commandes robustes commande crone
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2
Table des matières
I Commande CRONE 5
1 Notions de robustesse 7
2 Rappels : Lieux de Bode, Nyquist, Black 9
3 De la dérivation non entière 113.1 Lieu de Black de cet intégrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Caractérisation fréquentielle 174.1 Point important . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Réponse en fréquence en boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Fréquence de résonance et facteur de résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4 Fréquence propre et facteur d'amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4.1 Relations entre facteur de résonance et facteur d'amortissement . . . . . . . . . 21
5 Synthèse de la commande CRONE : Régulateur idéal 235.1 Choix de ωu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Détermination de l'ordre m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Choix de ωb et ωh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.4 Calcul du gain statique C0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.5 Choix des pulsations ωA et ωB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Régulateur CRONE réel 296.1 Implantation du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 Régulateur à phase variable 337.1 Commandes à grand gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2 Traitement de l'erreur statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Bibliographie 37
3
4 TABLE DES MATIÈRES
Première partie
Commande CRONE
5
Chapitre 1
Notions de robustesse
+-
correcteur systèmeε uc s
Fig. 1.1 � Schéma de principe d'une commande
avec un système de la forme :
H(p) =b0 + b1p + b2p
2... + bmpm
a0 + a1p + a2p2... + anpn.
� si les ai et les bi sont constants, les méthodes de réglages classiques (PID, retour d'état...)permettent de régler convenablement le processus bouclé
� si les ai et/ou les bi varient dans le temps on observe une dégradation des performances et l'onprocède généralement à un réglage dans le "pire des cas" (ex : bras de robots, avions ...)
En fonction de l'amplitude de variation des paramètres et des performances voulues on tenteradans l'ordre :
� PID ou équivalent,� commandes robustes,� commandes adaptatives
7
8 CHAPITRE 1. NOTIONS DE ROBUSTESSE
Chapitre 2
Rappels : Lieux de Bode, Nyquist, Black
Pulsation (rad/sec)
Pha
se (
deg)
; Am
plitu
de (
dB)
−150
−100
−50
0
50
10−1
100
101
102
103
−300
−250
−200
−150
−100
−50
0
∆ G
∆ φ
axe réel
axe
imag
inai
re
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
∆ G
∆ φ
Fig. 2.1 � Diagrammes de Bode et de Nyquist(∆φ : marge de phase, ∆G : marge de gain ).
Phase en boucle ouverte (deg)
Gai
n en
bou
cle
ouve
rte
(dB
)
−300 −250 −200 −150 −100 −50 0−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
∆ φ
∆ G
0 dB
0,25 dB
0.5 dB
1dB
3 dB
−1 dB
6 dB −3 dB
−6 dB
−12 dB
−20 dB
Fig. 2.2 � Abaque de Black.
L'abaque de Black présente l'avantage par rapport aux autres diagrammes de donner directementle comportement du système en boucle fermée en fonction du tracé du système en boucle ouverte. En
9
10 CHAPITRE 2. RAPPELS : LIEUX DE BODE, NYQUIST, BLACK
e�et, le comportement en boucle fermée d'un système est pratiquement déterminé par le point le plusproche du point d'instabilité soit le point d'abscisse 180° et d'ordonnée 0 dB. Ainsi, la résonance est-elledéterminée en regardant quelle courbe iso-amortissement la courbe tracée tangente. En l'occurrence,sur la �gure 2.2, le système ne présentera pas de résonance en boucle fermée (résonance de -2 dB sivous voulez !).
Par contre, si l'on ajoute un gain dans la boucle ouverte (voir �g. 2.3), disons de 14 dB, la nouvellecourbe se déduit de l'ancienne par simple translation verticale (car la phase ne change pas lorsquel'on ajoute un gain !). Cette fois la courbe tangente l'ellipse des 6 dB. Le système présentera donc unerésonance de 6 dB. Nous pourrions même estimer la fréquence à laquelle elle se produit à conditiond'avoir pensé à noter sur la courbe précédente les fréquences auxquelles les mesures ont été faites.
−300 −250 −200 −150 −100 −50 0−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
Gain du corecteur
Fig. 2.3 � Abaque de Black.
