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Domingo PaolaLiceo Issel di Finale Ligure

G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova

Competenze e conoscenze matematiche essenziali nel primo bienno della scuola secondaria di secondo grado

Lodi, Dicembre 20111

http://www.matematica.it/paola

Gruppo di lavoroPierangela Accomazzo, Marilina Ajello, Gianpaolo Baruzzo, Silvia Beltramino, Sebastiano Cappuccio, Maria Angela Chimetto, Rossella Garuti, Raffaella Manara, Paola Ranzani, Riccardo Ruganti, Luigi Tomasi e Sergio Zoccante, coordinati da Ercole Castagnola

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Documento sintetico

Documento esteso

Linee guida

- Continuità con le attuali Indicazioni nazionali per la Scuola del Primo Ciclo.

- Coerenza con le Indicazioni nazionali e la normativa in vigore sull’obbligo scolastico.

- Flessibilità delle proposte didattiche.

- Materiali scelti prevalentemente tra quelli disponibili in rete di sicura affidabilità e già sperimentati.

- Esempi per un uso consapevole dello strumento informatico.

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- Esempi di realizzazione di momenti di Didattica laboratoriale.

- Esempi di prove di verifica.

- Particolare attenzione alle “novità” delle Indicazioni relative agli ambiti “Geometria” e “Dati e previsioni”.

- Indicazioni su pratiche didattiche da evitare.

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Nodi critici della prassi didatticaTre esempi

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Alcune idee fondanti1.

l’esperienza come “fare ragionando”: agire della persona in modo consapevole e critico, progettando i procedimenti di esplorazione, costruzione e risoluzione che si intraprendono, e sottoponendoli poi a riflessione, discussione, analisi critica e verifica.

Uso sensato delle tecnologie per l’avvio al sapere teorico e alla costruzione di significato

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Un primo esempio

Considerate i rettangoli del piano aventi perimetro fissato, per esempio uguale a 12 cm. Che cosa potete dire della loro area?

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Livello percettivo

Livello relazionale

Livello funzionale

(3 – x )(3 + x) = 9 – x 2

Livello formale/simbolico

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Livello percettivo

Livello relazionale

Livello funzionale

(3 – x )(3 + x) = 9 – x 2

Livello formale/simbolico

Spiegare perché

Questo è ciò che intendoQuando dico “studiare la variazione”

Da un punto di vista teorico

Guardare a un fenomeno con le lenti della teoria

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Un secondo esempio

20 cm 22

cm

9 cm10 cm

Si consideri un rettangolo; che cosa capita alla su a area se un lato diminuisce del 10% e l'altro aumenta del 10%?

È solo con il ricorso al linguaggio algebrico che la situazione può essere interpretata in forma chiara e incontrovertibile: se il rettangolo di partenza ha lati di lunghezza a e b, l'area del secondo rettangolo vale 1,1 a .

0,9b = 0,99ab cioè l'area diminuisce dell'1%.

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Indicazioni didattiche per l’insegnamento-apprendim ento dell’algebra

Cercare di equilibrare la richiesta di trasformazioni sintattiche di espressioni algebriche, tipica della prassi didattica, con la richiesta di produzione di espressioni e loro successiva interpretazione.

Equilibrare la direzione flessibile e orientata a uno scopo (peresempio per dimostrare, oppure per modellizare o per risolvere problemi) con la semplificazione meccanica di espressioni.

Gestire la delicata dialettica fra la trasparenza di un simbolo e la sua capacità di essere manipolato.

Essere capaci di vedere una stessa espressione sia come processo, sia come prodotto

Essere in grado di gestire la dialettica tra i diversi sensi di espressioni che hanno lo stesso significato

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14

Argomentare, discutere, spiegare, giustificare, come competenze centrali nelle attivitàmatematiche e, più in generale, come obiettivi prioritari della formazione intellettuale del cittadino

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Costruire una cultura dell’argomentazione in classe richiede:

Costruire conoscenze sugli oggetti dell'argomentazione

Costruire competenze per la gestione, sul terreno logico e linguistico, dei passi di ragionamento e della loro concatenazione: uso corretto dei connettivi linguistici che esprimono e permettono le inferenze, padronanza logica delle concatenazioni linguistiche dei passi di ragionamento …

Condividere modelli di argomentazione corrispondenti a diversi tipi di giustificazione (deduttivi, induttivi, abduttivi, uso di esempi e contro-esempi …)

Interiorizzare i valori culturali insiti nell'argomentazione; quindi scegliere la via dell'argomentazione come modalità privilegiata per fare valere le proprie ragioni, per giustificare le proprie scelte o per assicurare la conformità del proprio prodotto agli standard culturali della comunità di appartenenza.

