17/11/2016

1

Concentration des contraintes

près d’entailles

Chapitre 3

A. Zeghloul

SOMMAIRE

� Introduction – Facteur de concentration de contraintes Kt

� Plaque trouée uniformément chargée

� Plaque trouée chargée en traction

� Gradient de contrainte le long de l’axe d’une entaille

� Gradient de contrainte le long du bord d’une entaille

� Influence de la géométrie et du chargement sur le facteur Kt

� Influence des contraintes résiduelles sur le facteur Kt

� Facteur Kt dans des structures complexes

� Rupture par clivage

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32

( )2

max max

t nomK

E

σσ ε =

t nomK σ

maxσ

resσ

( )σ σ ε=

( )2

t nomK

E

σσ ε⋅ =

maxε ε

• Procédure de détermination graphique des contraintes σmax et σres

• Le terme de droite de cette relation est connu.

On détermine ensuite graphiquement lavaleur de σmax à partir de la loi decomportement σ=σ(ε).

• Au point A d’intersection des deux courbesσ=σ(ε) et σ.ε , σmax et εmax satisfont larelation de comportement.

En absence de plasticité, la contrainte maximale est donnée par le point B.

La différence entre σmax et Ktσnom donne la contrainte résiduelle σres de compression

res A B A t nomKσ σ σ σ σ= − = −

Loi de comportement ( )E p EEσ σ ε ε− = −

300Au point 300 ( )

20A A

EA

Eσ ε= + −

( ) ( )2 2

300HN 300 ( )

20

t nom t nom

A A A

A

K KE

E E E

σ σσ ε σ

σ⋅ = ⇒ = + −

2 285 12500 0 323,62A A A MPaσ σ σ− − = ⇒ =1,62A

nom

Kσσ

σ= =

2

3,86tKK

Kσε = =

176, 4res A t nom resK MPaσ σ σ σ= − ⇒ = −

Ai

TD7 : calculs de contraintes résiduelles

17/11/2016

33

300Au point 300 ( )

20A A

EA

Eσ ε= + −

( )2

300HN 300 ( )

20

t nom

A

A

KE

E E

σσ

σ⇒ = + −

2a) 2 et 200t nomK MPaσ= =

1,55A

nom

Kσσ

σ= = 2

2,57tKK

Kσε = =

2 285 8000 0 310,74A A A MPaσ σ σ− − = ⇒ =

89, 26res A t nom res

K MPaσ σ σ σ= − ⇒ = −

2b) 3 et 200t nomK MPaσ= =

2 285 18000 0 338, 22A A A

MPaσ σ σ− − = ⇒ =

261,78res A t nom resK MPaσ σ σ σ= − ⇒ = −1,69A

nom

Kσσ

σ= =

2

5,32tKK

Kσε = =

Ai

Facteur Kt dans les structures complexes

Les jonctions tubulaires des plateformes offshore sont des exemples de

structures complexes (figure ci-dessous). Ces plateformes sont constituées de

tubes soudés entre eux, constituant des jonctions tubulaires. Les intersections

complexes de ces jonctions représentent des discontinuités structurales

conduisant à de fortes concentrations de contrainte dans les cordons de soudure.

17/11/2016

34

Eoliennes Offshore - Allemagne

Ces jonctions tubulaires sont classées selon leur forme en types T, Y, K …

schématisés ci-dessous.

L’étude de ces jonctions nécessite un paramétrage indiqué ci-dessous pour une

jonction de type K qui correspond au cas le plus général.

Le manchon de la jonction étant encastré à ses deux extrémités, les chargement

appliqués sont également indiqués dans la figure ci-dessous.

17/11/2016

35

Les calculs du facteur Kt dans ces jonctions utilisent la technique des éléments

finis. La grande difficulté lorsqu’on modélise ces jonctions est la génération des

mailles dans les zones de discontinuités géométriques où les gradients de

contrainte sont importants. La montre figure ci-dessous montre un exemple.

17/11/2016

36

Des relations paramétriques très utilisées dans l’industrie offshore pour le calcul

du Kt dans les jonctions de type T, Y, X, K … sont proposées par Efthymiou et

Lloyd8. Ces relations utilisent les paramètres indiqués précédemment. Pour les

jonctions de type Y, les relations donnant le Ktau point de quartier du manchon,

sont:

Rupture par clivage

La rupture par clivage est une rupture fragile qui s’accompagne de très peu de

déformation plastique. Dans les matériaux métalliques, le clivage opère par

rupture des liaisons interatomiques dans une direction perpendiculaire au plan de

rupture. La figure ci-dessous montre l’amorçage d’une microfissure associée à la

rupture par clivage d’un carbure (particule fragile) selon le modèle de Smith9.

