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COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE UN BLOQUE RÍGIDO POR VOLTEO CONSIDERANDO EFECTOS ASOCIADOS A LA INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA
Miguel A. Jaimes1, Luciano R. Fernández-Sola2 y Cesar Arredondo1
RESUMEN
En este artículo se propone un modelo dinámico para la estimación de la respuesta por volteo de un bloque rígido no
simétrico, libremente apoyado, ubicado en diferentes niveles de un edificio y sujeto a la acción sísmica, considerando
la componente rotacional de la excitación debida al efecto de interacción dinámica suelo-estructura (IDSE). Se
asume que la fricción entre el bloque y la superficie de apoyo es suficientemente grande para que no se produzca
deslizamiento. Con este modelo se realiza un análisis acerca de la influencia de la interacción suelo-estructura en el
comportamiento del bloque. Se presenta un ejemplo ilustrativo de su aplicación para bloques rígidos en edificios de
5, 10 y 15 pisos desplantados en terreno blando de la Ciudad de México. Los resultados muestran que es importante
considerar los efectos tanto cinemáticos como inerciales de la IDSE en la respuesta dinámica de contenidos y que
está es más representativa, como es de esperarse, en niveles superiores de edificios.
ABSTRACT
In this paper, we propose a dynamic model for the estimation of the rocking response of a freestanding non-
symmetrical rigid block subject to the seismic action, considering the rotational component due to interaction soil-
structure (SSI). It is assumed that the friction between block and support surface is large enough so that there is no
sliding. With this model, the influence of the soil structure interaction on the dynamic behavior the rigid body is
established. An illustrative example of its application is presented for rigid blocks into buildings of 5, 10 and 15
floors located in soft soil of Mexico City. Results show that is important to consider SSI cinematic and inertial
effects on the dynamic response of contents and that is more representative, as expected, for upper building levels.
INTRODUCCIÓN
El comportamiento de bloques rígidos simplemente apoyados ha sido estudiado por más de un siglo; cabe destacar a
Milne (1885) y Housner (1963) como pioneros en la estimación de dimensiones críticas para volteo y modelado del
comportamiento de un bloque rígido ante movimiento horizontal en su base. Subsecuentes investigaciones han sido
emprendidas para delimitar el modelo inicial e identificar algunas limitaciones importantes del mismo (Makris y
Rousso, 1998; Shenton, 1996). Otros investigadores han estudiado paramétricamente el comportamiento por
balanceo y volteo de bloques rígidos cuando están sujetos a diferentes formas de excitación horizontal en su base,
incluyendo movimientos periódicos (p.e. seno, coseno), impulsivos y sísmicos registrados (Yim et al., 1980; Zhang y
Makris, 2001). Dichos estudios analíticos han sido conducidos en paralelo con pruebas experimentales cuyos
resultados son usados para calibrar parámetros del modelo (p.e. Aslam et al., 1980). Puntualmente, otros trabajos han
caracterizado analíticamente el efecto que sobre la respuesta particular de un bloque rectangular tiene la condición de
apoyo sobre base flexible (Koh et al., 1986; Apostolou et al., 2007). Cada uno de ellos, asume que el bloque rígido
estará sujeto exclusivamente a componentes horizontales de excitación, lo cual se justifica únicamente en el caso que
la componente rotacional de la excitación se puede considerar despreciable. La componente rotacional del
movimiento sísmico al que está sujeto el bloque rígido, referido en este estudio, es la generada en estructuras debida
a efectos cinemáticos de interacción dinámica suelo-estructura (IDSE).
Es conocido que hay dos efectos de interacción que toman lugar como resultado de la presencia de una base
desplantado sobre un suelo blando de un sitio. Esos dos efectos son referidos comúnmente como: (1) interacción
cinemática e (2) interacción inercial (Whitman y Bielack, 1980). La interacción cinemática es el efecto que ocurre
como resultado del cambio en el medio de propagación de la onda sísmica en una densidad y elasticidad diferente
1 Investigador Asistente, Instituto de Ingeniería, UNAM, Ciudad Universitaria, 04510 México, D.F.
[email protected], [email protected] 2 Investigador y Profesor, Departamento de Materiales, UAM-Azcapotzalco, México, D.F. [email protected].
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debido a la presencia de la cimentación, lo cual induce un cambio en la naturaleza del movimiento sísmico debido a
la reflexión y refracción de las ondas sísmicas. La interacción inercial es el efecto que resulta del acoplamiento
dinámico entre la estructura y su apoyo. Esto es, dado que la base tiene propiedades elásticas e inerciales propias,
una estructura y su apoyo responden a la llegada de ondas sísmicas como un sólo sistema dinámico.