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Il soddisfacimento della seconda e della quarta condizione appare non scontato, non facile (soprattutto quando manca un adeguato retroterra culturale famigliare) e da curare sul piano culturale e didattico con una progettazione a lungo termine e di ampio respiro a partire dalla scuola primaria (o addirittura dalla scuola dell'infanzia).

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Un esempioAriele (A) e Calibano (C) giocano a testa o croce con una moneta non truccata. Vince tutta la posta in gioco (24 denari) chi, per primo, indovina sei esiti.

Se la partita viene interrotta da Prospero sul 5 a 3 per A, come deve essere suddivisa la posta in modo tale che la suddivisione possa essere ritenuta equa sia da A, sia da C?

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La soluzione di Luca Pacioli

in parti direttamente proporzionali al punteggio

5: x = 8 : 24x = 24 * 5 / 8 = 15

Quindi 15 ad A e 9 a C (1494)

Voci dalla storia …

1919

Discussione: la critica di Niccolò Tartaglia

Che succede se il gioco viene interrotto sull’1 a 0 per A? Tutta la posta andrebbe ad A.

C riterrebbe equa la divisione? (1550 circa)…


2020

Francesca: Perché non si decide di dare tutta la posta al giocatore che sta vincendo?

Discussione: in seguito alla critica di Tartaglia

Sonia: Ma in tal caso le parti non sono più eque! Uno che sta perdendo ha ancora possibilità di vincere. La partita non è finita, èsolo stata interrotta dall’intervento di Prospero…Pamela: Sono d’accordo. Dobbiamo tenere conto delle possibilità che Calibano ha ancora di vincere.

Emanuele: Sì, però si potrebbe stabilire che, in ogni caso, chi sta vincendo si prenda tutta la posta! È una scelta come un’altra.Carlo: Allora si potrebbe anche stabilire che si continui a giocare un’altra volta ripartendo dal punto in cui sono rimasti.Sara: Allora potremmo anche decidere di far fuori Prospero!

Insegnante: Non dimentichiamo il problema che ci è stato posto. Deve esserci una suddivisione ed essa deve essere equa …

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Armando: Il massimo punteggio ottenibile è 6. Allora faccio 24 : 6 = 4. Moltiplico 4 per 5 e poi per 3 e ottengo i soldi da dare ad Ariele e quelli da dare a Calibano.

Discussione: in seguito alla critica di Tartaglia

Matteo: Non è possibile! Dovresti dare 32 denari, quando ne hai solo 24. Ottieni un numero più grande della posta!Silvia: Dividiamo 24 per 12. Otteniamo 2. Quindi 2.5= 10 denari ad Ariele e 2.3 = 6 denari a CalibanoArmando: Sì, ha ragione, perché punti totali possibili sono 12…Il fatto è che rimangono 8 denari da spartire fra Ariele e Calibano. Questi, visto che non sono ancora stati assegnati, li possiamo dividere in parti eque, cioè metà per uno. Quindi 10+4 = 14 denari ad Ariele e 6+4 = 10 denari a Calibano.

Isabella: Perché dividi per 12? Non si può mai arrivare a 12 partite.Simona: Il numero massimo di partite è 11.

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Discussione: in seguito alla critica di TartagliaMatteo: A Calibano mancano tre punti per vincere. Ad Arielemanca un punto per vincere. 3+1=4. La posta è 24. 24:4 = 6.6.3 = 18 denari ad Ariele e 6.1 = 6 denari a Calibano.

Simona: Ma no, perché moltiplichi i punti che mancano a Calibanoper ottenere i denari di Ariele e quelli che mancano ad Ariele per ottenere quelli di Calibano?

Armando: 24: 11. Faccio 24: 11, perché i punti totali possibili sono11.Simona: Sì è giusto, ma 24: 11 non è un valore esatto. Allora dobbiamo dare una soluzione approssimata.Davide: Ma basta lasciare la frazione....Emanuele: Sì, lasciamo la frazione. Calcoliamo quanto vale in denari ogni partita. Poi se uno ha vinto x partite moltiplichiamo xper il numero massimo di denari che possiamo attribuire a una partita. Quelli che rimangono li dividiamo in parti uguali.…………………..