9Smith E, The nucleation and growth of microcracks in mild steel, Physical basis of yield and

fracture, pp. 36-46, 1966.

17/11/2016

37

Exemples de rupture par clivage

17/11/2016

38

La figure ci-dessous schématise ce type de rupture.

Pour calculer la contrainte de liaison atomique, il est nécessaire d’introduire la

distance interatomique r, puis de considérer la relation entre le déplacement des

atomes, autour de leur position d’équilibre r0, et la force appliquée. Cette force

est la somme d’une composante d’attraction en 1/r2 et d’une composante de

répulsion en -1/r9.

La contrainte de liaison est donc de la forme :

La contrainte théorique de clivage, notée σc, est la valeur maximale de σ sur la

courbe ci-dessous.

La contrainte de clivage σc est calculée par deux méthodes différentes.

17/11/2016

39

Première méthode

En utilisant la relation , il apparait que : E=7A

Soit finalement :14

c

Eσ ≈

Cette contrainte théorique de clivage est plus élevée de plusieurs ordres de

grandeur que la contrainte mesurée expérimentalement. En fait les défauts sous

forme de fissure ou d’entaille aiguë concentrent les contraintes dans leur

voisinage et provoquent ainsi des mécanismes d’amplification, si bien que la

contrainte locale qui correspond à la contrainte théorique de clivage est bien plus

élevée que la contrainte appliquée expérimentalement.

Deuxième méthode

Cette méthode utilise l’énergie de cohésion. Pour simplifier les calculs, on

assimile la courbe σ=σ(r) à une sinusoïde comme indiquée sur la figure suivante

17/11/2016

40

de la figure précédente) :

Lors de la rupture, deux surfaces sont créées ; on pose alors W=2γS où γS

est

l’énergie spécifique de création de surface, ce qui permet d’écrire

En éliminant α entre cette dernière relation et la relation

on obtient soit :

0

Sc

E

r

γσ =

Cette contrainte est elle aussi bien plus élevée que les valeurs expérimentales.

Valeurs de la contrainte théorique de clivage σth déduites de

0

Sc

E

r

γσ =

expth

c cσ σ>>

10

0 2 2 10r A m−≈ = ⋅ɺɺ

17/11/2016

41

( ) 1 2 1 2L a a

a aA

bσ σ σ

ρ = + = +

A l’extrémité d’un défaut de forme elliptique de longueur 2a et de rayon à

fond d’entaille ρ, la contrainte locale σL est donnée par :

Dans le cas d’une entaille très aiguë,

ρ<<a si bien que :

( ) 2L a

aAσ σ

ρ≈

Si on prend par exemple le rayon à fond d’entaille ρ de l’ordre d’une distance

interatomique r0, la contrainte locale devient :

0

( ) 2L a

aA

rσ σ≈

0

Sc

E

r

γσ ≈0

( ) 2L a

aA

rσ σ≈

La comparaison des deux relations établies précédemment :

Permet d’écrire la contrainte expérimentale de rupture par clivage σa

sous la forme suivante :

4

Sa

E

a

γσ ≈

Cette approximation n’est qu’une estimation de la contrainte de rupture

expérimentale par clivage puisqu’à l’échelle atomique, le milieu ne peut être

considéré comme continu. Des simulations numériques où les liaisons entre

atomes sont modélisées par des ressorts non linéaires, montrent que cette

contrainte est de la forme :S

a

E

a

γσ β≈1

où 12

β< <

17/11/2016

1

Intensification des contraintes à

l’extrémité de fissures

CFMR - Chapitre 4

A. Zeghloul

SOMMAIRE

� Introduction – Concept de facteur d’intensité des contraintes K

� Modes de sollicitation des fissures

� Approche de Westergaard

� Expression des champs de contrainte et de déplacement

� Définition du FIC K et expressions des champs de contrainte et de

déplacement

� Mode de cisaillement anti-plan

� Principe de superposition

� Zone plastifiée à fond de fissure

� Méthodes pratiques de calcul du FIC – Méthode des fonctions poids

� Ténacité - FIC critique

� Approche énergétique de Griffith

� Lien entre énergie de Griffith et FIC K

17/11/2016

2

Introduction

1 2 1 2t

a aK

b ρ= + = +

max ( ) t aA Kσ σ=

17/11/2016

3

Le concept de FIC est présenté dans ce chapitre. Pour déterminer les champs des

contraintes et des déplacements à l’extrémité d’une fissure on utilise l’approche de

Westergaard qui s’appuie sur les potentiels complexes définissant la fonction d’Airy

introduits précédemment. Ces champs sont définis au voisinage immédiat de l’extrémité

d’une fissure.