La componente rotacional de la excitación en una estructura, cuando el efecto de IDSE es considerado en un análisis
dinámico, se debe a que la rigidez de la cimentación produce que los movimientos diferenciales entre distintos
puntos de la misma generen rotaciones de cuerpo rígido de la cimentación, lo cual se traduce en un componente
rotacional de la excitación y esto se transmite a través de la altura en la estructura. Adicionalmente, el cambio en las
propiedades dinámicas de la estructura (periodo fundamental y amortiguamiento) producen que el movimiento al que
estén sometidos los bloques en los diferentes pisos de la estructura se vean modificados.
En este artículo, se estudia la influencia y efecto que tienen las componentes de IDSE en el comportamiento de
bloques rígidos asimétricos dentro de las estructuras. Para ello, se propone un modelo dinámico para la estimación de
la respuesta por volteo de un bloque rectangular sujeto a la acción sísmica y, considerando la componente rotacional
de la excitación debida al efecto de interacción suelo-estructura. Se asume que la fricción entre el bloque y la base es
suficientemente grande para que no se produzca deslizamiento del bloque. Se presenta un ejemplo ilustrativo de su
aplicación en bloques rígidos en edificios de 5, 10 y 15 pisos desplantados en terreno blando de la Ciudad de
México, discutiendo e identificando la variabilidad en su respuesta dinámica al incluir los efectos IDSE.
MODELADO DE LOS EFECTOS DE INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA (IDSE)
Como ya se ha comentado, los efectos de interacción suelo-estructura pueden clasificarse en dos grandes grupos. Por
un lado los efectos asociados con la modificación del movimiento al que estará sometida la estructura (movimiento
de entrada) producto de la difracción de ondas que produce la presencia de un elemento de cimentación de mucho
mayor rigidez que el suelo. A este grupo de efectos se le denomina interacción cinemática ya que su origen se debe
básicamente a los fenómenos de propagación de ondas. Adicionalmente, a los efectos asociados con las
deformaciones en el suelo introducidas por las fuerzas de inercia de la superestructura se les denomina interacción
inercial ya que su origen está asociado con la respuesta inercial de la superestructura. Los principales efectos de la
interacción inercial son el alargamiento en el periodo estructural y la modificación del amortiguamiento (Wolf, 1985)
En términos generales, la interacción cinemática produce dos modificaciones principales en la naturaleza del
movimiento de entrada. En primera instancia, produce una reducción en las amplitudes de los movimientos de alta
frecuencia debido a que la cimentación no es capaz de deformarse de la misma manera que el suelo, por lo que se
produce un efecto promediador en los componentes con longitudes de onda pequeñas (alta frecuencia). Además de
esta reducción en la amplitud de las altas frecuencias, la rigidez de la cimentación produce que los movimientos
diferenciales entre distintos puntos de la misma generen rotaciones de cuerpo rígido de la cimentación lo cual se
traduce en un componente rotacional de la excitación, 0.
Existen distintas soluciones numéricas que permiten determinar cómo son las modificaciones del movimiento
producidas por la interacción cinemática. Una de las soluciones más utilizadas y conocidas es la propuesta por
Kausel et al. (1978). En esta solución se expresan los movimientos de entrada efectivos ug(ω) y ϕ0(ω) en el dominio
de la frecuencia, en función del espectro del movimiento de campo libre uf (ω), por medio de las funciones de
transferencia Qh(ω) y Qr(ω) como:
fuhQgu y fr uQ 0 (1)
Para determinar las funciones de transferencia Qh(ω) y Qr(ω) se analizó la respuesta de una cimentación circular
infinitamente rígida, enterrada una profundidad D en un estrato elástico con velocidad de propagación de ondas de
cortante Vs, desplantado sobre una base infinitamente rígida, mediante el método de los elementos finitos. De esta
forma, determinaron que la traslación de la cimentación se ve reducida para altas frecuencias respecto a la traslación
de campo libre. La función de transferencia entre ambos movimientos tiene una forma cosenoidal hasta una
frecuencia de aproximadamente 0.7 veces la frecuencia fundamental de la región de enterramiento ωe=πVs/2D.
Además, encontraron que la rotación de la cimentación guarda semejanza con la seudo-rotación debida al
movimiento de campo libre, es decir, el desplazamiento diferencial entre la superficie libre y el nivel de desplante de
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la cimentación, dividido entre la profundidad de enterramiento. De esta manera definieron las funciones de
transferencia Qh(ω) y Qr(ω) como:
e
eeh
si
siQ
7.0453.0
7.02cos
y
e
eer
si
siQ
7.0257.0
7.02cos1257.0
(2)
Por otra parte, los efectos de la interacción inercial pueden describirse por medio de los desplazamientos que se
produzcan en el sistema suelo cimentación debidos a las fuerzas de inercia de la superestructura. Estos
desplazamientos pueden modelarse por medio de un sistema de resortes y amortiguadores ubicados en la base de la
estructura que representen la rigidez del sistema suelo cimentación y la disipación de energía que se produce en el
mismo (ver figura 1). El sistema suelo cimentación produce disipación de energía por medio de dos mecanismos
asociados con el comportamiento histerético del suelo y con la radiación de energía producida por la difracción de
las ondas. Tanto la rigidez del sistema suelo-cimentación como la disipación de energía, son fenómenos dinámicos
que dependen primordialmente de la frecuencia de excitación.