2323

Filippo Calandri propone due metodi: uno, come in Pacioli, basato sulle partite vinte, e un altro che guarda alle partite mancanti ai due competitori e divide la posta in proporzione inversa a queste (nel gioco [-2 ; - 3],3 parti ad A e 2 a C). Questo perché "il secondo ha a durare un tanto etmezzo fatica del primo e però il primo arà a trarre un tanto et mezzo del secondo“ (1500 circa)


Quindi, nel gioco [-1; -3] ,18 denari ad A e 6 denari a C, come propone Matteo …

2424

Lorenzo Forestani …… la strategia di Pacioli è criticabile perché, al momento dell’interruzione, la parte di posta non ancora giocata viene suddivisa “per rata de’ colpi fatti, i quali non vi hanno parte alcuna” (1602)


2525

Arrivano Pascal e Fermat …


… e la probabilità (1654)

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5 a 3 per A.Due possibilitàa)vince C e si va sul 5 a 4b)Vince A: la partita finisce A ha il 50% di probabilità di vincere, quindi gli spetta metà della posta: 12 euro.

5 a 4 per A.Due possibilitàa)Vince C e si va sul 5 a 5b)Vince A: la partita finisce A ha il 50% di probabilità di vincere, quindi gli spetta metà della posta restante: 6 euro (ossia 12+6=18 euro)

5 a 5.Due possibilitàa)vince C e la partita finisceb)Vince A e la partita finisce A ha il 50% di probabilità di vincere, quindi gli spetta metà della posta restante: 3 euro. In tutto 12+6+3 = 21 euro ad A e 3 a C

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Centralità del concetto di funzione e uso delle tecnologie per costruire significati

Il problema di Fermat 1



Un esempio

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Dati e previsioni

Un esempio

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• Percorso a lungo termine, che si fonda sullastretta interazione tra discipline diverse

• A.S. 2009-2010

• Scelta espositiva:

– Il contesto in cui e’ stato realizzato il percorso

– Panoramica sull’intero percorso, evidenziandol’interazione tra le discipline, con alcuniesempi di attività proposte

– Approfondimento sull’ultima parte del percorso: il dibattito

Premessa

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• Liceo socio-psico-pedagogico

• Classe prima

• Situazione di partenza:

– atteggiamento negativo verso la matematica,

– atteggiamento poco collaborativo e scarsamotivazione (in tutte le discipline)

– In alcuni casi, esplicito rifiuto del progettoformativo

Il contesto

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• Ha coinvolto docenti di diverse discipline (Matematica, Lettere, in misura minore Psicologia e Diritto)

• Ha permesso di affrontare uno stesso tema (l’IMMIGRAZIONE) utilizzando i metodi delle diverse discipline, per arrivare a una descrizione articolata del fenomeno studiato

• In alcuni casi, ha permesso di svolgere una stessa attività beneficiando degli apporti delle diverse discipline

Percorso interdisciplinare

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• Costruzione di una cultura dell’argomentazione in classe e, più in generale, acquisizione delle competenze di cittadinanza, necessarie a una partecipazione informata e consapevole alla vita pubblica.

• Relativamente alla matematica: sviluppare la capacità di applicare a situazioni reali conoscenze matematiche di base e di riflettere sulle proprie conoscenzee pratiche matematiche, anche per poterle descrivere e giustificare.

Gli obiettivi

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�Saper gestire sul terreno logico e linguistico i passi di ragionamento e la loro concatenazione

�Collaborazione con l’insegnante di Lettere

� Interiorizzare i valori culturali insiti nell'argomentazione, saper scegliere la via dell'argomentazione come modalità privilegiata per fare valere le proprie ragioni, per giustificare le proprie scelte o per assicurare la conformitàdel proprio prodotto agli standard culturali della comunità di appartenenza

L’argomentazione

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• Ordini di grandezza, stime, percentuali

• Rappresentazioni di distribuzioni di frequenza, grafici cartesiani per rappresentare la variazione di grandezze nel tempo

• Scelta di una scala opportuna per le rappresentazioni grafiche

• Lettura di grafici e tabelle

• Differenze finite

• Numeri indici

• Variazioni percentuali e medie

• Funzioni (funzioni lineari)

I contenuti di matematica

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Un esempio di attività introduttiva:la variazione del valore del denaro nel tempo

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Quotidiano (blu)VSPane ( fucsia)

Quotidiano (blu)VSBenzina ( fucsia)

Quotidiano (blu)VSOro ( fucsia)

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Entrano in gioco i numeri indice

A base fissa

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E a base mobile

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Ma come è variato il potere di acquisto del denaro (rispetto al paniere considerato)?

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E come è variato il potere di acquisto del salario (rispetto al paniere considerato)?

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Un secondo esempio di attività:Avvio al problema dell’immigrazione

Italia, Rep. Dem. Congo, India

� Descrivete e confrontate, precisando analogie e differenze, l’evoluzione demografica dei tre Paesi considerati.

