2 จะพบวา นกเรยนหอง ม.6/1 มนกเรยน
นอยกวา 50% ไดคะแนนมากกวา 80 คะแนน สวนนกเรยนหอง ม.6/2 มนกเรยน
มากกวา 50% ไดคะแนนมากกวา 80 คะแนน ของนกเรยนทงหอง
ดงนน หอง ม.6/2 มนกเรยนไดระดบผลการเรยนเทากบ 4 มากกวา
86 คณตศาสตร เลม 5
1 . 5 ¡ÒÃÇÑ ¡ÒáÃШÒ¢ͧ¢ŒÍÁÙÅ Measures of Dispersion
การวดการกระจายของขอมล เปนสถตประเภทหนงทใชอธบายลกษณะการกระจายของ
ขอมล ถาขอมลชดนนประกอบดวยคะแนนทมคาตางกนมาก เรยกวา ขอมลมการกระจายมาก
ถาขอมลชดนนประกอบดวยคะแนนทมคาตางกนนอย เรยกวา ขอมลมการกระจายนอย และ
ถาขอมลชดนนประกอบดวยคะแนนทมคาเทากนหมด เรยกวา ขอมลไมมการกระจาย
การวดการกระจายสมบรณ การวดการกระจายสมบรณ คอ การวดการกระจายของขอมลเพยงชดเดยว เพอดวาขอมล
แตละคาในชดนนมความแตกตางกนมากหรอนอยเพยงไร นยมใชกนอย 4 ชนด คอ
1) พสย
เปนคาทใชวดการกระจายของขอมล โดยหาไดจากผลตางระหวางคาสงสดกบ
คาตาสดของขอมล
กรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ
เมอ xmax แทนขอมลทมคาสงสด
xmin แทนขอมลทมคาตาสด
กรณทขอมลแจกแจงความถ
เมอ Umax แทนขอบบนของอนตรภาคชนทมคาสงสด
Lmin แทนขอบลางของอนตรภาคชนทมคาตาสด
2) สวนเบยงเบนควอรไทล
เปนคาทใชวดการกระจายของขอมลรอบๆ คามธยฐาน ซงหาไดจากครงหนงของ
ผลตางระหวางควอรไทลท 3 กบควอรไทลท 1
พสย = xmax - xmin
พสย = Umax - Lmin
สวนเบยงเบนควอรไทล (Q.D.) = Q3 - Q1
2
ฉบบเฉลย
คณตศาสตร เลม 5 87
สวนเบยงเบนเฉลย (M.D.) = Σ �xi - X�
n
k
i=1
สวนเบยงเบนเฉลย (M.D.) = Σ fi �xi - X�
Σ fi
k
i=1k
i=1
= Σ fi �xi - X�
n
k
i=1
สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร (σ) = Σ (xi - μ)2
N
N
i=1 หรอ Σ xi
2
N
N
i=1 - μ2
3) สวนเบยงเบนเฉลย
เปนคาทใชวดการกระจายของขอมลรอบๆ คาเฉลย โดยหาไดจากการเฉลยคาสมบรณ
ของผลตางระหวางขอมลแตละตวกบคาเฉลยของขอมลชดนน
กรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ
ถา x1, x2, x3, …, xk เปนคาของขอมลตวอยาง n จานวน และมคาเฉลย
เลขคณตเปน X แลว
กรณทขอมลแจกแจงความถ
เมอ xi เปนจดกงกลางของอนตรภาคชนตางๆ โดย i = 1, 2, 3, …, k ชน
fi เปนความถของอนตรภาคชนท i
n เปนจานวนขอมลตวอยางทงหมด
X เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน
4) สวนเบยงเบนมาตรฐาน
เปนการวดการกระจายของคะแนนรอบๆ คาเฉลยคลายๆ กบสวนเบยงเบนเฉลย
ซงหาไดจากรากทสองของคาเฉลยของกาลงสองของผลตางระหวางขอมลแตละคากบคากลาง
ของขอมล
กรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ
ถา x1, x2, x3, …, xn เปนคาของขอมลประชากร N หนวย และมคาเฉลย
เลขคณตเปน μ สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร เปน σ คานวณจากสตร
เมอ μ แทนคาเฉลยเลขคณตของประชากร
N แทนจานวนขอมลทงหมดของประชากร
ฉบบเฉลย
88 คณตศาสตร เลม 5
สวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง (s) = Σ (xi - X)
2
n - 1
n
i=1 หรอ Σ xi
2 - nX 2
n - 1
n
i=1
สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร (σ) = Σ fi (xi - μ)2
N
k
i=1 หรอ Σ fi xi
2
N
k
i=1 - μ2
สวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง (s) = Σ fi (xi - X)
2
n - 1
k
i=1 หรอ Σ fi xi
2- nX 2
n - 1
k
i=1
สวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยางของประชากรใชสญลกษณแทนดวย S.D. หรอ s
เมอ X แทนคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง
N แทนจานวนขอมลทงหมดของตวอยาง
กรณทขอมลแจกแจงความถ
สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากรหรอตวอยางทแจกแจงความถ เปนคาโดยประมาณ
เพราะตองใชจดกงกลางของแตละอนตรภาคชนเปนตวแทนขอมล ซงมสตร ดงน
เมอ xi แทนจดกงกลางของอนตรภาคชนท i
fi แทนความถของอนตรภาคชนท i
k แทนจานวนอนตรภาคชน
N แทนจานวนขอมลทงหมดของประชากร หรอผลรวมของความถของทกๆ
อนตรภาคชน
n แทนจานวนตวอยางทงหมด
μ แทนคาเฉลยเลขคณตของประชากร
X แทนคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง
ฉบบเฉลย
คณตศาสตร เลม 5 89
จะเหนไดวา กาลงสองของสวนเบยงเบนมาตรฐานกคอคาความแปรปรวนเขยนเปนสตรได
ดงน
คาสวนเบยงเบนมาตรฐาน2 = ความแปรปรวน
ดงนน ถาทราบความแปรปรวนของขอมลแลว จะสามารถหาคาสวนเบยงเบนมาตรฐาน
ไดโดยการถอดรากทสองของความแปรปรวนนน เขยนเปนสตรในรปสญลกษณได ดงน
กรณทความแปรปรวนของขอมลประชากรไมไดแจกแจงความถ
กรณทความแปรปรวนของขอมลประชากรแจกแจงความถ
เมอ xi แทนจดกงกลางของอนตรภาคชนท i
fi แทนความถของอนตรภาคชนท i
k แทนจานวนอนตรภาคชน
μ แทนคาเฉลยเลขคณตของประชากร
N แทนจานวนขอมลทงหมดของประชากร
สวนการหาคาเฉลยของสวนเบยงเบนกาลงสอง โดยการหารดวยจานวนคาสงเกตทงหมด
ในชดขอมลลบดวย 1 หรอ (n - 1) ผลทไดเรยกวา ความแปรปรวนของตวอยาง และแทนดวย s2
กรณทความแปรปรวนของขอมลตวอยางไมไดแจกแจงความถ
ความแปรปรวนของตวอยาง s2 = Σ (xi - X)
2
n - 1
n
i=1 หรอ Σ xi
2 - nX 2
n - 1
n
i=1
ความแปรปรวนของประชากร (σ2) = Σ (xi - μ)2
N
N
i=1 = Σ xi
2
N
N
i=1 - μ2
ความแปรปรวนของประชากร (σ2) = Σ fi (xi - μ)2
N
k
i=1 = Σ fixi
2
N
k
i=1 - μ2
ในการวดการกระจายสมบรณ ถาคาทคานวณไดมคามาก แสดงวาขอมลมการกระจายมาก
ถาคาทคานวณไดมคานอย แสดงวาขอมลมการกระจายตวนอย
Note
ฉบบเฉลย
90 คณตศาสตร เลม 5
ความแปรปรวนของตวอยาง (s2) = Σ fi (xi - X)
2
n - 1
k
i=1 หรอ Σ fi xi
2- nX 2
n - 1
k
i=1
1. หาพสยของความสง (เซนตเมตร) ของนกเรยนกลมหนง ซงมความสง ดงน
164 164 166 166 166 172 172 165 168 169 175
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
2. หาพสยของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนง ซงไดคะแนน ดงน
คะแนน 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99
จานวนนกเรยน (คน) 3 6 20 21 8 2
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
จดประสงค นกเรยนสามารถวดการกระจายของขอมลและเปรยบเทยบการกระจายของขอมลได
Exercise 1.5 A
กรณทความแปรปรวนของขอมลตวอยางแจกแจงความถ
เมอ xi แทนจดกงกลางของอนตรภาคชนท i
fi แทนความถของอนตรภาคชนท i
X แทนคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง
n แทนจานวนตวอยางทงหมด
k แทนจานวนอนตรภาคชน
ฉบบเฉลย
จากขอมลทกาหนด คาสงสดของขอมล คอ 175 และคาตาสดของขอมล คอ 164
ดงนน พสยเทากบ 175 - 164 = 11 เซนตเมตร
จากขอมลทกาหนด ขอบบนของอตรภาคชนของขอมลทมคาสงสด คอ 99.5
และขอบลาง ของอตรภาคชนของขอมลทมคาตาสด คอ 39.5
ดงนน พสยเทากบ 99.5 - 39.5 = 60 คะแนน
คณตศาสตร เลม 5 91
3. หาสวนเบยงเบนควอรไทลของความสง (เซนตเมตร) ของนกเรยนกลมหนง ซงมความสง ดงน