Figura 1 Representación de la rigidez y el amortiguamiento del sistema suelo-cimentación por medio de
resortes y amortiguadores (Adaptado de Avilés, 2006)
Para representar la rigidez dinámica y el amortiguamiento se suele recurrir al concepto de función de impedancia,
K(ω), que, puede definirse cómo la relación que existe entre una fuerza o momento aplicado de manera armónica,
P(ω), y el desplazamiento o la rotación que producen en una cimentación infinitamente rígida carente de masa, Δ(ω).
Debido a la masa del suelo y la propagación de ondas, esta relación tiene una amplia dependencia de la frecuencia de
excitación.
P
K (3)
Las funciones de impedancia se pueden definir en todas las direcciones posibles del desplazamiento de la estructura.
Por lo general, para sistemas regulares es suficiente con considerar las funciones de impedancia de traslación y de
rotación en el plano.
En el presente trabajo se consideran cimentaciones infinitamente rígidas (cajones de cimentación), por lo que las
funciones de impedancia se determinarán con la definición propuesta por Gazetas (1983), en donde la función de
impedancia se expresa en función de la rigidez estática K0 afectada por coeficientes dinámicos k y c de la forma:
cikKK 0 (4)
Esta misma representación es la que se utiliza en las NTCS (2004), en donde la rigidez estática K0 y los factores
dinámicos k y c se pueden calcular con las expresiones reportadas por Gazetas (1991). En la figura 1, los subíndices
indican la dirección de análisis (h=traslación y r=rotación), donde el resorte corresponde a la parte real de la
ecuación 4 y el amortiguamiento a la parte imaginaria.
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Dado que en el presente trabajo se utilizará un análisis en la frecuencia para determinar los movimientos en los
distintos niveles de la estructura, se consideran las variaciones de las funciones de impedancia con la frecuencia. Una
vez determinados tanto los espectros del movimiento de entrada ug(ω) y ϕg(ω) y los valores de las funciones de
impedancia, es posible determinar los movimientos en la superestructura considerando un modelo de viga de cortante
como el mostrado en la figura 2. Para considerar la flexibilidad de la base es suficiente con incorporar dos grados de
libertad en la misma (uno de traslación y uno de rotación) y, acoplar los valores de las funciones de impedancia en
las matrices de rigidez y amortiguamiento del sistema completo. En la matriz de masa del sistema global, se deben
incluir las masas asociadas a las fuerzas de inercia que producirán los movimientos de cuerpo rígido de la
superestructura debidos a la flexibilidad de la base. Mayor detalle de la formulación de este modelo puede
encontrarse en Fernández-Sola y Avilés (2008).
Es importante indicar que debido a que se utiliza un método de solución en el análisis de la frecuencia, la no
linealidad de la estructura y del suelo no puede ser tomada en cuenta. Sin embargo, por lo general el análisis de los
contenidos es importante para niveles de aceleración en los cuales la estructura no ha sufrido niveles de daño
considerables. Adicionalmente, al ser un modelo de viga de cortante en el cuál cada uno de los entrepisos es
modelado mediante un solo grado de libertad en traslación, se supone que el giro en todos los niveles es el mismo e
igual que el giro del grado de libertad correspondiente a la base y este giro no excita rotacionalmente ninguna de las
masas de la superestructura. Adicionalmente, al tener un modelo de masas concentradas, se supone que el bloque
ubicado en cualquier parte de un mismo entrepiso sufrirá la misma excitación tanto horizontal como rotacional.
Figura 2 Representación de la estructura con base flexible sometida a los movimientos de entrada
MODELO PROPUESTO DEL BLOQUE RÍGIDO CONSIDERANDO LA COMPONENTE ROTACIONAL
ECUACIONES DE MOVIMIENTO
En la figura 3 se presentan los parámetros que caracterizan el comportamiento de un bloque rígido sujeto a un
movimiento sísmico de componente horizontal un(t) y rotacional 0(t). En ella, O representa el centro de masa del
bloque, r1 y r2 son las distancias entre O y la esquina de giro 1 y 2, respectivamente. Las expresiones 1=tan-1(b1/h) y
2=tan-1(b2/h) representan el parámetros de robustez (inverso es la relación de esbeltez) dependiendo del sentido del
giro. El componente rotacional 0(t) considera el efecto tanto de la componente de la excitación g(t) como de la
rotacional debida al cabeceo de cuerpo rígido de la superestructura.
