Çok Katmanlı Yapay Sinir Ağı Modelleri

1

Daha önce bahsedilen YSA’lar doğrusal olan olayları çözebilmelerine karşın doğrusal olmayan olayları çözememektedirler.

Peki bir olayın doğrusal olup olmaması ne demektir?

Bunu anlayabilmek için XOR problem durumuna tekrar göz atmakta fayda vardır.

2

XOR Problemi

--1.5 0-- 0,5 1 1,5

-

-

-

2)

1

0,5

0

3

-1 0 0.5 1 1.5

0

1

İkinci Girdi kümesi için hatalı

4

Hatırlancağı gibi, perceptronlar XOR problemi gibi doğrusal olarak sınıflandırılamayan problemleri çözümünde başarısızdır.

Diğer bir deyişle çıktıların arasına bir doğru veya doğrular çizerek onları iki veya daha fazla sınıfa ayırmak mümkün değildir.

5

XOR problemini çözmek için yapılan çalışmalar sonucu çok katmanlı algılayıcı modeli geliştirilmiştir. Rumelhart ve arkadaşları tarafından geliştirilen bu modele hata yayma modeli veya geriye yayılım modeli(back propogation model) de denilmektedir.

Bunu Özellikle sınıflandırma, tanıma ve genelleme yapmayı gerektiren problemler için çok önemli bir çözüm aracıdır. Bu model “Delta Öğrenme Kuralı” denilen bir öğrenme yöntemini kullanmaktadır. Bu kural aslında ADALINE ve basit algılayıcı modelinin öğrenme kurallarının geliştirilmiş bir şeklidir.

6

Temel amacı ağın beklenilen çıktısı ile ürettiği çıktı arasındaki hatayı en aza indirmektir. Bunu hatayı ağa yayarak gerçekleştirdiği için bu ağa hata yayma ağı da denmektedir.

7

Çok Katmanlı Ağ Modelinin YapısıAra

Katman

Girdi Katmanı

Çıktı Katmanı

Eşik Değeri

Eşik Değeri

G1

G2

G3

Ç1

Ç2

Ç3

8

Girdi Katmanı: Dış dünyadan gelen girdileri alarak ara katmana gönderir. Bu katmanda bilgi işleme olmaz. Gelen her bilgi geldiği gibi bir sonraki katmana gider. Her proses elemanın sadece bir tane girdisi ve bir tane çıktısı vardır. Yani, girdi katmanındaki her proses elemanı bir sonraki katmanda bulunan proses elemanlarının hepsine bağlanır.

Ara Katmanı: Ara katmanlar girdi katmanından gelen bilgileri işleyerek bir sonraki katmana gönderir. Çok katmanlı bir ağda birden fazla ara katman ve her katmanda birden fazla proses elemanı bulunabilir.

9

Çıkış Katmanı: Ara katmandan gelen bilgileri işleyerek ağa girdi katmanından verilen girdilere karşılık ağın ürettiği çıkışları belirleyerek dış dünyaya gönderir.

Bir çıktı katmanında birden fazla proses elemanı olabilir. Her proses elemanı bir önceki katmanda bulunan bütün proses elemanlarına bağlıdır. Her proses elemanının bir çıktısı vardır.

10

Çok katmanlı ağ öğretmenli öğrenme stratejisini kullanır. Ağa, hem örnekler hem de örneklerden elde edilmesi gereken çıktılar verilmektedir.

Sistem, kendisine gösterilen örneklerden genellemeler yaparak problem uzayını temsil eden bir çözüm uzayı üretmektedir. Daha sonra gösterilen benzer örnekler için bu çözüm uzayı sonuçlar ve çözümler üretebilmektedir.

11

Çok Katmanlı Ağ Hücresi

Girdi Nöron n : net giriş toplamıa : çıkışΣ : Toplam fonksiyonu. f : Aktivasyon fonksiyonu.

•Sigmoid•Tanh•Lineer

12

Bir çok giriş için genellikle bir nöron yeterli olmayabilir. Paralel işlem yapan birden fazla nörona ihtiyaç duyulduğunda katman kavramı devreye girmektedir. S tane nöronun tek bir katmanı Şekil’de gösterilmiştir. Burada her giriş bir nörona bağlıdır.

13

Çok Katmanlı Ağın Öğrenme Kuralı

Çok katmanlı ağın öğrenme kuralı en küçük kareler yöntemine dayalı “Delta Öğrenme Kuralı”’nın genelleştirilmiş halidir. Bu yüzden “Genelleştirilmiş Delta Kuralı” olarak da isimlendirilmektedir.