164 164 166 166 166 172 172 165 168 169 175
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
4. หาสวนเบยงเบนควอรไทลของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนง ซงไดคะแนน ดงน
คะแนน 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99
จานวนนกเรยน (คน) 3 6 20 21 8 2
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
เรยงขอมลจากนอยไปมาก ไดดงน
164 164 165 166 166 166 168 169 172 172 175
หาตาแหนง Q1 = 1(N + 1)4
= 11 + 14
= 3
ดงนน Q1 = 165
หาตาแหนง Q3 = 3(N + 1)
4 = 3(11 + 1)
4 = 9
ดงนน Q3 = 172
ดงนน สวนเบยงเบนควอรไทล (Q.D.) = 172 - 1652
= 3.5 เซนตเมตร
คะแนน f f สะสม
40 - 49 3 3
50 - 59 6 9
60 - 69 20 29
70 - 79 21 50
80 - 89 8 58
90 - 99 2 60
จากขอมลทกาหนด นามาเขยนตารางใหมเพอหาความถสะสมได ดงน
หาตาแหนงของ Q1 = 604
= 15
ดงนน Q1 อยในอนตรภาคชนท 60 - 69
ตาแหนงตางกน 29 - 9 = 20
คะแนนตางกน 59.5 - 69.5 = 10 คะแนน
ตาแหนงตางกน 15 - 9 = 6
คะแนนตางกน (10)(6)20
= 3 คะแนน
จะไดวา Q1 = 59.5 + 3 = 62.5 คะแนน
หาตาแหนงของ Q3 = 3(60)
4 = 45 ดงนน Q3 อยในอนตรภาคชนท 70 - 79
ตาแหนงตางกน 50 - 29 = 21 คะแนนตางกน 69.5 - 79.5 = 10 คะแนน
ตาแหนงตางกน 45 - 29 = 16 คะแนนตางกน (10)(16)21
= 7.62 คะแนน
จะไดวา Q3 = 69.5 + 7.62 = 77.12 คะแนน
ดงนน สวนเบยงเบนควอรไทล (Q.D.) = 77.12 - 62.52
= 7.31 คะแนน
92 คณตศาสตร เลม 5
5. ขอมลจากตวอยางชดหนงประกอบดวยขอมล 8 จานวน คอ 70 52 73 46 75 90 78 100
หาสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดน
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
6. หาสวนเบยงเบนเฉลยของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนง ซงไดคะแนน ดงน
คะแนน 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99
จานวนนกเรยน (คน) 3 6 20 21 8 2
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
หาคาเฉลยเลขคณตจากสตร X = Σ xin
n
i=1
X = 70 + 52 + 73 + 46 + 75 + 90 + 78 + 1008
= 5848
= 73
ดงนน M.D. = �70 - 73� + �52 - 73� + �73 - 73� + �46 - 73� + �75 - 73� + �90 - 73� + �78 - 73� + �100 - 73�8
= 3 + 21 + 0 + 27 + 2 + 17 + 5 + 278
= 1028
= 12.75
จากขอมลทกาหนด นามาเขยนตารางใหม ดงน
จากตาราง จะได X = 4,18060
= 69.67
และ M.D. = Σ fi�xi - X�
n
k
i=1
= 539.6660
= 8.99
ดงนน สวนเบยงเบนเฉลยโดยประมาณของคะแนนสอบของนกเรยนกลมน
เทากบ 8.99 คะแนน
คะแนน ความถ (fi) จดกงกลางชน (xi) fixi �xi - X� fi�xi
- X�
40 - 49 3 44.5 133.5 25.17 75.51
50 - 59 6 54.5 327 15.17 91.02
60 - 69 20 64.5 1,290 5.17 103.4
70 - 79 21 74.5 1,564.5 4.83 101.43
80 - 89 8 84.5 676 14.83 118.64
90 - 99 2 94.5 189 24.83 49.66
รวม 60 4,180 539.66
คณตศาสตร เลม 5 93
7. ผลการสารวจนาหนก (กโลกรม) ของนกเรยน 10 คน ปรากฎผล ดงน 42, 54, 67, 32, 89,
45, 53, 64, 49 และ 56
1) หาพสย 2) หาสวนเบยงเบนควอรไทล
3) หาสวนเบยงเบนเฉลย 4) หาสวนเบยงเบนมาตรฐาน
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
1) หาพสยจาก พสย = xmax - xmin = 89 - 32 = 57
2) หาสวนเบยงเบนควอรไทลจาก Q.C. = Q3 - Q1
2
เรยงขอมลจากนอยไปมาก 32, 42, 45, 49, 53, 54, 56, 64, 67, 89
ตาแหนง Q1 = 1(10 + 1)
4 = 2.75 จะได Q1 = 42 + 0.75(3) = 44.25
ตาแหนง Q3 = 3(10 + 1)
4 = 8.25 จะได Q3 = 64 + 0.25(3) = 64.75
ดงนน Q.C. = 64.75 - 44.252
= 10.25
3) หาสวนเบยงเบนเฉลยจาก M.D. = Σ �xi - X�
n
n
i=1
X = Σ xin
n
i=1 = 32 + 42 + 45 + … + 8910
= 55.1
ดงนน M.D. = �32 - 55.1� + �42 - 55.1� + �45 - 55.1� + … + �89 - 55.1�10
= 11.12
4) หาสวนเบยงเบนมาตรฐานจาก s =
n
i=1 n - 1
Σ xi2 - nX 2
Σ xi2 = 322 + 422 + 452 + … + 892 = 32,581
ดงนน s = 10 - 132581 - 10(55.1)2 = 15.71
n
i=1
94 คณตศาสตร เลม 5
8. ขอมลแสดงอายของผเขาสมครงานในตาแหนงประชาสมพนธของบรษทแหงหนงเปน ดงน
26, 23, 25, 24, 27, 30, 32, 28, 33, 29, 31, 25, 27
1) หาพสย 2) หาสวนเบยงเบนควอรไทล
3) หาสวนเบยงเบนเฉลย 4) หาสวนเบยงเบนมาตรฐาน
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
1) หาพสยจาก พสย = xmax - xmin = 33 - 23 = 11
2) หาสวนเบยงเบนควอรไทลจาก Q.C. = Q3 - Q1
2
เรยงขอมลจากนอยไปมาก 23, 24, 25, 25, 26, 27, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33
ตาแหนง Q1 = 1(13 + 1)
4 = 3.5 จะได Q1 = 25 + 0.5(0) = 25
ตาแหนง Q3 = 3(13 + 1)
4 = 10.5 จะได Q3 = 30 + 0.5(1) = 30.5
ดงนน Q.C. = 30.5 - 252
= 2.75
3) หาสวนเบยงเบนเฉลยจาก M.D. = Σ �xi - X�
n
n
i=1
X = Σ xin
n
i=1 = 23 + 24 + 25 + … + 3313
= 27.69
ดงนน M.D. = �23 - 27.69� + �24 - 27.69� + �25 - 27.69� + … + �33 - 27.69�13
= 2.59
4) หาสวนเบยงเบนมาตรฐานจาก s =
n
i=1 n - 1
Σ xi2 - nX 2
Σ xi2 = 232 + 242 + 252 + … + 332 = 10,088
ดงนน s = 13 - 110088 - 13(27.69)2 = 3.17
n
i=1
คณตศาสตร เลม 5 95
9. ขอมลแสดงคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงเปน ดงน
คะแนน 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99
จานวนนกเรยน 1 2 6 20 21 8 2
1) หาพสย 2) หาสวนเบยงเบนควอรไทล
3) หาสวนเบยงเบนเฉลย 4) หาสวนเบยงเบนมาตรฐาน
วธทา .................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
จากขอมลทกาหนด นามาเขยนตารางใหมได ดงน
คะแนน 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99 รวม
fi 1 2 6 20 21 8 2 60
cfi 1 3 9 29 50 58 60
xi34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5
fixi34.5 89 327 1290 1564.5 676 189 4170
�xi - X� 35 25 15 5 5 15 25 125
(xi - X)2 1225 625 225 25 25 225 625
fi�xi - X� 35 50 90 100 105 120 50 550
fi(xi - X)2 1225 1250 1350 500 525 1800 1250 7900
1) หาพสยจาก พสย = Umax - Lmin = 99.5 - 29.5 = 70
2) หาสวนเบยงเบนควอรไทลจาก Q.C. = Q3 - Q1
2
ตาแหนง Q1 = 1(60)
4 = 15 จะได Q1 = 59.5 + 10 (15 - 920 ) = 62.5
ตาแหนง Q3 = 3(60)
4 = 45 จะได Q3 = 69.5 + 10 (45 - 2921 ) = 77.12
ดงนน Q.C. = 77.12 - 62.52
= 7.31
3) หาสวนเบยงเบนเฉลยจาก M.D. = Σ fi�xi - X�
n
k
i=1
X = Σ fixi
n
n
i=1 = 417060
= 69.5 ดงนน M.D. = 55060
= 9.16
4) หาสวนเบยงเบนมาตรฐานจาก s =
k
i=1 n - 1
Σ fi(xi - X)2
= 60 - 17900 = 11.57
96 คณตศาสตร เลม 5