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Figura 3 Parámetros para caracterizar el modelo propuesto
La figura 4 esquematiza de forma general el efecto IDSE y su consecuente variación sobre las fuerzas inerciales
ejercidas sobre el cuerpo rígido dentro del edificio. En la figura 4a, en el lado izquierdo se presenta un esquema del
bloque situado en un nivel particular del edificio considerando efectos IDSE y, en el lado derecho, un diagrama de
cuerpo libre de las fuerzas actuantes que provocan balanceo y/o volteo durante la excitación; se considera como
positiva la rotación de la base en sentido anti-horario. De manera similar, la figura 4b presenta un esquema del
bloque rígido pero ahora considerando rotación de la base en sentido negativo (horario). Considerando el diagrama
de cuerpo libre del bloque rígido de la figura 4a y el equilibrio de momentos alrededor de la esquina en el cual el
movimiento ocurre, tenemos:
0'1
'101 mgbhumI n (5)
donde b1'= r1∙sin(1 - - 0) y h1
' = r1∙cos(1 - - 0) son la distancia horizontal y vertical entre el centro de masa y la
esquina 1 en la actual posición, respectivamente, m es la masa del objeto, ün es la aceleración en la base del bloque,
θ̈ y 𝑛̈ son las aceleraciones rotacionales, I1 es el momento polar de inercia del bloque rígido con respecto al punto 1
obtenido como I1=I0+m∙r12 (nótese que I1 es diferente de I0), I0 es el momento polar de inercia del bloque rígido con
respecto a su centro de masa, m∙ r1∙(θ̈+0̈ ) es la fuerza inercial debido a las aceleraciones rotacionales y
m∙r1∙(θ̈2+̈
0
2) es la fuerza centrífuga actuando en el bloque debido a las velocidades del propio cuerpo.
La ec. 5 representa la ecuación que describe el movimiento del bloque rígido alrededor de la esquina izquierda
(esquina 1, ver figura 4a). Nótese que la ecuación para el giro alrededor de la esquina derecha (esquina 2, ver figura
4b) se pueden obtener de manera similar. Esto es:
0'2
'202 mgbhumI n (6)
donde b2' = r2∙sin(2 - - 0) y h2
' = son la distancia horizontal y vertical entre el centro de masa y la esquina 2 en la
actual posición.
Simplificando y agrupando términos, las ecs. 5 y 6 se pueden reducir a:
00020
cos
iin
i
i sengSurI
r (7)
donde S(∙) es la función signo.
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a)
b)
Figura 4 Fuerzas actuando durante un movimiento del bloque por volteo considerando traslación y rotación
de la base: a) Volteo alrededor de la esquina izquierda (esquina 1) y b) volteo alrededor de la esquina derecha (esquina 2)
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CONDICIÓN DE VOLTEO
La fase de volteo comienza cuando el bloque rígido gira alrededor de uno de sus apoyos extremos y se levanta. El
levantamiento ocurre cuando la magnitud del momento resistente MR, debido al peso del bloque mg, es menor que el
momento de volteo M0 debido a la fuerza inercial m∙ nu y la aportación al giro introducido por la componente
rotacional de la excitación I1∙0̈ . Por equilibrio de momentos alrededor de la esquina 1, se obtiene:
mh
Ig
h
bun
011
(8)
Mientras que, para el equilibrio de momentos alrededor de esquina 2, la ecuación correspondiente sería:
mh
Ig
h
bun
022
(9)
Este condicionante, representa la aceleración mínima requerida en la base del bloque para iniciar su movimiento por
balanceo considerando las componentes horizontal y rotacional de la excitación.
CONDICIÓN DE IMPACTO DURANTE FASE DE VOLTEO
Cuando el bloque gira, se asume que la rotación es continua desde un punto O a O’ (ver detalle A o B de figura 4).
En este trabajo, se considera un impacto sin rebote por lo que el bloque intercambia puntos de apoyo usados como
pivotes (desde O a O’), mientras que el momento angular se conserva. Asociando los superíndices ‘+’ y ‘-’ a un
indicativo de post-impacto y pre-impacto, respectivamente, y considerando los momentos angulares después del
impacto como Q+= m∙ r2∙(θ̇+
+̇0
+) y Q-= m∙ r1∙(θ̇
-+̇
0
-), es posible obtener el valor de la velocidad angular post-
impacto cuando el bloque se aproxima a la base alrededor de la esquina 1 como:
02
10
r
r (10)
Para el caso en el cual, el impacto ocurre cuando el bloque se aproxima a la base alrededor de la esquina 2, la
velocidad angular post-impacto del bloque corresponde a:
01
20
r
r (11)
donde representa una fracción de la velocidad angular del bloque inmediatamente antes del impacto (θ̇-+̇
0
-). Este
coeficiente puede ser asumido en un intervalo β∈[0,1].
