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[1]
Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús
MATEMÁTICAS I
Actividades tipo examen-recuperación de Pendientes 1/2
Nombre:__________________________________________________ Fecha de entrega:____________
BLOQUE I: NÚMEROS REALES
Ejercicio nº 1.-
Clasifica los siguientes números según sean naturales, enteros, racionales o reales:
837
144
8
3352,75, 4
Ejercicio nº 2.-
Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica:
53
4 26 3a) b)a
x xa
2 53 4c) d) :a a x x
Ejercicio nº 3.-
Utilizando la definición de logaritmo, calcula:
32 3 2
132 81a) log log ln
e
3b) 16 4 c) 4xlog log x
Ejercicio nº 4.-
Averigua, escribiendo el resultado en forma de intervalo, qué valores de x son los que cumplen esta
desigualdad:
x 5 2 y x +2
Ejercicio nº 5.-
Calcula y simplifica:
23
23c) 125345b)
125
343
7
5a)
2 22 3d) e) 48 2 12 f)
27 2 3 2
Ejercicio nº 6.-
Sabiendo que ln 2 0,69, calcula el logaritmo neperiano de:
4a) 4 b) 2 c) 8
[2]
Ejercicio nº 7.-
Racionaliza y efectúa, simplificando al máximo la siguiente expresión
1 5 1 5
5 1 5 1
Ejercicio nº 8.-
Demuestra la siguiente igualdad
2 5 2 210 0
2 10 5
Ejercicio nº9.-
Si sabemos que log x 0,85, calcula:
1000100
3 xlogxlog
Ejercicio nº 10.-
Halla y simplifica al máximo:
122
2c) 2432147b)
10
12
45
30a)
BLOQUE II: ÁLGEBRA
Ejercicio nº 1.-
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
)a
3 2
3 2
3 3 1
2
x x x
x x x
)b
5 4 3
3 2
6 9
3
x x x
x x
)c
3
3 23 2
x x
x x x
Ejercicio nº 2.-
Efectúa estas operaciones y simplifica:
) )a b
2
22 2
1 1 3 2 3 1 1
2 1 2 2 41
x x x x
x x x xx
Ejercicio nº 3.-
Resuelve estas ecuaciones:
2
2 4 2 115 3 3a) 3 b) 21 100 0 c) 4 5
4 4 3
x xx xx x x x x
[3]
Ejercicio nº 4.-
Resuelve estas ecuaciones:
22
41
23b) 12163a)
xxxxx
Ejercicio nº 5.-
Resuelve, factorizando previamente:
0652 23 xxx
Ejercicio nº 6.-
Resuelve las ecuaciones que se dan a continuación:
1 1 79
a) 3 b) 3 1 2 4 63 3 9
x
xln x ln ln x
2 1 3c) 2 2 0 d) 2 3 6
4x x log x log x log
Ejercicio nº 7.-
La base de un rectángulo es 3 veces su altura. Si ambas aumentan 1 m, la superficie aumentaría en 9 m2.
Calcula las dimensiones del rectángulo.
Ejercicio nº 8.-
Resuelve analíticamente e interpreta gráficamente el sistema de ecuaciones:
06
22
xy
xxy
Ejercicio nº 9.-
Resuelve el siguiente sistema:
32
03
yx
y
x
x
[4]
Ejercicio nº 10.-
Resuelve:
82
02
2xy
ylogxlog
Ejercicio nº 11.-
Obtén la solución del siguiente sistema de ecuaciones:
92253
72
zyxzyxzyx
Ejercicio nº 12.-
El área de un triángulo es de 40 cm2. Calcula la longitud de la base sabiendo que la altura excede en 3
cm a la mitad de la base.
Ejercicio nº 13.-
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
162
423
xx
x
Ejercicio nº 14.-
Escribe un polinomio de grado 6 que solo tenga por raíces 1 y 1.
Ejercicio nº 15.-
Encuentra la solución de la siguiente ecuación:
4 1 31
xx x
x
BLOQUE III: TRIÁNGULOS
Ejercicio nº 1.-
Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ángulo de 60. ¿Cuánto
mide la altura del paralelogramo? ¿Y su área?
