colab3metnum yon ivan

8/16/2019 Colab3MetNum Yon Ivan

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Trabajo Colaborativo 31Intervención Individual

Yon Ivan Márquez Buitrago. Cód. 82313!"Ma#o 2$1%.

T&T'( )o*+ ,del Barrera

&niver*idad -acional ,bierta # a i*tancia &-,/*cuela de Ciencia* Bá*ica*0 Tecnologa e Ingeniera /CBTI

M+todo* -u+rico*ru4o "3


2/34

Introducción

5a* teática* que *e van a de*arrollar en el 4re*ente trabajo *on la* que a4arecen de6inida* en elcur*o 4ara la &nidad 3 que *e titula i6erenciación0 Integración -u+rica # /cuacione*i6erenciale*. /n e*ta &nidad *e de*arrollaran lo* contenido* de7 i6erenciación -u+rica0

Integración -u+rica0 (egla del tra4ecio0 (egla de i4*on0 Integración de (oberg M+todo de/uler0 M+todo de (unge 9utta # M+todo Multi4a*o*/* iu# i4ortante que conozcao* e*to* +todo* # lo* a4liqueo* en nue*tro entorno

4ro6e*ional #a que *on :erraienta* que 4retenden 6acilitar la 6ora de re*olver 4roblea* reale*en nue*tro* trabajo*.

2


3/34

'B)/TI;'

• Identi6icar a lo* co4ainal• /ntregar el =roducto >inal en el /ntorno de /valuación # eguiiento.• (egi*trar en el e?4orta6olio *u* 6ortaleza*0 debilidade* # o4ortunidade* de ejora en el

/ntorno de /valuación # eguiiento.•

3


4/34


5/34

(7@


6/34

2. PLANTEE Y SOLUCIONE DOS EJERCICIOS SOBRE DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA EXPLICANDO PASO A PASO EL PROCEDIMIENTO UTILIZADO

(7@ EJERCICIO 1: /valuareo* un ejercicio a4licando tre* +todo*7 la (egla del Tra4ecio0 la (egla dei4*on 1@3 # la (egla de i4*on 3@8

Evalúe la integral de los siguientes datos tabulados: Punt! " 1 2 # $ % x $ $.1 $.2 $.3 $." $.% f(x) 1 ! " 3 % 2

a) Integrando por el método del trapecio./n 4rier lugar *e debe veri6icar que el intervalo entre lo* 4unto* xi *ea con*tante0 o *ea0 que elvalor de “h” 0 *ea con*tante

& ' x1- x0 0.1−0=0.1 x2- x1 0.2−0.1=0.1 x3- x2 0.3−0.2=0.1 x4 -x3 0.4−0.3=0.1 x5- x4 0.5−0.4=0.1

5uego a4licando la 6órula0 *i *abeo* que n=57

I =∫a= x0

b= x5

f ( x )dx=h

2

[f ( x0 )+2∑

i=1

4

f ( xi )+ f ( x5)

]h=

b−an

=riero0 *e tiene el taa


7/34

5uego la 6orula *era7

I =∫a= x0

b= x5

f ( x )dx=h

3 [f ( x0 )+4 f ( x1 )+ f ( x2 ) ]+

h

3 [f ( x2 )+4 f ( x3 )+f ( x4 ) ]+

h

2[ f ( x 4 )+f ( x5 ) ]

(ee4lazando la tabla de dato*7

I =0.1

3 [ 1+4 (7 )+4 ]+ 0.1

3 [ 4+4 (3 )+5 ]+ 0.1

2 [ 5+2 ]=2.15

c) Integrando por el método del impson "!# compuesto./n 4rier lugar *e veri6ica que el valor de n D%E0 ta4oco e* Flti4lo de 30 4or lo que no *e 4odra a4licar el +todo. =ero *e 4uede dividir la integral # a4licar di*tinto* +todo* en lo*

intervalo*.5uego la 6orula *era7

I =∫a= x0

b= x5

f ( x )dx=3h

8 [f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+ f ( x3 ) ]+

h

3 [f ( x3 )+4 f ( x4 )+ f ( x5 ) ]

(ee4lazando7

I =3 (0.1)

8 [1+3 (7 )+3 ( 4 )+3 ]+ 0.1

3 [3+4 (5 )+2 ]=2,22083

EJERCICIO 2: Integre la siguiente $unción entre los l%mites a&'1 ( b&1 utili*ando + intervalos.

∫−1

1

1√ 2 π

e x− x2

2

dx

a) Integrando por el método del trapecio compuesto.=ara reducir el error del re*ultado0 *e 4uede dividir el área de la integral en 4eque