Modes de sollicitation des fissures

17/11/2016

4

17/11/2016

5

Approche de Westergaard

En élasticité plane, les contraintes dérivent d’une fonction de contrainte

biharmonique : la fonction d’Airy, notée A, dont l’expression en fonction des

potentiels complexes ϕ(z) et χ(z) est :

( )Re ( ) ( )A z z zϕ χ= +

Les contraintes sont données par :

( )( )

( )

Re 2 '( ) ''( ) ''( )

Re 2 '( ) ''( ) ''( )

Im ''( ) ''( )

x

y

xy

z z z z

z z z z

z z z

σ ϕ ϕ χσ ϕ ϕ χ

σ ϕ χ

= − −

⇒ = + + = +

( )4 Re '( )

2 2 ''( ) ''( )

y x

y x xy

z

i z z z

σ σ ϕσ σ σ ϕ χ

+ = − + = +

0 pour y xy

z z

z aσ σ

== = <

17/11/2016

6

( )( )

( )

Re 2 '( ) ''( ) ''( )

Re 2 '( ) ''( ) ''( )

Im ''( ) ''( )

x

y

xy

z z z z

z z z z

z z z

σ ϕ ϕ χσ ϕ ϕ χ

σ ϕ χ

= − − = + + = +

Les CL précédentes sur les lèvres de la fissure conduisent donc à :

( )( )

Re 2 '( ) ''( ) ''( ) 0 pour

Im ''( ) ''( ) 0

z zz z z z

z az z z

ϕ ϕ χϕ χ

=+ + = <+ =

2 '( ) ''( ) ''( ) imaginaire pur sur les lèvres

''( ) ''( ) réel pur

z z z zL

z z z

ϕ ϕ χϕ χ

+ +⇒ +

( )Re 2 '( ) ''( ) ''( )z z z zϕ ϕ χ⇒ = − −

1 21

22

et ses dérivées imaginaires avec sur 2

et ses dérivées réelles' '' ''

L

z

ϕ ϕ ϕϕϕϕ ϕ χ

+ =

= − −

( )Re 2 '( ) ''( ) ''( )z z z zϕ ϕ χ= − −

La fonction ϕ peut être décomposée en deux fonctions ϕ1 et ϕ2 comme suit :

2 2 1'( ) ' ( ) 2 ( )z z d z d zχ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= − + − = − + − = − +

1( )z z dzχ ϕ ϕ⇒ = − + ∫ ( )Re ( ) ( )A z z zϕ χ= +

( )1ReA z z dzϕ ϕ ϕ⇒ = − + ∫

17/11/2016

7

( )1 1 1 2Re Re Im Im

III

AA

A z z dz dz y yϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= − + = + +∫ ∫��������������

( )( )

( )

Re 2 ' '' ''

Re 2 ' '' ''

Im '' ''

x

y

xy

z

z

z

σ ϕ ϕ χσ ϕ ϕ χ

σ ϕ χ

= − − = + + = +

2' '' ''zϕ ϕ χ= − −

( )( )( )

1 2

1

2

Re ' 2 ' '' ''

Re ' '' ''

Im '' '' '

x

y

xy

z z

z z

z z

σ ϕ ϕ ϕ ϕσ ϕ ϕ ϕσ ϕ ϕ ϕ

= + + − = + − = − −

z x iy

z x iy

= += −

1 1 2 2

1 1 2

1 2 2

Re ' Im '' 2 Re ' Im ''

Re ' Im '' Im ''

Re '' Re '' Im '

x

y

xy

y y

y y

y y

σ ϕ ϕ ϕ ϕσ ϕ ϕ ϕ

σ ϕ ϕ ϕ

= − + − = + + = − − −

Il apparait donc que le champ des contraintes [σ] est la somme de deux

champs [σ1] et [σ2] dérivant des fonctions d’Airy suivantes :

1 1

2

Re Im

Im

I

II

A dz y

A y

ϕ ϕ

ϕ

= +

=

∫Mode I

Mode II

Westergaard définit pour ces modes les fonctions analytiques suivantes :