10. ขอมลแสดงคาใชจายของนกเรยนแตละคนใน 1 วน เปนดงน
จานวนเงน (บาท) 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100
จานวนนกเรยน 1 2 6 20 21 2
1) หาพสย 2) หาสวนเบยงเบนควอรไทล
3) หาสวนเบยงเบนเฉลย 4) หาสวนเบยงเบนมาตรฐาน
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
จากขอมลทกาหนด นามาเขยนตารางใหมได ดงน
จานวนเงน (บาท) 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100 รวม
fi 3 13 8 6 5 5 40
cfi 3 16 24 30 35 40
xi45.5 55.5 65.5 75.5 85.5 95.5
fixi136.5 721.5 524 453 427.5 477.5 2740
�xi - X� 23 13 3 7 17 27
(xi - X)2 529 169 6 49 289 729
fi�xi - X� 69 169 24 42 85 135 524
fi(xi - X)2 1587 2197 72 294 1445 3645 9240
1) หาพสยจาก พสย = Umax - Lmin = 100.5 - 40.5 = 60
2) หาสวนเบยงเบนควอรไทลจาก Q.C. = Q3 - Q1
2
ตาแหนง Q1 = 1(40)
4 = 10 จะได Q1 = 50.5 + 10 (10 - 313 ) = 55.88
ตาแหนง Q3 = 3(40)
4 = 30 จะได Q3 = 70.5 + 10 (30 - 246 ) = 80.5
ดงนน Q.C. = 80.5 - 55.882
= 12.31
3) หาสวนเบยงเบนเฉลยจาก M.D. = Σ fi�xi - X�
n
k
i=1
X = Σ fixi
n
n
i=1 = 274040
= 68.5 ดงนน M.D. = 52440
= 13.1
4) หาสวนเบยงเบนมาตรฐานจาก s =
k
i=1 n - 1
Σ fi(xi - X)2
= 40 - 19240 = 15.39
คณตศาสตร เลม 5 97
11. สมมตวาสมตวอยางถานไฟฉายยหอหนงมาตรวจสอบอายการใชงาน (หนวยชวโมง) ซงได
ขอมลดงตารางแจกแจงความถตอไปน
อายการใชงาน (ชวโมง) ความถ
61 - 70
71 - 80
81 - 90
91 - 100
101 - 110
111 - 120
5
14
18
25
12
6
หาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐานของอายการใชงานของถานไฟฉาย
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
จากขอมลทกาหนด นามาเขยนตารางใหมได ดงน
อายการใชงาน xi fi fixi xi2 fixi
2
61 - 70
71 - 80
81 - 90
91 - 100
101 - 110
111 - 120
65
75
85
95
105
115
5
14
18
25
12
6
325
1,050
1,530
2,375
1,260
690
4,225
5,625
7,225
9,025
11,025
13,225
21,125
78,750
130,050
225,625
132,300
79,350
รวม Σ fi = 80 Σ fixi = 7,230 Σ fixi2 = 667,200
6
i=1
6
i=1
6
i=1
จะได X = Σ fixi
6
i=1
Σ fi6
i=1
= 7,23080
, Σ fi = 80 , Σ fixi2 = 667,200
และ s2 =
6
i=1 n - 1
Σ fixi2 - nX 2
= 667200 - 80 (7,23080 )
2
80 - 1 = 174.541
s = 174.541 = 13.21
ดงนน คาความแปรปรวนเทากบ 174.541 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 13.21
6
i=1
6
i=1
98 คณตศาสตร เลม 5
12. คะแนนสอบวชาหนงของนกเรยน 40 คน เปนดงน
คะแนน จานวนนกเรยน (fi)
10 - 14 4
15 - 19 6
20 - 24 a
25 - 29 8
30 - 34 4
35 - 39 6
โดยมคะแนนเฉลย (μ) เทากบ 24.5 และ Σ fi(xi - μ) = -125 ถาสวนเบยงเบนควอรไทล
เทากบ b และสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ c แลว a + b + c เทากบเทาไร
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
3
i=1
ฉบบเฉลย
cfi xi fixi �xi - μ� fi�xi - μ�
4 12 48 12.5 50
10 17 102 7.5 45
22 22 264 2.5 30
30 27 216 2.5 20
34 32 128 7.5 30
40 37 222 12.5 75
จาก Σ fi(xi - μ) = -125 และ μ = 24.5
จะได Σ fi(xi - μ) = 4(12 - 24.5) + 6(17 - 24.5) + a(22 - 24.5)
-125 = -50 - 45 - 2.5a
a = 12
หาสวนเบยงเบนควอรไทลจาก Q.C. = Q3 - Q1
2
ตาแหนง Q1 = 1(40)
4 = 10 จะได Q1 = 19.5
ตาแหนง Q3 = 3(40)
4 = 30 จะได Q3 = 29.5
ดงนน Q.C. = 29.5 - 19.52
= 5
หาสวนเบยงเบนเฉลยจาก M.D. = Σ fi�xi - μ�
N
6
i=1
= 25040
= 6.25
ดงนน a + b + c = 12 + 5 + 6.25 = 23.25
3
i=1
3
i=1
คณตศาสตร เลม 5 99
13. ในการสอบสมภาษณนกศกษา 3 คน ปรากฎวา มธยฐานเทากบ 46 และพสยเทากบ 17
ถานกศกษาคนแรกไดคะแนน 32 คะแนน ความแปรปรวนในการสอบสมภาษณครงน
ประมาณเทาใด
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
ให x1, x2, x3 เปนคะแนนสอบสมภาษณของนกศกษาทงสามคน โดยเรยงจากนอยไปมาก
จากโจทย พสย = 17 แสดงวา x3 - x1 = 17
มธยฐาน = 46 แสดงวา x2 = 46
นกศกษาคนแรกไดคะแนน 32 คะแนน นนคอ x1 = 32
จะไดวา x3 - 32 = 17
x3 = 49
หาคาเฉลยเลขคณต μ = Σ xi
N
N
i=1
= 32 + 46 + 493
= 1273
= 42.33
ความแปรปรวน σ2 =
N
i=1 N
Σ (xi - μ)2
= (32 - 42.33)2 + (46 - 42.33)2 + (49 - 42.33)2
3 ≈ 106.71 + 13.47 + 44.49
3 ≈ 54.89
ดงนน ความแปรปรวนในการสอบสมภาษณประมาณ 54.89
100 คณตศาสตร เลม 5
14. คะแนนสอบชดหนงม 3 จานวน โดยมฐานนยมและมธยฐานเทากบ 52 และคาเฉลยเลขคณต
เทากบ 48 พสยและสวนเบยงเบนควอรไทลของขอมลชดนเทากบเทาใด
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
ให x1, x2, x3 เปนคะแนนสอบโดยเรยงจากนอยไปมาก
จากโจทย มธยฐาน = 52 แสดงวา x2 = 52
ฐานนยม = 52 แสดงวา ตองมอกคาเทากบ 52
และคาเฉลยเลขคณต = 48 ซงนอยกวา 52 นนคอ คาทเหลอจงตองนอยกวา 52
จะไดวา x3 = 52
นนคอ μ = Σ xi
N
N
i=1
48 = x1 + 52 + 52
3 144 = x1 + 102
x1 = 42
ดงนน พสยเทากบ 52 - 42 = 10
หาคาเบยงเบนควอรไทลจากตาแหนงของ Q1 = (N + 1)r
4
= (3 + 1)(1)4
= 1
นนคอ Q1 = 42
ตาแหนงของ Q3 = (3 + 1)(3)
4 = 3
นนคอ Q3 = 52
จะไดวา Q.D. = Q3 - Q1
2
= 52 - 422
= 102
= 5
ดงนน สวนเบยงเบนควอรไทลเทากบ 5
คณตศาสตร เลม 5 101
15. ในการทดสอบความสามารถดานการอานของนกเรยน 3 คน ปรากฏวาคาเฉลยเลขคณต
ของคะแนนเทากบ 63 มธยฐานเทากบ 60 และพสยเทากบ 21 สวนเบยงเบนเฉลยในการ
สอบครงนเปนเทาใด
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
16. กาหนดให Σ (xi - 3)2 = 90 และ Σ xi = 30 เมอ xi คอ คาสงเกตตวท i ของขอมลแลว
หาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดน
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
10
i=1
10
i=1
ฉบบเฉลย
ใหคะแนนของนกเรยน 3 คน เรยงจากนอยไปมาก คอ a, b, c
มธยฐานเทากบ 60 ดงนน b = 60
พสยเทากบ 21 ดงนน c - a = 21 ……➊คาเฉลยเลขคณตเทากบ 63 ดงนน a + 60 + c
3 = 63
a + c = 129 ……➋แกสมการ ➊ และ ➋ จะได a = 54, b = 60 และ c = 75
หาสวนเบยงเบนเฉลยจาก M.D. = Σ �xi - μ�
N
N
i=1
= �54 - 63� + �60 - 63� + �75 - 63�3
= 8
จาก Σ (xi - 3)2 = Σ (xi
2 - 6xi + 9)
= Σ xi2 - 6Σ xi + 9(10)
90 = Σ xi2 - 6(30) + 90
Σ xi2 = 180
หาคาเฉลยเลขคณตจาก X = Σ xin
n
i=1 = 3010
= 3
หาสวนเบยงเบนมาตรฐานจาก s =
n
i=1 n - 1
Σ xi2 - nX 2
= 10 - 1180 - 10(3)2
= 3.16
10
i=1
10
i=1
10
i=1
10
i=1
10
i=110
i=1
102 คณตศาสตร เลม 5
17. ในการสอบครงหนงนกเรยนทไดคะแนนสงสดไดคะแนนสงกวาคาเฉลยเลขคณต 42 คะแนน
