COMBINATORIA

1º Bto. CC.SS.

DIAGRAMA DE ÁRBOL

Ejemplo: Un MP4 se fabrica en tres colores: Blanco, negro y azul, y con tres

tipos de capacidad: 8, 16 y 32 gibabytes.

Un diagrama de árbol es una herramienta para representar todos los posibles

resultados de un suceso o experimento compuesto por otros más sencillos.

Experimento3 · 3 = 9

Tipos de MP4

DIAGRAMA DE ÁRBOLEjemplo: En un restaurante ofrecen un menú del día compuesto por tres

primeros platos: ensalada, judías verdes y sopa castellana; cuatro segundos

platos: lenguado a la plancha, cordero, merluza y pechuga de pollo; y dos

postres: flan y helado. ¿Cuántos menús diferentes pueden hacerse?

3 · 4 · 2 = 24tipos de menú.

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

Ejemplo: ¿De cuantas maneras distintas pueden sentarse tres personas

en los tres asientos traseros de un coche?

3! 3 2 1 6 maneras= ⋅ ⋅ =

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

Ejemplo: ¿De cuantas maneras pueden colocarse nueve amigos

en una fila para entrar en el cine?

9P 9! 9 8 7 6 5 4 3 2 1 362880 maneras= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

Ejemplo: En una carrera de 1500 metros participan 8 atletas.

¿De cuantas maneras podrán entrar en la meta suponiendo que

no sea posible el empate?

8P 8! 8 7 6 5 4 3 2 1 40320 formas= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Ejemplo: ¿Cuántas palabras distintas se pueden construir con las letras

de la palabra TERMOMETRO?

2,2,2,2,2

10

10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1P 362880 palabras

2! 2! 2! 2! 2! 2 2 2 2 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Si se dispone de n elementos, pero solo k de ellos diferentes,

repitiéndose uno n1, otro n2, etc., el número de ordenaciones se llama

permutaciones con repetición y se calcula:

1 2 3 kn ,n ,n ,...,n

n 1 2 3 k

1 2 3 k

n!P con n n n ... n n

n ! n ! n ! ... n != + + + + =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Ejemplo: En una estantería se van a ordenar 3 libros de Física, 2 de

Filosofía y 2 de Matemáticas. Si los libros de cada materia son

idénticos entre sí, de cuántas maneras distintas se pueden colocar?

3,2,2

7

7! 7 6 5 4 3 2 1P 210 maneras

3! 2! 2! 3 2 2 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Si se dispone de n elementos, pero solo k de ellos diferentes,

repitiéndose uno n1, otro n2, etc., el número de ordenaciones se llama

permutaciones con repetición y se calcula:

1 2 3 kn ,n ,n ,...,n

n 1 2 3 k

1 2 3 k

n!P con n n n ... n n

n ! n ! n ! ... n != + + + + =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

VARIACIONES SIN REPETICIÓN

Ejemplo: ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los

dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 sin que se repita ninguna cifra?

7,4V 7 6 5 4 840= ⋅ ⋅ ⋅ =

VARIACIONES SIN REPETICIÓN

Ejemplo: Un ayuntamiento va a sortear 6 puestos ambulantes

para las fiestas locales entre 10 solicitantes. Teniendo en cuenta

que el lugar asignado influye mucho en las ventas, ¿de cuántas

formas se podrá realizar la adjudicación de los 6 puestos?

10,6V 10 9 8 7 6 5 151200 formas= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

VARIACIONES SIN REPETICIÓN

Ejemplo: Un centro escolar organiza un concurso de resolución

de problemas para 150 alumnos de 4º de ESO. Se entregarán

lotes de libros de diferentes cuantías a los 4 alumnos mejor

clasificados. ¿De cuántas formas se podrán otorgar los premios?

150,4V 150 149 148 147 486 246 600 formas= ⋅ ⋅ ⋅ =

VARIACIONES CON REPETICIÓN

Ejemplo: Se lanzan dos monedas de un euro, ¿cuántos resultados

distintos se pueden obtener? ¿Y si se lanzan cinco monedas?

2

2,2VR 2 4= =5

2,5VR 2 32= =

VARIACIONES CON REPETICIÓN

Ejemplo: ¿Cuántas quinielas hay que rellenar para acertar los 15

resultados de forma segura?

15

3,15VR 3 14 348 907 quinielas= =

VARIACIONES CON REPETICIÓN

Ejemplo: ¿Cuántos números distintos de 4 cifras se pueden

formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9?

4

10,4VR 10 10000= =

3

10,3VR 10 1000= =

Total: 10000 − 1000 = 9000 números

Números de 4 cifras:

Empiezan por 0:

COMBINACIONES SIN REPETICIÓN

Ejemplo: Juan ha puesto 10 chinchetas sobre un corcho y quiere

colocar gomas entre cada dos chinchetas. ¿Cuántas gomas

necesita?

10,2

10! 10 9C 45 gomas

2! 8! 2

⋅= = =

⋅

COMBINACIONES SIN REPETICIÓN

Ejemplo: ¿Cuántas loterías primitivas hay que rellenar

para estar seguro de acertar los 6 números entre los 49

posibles?

49,6

49! 49 48 47 46 45 44C 13 983 816 primitivas

6! 43! 6 5 4 3 2 1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

COMBINACIONES SIN REPETICIÓN

Ejemplo: En una patrulla de 12 scouts se desea elegir

un comité formado por 3 de ellos. ¿Cuántos comités

diferentes se pueden designar?

12,3

12! 12 11 10C 220 comités

3! 9! 3 2 1

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅

COMBINATORIA. RESUMEN.

NÚMEROS COMBINATORIOS NÚMEROS COMBINATORIOS

Triángulo de Pascal o de Tartaglia.

NÚMEROS COMBINATORIOS

Triángulo de Pascal o de Tartaglia.

NÚMEROS COMBINATORIOS

Triángulo de Pascal o de Tartaglia. Propiedades.

NÚMEROS COMBINATORIOS

Ejemplo: Calcula:35 35 35 35 5 5

a) b) c) d) e)0 35 31 4 2 3

+

BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON BINOMIO DE NEWTON