[5]
Ejercicio nº 2.
Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura
Halla el valor de c y la longitud del cable.
Ejercicio nº 3.-
Calcula las razones trigonométricas de 140 y de 220, sabiendo que:
0,844077;0,4064;0,40 tgcossen
Ejercicio nº 4.-
a) Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:
b) Halla los lados y los ángulos del triángulo:
Ejercicio nº 5.-
En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un
barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 y el ángulo en C
es de 80. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio?
Ejercicio nº 6.-
Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura:
a Calcula la altura del árbol.
b ¿A qué distancia está Pablo del árbol?
[6]
Ejercicio nº 7.-
Observa el siguiente triángulo y razona si las igualdades dadas son ciertas o no:
ˆ1) 3)ˆcos
1ˆˆ ˆ2) cos 4) 0ˆ2
ba b senA a
C
asen A C tg A
b tgC
Ejercicio nº 8.-
Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60. Nos alejamos 6 metros en
línea recta y este ángulo es de 50.¿Cuál es la altura del edificio?
Ejercicio nº 9.-
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la
longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos.
BLOQUE IV: FUNCIONES-TRIGONOMÉTRICAS
Ejercicio nº 1.-
5
a) Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes: y 36
b Expresa en radianes los ángulos: 225 y 100
[7]
Ejercicio nº 2.-
a Escribe la expresión analítica de la función cuya gráfica es la siguiente:
b Representa en estos ejes la siguiente función:
y sen x
Ejercicio nº 3.-
Demuestra que:
)a
1 4 4
1 2 2
senx cosx cosx
cosx senx senx sen x
22 12
xb) cosx sen
)c
21 2
senx cosx cos xsen x
cosx senx
Ejercicio nº 4.-
Resuelve la ecuación:
a) 4 2 1 3cos x cosx
3 3 3b) cos x cosx cosx senx
22 2 1 2c) sen x cos x cos x sen x
Ejercicio nº 5.-
Demuestra que si entonces:2
sen sen cos cos 1 sen 2
Ejercicio nº 6.-
Resuelve los siguientes sistemas dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante:
1
0
sen x cos y
cos x sen y
2
2
sen x cos y
sen x cos y
[8]
Ejercicio nº 7.-
Completa la siguiente tabla:
[1]
Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús
MATEMÁTICAS I
Actividades tipo examen-recuperación de Pendientes 2/2
Nombre:__________________________________________________ Fecha de entrega:____________
BLOQUE IV: VECTORES
Ejercicio nº 1.-
:
2 1
a) Si y son los vectores que muestra la figura, dibuja 2 y3 3
u v u v , u v u v
2b) Si las coordenadas de y son , 3 y 1,3 , obtén las coordenadas de los
5
1 1 vectores: 5 2
5 2
a b
a b; a b; a b
Ejercicio nº 2.-
3
Dados los vectores 2, 1 , 4, 3 y 1, calcula:2
u v w
a) u v
b) 2w v u
c) w v v
Ejercicio nº 3.-
2Dados los vectores , 1 y 5, 3 , calcula , y , .
5u v u v u v
Ejercicio nº 4.-
3 4
Dados los vectores 1, y , :5 5
a x b
a) Calcula para que y sean perpendiculares.x a b
b) Halla un vector unitario perpendicular a .b
[2]
Ejercicio nº 5.-
22 2
Prueba que si es perpendicular a entonces .a b a b a b
Ejercicio nº 6.-
Dados los vectores 3, 5 y 4, 2 calcula un vector de la misma dirección que
y cuyo módulo sea igual a la proyección de sobre .
a b b
a b
Ejercicio nº 7.-
a) Calcula de modo que el producto escalar de 5, y 1, 3 sea igual a 4.k a k b
Ejercicio nº 8.-
Considera dos vectores , 3 e 1, . Halla los valores de y para que e x a y b a b x y
sean perpendiculares y que 5.x
Ejercicio nº 9.-
5
Si 2, 4 e 3, . Calcula:2
x y
a) Un vector unitario con la misma dirección y el mismo sentido que .x
b) El ángulo formado por e .x y
Ejercicio nº 10.-
Halla un vector de módulo 10 y que forme con 1, 2 un ángulo de 45 .v u
BLOQUE V: GEOMETRÍA ANALÍTICA
Ejercicio nº 1.-
a Averigua el punto simétrico de A5, 1) con respecto a B4, 2).
b Halla el punto medio del segmento de extremos A5, 1) y B4, 2).