และนกเรยนทไดคะแนนตาสดไดคะแนนตากวาคาเฉลยเลขคณต 34 คะแนน หาพสยของการ
สอบครงน
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
18. นกเรยนหองหนงม 42 คน ในการสอบครงหนงพบวามนกเรยนขาดสอบ 2 คน คาเฉลย
เลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนของนกเรยน 40 คน เทากบ 60 และ 2 คะแนน
ตามลาดบ ตอมานกเรยนทขาดสอบ 2 คน มาสอบไดคะแนน 80 และ 82 คะแนน ตามลาดบ
หาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของนกเรยนทงหอง
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
ให xmax แทนคะแนนสงสด และ xmin แทนคะแนนตาสด
จะได xmax - X = 42 ……➊ X - xmin = 34 ……➋➊ + ➋ จะได xmax - xmin = 76
ดงนน พสยของการสอบครงนเทากบ 76 คะแนน
จากสมบต Σ xi = nX
จะได Σ xiเกา = 40(60) = 2,400
ดงนน Σ xiใหม = 2,400 + 80 + 82 = 2,562
นนคอ Xใหม = 2,56242
= 61
จาก sเกา =
n
i=1 nเกา - 1
Σ xi2เกา - nX 2เกา
2 =
n
i=1 40 - 1
Σ xi2เกา - (40)(60)
2
Σ xi2เกา
= 144,156
ดงนน Σ xi2ใหม = 144,156 + 802 + 822 = 157,280
นนคอ sใหม = 42 - 1157280 - (42)(61)2 = 4.93
n
i=1n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
คณตศาสตร เลม 5 103
19. คาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลทเปนประชากรขนาด 20 รายการ
ชดหนงเปน 12 และ 4 ตามลาดบ ภายหลงพบวามการบนทกขอมลรายการหนงผดพลาด
โดย 12 บนทกเปน 8 หาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานทถกตอง
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
20. ขอมลชดหนงม 50 จานวน มคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนเปน 10 และ 16 ตามลาดบ
แตภายหลงพบวาไดอานขอมลผดไป 3 จานวน คอ 0.1, 0.2 และ 0.3 เปน 10, 20 และ 30
ตามลาดบ หาความแปรปรวนทถกตอง
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
จะได Σ xiเกา = 20(12) = 240
ดงนน Σ xiใหม = 240 - 8 + 12 = 244 นนคอ μใหม = 12.2
จาก σเกา =
n
i=1 N
Σ xi2เกา - μ2 จะได 4 =
n
i=1 20
Σ xi2เกา - 122
Σ xi2เกา
= 3,200
ดงนน Σ xi2ใหม = 3,200 - 82 + 122 = 3,280
นนคอ σใหม = 203,280 - (12.2)2 = 3.89
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
จะได Σ xiเกา = 50(10) = 500
ดงนน Σ xiใหม = 500 - 10 - 20 - 30 + 0.1 + 0.2 + 0.3 = 440.6
นนคอ Xใหม = 440.650
= 8.812
จาก s2เกา =
n
i=1 nเกา - 1
Σ xi2เกา - nX 2เกา จะได 10 =
n
i=1
50 - 1
Σ xi2เกา - 50(10)
2
Σ xi2เกา
= 5,490
ดงนน Σ xi2ใหม = 5,490 - 102 - 202 - 302 + 0.12 + 0.22 + 0.32
= 4,090.14
นนคอ s2ใหม = 50 - 1
4090.14 - 50(8.812)2 = 4.24
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
104 คณตศาสตร เลม 5
21. ขอมลประชากรในหมบานแหงหนงม 100 ครวเรอน คานวณหาคาเฉลยเลขคณตไดเทากบ 8
สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 2 แตเมอตรวจสอบขอมลดงกลาวใหม พบวาบนทกขอมลผด
จาก 3 เปน 4 และจาก 1 เปน 2 หาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานทถกตอง
ของขอมลชดน
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
โจทย N = 100, μ = 8, σ = 2
จะไดวา μเกา = Σ xiเกา
N
N
i=1
ดงนน Σ xiเกา = Nμเกา = 100 × 8 = 800
Σ xiใหม = 800 - (4 + 2) + (3 + 1) = 798
และจาก σ2 = Σ xi
2เกา
N
N
i=1 - μ2
Σ xi2เกา = N(μ2 + σ2) = 100(64 + 4) = 6,800
Σ xi2ใหม = 6,800 - (42 + 22) + (32 + 12)
= 6,800 - 20 + 10 = 6,790
ดงนน คาเฉลยเลขคณตทถกตอง คอ Σ xi
N
N
i=1 = 798100
= 7.98
และสวนเบยงเบนมาตรฐาน คอ
n
i=1 N
Σ xi2ใหม - μ2
ใหม = 1006,790 - (7.98)2
= 67.90 - 63.68
= 4.22
≈ 2.05
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
คณตศาสตร เลม 5 105
1. กาหนดตารางแจกแจงความถแสดงความสงของนกเรยนในโรงเรยนแหงหนง เปนดงน
ขอใดตอไปนถกตอง
ความสง (ซม.) จานวนนกเรยน (คน)
120 - 129 10
130 - 139 20
140 - 149 40
150 - 159 50
160 - 169 30
1. ฐานนยมของความสงมคานอยกวา 149 เซนตเมตร
2. มธยฐานของความสงมคานอยกวา 145 เซนตเมตร
3. เปอรเซนไทลท 20 ของความสงมคามากกวา 146 เซนตเมตร
4. ควอรไทลท 3 ของความสงมคามากกวา 150 เซนตเมตร
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
4. ควอรไทลท 3 ของความสงมคามากกวา 150 เซนตเมตร 4 ควอรไทลท 3 ของความสงมคามากกวา 150 เซนตเมตรฉบบเฉลย
แนวคด ความสง f F
120 - 129 10 10
130 - 139 20 30
140 - 149 40 70
150 - 159 50 120
160 - 169 30 150
1. อนตรภาคชนทมความถสงสด คอ 150 - 159 นนคอ ฐานนยม มากกวา 149
2. ตาแหนงมธยฐาน คอ N2 = 150
2 = 75
แสดงวามธยฐานอยในอนตรภาคชน 150 - 159 นนคอ มธยฐาน มากกวา 145
3. ตาแหนง P20 คอ Nr100
= 150 × 20100
= 30
ตาแหนง P20 อยในอนตรภาคชน 130 - 139
แตตาแหนงของ P20 เทากบความถสะสมชนกอน P20
นนคอ P20 = ขอบบนของอนตรภาคชน 130 - 139 = 139.5
4. ตาแหนงควอรไทลท 3 คอ Nr4 = 150 × 3
4 = 112.5
แสดงวา ควอรไทลท 3 อยในอนตรภาคชน 150 - 159 นนคอ Q3 มากกวา 150
Test for U
106 คณตศาสตร เลม 5
2. ถา 20, x2, x3, …, x25 เปนขอมลทเรยงจากคานอยไปมาก และเปนลาดบเลขคณตและควอรไทล
ทหนงของขอมลชดนเทากบ 31 แลวสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดนเทากบเทาใด
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ฉบบเฉลย
แนวคด จากโจทย Q1 = 31
ตาแหนงของ Q1 = (N + 1)r
4 = (25 + 1)(1)
4 = 6.5
จะได Q1 = x6 + x7
2 แสดงวา x6 + x7
2 = 31
x6 + x7 = 62
จากขอมลเรยงกนเปนลาดบเลขคณต จะได
(x1 + 5d) + (x1 + 6d) = 62
2x1 + 11d = 62
เนองจาก x1 = 20 จะได
2(20) + 11d = 62
d = 2
นนคอ ขอมลชดน คอ 20, 22, 24, …, 68
คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน คอ
X = Σ xin
n
i=1
= 20 + 22 + 24 + ... + 6825
= 44
ดงนน สวนเบยงเบนเฉลยเทากบ Σ �xi - X�
n
n
i=1 = Σ �xi - 44�
n
n
i=1
= 24 + 22 + 20 + ... + 20 + 22 + 2425
= 12.48
Test for U
คณตศาสตร เลม 5 107
การวดการกระจายสมพทธ การวดการกระจายสมพทธ คอ การวดการกระจายของขอมลทมากกวา 1 ชด โดยใช
อตราสวนของคาทไดจากการวดการกระจายสมบรณกบคากลางของขอมลนนๆ เพอใชในการ
เปรยบเทยบการกระจายของขอมลเหลานน มอย 4 ชนด คอ
1) สมประสทธของพสย (C.R.)
2) สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล (C.Q)
3) สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย (C.A)
ก. กรณของตวอยาง
C.A. = M.D.X
ข. กรณของประชากร
C.A. = M.D.μ
4) สมประสทธของความแปรผน (C.V.)