1

2

( ) ' ( )

( ) ' ( )

I

II

Z z z

Z z i z

ϕϕ

= =

Re Im

Im Re

I I I

II II II

A Z y Z

A y iZ y Z

= +

= − = −

17/11/2016

8

Expressions des contraintes et des déplacements

par la méthode de Westergaard

Mode I d’ouverture

1 1 2 2

1 1 2

1 2 2

Re ' Im '' 2 Re ' Im ''

Re ' Im '' Im ''

Re '' Re '' Im '

x

y

xy

y y

y y

y y

σ ϕ ϕ ϕ ϕσ ϕ ϕ ϕ

σ ϕ ϕ ϕ

= − + − = + + = − − −

Expressions des contraintes

1comme '

IZϕ = ⇒

1 1

1 1

1

Re ' Im ''

Re ' Im ''

Re ''

x

y

xy

y

y

y

σ ϕ ϕσ ϕ ϕ

σ ϕ

= − = + = −

Re Im '

Re Im '

Re '

x I I

y I I

xy I

Z y Z

Z y Z

y Z

σσ

σ

= − = + = −

17/11/2016

9

Expressions des déplacements

2 (1 *) *

Loi de Hooke 2 (1 *) *

2

x x y

y y x

xy xy

µε υ σ υ σµε υ σ υ σ

µε σ

= − − = − − =

* en DP

avec * en CP

1

υ υυυ

υ

= = +

Re Im '

Re Im '

Re '

x I I

y I I

xy I

Z y Z

Z y Z

y Z

σσ

σ

= − = + = −

2 (1 2 *) Re Im ' 2 xx I I

uZ y Z

xµε υ µ ∂= − − =

∂2 (1 2 *) Re Imx I Iu Z y Zµ υ⇒ = − −

(1 *) *2

(1 2 *) Re Im '

y x

y

I IZ y Z

υ σ υ σµε

υ− −

= − +

Re Im '

Re Im '

Re '

x I I

y I I

xy I

Z y Z

Z y Z

y Z

σσ

σ

= − = + = −

Re Im

Im ' Re

I I

I I

Z Zy

Z Zy

∂ = ∂ ∂ = − ∂

�

Im

Im ' Re ( Re ) Re

I

I I I I

Zÿ

y Z y Z y Z Zy y

∂∂

∂ ∂= − = − +∂ ∂

2 2(1 *) Im ( Re )y

I I

uZ y Z

y y yµ υ

∂ ∂ ∂= − −∂ ∂ ∂

2 2(1 *) Im Rey I I

u Z y Zµ υ⇒ = − −

17/11/2016

10

Mode II - cisaillement plan

1 1 2 2

1 1 2

1 2 2

Re ' Im '' 2 Re ' Im ''

Re ' Im '' Im ''

Re '' Re '' Im '

x

y

xy

y y

y y

y y

σ ϕ ϕ ϕ ϕσ ϕ ϕ ϕ

σ ϕ ϕ ϕ

= − + − = + + = − − −

Expressions des contraintes

2comme ' IIiZϕ = − ⇒

2 2

2

2 2

2 Re ' Im ''

Im ''

Re '' Im '

x

y

xy

y

y

y

σ ϕ ϕσ ϕ

σ ϕ ϕ

= − = = − −

2 Im Re '

Re '

Re Im '

x II II

y II

xy II II

Z y Z

y Z

Z y Z

σσ

σ

= + = − = −

Expressions des déplacements

2 (1 *) *

Loi de Hooke 2 (1 *) *

2

x x y

y y x

xy xy

µε υ σ υ σµε υ σ υ σ

µε σ

= − − = − − =

2 2(1 *) Im Re ' 2 xx II II

uZ y Z

xµε υ µ ∂= − + =

∂

2 2(1 *) Im Rex II IIu Z y Zµ υ⇒ = − +

2 Im Re '

Re '

Re Im '

x II II

y II

xy II II

Z y Z

y Z

Z y Z

σσ

σ

= + = − = −

17/11/2016

11

(1 *) *2

2 *Im Re '

y x

y

II IIZ y Z

υ σ υ σµε

υ− −

= − −

2 Im Re '

Re '