Ejercicio nº 2.-
Dados los puntos A(2, 3), B(1, 4) y C(x, 3), determina el valor de x para que
A, B y C estén alineados.
[3]
Ejercicio nº 3.-
Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos
P(1, 3) y Q(2, 8).
Ejercicio nº 4.-
Dadas las rectas:
ty
txs
ty
txr
82
24:
46
2:
averigua su posición relativa (si se cortan, di en qué punto).
Ejercicio nº 5.-
Halla el ángulo que forman las rectas:
tytx
:stytx
r61
412432
:
Ejercicio nº 6.-
Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por P(2, 5) y es paralela al vector .
1, 3v
Ejercicio nº 7.-
¿Cuál ha de ser el valor de k para que estas dos rectas sean paralelas?
x + 3y 2 = 0 kx + 2y + 3 = 0
Ejercicio nº 8.-
Halla el valor de k para que la distancia del punto P(2, k) a la recta
.2sea03: yxr
Ejercicio nº 9.-
Dado el triángulo de vértices A(1, 1), B(1, 4) y C(5, 2), halla las ecuaciones de sus tres medianas y
calcula el baricentro punto de intersección de las medianas.
Ejercicio nº 10.-
Dados los puntos A1, 3 y B2, 1 escribe la condición que deben cumplir las coordenadas del
punto Cx, y para que el triángulo ABC sea rectángulo en C.
[4]
Ejercicio nº 11.-
Halla el punto de la recta 3x y 1 0 que forme con los puntos B3, 2 y C2, 0 un triángulo de
área 13.
BLOQUE VI: FUNCIONES
Ejercicio nº 1.-
Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
2
2a)
3
xy
x
1b)
2y
x
2
1c)
9y
x
d) 2y x
Ejercicio nº 2.-
A partir de la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición y su recorrido:
a) b)
Ejercicio nº 3.-
Vamos a considerar todos los rectángulos de 30 cm de perímetro. Si llamamos x a la longitud de la
base, el área será:
xxA 15
¿Cuál es el dominio de definición de esta función?
Ejercicio nº 4.-
Asocia cada una de estas gráficas con su correspondiente ecuación:
2
a) 3
y x
2b) 2 3y x c) 3,5 0,75y x 2d) 4y x
I) II)
[5]
III) IV)
Ejercicio nº 5.-
Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:
1a)
4y
x
1b) y x
1
c) 4yx
d) 2y x
I) II)
III) IV)
Ejercicio nº 6.-
Asocia cada gráfica con su correspondiente ecuación:
23a) xy 23b) xy 2c) 3 xlogy xlogy 3d)
I) II)
[6]
III) IV)
Ejercicio nº 7.-
Escribe la ecuación de la siguiente recta:
Ejercicio nº 8.-
Representa la gráfica de la siguiente función:
42 xy
Ejercicio nº 9.-
Dibuja la gráfica de la función:
x xy
x x2
1 /2 si 1
si 1
Ejercicio nº 10.-
Sabiendo que la gráfica de y f(x) es la siguiente:
construye, a partir de ella, las gráficas de:
1a) xfy
1b) xfy
[7]
Ejercicio nº 11.-
La siguiente gráfica corresponde a la función . Representa, a partir de ella, lay f x
función :y f x
Ejercicio nº 12.-
Define como función "a trozos":
2 4a) y x .
3 1
2
xb) y
Ejercicio nº 13.-
, 2Dadas las funciones 2 1 y calcula :f x x g x x
xgf a)
xfg b)
Ejercicio nº 14.-
Con las funciones:
x
xgxxf1
y12
hemos obtenido, por composición, estas otras:
11
y1
122
xxq
xxp
Explica cómo, a partir de f y g, se pueden obtener p y q.