� Indicate in quale fase della “transizione demografica”si trova ciascuno dei tre Paesi in esame, esponendo sinteticamente le caratteristiche principali di ogni fase.

� Descrivete e confrontate, precisando analogie e differenze, l’evoluzione dei tassi di alfabetizzazione dei tre Paesi considerati.

� Calcolate, per ciascuno dei tre Paesi, l’evoluzione dal 2003 al 2008 del PIL pro-capite (ossia il PIL per ciascun abitante).

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Popolazione della Repubblica Democratica del Congo (RDC, ex Zaire) in grafico dal 1961 al 2001 e in ta bella dal 2003 al 2008

Un terzo esempio di attività:Avvio al problema dell’immigrazione

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Popolazione dell’India, in grafico dal 1961 al 2001 e in tabella dal 2003 al 2008


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Popolazione dell’Italia in grafico dal 1861 al 2001 e in tabella dal 2003 al 2008


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PIL (in dollari) della RDC PIL (in dollari) dell’India

PIL (in dollari) dell’Italia


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• Immaginate di partecipare a una conferenza mondiale sui mutamenti climatici, nella quale vi èuna forte contrapposizione tra i paesi industrializzati e quelli in via di sviluppo a proposito delle responsabilità relative alle emissioni di CO2.

• Su quali dati che vi sono stati forniti “punterebbero il dito” i primi per enfatizzare le responsabilitàdell’India? Su quale invece “punterebbero il dito” i secondi per sottolineare quelle dei paesi industrializzati? Giustificate la vostra risposta.


Un terzo esempio (elaborazioni di dati e argomentazioni)

Attività conclusiva di un percorso sull’immigrazione: il dibattito

l’Italia e’ un paese accogliente?

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Quattro gruppi:

• due gruppi incaricati di difendere, in modo motivato e documentato, due tesi contrapposte

• i giornalisti, incaricati di preparare una serie di domande da rivolgere ai due gruppi

• il pubblico, incaricato di presentare poi un’analisi motivata del lavoro dei due gruppi, dei punti di forza e di debolezza delle argomentazioni da tre punti di vista: epistemico, teleologico e retorico.

L’organizzazione

L'Italia si è sempre dimostrato un paeseaccogliente per gli immigrati. Non ci sono mai

stati problemi di integrazione per le persone che hanno voglia di lavorare e che non delinquono. E

tutto ciò nonostante il fatto che, in fondo, gli immigrati sono in concorrenza con gli italiani sul

mercato del lavoro, in un periodo in cui la disoccupazione inizia a essere preoccupante,

soprattutto per i giovani del Sud.

Gruppo A

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L'Italia sta diventando sempre più un paese xenofobo , incapace di favorire una reale integrazione di persone che contribuiscono alla vita sociale ed economica del Paese. Tutto ciò comporta il rischio di non riuscire a utilizzare le risorse che gli immigrati offrono per una crescita sociale, economica e culturale del Paese.

Gruppo B

• Lamenta il fatto di aver ricevuto un compito troppo difficile, ovvero una tesi difficile da sostenere

– (attribuzione causale esterna)

• afferma di aver avuto difficoltà a trovare su internet dati e notizie che potessero aiutare a sostenere la tesi

Gruppo A (Paese accogliente)

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Dall’osservazione del dibattito

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Gruppo B (paese xenofobo):

• Elenco sequenziale di informazioni e affermazioni

• Solo raramente è esplicitato il legame logico tra le diverse affermazioni (dati di partenza, conclusioni, garanzie per le conclusioni)

• Uso dei connettivi logici scarso, talvolta improprio

Dall’osservazione del dibattito

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Dibattito acceso e difficile da gestire

Il gruppo A vive le domande come attacchi personali

“Io non sono razzista e sono accogliente, e allora?”

• Atteggiamento dei due gruppi, convinzione e impegno

• Capacità di controbattere alle obiezioni

• Uso di esempi

• Mancanza di dati

Le analisi del “pubblico”

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Diverso uso e valore di esempi e dati statistici

Diverse finalita’ della comunicazione:• Colpire l’attenzione• Convincere • Informare correttamente

L’Italia è un paese xenofobo o accogliente? Io non l’ho ancora capito!

[…]

Entrambi i gruppi hanno portato argomenti poco soddisfacenti, senza tabelle e grafici, che

sicuramente sarebbero stati utili ad ambedue le parti poiché avrebbero reso le loro tesi fondate

perlomeno su studi analitici, e non soltanto delle mere impressioni esposte in maniera poco adatto a un dibattito costruttivo. Infatti il

loro modo aggressivo di comunicare non ha portato ad alcuna valida conclusione.

