combinación lineal de vectores
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Combinación lineal de vectores Definición:Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo K y un conjunto
A={v1 , v2 , v3 , …vn , } de vectores en V , es decir, A⊂V .
Se dice que un vector v∈V es combinación
lineal de A si ∃ k1, ……, k n∈K : v=∑i=1
n
k i v i.
En términos no tan formales, diremos que es combinación lineal de vectores de A
si podemos expresarlo como una suma de productos por escalar de una cantidad
finita de elementos de A . En este caso, también se dice que v depende
linealmente de los vectores de A .
En particular, la combinación lineal de un conjunto de vectores se trata de un vector
de la forma:
v=k1 v⃗1+k 2 v⃗2+… ..+kn v⃗n=∑i=1
n
k i v i
con los k i elementos de un cuerpo.
Ejemplos:1. Consideremos lo vectores U⃗=(5,4,3 ) y V⃗ =(2,5,5 ) enR3 para que valores de Kes
W⃗ =(4 , k ,2k+5 ) una combinación lineal de U⃗ y V⃗ .
Resolución:
W⃗ =(4 , k ,2 k+5 )=α 1 (5,4,3 )+α2(2,5,5)
W⃗ =(4 , k ,2k+5 )=(5α 1+2α 2 , 4 α 1+5 α2 ,3 α1+5 α2 )
[5 2 04 5 −13 5 −2
⋮405 ] f 3
2 (−1 )→ [5 2 0
1 0 13 5 −2
⋮4
−55 ] f 5
3 (−1 )→
[ 5 2 01 0 1
−2 3 −2⋮
4−51 ] f 2
3 (2 )→ [5 2 0
1 0 10 3 0
⋮4
−5−9]
Luego se obtiene: α 1=2 , α2=−3 , k=−7
2. El vector z⃗=(2,1 ), ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectoresx⃗=(3 ,−2 ) e y⃗=(1,4 )?
5 α 1+2 α 2+0=4
4 α1+5α 2−k=0
3 α 1+5 α2−2 k=5
Resolución:
z⃗=(2,1 )=a (3 ,−2 )+b (1,4 )
z⃗=(2,1 )=(3a ,−2a )+ (b ,4 b )
z⃗=(2,1 )=(3a+b ,−2a+4 b )
a=12
, b=12
Se obtendría: z⃗=12
x⃗+12
y⃗
Independencia y dependencia lineal de vectores
2=3 a+b
1=−2a+4 b
Independencia lineal.Definición: Dado un conjunto finito de vectores {v1 , v2 , …. vn ,} , se dice que estos vectores
son linealmente independientes si existen números {a1 , a2 , …. an ,} no todos cero,
tales que:
a1 v1+α2 v2+… ..+α n an=0
Dependencia lineal.Definición: Dado un conjunto finito de vectores {v1 , v2 , …. vn ,} , se dice que estos vectores
son linealmente dependientes si existen números {a1 , a2 , …. an ,} son todos cero y
además:
a1 v1+a2 v2+… ..+an vn=0
Ejemplos:
1. Si {v1 , v2 , v3 , v4 } son linealmente independientes demostrar que los valores
U 1=v2+v3+v4, U 2=v1+v3+v4, U 3=v1+v2+v4 y U 4=v1+v2+v3 son linealmente independientes.
Resolución: {v1 , v2 , v3 , v4 } son linealmente independientes entonces:
∃ v1=v2=v3=v4=0 / a1 v1+a2 v2+… ..+an vn=0
Luego: a1U 1+a2U 2+a3U 3+a4 U 4=0a1 ( v2+v3+v 4 )+a2(v1+v3+v4)+a3(v1+v2+v4)+a4(v1+v2+v3)=0
Entonces:
(a¿¿2+a3+a4)v1+(a¿¿1+a3+a4)v2+(a¿¿1+a2+a4)v3+(a¿¿1+a2+a3)v4=0¿¿¿¿
Como son linealmente independientes:
a2+a3+a4=0a1+a3+a4=0a1+a2+a4=0a1+a2+a3=0
⌈a2 a3 a4
a1 a3 a4
a1 a2 a4
⋮000⌉
f 21(−1)
→
f 32(−1)
→
f 43 (−1)
→
⌈a2 0 00 a3 00 0 a4
⋮000⌉
⌊a1 a2 a30 ⌋ f 43(−1)
→ ⌊a1 a2 a30 ⌋
Luego se obtiene:
a1=a2=a3=a4=0→U 1, U 2, U 3 y U 3 son linealmente independientes
2.Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectoresU⃗=(3 , K ,−6),V⃗= (−2 ,1 , k+3 )yW⃗ =(1 ,K+2 ,4 ) .
escribir U⃗ como combinación lineal de V⃗ yW⃗ , siendo k el valor calculado.
Resolución:
Los vectores son linealmente dependientes si
el determinante de la matriz que forman es nulo , es
decir que el rango de la matriz es menor que 3.
| 3 k −6−2 1 k+31 k+2 4 |=0
12+k2+3 k+12k+24−(−6−8 k+3k2+15 k+18 )=0
se obtiene: k 2−4 k−12=0 , k=−2 , k=6
(3 ,−2,−6 )=a (−2,1,1 )+b (1,0,4 )
(3 ,−2,−6 )=(−2a+b , a , a+4 b)
{3=−2 a+b−2=a
−6=a+4 b→ a=−2, b=−1 f inalmente:
U⃗=−2V⃗ −W