ก. กรณของตวอยาง
C.V. = s
ข. กรณของประชากร
C.V. = σμ
C.Q. = Q3 - Q1Q3 + Q1
C.R. = xmax - xminxmax + xmin
การวดการกระจายสมพทธ คาทคานวณไดจะไมมหนวย ซงแตกตางจากการวดการกระจาย
สมบรณซงมหนวย และบางครงอาจแสดงรปรอยละทาโดยการปรบเทยบคากลางใหเปน 100 กได
Note
X
ฉบบเฉลย
108 คณตศาสตร เลม 5
ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ คากลาง และการกระจายของขอมล จากขอมลทมการแจกแจงความถ ถานาขอมลเหลานมาเขยนใหเปนเสนโคงของความถ
จะเหนวาโดยทวๆ ไป แบงเปน 3 ลกษณะ ดงน
1. เสนโคงปกต หรอเสนโคงรประฆงควา (Normal curve or bell-shaped Curve)
ซงมความสมพนธกบคากลางของขอมล คอ
คาเฉลยเลขคณต = มธยฐาน = ฐานนยม
2. เสนโคงเบลาดทางขวา หรอเสนโคงเบทางบวก (Positively Curve) ซงมความสมพนธ
กบคากลางของขอมล คอ
ฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต
3. เสนโคงเบลาดทางซาย หรอเสนโคงเบทางลบ (Negatively Curve) ซงมความสมพนธ
กบคากลางของขอมล คอ
คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน < ฐานนยม
X = Med = MoxO
f โคงปกต
X < Med < MoxO
f โคงเบซาย
Mo < Med < XxO
f โคงเบขวา
X = Med = MoxO
f โคงปกต
X < Med < MoxO
f โคงเบซาย
Mo < Med < XxO
f โคงเบขวา
X = Med = MoxO
f โคงปกต
X < Med < MoxO
f โคงเบซาย
Mo < Med < XxO
f โคงเบขวา
ฉบบเฉลย
คณตศาสตร เลม 5 109
เสนโคงของความถทพบเสมอๆ ไมวาจะเปนขอมลทางดานประชากร เกษตร สงคม
เศรษฐกจ หรอวทยาศาสตร สวนใหญมกเปนขอมลทเกดขนหรอเปนไปตามธรรมชาต และจะม
เสนโคงความถเปนรปเสนโคงปกต เชน ขอมลเกยวกบนาหนก สวนสง ราคา และผลผลตทาง
การเกษตร
ลกษณะของเสนโคงปกต
เสนโคงปกตมความโดงมากหรอนอยขนอยกบการกระจายของขอมล ดงน
ถาขอมลมการกระจายมาก เสนโคงปกตจะโดงนอย หรอคอนขางแบน
ถาขอมลมการกระจายนอย เสนโคงปกตจะโดงมากหรอคอนขางสง ดงรป
μ1 = μ2
ขอมลชดท 2 มการกระจายตวมาก
ขอมลชดท 1 มการกระจายตวนอย
จากรป
• μ1 = μ2
• σ1 < σ2
• ขอมลชดท 2 กระจายมากกวาขอมลชด 1
ฉบบเฉลย
110 คณตศาสตร เลม 5
1. ตารางแสดงอายของบตรของสองครอบครวเปน ดงน
อายของบตรในครอบครวท 1 (ป) 8 6 5 3
อายของบตรในครอบครวท 2 (ป) 24 17 12 10 8
เปรยบเทยบการกระจายอายของบตรของสองครอบครว โดยใช
1) สมประสทธของพสย
วธทา .......................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
2) สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล
วธทา .......................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
จดประสงค นกเรยนสามารถเปรยบเทยบการกระจายของขอมลได
Exercise 1.5 B
ฉบบเฉลย
ครอบครวท 1 C.R1 = xmax - xminxmax + xmin
= 8 - 38 + 3
= 0.45
ครอบครวท 2 C.R2 = xmax - xminxmax + xmin
= 24 - 824 + 8
= 0.50
จะพบวา C.R2 > C.R1 แสดงวา อายของบตรในครอบครวท 2 มการกระจายตวมากกวา
อายของบตรในครอบครวท 1
ครอบครวท 1
หาตาแหนง Q1 = 1(4 + 1)
4 = 1.25 จะได Q1 = 3 + 0.25(2) = 3.5
หาตาแหนง Q3 = 3(4 + 1)
4 = 3.75 จะได Q3 = 6 + 0.75(2) = 7.5
ดงนน C.Q1 = Q3 - Q1Q3 + Q1
= 7.5 - 3.57.5 + 3.5
= 0.363
ครอบครวท 2
หาตาแหนง Q1 = 1(5 + 1)
4 = 1.5 จะได Q1 = 9 + 0.5(1) = 9.5
หาตาแหนง Q3 = 3(5 + 1)
4 = 4.5 จะได Q3 = 17 + 0.5(7) = 20.5
ดงนน C.Q2 = Q3 - Q1Q3 + Q1
= 20.5 - 9.520.5 + 9.5
= 0.366
จะพบวา C.Q2 > C.Q1 แสดงวา อายของบตรในครอบครวท 2 มการกระจายตวมากกวา
อายของบตรในครอบครวท 1
คณตศาสตร เลม 5 111
3) สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย
วธทา .......................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
4) สมประสทธของการแปรผนสาหรบประชากร
วธทา .......................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
ครอบครวท 1 หา μ1 จาก μ1 = Σ xi
N
N
i=1 = 8 + 6 + 5 + 34
= 5.5
หา M.D1 จาก M.D1 = Σ �xi - μ�
N
N
i=1 = �8 - 5.5� + �6 - 5.5� + �5 - 5.5� + �3 - 5.5�4
= 1.5
ดงนน C.M1 = M.D.
μ = 1.55.5
= 0.27
ครอบครวท 2 หา μ2 จาก μ2 = Σ xi
N
N
i=1 = 8 + 10 + 12 + 17 + 245
= 14.2
หา M.D2 จาก M.D2 = Σ �xi - μ�
N
N
i=1
= �8 - 14.2� + �10 - 14.2� + �12 - 14.2� + �17 - 14.2� + �24 - 14.2�5
= 5.04
ดงนน C.M2 = M.D.
μ = 5.0414.2
= 0.35
จะพบวา C.M2 > C.M1 แสดงวา อายของบตรในครอบครวท 2 มการกระจายตวมากกวา
อายของบตรในครอบครวท 1
ครอบครวท 1 หา σ1 จาก σ1 =
N
i=1 N
Σ (xi - μ)2
= 4(8 - 5.5)2 + (6 - 5.5)2 + (5 - 5.5)2 + (3 - 5.5)2 = 1.8
ดงนน C.V1 = σμ = 1.8
5.5 = 0.33
ครอบครวท 2 หา σ2 จาก σ2 =
N
i=1 N
Σ (xi - μ)2
= 5(8 - 14.2)2 + (10 - 14.2)2 + (12 - 14.2)2 + (17 - 14.2)2 + (24 - 14.2)2
= 5.74
ดงนน C.V1 = σμ = 5.74
14.2 = 0.40
จะพบวา C.V2 > C.V1 แสดงวา อายของบตรในครอบครวท 2 มการกระจายตวมากกวา
อายของบตรในครอบครวท 1
112 คณตศาสตร เลม 5
2. ถาราคาขาวเปลอกและขาวสารตอถงของรานคาขาว 6 ราน ในทองทแหงหนงเปน ดงน
ราคาขาวเปลอก (บาท) 75 74 72 77 78 71
ราคาขาวสาร (บาท) 112 114 117 115 120 116
หาสมประสทธของการแปรผนสาหรบประชากรและสมประสทธของพสยของราคาขาวเปลอก
และราคาขาวสาร และอธบายความหมายทได
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
ราคาขาวเปลอก
หา μ1 จาก μ1 = Σ xi
N
N
i=1 = 75 + 74 + 72 + 77 + 78 + 716
= 74.5
หา σ1 จาก σ1 =
N
i=1 N
Σ (xi - μ)2 = 6
(75 - 74.5)2 + (74 - 74.5)2 + … + (71 - 74.5)2 = 2.5
ดงนน C.V1 = σμ = 2.5
74.5 = 0.03
ราคาขาวสาร
หา μ2 จาก μ2 = Σ xi
N
N
i=1 = 112 + 114 + 117 + 115 + 120 + 1166
= 115.67
หา σ2 จาก σ2 =
N
i=1 N
Σ (xi - μ)2
= 6(112 - 115.67)2 + (114 - 115.67)2 + … + (116 - 115.67)2 = 2.49
ดงนน C.V2 = σμ = 2.49
115.67 = 0.02
จะพบวา C.V1 > C.V2 แสดงวาราคาขาวเปลอกมการกระจายตวมากกวาราคาขาวสาร
ราคาขาวเปลอก C.R1 = xmax - xminxmax + xmin
= 78 - 7178 + 71
= 0.05
ราคาขาวสาร C.R2 = xmax - xminxmax + xmin
= 120 - 112120 + 112
= 0.03
จะพบวา C.R1 > C.R2 แสดงวาราคาขาวเปลอกมการกระจายตวมากกวาราคาขาวสาร
นนคอ ไมวาจะใชสมประสทธของการแปรผนสาหรบประชากรหรอสมประสทธของพสย
กใหผลลพธการวดการกระจายสมพทธทเหมอนกน
คณตศาสตร เลม 5 113
3. ในการเปรยบเทยบความเทยงตรงของ
ไมบรรทด 2 ชนด คอ A และ B ได
วดกบวตถมาตรฐานทมความยาว 50
มลลเมตร จานวน 8 ครง บนทกความยาว
ทอานได จากการใชไมบรรทดทง 2 ชนด
ดงตารางทกาหนด
จากขอมลดงกลาว ไมบรรทดชนดใด
มความคลาดเคลอนนอยกวา
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
การวดครงทความยาวทอานได (มลลเมตร) จาก
ไมบรรทด A ไมบรรทด B
12345678
5148474951485047
5047495048504948
ฉบบเฉลย
ในทนเลอกใชสมประสทธของการแปรผนสาหรบประชากรมาเปรยบเทยบ
หา μ1 จาก μ1 = Σ xi
N
N
i=1 = 51 + 48 + … + 478
= 48.875
หา μ2 จาก μ2 = Σ xi
N
N
i=1 = 50 + 47 + … + 488
= 48.875
จะได
จาก σ1 =
N
i=1 N
Σ (xi - μ)2 = 8
18.91 = 1.54
ดงนน C.V1 = σμ = 1.54
48.875 = 0.03
จาก σ2 =
N
i=1 N
Σ (xi - μ)2= 8
8.91 = 1.06
ดงนน C.V2 = σμ = 1.06
48.875 = 0.02
xA (xA - μA)2 xB (xB - μB)
2
5148474951485047
4.520.773.520.024.520.771.273.52
5047495048504948
1.273.520.021.270.771.270.020.77
391 18.91 391 8.91
จะพบวา C.V1 > C.V2 แสดงวาความยาวทวดไดจากไมบรรทด A มการกระจายตวมากกวา
ความยาวทวดไดจากไมบรรทด B
นนคอ ไมบรรทด B มความคลาดเคลอนนอยกวาไมบรรทด A
114 คณตศาสตร เลม 5
4. ในการทดสอบระดบไอควของนกเรยน 4 หอง มสวนเบยงเบนเฉลยและคาเฉลยของระดบไอคว
ดงน
หอง หองนก หองชาง หองหน หองลง
สวนเบยงเบนเฉลย 4.25 3.25 3.50 2.75
คาเฉลยของระดบไอคว 115 110 108 112
ถานกเรยนเปนอาจารยทตองเลอกสอนนกเรยน 1 ใน 4 หองน โดยมขอตกลงวาจะสอนหอง
ทมระดบไอควไลเลยกนเทานน นกเรยนจะตองเลอกสอนนกเรยนหองใด
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
5. ความแปรปรวนของนาหนกในรอบ 8 ป ซงมนาหนก 60, 40, 60, 60, 50, 70, 80 และ 80
กโลกรม ตามลาดบเทากบกกโลกรม2
วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
6. ขอมลชดหนงมความแปรปรวน 5 + 24 สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบเทาไร วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................