[…]

Un estratto di uno degli articoli prodotti dal “pubblico”

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L’attività fa imparare qualcosa sulla questione dell’immigrazione e dell’integrazione, e qualcosa

(molto!) sulle modalità di comunicazione e di dibattito.

Questa esperienza può insegnare a guardare in modo più critico le notizie che vengono

presentate dai mass media

Inoltre, un’attività di questo tipo consente di avere informazioni molto fini sulle difficoltà delle

studentesse

Alcune considerazioni conclusive

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Didattica laboratoriale

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Didattica per competenze

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Un esempio di percorso (scritto dal gruppo)

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I anno15 h: Indagine statistica (attività mat.@bel I giovani e la musica).10 h: Numeri naturali, interi e razionali: proprietà e operazioni.5 h: Introduzione al concetto di funzione (attività mat.@bel Introduzione al concetto di funzione).10 h: Recupero, consolidamento e approfondimento delle conoscenze pregresse sulle figure dello spazio e del piano: proprietà essenziali dei triangoli e dei quadrilateri, parallelismo e perpendicolarità. Si consiglia di privilegiare l’aspetto costruttivo e argomentativo, utilizzando anche software di geometria dinamica. (attività [email protected] Esplorazione di figure piane: dalle congetture alla dimostrazione).10 h: Equazioni e disequazioni di I grado (attività [email protected] Equazioni e disequazioni di primo grado).5 h: Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni10 h: Isometrie del piano (attività mat.@bel Tangram e tassellazioni)5 h: Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni5 h: Analisi di diverse funzioni (si consiglia di far riferimento al sito Ma.Co.Sa, andando alle voci Funzioni (1) e (2)).5 h: Calcolo simbolico fino ai prodotti notevoli (attività mat.@belL’aritmetica aiuta l’algebra, l’algebra aiuta l’aritmetica)

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II anno10 h: Approfondimenti su equazioni e disequazioni10 h: Il ruolo del teorema di Pitagora, […] arrivare alla dimostrazione attraverso l’argomentazione. Equivalenza nel piano e misura di superfici. (attività [email protected]: Il teorema di Pitagora tra leggenda e storia)10 h: Introduzione intuitiva dei numeri reali e delle loro rappresentazioni. Operazioni coi numeri irrazionali. 5 h: Approfondimenti di statistica (attività mat.@bel Di media non ce n’èuna sola)15 h: Consolidamento del concetto di funzione. Analisi delle funzionilineari e delle funzioni f(x) = |x|, f(x) = a/x, f(x) = x2 (attività [email protected]: 1) Allineamenti. Esploriamo le funzioni lineari; 2) Diete II.)15 h: Studio di alcuni elementi fondamentali di calcolo delle probabilitàfino alla prima introduzione della probabilità condizionata (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti). (attività mat.@bel Un gioco con tre dadi)10 h: La similitudine nel piano, il teorema di Talete (in modo intuitivo). (attività [email protected]: Ombre e proporzionalità)5 h: Applicazioni della similitudine. Rette nel piano cartesiano, rappresentazione di oggetti algebrici.

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Un altro possibile percorso nel biennio

Elaborazione dati (numeriche e grafiche).

Ordini di grandezza, notazione scientifica, stime; percentuali (il senso del numero).

Funzioni (come scatola nera; rappresentazioni numeriche, grafiche e simboliche; zeri e segni di funzioni lineari e di particolari funzioni quadratiche; modelli lineari e alcuni modelli quadratici).

Proprietà di semplici figure geometriche (deduzioni locali).

Avvio alla probabilità.

Risoluzione di problemi.

Approfondimento: studio di variazioni istantanee.

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C'è chi educaguidando gli altri come cavalli passo per passo;forse c'è chi si sente soddisfattoquando è così guidato.C'è chi educa senzanascondere l'assurdo ch'è nel mondo,aperto a ogni sviluppo ma tentando di essere franco all'altro come a sé,sognando gli altri come ora non sono:ciascuno cresce solo se sognato.

Posso credere una cosa senza capirla: è tutta questione di addestramento! Questa frase… mi torna sempre in mente, come una sensazione paurosa di sconforto, perché mi sembra esprima integralmente la fondamentale e chissà quanto eliminabile stortura che sta effettivamente, anche se non dichiaratamente, alla base di tutta l’imperversante concezione della didatticattica tradizionale: abituare a imparare e credere senza capire”

competenze e conoscenze matematiche essenziali nel primo ... · g.r.e.m.g. dipartimento di...

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