Re Im '

x II II

y II

xy II II

Z y Z

y Z

Z y Z

σσ

σ

= + = − = −

Re ' Im

Im Re

II II

II II

Z Zy

Z Zy

∂ = ∂ ∂ = − ∂

�

Re

Re ' Im ( Im ) Im

II

II II II II

Zy

y Z y Z y Z Zy y

∂−∂

∂ ∂− = − = − +∂ ∂

2 (1 2 *) Re ( Im )y

II II

uZ y Z

y y yµ υ

∂ ∂ ∂= − − −∂ ∂ ∂

( )2 (1 2 *) Re Imy II IIu Z y Zµ υ⇒ = − − +

Expressions des contraintes et des déplacements

à partir du facteur d’intensité des contraintes

Re Im '

Re Im '

Re '

x I I

y I I

xy I

Z y Z

Z y Z

y Z

σσ

σ

= − = + = −

Sur le plan de la fissure (à y=0),

on a :

Re à 0

0

x y I

xy

Zy

σ σσ

= == =

17/11/2016

12

Les lèvres de la fissure étant non chargées, les CL sont :0

à 0 et

y xy

y z a

σ σ= = = <

Des deux relations précédentes, on déduit que :

0

à 0 et

x y xy

y z a

σ σ σ= = = = <

Re à 0

0

x y I

xy

Zy

σ σσ

= == =

Considérons à présent la contrainte σy seule. De part et d’autre des extrémités de

la fissure, elle est soit nulle, soit elle tend vers l’infini (Kt ö¶). Il s’ensuit que

la fonction ZI(z) doit être de la forme :

2 2

( )( )I

g zZ z

z a=

−

Avec g(z) fonction réelle pour y=0 et finie pour z=±a

Les conditions limites sont alors vérifiées puisque sur le plan de la fissure, on a :

2 2

1 imaginaire pur pour Re 0Iz a Z

z a< ⇒ =

−

2 2

1 réel pur pour Re I z a

z a

z a Zz a

+

−

→+

→−

> ⇒ →∞−

Les extrémités A et A’ jouent des rôles

identiques. On fait alors une translation

de repère avec pour origine A, ce qui

équivaut au changement de variable

suivant :

z aζ = −

ire θζ =Un point M sera repéré par rapport à A par :

17/11/2016

13

La fonction de contrainte de Westergaard s’écrit alors :

211 0 1 2

( )( ) avec ( )I

gZ z g

ζ ζ α α ζ α ζζ

= = + + + ⋅⋅⋅

0( )IZαζ

ζ≈

0 0lim 2 ( ) ( ) lim 2 ( ) 2

I z a I IK z a Z z Zζπ πζ ζ πα→ →= − = =

( )2

II

KZ z

πζ=

( )2

IIII

KZ z

πζ=

17/11/2016

14

( ) avec 2

iII

KZ re θζ ζ

πζ= =

Re cos Im sin2 22 2

I II I

K KZ Z

r r

θ θπ π

= = −

3/ 2

1 1 3 1 3' Re ' cos Im ' sin

2 2 2 2 22 2 2

I I II I I

K K KZ Z Z

r rr r

θ θπζ π π

= − = − =

1/ 22 Re 2 cos Im 2 sin2 2 2 22

II I I I I

K r rZ Z K Z K

θ θζπ ππ

= = =

Expressions des contraintes et des déplacements

A partir des expressions précédentes des dérivées et primitives de ZI , et en notant que :

2 sin cos2 2

y rθ θ=

on calcule les contraintes et les déplacements (schématisés ci-dessous) en se servant des

relations suivantes :

17/11/2016

15

Re Im '

Re Im '

Re '

x I I

y I I

xy I

Z y Z

Z y Z

y Z

σσ

σ

= − = + = −

2 (1 2 *) Re Imx I Iu Z y Zµ υ= − −

2 2(1 *) Im Rey I I

u Z y Zµ υ= − −

Re cos Im sin2 22 2

I II I

K KZ Z

r r

θ θπ π

= = − 1/ 22 Re 2 cos Im 2 sin2 2 2 22

II I I I I

K r rZ Z K Z K

θ θζπ ππ

= = =

3/ 2

1 1 3 1 3' Re ' cos Im ' sin

2 2 2 2 22 2 2

I I II I I

K K KZ Z Z

r rr r

θ θπ ζ π π

= − = − =

3cos 1 sin sin

2 2 22

3cos 1 sin sin

2 2 22

3cos sin cos

2 2 22

Ix

Iy

Ixy

K

r

K

r

K

r

θ θ θσπ

θ θ θσπ

θ θ θσπ

= −

= +

=

2

2

2cos 1 2 * sin

2 2 2

2sin 2(1 *) cos

2 2 2

Ix

Iy

K ru

K ru

θ θυµ π

θ θυµ π

= − +

= − −

On a bien en mode I une discontinuité du déplacement selon y, uy(p)=-uy(- p)