Simplificando y agrupando términos de las ecs. 10 y 11, el coeficiente de la fracción de la velocidad angular será:
iijjiiij
i rrmrII
sinsinsin1
(12)
SOLUCIÓN NUMÉRICA
En este trabajo, se obtiene la solución de la ec. 7 a través del método de la diferencia central media, que se basa en
una aproximación en diferencias finitas de las derivadas respecto al tiempo del desplazamiento (velocidad y
aceleración). La respuesta θ(t) y u(t) en el instante de tiempo t = i + 1 se calculan a partir de la ecuación del
movimiento, sus derivadas y la respuesta conocida en instantes de tiempo previos; en nuestro caso a partir de los
valores en los instantes t = i y t = i +1/2 que corresponden a los pasos medios a priori y posteriori al instante de
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interés i. Es posible emplear el método de la diferencia central, solo si los incrementos de tiempo se modifican de tal
forma que Δt = Δti+1/2 = ti+1-ti y se redefinen los medios pasos para la velocidad angular y rotación en el tiempo t=i+1,
como sigue:
tii 2121 (13)
211 iii t (14)
donde los valores iniciales de i y 21i (i=0) son cero.
Las diferentes soluciones obtenidas en este trabajo tienen en cuenta: (1) la pérdida de energía debido al impacto entre
el cuerpo y la base; esto se hace a través de un coeficiente de restitución estimado a partir de la ec. 12, que
depende de la esbeltez del bloque, de la componente rotacional de la excitación y que indica como la velocidad
angular después del impacto es una fracción de la que el cuerpo tenía antes del mismo y (2) el cuerpo comienza a
balancearse en el momento en que supera un cierto límite de intensidad obtenido del equilibrio de momentos en el
vértice en contacto con la superficie dado por ecs. 8 y 9; debido a que sólo se consideró movimiento horizontal, se
asegura que el cuerpo estará siempre en contacto con la superficie de apoyo en el edificio y que la fuerza vertical que
actúa en su centro de masa es siempre mayor que cero.
CASO DE APLICACIÓN: EDIFICIOS DE 5, 10 Y 15 PISOS
Este trabajo busca caracterizar la respuesta dinámica de bloques rígidos simplemente apoyados que se encuentran en
edificios con IDSE. Para este fin: (1) se analizaron tres modelos que representan edificios de características comunes
y estructuración regular en altura y (2) se ubican los edificios en un sitio cuyas propiedades son representativas del
subsuelo del valle de México, con un periodo dominante común para la zona blanda de la ciudad (~2 s). Los
resultados en cuanto a la variación del movimiento en altura dentro del edificio y su afectación en la dinámica de
contenidos rígidos, son obtenidos con modelos simplificados que consideran o no el efecto IDSE.
DESCRIPCIÓN DE LOS EDIFICIOS MODELADOS
Con fines ilustrativos, se analizó la respuesta de edificios de 5, 10 y 15 pisos con base cuadrada y altura de entrepiso
de 3m, a excepción de planta baja (figura 5). Para ello, se utilizó un modelo con regularidad estructural en altura y se
considera como modelo base, el edificio descrito en la sección de análisis de efectos de IDSE del Manual de Diseño
por Sismo de la Comisión Federal de Energía (CFE, 1993). El edificio se propuso estructurado a base de marcos
caracterizados por su rigidez de entrepiso y conectados por medio de un sistema de piso indeformable (diafragma
rígido). La relación de esbeltez del edificio H/B se mantuvo casi constante, alrededor de un valor de 1.5. El peso de
cada entrepiso se propuso proporcional a su área. Las rigideces de entrepiso se calcularon mediante la suma de las
rigideces de cada uno de los marcos que conforman cada entrepiso. La cimentación consiste de un cajón con
diferentes profundidades de desplante para los distintos edificios (2.5, 5 y 7.5m para los edificios de 5, 10 y 15
niveles, respectivamente). Los periodos fundamentales de los edificios en base rígida son de Te=0.49s
(e=12.74rad/s), Te=1.16s (e=5.39rad/s) y Te=1.59s (e=3.94rad/s).
DESCRIPCIÓN DE LA CIMENTACIÓN
Para el cálculo de las propiedades de la cimentación de los modelos, tales como la profundidad de desplante, D, el
momento polar de inercia, Jc, y la masa de la cimentación, Mc, se buscó mantener constantes los parámetros
adimensionales que influyen directamente en la respuesta dinámica de estructuras sobre base flexible. Como el
modelo estudiado en este trabajo considera un solo estrato homogéneo, se estableció un único espesor del estrato
Hs=17.5 m y una velocidad de propagación de ondas de cortante de Vs = 100 m/s representativa de la zona (Smith y
Wu, 1997; Wu et al., 1999, Chow y Hao, 2005; Stehemeyer y Rizos, 2008; Carbonari et al., 2011, entre otros). En la
Tabla 1, se presentan: (1) los parámetros estructurales equivalentes para el caso considerando IDSE y (2) el
parámetro γ representativo de la relación entre las rigideces de la estructura y el suelo (NTCS-2004); a medida que el
valor de γ es menor, la rigidez del suelo respecto a la estructura es menor y por lo tanto se espera que los efectos
IDSE sean más significativos.