8/34

2 x2= x1+h −13

−0.3333333333

3 x3= x2+h 0 0" x4= x3+h 1

3

0.3333333333

% x5= x4+h 23

0.6666666667

A x6= x5+h=b 1 15a integral dividida en lo* intervalo* *era7

f ( x ) dx+∫ x1

x2

f ( x ) dx+∫ x 2

x3

f ( x ) dx+¿∫ x3

x4

f ( x )dx+∫ x 4

x 5

f ( x ) dx+∫ x 5

x 6

f ( x )dx

I = ∫a= x0

b= x6

f ( x )dx=∫ x0

x1

¿

,4licando la 6órula del +todo del tra4ecio *e a4lica en cada intervalo7

f ( x ) dx=¿ h

2[ f ( x0 )+ f ( x1) ]+

h

2[ f ( x1 )+ f ( x2 ) ]+

h

2 [ f ( x2 )+ f ( x3 ) ]+

h

2 [ f ( x3 )+ f ( x4 ) ]+

h

2[ f ( x4 )+ f ( x5 ) ]+

h

2 [f ( x5 )+ f ( x

I =∫−1

1

¿

>actorizando7

f ( x ) dx=¿ h

2[ f ( x0 )+ f ( x1)+ f ( x1 )+f ( x2 )+ f ( x2 )+ f ( x3 )+ f ( x3 )+f ( x4 )+ f ( x4 )+ f ( x5 )+ f ( x5 )+ f ( x6 ) ]

I =∫−1

1

¿

f ( x ) dx=¿ h

2[ f ( x0 )+2 f ( x1 )+2 f ( x2 )+2 f ( x3 )+2 f ( x4 )+2 f ( x5 )+ f ( x6 ) ]

I =∫−1

1

¿

f ( x ) dx=¿ h

2[ f ( x0 )+2 [ f ( x1)+ f ( x2 )+f ( x3 )+ f ( x 4 )+f ( x5 ) ]+ f ( x6 ) ]

I =∫−1

1

¿

Hue *e 4uede *intetizar en la *iguiente 6orula7

I =∫a= x0

b= x6

f ( x )dx=h

2 [ f ( x0 )+2∑i=1n

f ( xi )+ f ( xn )]


9/34

=ara :allar lo* valore* de f ( x i ) 0 *e evalFa la 6unción en lo* 4unto* coo *e ue*tra en la *iguientetabla7

( & ( f ( x i )

$ ?1 $.2"1!11 −0.6666666667 $.31""82 −0.3333333333 $.3!!3833 0 $.38"2" 0.3333333333 $.3!!383% 0.6666666667 $.31""8A 1 $.2"1!1

(ee4lazando en la 6órula7

∑i=1

n

f ( xi )=0.319448

+0.377383

+0.398942

+0.377383

+0.319448

=1.792604

I =0.3333

2 [ 0.241971+2 (1.792604 )+0.241971 ]=0.3333

2 ( 4.06915 )=0.678123

b) Integrando por el método del impson 1!" compuesto.e divide la integral en cada 4ar de intervalo* # luego *e *uarán0 de la *iguiente 6ora7

f ( x ) dx+∫ x2

x4

f ( x ) dx+∫ x 4

x6

f ( x ) dx+¿

I =

∫a= x 0

b= x 6

f ( x )dx=

∫ x 0

x 2

¿

,4licando la 6órula del +todo de i4*on 1@3 *e a4lica en cada intervalo7

I =∫−1

1

f ( x)dx=h

3[ f ( x0)+4 f ( x1 )+ f ( x2 ) ]+

h

3 [ f ( x2 )+4 f ( x3 )+ f ( x4 ) ]+

h

2[ f ( x4 )+4 f ( x5 )+ f ( x6 ) ]

>actorizando # *intetizando la ecuación0 *e tiene la *iguiente 6orula

I =∫a= x 0

b= x n

f ( x )dx=h

3 [ f ( x0 )+4 ∑i=1 Impar

n−1

f ( x i )+2∑i=2 par

n−2

f ( x i )+f ( xn )]5uego de*arrollando la 6órula 4ara A intervalo*7

I =∫a= x 0

b= x 6

f ( x )dx=h

3 [ f ( x0 )+4 ∑i=1 Impar

5

f ( x i )+2∑i=2 par

4

f ( x i )+f ( x6 )]=riero0 *e calculará el taa


10/34

h=1−(−1)

6 =

1

3=0.3333


( & ( f ( x i )$ ?1 $.2"1!11 −0.6666666667 $.31""82 −0.3333333333 $.3!!3833 0 $.38"2" 0.3333333333 $.3!!383% 0.6666666667 $.31""8A 1 $.2"1!1

∑i=1 Impar

5

f ( x i )=f ( x1 )+ f ( x3 )+ f ( x5 )=0.319448+0.398942+0.319448=1.037838

f ( x i )=f ( x2 )+f ( x4 )=¿0.377383+0.377383=0.754766

∑i=2 par

4

¿

I = ∫a= x 0

b= x 6

f ( x )dx=h

3 [ f ( x0 )+4 [ f ( x1 )+ f ( x3 )+ f ( x5 ) ]+2 [f ( x2 )+ f ( x4 ) ]+ f ( x6 ) ]


I =0.3333

3 [ 0.241971+4 (1.037838 )+2(0.754766)+0.241971 ]=0.6826901686

c) Integrando por el método del impson "!# compuesto.

e utilizan la* *iguiente* 6orula*7

I = ∫a= x0

b= x n

f ( x )dx=3h

8

[

f ( x0 )+3 ∑i=1

1,4,7…

n−2

f ( x i )+3 ∑i=2

2,5,8…

n−1

f ( xi )+2 ∑i=2

3,6,9…

n−3

f ( x i )+ f ( xn )

]h=b−anCon n=6 /* i4ortante notar que 4ara el +todo de i4*on 3@80 el nFero de intervalo* n0*olo 4uede *er un Flti4lo de 30 o *ea0 30 A0 0 etc.

