colaborativo momento 6

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

Álgebra, Trigonometria y Geometria Analitica 301301 – 61

2015

TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 6

HEIDDY TATIANA ORTIZ POLO 1.113.639.958

LUIS FELIPE CAMPO 1.113.653.833

JOSE JOAQUIN NAVARRO 1.090.454.447

Grupo No. 61

Trabajo presentado al tutor: LEONARDO FABIO GARCIA


ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

OCTUBRE DE 2015



2015

INTRODUCCION

En el presente trabajo se analizara el tema secciones cónicas, sumatorias y productorias,

lo que permitirá analizar la ecuación general de las cónicas y conocer algunos campos de

aplicación de las secciones cónicas; comprender los principios y propiedades acerca de

las sumatorias y productorias como herramienta matemática para que sean aplicadas en

diversos campos del saber.

A continuación se desarrollaran una serie de ejercicios donde se aplicaran algunos de los

conceptos señalados anteriormente.



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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

EJERCICIO 1. Respuesta de José Joaquín Navarro

De la siguiente elipse: x 2 + 4y 2 – 4x - 8y – 92 = 0. Determine: Centro, Focos y Vertices

Dividimos todo entre 4:

(1/4)x² + y² – x – 2y – 23 = 0

(1/4)x² – x + y² – 2y – 23 = 0

(1/4)x² – x + y² – 2y + 1 – 1 – 23 = 0

(1/4)x² – x + (y – 1)² – 1 – 23 = 0

(1/4)x² – x + (y – 1)² = 24

(1/4)x² – x + (y – 1)² = 24

Multiplicamos todo por 4:

x² – 4x + 4 (y – 1)² = 96

x² – 4x + 4 – 4 + 4 (y – 1)² = 96

(x – 2)² – 4 + 4 (y – 1)² = 96

(x – 2)² + 4 (y – 1)² = 100

Dividimos todo entre 100:

(x – 2)² 4 (y – 1)²

---------- + ------------ = 1

100 100

(x – 2)² (y – 1)²

---------- + ------------ = 1

10² 5²

En toda elipse, a > b, luego

será: a = 10, b = 5

Esta ecuación que hemos obtenido se corresponde con

(x – x₀)² (y – y₀)²

---------- + ------------ = 1

a² b²



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En donde x₀ y y₀ son las coordenadas del centro;

a y b son la longitud del eje mayor y menor respectivamente, luego:

Centro (2, 1)

Para la distancia desde el foco al centro de la elipse:

c = √ a² – b² = √ 10² – 5² = √ 75

Luego hallamos la excentricidad de la elipse vale:

c √ 75

e = ---- = ----------

a 10

La distancia focal nos ayudará a hallar las coordenadas de los focos. Como la elipse es

"horizontal" (eje horizontal más largo que el vertical) las ordenadas de los focos serán

las mismas que las del centro. En cuanto a sus abscisas,

F(x₀ + c, y₀) = F(2 + √ 75, 1)

F*(x₀ – c, y₀) = F(2 – √ 75, 1)


De la siguiente ecuación canónica de la elipse, transformar la ecuación:



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De la siguiente hipérbola: −𝑥2 + 4𝑦2 − 2𝑥 − 16𝑦 + 11 = 0; Determine centro, focos y

vértices



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EJERCICIO 4. Respuesta de Luis Felipe Campo

Deducir la ecuación de la hipérbola: 𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1, a partir de la ecuación:



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Demostrar que la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 , es una circunferencia. Determinar

centro y radio.

𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0

(𝑥2 + 6𝑥) + (𝑦2 − 2𝑦) = −6

(𝑥2 + 6𝑥 + 9) + (𝑦2 − 2𝑦 + 1) = −6 + 9 + 1

(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 4

𝑟2 = 4

𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 = 𝟐

𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐(−𝟑, 𝟏)


De la siguiente parábola 𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥 + 6, determinar vértice, foco y directriz.



