Tema  9:  Números  complejos               1º  de  Bachillerato  A  –  Lola  Morales                            IES  Profesor  Máximo  Trueba  

     

La  unidad  imaginaria,  i,  es  aquel  número  que  elevado  al  cuadrado  da  -­‐1,  es  decir,  ! = −!.  Una  expresión  de  la  forma  ! + !",  con  !, ! ∈ ℝ,  se  llama  número  complejo.  Llamaremos  a  !  parte  real  y  a  !",  parte  imaginaria.  

 

Ejemplo:  La  ecuación  !! + 4 = 0  tiene  como  soluciones  ! = ± −4,  es  decir,  ! = 2!  y  ! = −2!.    

Un  número  complejo  se  representa  en  un  plano  infinito  al  que  llamaremos  plano  complejo  de  modo  que  la  parte  real  se  represente  en  el  eje  de  abscisas  (o  eje  real)  y  la  parte  imaginaria,  en  el  eje  de  ordenadas  (o  eje  imaginario).  La  expresión  de  un  complejo  como  ! + !"    se  llama  forma  binómica  (más  adelante  veremos  otras  dos  formas  de  escribirlo).  Podemos  ver  cada  número  complejo  ! + !"  como  un  punto  del  plano  (llamado  afijo).  Si  b=0,  podemos  identificar  el  número  complejo  con  un  número  real.  Así,  podemos  ver  los  números  reales  como  un  conjunto  contenido  en  los  números  complejos,  ℝ ⊂ ℂ.  En  el  caso  en  el  que  a=0,  diremos  que  se  trata  de  un  número  imaginario  puro.      

El  conjugado  de  un  número  complejo  ! = ! + !"  es  el  número  complejo  ! = ! − !".  El  opuesto  de  !  sería  – ! = −! − !".      

Hay  que  tener  en  cuenta  que  !! = −1, !! = −!, !! = 1, !! = !, !! = −1, !! = −!, !! = 1  y  así  sucesivamente…      

• Suma  (y  resta):   ! + !" + ! + !" = ! + ! + ! + ! !  • Producto:   ! + !" · ! + !" = !" + !"# + !"# + !"!! = !" − !" + !" + !" !        • Cociente:  !!!"

!!!"= !!!"

!!!"· !!!"!!!"

= !"!!" ! !"!!" !!!!!!!!

= !"!!"!!!!!

+ !"!!"!!!!!

!      (Multiplicamos  y  dividimos  por  el  conjugado  y  operamos)    

Ejemplo:   !!!!!!!!!

=   !!!!!!!!!

· !!!!!!!!!!

= !!!!!!!"!!!!!

!!!!!!!= !!!

!"− !"

!"!    

  Cálculo  del  inverso:   !!!!!

= !!!!!

· !!!!!!!!

= !!!!!!!

= !!"+ !

!"!  

 Podemos  ver  un  complejo  ! = ! + !"  como  un  punto  del  plano  que  queda  identificado  por  su  vector  de  posición  y  el  ángulo  que  forma  

con  la  parte  positiva  del  eje  OX.  De  este  modo,  tendríamos  que  el  módulo  del  complejo  ! = ! + !"  es  el  módulo  de  tal  vector,  es  decir,  ! = ! = !! + !!.  Del  mismo  modo,  el  argumento  !  es  el  ángulo  que  forma  con  la  parte  positiva  del  eje  OX  (0 ≤ ! < 2!).  De  este  modo,  el  complejo  ! = ! + !"  en  forma  polar  se  escribiría  ! = !!.  A  la  vista  del  dibujo  vemos  que  !" ! = !

!  .  Por  tanto,  podemos  pasar  de  forma  

binómica  a  polar  teniendo  en  cuenta  los  signos  de  !  y  !  a  la  hora  de  determinar  el  cuadrante  del  ángulo.      

Ejemplo:  Si  queremos  pasar  el  complejo  −3 + 3!  a  forma  polar,  tenemos  que  el  módulo  es  ! = 9 + 9 = 18 = 3 2.  Además,  !" ! = !

!!= −1,  con  lo  que  el  argumento  es  ! = arctg −1 .  Hay  dos  ángulos  cuya  tangente  vale  −1:  135°  y  315°,  

pero  teniendo  en  cuenta  que  el  número  complejo  está  en  el  2º  cuadrante  (basta  dibujarlo)  vemos  que  el  ángulo  es  por  tanto  ! = 135°,  con  lo  que  la  forma  polar  del  complejo  −3 + 3!  sería  3 2!"#°.  

Hay  otro  modo  de  ver  un  complejo  ! + !"  teniendo  en  cuenta  la  expresión  en  forma  polar,  ya  que  vemos  que  ! = ! · !"# !  y  ! = ! · !"#  !,  con  lo  que  su  forma  trigonométrica    es  ! + !" = ! · !"# ! + ! · !"#  ! ! = !(!"#! + !  !"#  !)    

Ejemplos:    • Expresa  4!""°  en  forma  binómica  y  trigonométrica:  4!""° = 4 !"# 100° + !  !"#100° ≈ −0.69 + 3.94  !  • Expresa  3(cos 50° + !  !"#  50°)  en  forma  binómica  y  polar:  Por  un  lado,  3 cos 50° + !  !"#  50° = 3!"°.  Además,  

3 cos 50° + !  !"#  50° ≈ 1.93 + 2.30  !.  • Expresa  3 − 4!  en  forma  polar  y  trigonométrica:  ! = 9 + 16 = 5;  ! = !"#$% − !

!≈ 306.9°  (está  en  el  4º  

cuadrante).  Por  tanto,  3 − 4! = 5!"#.!° = 5(!"# 306.9° + !  !"#  306.9°).    Para  la  suma  y  resta  es  preferible  usar  la  forma  binómica.    

• Producto:  !! · !′! = ! · !! !!!.  Ejemplo:  3!"° · 4!"° = 12!"#°  • Cociente:   !!

!!!= !

!! !!!  .  Ejemplo:   !!"°

!!"°= !

! !!"°= 2!"#°  

• Inverso:   !!!= !!°

!!= !

! !!!= !

! !!= !

! !"#!!.  Ejemplo:   !

!!"°= !

! !!!"= !

! !"#°  

• Potencia:   !! ! = !!"! .  Ejemplo: 3!"° ! = 81!"°  

NÚMEROS  COMPLEJOS  

Definiciones        

Operaciones  en  forma  binómica        

Formas  polar  y  trigonométrica        

Operaciones  en  forma  polar