Ağın öğrenebilmesi için eğitim seti adı verilen ve örneklerden oluşan bir sete ihtiyaç vardır. Bu set içinde her örnek için ağın hem girdiler hem de o girdiler için ağın üretmesi gereken çıktılar belirlenmiştir.

14

“Genelleştirilmiş Delta Kuralı” iki aşamadan oluşur.

• İleri doğru hesaplama(Feed Forward)

• Geri doğru hesaplama (Back Propogation)

15

I) İleri Doğru Hesaplama

Bu safhada bilgi işleme eğitim setindeki bir örneğin Girdi Katmanından ağa gösterilmesi ile başlar. Gelen girdiler hiç bir değişiklik olmadan ara katmana gönderilir.

Girdi katmanındaki k. Proses elemanının çıktısı Çki şu şekilde

belirlenir:

Çki = Gk

16

AraKatman

Girdi Katmanı

Çıktı Katmanı

Eşik Değeri

Eşik Değeri

G1

G2

Gk

Ç1

Ç2

Ç3

.

.

.

ÇKi

ÇK1

ÇK2

17

ÇK3

1

2

3

i

Ara katmandaki her proses elemanı girdi katmanındaki bütün proses elemanlarından gelen bilgileri bağlantı ağırlıklarının (A1,A2,....) etkisi ile alır. Önce ara katmandaki proses elemanlarına gelen net girdi (NETj

a) şu formül kullanılarak hesaplanır:

NETja=∑Akj Çk

i

k=1

n

Burada Akj k. girdi elemanını j. ara katman elemanına bağlayan bağlantının ağırlık değerini göstermektedir. J. ara katman elemanının çıktısı ise bu net girdinin aktivasyon fonksiyonundan geçirilmesiyle hesaplanır.

18

AraKatman

Girdi Katmanı

Çıktı Katmanı

Eşik Değeri

Eşik Değeri

G1

G2

Gk

Ç1

Ç2

Ç3

.

.

.

wA1j

wA2j

wAkj

NETja=∑Akj Çk

i

k=1

n

1

2

3

j

19

Sigmoid fonksiyonu kullanılması halinde çıktı:

Çja=

1

1+e-(NETja+βj

a)

Burada βj , ara katmanda bulunan j. elemana bağlanan eşik değer elemanının ağırlığını göstermektedir. Bu eşik değer ünitesinin çıktısı sabit olup 1’e eşittir. Eğitim sırasında ağ bu değeri kendisi belirlemektedir.

20

AraKatman

Girdi Katmanı

Çıktı Katmanı

Eşik Değeri

Eşik Değeri

G1

G2

Gk

Ç1

Ç2

Ç3

.

.

.

wA1j

wA2j

wAkj

1

2

3

j

wβj

Çja=

1

1+e-(NETja+βj

a)21

Ara katmanın bütün proses elemanları ve çıktı katmanının proses elemanlarının çıktıları aynı şekilde kendilerine gelen NET girdinin hesaplanması ve sigmoid fonksiyonundan geçirilmesi sonucu belirlenirler. Çıktı katmanından çıkan değerler bulununca ağın ileri doğru hesaplama işlemi tamamlanmış olur.

22

II) Geriye Doğru Hesaplama

Ağa sunulan girdi için ağın ürettiği çıktı ağın beklenen çıktıları ile karşılaştırılır. Bunların arasındaki fark hata olarak kabul edilir. Amaç bu hatanın düşürülmesidir.

Bu hata, ağın ağırlık değerlerine dağıtılarak bir sonraki iterasyonda hatanın azaltılması sağlanır. Çıktı katmanındaki m. Proses elemanı için oluşan hata Em ;

Em =Bm- Çm

23

Em =Bm- Çm

Yukarıdaki hata, bir proses elemanı için oluşan hatadır. Çıktı katmanı için oluşan toplam hatayı (TH) bulmak için bütün hataların toplanması gerekir.

TH=1/2(∑Em2)

Toplam hatayı enazlamak için bu hatanın kendisine neden olan proses elemanlarına dağıtılması gerekmektedir.

24

Ağın ağırlıklarını değiştirmek için 2 durum söz konusudur:

• Ara katman ile çıktı katmanı arasındaki ağırlıkların değiştirilmesi

• Ara katmanlar arası veya ara katman girdi katmanı arasındaki ağırlıkların değiştirilmesi

25

Ara Katman ile Çıktı Katmanı Arasındaki Ağırlıkların

DeğiştirilmesiAra katmandaki j. Proses elemanı çıktı katmanındaki m. Proses elemanına bağlayan bağlantının ağırlığındaki değişim miktarına ∆Aa denirse; herhangi bir t zamanında ağırlığın değişim miktarı şöyle hesaplanır:

∆Ajma(t)=λδmÇj

a + α ∆Ajma(t-1)

Burada λ öğrenme katsayısını, α momentum katsayısını göstermektedir.

