COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA

Comparando com a prova do ano anterior é possível observar uma melhora. Para analisar a prova, utilizamos alguns critériosque julgamos necessários numa avaliação de conhecimento. Veja a análise dos critérios a seguir:

Correção

( ) Adequado

( x ) Adequado parcialmente

( ) Inadequado

Abrangência

( ) Adequado

( ) Adequado parcialmente

( x ) Inadequado

Justificativa: Da 9 questões observa-se a existência de duas questões de Geometria dos Sólidos e de duas outrasenvolvendo assuntos do Ensino Fundamental.

Gradação

( ) Adequado

( x ) Adequado parcialmente

( ) Inadequado

Justificativa: predominância de questões de nível fácil e médio e ausência de questões difíceis.

Contexto

( x ) Adequado

( ) Adequado parcialmente

( ) Inadequado

Pertinência

( ) Adequado

( ) Adequado parcialmente

( x ) Inadequado

Justificativa: Em Geometria Analítica, por exemplo, a questão 2 cobra um “detalhe” diante de assuntos muito mais relevantes;a questão 3 aborda assunto não pertinente ao Ensino Médio, (é considerado do Ensino Fundamental).

EQUIPE DE MATEMÁTICA DO CURSO POSITIVO

1 MATEMÁTICA

Resolução:

Sendo M o valor da média aritmética da quantidade de animais adotados nos cinco anos, tem-se:

M =500 450 400 400 300

5+ + + +

=2050

5= 410

Logo, a média aritmética anual de animais adotados é igual a 410.

Resposta: d

Resolução:

Da figura, a ordenada (y) do ponto P é igual a 3. Logo, para obter o valor da abscissa (x), basta substituir y = 3 na equação dareta r e encontrar o valor de x:

2 . y – x + 2 = 0

y = 3 → 2 . 3 – x + 2 = 0

6 + 2 = x

x = 8

Logo, as coordenadas do ponto P são (8; 3).

Resposta: c

2 MATEMÁTICA

Resolução:

A pena mínima será dois terços menor que 5 anos, ou seja, será um terço de 5 anos:

13

. 5 anos =13

. 5. 12 meses = 20 meses = 1 ano e 8 meses

A pena máxima será um sexto menor que 15 anos, ou seja, será cinco sextos de 15 anos:

56

. 15 anos =56

. 15 . 12 meses = 150 meses = 12 anos e 6 meses

Resposta: a

Resolução:

Exatamente 3 cores seriam suficientes. Bastaria, para tanto, pintar as faces opostas do cubo com cores distintas, de modo autilizar 3 cores. A seguir, é possível visualizar uma disposição possível com 3 cores utilizadas:

Resposta: b

3 MATEMÁTICA

4 MATEMÁTICA

Resolução:

Pode-se considerar o formato do recipiente como sendo a justaposição de um cilindro (parte superior) e um cone invertido (parteinferior) de base comum.

Na parte inferior, é possível relacionar-se a medida da altura alcançada pelo líquido com o correspondente volume despejadodo líquido por meio de dois triângulos semelhantes:

Semelhança de triângulos:

rR

hr

R . h= ⇒ =l l

Para se calcular o volume do líquido quando se atinge uma determinada altura h, 0 ≤ h ≤ l, basta calcular-se o volume de umcone de altura h e raio r:

V =13

. π . r2 . h

Substituindo r =R . hl

, tem-se:

V =13

. π .R . h 2

l

. h

V =πR2

3 2l. h3

Como R e l são constantes, pode-se considerarπR2

3 2l= k1, ou seja:

V = k1 . h3

A relação anterior indica que, na parte inferior (cone), a medida do volume (V) é diretamente proporcional ao cubo da medida daaltura (h), em que k1 é a constante de proporcionalidade que depende de R e l.