Tombé en désuétude avec l'arrivée de moyens de calcul simples et performants, il sera néanmoinsutilisé pour la compréhension de la commande CRONE.
Chapitre 3
De la dérivation non entière
La �gure 3.1 décrit le fameux exemple de la digue poreuse.
avec : M : masse d'eauV : vitesseP : pression = F/SPi : pression dans l'alvéole i
P − Pi : perte de charge dans l'alvéole iQ : = SV débit de l'eau en mouvementQi : débit dans le canal i
Fig. 3.1 � Modèle de la digue.
A�n d'étudier le comportement dynamique de la digue, voyons en premier lieu un schéma équivalentélectrique d'une alvéole de la digue.
avec : U ≡ PUi ≡ Pi
Ii ≡ Qi
Fig. 3.2 � Modèle équivalent électrique d'une alvéole de la digue.
Etant donné la fractalité de la porosité et la récursivité de la fractalité, la digue complète peutêtre modélisée par le schéma électrique de la �gure 3.3. L'hypothèse fondamentale étant que dans unedigue il existe toutes les tailles d'alvéoles.
11
12 CHAPITRE 3. DE LA DÉRIVATION NON ENTIÈRE
Fig. 3.3 � Modèle électrique équivalent de la digue.
Ainsi, en supposant que les di�érentes fréquences de coupure sont proches l'une de l'autre, on peutconsidérer que le diagramme de Bode de ce système peut être approximé par deux droites dont leséquations sont :
phase : mπ
2avec m =
1
1 + log ηlog α
gain : 6m dB/oct
13
Diagramme de Bode asymptotique d'une cellule
Diagramme de Bode asymptotique de deux cellules.
Fig. 3.4 � Diagramme de Bode asymptotique de n cellules.
Aussi dans la bande de fréquences considérée, l'admittance Y (p) s'écrit :
Y (p) =p
ω0
m=
Q(p)P (p)
=débit
pression ,
soit en calculant l'original
Q(t) =1
ωm0
(d
dt
)m
P (t).
En revenant à l'équation originale :
M
S2
dQ(t)dt
+ P (t) = 0,
14 CHAPITRE 3. DE LA DÉRIVATION NON ENTIÈRE
M
S2
1ωm
0
(d
dt
)1+m
P (t) + P (t) = 0,
posons
τ =(
M
S2
1ωm
0
) 11+m
,
on obtient
τ1+m
(d
dt
)1+m
P (t) + P (t) = 0.
Par la transformée de Laplace, l'équation devient :
τp1+mP (p) + P (p) = 0,
P (p) +(
1τp
)1+m
P (p) = 0,
et
P (p) = −(
1τp
)1+m
P (p).
+
-
(1τp
)1+m−P (p) P (p)E(p) = 0
Fig. 3.5 � Schéma bloc d'un intégrateur non entier.
3.1 Lieu de Black de cet intégrateurLe système dont le lieu de Black représenté sur la �gure 3.6 a pour réponses libres celles représentées
sur la �gure 3.7.Si M varie alors
ωu =1τ
=(
ωm0
S2
M
)1+m
avec ωu : pulsation propre du système
Mais étant donné la linéarité de la phase dans la bande de fréquences considérée, le gabarit "glisse"sur lui-même, donc la marge de phase reste constante, le comportement dynamique reste constant enmatière de dépassement, seule la pulsation propre varie.
=⇒ robustesse en dépassement mais variation en temps d'établissement.
3.1. LIEU DE BLACK DE CET INTÉGRATEUR 15
-
6||
−π −π/2
_
^
φ
Fig. 3.6 � Lieu de Black d'un intégrateur non-entier.
Fig. 3.7 � Réponses libres de l'intégrateur non-entier en fonction de la masse.
16 CHAPITRE 3. DE LA DÉRIVATION NON ENTIÈRE
Chapitre 4
Caractérisation fréquentielle
Dans ce chapitre nous traiterons de la caractérisation fréquentielle et des performances dynamiquesde la commande CRONE.