=riero0 *e calculará el taa


11/34

h=1−(−1)

6 =

1

3=0.333333

5uego de*arrollando la 6órula 4ara A intervalo*7

I =∫a= x 0

b= x 6

f ( x )dx=

h

3

[f ( x0 )+

3

∑i=11,4

4

f ( xi )+3

∑i=22,5

5

f ( xi )+2

∑i=33

3

f ( x i )+f ( x6 )

]∑i=11,4

4

f ( xi )=f ( x1 )+ f ( x 4 )=¿

∑i=22,5

5

f ( xi )=f ( x2 )+ f ( x5 )

∑i=33

3

f ( xi )=f ( x3 )

I =∫a= x 0

b= x 6

f ( x )dx=h

3 [ f ( x0 )+3 [¿ f ( x1 )+ f ( x4 ) ]+3 [ f ( x2)+ f ( x5 ) ]+2 [f ( x3 ) ]+ f ( x6 ) ]


( & ( f ( x i )$ ?1 $.2"1!11 −0.6666666667 $.31""82 −0.3333333333 $.3!!3833 0 $.38"2" 0.3333333333 $.3!!383% 0.6666666667 $.31""8A 1 $.2"1!1

I =3 (0.333333)

8 [ 0.241971+3 (0.319448+0.377383 )+3(0.377383+0.319448)+2(0.398942+0.241971)]=0

#. SOLUCIONE EL SI)UIENTE EJERCICIO UTILIZANDO LA RE)LA DEL TRAPECIO*

LA RE)LA DE SIMPSON 1+# Y LA RE)LA DE SIMPSON #+,. COMPARE LOS RESULTADOS Y -A)A UN PEUE/O AN0LISIS. DIVIDIENDO EN % INTERVALOS

".1. ,rimer Ejercicio

∫0

1 x

2 x+1dx=

−ln (3 )4 +

1

2=0.2253469278

(7@


12/34

a) Integrando por el método del trapecio compuesto.

5a 6órula es:

I =∫a

b

f ( x)dx=h2 [ f ( a )+f ( b ) ]

ónde7 a=0, b=1 # n=5f ( a )=f (0 )=0

f ( b )=f (1 )=13=0.3333

=ara reducir el error del re*ultado0 *e 4uede dividir el área de la integral en 4eque


13/34

f ( x ) dx=¿ h

2[ f ( x0 )+ f ( x1) ]+

h

2[ f ( x1 )+ f ( x2 ) ]+

h

2 [ f ( x2 )+ f ( x3 ) ]+

h

2 [ f ( x3 )+ f ( x4 ) ]+

h

2[ f ( x4 )+ f ( x5 ) ]

I =∫0

1

¿

>actorizando7

f ( x ) dx=¿ h

2[ f ( x0 )+ f ( x1)+ f ( x1 )+f ( x2 )+ f ( x2 )+ f ( x3 )+ f ( x3 )+f ( x4 )+ f ( x4 )+ f ( x5 ) ]

I =∫0

1

¿

f ( x ) dx=¿ h

2[ f ( x0 )+2 f ( x1 )+2 f ( x2 )+2 f ( x3 )+2 f ( x4 )+ f ( x5 ) ]

I =∫0

1

¿

f ( x ) dx=¿ h

2[ f ( x0 )+2 [ f ( x1)+ f ( x2 )+f ( x3 )+ f ( x 4 ) ]+ f ( x5 ) ]

I =∫0

1

¿


I =

∫a= x 0

b= x5

f ( x )dx=h

2

[f ( x0 )+2

∑i=1

n

f ( xi )+ f ( xn )

]=ara :allar lo* valore* de f ( x i ) 0 *e evalFa la 6unción en lo* 4unto* coo *e ue*tra en la *iguientetabla7

( & ( f ( x i )$ $ $1 0.2 $.1"28%!

2 0.4 $.222222

3 0 .A $.2!2!2!

" 0.8 $.3$!A2

% 1 $.333333


∑i=0

n

f ( xi )=0.142857+0.222222+0.272727+0.307692=0.945498


14/34

I =0.2

2 [ 0+2 (0.945498 )+0.333333 ]=0.2224329

b) Integrando por el método del impson 1!" compuesto.

/n 4rier lugar *e veri6ica que el valor de n D%E0 no e* Flti4lo de 20 4or lo que no *e 4odraa4licar el +todo. =ero *e 4uede dividir la integral # a4licar di*tinto* +todo* en lo* intervalo*.


I =∫a= x0

b= x5

f ( x )dx=h

3 [f ( x0 )+4 f ( x1 )+ f ( x2 ) ]+

h

3 [f ( x2 )+4 f ( x3 )+f ( x4 ) ]+

h

2[ f ( x 4 )+f ( x5 ) ]


I =0.2

3 [ 0+4 (0.142857 )+0.222222 ]+ 0.2

3 [ 0.222222+4 (0.272727 )+0.307692 ]+ 0.2

2[0.307692+0.333333 ]=

c) Integrando por el método del impson "!# compuesto.