5 MATEMÁTICA

Nessa parte inferior do sólido, a relação entre a altura (h) e o respectivo volume (V) do líquido pode ser representada por umarco de parábola cúbica pertencente ao 1º quadrante, já que V e h são não negativos:

Na parte superior (cilindro) a medida do volume (V) pode ser calculada pelo volume de um cilindro de altura h e raio R:

V = πR2 . h

Como R2 é constante, pois R é constante, pode-se considerar R2 = k2, ou seja:

V = k2 . h

A relação indica que o volume (V) é diretamente proporcional à medida da altura do líquido (h), sendo k2 a constante deproporcionalidade que depende exclusivamente de R.

Nessa parte superior, o gráfico é uma semirreta com origem na extremidade de ordenada l do arco de parábola cúbicadestacado anteriormente.

Desta forma, o gráfico que melhor descreve a altura h, do nível do líquido, em termos do volume total V, do líquido despejado norecipiente está representado a seguir:

Resposta: d

6 MATEMÁTICA

Resolução:

Para determinarmos a quantidade do nutriente 2 presente na mistura das rações, podemos calcular o elemento a21 do produtodas matrizes:

210 370 450 290

340 520 305 485

145 225 190 260

35%

2

5%

30%

10%

.

a21 =340.35 520.25 305.30 485.10

100+ + +

= 389

Portanto, 389 mg do nutriente 2 estão presentes na mistura das quatro rações.

Resposta: a

7 MATEMÁTICA

Resolução:

Em 1 hora, o primeiro navio teria percorrido 16 km, enquanto o segundo navio, teria percorrido 6 km. Na próxima ilustração, deacordo com as trajetórias destacadas no enunciado, vamos considerar que, após uma hora, o primeiro navio situe-se no pontoA, enquanto o segundo navio esteja no ponto B e que ambos tenham partido do porto localizado no ponto O.

Aplicando a lei dos cossenos no lado de medida AB do triângulo ABO, tem-se:

(AB)2 = (AO)2 + (BO)2 – 2 . (AO) . (BO) . cos 60o

(AB)2 = 162 + 62 – 2 . 16 . 6 .12

(AB)2 = 196

(AB)2 = 142

AB = 14, pois AB > 0

Portanto, a distância entre os navios após uma hora é igual a 14 km.

Resposta: b

8 MATEMÁTICA

Resolução:

Se somente é possível segurar o pedaço da pizza com as mãos nuas quando a temperatura for igual a 65 oC, então:

T = 160 x 2–0,8 x t + 25

65 = 160 . 2–0,8t + 25

65 – 25 = 160 . 2–0,8 x t

40 = 160 x 2–0,8t

Dividindo ambos os membros por 160, tem-se:

2–2 = 2–0,8t

–2 = –0,8 . t

Dividindo membro a membro por (–0,8), tem-se:

t = 2,5

Logo, o tempo necessário é igual a 2,5 minutos.

Resposta: c

Resolução:

Considerando o triângulo retângulo da figura, com o vértice no centro da esfera (o que deveria estar explícito no enunciado),temos:

O volume V de um cilindro de raio r e altura h é dado por:

V = πr2 . h

Se o volume é igual a 72π, então:

72π = πr2 . h

72 = r2 . h

9 MATEMÁTICA

Da figura, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo em destaque, tem-se:

52 = r2 + x2

r2 = 25 – x2

Substituindo na relação do volume, tem-se:

72 = (25 – x2) . h

Observando que h = 2x, tem-se:

72 = (25 – x2) . 2x

72 = 50x – 2x3

2x3 – 50x + 72 = 0

x3 – 25x + 36 = 0

Escrevendo os divisores de 36, tem-se {±1, ±2, ±3, ± 4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36}. Podemos observar que 4 é uma das raízes daequação, pois

43 – 25.4 + 36 = 64 – 100 + 36 = 0.

Aplicando o método de Briot-Rufini, temos:

4 1 0 – 25 36

1 4 – 9 0

que resulta na equação:

x2 + 4x – 9 = 0

∆ = 42 – 4.1. (– 9) = 52

x =–4 2 13

2± ⇒ x = –2 ± 13

x = – 2 + 13 ou x = –2 – 13

Se 0 < x < 5, então x = 4 ou x = –2 + 13.

Portanto, o maior valor de x é igual a 4.

Resposta: e

10 MATEMÁTICA