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Figura 5 Edificios desplantados en terreno blando de la ciudad de México con 5, 10 y 15 pisos
Tabla 1. Parámetros equivalentes de IDSE para los tres edificios en estudio
Base Rígida Base Flexible
Edificio He (m) Te (s) T͂e (s)
5 11.35 0.49 0.7603 0.59
10 21.23 1.16 0.9595 1.30
15 31.25 1.59 0.8914 1.80
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MOVIMIENTO SÍSMICO DE ENTRADA
Con fines prácticos y para evaluar el efecto de IDSE sobre los edificios en estudio, se considera como movimiento de
campo libre el movimiento sísmico registrado en el sitio SCT (Secretaría de Comunicaciones y Transportes) durante
el evento sísmico del 19 de septiembre de 1985. Los efectos de sitio debidos al terreno de desplante no se calcularon,
considerando que están incluidos en el registro correspondiente; esto con la finalidad de que los cambios observados
entre las respuesta de las estructuras con base rígida y base flexible sean asociados exclusivamente a los efectos
IDSE. Sin embargo, es de esperarse que un edificio en un terreno que corresponda a base rígida esté sometido a un
movimiento representativo de suelo firme. Adicionalmente, se obtuvo la componente rotacional para los tres
edificios de 5, 10 y 15 pisos debido a la IDSE a partir de las ecs. 1 a 4. En la figura 6 se presenta el movimiento
sísmico empleado como entrada en la base del edificio e inmediatamente abajo, su correspondiente componente
rotacional.
Figura 6 Movimientos sísmicos considerados para los edificios de 5, 10 y 15 pisos: componente horizontal
(arriba) y componente rotacional (abajo)
En la figura 7 se presenta el espectro de respuesta para el sismo del 19 de septiembre de 1985, ubicando los periodos
estructurales de los tres edificios en estudio, considerando Te para el caso de base rígida y T͂e para base flexible (ver
Tabla 1). En todos los casos, cuando se considera el efecto de IDSE: (1) el periodo fundamental de cada estructura
Te, aumenta a un periodo fundamental con IDSE, T͂e, y (2) la ordenada espectral asociada, alcanzaría mayores o
menores valores dependiendo de la zona del espectro de donde se ubique (para los casos en estudio la ordenada
espectral se incrementa; de 2.4 a 2.54m/s2 para el edificio de 5 pisos, de 2.54 a 2.78m/s2 para el edificio de 10 pisos
y de 4.36 a 6.60 m/s2 para el edifico de 15 pisos). Cabe señalar, que si alguno de los edificios se encontrarán en la
caída del espectro de respuesta (Te o T͂e > Ts), el cambio del periodo fundamental considerando IDSE llevaría a
ordenadas espectrales menores para el periodo fundamental de la estructura, reduciendo las fuerzas inerciales
actuantes. Es importante hacer notar que, para el caso de los edificios de 5 y 10 niveles estudiados, los incrementos
en los niveles de aceleración espectral son inferiores al 10%. Para el caso del edificio de 15 niveles este incremento
anda del orden del 34%.
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Figura 7 Espectro de respuesta del sismo del 19 de septiembre de 1985 registrado en la estación SCT. Se
ilustra el cambio de periodo fundamental de los edificios considerando base rígida, Te y base flexible, T͂e (ver Tabla 1)
MOVIMIENTOS DE PISO
En la figura 8 se presenta el movimiento por piso para los edificios en estudio y considerando efectos de IDSE:
edificio de 5 pisos (columna izquierda), 10 pisos (columna central) y 15 pisos (columna derecha). Nótese que, las
historias de aceleración a nivel de planta baja PB son similares en intensidad pico; del orden de 1.58, 1.62 y 1.77m/s2
para los edificios de 5, 10 y 15 pisos, respectivamente. En este caso, la cimentación actúa como un filtro que permite
el paso, especialmente de ondas de baja frecuencia. En pisos superiores, se observa como la intensidad se amplifica
con respecto al nivel de planta baja (PB); por ejemplo, con respecto a la azotea estas amplificaciones son del orden
de 1.86, 1.91 y 4.48 para los edificios de 5, 10 y 15 pisos, respectivamente.
Por otro lado, para el caso de edificios con base rígida (sin IDSE), la aceleración máxima a nivel de PB es de
1.60m/s2 para los casos analizados. Respecto a los niveles de amplificación en azotea, estos son menores y del orden
de 1.71, 1.82 y 3.41 para los edificios de 5, 10 y 15 pisos, respectivamente. Este comportamiento es de esperarse
debido al cambio en los niveles de aceleración espectral de los edificios con base rígida y con base flexible. Sin
embargo el incremento en el nivel de amplificación es menor al incremento en el nivel de aceleración. Por ejemplo,
para el edificio de 15 niveles el incremento de la aceleración espectral es de alrededor de 1.5 debido a la IDSE,
mientras que en términos de amplificación, el incremento es de alrededor de 1.3 debido a la IDSE. Estas diferencias
muestran que, las modificaciones que introduce la presencia de efectos de IDSE sobre los parámetros dominantes de
la respuesta estructural pueden ser de diferente naturaleza.
