comportamento di sistemi non lineari
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8/15/2019 Comportamento di sistemi non lineari
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Comportamento diComportamento diComportamento diComportamento di
sistemi non linearisistemi non linearisistemi non linearisistemi non lineari
Roberto PisanoRoberto PisanoRoberto PisanoRoberto Pisano
Dipartimento di Scienza Applicata e Tecnologia
e-mail: [email protected]
Tel. 011 0904679
POLITECNICO DI TORINO
Corso di Laurea in Ingegneria Chimica e Alimentare
SinossiSinossiSinossiSinossi
1. Introduzione
2. Linearizzazione di equazioni di differenziali
3. Esempio
Politecnico di Torino – Controllo e strumentazione per processi chimici Lezione 06 – 2/13
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8/15/2019 Comportamento di sistemi non lineari
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IntroduzioneIntroduzioneIntroduzioneIntroduzione
Il comportamento dinamico di un processo è descritto da equazioni
differenziali che spesso sono non lineari.
Non è ancora stata sviluppata una teoria matematica che permette di
derivare la soluzione analitica di un’equazione differenziale ordinaria
non lineare.
Le equazioni differenziali ordinarie lineari invece hanno soluzione
analitica in forma chiusa, ovvero dispongono di almeno una
soluzione che può essere espressa in termini di una combinazione
finita di funzioni elementari.
Politecnico di Torino – Controllo e strumentazione per processi chimici Lezione 06 – 3/13
Modelli per processi non lineariModelli per processi non lineariModelli per processi non lineariModelli per processi non lineari
La teoria alla base della progettazione dei sistemi di controllo è statasviluppata per i sistemi lineari. Purtroppo pochi progressi sono stati
compiuti nello sviluppo di una teoria di controllo per sistemi non
lineari.
Al fine di studiare il comportamento dinamico di un processo non
lineare, si può utilizzare uno dei seguenti approcci:
1. Risolvere il sistema di equazioni non lineari per via numerica;
2. Trasformare il sistema non lineare in un sistema lineare per
mezzo di una trasformazione di variabili;
3. Derivare un modello lineare del processo in un intorno dellostato stazionario iniziale.
Politecnico di Torino – Controllo e strumentazione per processi chimici Lezione 06 – 4/13
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Modelli per processi non lineariModelli per processi non lineariModelli per processi non lineariModelli per processi non lineari
Metodo 1 – Soluzione numerica
In passato l’impiego di metodi numerici per la soluzione di sistemi diequazioni non lineari era sconsigliato, perché onerosa in termini di
sforzo di implementazione e risorse di calcolo. Oggi questo approccio
è fattibile.
Metodo 2 – Trasformazione di variabili
La trasformazione di variabili non è sempre fruttuosa, quindi è
raramente utilizzabile.
Metodo 3 – Linearizzazione
L’operazione di linearizzazione in un intorno (di una condizione
operativa) è sempre implementabile, ma introduce un «errore» tra il
modello originale (non lineare) e quello linearizzato. Questo errorenon è costante, ma è tanto più grande quanto più si è lontani
dall’intorno di approssimazione.
Politecnico di Torino – Controllo e strumentazione per processi chimici Lezione 06 – 5/13
SinossiSinossiSinossiSinossi
1. Introduzione
2. Linearizzazione di equazioni di differenziali ordinarie
3. Esempio
Politecnico di Torino – Controllo e strumentazione per processi chimici Lezione 06 – 6/13
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8/15/2019 Comportamento di sistemi non lineari
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Linearizzazione di equazioni differenzialiLinearizzazione di equazioni differenzialiLinearizzazione di equazioni differenzialiLinearizzazione di equazioni differenziali
Per trasformare un sistema non lineare di equazioni differenziali
ordinarie in un sistema lineare, si può utilizzare lo sviluppo in serie di
Taylor troncandolo al termine del primo ordine.
Equazione differenziale in una variabile L’espansione in serie di Taylor in un intorno di produce:
Il sistema linearizzato è:
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Linearizzazione di equazioni differenzialiLinearizzazione di equazioni differenzialiLinearizzazione di equazioni differenzialiLinearizzazione di equazioni differenziali
La linearizzazione delle equazioni può essere fatta rispetto allevariabili di stato/uscita come nell’esempio precedente, ma anche
rispetto alle variabili di ingresso. L’espansione in serie di Taylor in un intorno di troncata alprimo ordine, produce: Il sistema linearizzato è:
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Linearizzazione di equazioni differenzialiLinearizzazione di equazioni differenzialiLinearizzazione di equazioni differenzialiLinearizzazione di equazioni differenziali
Sistema di due equazioni differenziali in due variabili
L’espansione in serie di Taylor in un intorno di troncataal primo ordine, produce: Il sistema linearizzato è:
Politecnico di Torino – Controllo e strumentazione per processi chimici Lezione 06 – 9/13
SinossiSinossiSinossiSinossi
1. Introduzione
2. Linearizzazione di equazioni di differenziali ordinarie
3. Esempio
Politecnico di Torino –Controllo e strumentazione per processi chimici Lezione 06 – 10/13
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8/15/2019 Comportamento di sistemi non lineari
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EsempioEsempioEsempioEsempio
Si consideri il modello derivato per il serbatoio di stoccaggio di un
liquido con scarico libero in atmosfera.
Modello non lineare Modello linearizzato in un intorno di
Come cambia la predizione del modello a fronte dell’operazione di
linearizzazione?
A questo scopo si consideri il caso di un disturbo di tipo gradino diampiezza «».
Politecnico di Torino –Controllo e strumentazione per processi chimici Lezione 06 – 11/13
eφ
uφ h
In prossimità di le predizioni dei due modelli sono identiche L’errore di predizione del modello lineare cresce con il tempo,
poiché ci si allontana da Il modello lineare non fornisce una risposta lineare
EsempioEsempioEsempioEsempio
Politecnico di Torino –Controllo e strumentazione per processi chimici Lezione 06 – 12/13
0 5 10 15-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
tempo, min
y , m
Modello non
lineare
Modello
lineare
eφ
uφ h
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Si consideri il seguente modello non lineare:
Utilizzare lo sviluppo in serie di Taylor per linearizzare l’anzidetta
equazione in un intorno di
Esercizio di verificaEsercizio di verificaEsercizio di verificaEsercizio di verifica
Politecnico di Torino –Controllo e strumentazione per processi chimici Lezione 06 – 13/13