26

Momentum katsayısı ağın öğrenmesi esnasında yerel bir optimum noktaya takılıp kalmaması için ağırlık değişim değerinin belirli bir oranda bir sonraki değişime eklenmesini sağlar.

∆Ajma(t)=λδmÇj

a + α ∆Ajma(t-1)

Yine yukarıdaki formül dikkate alındığında δm ise m. çıktı ünitesinin hatasını göstermektedir.

δm= f’(NET)Em

27

Değişim miktarı hesaplandıktan sonra ağırlıkların t. iterasyondaki yeni değerleri:

Ajma(t) = Ajm

a(t-1) + ∆ Ajma(t)

f’(NET) aktivasyon fonksiyonunun türevidir. Sigmoid fonksiyonun kullanılması durumunda ;

δm= Çm(1-Çm) Em

28

Benzer şekilde eşik değer ünitesinin de ağırlıklarını değiştirmek gerekmektedir. Çıktı katmanında bulunan proses elemanlarının eşik değer ağırlıkları βç ile gösterilirse; bu ünitenin çıktısı sabit ve 1 olması nedeni ile değişim miktarı:

∆βmç(t) = λ δm + α ∆ βm

ç(t-1)

βmç(t) = βm

ç(t-1) + ∆ βmç(t)

29

Ara Katmanlar Arası veya Ara Katman Girdi Katmanı Arasındaki Ağırlıkların

Değiştirilmesi

Ara katman ile çıktı katman arasındaki ağırlıkların değişiminde her ağırlık için sadece çıktı katmanındaki bir proses elemanının hatası dikkate alınmıştır. Oysaki bu hataların oluşmasında girdi katmanı ve ara katman arasındaki ağırlıkların payı vardır.

30

Girdi katmanı ile ara katman arasındaki ağırlıkların değişimi ∆Ai ile gösterilirse değişim miktarı:

∆Akji(t)=λ δj

a Çki + α∆Akj

i(t-1)

Yine burdaki hata terimi δa şöyle hesaplanacaktır:

δja=f’(NET)∑δmAjm

a

m

31

Aktivasyon fonksiyonu olarak sigmoid fonksiyonun kullanılması durumunda ;

δja= Çj

a(1- Çja)∑δmAjm

a

m

Ağırlıkların yeni değerleri ;

Akji(t)= Akj

i(t-1) + ∆Akji(t)

32

Benzer şekilde eşik değer ünitesinin de ağırlıklarını değiştirmek gerekmektedir. Ara katman eşik değer ağırlıkları βa ile gösterilirse değişim miktarı ;

∆βja(t)=λδj

a + α ∆βja(t-1)

βja(t)=βj

a(t-1) + ∆ βja(t)

Böylece ağın ağırlıklarının hepsi değiştirilmiş olacaktır. Bir iterasyon hem ileri hem de geriye doğru hesaplamaları yapılarak tamamlanmış olcaktır.

33

Genelleştirilmiş Delta Kuralı

34

XOR Problemi ve Çözümü

35

Tek katmanlı YSA’lar doğrusal problemlerin çözümü için uygun iken, doğrusal olmayan bazı problemlerin çözümü için uygun değildir. Buna en temel örnek ise XOR problemidir.

XOR probleminin çözümünde geriye yayılımlı çok katmanlı ağlardan yararlanılır.

Bu ağlar, danışmanlı öğrenme kuralları kullanılarak eğitilirler ve problem durumunu öğrenerek yeni problemlere çözüm yolları getirirler.

36

B---- bias nöronkarıBu nöronlar eşik görevindedirler. Her zaman için 1 değerini verirler.

Hedef çıktılar

Öğrenmenin amacıdönüşüm

Fonksiyonunun belirlenmesidir----- F

Geriye Yayılımlı YSA

37

Geriye Yayılımlı YSA’da Öğrenme

Öğrenmenin tanımı– Girdi vektörlerini çıktı vektörlerine eşleyen

fonksiyonun elde edilmesi olarak tanımlanabilir. – Amaç

• Bu dönüşüm fonksiyonunun (F) belirlenmesidir.

Öğrenme adımları– Ağ üzerinde ağırlıkların random olarak atanması.– Ağ üzerindeki çıktılar her zaman gerçek çıktılar ile

uyuşmayabilir. – Gerçek çıktılar ile istenen çıktılar arasındaki fark

tolere edilebilir bir değere ininceye kadar ağırlıklar ayarlanırlar.