3sin 2 cos cos

2 2 22

3sin cos cos

2 2 22

3cos 1 sin sin

2 2 22

IIx

IIy

IIxy

K

r

K

r

K

r

θ θ θσπ

θ θ θσπ

θ θ θσπ

= − +

=

= −

2

2

2sin 2(1 *) cos

2 2 2

2cos 1 2 * sin

2 2 2

IIx

IIy

K ru

K ru

θ θυµ π

θ θυµ π

= − +

= − −

On a bien en mode II une discontinuité du déplacement selon x, ux(p)=-ux(- p)

Mode II - cisaillement plan

2 Im Re '

Re '

Re Im '

x II II

y II

xy II II

Z y Z

y Z

Z y Z

σσ

σ

= + = − = −

2 2(1 *) Im Rex II IIu Z y Zµ υ= − +

( )2 (1 2 *) Re Imy II IIu Z y Zµ υ= − − +

Re cos Im sin2 22 2

II IIII II

K KZ Z

r r

θ θπ π

= = − 1/ 22 Re 2 cos Im 2 sin2 2 2 22

IIII II II II II

K r rZ Z K Z K

θ θζπ ππ

= = =

3/ 2

1 1 3 1 3' Re ' cos Im ' sin

2 2 2 2 22 2 2

II II IIII II II

K K KZ Z Z

r rr r

θ θπζ π π

= − = − =

17/11/2016

18

TD8 : Fissure sollicitée en mode I

Corrigé du TD8

17/11/2016

20

TD9 : Calcul du FIC K à partir de la fonction de Westergaard

2a

σ ∞

σ ∞

I- Montrer que la fonction de Westergaard suivante décrit

bien le chargement indiqué où la plaque infinie comporte une

fissure de longueur 2a. Calculer le FIC KI à l’extrémité x=a

2 2I

zZ

z a

σ ∞

=−

( )

2

32 22 2 2

'I

zZ

z a z a

σ σ∞ ∞

= −− −

Re Im 'y Z y Zσ = +

lim Iz

Z σ ∞

→∞= 'lim 0

Iz

Z→∞

= CL vérifiéey

zσ σ ∞

→∞=

lim 2 ( ) ( ) lim 2 ( )( )( )

I Iz a z a

zK z a Z z z a

z a z aπ σ π∞

→ →= − = −

− +

IK aσ π∞⇒ =

Corrigé du TD9

17/11/2016

21

b

x

y

2a

P

P

2 2

2 2 avec force concentrée en

( )I

P a bZ P z b

z b z aπ−= =

− −

b

x

y

2a

P

P

bP

P

Chargement 1

Chargement 2

1- Montrer que la fonction de Westergaard ZI décrit bien le chargement 1

2- calculer le FIC KI à l’extrémité x=a

3- Déterminer la fonction de Westergaard du chargement 2

4- Calculer le FIC KI du chargement 2 à l’extrémité x=a

5- Calculer à partir de 4- le FIC KI à l’extrémité x=a pour le chargement 3 où

σ est une contrainte répartie.

6- Montrer à partir de 4- que la fn de Westergaard du chargement 3 est :

b

x

y

2a

σb

σ

σ

σ

Chargement 3

II- Soit le chargement 1 d’une plaque infinie fissurée dont la

fonction de Westergaard associée est:

2 21 1

2 22 2

2( ) cos cot

z az b bZ z

a z a bz a

σπ

− − − = − − −

Re Im 'y Z y Zσ = +

2 2

2 2( )

I

P a bZ

z b z aπ−=

− −

Lorsque point d'application de la charge concentrée,

( )I

z b

iPZ

z bπ

→

=−

1

0 0

La force concentrée est donnée par

lim lim Re

y

b b

y yy y

b b

P

P iP e dx dx

x b iy

ε ε

ε ε

σπ+ +

+ +

→ →− −

= = − +

∫ ∫ 2 20

lim( )

b

yy

b

P yP dx

x b y

ε

επ +

+

→−

=− +∫

0 0

2 2lim arctan lim arctan

2

b

yy y

b

P x b P PP P

y y

ε

ε

ε ππ π π+ +

+

→ →−

−= = = =

CL bien vérifiée

1- Montrer que la fonction de Westergaard ZI décrit bien le chargement 1

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