[8]
Ejercicio nº 15.-
Dada la gráfica de la función y = f (x):
1 1a) Calcula 1 y 0 .f f
1b) Representa gráficamente en los mismos ejes , a partir de la gráfica de .f x f x
Ejercicio nº 16.-
Obtén la función inversa de:
4
32 xxf
Ejercicio nº 17.-
El precio del metro cuadrado de cierto material plástico depende de la cantidad comprada, x, y viene
definida por la siguiente función:
15 0,10 si 0 30
12 0,05 30 si 30 100
8,5 0,02 100 si 100 300
x x
f x x x
x x
a Representa gráficamente la función.
b Si se compran 200 m2, ¿Cuál será el precio que se paga por metro cuadrado?
c Para conseguir un precio inferior a 9 € /m2, ¿cuántos metros, como mínimo, se han de comprar?
BLOQUE VII: LÍMITES Y CONTINUIDAD
Ejercicio nº 1.-
A partir de la gráfica de f(x), calcula:
4
6
8
Y
X
2
6 824 28 62
4
6
4
xflim x
a)
xflimx
b)
xflimx 1
c)
xflimx 1
d)
xflimx 5
e)
[9]
Ejercicio nº 2.-
Representa los siguientes límites:
xflimxflimxx 22
Ejercicio nº 3.-
4
Calcula el límite de la función en 1 y en 3.3 2
x xf x x x
Ejercicio nº 4.-
Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento por la izquierda
y por la derecha:
3
1
xxf
Ejercicio nº 5.-
Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:
42
42
2
x
xlimx
Ejercicio nº 6.-
Calcula el límite cuando y cuando de la siguiente funciónx x
y representa la información que obtengas:
3
421 2 xxxf
Ejercicio nº 7.-
Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
x
xlimx 35
3a)
x
xlimx 35
3b)
[10]
Ejercicio nº 8.-
:xf función la de gráfica la es Esta
4
6
8
2
6 82 44 28 62
4
6
Y
X
a) ¿Es continua en x = 2?
b) ¿Y en x 0?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.
Ejercicio nº 9.-
a) Estudia la continuidad de la función:
0si2
20si12 2
xx
xxxf
b) Halla el valor de para que sea continua en 1:k f x x
1si1si12
xkxx
xf
Ejercicio nº 10.-
Dada la función:
12
12
xx
xf
halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas.
Ejercicio nº 11.-
los representa yfunciones siguientes las decuando infinitas, ramas las Halla ,x
resultados que obtengas:
31a) xxf
xxxf 2b)
[11]
Ejercicio nº 12.-
yfunción siguiente la de cuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x
representa los resultados que obtengas:
1
22
4
x
xxxf
Ejercicio nº 13.-
yfunción siguiente la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x
representa los resultados que obtengas:
1
122
2
x
xxf
BLOQUE VIII: INICIACIÓN A LAS DERIVADAS
Ejercicio nº 1.- Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:
0,1 a)
2,1 b)
Ejercicio nº 2.-
.3
1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,
xxff´
Ejercicio nº 3.-
., derivada de definición la aplicando2 función la de derivada la Halla 2xxf
Ejercicio nº 4.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:
52
a)5 3
x xf x
b) f x sen x + arctg x
3 23 1c)
3 2 5
x xf x
d) f x cos x ln x
3 22
e) 13 2
x xf x
f) 5f x ln x
[12]
Ejercicio nº 5.- Calcula la derivada de las funciones siguientes:
2
3 1a)
2
xf x
x
4b) cosf x x x
c) f x x log x
3 1
d)x
xf x
e
21e)
3
xf x
x
3 2f) f x x ln x
Ejercicio nº 6.- Calcula la función derivada de:
1
2 3
xa) f x sen
x
34 2x xb) f x e cos x
4
23 1
xc) f x
x
Ejercicio nº 7.-
Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva fx x3 2x en el punto de abscisa x 2.