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4
Sa
(m/s
/s)
Periodo (s)
T͂eTe T͂eTe T͂eTe
2.542.40 2.54
2.78
4.36
6.60
EDIFICIO 15 NIVELESEDIFICIO
10 NIVELESEDIFICIO 5 NIVELES
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Figura 8 Movimiento en diferentes niveles de los edificios en estudio considerando efectos de IDSE; edificio de 5 pisos (izquierda), 10 pisos (centro) y 15 pisos (derecha)
RESPUESTA DINÁMICA DE BLOQUES RÍGIDOS CON Y SIN IDSE
Para un bloque rectangular rígido 0.60×2.4m
A continuación, se presenta la respuesta dinámica de un bloque rígido representativo de contenidos que comúnmente
se encuentran en edificios ante los movimientos de piso descritos en la sección previa. El bloque considerado tiene
dimensiones absolutas ancho×alto de 0.60×2.4m, respectivamente. Este se asocia a un cuerpo esbelto cuyo ángulo de
esbeltez es menor de 20º o cuya relación de esbeltez h/b es mayor de 2.75. Correspondería a algunos contenidos tipo
empleados para almacenamiento (racks, libreros u archiveros), para protección de equipos (UPS) y como decoración
(esculturas), comúnmente encontrados en almacenes, oficinas y/o museos; algunos de ellos con importante
propensión a dañarse de forma importante si se vuelcan.
En la figura 9 se presentan las historias de rotaciones en el tiempo para el bloque rígido de estudio, ubicado en
diferentes pisos de los tres edificios analizados: 5 pisos (columna izquierda), 10 pisos (columna central) y 15 pisos
(columna derecha). En esta figura 9 los resultados se agrupan de la siguiente manera: (1) sin considerar efectos de
IDSE, (2) considerando efectos de IDSE y (3) considerando efectos de IDSE pero para valores de la componente
rotacional nulos (0=0). Dentro de los resultados mostrados es posible identificar los tres modos de respuesta tipo
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que desde el reposo y sin deslizamiento puede presentar un bloque rígido: reposo, balanceo y volteo. Se observa que,
en el caso de volteo, este modo de respuesta puede ocurrir repentinamente (sin impacto) o después de oscilar
repetidamente e impactar con la superficie de apoyo.
Se observa, por lo menos para el bloque de estudio y el movimiento seleccionado, que: (1) al menos para planta baja
(PB), el efecto de IDSE no es significativo; el mismo cuerpo se mantiene en reposo, (2) para edificios bajos (5
niveles), el efecto IDSE permite alcanzar oscilaciones importantes en nivel de azotea del orden de 20º y volteo en
niveles intermedios-superiores (figura 9b, niveles N4 y N5), (3) En general, el efecto IDSE afecta el comportamiento
de los contenidos, provocando el volteo de los mismos desde niveles inferiores donde antes no se presentaba caída y
cambiando la dirección de caída, respecto a los resultados obtenidos sin IDSE y (4) el no considerar la componente
rotacional de la excitación (figura 9c), reduce la amplitud de los giros del bloque evitando su volteo; la importancia
de la componente rotacional del movimiento en la base del objeto radica en que lo hace más propenso a colapsar (ver
historia de rotaciones en niveles N4 y N5 para los casos con y sin efecto IDSE).
a)
Figura 9 Respuesta de bloque rígido: a) sin IDSE, b) con IDSE y c) con IDSE (=0)
XIX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2014
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b)
c)
Figura 9 Continuación
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Curvas de volteo con y sin efecto IDSE
Con fines ilustrativos, se construyen también las curvas de volteo para los movimientos estimados en los diferentes
niveles de los edificios en estudio; estas curvas se obtienen para cuerpos rígidos rectangulares de ancho 2b y altura
2h e indican, regiones de estabilidad donde el cuerpo permanece en reposo/balanceo (Zona I por debajo de la curva)
y volteo (Zona II por encima de la curva). Además, se indica con línea azul el límite para considerar que un objeto es
robusto (objetos debajo de la línea azul) y esbelto (objetos arriba de la línea azul). La forma de estas curvas depende
del tipo y las características del movimiento de excitación (p.e. Arredondo y Reinoso, 2008). En la figura 10 se
presentan las curvas de volteo para diferentes movimientos de piso descritos en los tres edificios considerados: 5
pisos (columna izquierda), 10 pisos (columna central) y 15 pisos (columna derecha); lo anterior como sigue: (1) sin
considerar efectos de IDSE (figura 10a), (2) considerando efectos de IDSE (figura 10b) y (3 considerando efectos de
IDSE pero para valores de la componente rotacional nulos (0=0) (figura 10c).