/n 4rier lugar *e veri6ica que el valor de n D%E0 ta4oco e* Flti4lo de 30 4or lo que no *e

4odra a4licar el +todo. =ero *e 4uede dividir la integral # a4licar di*tinto* +todo* en lo*intervalo*.5uego la 6orula *era7

I =∫a= x 0

b= x5

f ( x )dx=3 h

8 [f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+ f ( x3 ) ]+

h

3 [f ( x3 )+4 f ( x4 )+ f ( x5 ) ]

(ee4lazando7

I =3 (0.2)

8 [0+3 (0.142857 )+3 (0.222222 )+0.272727 ]+ 0.2

3 [ 0.272727+4 (0.307692 )+0.333333 ]=0.225052

".-. egundo Ejercicio

∫0

43√ x e

xdx

a) Integrando por el método del trapecio compuesto.

Punt

!

" 1 2 # $ %

G $ 0.2 0.4 0.A

0.8 1

6DGE

$ $.1"28%!

$.222222

$.2!2!2!

$.3$!A2

$.333333


15/34


16/34

f ( x ) dx=¿ h

2[ f ( x0 )+ f ( x1)+ f ( x1 )+f ( x2 )+ f ( x2 )+ f ( x3 )+ f ( x3 )+f ( x4 )+ f ( x4 )+ f ( x5 ) ]

I =

∫0

4

¿

f ( x ) dx=¿ h2

[ f ( x0 )+2 f ( x1 )+2 f ( x2 )+2 f ( x3 )+2 f ( x4 )+ f ( x5 ) ]

I =∫0

4

¿

f ( x ) dx=¿ h

2[ f ( x0 )+2 [ f ( x1)+ f ( x2 )+f ( x3 )+ f ( x 4 ) ]+ f ( x5 ) ]

I =∫0

4

¿


I =∫a= x 0

b= x5

f ( x )dx=h

2 [ f ( x0 )+2∑i=1n

f ( xi )+ f ( xn )]=ara :allar lo* valore* de f ( x i ) 0 *e evalFa la 6unción en lo* 4unto* coo *e ue*tra en la *iguientetabla7

( & ( f ( x i )

$ $ $1 0.8 2.$AA$$

2 1.6 %.!31$1

3 2.4 1".!%8%%"

" 3.2 3A.1%1""%

% " 8A.AA1A$


∑i=1

n

f ( xi )=2.066009+5.793101+14.758554+36.151445=58.769109

I =0.82 [ 0+2 (58.769109 )+86.669160 ]=81.6829512

d) Integrando por el método del impson 1!" compuesto.

/n 4rier lugar *e veri6ica que el valor de n D%E0 no e* Flti4lo de 20 4or lo que no *e 4odraa4licar el +todo. =ero *e 4uede dividir la integral # a4licar di*tinto* +todo* en lo* intervalo*.


17/34


I =∫a= x0

b= x5

f ( x )dx=h

3 [f ( x0 )+4 f ( x1 )+ f ( x2 ) ]+

h

3 [f ( x2 )+4 f ( x3 )+f ( x4 ) ]+

h

2[ f ( x 4 )+f ( x5 ) ]


I =0.8

3 [ 0+4 (2.066009 )+5.79310 ]+ 0.8

3 [ 5.79310+4 (14.758554 )+36.151445 ]+ 0.8

2[ 36.151445+86.669160 ]

e) Integrando por el método del impson "!# compuesto.

/n 4rier lugar *e veri6ica que el valor de n D%E0 ta4oco e* Flti4lo de 30 4or lo que no *e 4odra a4licar el +todo. =ero *e 4uede dividir la integral # a4licar di*tinto* +todo* en lo*intervalo*.5uego la 6orula *era7

I =∫a= x 0

b= x5

f ( x )dx=3 h

8 [f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+ f ( x3 ) ]+

h

3 [f ( x3 )+4 f ( x4 )+ f ( x5 ) ]

(ee4lazando7

I =3 (0.8)8 [ 0+3 (2.066009 )+3 (5.793101 )+14.758554 ]+ 0.83 [ 14.758554+4 (36.151445 )+86.669160 ]=77. 10

. /02I/NE E0 I3IENTE E4E52I2I/ TI0I67ND/ 07 INTE3572I8N DE5/9E53. 7ND/ E39ENT/ DE 0/N3ITD 1 1!- ; <

∫0

1

e x

2

dx

(7@Integrando 4or el +todo del tra4ecio co4ue*to. /l integrando e*

f ( x )=e x2

=ara e*te ejercicio debeo* tener en cuenta la corrección de errore* en la regla tra4ezoidal

>orula eneral de la (egla Tra4ezoidal

I =b−a [f ( a )+ f (b ) ]

2

/l cálculo # el error a*ociado con la regla tra4ezoidal de *egento* Flti4le* *e re4re*entan generalente coo7 I = I (h )+ E (h)

Punt !