4.1 Point important"Le comportement en boucle ouverte au voisinage de la fréquence au gain unité détermine le
comportement dynamique en boucle fermée"
4.2 Réponse en fréquence en boucle ferméeSoit l'intégrateur non-entier précédent de la forme
βn(Jω) = −( ωu
Jω
)n
avec : ωu = 1τ
Jω = p
arg βn(Jω) = −nπ
2
avec n non-entier.
+
-
correcteur+
système
ε sc
Fig. 4.1 � Schéma bloc d'un système corrigé non entier.
F (Jω) =βn(Jω)
1 + βn(Jω)=
(ωuJω
)n
1 +(
ωuJω
)n =1
1 +(
Jωωu
)n
La dynamique en boucle fermée est une fonction de la fréquence de transition (ou fréquence augain unité) en boucle ouverte
F (Jω) =1
1 +(
Jωωu
)n
à condition que β0, le gain statique en boucle ouverte soit grand devant 1, β0 À 1
17
18 CHAPITRE 4. CARACTÉRISATION FRÉQUENTIELLE
-
6
ω
||
βn(Jω) À 1 βn(Jω) ¿ 1
BF (Jω) ' βn(Jω)βn(Jω) ' 1 BF (Jω) ' βn(Jω)
1 ' βn(Jω)
β0
BF
BO = βn(Jω) ⇒ BF = βn(Jω)1+βn(Jω)
Fig. 4.2 � Liens entre les diagrammes de Bode en BO et en BF.
4.3 Fréquence de résonance et facteur de résonance
-
6
ω
||
β0
BF
BO
BF asymptotique
BF réel
Fig. 4.3 � Liens entre les diagrammes de Bode asymptotiques en BO et en BF.
En remplaçant j par ej π2
F (Jω) =1
1 +(
ωωu
)nejn π
2
=1
1 +(
ωωu
)n(cosnπ
2 + j sinnπ2 )
,
F (Jω) =1[
1 +(
ωωu
)ncosnπ
2
]+ j
[(ωωu
)nsinnπ
2
] ,
puis
|F (Jω)| = 1√1 + 2
(ωωu
)ncosnπ
2 +(
ωωu
)2n,
et
4.4. FRÉQUENCE PROPRE ET FACTEUR D'AMORTISSEMENT 19
arg F (Jω) = − arctan
(ωωu
)nsinnπ
2
1 +(
ωωu
)ncosnπ
2
.
Le maximum de F (Jω) est obtenu pour le minimum de
1 + 2(
ω
ωu
)n
cosnπ
2+
(ω
ωu
)2n
,
on résout donc :
d
dω
[1 + 2
(ω
ωu
)n
cosnπ
2+
(ω
ωu
)2n]
= 0,
soit a = ωωu
d
da
[1 + 2an cosn
π
2+ a2n
]= 0,
2nan−1 cosnπ
2+ 2na2n−1 = 0,
an cosnπ
2+ a2n = 0,
cosnπ
2+ an = 0,
donccosn
π
2+
(ωr
ωu
)n
= 0 =⇒ ωr =(− cosn
π
2
) 1nωu.
Cette dernière équation n'est valable que ssi cosnπ2 < 0 donc si 1 < n < 3 donc toujours, car
1 < n < 2 dans la commande CRONE car n = 1 + m avec 0 < m < 1.
Le facteur de résonance est :
Q =|F (Jω)||F (J0)| =
1√1− cos2 nπ
2
=1
sinnπ2
,
notez que Q est indépendant de la fréquence transitionnelle et ne dépend que de n.
4.4 Fréquence propre et facteur d'amortissement
F (p) =1
1 + (τup)n,
donc la réponse à l'échelon est :
S(p) =1
1 + (τup)n× 1
p,
en temporel :
20 CHAPITRE 4. CARACTÉRISATION FRÉQUENTIELLE
S(t) = L−1
[1
1 + (τup)n× 1
p
],
soit d'après la dé�nition de Melin-Fourier :
S(t) =1
2πj
∫ c+j∞
c−j∞
etp
p [1 + (τup)n]dp.