a)
b)
c)
Figura 10 Curvas de volteo para los movimientos en diferentes niveles de los edificios en estudio: a) sin
IDSE, b) con IDSE y c) con IDSE (0=0). Con un punto rojo se indica el bloque rígido de 0.60×2.4m
0
1
2
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8
Alt
ura
(m
)
Semi-base (m)
PB
N4
N5
N10
N15
ZONA II
ZONA I
0
1
2
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8
Alt
ura
(m
)
Semi-base (m)
ZONA II
ZONA I
0
1
2
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8
Sem
i-al
tura
(m
)
Semi-base (m)
ZONA II
ZONA I
0
1
2
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8
Alt
ura
(m
)
Semi-base (m)
PB
N4
N5
N10
N15
ZONA II
ZONA I
0
1
2
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8
Alt
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(m
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Semi-base (m)
ZONA II
ZONA I
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2
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Sem
i-al
tura
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Semi-base (m)
ZONA II
ZONA I
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(m
)
Semi-base (m)
PB
N4
N5
N10
N15
ZONA II
ZONA I
0
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0 0.2 0.4 0.6 0.8
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Semi-base (m)
ZONA II
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Sem
i-al
tura
(m
)
Semi-base (m)
ZONA II
ZONA I
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Se puede observar que: (1) en edificios de 5 pisos (figura 10, izquierda), las curvas de volteo resultan similares en los
diferentes niveles del edificio con y sin IDSE, (2) en edificios más altos, de 10 y 15 pisos (figura 9, centro e
izquierda), la curva de volteo con IDSE y considerando la componente rotacional presenta menor pendiente que
aquella considerando base rígida y, por ende tiende a volcar más objetos y (3) para los casos estudiados, las curvas
de volteo para el caso con IDSE y para el caso con IDSE + 0=0 son muy similares y, la cercanía de las dimensiones
del cuerpo rígido en estudio (representadas por un círculo rojo) respecto a las mismas, puede provocar
interpretaciones subjetivas (volteo o no volteo de un objeto) para el evaluador.
CONCLUSIONES
Se realiza un análisis de la influencia de los efectos de interacción dinámica suelo-estructura (IDSE) en el
comportamiento de cuerpos rígidos dentro de las edificaciones. Para ello se propone un modelo dinámico para la
estimación de la respuesta por volteo de un bloque rígido no simétrico libremente apoyado sujeto a la acción
conjunta de un movimiento con componentes en traslación y en rotación. Se asume que la fricción entre el bloque y
la base es suficientemente grande para que no se produzca deslizamiento del bloque. Acorde a los resultados del
ejemplo ilustrativo presentado, se observó lo siguiente:
1) Los resultados muestran que es importante considerar los efectos tanto cinemáticos como inerciales de la
IDSE.
2) Acorde al modelo propuesto del bloque rígido sugiere que en algunos casos, cuando las dimensiones del
bloque se ubican muy cercana a la curva de volteo, el ignorar los giros producidos por la IDSE puede
producir que se predigan modos de respuesta erróneos del mismo bloque.
3) En general, para los edificios aquí estudiados, se muestra que en los edificios con base flexible los cuerpos
rígidos son más susceptibles a sufrir volteo. Esto está asociado tanto a las modificaciones en el movimiento
en cada entrepiso debidas al cambio de periodo como, a las modificaciones introducidas por el movimiento
de cuerpo rígido (giros y traslaciones adicionales).
4) En términos de la curvas de volteo, se mostró que para los casos aquí estudiados, el considerar los efectos
IDSE producen que las combinaciones de semi-dimensiones h y b para las cuales los cuerpos son
susceptibles a voltearse sean mayores. Esto se manifiesta mediante una reducción en la pendiente de las
curvas de volteo, produciendo que el área de las zonas de volteo (Zona II) sea mayor en todos los casos para
los edificios con base flexible respecto a los de base rígida.
5) Como era de esperarse, las diferencias de la respuesta de los bloques en edificios con base rígida y base
flexible se acentúan a medida que se consideran niveles superiores en la estructura.
En futuros trabajos, para establecer de una manera más clara la influencia de los efectos IDSE en el comportamiento
de los contenidos dentro de las estructuras, se recomienda necesario estudiar algunas otras variables como pueden
ser: distintos tipos de movimiento, estructuras con diferentes relaciones de esbeltez, distintos tipos de suelo, bloques
rectangulares robustos y esbeltos, bloques asimétricos, entre otros.
AGRADECIMIENTOS
Los autores reconocen que esta investigación se desarrolló en conjunto con el Dr. Eduardo Reinoso Angulo del
Instituto de Ingeniería (UNAM). Debido a restricciones existentes sobre el número de publicaciones en que se puede
participar como autor principal o coautor su nombre no se incluyó en la primera página del artículo.
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