" 1 2 # $ %

G $ 0.8 1.6 2.4 3.2 "

6DGE

$ 2.$AA$$

%.!31$1

1".!%8%%"

3A.1%1""%

8A.AA1A$


18/34

en donde I e* el valor eGacto de la integral0 I(h)e* la a4roGiación de la integral u*ando la reglatra4ezoidal con n *egento* # con taa


19/34

I (h1)=∫a

b

f ( x )dx=h1

2 [ f ( a )+ f ( b ) ]

h

(¿¿ 1)=h12

[ f ( a )+ f ( b ) ]=12

[ e02

+e12

]=1.8591409142 I ¿

=ara h2 6órula es:

I (h2)=∫a

b

f ( x )dx=h22

[ f ( x0 )+2 f ( x1 )+ f ( x2 ) ]=1

2

2

1

[e02+2e 122

+e12]=1.5715831655

=ara h3 6órula es:

I (h3)=∫a

b

f ( x)dx=h3

2 [f ( x0 )+2∑i=1n−1

f ( x i)+ f ( xn )]=1

4

2

1

[e02+2 [e 142

+e1

2

2

+e3

4

2

]+e12]=1.4906788617 NIVEL 2

=ara 4a*ar al *egundo nivel teneo* en cuenta el ca*o e*4ecial cuando h2=h1

2 Dque e* el algorito de (obergE0 #

4ara ello teneo*7h

h I (¿¿1)

I (¿¿ 2)−1

3¿

I ≈ 4

3¿

dondeh

I (¿¿ 1)¿

e* la integral eno* eGacta Dla que u*a eno* *ubintervalo*E eh

I (¿¿ 2)¿

e* la á* eGacta Dla

que u*a el doble de *ubintervalo*E

,4licando teneo* entonce* lo *iguiente1.8591409142 1.5715831655 1.4906788617

43

(1.5715831655 )−13

(1.8591409142 )=1.475 43

(1.4906788617 )−13

(1.5715831655 )=1.463

NIVEL #=ara el ca*o e*4ecial en que la* e*tiacione* ediante regla tra4ezoidal original *e ba*en en divi*ione* *uce*iva*a la itad del intervalo0 la ecuación u*ada con un nivel á* alto de eGactitud e*


20/34


21/34

Con e*to* dato*0 teneo*75a 6órula es:

I (h1)=∫a

b

f ( x )dx=h1

2 [ f ( a )+ f ( b ) ]

h

(¿¿ 1)=h1

2 [ f ( a )+ f ( b ) ]=1

2[ e1 ln(1)+e2 ln(2)]=2.560851701

I ¿=ara h2 6órula es:

I (h2)=∫a

b

f ( x ) dx=h2

2 [ f ( x0 )+2 f ( x1 )+ f ( x2 ) ]

¿

1

2

2

1

[e1 ln(1)+2 e3

2 ln( 32 )+e2 ln(2)]=2.1890101222

=ara h3 # h4 6órula es:

I =∫a

b

f ( x)dx=hn

2 [ f ( x0 )+2∑i=1n−1

f ( x i )+f ( xn )]=¿

I (h3 )=14

2

1

[e1 ln (1 )+2[e54 ln( 54 )+e3

2 ln( 32 )+e7

4 ln( 74 )]+e2 ln (2 )]=2.0943085695

( 54 )+e11

8 ln( 118 )+e3

2 ln( 32 )+e13

8 ln(138 )+e7

4 ln( 74 )+¿e15

8 ln( 158 )e

9

8ln( 98 )+e

5

8ln ¿

e1

ln(1)+2 [¿+e2 ln(2) ]=2.070524501

I (h4 )=

1

8

2

1

¿

NIVEL 2&*ao* la* 6órula* de (oberg 4ara cada nivel # obteneo* la *iguiente tabla7


22/34

h

h I (¿¿1)

I (¿¿ 2)−1

3

¿

I ≈ 4

3 ¿

2.560851701 2.1890101222 2.0943085695 2.070524501

4

3 (2.1890101222)−

1

3 (2.5608

4

3 (2.0943085695 )−

1

3(2.1890

4

3 (2.070524501 )−

1

3 (2.09430

NIVEL #

I ≈ 16

15 I m−

1

15 I l

2.0650629293 2.0627413853 2.0625964782

16

15(2.0627413853 )− 1

15(2.0650629293 )=2.0

16

15 (2.0625964782 )−

1

15(2.0627413853 )=2.06

NIVEL $

I ≈ 64

63 I m−

1

63 I l=

64

63(2.0625868177)−

1

63(2.0625866157)=2.0625868209

,*0 4odeo* concluir que el valor de la a4roGiación0 obtenido con el +todo de (oberg en el ejercicio e*

∫1

2

e x

ln( x )dx ≈ 2.0625868209

+. 75 E0 9?T/D/ DE E0E5 9E4/57D/ ,757 7,5/@I975 32*# T/97ND/ ' 4".1 D7D7 07 E272I8N DIAE5EN2I70

y ' =2 x+ y−3

y (2 )=1(7@ Teneo* lo* *iguiente* dato*7

h=0.1f ( x , y )=2 x+ y−3 x0=2 y0=1


23/34

5a 6órula a a4licar e*

yn+1= yn+h[ f ( xn, yn )+ f ( xn+1 , yn+1¿ )

2 ]onde

yn+1¿ = yn+h f ( xn , yn )Iterao* :a*ta que

xn=2.3 P5(6758 It7589(n

{ x

1= x

0+h=2+0.1=2.1

y1

¿= y0+h ∙ f ( x0 , y0 )=1+0.1 ∙ ( 2 x0+ y0−3 )=1+0.1 ∙ ( 2(2 )+1−3 )=1.2

∴ y1= y

0+h [ f ( x0 , y0 )+f ( x1 , y1

¿ )2 ]=1+0.1[ (2 (2 )+1−3 )+(2(2.1)+1.2−3)2 ]=6150=1.22

-óte*e que el valor de coincide con el D/uler 1E0 # e* el Fnico valor que va a coincidir0 4ue* 4ara calcular *e

u*ará # no .