Par la méthode des résidus, on obtient :
S(t) = u(t)
1− τnu
sinnπ
π
∫ ∞
0
xn−1e−xtdx
(τux)2n + 2(τux)n cosnπ + 1︸ ︷︷ ︸∑∞ pôles stables apériodiques
− 2n
etτ−1u cos( π
n) cos(tτ−1
u sin(π
n))
︸ ︷︷ ︸mode oscillatoire dominant
.
Fig. 4.4 � Réponse du système en boucle fermée
Rappel : Théorie des résidus.∮
Γf(z)dz = 2jπ
∑Res
avecRes(a) =
1(k − 1)!
limz→a
(dk−1
dzk−1
[(z − a)kf(z)
])
si le pôle a est un pôle simple d'ordre k
Les pôles stables apériodiques sont rapides et in�uencent peu sur l'allure générale de la réponsetemporelle (voir �g. 4.4), il reste donc à étudier :
S(t) ' u(t){− 2
netτ−1
u cos( πn
) cos(tτ−1u sin(
π
n))
}
' u(t){− 2
ne−ξ(n)ωut cos(g(n)ωut)
}
représentée sur la �gure 4.5.
4.4. FRÉQUENCE PROPRE ET FACTEUR D'AMORTISSEMENT 21
0 5 10 15 20 25 30−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fig. 4.5 � Réponse libre du système s(t).
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Fig. 4.6 � Valeur du premier dépassement D1 en % en fonction de n.
Par calcul numérique, on obtient la courbe de la valeur du premier dépassement D1 en % enfonction de n (�g. 4.6).
Que l'on peut approximer par :
D1 = 79, 195n2 − 138, 507n + 59, 528. (4.1)
aussi, n est une fonction de D1
Les pôles de la transmittance satisfont :
1 + (τup)n = 0,
(τup)n = −1 = e±jπ/n sur [−π, π] .
� La commande CRONE �xe le lieu des pôles de la commande,� les autres commandes, �xent les pôles, ce qui provoque de fortes entrées lorsque le système
devient lent.
4.4.1 Relations entre facteur de résonance et facteur d'amortissement
Q =1
sinnπ2
=⇒ n =2π
arcsin1Q
,
22 CHAPITRE 4. CARACTÉRISATION FRÉQUENTIELLE
-
6Im
Re
ωp = ωu sinπ/n
− cosπ/n
π − π/n
−ξωn
ωn
√1− ξ2
p = ωue±jπ/n
*
Fig. 4.7 � Pôles du système dans le plan complexe
ξ = − cosπ
n,
ξ = − cosπ2
2 arcsinQ−1.
Chapitre 5
Synthèse de la commande CRONE :Régulateur idéal
Hypothèse : le système présente une plage de fréquences où la phase est constante.
5.1 Choix de ωu
Le choix de la fréquence unité repose sur un compromis entre plusieurs critères. Ainsi, en choisissantωu grand vis-à-vis de la fréquence de coupure du système ωc :
� dynamique rapide du système corrigé� fortes sollicitations de la commande� problèmes d'échantillonnage, car fech est grand� bon asservissement� bonne régulation
En pratique on choisit :ωu ' 5 à 20× ωc
Le régulateur est de la formeavec
Cm(jω) = C0
(1 + j ω
ωb
1 + j ωωh
)m
avec C0 : le gain statiqueωb et ωh : les fréquences de troncature
-6
ωc ωA ωu ωB
−kπ/2
−π/4
-¾
ϕ = cte
ωϕ
Fig. 5.1 � Phase du système à corriger.
23
24 CHAPITRE 5. SYNTHÈSE DE LA COMMANDE CRONE : RÉGULATEUR IDÉAL
-
-
6
6|Cm(jω)|
6m dB/oct
mπ/2
ω
ωb ωA ωu ωB ωh
ϕ
ω
Fig. 5.2 � Diagramme de Bode d'un régulateur CRONE.
60
−π/2
−π
−nπ/2
−n′π/2
ϕ
ω
6 6 6 ?6∆ϕ
-
Fig. 5.3 � Détermination de l'ordre m.
pour ωb ¿ ω ¿ ωh
arg(Cm(jω)) = m′(
arctanω
ωb− arctan
ω
ωb
),
se réduit à :arg(Cm(jω)) = m
′ π
2.