ฉบบเฉลย
ในทนเลอกใชสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยมาเปรยบเทยบ
หองนก C.M1 = M.D.μ = 4.25
115 = 0.037
หองชาง C.M2 = 3.25110
= 0.0295
หองหน C.M3 = 3.5108
= 0.032
หองลง C.M4 = 2.75112
= 0.0246
จะพบวา C.M1 > C.M3 > C.M2 > C.M4 แสดงวาระดบไอควของนกเรยนหองนก
มการกระจายตวมากทสด รองลงมาเปนหองหน หองชาง และหองลง ตามลาดบ
นนคอ ถานกเรยนเปนอาจารยจะเลอกสอนนกเรยนหองลง เพราะมระดบไอควใกลเคยงกน
มากทสด
หาความแปรปรวนของประชากรจาก σ2 =
N
i=1 N
Σ (xi - μ)2
μ = Σ xi
N
N
i=1 = 60 + 40 + 60 + … + 808
= 60.5
σ2 = (60 - 60.5)2 + (40 - 60.5)2 + (60 - 60.5)2 + … + (80 - 60.5)2
8 = 172.75
ดงนน ความแปรปรวนของนาหนกในรอบ 8 ป เทากบ 172.75 กโลกรม2
ความแปรปรวน = 5 + 24
= 5 + 2 6 = ( 2 + 3)2
ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบ 2 + 3
คณตศาสตร เลม 5 115
Unit Testแบบทดสอบหนวยการเรยนรท
ตอนท 1 เลอกคาตอบทถกทสด
1
ฉบบเฉลย
1. แผนภาพตน - ใบ ตอไปน มคาเฉลยเลขคณตเทากบเทาใด
1 4 72 3 4 83 0 2 3 5 94 2 65 3
1. 28 2. 32 3. 36 4. 40
2. ตารางแจกแจงความถคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน ชน ม.6 หองหนง คะแนน
เตม 50 คะแนน เปนดงน
คะแนน 0 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50
ความถ 4 7 12 5 2
ขอสรปทเกยวกบขอมลชดน ขอใดถกตอง
1. คาเฉลยเลขคณต เทากบ 23 2. มธยฐานเทากบ 28.33
3. ฐานนยมเทากบ 24.67 4. ขอบบนของอนตรภาคชนท 3 เทากบ 20.5
3. กาหนดให Σ (xi - 1)(6yi + 3) = 45 , Σ xi = 6 และ Σ yi = - 2 หา Σ xiyi
1. -9 2. -5 3. 5 4. 9
4. ขอมลชดหนงม 50 จานวน ทกจานวนเปนจานวนบวก
กาหนดให Σ (xi - X )2 = 50 และ Σ xi
2 = 1,250 แลว X เทากบเทาใด
1. 24 2. 24 3. 12 4. 12
5. โรงเรยนมธยมแหงหนง มนกเรยนหญง 38 ของจานวนนกเรยนทงหมด และคานวณคาเฉลย
นาหนกของนกเรยนทงหมดเทากบ 53 กโลกรม ถานาหนกเฉลยของนกเรยนหญงเทากบ
48 กโลกรม นาหนกเฉลยของนกเรยนชายเทากบเทาไร
1. 56 2. 58 3. 62 4. 64
6. คาเฉลยฮารมอนกของขอมล 4, 5, 8, 12 เทากบขอใด
1. 6.28 2. 6.18 3. 6.08 4. 5.98
1. 28 2. 32 3. 36 4. 40 1. 28 2. 32 3. 36 4. 40
3. ฐานนยมเทากบ 24.67 4. ขอบบนของอนตรภาคชนท 3 เทากบ 20.5 3. ฐานนยมเทากบ 24.67 4. ขอบบนของอนตรภาคชนท 3 เทากบ 20.55
i=1
5
i=1
5
i=1
5
i=1
1. -9 2. -5 3. 5 4. 9 1. -9 2. -5 3. 5 4. 9
50
i=1
50
i=1
1. 24 2. 1. 24 2.
1. 56 2. 58 3. 62 4. 64 1. 56 2. 58 3. 62 4. 64
1. 6.28 2. 6.18 3. 6.08 4. 5.98 1. 6.28 2. 6.18 3. 6.08 4. 5.98
116 คณตศาสตร เลม 5
ฉบบเฉลย
7. ตารางแจกแจงความถคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน ชน ม.6 โรงเรยนแหงหนง
เปนดงน
คะแนน 0 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50
ความถสะสม 5 13 a 36 40
ถามธยฐานของคะแนนสอบเทากบ 25.5 คะแนน คาของ a เทากบเทาใด
1. 14 2. 17 3. 27 4. 31
8. ตารางแจกแจงความถคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 50 คน เปนดงน
คะแนน 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99
ความถ 1 5 5 10 15 8 5 1
เปอรเซนตไทลท 60 เทากบเทาไร
1. 62.5 2. 63.5 3. 64. 5 4. 65.5
9. ตารางแจกแจงความถทกาหนดให คะแนน 59.38 ตรงกบเปอรเซนตไทลทเทาไร
คะแนน 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80
ความถสะสม 16 32 45 70 120 140
1. 48 2. 50 3. 52 4. 55
10. ตารางแสดงคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.6/1 เปนดงน
คะแนน 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99
จานวนนกเรยน (คน) 1 4 10 22 45 30 8
ถานกเรยนกลมทไดคะแนนสงสดและนกเรยนกลมทไดคะแนนตาสดคดเปน 15% และ 80%
ของนกเรยนทงระดบ ตามลาดบ ให a แทนคะแนนตาสดของนกเรยนกลมทไดคะแนนสงสด
และ b แทนคะแนนสงสดของนกเรยนกลมทไดคะแนนตาสด คาของ a, b เทากบเทาไร
1. 83.24, 62.67
2. 84.88, 61.23
3. 84.88, 62.67
4. 84.17, 60.86
1. 14 2. 17 3. 27 4. 31 1. 14 2. 17 3. 27 4. 31
1. 62.5 2. 63.5 3. 64. 5 4. 65.5 1. 62.5 2. 63.5 3. 64. 5 4. 65.5
1. 48 2. 50 3. 52 4. 55 1. 48 2. 50 3. 52 4. 55
4. 84.17, 60.86 4. 84.17, 60.86
คณตศาสตร เลม 5 117
ฉบบเฉลย
11. ตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาฟสกสของนกเรยนหองหนงเปนดงน
คะแนน 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99
จานวนนกเรยน (คน) 3 8 14 8 11 6 10 8 12
ณฐนนทสอบไดคะแนนในตาแหนงควอรไทลท 3 สวนพสชฐสอบไดในตาแหนงเดไซลท 8
พสชฐสอบไดคะแนนมากกวาณฐนนทกคะแนน
1. 1.25 คะแนน 2. 1.50 คะแนน 3. 2.50 คะแนน 4. 5.00 คะแนน
12. กาหนดขอมล 2 ชด ดงน
ขอมล A 2, 3, 7, 4, 6, 8 ขอมล B 4, 1, 5, 6, 9, 5
พจารณาวาขอความทสรปเกยวกบขอมล A และขอมล B ขอใดถกตอง
1. คาเฉลยเทากน สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล B มากกวาขอมล A
2. คาเฉลยเทากน สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล A มากกวาขอมล B
3. คาเฉลยไมเทากน สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล B มากกวาขอมล A
4. คาเฉลยไมเทากน สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล A มากกวาขอมล B
13. ขอมลชดหนงม 50 จานวน มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 30 คาความแปรปรวนเทากบ 36
เมอตรวจสอบขอมลใหม พบวาอานขอมลผดไป 2 คา คอ จาก 1 เปน 9 และจาก 4
เปน 6 คาความแปรปรวนทถกตองคอขอใด
1. 44.39 2. 45.96 3. 46.17 4. 46.32
14. ขอมลชดหนงม 6 จานวน มคาฐานนยมเทากบ 12 มธยฐานเทากบ 20 คาเฉลยเลขคณต
เทากบ 21 พสยเทากบ 22 กาหนดใหขอมลตวท 3 ทเรยงจากขอมลทมคานอยทสด