38

39

XOR Problemi

XOR problemini çözerken kullanılacak YSA’da hücrelerin aktivasyon fonksiyonu 2 şekilde seçilerek çözüm getirilmeye çalışılmıştır :

• Step Fonksiyon ile• Sigmoid Fonksiyon kullanarak

40

Step Fonksiyon ile Çözüm

a4 = w1 * o1 + w5 * o3 + w4 * o2

a4 = -1 * 0 + 2 * 0 + (-1 * 0) = 0

O4 = 0

Çıktı

a3 = w2 * o1 + w3 * o2

Aktivasyon

a3 = 1 * 0+ 1* 0 = 0

Eşik değeri, bütün hücreler için 0.02 olarak seçilmiştir.

41

Sigmoid Fonksiyon Seçilmesi Durumunda

Sigmoid fonksiyon 0 ve 1 gibi değerler alır.

42

Adım 1. Ağırlıkların başlangıç değerlerinin verilmesi– Ağırlıklar verilirken genel olarak küçük değerler seçilir.

Adım 2. Çıkışların hesaplanması– Ara katmandaki oj gibi bir hücrenin çıkışı aşağıdaki

sigmoid fonksiyon ile hesaplanır.

oj = f ( wjioi - j ) ( wjioi - j )-

1 + e

1=

wji = weight of input i to neuron j

is a constant

j =node threshold

F=sigmoid function

43

Adım 3. Ağırlıkların ayarlanması

– Hata Gradyeni (Error gradient) hesaplanır.• Çıktı nöronları için

j = oj (1 – oj)(dj – oj)• Ara katmandaki nöronlar için aşağıdaki şekilde hesaplanır.

j = oj (1 – oj) kwkj k : neuron k’daki (gizli katmana bağlı olan) hata gradyeni

dj : istenilen çıktı (desired output), oj : esas çıktı (actual output)

– Ağırlıkların değişimi aşağıdaki gibi hesaplanır.• wji = j oi : öğrenme hızı (0< <1)

– Değişimler varolan ağırlıklara ilave edilir. wji (t+1) = wji(t) + wji

44

Bu kısa hatırlatmadan sonra XOR problemimize dönersek;

Başlangıç ağırlık değerlerimiz aşağıdaki gibi random olarak verilir.

12

3

4

0.02

0.03

- 0.02

0.01

0.02

45

İlk durumumuz o3=1 ,o4=1 ve α ve θ değerleri de sırasıyla 1 ve 0 olsun.Ayrıca n öğrenme hızı da 0.3 olsun Bu durumda ;

O2=1 + e –(1x0.01 + 1x0.02)

1

= 0.678 12

3

4

0.02-0.018

0.03

- 0.020.01-0.010165

0.02

1

1O3=1 + e –[0.678x(-0.02) + 1x0.02 + 1x0.03)

1 = 0.509

o2 ,o3’ün çıktıları yukarıdaki gibi hesaplanır. O1’ün çıktısı istenilen şekilde değildir. Bu durumda ağırlıkların yeniden hesaplanmasına gidilir.

1 = 0.509(1-0.509)(0-0.509) = -0.127w13 = 0.3(-0.127) x 1 = -0.038,w13 = 0.02 – 0.038 = -0.018

2 = 0.678(1-0.678)(-0.127)(-0.02) = 0.00055w23 = 0.3 (0.00055) x 1 = 0.000165,

w23 = 0.01 + 0.000165 = -0.010165

( wjioi - j )-1 + e

1 Sigmoid fonk.

Ağırlıkların değişimi

46

1 = 0.509(1-0.509)(0-0.509) = -0.127w14 = 0.3(-0.127) x 1 = -0.038,w14 = 0.03 – 0.038 = -0.008

2 = 0.678(1-0.678)(-0.127)(-0.02) = 0.00055w24 = 0.3 (0.00055) x 1 = 0.000165,

w24 = 0.02 + 0.000165 = -0.020165

12

3

4

-0.018

0.03-0.008

- 0.02

0.02-0.020165

1

1

1 = 0.509(1-0.509)(0-0.509) = -0.127w12 = 0.3(-0.127) x 0.678 = -0.0258318,w12 = - 0.02 – 0.0258318 = -0.0458318

12

3

4

- 0.02-0.0458318

1

1

-0.010165

-0.018

-0.010165

-0.020165

-0.008

Değişik örnekler gösterilerek ağ, yukarıdaki gibi eğitilir.

47

Sonuçta aşağıdaki ağırlıklara ulaşıldığında ağ öğrenmesini durdurur.

12

3

4

4.98

4.98

- 11.30 5.62

5.60

Sonuç ağırlıklar

Sonuçta :O3=1,O4=0 için 0.01’lik bir hata payı ile

O2=0.9964 O1=0.9999

Değerleri elde edilir.

48