Il faut donc déterminer : m′, ωb, ωb, C0.
5.2 Détermination de l'ordre m
1/ à partir de la marge de phase ∆ϕ
∆ϕ = π − n′ π
2=⇒ n
′=
2π
(π −∆ϕ)
2/ à partir du facteur de résonance
Q =1
sinn′ π2=⇒ n
′=
2π
arcsin1Q
5.3. CHOIX DE ωB ET ωH 25
3/ à partir du facteur d'amortissement
ξ = − cosπ
n′=⇒ n
′=
π
arccos(−ξ)
4/ à partir du premier maximum
D1 = 79, 195n′2 − 138, 507n
′+ 59, 528
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
ξ < 0.707
ξ = 0.707
ξ > 0.707
Fig. 5.4 � Réponse à l'échelon pour di�érents facteurs d'amortissement ξ
5.3 Choix de ωb et ωh
Il s'agit de choisir deux pulsations ωb et ωh qui entourent les pulsations ωA et ωB délimitant ledomaine d'action du correcteur CRONE.
� Si les pulsations ωb et ωh sont trop proches de ωA et ωB
=⇒ le comportement idéal n'est pas observé.� Si les pulsations ωb et ωh sont trop éloignées de ωA et ωB
=⇒ le correcteur sera di�cile à implanter.Dans la pratique on choisit
ωb ≤ ωA/10ωh ≤ ωB × 10
5.4 Calcul du gain statique C0
|β(jωu)| = 1
donc
|Cm(jωu)×G(jωu)| = 1
où
Cm(jωu) = C0
(1 + j ωu
ωb
1 + j ωuωh
)m′
G(jωu) = Fonction de transfert du système
26 CHAPITRE 5. SYNTHÈSE DE LA COMMANDE CRONE : RÉGULATEUR IDÉAL
on en déduit :
C0 =1
|G(jωu)|
1 +(
ωuωh
)2
1 +(
ωuωb
)2
m′/2
5.5 Choix des pulsations ωA et ωB
C'est là une fonction de la robustesse du système désirée. Plus ωA et ωB sont éloignées, plus lapartie verticale sur le lieu de Black sera grande et donc plus le système sera robuste.
En d'autres termes, ∆ω = ωB − ωA est fonction de la variation des paramètres du système.Par ailleurs, dans la majorité des applications ωA et ωB seront choisies symétriques par rapport à
ωu soit :
ωA ≤ ωu/γ, avec γ ' 10ωB ≤ ωu × γ,
5.6 ExempleSoit le système
G(p) =G0
1 +(
pω0
)3
avec G0 = 20ω0 = 1 rad/s
Les considérations de robustesse poussent à choisir� ∆ϕ = 50° à une pulsation de 31,6 rad/s et� ∆ω = 1 décade centrée sur ωu
Calcul de l'ordre du correcteur m
m = n− n′ = 3− 2180
(180− 50) = 1, 55
Calcul des pulsations de coupure ωb et ωh D'après le cahier des charges : ∆ω = 1 décade centréesur ωu donc
ωB/ωA = 10ω2
u = ωB × ωA
on en déduit queω2
u = 10ω2A,
d'oùωB = 10ωA = 100rad/s.
Puis en choisissant 1 décade d'écart entre les pulsations de coupure ωh, ωb et les pulsations ωB, ωA
nous obtenons :
5.6. EXEMPLE 27
-
-
6
6
−3π/2
−3π/4
ωϕ
20log20
||
01 rad/s
ω
Fig. 5.5 � Diagramme de Bode d'un régulateur CRONE.
ωb = 1rad/s,ωh = 1000rad/s.
Calcul gain statique C0
C0 =1
|G(jωu)|
1 +(
ωuωh
)2
1 +(
ωuωb
)2
m/2
C0 =
(1 +
(ωuω0
)2)3/2
G0
1 +(
ωuωh
)2
1 +(
ωuωb
)2
m/2
Application numérique : C0 = 7, 5Véri�cation du gain statique en boucle ouverte :
β0 = C0G0 = 150
Ce correcteur présente bien un gain statique β0 À 1 et par conséquent le système présentera uneerreur statique faible en boucle fermée,
εs =1
1 + β0' 0, 007
28 CHAPITRE 5. SYNTHÈSE DE LA COMMANDE CRONE : RÉGULATEUR IDÉAL
Chapitre 6
Régulateur CRONE réel
Il s'agit maintenant de transposer dans la réalité le correcteur précédemment calculé.