/*to lo vereo* claraente en la *iguiente iteración7

S7;un


24/34

y (0.5 )dada la *iguiente ecuación di6erencial7

y' =2 xy

y (0)=1(7@ Toando ' 4 ".1 Teneo* lo* *iguiente* dato*7

{ x0=0

y0=1h=0.1

f ( x , y)=2 xy

=ara 4oder calcular el valor de y1 0 debeo* calcular 4riero* lo* valore* dek 1=h ∙ f ( xn , y n)

k 2=h ∙ f ( xn+1

2h , yn+

1

2k 1)

k 3=h ∙ f ( xn+ 12 h , yn+ 12 k 2)k 4=h ∙ f ( xn+h , yn+k 3 )

yn+1= yn+1

6 (k 1+2 k 2+2 k 3+k 4 )

P5(6758 It7589(n

x1= x0+h=0+0.1=0.1

k 1=h∙ f ( x0 , y0 )=0.1 (2 x0 y 0 )=0.1 (2 (0 ) (1 ) )=0

k 2=h ∙ f ( x0+ 12 h , y0+12 k 1)=0.1(2( x0+ 12 h)( y0+ 12 k 1))=0.1(2(0+ 12 (0.1))(1+12 (0 )))=0.01k 3=h ∙ f ( x0+12 h , y0+ 12 k 2)=0.1(2( x0+ 12 h)( y0+ 12 k 2))=0.1(2(0+12 (0.1 ))(1+ 12 (0.01 )))=0.01005

k 4=h ∙ f ( x0+h , y0+k 3 )=0.1 (2 ( x0+h ) ( y 0+k 3 ))=0.1 (2 (0+(0.1 ) ) (1+(0.01005 ) ) )=0.020201

∴ y1= y0+1

6( k 1+2 k 2+2k 3+k 4 )=1+

1

6(0+2 (0.01 )+2 (0.01005 )+0.020201 )=1.0100501667

Iterao* :a*ta que xn=0.5

S7;un


25/34


26/34

x5= x4+h=0.4+0.1=0.5

k 1=h ∙ f ( x3, y3 )=0.1(2 x3 y3 )=0.1 (2 ( 0.4) (1.1735108136 ) )=0.0938808651

k 2=h∙ f

( x

3+

1

2h , y

3+

1

2k

1

)=0.1

(2

( x

3+

1

2h

)( y

3+

1

2k

1

))=0.1

(2

(0.4+

1

2(0.1)

)(1.1735108136+

1

2(0.0938

k 3=h ∙ f ( x3+ 12 h , y3+ 12 k 2)=0.1(2( x3+ 12 h)( y3+ 12 k 2))=0.1(2(0.4+ 12 (0.1))(1.1735108136+ 12 (0.1098

k 4=h∙ f ( x2+h , y2+k 3 )=0.1(2 ( x2+h )( y 2+k 3 ))=0.1( 2 (0.4+(0.1) ) (1.1735108136+(0.1105588008

∴ y2= y1+1

6 (k 1+2 k 2+2 k 3+k 4 )=1.1735108136+

1

6 (0.0938808651+2( 0.1098406122)+2 (0.1105588008)+

e conclu#e que el valor obtenido con el etodo de (unge?9utta e*7 y (0.5 )≈1.2840252557

#. 70075 07 /02I8N 7,5/@I97D7 E ,5/,/52I/N7 E0 9?T/D/ DE7D79 F 7A/5T DE E3ND/ TE52E5 ; 275T/ /5DEN ,757 07E272I8N.

y' =

(4−2 x )

y2

, y (1 )=1, h=0.1, x [1,2 ]

(7@ Identi6icando7

f ( x , y )=( 4−2 x )

y2

y0=1h=0.1

x [ 1,2 ]

allao* G$

si y0=0,entonces (4−2 x0 )

12 =1

4=2 x02= x0

=ara e*te ejercicio teneo* en cuenta la *iguiente tabla


27/34

Ilustración 1 !"fici!n"ts # $"r%in!s &"si'ual"s '" "l "t!'! 'a%s-*ashf!rth+ $!%a'! '"

htts//fr""sh"ll+'"/.rh/arch/%"t-si%u-+'f

9etodo de 7dams F asG$ortG de - ,asos

&*ao* el +todo de /uler 4ara generar el valor inicial

y1= y0+h f ( x0 , y0 )= y0+h f ( (4−2 x0 ) y02 )=1+0.1( ( 4−2(2))

12 )=1

>orula0 a4licación del 4a*o 2 4ara y2 x1= x0+h=2+0.1=2.1

x

x

f (¿¿0, y0)