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EJERCICIO 7. Respuesta de Heiddy Tatiana Ortiz

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-3), y es paralela a la recta que une

los puntos (4, 1) y (-2, 2). Escribir la ecuación de la recta en forma general

m= Pendiente

m = 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 m =

2−1

−2−4 m = −

1

6

Punto (2, -3)

y – y1 = m (x - x1)

y – (-3) = −1

6 (x - 2)

y +3 = −1

6 (x - 2)

6(y+3) = -x + 2

6y+18 = -x + 2

Ec. General: x + 6y – 16 =0



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a) ∑ (−1)𝑘+1 5𝑘=1 (2k-1)2

(−1)1+1 (2(1) − 1)2 + (−1)2+1 (2(2) − 1)2 + (−1)3+1 (2(3) − 1)2 + (−1)4+1 (2(4) − 1)2+ (−1)5+1 (2(5) − 1)2

(−1)2 (2 − 1)2 + (−1)3 (4 − 1)2 +(−1)4 (6 − 1)2 +(−1)5 (8 − 1)2 +(−1)6 (10 − 1)2

(1 . 1) + (−1 . 9) + (1 . 25) + (−1 . 49) + (1 . 81)

(1 − 9 + 25 − 49 + 81)

R/ 49

b) ∑(−𝟐)𝒌+𝟏

𝒌

𝟒𝒌=𝟏

(−𝟐)𝟏+𝟏

𝟏+

(−𝟐)𝟐+𝟏

𝟐+

(−𝟐)𝟑+𝟏

𝟑+

(−𝟐)𝟒+𝟏

𝟒

(−𝟐)𝟐

𝟏+

(−𝟐)𝟑

𝟐+

(−𝟐)𝟒

𝟑+

(−𝟐)𝟓

𝟒

4

1+

−8

2+

16

3+

−32

4

R/ −𝟖

𝟑



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a) ∏ 𝟐𝒊 + 𝟓𝟒𝒊=−𝟐

(2(-2)+5) . (2(-1)+5) . (2(0)+5) . (2(1)+5) . (2(2)+5) . (2(3)+5) . (2(4)+5)

(-4 + 5) . (-2+5) . (0+5) . (2+5) . (4+5) . (6+5) . (8+5)

(1) . (3) . (5) . (7) . (9) . (11) . (13)

R/ 135135

b) ∏𝒊

(𝒊+𝟏)

𝟑𝒊=𝟏 + 𝟐

(𝟏

(𝟏+𝟏)+ 𝟐) (

𝟐

(𝟐+𝟏)+ 𝟐) (

𝟑

(𝟑+𝟏)+ 𝟐)

(𝟏

𝟐+ 𝟐) (

𝟐

𝟑+ 𝟐) (

𝟑

𝟒+ 𝟐)

(𝟓

𝟐) (

𝟖

𝟑) (

𝟏𝟏

𝟒)

R/ 𝟓𝟓

𝟑



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CONCLUSIONES

La realización de este trabajo nos ha permitido adentrarnos en el amplio mundo de

las matemáticas, y con ello identificar conceptos sobre ecuaciones, secciones

cónicas, sumatorias y productorias El conocimiento de todos estos conceptos nos

permitirá ser más analíticos, teniendo ideas claras y ordenadas encontrando un

mejor sentido a lo que normalmente hacemos.

Por otra parte, este trabajo también nos permitió comunicarnos de forma asertiva

entre los miembros del grupo, incentivando finalmente a una completa participación

por parte de quienes conformamos este equipo de trabajo.



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BIBLIOGRAFIA

Math2me. Obtener los elementos de la elipse dada su ecuación. (2010). Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=Hf-Mown3aOE

Ríos. J. Graficar una elipse. (2009). Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=849ryoz3LaU

Grillo. C. Sumatorias ¿Cómo se resuelve? (2012). Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=Rxkt0eMpKoo

Canal matemático. Sumatorias y productorias. (2011). Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=iVppwRvXO1Y

Matemáticas.es. Productorias. (2012). Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=nbyWtItRo5o

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https://www.youtube.com/watch?v=nbyWtItRo5o

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