เทากบ 15 คาความแปรปรวนเทากบเทาใด
1. 69 2. 72 3. 75 4. 84
15. ให xi แทนคะแนนสอบวชาชววทยาของนกเรยนคนท i เมอ i = 1, 2, 3, …, 50 ทม
คะแนนเตม 100 คะแนน คาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐานเทากบ 60, 50 และ 40
ตามลาดบ ขอใดตอไปนถกตอง
1. Σ �xi - 60� มคานอยทสด
2. Σ �xi - 50� มคานอยทสด
3. Σ �xi - 40� มคานอยทสด
4. Σ (xi - 60)2 มคานอยทสด
1. 1.25 คะแนน 2. 1.50 คะแนน 3. 2.50 คะแนน 4. 5.00 คะแนน 1. 1.25 คะแนน 2. 1.50 คะแนน 3. 2.50 คะแนน 4. 5.00 คะแนน
1. คาเฉลยเทากน สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล B มากกวาขอมล A 1. คาเฉลยเทากน สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล B มากกวาขอมล A
1. 44.39 2. 45.96 3. 46.17 4. 46.32 1. 44.39 2. 45.96 3. 46.17 4. 46.32
1. 69 2. 72 3. 75 4. 84 1. 69 2. 72 3. 75 4. 84
50
i=150
i=1
3. 3.50
i=150
i=1
118 คณตศาสตร เลม 5
ฉบบเฉลย
16. ขอมลชดหนงมสมประสทธพสยเทากบ 0.45 ขอมลทมคามากทสดมคา 58 หาคาของขอมล
ทมคานอยทสด
1. 22 2. 24
3. 26 4. 28
17. ขอมล 2 ชด ไดแก ขอมลชด A : 15, 20, 30, 45, 50
ขอมลชด B : 10, 20, 30, 50, 60
พจารณาขอสรปตอไปน
(1) สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชด A มากกวาขอมลชด B
(2) สมประสทธของการแปรผนของขอมลชด B นอยกวาขอมลชด A
ขอใดถกตอง
1. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ถก
2. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ผด
3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก
4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด
18. ตารางแสดงขอมลคะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยน ชน ม.6/1 และ ม.6/2 เปนดงน
นกเรยนชน ม.6/1 นกเรยนชน ม.6/2
คาเฉลยเลขคณต 85 90
สวนเบยงเบนมาตรฐาน 15 18
เมอเปรยบเทยบการกระจายของคะแนนสอบวชาวทยาศาสตร ขอใดตอไปนถกตอง
1. คะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยน ชน ม.6/1 มการกระจายนอยกวา ม.6/2
2. คะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยน ชน ม.6/1 มการกระจายมากกวา ม.6/2
3. คะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยน ชน ม.6/1 มการกระจายเทากบ ม.6/2
4. จากขอมลไมสามารถเปรยบเทยบการกระจายได
19. ขอมลชดหนงมสวนเบยงเบนควอรไทลเทากบ 32 คะแนน และสมประสทธของสวนเบยงเบน
ควอรไทลเทากบ 12 ถาโอและเอมลาดบคะแนนอยทตาแหนงเปอรเซนตไทลท 25 และ 75
ตามลาดบ ทงสองมคะแนนรวมกนกคะแนน
1. 128 คะแนน 2. 96 คะแนน
3. 64 คะแนน 4. 48 คะแนน
1. 22 2. 24 1. 22 2. 24
4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด 4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด
1. คะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยน ชน ม.6/1 มการกระจายนอยกวา ม.6/2 1. คะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยน ชน ม.6/1 มการกระจายนอยกวา ม.6/2
1. 128 คะแนน 2. 96 คะแนน 1. 128 คะแนน 2. 96 คะแนน
คณตศาสตร เลม 5 119
ฉบบเฉลย
20. พจารณาขอมลตอไปน ซงเรยงลาดบจากนอยไปมาก
5 10 x 18 20 23 25 27 y 37 46
ถาควอรไทลท 1 มคาเทากบ 12 คาเฉลยเลขคณตเทากบ 23 แลวสวนเบยงเบนควอรไทล
และสวนเบยงเบนเฉลยเทากบเทาใด
1. 0.19, 8.11
2. 0.18, 9.09
3. 9, 8.11
4. 9, 9.09
21. ตารางแสดงขอมล 2 กลม ทมคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐาน ดงน
ขอมลกลมท 1 ขอมลกลมท 2 ขอมลรวมของกลมท 1, 2
คาเฉลยเลขคณต 20 x 22.5
สวนเบยงเบนมาตรฐาน y 4 5.5
จานวนขอมล 15 25 40
คา x และ y เทากบขอใด
1. 26, 6 2. 26, 8
3. 24, 7 4. 24, 6
22. กาหนดขอมลตอไปน 4, 9, 16, 22, 39 ถา a และ b ทาให Σ (xi - a)2
และ Σ �xi - b� มคานอยทสด คาของ a และ b เทากบขอใด
1. 20, 16
2. 16, 20
3. 18, 16
4. 16, 18
23. ในการเกบคะแนนของนกเรยน 3 คน ไดคาเฉลยเลขคณตเทากบ 22 มธยฐานเทากบ 22
และพสยเทากบ 4 สมประสทธการแปรผนเทากบเทาไร
1. 633 2. 233
3. 233 4. 833
4. 9, 9.09 4. 9, 9.09
3. 24, 7 4. 24, 6 3. 24, 7 4. 24, 6N
i=1N
i=1
3. 18, 16 3. 18, 16
3. 3.
120 คณตศาสตร เลม 5
ฉบบเฉลย
24. ให xi แทนขอมลชดท 1, σ12 แทนความแปรปรวนของขอมลชดท 1
Yi แทนขอมลชดท 2, σ22 แทนความแปรปรวนของขอมลชดท 2
และ Σ xi2= 88, σ1
2= 2, Σ Yi2= 152, σ2
2 = 3
ขอใดถกตอง
1. คาเฉลยของขอมลชดท 1 มากกวาขอมลชดท 2
และการกระจายของขอมลชดท 1 มากกวาขอมลชดท 2
2. คาเฉลยของขอมลชดท 1 นอยกวาขอมลชดท 2
และการกระจายของขอมลชดท 1 มากกวาขอมลชดท 2
3. คาเฉลยของขอมลชดท 1 นอยกวาขอมลชดท 2
และการกระจายของขอมลชดท 1 นอยกวาขอมลชดท 2
4. คาเฉลยของขอมลชดท 1 มากกวาขอมลชดท 2
และการกระจายของขอมลชดท 1 นอยกวาขอมลชดท 2
25. กาหนดขอมลตอไปน 23, 35, 18, 20, 27, 25, 41 พจารณาวาขอใดไมถกตอง
1. สมประสทธของพสยเทากบ 0.39
2. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 0.27
3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 0.23
4. สมประสทธของการแปรผนเทากบ 0.82
26. ขอมล 2 ชด ไดแก ขอมล A 5 8 9 11 12
ขอมล B 20 25 27 28 30
อตราสวนของสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยของขอมล A ตอขอมล B เทากบเทาไร
1. 63130 2. 130
63
3. 16033 4. 33
160
27. ขอมลชดหนงมสมประสทธของการแปรผนเทากบ 0.75 มคาความแปรปรวนเทากบ 9
และผลรวมของขอมลแตละตวยกกาลงสองเทากบ 1,000 จานวนขอมลทงหมดเทากบเทาใด
1. 30 2. 40
3. 50 4. 60
8
i=1
8
i=1
3. คาเฉลยของขอมลชดท 1 นอยกวาขอมลชดท 2 3. คาเฉลยของขอมลชดท 1 นอยกวาขอมลชดท 2
4. สมประสทธของการแปรผนเทากบ 0.82 4. สมประสทธของการแปรผนเทากบ 0.82
2. 2.