3( (4−2 (2.1 ) )12 )−( (4−2 (2 ) )

12 )=0.97

f (¿¿1, y 1)−¿=1+0.1

2 ¿

3¿

y2= y1+h

2¿

,4licación del 4a*o 2 4ara y3 x

2= x

1+h=2.1+0.1=2.2

https://freeshell.de/~rgh/arch/met-simu-7.pdfhttps://freeshell.de/~rgh/arch/met-simu-7.pdf


28/34

x

x

f (¿¿1, y1)

3

( (4−2 (2.2 ) )

(0.97)2

)−(

(4−2 (2.1 ) )12

)=0.9162312679

f (¿¿2, y 2)−¿=0.97+0.1

2 ¿

3¿

y3= y2+h

2¿

,4licación del 4a*o 2 4ara y4 x3= x2+h=2.2+0.1=2.3

x

xf (¿¿2, y2)

3( (4−2 (2.3 ) )(0.9162312679)2 )−( (4−2 (2.2 ) )

12 )=0.8290220095

f (¿¿3, y 3)−¿=0.9162312679+0.1

2 ¿

3¿

y4= y3+h

2¿

,4licación del 4a*o 2 4ara y5

x4= x3+h=2.3+0.1=2.4

x

x

f (¿¿3, y3)

3( (4−2 (2.4) )(0.8290220095)2 )−( (4−2 (2.3) )

(0.9162312679)2 )=0.6901564649f (¿¿ 4, y 4)−¿=0.8290220095+

0.1

2 ¿

3¿

y5= y 4+h2 ¿

9étodo ,redictor 2orrector de cuarto orden de 7dams' asG$ortG' 9oulton

5a 6órula 4redictora e* la de ,da*?Ba*:6ort:7


29/34


30/34

x2= x1+h=2.1+0.1=2.2

k 1=h ∙ f ( x1 , y1 )=0.1( ( 4−2 x1 ) y12 )=0.1( ( 4−2(2.1))(0.9795839979)2 )=−0.0208423

k 2=h ∙ f ( x1+ 12 h , y1+ 12 k 1)=0.1((4−2( x1+ 12 h))( y1+ 12 k 1)

2 )=0.1(2( (4−2(2.1+ 12 (0.1 )))

((0.9795839979)+ 12 (−0.02084234

k 3=h ∙ f ( x1+ 12 h , y1+ 12 k 2)=0.1((4−2( x1+1

2h))

( y1+ 12 k 2)2 )=0.1

(2( (4−2(2.1+

1

2(0.1 )))

((0.9795839979)+ 12 (−0.0638789

k 4=h∙ f ( x1+h , y1+k 3 )=0.1( (4−2 ( x1+h ))( y1+k 3 )2 )=0.1(2( (4−2 (2.1+(0.1 ) ) )

((0.9795839979)+ (−0.066812902 ) )2

∴ y2= y1+1

6 (k 1+2 k 2+2 k 3+k 4 )=0.9795839979+

1

6 (−0.0208423475+2 (−0.0638789482 )+2 (−0.06681290

T759758 It7589(n

x3= x2+h=2.2+0.1=2.3

k 1=h ∙ f ( x2 , y2 )=0.1

(( 4−2 x2 )

y22

)=0.1

( ( 4−2(2.2))

(0.9165428231)2

)=−0.0476161

k 2=h ∙ f ( x2+ 12 h , y2+ 12 k 1)=0.1((4−2( x2+1

2 h))

( y 2+ 12 k 1)2 )=0.1(2( (4−2(2.2+

1

2(0.1 )))

((0.9165428231)+ 12 (−0.0476161

k 3=h ∙ f ( x2+ 12 h , y2+ 12 k 2)=0.1

((4−2( x2+ 12 h))

( y2+

1

2 k 2)2

)=0.1

(2

( (4−2(2.2+ 12 (0.1 )))

((0.9165428231)+

1

2 (−0.12547440

k 4=h ∙ f ( x2+h , y2+k 3 )=0.1( (4−2 ( x2+h ) )( y2+k 3 )2 )=0.1(2( (4−2 (2.2+(0.1 ) ) )

((0.9165428231)+ (−0.1371772143 ) )

∴ y3= y2+1

6 (k 1+2 k 2+2 k 3+k 4 )=0.9165428231+

1

6 (−0.047616171+2 (−0.1254744012 )+2 (−0.137177214


31/34

Cu85t8 It7589(n

,4licao* la 6órula 4redictora de ,da*?Ba*:6ort:7

y4¿= y3+ h24 (55 f ( x3 , y3 )−59 f ( x2 , y2 )+37 f ( x1 , y1 )−9 f ( x0 , y0 )) x4= x3+h=2.3+0.1=2.4

f ( x0 , y0 )=(4−2(2))

12 =0

f ( x1 , y1 )= (4−2(2.1))(0.9795839979)2

=−0.2084234745

f ( x2 , y 2 )= (4−2(2.2))