Cm(jω) = C0
(1 + j ω
ωb
1 + j ωωh
)m
posons
CN (jω) = C0
N∏
i=1
1 + j ωω′i
1 + j ωωi
les di�érentes fréquences de coupures sont ainsi dé�nies :ωi
ω′i= α et
ω′i+1
ωi= η
ω′i+1
ω′i= αη > 1
-
-
- - - -¾ ¾ ¾ ¾- - -¾ ¾ ¾-¾ -¾
6
6
ϕ
||
ω
ωω′1 ω′2 ω′3 ω′4ω1 ω1 ω1 ω4
log α log α log α log αlog η log η log η1/2 log η 1/2 log η
ωb ωh
Fig. 6.1 � Diagramme de Bode d'un régulateur CRONE réel.
29
30 CHAPITRE 6. RÉGULATEUR CRONE RÉEL
Choix de ωb et ωh
ωb =ω′i√η
ωh = ωN√
η
comme pour le régulateur CRONE parfait nous choisirons
ωb = ωA/10ωh = ωB × 10
Choix de N La relation entre N et le produit αη est
N =log ωh
ωb
log(αη)(6.1)
avec αη choisi entre 5 et 10 (fruit de l'expérience)Bien sûr N doit être entier aussi
N = arrondi(
log ωhωb
log(αη)+ 0, 5
)
puis on recalcule le produit αη a�n de respecter la relation 6.1
αη =(
ωh
ωb
)1/N
Choix des ω′i et des ωi Un calcul de géométrie fondé sur la �gure 6.1 montre que
m =log α
log η + log α
d'où
log α = m log αη
log α = log ((αη)m)α = (αη)m
d'oùη =
αη
α
Ensuite, les pulsations ω′i et ωi sont déterminées par les relations de récurrence suivantes
Initialisation
ω′1 =√
ηωb
ω1 = αω′1
Récurrence
ω′i = αηω′i−1
ωi = αηωi−1
6.1. IMPLANTATION DU CORRECTEUR 31
Choix du gain statique C0 Comme au chapitre précédent, C0 est calculé a�n d'avoir un gainunitaire à la pulsation ωu
C0 =1
|G(jωu)|
∣∣∣∣∣N∏
i=1
1 + j ωuωi
1 + j ωuω′i
∣∣∣∣∣
Dernier problème Les calculs précédents ne permettent de réaliser qu'un régulateur ayant un ordrefractionnaire m tel que 0 < m < 1. Si m > 1, il faut alors décomposer le régulateur en deux parties :une partie entière et une partie fractionnaire.
on décompose alors sous la forme :
Cm(jω) = C0
(1 + j ω
ωb
1 + j ωωh
)me(
1 + j ωωb
1 + j ωωh
)mn
avec me entier et mn non-entier.
Fig. 6.2 � Réponse en fréquence d'un régulateur CRONE réel.
6.1 Implantation du correcteurDans la plupart des cas, l'implantation de ce type de correcteur se fait à l'aide d'un microproces-
seur. Aussi, il s'agit de transformer le correcteur analogique obtenu précédemment a�n d'obtenir uncorrecteur numérique.
Transformée bilinéaire
p =1
tan(πfi/fe)1− z−1
1 + z−1
32 CHAPITRE 6. RÉGULATEUR CRONE RÉEL
Chapitre 7
Régulateur à phase variable
Il est souvent impossible de corriger le système par la méthode précédente car il ne présente pasde plage où la phase est constante, on cherche alors une autre méthode pour calculer les pôles et leszéros du correcteur.
Dans ce cas, les pôles et les zéros ne sont plus distribués régulièrement. Le calcul est assez complexe,je vous renvoie à l'excellent livre de A. Oustaloup [1] [2] pour en comprendre les détails.