1. 30 2. 40 1. 30 2. 40
คณตศาสตร เลม 5 121
ฉบบเฉลย
28. ตารางแจกแจงความถคะแนนสอบของนกเรยน ชน ม.6 ของโรงเรยนแหงหนงเปนดงน
คะแนน 0 - 9 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49
ความถ (คน) 2 8 14 12 4
สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทลของขอมลชดนเทากบเทาไร
1. 0.28 2. 0.34
3. 0.56 4. 0.64
29. โรงเรยนแหงหนงมนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3 ทงหมด 4 หอง ทาการสอบวชาคณตศาสตร
คะแนนเตม 50 คะแนน สามารถแจกแจงขอมลได ดงน
หอง ม.3/1 ม.3/2 ม.3/3 ม.3/4
คาเฉลยเลขคณต 35 38 32 28
สวนเบยงเบนมาตรฐาน 7 8 5 6
คะแนนสอบหองใดมการกระจายของคะแนนนอยทสด
1. ม.3/1 2. ม.3/2
3. ม.3/3 4. ม.3/4
30. ขอมลชดหนงมจานวน 8 ตว มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 5 ถา Σ (xi - 5)2 = 160
แลวสมประสทธของการแปรผนเทากบเทาใด
1. 55 2. 2 55
3. 3 55 4. 4 55
1. 0.28 2. 0.34 1. 0.28 2. 0.34
3. ม.3/3 4. ม.3/4 3. ม.3/3 4. ม.3/48
i=1
2. 2.
122 คณตศาสตร เลม 5
ตอนท 2 แสดงวธทา
1. ตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนง ทกอนตรภาคชนมความกวาง
10 คะแนน มธยฐานของคะแนนสอบเทากบ 57 คะแนน อยในอนตรภาคชน 50-59
ถานกเรยนทสอบไดคะแนนนอยกวา 49.5 คะแนน มจานวน 12 คน และมนกเรยนทได
คะแนนมากกวา 59.5 คะแนน มจานวน 20 คน นกเรยนกลมนมจานวนกคน
2. นกเรยนหองหนงสอบวชาคณตศาสตรไดคะแนนเฉลยเลขคณตเทากบ 40 คะแนน ถานกเรยน
ชายสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 35 คะแนน และนกเรยนหญงสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต
50 คะแนน อตราสวนของจานวนนกเรยนชายตอนกเรยนหญงเปนเทาไร
3. จากการสารวจนาหนกของนกเรยนกลมหนงจานวน 4 คน ม 2 คน นาหนกเทากนแตนอยกวา
อก 2 คนทเหลอ ถาฐานนยม มธยฐาน และพสยของนาหนกของนกเรยน 4 คน คอ 45, 46
และ 6 กโลกรม ตามลาดบ แลวความแปรปรวนของนาหนกของนกเรยน 4 คนนเทากบเทาใด
4. คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงเทากบ 72 คะแนน ความแปรปรวน
(ประชากร) เทากบ 600 คะแนน2 ถามนกเรยนเพมอกหนงคน ซงสอบได 60 คะแนน ทาให
คาเฉลยเปลยนไปเปน 70 คะแนน ความแปรปรวนของขอมลชดใหมเทากบเทาใด
5. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง ถานกเรยนคนหนงในหองนสอบได 55
คะแนน เมอนามาลบกบคาเฉลยเลขคณตจะเทากบ 12 เทาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน
และสมประสทธของการแปรผนของคะแนนนกเรยนหองนเทากบ 20% คะแนนเฉลยของ
นกเรยนหองนเทากบเทาใด
ฉบบเฉลย
คณตศาสตร เลม 5 123
แบบทดสอบ
พสจนศกยภาพChallenge Test
ฉบบเฉลย
1. กาหนดขอมลชดหนง ดงน 3, 5, 2, 8, 7, 4, 9, 6, 10, 6 พจารณาขอใดถกตอง
1. คาเฉลยเลขคณตมากกวาฐานนยม
2. ฐานนยมมากกวามธยฐาน
3. คาเฉลยเลขคณตเทากบมธยฐาน
4. มธยฐานมากกวาคาเฉลยเลขคณต
2. ขอมลชดหนงเรยงจากนอยไปมากได ดงน 2, 5, a, b, 8, 9 ถาคาเฉลยเลขคณตเทากบ
มธยฐานและสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดนเทากบ 2 แลวคาของ [b + ab - a ]2 เทากบ
เทาใด
1. 24 2. 36
3. 48 4. 60
3. ตารางแจกแจงความถคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.6 เปนดงน
คะแนน 0 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50
จานวนนกเรยน (คน) 10 20 30 20 10
คาเฉลยเลขคณตของขอมลสามารถเขยนอยในรปจานวนคละไดดงน a bc คาของ (a + c - b)
เทากบเทาใด
1. 10 2. 20
3. 30 4. 40
4. กาหนดขอมล 10 จานวน ดงน 32 18 45 27 34 23 46 16 44 30
พจารณาขอความตอไปน
(1) ผลตางของควอรไทลท 3 และมธยฐาน เทากบ 8
(2) สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล เทากบ 0.31
ขอใดถกตอง
1. ขอ (1) และ ขอ (2) ถก
2. ขอ (1) ถก แต ขอ (2) ผด
3. ขอ (1) ผด แต ขอ (2) ถก
4. ขอ (1) และ ขอ (2) ผด
3. คาเฉลยเลขคณตเทากบมธยฐาน 3. คาเฉลยเลขคณตเทากบมธยฐาน
1. 24 2. 36 1. 24 2. 36
3. 30 4. 40 3. 30 4. 40
4. ขอ (1) และ ขอ (2) ผด 4. ขอ (1) และ ขอ (2) ผด
124 คณตศาสตร เลม 5
ฉบบเฉลย
5. ในการสอบวชาภาษาองกฤษคะแนนเตม 50 คะแนน มจานวนนกเรยนเขาสอบ 100 คน
ถานายยศกร เปนนกเรยนทเขาสอบคนหนง สอบไดคะแนน 48 คะแนน และมจานวนนกเรยน
ทสอบไดคะแนนนอยกวา 48 คะแนน อย 90 คน ถาจดอนตรภาคชนในตารางแจกแจงความถ
ใหแตละอนตรภาคชนเทาๆ กน โดยทนายยศกรอยในชวงอนตรภาคชน 46-50 มจานวน
นกเรยนทสอบไดคะแนนในชวงอนตรภาคชน 46-50 อยกคน
1. 4 คน 2. 8 คน
3. 10 คน 4. 20 คน
6. ตารางแจกแจงความถแสดงนาหนกของนกเรยนเปนกโลกรม ดงน
นาหนก (กโลกรม) 36 - 40 41 - 45 46 - 50 51 - 55 56 - 60
จานวนนกเรยน (คน) 6 10 12 8 4
คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ฐานนยม และสวนเบยงเบนควอรไทลเทากบเทาไร ตามลาดบ
1. 47.25, 47.17, 47.57 และ 4.625
2. 47.25, 47.17, 47.17 และ 4.625
3. 47.17, 47.25, 47.57 และ 4.265
4. 47.17, 47.25, 47.17 และ 4.265
7. นาขอมล 3 จานวน ทมคาตางกนและมผลรวมของขอมลเทากบ 111 ถาขอมลชดนมมธยฐาน
และสมประสทธของพสยเทากบ 39 และ 13 ตามลาดบ แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ
เทาใด
1. 5 2 2. 6 2
3. 7 2 4. 8 2
8. ขอมลชดหนงประกอบดวย x1, x2, x3, …, x10 โดยมสมบต ดงน Σ (xi - a)2 มคานอยสด
เมอ a = 9, Σ �xi - b� มคานอยสด เมอ b = 6 และ Σ (xi - 4)2 = 340
แลวพจารณาวาขอใดถกตอง
1. ขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตนอยกวามธยฐาน
2. ผลรวมของขอมลชดนเทากบ 60
3. สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบ 3
4. สมประสทธของการแปรผนของขอมลชดนเทากบ 0.5
3. 10 คน 4. 20 คน 3. 10 คน 4. 20 คน
2. 47.25, 47.17, 47.17 และ 4.625 2. 47.25, 47.17, 47.17 และ 4.625
3. 7 3. 710
i=110
i=1
10
i=1
3. สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบ 3 3. สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบ 3
คณตศาสตร เลม 5 125
ฉบบเฉลย
9. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 จานวน 2 หอง สอบวชาคณตศาสตร คะแนนเตม 20 คะแนน
โดยนาคะแนนของนกเรยนแตละหอง หองละ 10 คน มาแสดงได ดงน
คะแนนนกเรยน ม.6 หอง 1 13 12 14 16 15 12 13 14 12 9
คะแนนนกเรยน ม.6 หอง 2 17 6 13 10 8 10 14 6 6 10
พจารณาขอความตอไปน
(1) ความสามารถทางคณตศาสตรของนกเรยน ชน ม.6 หอง 1 มความแตกตางนอยกวา
นกเรยน ชน ม.6 หอง 2
(2) สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทลของนกเรยนชน ม.6 หอง 1 และนกเรยนชน
ม.6 หอง 2 เทากบ 0.086 และ 0.377 ตามลาดบ
ขอใดตอไปนถกตอง
1. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ถก
2. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ผด
3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก
4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด
10. กาหนดใหขอมลชดหนงมการแจกแจงแบบปกต ถาขอมลชดนมมธยฐานเทากบ 12
มสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 4 ถา Σ (xi - 5)2 = 1,625 จานวนขอมลเทากบเทาใด
1. 10 2. 15
3. 20 4. 25
1. 1.
N
i=1
3. 20 4. 25 3. 20 4. 25
126 คณตศาสตร เลม 5