(0.9165428231)2=−0.47616171

f ( x3 , y3 )= (4−2(2.3))(0.7881296082)2

=−0.9659529294

y4¿=0.7881296082+

0.1

24 ( 55(−0.9659529294 )−59 (−0.47616171 )+37 (−0.2084234745 )−9 (0 ) )=0.6516898

f ( x4 , y4¿ )=

(4−2(2.4 ))(0.6516898633)2

=−1.883684028

,4licao* la 6órula correctora de ,da*?Moulton7

y4= y3+ h

24(9 f ( x4 , y4

¿ )+19 f ( x3 , y3 )−5 f ( x2 , y 2)+ f ( x1 , y1 ))

y4=0.7881296082+0.1

24 ( 9 (−1.883684028 )+19 (−0.9659529294 )−5 (−0.47616171 )+(−0.208423474 ) )=0.

f ( x4 , y4 )= (4−2(2.4))(0.6500717881)2

=−1.893072947

,4licao* la 6órula 4redictora de ,da*?Ba*:6ort:7

y5¿= y4+

h

24(55 f ( x4 , y 4 )−59 f ( x3 , y3 )+37 f ( x2 , y2 )−9 f ( x1 , y1 ))

x5= x4+h=2.4+0.1=2.5


32/34

y5¿=0.6500717881+

0.1

24 (55 (−1.893072947 )−59 (−0.9659529294 )+37 (−0.47616171)−9 (−0.2084234745

f

( x5 , y5

¿

)=

(4−2(2.5))

(0.3881136162)2=−6.6386877366

,4licao* la 6órula correctora de ,da*?Moulton7

y5= y4+ h

24(9 f ( x5 , y5

¿ )+19 f ( x 4, y4 )−5 f ( x3 , y3 )+ f ( x2 , y2 ))

y5=0.6500717881+0.1

24 (9 (−6.6386877366 )+19 (−1.893072947 )−5 (−0.9659529294 )+ (−0.47616171 ) )=0


33/34


34/34

0ista de re$erencias

&-,. M+todo* -u+rico*. Ca4tulo 1 i6erente* Ti4o* e /rrore*. (ecu4erado de

:tt47@@datateca.unad.edu.co@contenido*@1$$"$1@M'&5'K2$13?2@leccinK2KeGactitudK#K4reci*in.:tl>ranci*co =alacio* /*cuela =olit+cnica u4erior de Ingeniera de Manre*a &niver*idad =olit+cnica deCatalun#a e4. Mateática ,4licada III. Cálculo cient6ico # t+cnico con ="g@"gL@"8gII@%$gMódulo 37 ,4licacione* Tea 3.1 (e*olución a4roGiada de ecuacione*7 M+todo de -eton?(a4:*on,bril 2$$80 ver*ión 1.3 (ecu4erado de :tt47@@.e4*e.u4c.edu@N64q@ale?:4@odulo*@a4licacione*@neton.4d6

MOT'' -&MO(IC'. c:eid0 >.0 P Co*tanzo0 (. /. . D11E. M+todo* nu+rico* D2a. ed.E.M+Gico7 Mcra?ill Interaericana. (etrieved 6ro:tt47@@bibliotecavirtual.unad.edu.co72$!!@lib@unad*[email protected]$%$%13

MOT'' -&MO(IC' =,(, I-/-I/('. C:a4ara 0 P Canale (. D188E. M+todo* -Ferico* 4ara Ingeniero*. M+Gico7 Mcra?ill Interaericana. (etrieved 6ro:tt47@@1"8.2$A.%3.8"@te*iuai@5ibro*@53".4d6 M'&5' MOT'' -&MO(IC' &-I, 3. Buc:eli C0 P óez (. D2$13E. Modulo M+todo* -u+rico* Dunidad 2E. Colobia7 &-,. (etrieved 6ro:tt47@@datateca.unad.edu.co@contenido*@1$$"$1@ModuloK&nidad3.4d6 MOT'' -&MO(IC'. c:eid0 >.0 P Co*tanzo0 (. /. . D11E. M+todo* nu+rico* D2a. ed.E.M+Gico7 Mcra?ill Interaericana. (etrieved 6ro:tt47@@bibliotecavirtual.unad.edu.co72$!!@lib@unad*[email protected]$%$%13

:tt47@@galeon.co@[email protected]

:tt47@@galeon.co@[email protected]
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/MODULO_2013-2/leccin_2_exactitud_y_precisin.htmlhttp://www.epsem.upc.edu/~fpq/ale-hp/modulos/aplicaciones/newton.pdfhttp://www.epsem.upc.edu/~fpq/ale-hp/modulos/aplicaciones/newton.pdfhttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10505139http://148.206.53.84/tesiuami/Libros/L34.pdfhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/Modulo_Unidad3.pdfhttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10505139http://galeon.com/ciencianet/metodoeuler.dochttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/MODULO_2013-2/leccin_2_exactitud_y_precisin.htmlhttp://www.epsem.upc.edu/~fpq/ale-hp/modulos/aplicaciones/newton.pdfhttp://www.epsem.upc.edu/~fpq/ale-hp/modulos/aplicaciones/newton.pdfhttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10505139http://148.206.53.84/tesiuami/Libros/L34.pdfhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/Modulo_Unidad3.pdfhttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10505139http://galeon.com/ciencianet/metodoeuler.doc

colab3metnum yon ivan

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