Néanmoins, dans ce cas le procédé corrigé n'est plus tout à fait robuste. Il n'est robuste que vis-à-visdu gain du système car la phase varie.
Une idée consiste alors à "précorriger" le système pour obtenir un comportement asymptotiqueaux fréquences proches de ωu.
7.1 Commandes à grand gain
GBF (jω) =kG(jω)
1 + kG(jω)R(jω),
si kG(jω)R(jω) À 1 alorsGBF (jω) ' 1
R(jω).
Ainsi, si l'on veut que GBF (jω) ait un comportement de type intégrateur non-entier, il faut queR(jω) présente un comportement de type dérivateur non-entier. Soit :
R(jω) = (jτdω)n
60
−π/2
−π
−nπ/2
−n′π/2
ϕ
ω
6 ?6∆ϕ
-
66
Fig. 7.1 � Cas d'un système présentant une phase variable.
33
34 CHAPITRE 7. RÉGULATEUR À PHASE VARIABLE+-
k G(jω)εc s
R(jω)
u(t)
Fig. 7.2 � Principe des commandes à grand gain.
++--
k(jω)CN (jω) G(jω)ε1ε2c s
(jτdω)n
u(t)
procédé précorrigé︷ ︸︸ ︷
Fig. 7.3 � Schéma bloc d'un procédé corrigé par un régulateur CRONE et précorrigé par une commandeà grand gain.
Choix de k A faire ! ! !Ainsi il ne reste plus qu'à faire une synthèse sur le procédé suivant :
G′(jω)|ωA,ωB =1
(jτdω)n
Le schéma global est alors représenté sur la �gure 7.3.
7.2 Traitement de l'erreur statiqueJusqu'à présent l'erreur statique est non nulle. Si dans la majorité des procédés on peut se contenter
d'une erreur statique faible, parfois il faut garantir une erreur statique nulle.Comme dans le cas de commandes classiques, la solution consiste à introduire un (ou plusieurs)
intégrateurs purs dans la boucle. Par ailleurs, on introduit un �ltre passe-bas a�n d'éviter une tropgrande in�uence du bruit sur la commande. Le diagramme de Bode de cette correction est représentésur la �gure 7.4.
Le correcteur complet est alors
C(jω) = C0
(ωI
p+ 1
)(1 + p
ωA
1 + pωB
)m(1
1 + pωF
)(7.1)
Choix de ωI et ωF Comme pour les pulsations précédentes, nous appliquerons la règle de la décadea�n de ne pas in�uer sur les paramètres choisis précédemment.
Ainsi :
ωI ' ωA/10 à ωA/50ωF ' 10× ωB à 50× ωB
7.2. TRAITEMENT DE L'ERREUR STATIQUE 35
-
-
6
ω
ω
C0
m 90°
0°
-90°
ϕ
||intégrateur
pur-20 dB/dec
�ltrepasse-bas-20 dB/dec
régulateurCRONE
-20 m dB/dec
6
-¾ -¾ -¾
ωI ωb ωh ωF
Fig. 7.4 � Diagramme de Bode d'un correcteur CRONE avec un intégrateur pur et un �ltre hautesfréquences.
36 CHAPITRE 7. RÉGULATEUR À PHASE VARIABLE
Bibliographie
[1] A. Oustaloup. La commande crone. Lavoisier, France, 1991.[2] A. Oustaloup. La commande crone : Du scalaire au multivariable (2° Ed.). Lavoisier, France, 1999.[3] A. Oustaloup. Commande crone : principes et exemples d'application. Les techniques de l'ingénieur,
S(R7422), 19999.
Lienshttp://www.mathworks.com/products/fuzzylogic.html
http://www.mathtools.net/MATLAB/Fuzzy_Logic/index.html
http://www.dbai.tuwien.ac.at/marchives/fuzzy-mail/
http://europa.eu.int/comm/research/rtdinfo/fr/24/02.html
http://www.gala.univ-perp.fr/~polit/chap0.html
http://www.eru.ulaval.ca/ptt15225
http://vcampus.u-strasbg.fr/uticeweb/mhiri/projet_V2
http://www.mathworks.fr/products/controldesign/modanal.shtml
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